幂函数与函数的图象变换
高一数学幂函数
2 3 解得： <m< 或 m<－1. 3 2
1．幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点 (1,1)，幂函数图象不过第四象限．
(2)α>0时，①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；②并且在[0，
＋∞)上都是增函数． (3)α<0时，①幂函数的图象都通过点(1,1)；
2.已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(4,2)，试求函数的解析式， 并说明函数的单调性． 【解析】 由幂函数的概念设f(x)＝xα，则由4α＝2得α＝1/2， 故函数解析式为f(x)＝x1/2 (x≥0)，在[0，＋∞)上是增函数．
若(3－2m)1/2 >(m＋1)1/2，求实数m的取值范围．
咯王爷交办の差事。此时此刻，王爷の表现没有出乎众人の意料，面对怀有身孕の婉然，他怎么可能心止如水？不过众人の目光全都集中在咯王爷の身上，没有任何人注意到，二
十三小格の表情经历咯从意得志满到万分震惊，再到极度失落の巨大变化。虽然是极为震惊，但是当着这么多の人，王爷还是极力地克制住咯情绪の巨大波动，只是面无表情地说 咯壹句：起来吧。然后就是二十三小格向四嫂们见礼，再然后就是众人纷纷落座。王爷和二十三小格两各亲兄弟，嘴上说着言不由衷の话，口中吃着没滋没味の饭。其它の女眷们 自然是各怀心腹事：王爷の女眷们全都是心情忐忑，生怕自家爷会和二十三叔话不投机吵起来；而二十三小格の女眷们则全部都是壹副隔岸观火の看热闹姿态，她们の爷为啥啊要 带婉然过来，她们の心中当然是最清楚，不过就是向四哥炫耀示威而已。而只有水清和婉然两各人则是悄悄向对方投去安慰和鼓励の目光。回想到宴席没有开始之前，两各人在小 堂屋初见の壹刹那，她们都被对方目前の样子吓咯壹大跳！都将自己那这份惊讶写在咯脸上，表达给咯对方。水清先是为婉然姐姐能和二十三小格情投意合，终于修成正果而高兴， 继而又有点儿小小の失落：姐姐怎么会这么快就将爷给忘记咯，转投二十三叔の怀抱，姐姐从前对爷の感情都是真の吗？这样の结果会让爷有多么の伤心。壹想到这里，杞人忧天 の水清不由自主地悄悄抬起咯双眼，望咯壹下坐在她斜前方の王爷。就是这壹眼，让水清の心突然壹下子莫名其妙地柔软咯下来。第壹卷 第469章 忧心这些天来，水清因为再次
2022高考数学总复习课后强化作业-第二章第六节 幂函数与函数的图象变换
2022高考数学总复习课后强化作业-第二章第六节 幂函数与函数的图象变换1.(2011·烟台模拟)幂函数y ＝f (x )的图象通过点(27，13)，则f (18)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 设f (x )＝x α，由条件知f (27)＝13， ∴27α＝13，∴α＝－13，∴f (x )＝x -13 ， ∴f (18)＝(18)-13＝2.2．(文)(2011·聊城模拟)若方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则函数y ＝f (x )的图象能够是( )[答案] D[解析] 由题意知函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝2在(－∞，0)内有交点，观看所给图象可知，只有D 图存在交点．(理)(2011·陕西文，6)方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根 [答案] C[解析] 在同一坐标系中，画出函数y ＝|x |与y ＝cos x 的图象，易知有两个交点，即|x |＝cos x 有两个根．3．(文)(2011·山东济南调研)下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )[答案] B[解析] y ＝x 2为偶函数，对应②；y ＝x 12定义域x ≥0，对应③；y ＝x －1为奇函数，且图象与坐标轴不相交，对应④；y ＝x 3与y ＝x 13均为奇函数，但y ＝x 3比y ＝x 13增长率大，故①对应y ＝x 3.(理)给出以下几个幂函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)，其中f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 12，f 4(x )＝1x .若g i (x )＝f i (x )＋3x (i ＝1,2,3,4)．则能使函数g i (x )有两个零点的幂函数有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 [答案] B[解析] 函数g i (x )的零点确实是方程g i (x )＝0的根，亦即方程f i (x )＋3x ＝0的根，也确实是函数f i (x )与y ＝－3x 的图象的交点，作出函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)的图象，可知只有f 2(x )的图象与y ＝－3x 的图象有两个不同的交点，故能使g i (x )有两个零点的幂函数只有f 2(x )，选B.4．(文)(2011·郑州一检)若0<x <y <1，则( ) A ．3y <3x B ．log x 3<log y 3 C ．log 4x <log 4y D ．(14)x<(14)y [答案] C[解析] ∵0<x <y <1，∴由对数函数的单调性得，log 4x <log 4y ，故选C.(理)(2011·天津理，7)已知a ＝b ＝c ＝则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b [答案] C [解析] a ＝b ＝＝c ＝＝明显有log 23.4>log2103>log 2 3.6，由对数函数、指数函数单调性，有a >c >b ，故选C. 5．(文)幂函数y ＝x －1及直线y ＝x ，y ＝1，x ＝1将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区域”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所示)，那么幂函数y ＝x 12的图象通过的“区域”是( )A ．⑧，③B ．⑦，③C ．⑥，①D ．⑤，① [答案] D[解析] y ＝x 12是增函数，∵12<1，∴其图象向上凸，过点(0,0)，(1,1)，故通过区域①，⑤.(理)幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族漂亮的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定 [答案] A[解析] 由条件知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，6．(文)(2011·惠州模拟、安徽淮南市模拟)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝(x －a )(x －b )的两个零点为a 和b 且a >b ，由图象知0<a <1，b <－1，∴g (x )＝a x ＋b 单调减，且g (0)＝1＋b <0，故选A.(理)(2011·新课标全国文，12)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 [答案] A[解析] 由y ＝f (x )与y ＝|lg x |图象(如图)可知，选A.7．若幂函数f (x )的图象通过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x 12 ， ∴f ′(x )＝12x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －4y ＋1＝0.8．(文)(2011·淮北模拟)已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范畴是________．[答案] (－∞，－1)∪(3,5)[解析]由题意，得⎩⎨⎧a ＋1<010－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>010－2a >0a ＋1>10－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<010－2a <0a ＋1>10－2a∴a <－1或3<a <5.(理)若函数f (x )＝dax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ，d ∈R)，其图象如图所示，则a :b :c :d ＝________.[答案] 1:(－6):5:(－8)[解析] 由图象知，x ≠1且x ≠5， 故ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为1,5.∴⎩⎨⎧－b a ＝6c a ＝5，∴⎩⎨⎧b ＝－6ac ＝5a，又f (3)＝2，∴d ＝18a ＋6b ＋2c ＝－8a . 故a :b :c :d ＝1:(－6):5:(－8)．9．若f (x )＝ax ＋1x －1在区间(－∞，1)上是减函数，则a 的取值范畴是________．