人教版初二数学下册平行四边形判定(3)中位线定理
人教版八年级数学下册_2021春《第3课时_平行四边形的判定》教学设计
人教版八下18.1.2平行四边形判定(第3课时)教学设计教学流程图地位与作用本节内容是在学习平行四边形性质与判定后进行的，是平行四边形性质的应用．在研究平行四边形性质时，我们借助三角形的有关知识进行研究，在学习了平行四边形后，也可以利用平行四边形来研究三角形，体现了辩证与联系的思想．三角形中位线定理是三角形中重要的定理，它揭示了连结三角形任意两边中点所得的线段与第三边的位置关系和倍分关系，与相似等内容有着密切的联系，在图形证明和计算中具有广泛的应用．概念解析三角形的中位线平行于第三边并且等于等三边的一半，在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系，两者在这里得到完美呈现．应用这个定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系，根据具体情况，灵活使用．思想方法三角形的中位线定理的探索和证明，可以完整地体现“合情推理，提出猜想——演绎推理，证明猜想”的几何探究过程，引导学生经历这样的过程，有利于他们体会两种推理功能不同、相辅相成；三角形中位线定理的发现和证明过程体现了归纳、类比、转化等思想方法，核心是通过构造平行四边形，把三角形的问题转化为平行四边形问题．知识类型三角形中位线定理属于原理与规则类知识，需要学生在经历探索、猜想、证明的过程中理解新知识，在联系与应用中将知识转化为能力．教学重点基于以上分析，本课的教学重点是：探索并证明三角形的中位线定理.教学目标解析教学目标1．通过作图、猜想、验证等得出三角形的中位线定理，并能给出证明．2．会利用三角形的中位线定理解决有关问题．目标解析达成目标1的标志是：理解三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的区别；能通过作图测量等手段猜想三角形中位线与第三边的数量关系与位置关系；能抓住中点这个关键信息，利用对角线互相平分构造平行四边形进行定理的证明.达成目标2的标志是：明确三角形中位线定理的条件与结论；对于题目中存在两个中点的问题能自动联想中位线定理是否可用；在只有一个中点的情况下，根据题目信息（包括结论信息）添加辅助线；能在复杂图形中能敏捷感知中位线并灵活运用三角形中位线定理解决问题．教学问题诊断分析具备的基础学生已经掌握了三角形全等、平行线、平行四边形的性质和判定等知识，在前面的学习中积累了较丰富的几何猜想与论证的经验，并且具备一定的分析思维能力.与本课目标的差距分析八年级学生知识的迁移能力有限，数学思想方法的运用也不够灵活，三角形的中位线定理既要证明线段的位置关系，又要证明线段的倍分关系，对于几何逻辑思维尚不成熟的八年级学生来讲，难度较大．存在的问题三角形的中位线定理的证明的突破口在于添加辅助线，学生在前面的学习中，添加辅助线的练习相对较少，因此，如何适当添加辅助线、是学生的困难所在.应对策略教学中，教师让学生通过观察和动手测量，作出初步猜想，再引导学生去证明猜想，重点分析辅助线是如何想到的．通过问题串的策略让学生意识到所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，结合结论与条件的中点信息，联想已学过的知识，在追问与交流中发现构造平行四边形来证明的方法，同时及时回顾与多种证法来深化认识加深体会．教学难点基于以上分析，本课的教学难点是：证明三角形的中位线定理时添加辅助线．教学支持条件分析可印发练习纸以便于学生构造不同的平行四边形添加辅助线，可用实物投影或希沃授课软件展示学生的成果；用ppt展示定理的证明；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学支持条件分析可印发练习纸以便于学生构造不同的平行四边形添加辅助线，可用实物投影或希沃授课软件展示学生的成果；用ppt展示定理的证明；可用常用统计软件统计显示测评结果；根据测评结果，对没有达标的部分内容、没有达标的部分同学，用点对点技术推送相应的训练资源．教学过程设计课前检测1．四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种答案：B2．A，B，C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A，B，C，D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有() A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C3．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是()A．AD＝BC B．CD＝BF C．∠A＝∠C D．∠F＝∠CDE答案：D4．四个点A，B，C，D在同一平面内，现有下列四个条件：①AB＝CD；②AD＝BC；③AB∥CD；④AD∥BC，从这些条件中任选两个能使四边形ABCD是平行四边形的选法有()A．3种B．4种C．5种D．6种答案：B5．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14答案：C设计意图：本组课前检测题主要检查学生对于平行四边形判定掌握的情况．前4题是关于平行四边形的判定，最后一题是关于三角形中位线定理的问题，设计此问题的意图是检查学生对于三角形中位线定理的直观感知．这些知识都是本节课学生所需要的，如果学生这些知识不完整，必将影响本节的学习，需要进行适当的复习．新课学习1.掌握概念，明确区别如图1，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.问题1：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？师生活动设计：教师直接提出问题，让学生通过作图，观察得出中位线与中线的区别：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点．