高中数学竞赛《集合》辅导讲义

集合（1）

定理1．集合的性质：对任意集合C B A ,,有：

（1）)()()(C A B A C B A = （2）)()()(C A B A C B A =； （3）)()()(B A C B C A C U U U = （4）)()()(B A C B C A C U U U = 请证明之．

例1．设{}

22,,M a a x y x y ==-∈Z ，求证：

（1）21k M -∈（k ∈Z ）； （2）42k M -∉（k ∈Z ）；

（3）若p M ∈，q M ∈，则M pq ∈．

例2．设B A ,是两个集合，又设集合M 满足A M B M A B == ，A B M A B = ，

求集合M （用B A ,表示）．

例3．设集合{}

0232=+-=x x x A ，{}012=-+-=a ax x x B ，{}

022=+-=mx x x C ．

若A B A = ，A C C = ，求实数,a m 的取值范围．

例4．集合C B A ,,是{}9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=I 的子集， （1）求I 的非空真子集的个数；

（2）若I B A = ，求有序集合对()B A ,的个数．

例5．设{}1|),(=+=y ax y x A ，{}1|),(=+=ay x y x B ，{}

1|),(2

2=+=y x y x C ．

求a 的值，使：

（1）C B A )(为含有两个元素的集合； （2）C B A )(为含有三个元素的集合．

例6．以某些整数为元素的集合P 具有下列性质：

①P 中的元素有正数，有负数； ②P 中的元素有奇数，有偶数； ③1-∉P ；

④若P y x ∈,，则P y x ∈+．

试判断实数0和2与集合P 的关系．

例7．设n ∈N 且15≥n ，B A ,都是{}n ,3,2,1的真子集，A B =∅ ，且

=B A {}n ,3,2,1．证明：A 或者B 中必有两个不同数的和为完全平方数．

例8．设S 为满足下列条件的有理数的集合：

①若S a ∈，S b ∈，则S b a ∈+，S ab ∈；

②对任一个有理数r ，三个关系S r ∈，S r ∈-，0=r 有且仅有一个成立． 证明：S 是由全体正有理数组成的集合．

定理2．容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则A B A B A B =+- ；

C B A C B C A B A C B A C B A +---++=；

此结论可以推广到n 个集合的情况，即：

∑∑∑

=≠≤<<≤=+

-=n

i k j i j

i n

k j i j i i n

i i

A A A A A A A

1

11

1

1

(1)

n

n i

i A

-=-+- ．

定义1．集合的划分：若I A A A n = 21，且),,1(j i n j i A A j i ≠≤≤∅= ，则这些子集的全体叫I 的一个n -划分．

定理3．最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数．

例9．求1,2,3,…,100中不能被2整除，且不能被3整除，且不能被5整除的数的个数．

例10．给定集合{}n I ,,3,2,1 =的k 个子集：k A A A ,,,21 ，满足任何两个子集的交集

非空，并且再添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值．

例11．321,,S S S 为Z 非空子集，对于3,2,1的任意一个排列k j i ,,，若j i S y S x ∈∈,，

则k S y x ∈-．

（1）证明：三个集合中至少有两个相等；

（2）问：三个集合中是否可能有两个集合无公共元素？

例12．有2019个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，

试求此2019个集合的并集有多少个元素．

例13．求所有自然数)2(≥n n ，使得存在实数n a a a ,,,21 满足： {}

(1)||11,2,,2i j n n a a i j n -⎧⎫

-≤<≤=⎨⎬⎩⎭

．

集合（2）

1．若集合{}

2

210,,A x ax x a x =++=∈∈R R 中只有一个元素，则=a ．

2．若实数a 为常数，且⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∈1112

x ax x A a ，则=a ___________．

3．集合{

}{}

2

21,,9,A x y x x B y y x

x +

==+∈==-+∈R

R ，则=B A ．

4．{

}9,8,7,6,5,4,3,2,1=I ，I A ⊆,，I B ⊆，{}2=B A ，{}9,1)()(=B C A C I I {}8,6,4)(=B A C I ，则=)(B C A I ．

5．若非空集合S 满足{

}5,4,3,2,1⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有 个．

6．已知S 是由实数构成的集合，且满足（1）S ∉1；（2）若S a ∈，则S a

∈-11

． 若∅≠S ，则S 中至少含有多少个元素？说明理由．