点斜式方程

k1k2 1
思考
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?
不一定平行
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
不一定相等
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,它们 平行吗?
平行ຫໍສະໝຸດ Baidu
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
一定垂直
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
y y0 k x x0
直线的方程就是直线上所有的点的横纵坐标所满足的 等量关系式
思考:经过点P0(x0，y0)的任意一条直线
的方程都能写成点斜式 y y
0
k ( x x0 ) 吗？
不能，直线的斜率必须存在。
当直线L的倾斜角为 0° 时，直线的方程是什么？
作业:
P100习题3.2 A组：1，5，6.
不一定
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
1.点斜式方程
y y0 k ( x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
P 1
y
4 3
2 1
x
知识探究（二）：直线的斜截式方程
思考1:若直线l的斜率为k，且与y轴 的交点为P(0，b)，则直线l的方程是 什么？
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( b , 0 )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
y b k ( x 0)
x
y kx b
斜率 截距
斜截式
3.2.1 直线的点斜式方程
乌海市第十中学 王祥
复习
问题：在直角坐标系内确定一条直线，需要哪些几何要素？ 1、已知直线上一点 P0(x0,y0) 和直线的倾斜角 （斜率 k)。 2、已知直线上两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 。 斜率公式： 1)k tan
( 900 ) ( x2 x1 )
y P0(x0,y0)
l与x轴平行或重合
倾斜角为0°
斜率 k=0
x
y0
l
y y0 0 ( x x0 )
y y0 0 y y0
问：直线x轴的方程是什么？
O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
y=0
当直线L的倾斜角为 90°时，直线的方程是什么？
y
l
P0(x0,y0) x
l与x轴垂直
当知道斜率和截距时用斜截式
斜截式方程的特点
y kx b
Y轴上的截距 与Y轴的交点 是（0，b）
y系数为1 直线的斜率
对斜截式方程深入理解：
问题1 ：能否用斜截式方程表示直角坐标平 面内的所有直线?
不能，直线的斜率k必须存在。 问题2：截距是不是距离？是不是一定要为 正？ 截距与距离不一样，截距可正、可为零、 可负, 而距离不能为负。
y
y1 y0 k x1 x0
P 0
P1
O
x1
x0
结论：上述1、2都成立， 说明方程 （1） 恰好为 过点P0(x0,y0)，斜率 为k 的直线L 上的任一 点的坐标所满足的关系 式，我们称该方程为直 x 线L的方程。
一、直线的点斜式方程:
由直线上一个已知点P 0 ( x0 , y0 ) 及其斜率k确定的方程
倾斜角为90°
斜率 k 不存在
不能用点斜式求方程
O x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
问：直线y轴的方程是什么？
x x0 0 x x0
x=0
点斜式方程
y
l
①倾斜角α≠90°
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l
y y0 0或y y0
例3:已知直线 l1 : y k1 x b1，l2 : y k2 x b ， 2
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？ (2) l1 l2 的条件是什么？
结论:
l1 : y k1x b1，l2 : y k2 x b2

l1 l2

l1 // l2
k1 k2 ,且 b1 b2
y y0 k ( x x0 )
（ 1）
由以上推导可知：
1、过点 P0 ( x0, y0 ) ，斜率为 k 的直线 l上的 每一点的坐标都满足方程（1）。
坐标满足方程（1）的每 一点是否都在过点P0 ( x0, y0 )， 斜率为 k 的直线 l 上呢？
设点 P 1 ( x1 , y1 ) 的坐标 x 1 , y1 满足方程
y2 y1 2)k x2 x1
注意：不是所有的直线都有斜率， 斜率不存在的直线与x 轴垂直。
在直角坐标系中，给定一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和斜率 k ，我们能否将直线上所有点的坐 标P（x, y)满足的关系表示出来？
y P
l
P 0
O
x
直线经过点 P0 ( x0 , y0 ) ，且斜率 为 k ，设点P( x, y)是直线 l 上 不同于点 P 0 的任意一点，因 为直线 l 的斜率为 k ，由斜率 公式得 y y0 k x x0 即
课后研学
1.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2 l 4 : y 3x 2 ； l5 : y 3x 2 ； l2 : y x 2 ； l3 : y x 2 ； 根据图形你能够推测直线有什么特点？
2.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2x l 2 : y 2 x 1 ；l3 : y 2 x 1 ； l4 : y 2x 4 ； l5 : y 2 x 4 ； 根据图形你能够推测直线有什么特点？
③倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0 0或x x0
典型例题
例1 直线 l经过点p0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直 线 l的点斜式方程，并画出图像 ． 解：直线 l 经过点p0(-2,3) ,斜率k=tan45°=1 代入点斜式方程得：y-3=(x+2） 画图时，因为直线l经过点 P0 p0(-2,3),所以只需再找出直线l 上的另一点p1(x1,y1) ，例如， l 取 x1=-1,y1 =4，得p1的坐标为 -2 -1 O (-1,4),过p0, p1 的直线即为所求， 如图所示．
数学之美
y
y x2
y 2x 4
y
y 2x
y2
y 2x 4
o
y 3x 2
x y x 2
y 3x 2
y 2x 1
o
x
y 2x 1
直线 y kx 2 是过定点（0， 直线 y 2 x b 表示斜率为2的 2）的直线束； 一系列平行直线。
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
形式
条件 过点( x0,y0), 斜率为k
方程
应用范围
k存在 y y0 k ( x x0 ) 不含与x轴 点斜式 垂直的直线 斜截式 在y轴上的截 同上 y kx b 距为b,斜率为k
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率 存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。
（1），即
y1 y0 k ( x1 y0 )
若 x1 x0，则 y1 y0 ，说明点 P1 与点 P0 重合， 可得点 P1 在直线上 l 。
y
P1 P 0
O
L
x
若 x1 x0 ，则 ，这说明过点 P1 和点 P0 的直线的斜率为 k ，可得点 P1 在过点 p0 ( x0 , y0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上
问题3 ：直线斜截式方程与一次函数关系？
y kx b
一次函数
y kx b
斜截式方程
b： k：
一次函数的常数项
b： k：
直线L在y轴上的截距
一次项系数且不 为0
直线L的斜率。
斜截式方程的应用：
例2：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方 程。
解：由已知得k =5， b= 4， 代入斜截式方程 y= 5x + 4