设计意图：让学生理解三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的区别.2.提出问题，观察猜想问题2：观察图1，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？师生活动设计：教师直接提出问题，让学生通过观察和动手测量DE，BC的长度，作出初步猜想．设计意图：让学生通过观察测量，提出猜想.3.分析问题，寻找思路问题3：要确定猜想正确，必须进行证明，这首先要对照图形写出已知、求证．请试一试！（已知：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点.求证：DE∥BC且DE=BC）追问1：怎样分析证明思路？师生活动设计：教师引导学生分析，判断两直线平行，可以用平行线的判定，也可以用平行四边形性质，由于已知条件是线段关系（中点导致出现线段相等），而从线段相等出发证线段平行，应该用平行四边形判定，图中没有平行四边形，因此需要构造一个平行四边形.另外证明线段的倍分可以进行截长或补短.根据以上分析，让学生构造不同的平行四边形如图2(1)---（5）．设计意图：让学生运用化三角形问题为平行四边形问题的思想，构造出不同的联系条件和结论的几何模型——平行四边形，形成不同的解题方案．追问2：请各自试一试，上面的五种方案是否都可行，如可行，说出辅助线的画法，如不可行，请说明原因．师生活动设计：学生在独立思考的基础上分小组讨论，教师进行必要的启发．设计意图：在上述方案中，图2中的（1）（2）（3）无法实施，因为根据现有的知识无法判定平行四边形．而方案（4）(5)可行．让学生经历从失败到成功的过程，让学生体会数学问题的解决过程伴随着挫折，需要持之以恒地理性思考．4.推理论证，形成定理问题4：请用适当的方法证明猜想．师生活动设计1：教师引导学生针对方案4，5进行证明．方案4有以下两种证明方法（方案5证明方法与方案4相类似）．方法1：如图3，延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）方法2：如图4，延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．问题5 ：请用自己的语言说出得到的结论．师生活动设计：教师引导学生用文字语言和符号语言描述定理内容：（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）结合图形给出数学表达形式：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，且DE=BC .设计意图：用演绎推理证明结论，培养学生严谨的科学态度．由学生讨论得到添加辅助线的方法，提升学生分析与解决问题的能力．目标检测1：如图5，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8，D，E，F，分别是边BC，AC，AB的中点，斜边上的中线是线段_______，直角△ABC的中位线分别是____________，∠CED=______°，四边形AEDF的周长为__________.设计意图：辨别三角形中位线与中线的区别，能直接应用中位线定理.如果学生能够顺利完成，则进行例1的教学，如果存在问题，则引导学生结合图形再次理解三角形中位线定理.5.尝试运用，掌握定理例1 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．师生活动设计：教师引导学生分析，因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．证明：如图6，连结AC，△DAC中，∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，HG=AC（三角形中位线性质）．同理EF∥AC，EF=AC．∴HG∥EF，且HG=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．设计意图：例1是三角形中位线性质与平行四边形的判定的综合应用，通过巧妙构造三角形，并运用三角形的中位线定理来解题，体会三角形中位线定理的魅力，巩固新知识．可以借助与多媒体或教具把辅助线的添加方法讲清楚，证明完成后，可得出一般认识：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．这个结论今后也会经常会用到．目标检测2：如图7，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.求证：(1)∠A=∠DEF；(2)四边形AFED的周长等于AB+AC.设计意图：能运用三角形中位线定理以及平行四边形的判定解决有关问题．如果学生能顺利完成，则展开追问1，如果存在困难，则引导学生关注“点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点.”这个条件，从而应用三角形中位线定理解决问题.追问1：图中有哪些平行四边形？设计意图：通过找平行四边形让学生进一步巩固新知识．课堂小结问题6：通过本节课的研究，你感悟到什么？还有什么疑惑？师生活动设计：让学生回顾课堂中学到的知识，并畅谈由此受到的启发，教师在倾听学生的回答的同时注意适时的归纳总结.设计意图：学生自主小结，提高学生的数学概括表达能力，增强学生学习过程中的反思意识．有助于学生在归纳过程中把所学的知识条理化、系统化．目标检测设计1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC 和BC的中点M，N，如果测得MN＝20m，那么A，B两点间的距离是____m.2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为()A．50°B．60°C．70°D．80°3．一个三角形的周长是120cm，过三角形各边的中点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是_______cm．4．如图，AD是△ABC的中线，EF是中位线. 求证：AD与EF互相平分.5．已知：如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．。