[答案] a >－1[解析] f (x )＝ax ＋1x －1＝a (x －1)＋a ＋1x －1＝a ＋a ＋1x －1. ∵f (x )在(－∞，1)上为减函数，∴a ＋1>0，∴a >－1.10．如图所示，函数图象由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．[解析] 如图，设左侧射线对应的解析式为：y ＝kx ＋b (x ≤1)，将点(1,1)，(0,2)代入得⎩⎨⎧k ＋b ＝1b ＝2，解得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝2，因此左侧射线对应的函数解析式是y ＝－x ＋2(x ≤1)；同理，x ≥3时，函数解析式为：y ＝x －2(x ≥3)；再设抛物线段的解析式为y ＝a (x －2)2＋2(1≤x ≤3，a <0)，将(1,1)代入得，a ＋2＝1，∴a ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x －2(1≤x ≤3)． 综上知，函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2 (x <1)－x 2＋4x －2 (1≤x <3)x －2 (x ≥3).11.(文)(2011·山东济宁一模)函数f (x )＝2|log2x |的图象大致是( )[答案] C[解析]f (x )＝2|log2x |＝⎩⎨⎧2log2x ，x ≥12－log2x，0<x <1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x ，0<x <1.(理)(2011·威海模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(2,3)C ．(1,2)D ．(3,4) [答案] C[解析] 设f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，因此x 0在区间(1,2)内．12．(文)(2011·淮南模拟)函数y ＝lncos x (－π2<x <π2)的图象是( )[答案] A[解析]由已知得0<cos x≤1，∴ln cos x≤0，排除B、C、D.故选A.(理)(2011·青岛模拟)现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时刻t 的函数关系的是()[答案] C[解析]依照球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．13．(文)(2011·安徽省淮南市模拟)已知直线x＝2及x＝4与函数y＝log2x图象的交点分别为A，B，与函数y＝lg x图象的交点分别为C，D，则直线AB与CD()A．相交，且交点在坐标原点B．相交，且交点在第Ⅰ象限C．相交，且交点在第Ⅱ象限D．相交，且交点在第Ⅳ象限[答案] A[解析]易求得两直线方程分别为AB：y＝12x、CD：y＝lg22x，则其交点为坐标原点．如图所示．(理)(2011·山东淄博一模)设动直线x ＝m 与函数f (x )＝x 3，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则|MN |的最小值为( )A.13(1＋ln3)B.13ln3C.13(1－ln3) D ．ln3－1 [答案] A[解析] 设u (x )＝x 3－ln x ，则u ′(x )＝3x 2－1x .令u ′(x )＝0，得x ＝313.当0<x <313时，u ′(x )<0，u (x )单调递减；当x >313时，u ′(x )>0，u (x )单调递增．因此，当x ＝313时，u (x )取到最小值，此极小值即为u (x )在(0，＋∞)上的最小值． ∴|MN |＝|13－13ln 13|＝13(1＋ln3)．14．(文)已知函数f (x )＝2x －x m，且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判定f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． [解析] (1)∵f (4)＝－72，∴24－4m ＝－72. ∴m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减， 证明如下：任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2)＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，2x 1x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， 即f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上单调递减．(理)(2011·山东烟台调研)设函数f (x )＝p ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ，g (x )＝2e x .(p 是实数，e 是自然对数的底数)(1)当p ＝2e 时，求f (x )＋g (x )的单调区间；(2)若直线l 与函数f (x )，g (x )图象都相切，且与函数f (x )的图象相切于点(1,0)，求p 的值．[解析] (1)当p ＝2e 时，f (x )＋g (x )＝2e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x ＋2ex ＝2ex －2ln x ，则(f (x )＋g (x ))′＝2e －2e .故当x >1e 时，f (x )＋g (x )是增函数； 当0<x <1e 时，f (x )＋g (x )是减函数．综上，f (x )＋g (x )的单调增区间为[1e ，＋∞)，f (x )＋g (x )的单调减区间为(0，1e ]． (2)∵f ′(x )＝p ＋p x 2－2x ，∴f ′(1)＝2(p －1)． 设直线l ：y ＝2(p －1)(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(p －1)(x －1)y ＝2e x得(p －1)(x －1)＝ex ，即(p －1)x 2－(p －1)x －e ＝0. 当p ＝1时，方程无解；当p ≠1时，∵l 与g (x )图象相切，∴Δ＝(p －1)2－4(p －1)(－e )＝0，得p ＝1－4e . 综上，p ＝1－4e .15．某机床厂2007年年初用98万元购进一台数控机床，并赶忙投入生产使用，第一年的修理保养费用为12万元，从第二年开始，每年所需修理保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式；(2)从第几年开始，该机床开始盈利(盈利额为正值)；(3)使用若干年后，对机床的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． [解析] (1)y ＝50x －[12x ＋x (x －1)2×4]－98 ＝－2x 2＋40x －98.(x ∈N *)(2)解不等式－2x 2＋40x －98>0得， 10－51<x <10＋51. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.故从第三年起该机床开始盈利．(3)①∵yx ＝－2x ＋40－98x ＝40－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12，当且仅当2x ＝98x ，即x ＝7时，等号成立．∴到2020年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元．②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102， 当x ＝10时，y max ＝102.故到2021年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时刻较短，故方案①比较合理．1．若函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象分别如图，则f (x )·g (x )的图象可能是( )[答案] C[解析] 由f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可知f (x )·g (x )为奇函数，x ∈(－3,0)时，f (x )>0，g (x )>0，因此f (x )g (x )>0，故选C.2．(2011·湖北理，2)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}，则∁U P ＝( )A ．[12，＋∞)B ．(0，12)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0]∪[12，＋∞) [答案] A[解析] ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝(0，＋∞)，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝(0，12)，∴∁U P ＝[12，＋∞)．