概率论与数理统计期末复习重要知识点

概率论与数理统计期末复习重要知识点第二章知识点：1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：（1）两点分布（0-1分布）：若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<，则称X 服从12,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)P X x p P X x pp ====-<<两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-（2）二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由式{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。

记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,.k kn k n P x k C p p k n -==-=二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-（3）泊松分布：若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...!kP X k ek k λλλ-==>=泊松分布的期望：()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ=4.连续型随机变量：如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数()f x ，使得对于任意实数x ，有(){}()xF x P X x f t dt-∞=≤=⎰，则称X 为连续型随机变量，称()f x 为X 的概率密度函数，简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：若连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(bx a a b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服从均匀分布，记为X~U(a,b)均匀分布的概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,0,1)(b x a a b x f 均匀分布的期望：()2a bE X +=；均匀分布的方差：2()()12b a D X -= （2）指数分布：若连续型随机变量X 的概率密度为00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩，则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~e (λ)指数分布的概率密度：00()0xe xf x λλλ-⎧>>=⎨⎩指数分布的期望：1()E X λ=；指数分布的方差：21()D X λ=（3）正态分布：若连续型随机变量X 的概率密度为22()2()2x f x x μσπσ--=-∞<<+∞则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布，记为X~N(μ,2σ)正态分布的概率密度：22()2()2x f x x μσπσ--=-∞<<+∞正态分布的期望：()E X μ=；正态分布的方差：2()D X σ=（4）标准正态分布：20,1μσ==，2222()()22x t xx x e dtϕφππ---∞=标准正态分布表的使用： （1）()1()x x x φφ<=--（2）~(0,1){}{}{}{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-（3）2~(,),~(0,1),X X N Y N μμσσ-=故(){}{}()X x x F x P X x P μμμφσσσ---=≤=≤={}{}()()a b b a P a X b P Y μμμμφφσσσσ----<≤=≤≤=-定理1： 设X~N(μ,2σ),则~(0,1)X Y N μσ-=6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

分布函数的重要性质：12212112120()1{}{}{}()()()()()1,()0F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-<⇒<+∞=-∞=7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤： ①根据X 写出Y 的所有可能取值； ②对Y 的每一个可能取值iy 确定相应的概率取值；③常用表格的形式把Y 的概率分布写出（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数()X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数()Y F y②由()Y F y 求导可得Y 的概率密度函数（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度()(,)X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可导且恒有'()0g x >（或恒有'()0g x <），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为'[()]|()|,()0Y f h y h y y f y αβ⎧<<=⎨⎩；其中()x h y =是y=g(x)的反函数，且min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞练习题：2.4 第7、13、14总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19第三章重要知识点：YX1y 2y … jy … {}i P X x =1x 11p 12p … 1jp … 1jjp∑ 2x21p22p… 2jp… 2jjp∑. . .. . .. . .. . .. . ... .. . .ix1i p2i p… ijp… ijjp∑. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . . {}j P Y y =1i ip ∑ 2i ip∑ …ijip∑…1（1）要会由X 与Y 的联合概率分布，求出X 与Y 各自概率分布或反过来；类似 P63 例2 （2）要会在X 与Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据； 类似 P71 例3（3）要会根据联合概率分布表求形如{,}P a X b c Y d <<<<的概率；（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 二维连续型随机变量X 与Y 的联合概率密度:设（X,Y ）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对任意实数（x,y ），有(,)(,)yxF x y f s t dsdt-∞-∞=⎰⎰，则称（X,Y ）为二维连续型随机变量。

(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如{}P X Y <等联合概率值;P64 例3(3) 要会根据联合概率密度求出,x y 的边缘密度;类似 P64 例4(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：（1）1iji jp=∑∑；（2）(,)1f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。

若二维随机变量（X,Y）具有概率密度函数1(,)(,)A x y Gf x y∈⎧=⎨⎩，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