中位线判定定理
中位线判定定理中位线判定定理，又称为均值判定定理，是由英国数学家康托尔所提出的一种基本数学定理。
它通过比较直线或圆弧与特定点之间的距离，来求出该直线或圆弧的中点，也就是中位线。
该定理表明，任意三个不共线的点，可以施加一定的条件决定出一个中点，使得它们到中点的距离相等，而这个中点就是中位线。
中位线判定定理可以用于确定一个确定的中位线。
通常情况下，中位线判定定理指的是三个不共线的点，如果将这三个点连接起来，形成一个三角形，那么中位线就会在这三角形的外侧，两个点到中位线的距离都是一样的。
也就是说，中位线判定定理就是根据三个不共线的点，来求出他们三个点到同一直线的距离都是相等的，而这个直线就是中位线。
中位线判定定理的应用非常广泛，其中最重要的就是用于求解平面图形的质心，即重心。
重心是指一个重量平均分布的点，即把一个平面图形分割成若干个等重量的部分，每一部分的重量之和与总重量相等，这样重心就是它们之间的中点。
中位线判定定理可以用来求出这样一个重心，即任意三个不共线的点，将它们连接起来，求出中位线，它们到中位线的距离都是一样的，而这个中点就是重心。
此外，中位线判定定理还可以应用于多边形的面积计算，多边形的面积可以根据它的各个顶点的坐标和中位线判定定理来计算，它可以让我们根据一些线段或者圆弧的中点，来推算一个多边形的面积。
中位线判定定理也可以用于求解几何图形的重心，对于曲线或者曲面，只要将它们分割成若干个等重量的部分，就可以采用中位线判定定理来求解曲线或曲面的重心。
总之，中位线判定定理是一个十分重要的数学定理，它可以用来求解一个确定的中位线，以及重心和多边形的面积，也可以用来求解曲线或曲面的重心，因此它在几何图形、力学以及其他几何问题中都有着重要的作用。
人教版初二数学下册平行四边形的判定第三课时三角形中位线
平行四边形的判定第三课时三角形中位线A/ \~~\E/ \B --------------------- C执教人：鲁玉海店桥初级中学18.1.2平行四边形的判定（第3课时）学习目标:知识与技能： 理解并掌握中位线的概念，掌握它的性质；过程与方法： 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力；情感态度与价值观：灵活地运用三角形中位线性质解决实际问题•体会数学中的 类比、转化等思想方法。
教学重难点： 重点：三角形中位线性质的证明与应用•难点：利用三角形中位线性质解题时辅助线的添加方法教学设计 复习引入： 问题1:什么是三角形的中线？在一个三角形中有多少条中线？答:连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线； 三角形中共有三条中线.问题2:若连接三角形两个中点形成的线段（如图连 EF ）,那么它叫什么呢? 出示课题：三角形的中位线 给出定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 问题1:你还能画出几条三角形中位线 问题2:三角形的中位线和三角形的中线异同 猜一猜：△ ABC 的中位线DE 与 BC 的关系怎样？（从位置和数量关系想）追问：你能证明吗？ 推理论证： 猜想：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 . 如（探究2）图，已知点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，求证：// BC 且 DE=-BC.2证法1:（教材P48详解） 证法2：如图（1），延长DE 到F ,使EF=DE ，连接CF , 由厶ADECFE ，可得 AD // FC ,且AD=FC ，因此有 BD // FC , BD=FC ,所以四边形BCFD 是平行四边形.所 以 DF // BC , DF=BC ，因为 DE= DF ，所以DE // BC 且 1DE =2BC -归纳：三角形的中位线性质是什么？答：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 设计方案：如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，在一个 DE C F⑴要求四人所分的形状大小相同，请设计合理的解决方案基础练习：练习1.如图，在△ ABC 中，D E 、F 分别是AB AC BC 的中点① 若/ ADE=65，则/ B=_度，为什么？② 若BC=8cm 则DE= cm ，为什么？ ③ 若 AC=4cm,BC=6cmAB=8cm 则厶 DEF 的周长=④ 若△ ABC 的周长为24,A DEF 的周长是⑤ 图中有 _____ 平行四边形⑥ 若△ ABC 的面积为24,A DEF 的面积是典例讲解: 例1:如图（1），在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分 别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点•求证：四边形 EFGH 是平行四边形•分析：因为已知点E, F ，G, H 分别是线段的中点， 可以设法应用三角形中位线性质找到四边形 EFGH 的 边之间的关系.由于四边形的对角线可以把四边形分成 两个三角形，所以添加辅助线，连接 AC 或BD ，构造 “三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证.证明：连接AC （图（2））, △ DAG 中，••• AH=HD , CG=GD ,••• HG // AC , HG=丄AC （三角形中位线性质）•2同理 EF / AC , EF=1AC .2HG / EF , 且 HG=EF . 四边形EFGH 是平行四边形.此题可得结论：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形. 变式训练： 如下图，在矩形 ABCD 中，R 、P 分别是DC 、BC 上的点，E 、F 分别是AP 、PR 的中点，当点P 在BC 上从点B 向C 移动而R 不动时，则下列结论成立的是（）A.线段EF 的长度逐渐增大B.线段EF 的长度逐渐减小C.线段EF 的长度不会改变D.线段EF 的长度不能确定cmED课堂小结：1. 三角形中位线的定义。