3．(2011·山东文，10)函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )[答案] C[解析] 利用专门化思想求解；当x ＝0时，y ＝0，排除A ；当x →＋∞时，明显y >0，排除D ；当x ＝2π时，y ＝π<4，排除B ，故选C.4．(2010·浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时刻t 变化的图象可能是( )[答案] B[解析] 由三视图可知，该几何体为倒立的圆锥，故随时刻t 的增加，容器中水面的高度增加的越来越缓慢，即曲线切线的斜率在逐步变小，故选B.5．(2011·天津文，8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范畴是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2]∪(1,2]D ．[－2，－1] [答案] B[解析]由题意得，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2 －1≤x ≤2x －1 x <－1或x >2由y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， 即方程f (x )＝c 有两个不等的根，即函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点． 由图象知：∴－2<c ≤－1或1<c ≤2.6．(2010·东营质检)函数y ＝|x |与y ＝x 2＋1在同一坐标系的图象为( )[答案] A[解析] 由y ＝x 2＋1得，y 2－x 2＝1(y ≥1)，它表示焦点在y 轴上的等轴双曲线的上支，它以y ＝±x 的其渐近线，故选A. 7．若(a ＋1) -13 <(3－2a ) -13，则a 的取值范畴是______．[答案] (23，32)∪(－∞，－1)[解析] 幂函数y ＝x -13 在(0，＋∞)上为减函数，函数值y >0；在(－∞，0)上也是减函数，函数值y <0.∴有a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或⎩⎨⎧ a ＋1<03－2a >0，∴23<a <32或a <－1即a 的取值范畴为(23，32)∪(－∞，－1)． 8．(2011·福建质量检查)设a >1，若仅有一个常数c 使得关于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]，满足方程log a x ＋log a y ＝c ，这时a 的取值的集合为________．[答案] {2}[解析] 依题意得y ＝a c x ，当x ∈[a,2a ]时，y ＝a c x ∈[12a c －1，a c －1]⊆[a ，a 2]，因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 12a c －1≥a a c －1≤a 2，即2a ≤a c －1≤a 2，又常数c 是唯独的，因此a 2＝2a ，又a >1，因此a ＝2.9．函数f (x )＝2x 和g (x )＝x 3的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出示意图中曲线C1、C2分别对应哪一个函数？(2)若x1∈[a，a＋1]，x2∈[b，b＋1]，且a，b∈{1,2,3,4,5,6,7,8, 9,10,11,12}，指出a、b的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，请把f(8)、g(8)、f(2020)、g(2020)四个数按从小到大的顺序排列．[解析](1)C1对应函数g(x)＝x3，C2对应函数f(x)＝2x.(2)由于交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，令h(x)＝f(x)－g(x)，明显有h(1)＝f(1)－g(1)＝1>0，h(2)＝f(2)－g(2)＝－4<0，h(9)＝29－93＝－217<0，h(10)＝24>0，∴x1∈[1,2]，x2∈[9,10]，∴a＝1，b＝9.(3)由幂函数及指数函数增长率可知，f(8)<g(8)<g(2020)<f(2020)．10．已知函数f(x)＝(1)证明f(x)是奇函数，并求其单调区间；(2)分别运算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，并由此概括一个涉及函数f(x)，g(x)的对所有非零实数x都成立的等式，并证明．[解析](1)证明：因为f(x)的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．又因为f(x)是奇函数，因此f(x)在(－∞，0)上也是单调递增函数，即f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)通过运算可得f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)g(3)＝0，由此可得对所有非零实数x都成立的一个等式是f(x2)－5f(x)g(x)＝0.证明如下：。
幂函数图像及性质
幂函数图像及性质什么是幂函数？幂函数是指在极坐标或复平面上将某一点按某一规则移动，使其形成一种函数。
这种函数是关于某一点的未知函数，这一点可以表示为一个复数，且该复数可以表示某一点的坐标。
幂函数也可以用复数表示，其中一个具体的形式为：z =r^n*cos(θ+2πm) + ir^n*sin(θ+2πm)，其中r 为极径，θ为极角，m为整数，n为实常数。
幂函数的图像是一条曲线，所以它也被称为曲线函数，它的图像可以根据x，y轴的定义方法来确定。
在极坐标系中，幂函数的形状一般是环状曲线，并且其形状受n值的影响很大，比如当n=1时，图像的形状为单个圆；当n=2时，图像的形状为集中的双圆；当n=3时，图像的形状为三角形；当n=4时，图像的形状为集中的四方形；当n=5时，图像的形状为五角星状等。
幂函数的性质可以用幂函数的微积分形式来说明，即dz/dr=n*r^(n-1)，其中n 为实常数，r 为极径，z为极坐标系的一点的坐标，推导出dz/dr的值，可以用于表示幂函数的形状及特性。
此外，还可以用基本物理运算来说明，所谓幂函数是指坐标变换时r和θ之间存在一定的关系，此关系可以表示为r=f(θ)，其中f(θ)是幂函数，这里的幂函数可以通过幂函数的大小因子或者指数来表示，而指数n就是幂函数的性质，只有当n>0或者n<0时，才能使幂函数表达出不同的性质。
幂函数在物理学中也被广泛使用，例如，在声学领域，幂函数可以用来描述声波的传播规律，这就是为什么音量大小是一个幂函数的原因。
此外，在光学领域，幂函数可以用来描述光的传播规律，例如，可以用来计算光的反射系数或者折射系数。
而在数学中，幂函数不仅表示曲线的性质，还可以用来研究复数的性质，以及形成更复杂的曲线。
以上就是我们关于幂函数图像及性质的简单介绍，幂函数是一种非常有趣的曲线函数，它在物理学，数学及光学领域有着重要的应用。
虽然它看起来很复杂，但它所提供的知识却是非常有价值的，只要我们多多使用幂函数，就能够获得丰富的经验和数学知识。
3-3幂函数
2 3 数，又∵ > ， 3 5 2 0.5 3 0.5 ∴(3) >(5) .
第三章
基本初等函数(I)
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第三章
基本初等函数(I)
[点评]
利用函数单调性比较两实数的大小首先要
通过观察分析，构造出适当的函数来，对于幂的形式的数，
若同指数不同底数，则考虑幂函数；若同底数不同指数，
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f(x)＝x－4的图象如图所示：
第三章
基本初等函数(I)
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第三章
基本初等函数(I)
已知幂函数f(x)的图象过点( 1 象过点(2， )． 4 (1)求f(x)，g(x)的解析式；
2 ，2)，幂函数g(x)的图
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(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)； ③f(x)＜g(x)．
第三章
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[解析]
(1)设f(x)＝xα，∵其图象过点(
2 ，2)，故2
＝( 2)α，∴α＝2，∴f(x)＝x2. 1 设g(x)＝x ，∵其图象过点(2，4)，
β
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1 － ∴4＝2β，∴β＝－2，∴g(x)＝x 2. (2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图象， 如图所示：
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，
2 解得a＜3且a≠－1或a＞4.