5.独立性的判断：定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为()XF x，()YF y，若对任意实数x,y，有{,}{}{} P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤（1）离散型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；②所有可能取值(,)i jx y，有(,)()()i j i jP X x Y y P X x P Y y=====，..ij i jp p p=则X与Y相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；②联合概率密度(,)f x y，边缘密度()Xf x，()Yf y,x y ∀有(,)()()X Yf x y f x f y=几乎处处成立, 则X 与Y相互独立。

(3)注意与第四章知识的结合X与Y相互独立⇒()()()()()()(,)0XYE XY E X E YD X Y D X D YCov X Yρ=±=+==因此()()()()()()(,)0XYE XY E X E YD X Y D X D YCov X Yρ≠±≠+≠≠⇒X与Y不独立。

6．相互独立的两个重要定理定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立，即，对任意实数集A，B，有{,}{}{} P X A Y B P X A P X B ∈∈=∈∈定理2 如果随机变量X 与Y 独立，则对任意函数1()g x ，2()g y 相互独立。

（1）要求会使用这两个定理解决计算问题练习题：习题2-3 第3、4题 习题2-4 第2题习题3.2 第5，7，8题总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13第四、五章知识点设总体密度函数如下，12,,...n x x x 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

1(;,),,0x p x ex μθθμμθθ--=>>（1）02222222111()11111()()222x ttx ttttE X x edx te dt e dt E X xedx t e dt te dt t e dt e dt μθθθμμθθθθθμμθμθθθμμμθμθμθθθθθ----+∞+∞+∞------+∞+∞+∞+∞+∞==+=+==+=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222()()[()]D X E X E X θ=-=，由此可推出(),()()D X E X D X θμ==，从而参数θ，μ的矩估计值为,s x s θμ∧==- （2）似然函数为：(1)111()()exp{()},nnii L x x θμμθθ==-->∑其对数似然函数为：1()ln (,)ln nii x L n μθμθθ=-=--∑由上式可以看出，ln (,)L θμ是μ的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，由于限制(1)x μ>，这给出的最大似然估计值为(1)x μ∧= 将ln (,)L θμ关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然方程12()ln (,)0ni i x d L n d μθμθθθ=-=-+=∑，解得1(1)()nii x x x nμθ∧∧=-==-∑第四章重要知识点：1.随机变量X 数学期望的求法： （1）离散型 1()i i i E X x p ∞==∑ ；（2）连续型 ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：（1）离散型 1()()i i i E X g x p ∞==∑；（2）连续型 ()()()E X g x f x dx +∞-∞=⎰3.二维随机向量期望的求法： （1）离散型 11[(,)](,)ijijj i E g X Y g x y p∞∞===∑∑；（2）连续型 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰4.随机变量X 方差的求法：（1）简明公式 222()[()]()()D X E X E X E X E X =-=- （2）离散型 21()[()]ii i D X x E X p ∞==-∑（3）连续型 2()[()]()D X x E X f x dx +∞-∞=-⎰5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：（1）简明公式 (,){[()]}{[()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- （2）离散型 ,(,)[()][()]ijij i jCov X Y x E X yE Y p =--∑（3）连续型 (,)[()][()](,)Cov X Y x E X y E Y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰（4）()()XY D X D Y ρ=6.数学期望、方差、协方差重要的性质： (1) 1212()()()E X X E X E X +=+(2) 设X 与Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =(3) ()()()2{[()][()]}()()2(,)D X Y D X D YE X E X Y E Y D X D Y Cov X Y ±=+±--=+±若X 与Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+(4) 2()()D CX C D X =(5) 1212(,)(,)(,)Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ （6）(,)(,)Cov aX bY abCov X Y = 若X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =(7) 若（X,Y ）服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当0XY ρ= 7.n 维正态分布的几个重要性质：（1）n 维正态变量（12,,...,n X X X ）的每个分量iX （1,2,...i n =）都是正态变量，反之，若12,,...,n X X X 都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,n X X X ）是n 维正态变量。