平行四边形的中位线性质
平行四边形的中位线性质平行四边形是几何学中常见的图形之一，具有多种性质和特点。
其中，平行四边形的中位线性质是其重要的性质之一。
本文将详细介绍平行四边形的中位线性质，以帮助读者更好地理解和运用这一性质。
1.中位线的定义首先，我们先来了解一下什么是中位线。
对于平行四边形ABCD，如果AD和BC的中点分别为E和F，那么直线EF就是平行四边形ABCD的中位线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点中点的直线。
2.中位线的性质接下来，我们来讨论平行四边形中位线的性质。
根据中位线的定义，我们可以得出以下结论：（1）平行四边形的中位线是平行四边形的对角线的中线。
换句话说，中位线将平行四边形分成了两个面积相等的三角形。
（2）平行四边形的中位线互相平行且等长。
这是由于中位线连接了平行四边形的两对相对顶点的中点，因此中位线本身也是平行四边形的一对相对边的中线，从而保证了互相平行且等长的性质。
（3）中位线长度的计算：根据平行四边形的性质，我们可以利用中位线长度相等的性质来计算中位线的长度。
设平行四边形ABCD的中位线为EF，已知AD的长度为a，BC的长度为b，则EF的长度为(a + b) / 2。
3.中位线的应用平行四边形的中位线性质在解题中具有重要的应用价值。
有了中位线的性质，我们可以更快速地求解平行四边形相关问题，例如计算面积、寻找性质等。
同时，中位线还常用于证明平行四边形的各种定理，应用广泛且灵活。
4.总结平行四边形的中位线性质是平行四边形的重要性质之一，具有诸多特点和应用。
通过本文的介绍，相信读者对平行四边形的中位线性质有了更深入的了解。
在学习和应用几何知识时，务必熟练掌握平行四边形的中位线性质，提高解题效率和准确性。
祝愿读者在几何学习中取得更好的成绩！。
《平行四边形性质与判定的应用：中位线定理》
三角形中位线定理的探索及其判定一、说教材三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
(地位与关系)三角形中位线定理的探索及其判定，属于平行四边形性质定理与判定定理的应用，因而，在教材中这部分知识被安排在平行四边形性质与判定之后。
但从研究方法的角度而言，三角形中位线定理的研究较平行四边形的性质与判定有很大的不同。
后者，我们主要是利用三角形及其全等来研究平行四边形，而前者，则主要是利用我们学习的平行四边形去研究三角形中的有关问题。
(作用)三角形中位线定理涉及到了线段的位置关系，也涉及到了数量关系，特别是倍长关系，由于这些特殊性，使得其应用极其广泛。
同时，中位线定理证明过程中所涉及到的思考问题的方法对于相关类型的题目的解答具有启发意义。
二、教材的设计思想教材中关于三角形中位线定理的叙述大致思路如下：首先，给出三角形中位线的定义，辨别出中位线与中线之间的区别；其次，引导学生，提出猜想，讨论中位线与底边的位置关系与数量关系；最后，引导学生，证明猜想，得出中位线定理。
三、教学目的以及重难点教学目的：掌握三角形中位线定理及其应用。
难点：理解中位线定理的证明过程四、教学过程①回顾知识，引出问题师：前几节课，我们学习了平行四边形的性质定理与判定定理，大家还记得当时我们的结论是如何得出来的，比如说平行四边形的性质：对角线相互平分，这是如何得到的？生：通过证三角形全等得到的。
师：还比如说：我们知道两组对边相互平行的四边形是平行四边形，这是根据平行四边形的定义得到的判定定理。
而还有一些判定定理：如对角线相互平分的四边形是平行四边形，这个判定定理是如何得出的，大家还记得吗？生：记得，通过证三角形全等，得到内错角相等，然后得到对应边相互平行，得出是平行四边形。
师：那么，我们就会发现，关于平行四边形的性质定理、判定定理的得出，都是利用三角形的性质，特别是三角形全等。
也就是说，我们是利用三角形及其性质来研究平行四边形的性质。
平行四边形判定3-中位线
A
理解三角形的中位线 定义的两层含义:
D B
E
C
① 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为△ABC的 中位线； ② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 中点 。
获取新知 猜一猜：
△ ABC的中位线DE与BC的 关系怎样？（从位置和数量 关系猜想） D A
E
1 DE∥BC, DE BC 2
提示:证明△ABF≌ △ECF,
得BF=CF,再证OF是 △ABC的中位线. B
A
G F E O
D
C
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF＝ ∠FGH。
A H E F B C O G
D
【例4】 已知,如图所示,AD为△ABC的中线,E为AC上一点,连接BE 交AD于F,且AE=FE. 求证:BF=AC. 证明:延长AD到N,使DN=AD,连接BN,CN, ∵BD=CD,AD=ND,∴四边形ABNC是平行四边形. ∴BN=AC,BN∥AC. ∴∠FAE=∠BND.
你还想到了什么？
B
F
D
C
2.如图，△ABC为等边三角形，D、F 分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以 AD为边作等边三角形ADE。 (1)求证：△CBE≌△ACD； (2)点D在线段BC上何处时，四边形 CDEF是平行四边形，且∠DEF= 30°，证明你的结论。