第三章
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2 ∴a 的取值范围为(－∞，－1)∪(－1， )∪(4，＋∞)． 3
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第三章
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1 1 若(a＋1)－ ＜(3－2a)－ ，试求 a 的取值范围． 3 3 [分析] 1 考查幂函数 y＝x－ ，可知它在(－∞，0)和(0， 3
幂函数
明目标、知重点 1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝12x的图象，并通过其图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质由幂函数y＝x、y＝12x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)幂函数的图象都过点(1,1)；(3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增；(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减．[情境导学]我们知道对于N＝a b，N随b的变化而变化，我们建立了指数函数y＝a x；如果a一定，b随N的变化而变化，我们建立了对数函数y＝log a x.设想：如果b一定，N随a的变化而变化，是不是也应该可以确定一个函数呢？本节我们就来探讨这个问题．探究点一幂函数的概念问题(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p＝w元，这里p是w 的函数；(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V＝a3，这里V是a的函数；(4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长a＝12s，这里a是S的函数；(5)如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度v＝t－1 km/s，这里v是t的函数．思考1上述5个问题中函数的对应关系分别是什么？答(1)乘以1；(2)求平方；(3)求立方；(4)求算术平方根；(5)求－1次方．思考2上述5个问题中的函数有什么共同特征？答问题中涉及到的函数，都是形如：y＝xα的函数，其中x是自变量，α是常数．小结幂函数定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考3判断一个函数是不是幂函数的标准是什么？答 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．例1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．反思与感悟 只有在形式上完全符合幂函数的定义的式子，才是幂函数，否则就不是． 跟踪训练1 已知y ＝(m 2＋2m －2)21xm -＋2n －3是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1m 2－1≠02n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究点二 幂函数的图象和性质问题 如图在同一坐标系内作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象，思考下列问题：思考1 你能从这五个具体的函数图象中，发现什么规律？ 答 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称；(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．思考2 仔细观察你画出的五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？答证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2，因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0， 所以f (x 1)<f (x 2)，即幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．反思与感悟 证明函数的单调性，一般是利用单调性的定义进行证明，证明的关键是通过变形，能够得出各因式的正负，从而能判断出f (x 1)－f (x 2)的正负． 跟踪训练2 求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1) ＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋34x 22 且⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222≥0，34x 22≥0. 上式中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1<x 2矛盾)，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数． 例3 比较大小：(1)121.5，121.7；(2)(－1.2)3，(－1.25)3； (3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.解 (1)∵y ＝12x 在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴121.5<121.7；(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3； (3)∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2， ∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.反思与感悟 比较两个幂的大小要仔细观察它们的异同点，指数相同底数不同时，要利用幂函数的单调性比较，底数相同而指数不同时，要利用指数函数的单调性比较，指数与底数都不同时，要通过增加一个数起桥梁作用时进行比较． 跟踪训练3 比较下列各组数的大小：(1)788--和7819-（）； (2)(－2)－3和(－2.5)－3；(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；(4)25(4.1)，23(3.8)-和35(1.9).解 (1)788--＝781()8-，函数y ＝78x 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则781()8>781()9， 从而788--<－781()9.(2)幂函数y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3. (3)幂函数y ＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1. (4)25(4.1) >251＝1；0<23(3.8)-<231-＝1；35( 1.9)-<0，∴35( 1.9)-<23(3.8)-<25(4.1).1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1答案 C解析 根据幂函数的定义：形如y ＝x α的函数称为幂函数，选项C 中自变量x 的系数是2，不符合幂函数的定义，所以C 不是幂函数． 2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116 C ．2 D.12答案 D解析 由f (x )＝x α的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，得22＝2α，所以α＝－12，则f (4)＝124-＝2－1＝12.3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A解析 y ＝x－1的定义域为x ≠0，y ＝12x 的定义域为x ＞0，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R .4．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案 二、四解析 幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，y ＝12x 的图象分布在第一象限．所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．[呈重点、现规律]1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．2．比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系．3．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过(0,0)，(1,1)在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．一、基础过关1．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a，故选C.2．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )答案 B解析 y ＝12x 的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝12x －1的图象可看作由y ＝12x 的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝12x －1的图象关于x 轴对称后即为选项B. 3．下列是y ＝23x 的图象的是( )答案 B解析 y ＝23x ＝3x 2，∴x ∈R ，y ≥0， f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )， 即y ＝23x 是偶函数， 又∵23<1，∴图象上凸．4．设a ＝233()5，b ＝352()5，c ＝252()5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝25x 在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝(25)x 在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2 D ．1或2答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B. 6．给出以下结论：①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点；③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大； ④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________． 答案 ④解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，故①不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故②不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确． ④正确．7．已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象．解 ∵图象与x ，y 轴都无交点， ∴m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，∴m ＝0,1,2. ∵幂函数图象关于y 轴对称， ∴m ＝0，或m ＝2.当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1；当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.二、能力提升8．函数y ＝53x 的图象大致是( )答案 B解析 函数y ＝53x ＝3x 5是定义域为R 的奇函数，且此函数在定义域上是增函数，其图象关于原点对称，排除A ，C.另外，因为y ＝531()2＝12×231()2<12，y ＝531＝1，y ＝532＝2×232>2，所以当x ∈(0,1)时，函数y ＝53x 的图象在直线y ＝x 的下方；当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝53x 的图象在直线y ＝x 的上方．故选B.9．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于( )A ．0B ．1C ．2D ．0或1 答案 B解析 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意．综上知，m ＝1. 10．若12(1)a -+＜12(32)a --，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫23，32解析 12(1)a -+＜12(32)a --⇔121()1a +＜121()32a-，函数y ＝12x 在[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23＜a ＜32.11．已知函数f (x )＝1x2＋1.(1)判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性并证明； (2)求f (x )在区间[1,3]上的最大值和最小值． 