A
E B
F C
D
（ 1 ）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
B
C
所以 ，四边形BCFD是平行四边形
∴DE ∥ BC 且 DE=1/2BC
人教版八年级数学下册知识点第十八章《平行四边形》
第十八章平行四边形【思维导图】【平行四边形】(1)平行四边形的定义与表示定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
表示：平行四边形用“□”表示。
2)符号“□”必须与表示顶点的字母同时使用，不能单独使用。
的顺序依次排列。
点拨：1)在用“□”表示平行四边形时， 应把表示顶点的字母按顺时针或逆时针边形。
平行四边形ABCD 记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ∥BC ，那么四边形ABCD 是平行四(2)平行四边形的基本元素如图，在□ABCD 中，邻边：AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB对边：AB 和DC ，AD 和BC邻角：∠BAD 和∠ADC ，∠ADC 和∠DCB ，∠DCB 和∠ABC ，∠ABC 和∠BAD 对角：∠BAD 和∠BCD ，∠ABC 和∠ADC对角线：AC 和BD【平行四边形的性质】性质1：平行四边形的对边相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AD=BC性质2：平行四边形的对角相等几何语言：如图1，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C ，∠B=∠D下面证明性质1和2证明：如图2，连接AC。
∵AD∥BC，AB∥CD∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠BCD性质3：平行四边形的对角线互相平分几何语言：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=0C=1/2AC，OB=OD=1/2BD【典例】(中考)在□ABCD中，下列结论一定正确的是(）A.AC⊥BDB.∠A+∠B=1800C.AB=ADD.∠A≠∠C解析：平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；@简单初中生平行四边形的邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误。
初二数学笔记详解-平行四边形判定及中位线定理
列 例 A 13.21 131- 1 -4 p砌轴上 Q 轴上
A B p cl为平形四边形 请写出0点的坐标
解析 10没点 ②分类讨论
③ห้องสมุดไป่ตู้算
①没点 pix 0 Q10 g
② 分类讨论
AB狃 那为对⻆线
胀为对⻆线
AB为对⻆线
AP为对⻆线
E 3 1 0
y 21-0 -4
ii
胀为对⻆线
1-0 -1 X
是口4个顶点
其中外4 1220 求化的最小值
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② ⻆ 两组对⻆分别相等 需证明
A C 43 D At43 180
③ 对⻆线 对⻆线缃 彩 10A 0C 013 01
反例 一组对边平行 一组对边相等
判定类 10选择合适条件 ②证明题
一组对边相等 泪确相等
s
的证们鈳
类型 选择条件
1 下列条件
10对⻆线互相平分 20两组对⻆相等
③一组对边平行 但邻⻆互补
SOBAC 2501-1013
25 彻
2个ㄨ4 6
24
Ah -8 B
趔 类型四 与纱点结合的平行四边形
组对边平行且相等 一般确定平行 求相等
例 口ABCD中 P在肋边上 速度为lank Q在13上 4ays cl从C向13运动 作往返运动 P到17结束 其中一个点
平行四边形判定的应用(三角形中位线定理)课件
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相平分。
详细描述
根据三角形中位线定理，如果一个四边形的对角线互相平分，则该四边形的两组对边分别平行，从而判定该四边 形是平行四边形。这一结论可以通过构造两个三角形并应用中位线定理来证明。
利用中位线定理证明四边形的对角线互相垂直
总结词
利用三角形中位线定理可以证明四边形的对角线互相垂直。
通过多做练习题，加深对三角形中位线定理的理解，提高运用能力，以便更好地 解决实际问题。
对未来学习的展望
三角形中位线定理是几何学中的重要定理之一，对于后续学 习其他几何定理和解决几何问题具有重要意义。
在未来的学习中，应继续深入研究和探索三角形中位线定理 的应用，提高自己的几何素养和解题能力。
THANKS.
总结与思考
05
三角形中位线定理与平行四边形判定的关系
三角形中位线定理是平行四边形判定 的一种重要应用，通过三角形中位线 定理可以判断一个四边形是否为平行 四边形。
三角形中位线定理的应用，使得平行 四边形的判定更加直观和易于理解， 有助于解决几何问题。
如何更好地应用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，应充分理解三角形中位线定理的含义和适用条件，掌握其应 用技巧。
第三步
根据已知条件和所证明的平行四 边形性质，我们可以进一步求解 题目中的问题。具体过程如下
解题过程与结果
由于四边形BEDF是平行四边形 ，根据平行四边形的性质，我 们有BE = DF。
由于E和F分别是AC和AB的中 点，根据中位线定理，我们有 BE = 0.5BC和DF = 0.5BC。
因此，我们得出结论：BE = DF = 0.5BC。
考察知识点
平行四边形的判定三角形中位线定理
点的实际距离？根据是什么？
D
A
D
C
B
E
挑战自我:
4.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别
以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边
三角形CAN。D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，
连结DE，EF。 求证：DE=EF
M
D
A
N
F
B EC
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理.
3. 在三角形中给出一边的中点时，通常要转化 为中位线来解题.
A
D
E
F
B
C
例1、如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC
的中点，求证DE∥BC且DE= 1 BC
2
证明：如 图，位延置长关DE系到 F，数使量关系
2DE=BC
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF AE=EC∴△ADE ≌ △CFE
、
D
∴AD=FC 、∠A=∠ECF
EF
证明：连接DE、DF
∵AD是△ABC的中线，EF是中位线， ∴点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点 A
∴ DE、DF也是△ABC的中线
∴DE∥AC，DF∥ AB （三角形的中位线的定义）
E
F
∴四边形AEDF是平行四边形
（平行四边形的定义） ∴ AD与EF互相平分
B
D
C
（平行四边形的对角线互相平分）
1.5 4D 1.5
F
G
B
8
C
C
8
B
F
G
D
例2、求证：
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
人教版初二数学下册19.1.2(三)平行四边形的判定——三角形的中位线
实验：请同学们 思考：将任意一个三 角形分成四个全等的 三角形，你是如何切 割的？（答案如图）、例习题分析别为△ABCa AB AC 的中点，求证：DE//BC 且 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过 的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行 四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等 的性质来证明结论成立，从而使问题得到解 决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四 边形.方法1:如图（1），延长DE 到F ,使EF=DE 连接 CF,由△ADE^zCFE 可得 AD// FC,且 AD=FC 因此有 BD//FC, BD=FC 所以 四边形BCFD 是平行四边形•所以DF//BC,DF=BC 因为 DE 』DF,所以 DE//BC 且 DE=12 2BC（也可以过点C 作CF//AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）图中有几个平行四边 形？你是如何判断的？教师提出问 题，充分调 动学生学习 的兴趣为学习下面的知 识打下基础。
例1 （教材P98例4） 如图，点D E 、分 DE=1 BC2学生和教师 共同完成分 析、证明这 道题的过 程。
落实到 笔头。
<1)（2）,延长DE 到F , 使EF=DE 连接CF CD 和AF ,又AE=EC 所以 四边形ADCF 是平行四 边形.所以AD//FC,且AD=FC 因为AD=BD 所以BD//FC,且BD=FC 所以四边形ADCF是 平行四边形.所以DF//BC 且DF=BC 因为 DE=1 DF,所以 DE//BC 且DE=1 BC.2 2定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形 的中位线. 【思考】：（1） 想一想：①一个三角形的中位线共有几 条？②三角形的中位线与中线有什么区别？（2） 三角形的中位线与第三边有怎样的关 系？（答：（1） 一个三角形的中位线共有三条； 三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端 点不同.中位线是中点与中点的连线；中线是 顶点与对边中点的连线.（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第 三边，且等于第三边的一半.） 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与 第三边，且等于第三边的一半.1拓展〗利用这一定理，你能证明出在设情境中分割出来的四个小 三角形全等吗？（让 学生口述理由）例2 （补充）已知：如图（1）,在四边形ABCD 中 , E 、F 、G H 分别是 AB BC CD DA 的中点.方法2:如图 小组合作完 成。
平行四边形判定(中位线)
第十八章
Байду номын сангаас平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
zx``xk
温故知新
D
B
E
C
定义：像DE这样，连接三角形两边中点 的线段叫做三角形的中位线．
探究思考
问题1： 一个三角形有几条中位线？
三条
B A
D F
E
C
问题2： 三角形中位线与三角形中线有什么区别？
A
端点不同
E
C B
A
D
B
D
C
探究思考
问题3： 如图，DE是△ABC的中位线， D DE与BC有怎样的关系？
B A
E
C
分析： 猜想：
两条线段的关系 DE 与BC的关系 位置关系 DE∥BC
1 ？ BC 数量关系 DE 2
问题4： 度量一下你手中的三角形，看看是 否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
探究思考
猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 D 第三边且等于第三边的一半．