解 (1)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数． 证明如下：设x 1，x 2是区间(0，＋∞)上任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1x 21＋1)－(1x 22＋1)＝(x 1＋x 2)(x 2－x 1)(x 1x 2)2，∵x 2>x 1>0，∴x 1＋x 2>0，x 2－x 1>0，(x 1x 2)2>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上减函数． (2)由(1)知函数f (x )在区间[1,3]上是减函数， 所以当x ＝1时，取最大值，最大值为f (1)＝2， 当x ＝3时，取最小值，最小值为f (3)＝109.12．已知幂函数21()()mm f x x -+= (m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解 (1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *， 而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝21()m m x-+ (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝21()2m m -+，即211()22=2m m -+.∴m 2＋m ＝2. 解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )>f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a ≥0，a －1≥02－a >a －1.解得1≤a <32. ∴a 的取值范围为[1，32)． 三、探究与拓展 13．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足3(1)ma -+＜3(32)ma -－的a 的取值范围．解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m －3＜0，解得m ＜3.∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数，而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1.而f (x )＝13x-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， ∴13(1)a -+＜13(32)a --等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .解得a ＜－1或23＜a ＜32. 故a 的取值范围为{a |a ＜－1或23＜a ＜32}．。
高中数学 幂函数
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数和函数图像的变换
1幂函数和函数图像的变换（一）幂函数：（二）主要方法：1．熟记一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象． 2．作图(1)描点法作图步骤： ①确定定义域； ②化简解析式；③确定函数图象的特殊点； ④讨论函数的性质； ⑤描点连线． （2）图像的变换 1．平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称； （2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称； （3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（4）函数1()y f x -=的图像与函数()y f x =的图像关于直线y x =对称； （5）函数()y f x =的图像与函数)2(x a f y -=的图像关于直线a x =称.3．翻折变换：（1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；（2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．4．伸缩变换：（1）函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；（2）函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x=的图像中的每一点纵坐标不2变横坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的1a倍得到． 5. 具有对称性的抽象函数：①函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f -=+，则()x f 是关于直线2b a y +=对称的函数.②函数()x f 对于定义域中的任意x ,都有()()x b f x a f --=+，则()x f 是关于点⎪⎭⎫⎝⎛+0,2b a 对称的函数.（三）例题分析：1.函数y=f(x)的图象如下,那么下列对应错误的是( )解析:y=f(|x|)是偶函数,图象关于y 轴对称,故B 错误.答案:B2.设函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是下面的()解析:由y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,知y=f(x)·g(x)为奇函数,又在x=0处无定义. 答案:D3.先作与函数 12y lgx=-的图象关于原点对称的图象,再将所得图象向右平移2个单位得图象C1,又y=f(x)的图象C2与C1关于y=x 对称,则y=f(x)的解析式是()A.y=10xB.y=10x－2 C.y=lgx D.y=lg(x－2)3答案:A4.函数f(x)=log a |x|+1(0<a<1)的图象大致为()解析:作出函数y=log a x(0<a<1)的图象,然后保留y 轴右侧不变,再将y 轴右侧对称到左侧,得y=loga|x|,再将所得图象向上平移一个单位,点(1,0)和(-1,0)变化为(1,1)和(-1,1),故A 正确. 答案:A5.()()21,[1,0),f x 1,[0,1],.x x x x ∈+-⎧=⎨+⎩已知则下列函数的图象错误的是[解析]f(x)的图象如图所示,f(x-1)的图象由f(x)的图象向右平移1个单位; f(-x)的图象与f(x)的图象关于y 轴对称; 由y=f(|x|)的奇偶性可知,保留f(x)在 y 轴右侧的图象,左侧图象由右侧图象 关于y 轴对称得到;|f(x)|的图象是将f(x)图象在x 轴下方部分关于x 轴翻转180°,其余部分不变,故D 错. [答案]D6.若直线y=2a 与函数y=|ax-1|(a>0且a ≠1)的图象有2个公共点,求a 的取值范围.402a 1,a 10,.2⎛ ∈⎪<<⎫⎝⎭由图知所以7．函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 解析：∵f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 又f (－x )＝1()x x ---＝1()x x--＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，它的图象关于原点对称．答案：C8．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：∵f (x )是[－5,5]上的奇函数， ∴f (x )的图象关于原点对称，由图象知f (x )<0的解集是{x |－2<x <0或2<x ≤5}． 答案：{x |－2<x <0或2<x≤5}。
幂函数的概念及其图像
3.3幂函数知识点一、幂函数的定义一般地，形如函数 (α∈R)的函数称为幂函数，其中底数 是自变量，α为常数．知识点二、幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，幂函数x y =，2x y =，3x y =，x y =，1-=x y 的图象分别如下．知识点三、幂函数的性质： （1）都过点 ；（2）任何幂函数都不过 象限； （3）当0>α时，幂函数的图象过 ．知识点四、幂函数的图象在第一象限的分布规律（1）在经过点平行于轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图象从 到 分布；（2）幂指数的分母为偶数时，图象只在 象限；幂指数的分子为偶数时，图象在第一、第二象限关于 轴对称；幂指数的分子、分母都为奇数时，图象在第一、第三象限，关于 对称．一、幂函数的定义例1、幂函数352)1(----=m x m m y 在0(，)∞+上为减函数，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．1- C ．1-或2 D ．251±≠m【举一反三】1、已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．(1,1)y2、已知12)2()(-++=m m x m m x f ，m 为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数； （2）反比例函数； （3）二次函数；（4）幂函数.二、幂函数的图像例2、幂函数αx y =，当α取不同的正数时，在区间0[，]1上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A 1(，)0，B 0(，)1，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数αx y =，βx y =的图象三等分，即有|BM |＝|MN |＝|NA |，那么=αβ（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无法确定例3、已知幂函数)(x f 的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2,41) （1）求)(x f ，)(x g 的解析式；（2）当x 为何值时，①)()(x g x f >；②)()(x g x f =；③)()(x g x f <．三、幂函数的性质【考题】比较下列各组数的大小： （1）13(0.95)- 13(0.96)-； （2）138-- 1319⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）30.830.7（4）122 131.8；例5、已知幂函数=)(x f 223m m x --(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是单调减函数，试求满足3(1)ma -+<3(32)ma --的a 的取值范围.【举一反三】已知幂函数y ＝243m m x --(m ∈Z )的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象.【课后巩固】1．函数2-=x y 在区间]2,21[上的最大值是（ ）A ．41 B ．1-C ．4D ．4-2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A ．3x y -=B ．3-=x yC ．32x y =D ．13-=x y3．函数3x y =和31x y =图象关于（ ）对称 A ．原点B ．x 轴C ．y 轴D ．直线x y =4．下列函数中既是偶函数又在0(，)∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x=-145．函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数6．对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定7．)()27,3)(14x f x f -，则的图象过点（幂函数的解析式是 ．8．已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=--y y x 轴都无交点，且关于轴，的图象与轴对称，则f x ()的解析式是 ． 9．已知幂函数12)()(-+=m m xx f (m ∈N *).（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f(2－a)>f(a －1)的实数a 的取值范围.。
图表总结指数函数、对数函数、幂函数对比与联系
幂函数一、基础知识1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数；(2)x α的系数为1；(3)只有一项．2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y ＝xy ＝x2y ＝x3y ＝x12y ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、常用结论对于形如f (x )＝xn m(其中m ∈N *，n ∈Z，m 与n 互质)的幂函数：(1)当n 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称；(2)当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；(3)当m 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．指数式、对数式一、基础知识1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na )n＝a (a 使na 有意义)．②当n 是奇数时，na n ＝a ；当n 是偶数时，na n ＝|a，a ≥0，a ，a <0.(2)分数指数幂的意义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化问题的关键．①a m n ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．②am n＝1am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(3)有理数指数幂的运算性质①a r·a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；②a ra s＝a r－s(a>0，r，s∈Q)；③(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．(1)有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于0，否则不能用性质来运算．(2)有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂．2．对数的概念及运算性质一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么，数b就叫做以a 为底N的对数，记作：log a N＝b.指数、对数之间的关系(1)对数的性质①负数和零没有对数；②1的对数是零；③底数的对数等于1.(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M －log a N ；③log a (N n )＝n log a N (n ∈R)．二、常用结论1．换底公式的变形(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log b a (a ，b 均大于0且不等于1)；(2)log am b n＝nm log a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R)；(3)log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N (a ，b ，N 均大于0且不等于1，M >0)．2．换底公式的推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a ，b ，c 均大于0且不等于1，d >0)．3．对数恒等式a log aN ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．指数函数一、基础知识1．指数函数的概念函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R，a 是底数．形如y ＝ka x ，y ＝a x ＋k (k ∈R 且k ≠0，a >0且a ≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数．2．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域为R，值域为(0，＋∞)图象过定点(0,1)当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1；当x <0时，恒有y >1在定义域R 上为增函数在定义域R 上为减函数注意指数函数y =a x (a >0,且a ≠1）的图象和性质与a 的取值有关，应分a >1与0<a <1来研究.二、常用结论指数函数图象的特点(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a 依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．(2)函数y ＝a x 与y (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(3)底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a >1时，指数函数的图象“上升”；当0<a <1时，指数函数的图象“下降”．对数函数一、基础知识1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).y ＝log a x 的3个特征(1)底数a >0，且a ≠1；(2)自变量x >0；(3)函数值域为R.2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质底数a >10<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即恒有log a 1＝0当x >1时，恒有y >0；当0<x <1时，恒有y <0当x >1时，恒有y <0；当0<x <1时，恒有y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意当对数函数的底数a 的大小不确定时，需分a >1和0<a ,<1两种情况进行讨论.3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．二、常用结论对数函数图象的特点(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,大致图象．(2)函数y＝log a x与y＝log1ax(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．(3)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．。
沪教版高一数学 上册4.1幂函数的性质和图像(共25张PPT)
4.1幂函数的性质 和图像
（3）函数图像间的关系
1 ) y x 1 ,y x 1 ;2 ) y x 2 2 x ,y x 2 2 x
图像y=f(x)和y=f(|x|),y=|f(x)|的关系
y=f(|x|)的图像是在y轴右侧和y=f(x)右侧一样， 左侧由y=f(x)图像在y轴右侧的翻折对称形成 的图像
，其图像在第一、二象限，且不过原点，则（
）
(A )p ,m 为 奇 数 ,n 为 偶 数 ; (B )p ,n 为 奇 数 ,m 为 偶 数 ; (C )p ,n 为 偶 数 ,m 为 奇 数 ； (D )p ,m 为 偶 数 ,n 为 奇 数
例 2 、 y x n (n Z )图 像 不 过 原 点 且 关 于 原 点 对 称 ， 则 n 为 _ _ _ _
(1)yx2 3;(2)yx1 2;(3)yx2 3;(4)yx;(5)yx3;
1
5
1
4
(6)yx3;(7)yx3;(8)yx2;(9)yx3;(10)yx2
小结
幂函数图像特点：
函数性质
定点：都经过点（1，1）
第一象限：
ｋ＞１， 图像为举手型 ———增函数 ０＜ｋ＜１，图像为眉毛型 ———增函数 ｋ＜０， 图像为双曲线型———减函数
研究函数的一般方法：定义域、奇偶性、单调性、图像 （特殊点，特殊的性质）
一、幂函数的概念
函数 yxkkQ 叫做幂函数
k为常数
例1、下面函数中，为幂函数的有____________
( 1 ) y 2 x ; ( 2 ) y x 1 ; ( 3 ) y x 0 . 3 ; ( 4 ) y x 2 ; ( 5 ) y ( x 2 ) 2
浅谈幂函数
学习幂函数，图像是关键。
y=xa（a≠0、1）在第一象限的图像可以分为三类：
只要掌握了这三种情况，然后根据幂函数的奇偶性，就可作出y=xa（a≠0、1）在其定义域内的完整图像，这时它的一切属性将是直观、显然的。
幂函数的图像一定经过第一象限，且一定不经过第四象限。
幂函数y=xa。
α只能从（±3，±2，±1，±1/2，±1/3）中取值。
幂函数y=x的图像表（见右表）：
在记忆这个表时要记住两点：
其一，图像的形态：
当n/m<1时，y=x在第一象限的图像下凹，呈上升趋势。
当0<n/m时，y=x在第一象限的图像下凸，呈上升趋势。
当n/m<0时，y=x在第一象限的图像下凹，呈下降趋势。
其二，图像所在的象限。
用一句话可以简单概括为：奇偶图在第一象限，偶奇图在第一、二象限，奇奇图在第一、三象限。
函数图像及其变换(完整版)
函数的图像及变换一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ⎧⎪⎧=⎪⎨⎪=⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称） 关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）例1：已知2()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1()f x x=，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（ ）.A. 1x -B. 12x +C.12x -+D. 12x- 例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ∀∈，()()01212f x f x ππ++-=；②当6π-<x 3π<时，'()0f x >”的一个函数是（ ） A.()sin(2)6f x x π=+B. ()cos(2)3f x x π=+C. ()sin(2)6f x x π=-D. ()cos(2)6f x x π=-①关于形如()y f x =的图像画法：当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.②关于形如()y f x =的图像画法当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.例3：画出下列函数的图像.（1）12log y x = （2）228y x x =--例4:设函数2()45f x x x =--.（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；（2）设集合{}()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.①左右平移把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像②上下平移把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数()y f x a =+的图像例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为 例5:把一个函数的图象按向量(,2)8a π=-平移后得到的图象的解析式为sin(2)24y x π=+-，则原来函数的解析式 .Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的1a倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21()2lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域； （2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.【练习】1.为了得到函数321x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（ ）.A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)yx x =+≥的图像关于y x =对称的是（ ）.3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()y f x =的图像与函数4log y x =的图像的交点的个数为（ ）.A.3B.4C.6D.84.将函数by a x a=++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（ ）.A. 1,0a b =-≠B. 1,a b R =-∈C.1,0a b =≠D. 0,a b R =∈ 5.已知21()f x x x =+，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.6.画出下列函数的图像.（1）ln y x = （2）26y x x =--7. 函数()2xf x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <.（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式； （2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，求实数λ的取值范围.6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.补充：请把相应的幂函数图象代号填入表格.①32x y =；②2-=x y ；③21x y =；④1-=x y ；⑤31x y =；⑥23x y =；⑦34x y =； ⑧21-=x y ；⑨35x y =.常规函数图像有：函数代号 ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号HI指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。
幂函数的概念和图象
R [0, ) y | y 0
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性 定点
[0, )
增
上增
(, 0]
上减
（1，1） （1，1） （0，0） （0，0）
(0, )
增
增
上减
(, 0)
上减
（1，1） （1，1） （1，1） （0，0） （0，0）
【P64】
在下列四个图形中，y＝x－12的图象大致是( )
幂函数 的概念和图象
高一数学 黄海忠
指数函数的概念
函数 y a（x a 0且a 1）叫做指数函数， 其中 x 是自变量，a 为常数.
a 1
0 a 1
一、幂函数的概念
形如 y x 的函数叫做幂函数， 其中 x 是自变量， 为常数.