B A
E
C
问题5：如何证明你的猜想？
三角形问题 （三角形中位线定理）
B F C
x+2x=12 x=4
A C E
x
D
2x
B
学以致用
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点 C，连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？ 根据是什么？ A
平行四边形判定(3)中位线定理
平行四边形判定（3）—三角形中位线一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。
三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。
三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。
三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
教学目标1、认知目标（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．2、能力目标引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。
3、德育目标对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。
4、情感目标利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。
教学重难点【重点】：三角形中位线定理【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。
八年级数学平行四边行课件-三角形的中位线
将音乐剧与学科教学嫁接能巧妙实现跨学科学习音乐剧是一种承载着戏剧、音乐和舞蹈等多种艺术形式的表演艺术，而学科教学是以学科知识为核心的教学活动。
将音乐剧与学科教学相结合，可以创造出一种全新的学习方式，实现跨学科学习。
本文将重点探讨如何巧妙实现跨学科学习，从而提高学生的学习兴趣和学习成绩。
音乐剧作为一种综合艺术形式，其表演中融入了音乐、舞蹈和戏剧等多个学科的知识。
这为将音乐剧与学科教学结合提供了理论基础。
音乐剧可以通过生动的表演形式，激发学生对学科的兴趣，增强学生对学科知识的理解和记忆。
通过参与音乐剧的排练和演出，学生可以亲身体验学科知识的实践运用，从而提高学习效果。
1.将音乐剧融入语文教学。
音乐剧中的歌曲和对话是学生学习语文的重要素材。
通过学习音乐剧剧本和演唱歌曲，学生可以提高对语言的理解和应用能力。
同时，学生可以通过分析音乐剧中不同角色的对话和互动，提高对文学作品中人物性格和关系的理解。
此外，学生还可以通过编写和演绎自己的音乐剧来提高创意和表达能力。
2.将音乐剧融入数学教学。
音乐剧中的音乐和舞蹈是学生学习数学的重要途径。
音乐剧中的音符和节拍可以帮助学生理解和掌握节奏和比例等数学概念。
同时，学生在排练和演出音乐剧时，需要运用数学知识计算时间、速度和力度等参数，这也可以帮助学生提高数学解决问题的能力。
3.将音乐剧融入科学教学。
音乐剧中的舞台布景和服装设计涉及到科学原理。
学生参与音乐剧的创作过程，可以学习到物理光学、声学和材料科学等相关知识。
此外，音乐剧中的主题和剧情往往涉及到生物、地理和环境等科学领域，学生可以通过参与音乐剧的角色扮演和表演，增加对科学知识的理解和应用能力。
4.将音乐剧融入艺术教育。
音乐剧中的音乐、舞蹈和戏剧等元素属于艺术范畴，学生通过参与音乐剧的排练和演出，可以提高音乐、舞蹈和戏剧等艺术表现能力。
同时，音乐剧也可以作为一个创意和表达的平台，帮助学生培养想象力、创造力和表达能力。
通过演出音乐剧，学生可以展现自己的才华，激发对艺术的热爱。
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平行四边形判定（3）—三角形中位线
一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。
三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。
三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。
三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。
二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸” 的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。
利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。
教学目标
1、认知目标
（1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。
（2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。
（3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力．
2、能力目标
引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和
解决问题的能力。
3、德育目标
对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。
4、情感目标
利用制作的Powerpoint 课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。
教学重难点
重点】：三角形中位线定理
【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用.
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景，导入课题；第二环节：教师讲授、传
授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。
第一环节：创设情景，导入课题
1•怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
操作：(1)剪一个三角形，记为△ ABC
(2 分别取AB,AC中点D,E,连接DE
(3)沿。
丘将厶ABC剪成两部分，并将△ ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD.
2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？
3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与EC有什么位置和数量关系呢?
目的：通过一个有趣的动手操作问题入手入手，激发学生学习兴趣，然后设置一连串的递进问题，启发学生逆向类比猜想：DE//EC，DE= - BC.
2
由此引出课题・。
效果：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣。
第二环节：教师讲授，传授新知
内容：引入三角形中位线的定义和性质
1 •定义三角形的中位线，强调它与三角形的中线的区别.
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
目的：通过学生前期的猜测，测量，初步感知三角形中位线的定理和性质。
第三环节：师生共析，证明定理
内容：已知：如图6-20 (1),。
丘是厶ABC 勺中位线. 求证:DE // BC,DE=V 2BC
证明：如图6-20(2),延长DE 到F 使
DE=EF 连接 CF.
在厶ADE 和厶CFE 中
•/ AE=CE / 仁/2,DE=FE
•••△ ADE^A CFE
•••/ A=Z ECF,AD=CF
• CF// AB •/ BD=AD
• BD=CF
•四边形DBCF 是平行四边形
• DF // BC,DF=BC
• DE // BC,DE=1 /2BC 目的：通过严密的几何证明将三角形中位线定理进行证明
学活动的经验. 第四环节：灵活运用，自我检测
内容:如图，顺次连结四边形四条边的中点， 所得的
四边形有什么特点？
学生容易发现：四边形ABCD 是平行四边形
已知：在四边形ABCD 中,
E, F , G , H 分别是 AB, BC, CD, DA 的中点, 如图
4-94.求证：四边形EFGH 是平行四边形.
分析：
(1)已知四条线段的中点，可设法应用三角形中位线定理，找到四边形EFGH 的边之间的关系.而 四边形
ABCD 的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连结 AC 或BD, 构造三角形的中位线”的基本图形.
练一练：
1. A 、B 两点被池塘隔开，在没有任何测量工具
的情况下，小明通过下面的
方法估测出了 A,B 间的距离：在AB 外选一点C,连结AC 和BC,并分别找出AC 和BC 的中点M 、N ,如果测得MN = 20m ,那么A 、B 两点的距离是多少？为什么 ？ 闍 6-20
,由感性到理性，使学生经历定理的探究过程，积累数
2•已知：三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm,贝U连结各边中点所成三角形的周长为cm,面积为______ cm2,为原三角形面积的_________
3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD AC
BD的中点。
四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结
论。
目的:巩固三角形中位线定理，同时也兼顾平行四边形判定定理的熟练运用第五环节：回顾小结，共同提升
1.教师提问引起学生思考:
(1 )这节课学习了哪些具体内容:
(2 )用什么思维方法提出猜想的?
(3 )应注意哪些概念之间的区别?
第六环节：分层作业，拓展延伸
C组习题6.6 1,2, 3 题B 组习题6.6问题解决第4题。