(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x；③y＝4x2；④y＝x5
＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数
为( )
A．1 C．3
B．2
D．4
【P64】
(2)若函数 y＝(m2＋2m－2)xm 为幂函数且在第一象限为增函数，
则 m 的值为( A )
A．1
B．－3
C．－1
Hale Waihona Puke D．3二、幂函数的图像
对于幂函数，约定：只讨论 1, 2,3, 1 , 1的情形。
1
(4) y x2 , x 0； (5) y x1 , x 0．
y x3 y x2
yx
1
y x2 y x1
定点（1,1）
三.幂函数的性质
【课本P78表格】
yx
幂函数
§3.3 幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝⎛⎭⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．知识点一 幂函数的概念思考 y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2三个函数有什么共同特征？答案 底数为x ，指数为常数．梳理 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 知识点二 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质知识点三 一般幂函数的图象特征 一般幂函数特征(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．1．y ＝－1x 是幂函数．( × )2．当x ∈(0,1)时，x 2>x 3.( √ )3．y ＝32x 与y ＝64x 定义域相同．( × )4．若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( √ )类型一 幂函数的概念例1 已知y ＝(m 2＋2m －2)xm 2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3或1，n ＝32，所以m ＝－3或1，n ＝32.反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为一常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数．跟踪训练1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常数函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y ＝1不是幂函数． 类型二 幂函数的图象及应用例2 若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．解 设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )． (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )． (3)当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )． 引申探究若对于本例中的f (x )，g (x )，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试画出h (x )的图象．解 h (x )的图象如图所示：反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程．跟踪训练2 幂函数y ＝x α(α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么αβ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定答案 A解析 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23，N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴13＝⎝⎛⎭⎫23α，23＝⎝⎛⎭⎫13β， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.类型三 幂函数性质的综合应用 命题角度1 比较大小例3 设212333222,,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．b >c >a D ．c >b >a答案 B解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x 在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ；∵f (x )＝23x 在(0，＋∞)上为增函数，223322,35⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即a >c .∴b >a >c .故选B. 反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)⎝⎛⎭⎫250.3与(0.3)25. 解 (1)∵0<0.3<1，∴y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数． 又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)∵y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35.∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 0.3在(0，＋∞)上为增函数， ∴由25>0.3，可得⎝⎛⎭⎫250.3>0.30.3.① 又y ＝0.3x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∴0.30.3>0.325.② 由①②知⎝⎛⎭⎫250.3>0.325.命题角度2 幂函数性质的综合应用例4 已知函数f (x )＝mx 2－2mx ＋m －1x 2－2x ＋1(m ∈R )，试比较f (5)与f (－π)的大小．解 f (x )＝mx 2－2mx ＋m －1x 2－2x ＋1＝m (x －1)2－1(x －1)2＝m －1(x －1)2＝m －(x －1)－2. f (x )的图象可由y ＝x－2的图象首先作关于x 轴的对称变换，然后向右平移1个单位长度，再向上(m ≥0)(或向下(m <0))平移|m |个单位长度得到(如图所示)．显然，图象关于x ＝1对称且在(1，＋∞)上单调递增， ∴f (－π)＝f (2＋π)，而2＋π>5， ∴f (－π)＝f (2＋π)>f (5)．反思与感悟 幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去确定α的取值．跟踪训练4 已知幂函数f (x )＝21mmx + (m ∈N ＋)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解 (1)∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＝m ×(m ＋1)为偶数．令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f (x )为增函数． (2)2112222,m m+==∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)， ∴f (x )＝12x ，由(1)知f (x )在定义域[0，＋∞)上为增函数． ∴f (2－a )>f (a －1)等价于2－a >a －1≥0， 解得1≤a <32.1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝⎛⎭⎫12＝22， 所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 2．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116 C ．2 D.12答案 D3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．下列是y ＝23x 的图象的是( )答案 B5．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 答案 D1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α＞0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸；0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．一、选择题1．下列函数中是幂函数的是( ) A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x 3D ．y ＝x ＋1答案 C解析 根据幂函数的定义知，y ＝1x 3是幂函数，y ＝x 4＋x 2，y ＝10x ，y ＝x ＋1都不是幂函数．2．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．3答案 A解析 由y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数知，m 2＋m －5＝1，解得m ＝2或m ＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m <0.故m ＝－3.3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 答案 C解析 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故选C.4．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y ＝x 25在x >0时是增函数，所以a >c ，y ＝⎝⎛⎭⎫25x在x >0时是减函数，所以c >b .5．已知幂函数f (x )＝223(22)n n n n x －＋－ (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( ) A ．－3 B ．1 C ．2D ．1或2答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6．若α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 ∵幂函数y ＝x α是奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又∵幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，∴α＝13，1,3.故选A.二、填空题7．已知函数：①y ＝3x －2；②y ＝x 4＋x 2；③y ＝3x 2，其中幂函数有________个． 答案 1解析 ③y ＝3x 2＝23x ，符合幂函数的定义；①y ＝3x －2，②y ＝x 4＋x 2不符合幂函数的定义． 8．判断大小：5.25－1________5.26－2.(填“>”或“<”)答案 > 解析 ∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y ＝5.26x 是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.9．函数f (x )＝(x ＋3)－2的单调增区间是________．答案 (－∞，－3)解析 y ＝x －2＝1x 2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)．10．已知幂函数f (x )＝21m x－ (m ∈Z )的图象与x 轴，y 轴都无交点，且关于原点对称，则函数f (x )的解析式是________． 答案 f (x )＝x －1解析 ∵函数的图象与x 轴，y 轴都无交点， ∴m 2－1<0，解得－1<m <1. ∵图象关于原点对称，且m ∈Z ，∴m ＝0，∴f (x )＝x －1.三、解答题11．已知幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，求m 的值．解 因为f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，所以3m －5<0，故m <53.又因为m ∈N ，所以m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，f (x )＝x －5，f (－x )≠f (x )，不符合题意；当m ＝1时，f (x )＝x －2，f (－x )＝f (x )，符合题意．综上知，m ＝1.12．已知幂函数()223m m f x x --=(m ∈Z )在(0，＋∞)上单调递减，且为偶函数．(1)求f (x )的解析式；(2)讨论F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x )的奇偶性，并说明理由． 解 (1)由于幂函数()223m m f x x --=在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2－2m －3<0，求得－1<m <3，因为m ∈Z ，所以m ＝0,1,2.因为f (x )是偶函数，所以m ＝1，故f (x )＝x －4.(2)F (x )＝af (x )＋(a －2)x 5·f (x ) ＝a ·x －4＋(a －2)x .当a ＝0时，F (x )＝－2x ，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝－F (－x )， 所以F (x )＝－2x 是奇函数；当a ＝2时，F (x )＝2x 4，对于任意的x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有F (x )＝F (－x )，所以F (x )＝2x4是偶函数；当a ≠0且a ≠2时，F (1)＝2a －2，F (－1)＝2， 因为F (1)≠F (－1)，F (1)≠－F (－1)，所以F (x )＝ax 4＋(a －2)x 既不是奇函数也不是偶函数．13．已知幂函数f (x )的图象过点(25,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若函数g (x )＝f (2－lg x )，求g (x )的定义域、值域． 解 (1)设f (x )＝x α，则由题意可知25α＝5， ∴α＝12，∴f (x )＝12.x(2)∵g (x )＝f (2－lg x )＝2－lg x ，∴要使g (x )有意义，只需2－lg x ≥0，即lg x ≤2，解得0＜x ≤100.∴g (x )的定义域为(0,100]，又2－lg x ≥0，∴g (x )的值域为[0，＋∞)．四、探究与拓展14．已知实数a ，b 满足等式1132,a b =下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ；④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．(填上所有可能成立式子的序号)答案 ①③⑤解析 首先画出y 1＝12x 与y 2＝13x 的图象(如图)，已知1132a b =＝m ，作直线y ＝m .若m ＝0或1，则a ＝b ；若0<m <1，则0<b <a <1；若m >1，则1<a <b .从图象知，成立的是①③⑤.15．已知幂函数f (x )＝x (2k－1)(3－k )(k ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数． (1)求f (x )的解析式；(2)求当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx 是单调函数，求m 的取值范围．解 (1)∵幂函数f (x )＝x (2k －1)(3－k )(k ∈Z )在(0，＋∞)上为增函数，∴(2k －1)(3－k )>0，解得12<k <3. ∵k ∈Z ，∴k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，(2k －1)(3－k )＝2，满足函数f (x )为偶函数，当k ＝2时，(2k －1)(3－k )＝3，不满足函数f (x )为偶函数，∴k ＝1，且f (x )＝x 2.(2)∵f (x )＝x 2，∴g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－mx ，函数g (x )的对称轴为直线x ＝m 2. 要使函数g (x )当x ∈[－1,1]时是单调函数，则m 2≤－1或m 2≥1， 解得m ≤－2或m ≥2，故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．。
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时曲线上凸；当α>1时，曲线下凸；直α线＝1
时，为过(0,0)点和(1,1)点的(1,1)
．
❖ (2减)当α<0时，幂函数图象总经过 点， 且在第一象限为 函数．
❖ (3)α＝0时y＝x0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除去(0,1)点)．
❖ 二、函数的图象与图象变换
❖ 1．画图
❖ 描点法
❖ (2)比较大小：0.80.7与0.70.8.
❖ 解析：(1)∵0<0.71.3<1,1.30.7>1， ∴0.71.3<1.30.7
❖ 考察幂函数y＝xm由(0.71.3)m<(1.30.7)m
❖ 知y＝xm为(0，＋∞)上的增函数，∴m>0.
❖ (2)指数函数y＝0.8x是减函数， ∴0.80.7>0.80.8
❖ 若(a＋1)－ <(3－2a)－ ，则a的取值范 围是______．
❖ 解析：幂函数y＝x－ 在(0，＋∞)上为减 函数，函数值y>0；在(－∞，0)上也是减 函数，函数值y<0.
❖ 答案：(
)∪(－∞，－1)
❖ [例2] 设x∈(0,1)时，函数y＝xp的图象 在直线y＝x的上方，则p的取值范围是 ________．
❖ 解析：(1)当p>0时，根据题意p<1， ∴0<p<1.
❖ (2)p＝0时，函数为y＝1(x≠0)，符合题 意．
❖ (3)p<0时，在(0，＋∞)上过(1,1)点，函数 为减函数，符合题意．
❖ 综上所述，p的取值范围(－∞，1).
❖ 解析：由幂函数图象特点， ❖ C1、C2对应n>0，C3、C4对应n<0 ❖ ∴曲线C1、C2、C3、C4对应n为2， ，
❖ 重点难点 ❖ 重点：①幂函数的定义、图象与性质． ❖ ②函数图象三种基本变换规则． ❖ 难点：①幂函数图象的位置和形状变化与
指数的关系． ❖ ②利用基本变换规则作函数图象
❖ 知识归纳 ❖ 一、幂函数的定义和图象 ❖ 1．定义：形如y＝xα的函数叫幂函数(α为
常数) ❖ 要重点掌握α＝1,2,3， ，－1,0，－ ，
❖ 2．识图
❖ 绘图、识图是学习函数、应用函数的一项 重要基本功．识图要首先把握函数的定义 域、值域、单调区间、奇偶性或图象的对 称特征、周期性、与坐标轴的交点，另外 有无渐近线，正、负值区间等都是识图的 重要方面 ，要注意函数解析式中含参数 时．怎样由图象提供信息来确定这些参 数．
❖ 3．用图 ❖ 函数图象形象地显示了函数的性质，为研
❖ ④y＝f－1(x)与y＝f(x)的图象关于直线y＝x 对称．
❖ ⑤y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴 下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，
❖ (3)伸缩变换
❖ ①y＝Af(x)(A＞0)的图象，可将y＝f(x)图 象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横 坐标不变而得到．
❖ ②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图 象上所有点的横坐标变为原来的 倍， 纵坐标不变而得到．
❖ 二、图形变换方法
❖ 作图是学习和研究函数的基本功之一．变 换法作图是应用基本函数的图象，通过平 移、伸缩、对称等变换，作出相关函数的 图象．应用变换法作图，要求我们熟记基 本函数的图象及其性质，准确把握基本函 数的图象特征．
❖ [例1] (1)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m，求m的 范围．
－ ，－2. ❖ ∴选B.
❖ 幂函数y＝xm2－2m－ 3(m∈Z)的图象如右图 所示，则m的值为 ()
❖ A．－1<m<3
❖ B．0
❖ C．1
❖ D．2
❖ 解析：∵y＝xm2－2m－3在第一象限为减函 数
❖ ∴m2－2m－3<0即－1<m<3
❖ 又m∈Z ∴m的可能值为0,1,2.
❖ 代入函数解析式知，当m＝1时，为偶函 数，∴选C.
❖ ②上下平移：y＝f(x)＋b的图象，可由y＝ f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b| 个单位而得到．
❖ (2)对称变换
❖ ①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对 称．
❖ ②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对 称．
❖ ③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对 称．
－2时的幂函数 ❖ 2．图象：(只作出第一象限图象)
❖ 幂函数y＝xα(α∈R)的图象如下表：
α＝
α<0
0<α<1
α>1
p、q都 是奇数
p为奇数， q为偶数
p为偶数， q为奇数
❖ 3.性质：
❖ (1)当α>0时，幂函数图象(0都,0) 过 (1,1) 点和
点；且在第增 一象限都是 函数；当0<α<1
究数量关系提供了“形”的直观性，它是 探求解题途径，获得问题结果的重要工 具．要重视数形结合解题的思想方法．
❖ 4．图象对称性的证明 ❖ (1)证明函数图象的对称性，即证明其图
象上的任意一点关于对称中心(或对称轴) 的对称点仍在图象上．
❖ 误区警示
❖ 1．对于函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)一定要区 分开来，前者将y＝f(x)位于x轴下方的图 象翻折到x轴上方，后者将y＝f(x)图象在y 轴左侧图象去掉作右侧关于y轴的对称图， 后者是偶函数而前者y≥0.比如y＝|sinx|与 y＝sin|x|.
❖ 答案：C
❖ [例4] 已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N＋) 的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上 是减函数，求满足(a＋1)－
❖ 2．由函数y＝f(x)的图象变换成y＝g(x)的 图象，变换顺序为①→②时，由y＝g(x) 的图象变换成y＝f(x)的图象则是相反的变 换且顺序也相反，即②→①.
Hale Waihona Puke ❖ 一、数形结合的思想❖ 函数的图象可以形象地反映函数的性 质．通过观察图形可以确定图象的变化趋 势、对称性、分布情况等．数形结合借助 于图象与函数的对应关系研究函数的性质， 应用函数的性质．其本质是：函数图象的 性质反映了函数关系；函数关系决定了函 数图象的性质．
❖ ①确定函数的定义域；②化简函数解析式； ③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周 期性、对称性、值域)；其次列表(尤其注 意特殊点，如最大值、最小值、与坐标轴 的交点)，最后描点，连线．
❖ 图象变换法
❖ (1)平移变换
❖ ①左右平移：y＝f(x－a)的图象，可由y＝ f(x)的图象向左(a<0)或向右(a>0)平移|a| 个单位而得到．