点斜式方程
3.2.1直线的点斜式方程
y x 1或 y x 3
数学之美：
例四：1.下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？
1) y
3 x 2
30
45
0
3 2) y 2 x 3
0
3) y 2
3x 3 3
60
0
2.方程 y 2 k ( x 3 ) 表示( C ) A)通过点 2 , 3 的所有直线； B）通过点 3 , 2 的所有直线； C）通过点 3 , 2 且不垂直于x轴的所有直线； D）通过点 3 , 2 且去除x轴的所有直线.
y 1 3 x 2 3
3x 2
思：截距是距离吗？
数学运用：
例三：求过点A（1，2)且与两坐标轴组成一等腰直 角三角形的直线方程。 解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 由直线的点斜式方程得： 即：
k 1 又∵直线过点（1，2） l 2
A x O y
l1
y 2 x 1或 y 2 ( x 1)
y b k ( x 0)
（0，b）
o
l
x
即：
y kx b
式中：b ---直线l 在y轴上的截距（直线与y轴交点的 纵坐标） k ---直线 l 的斜率 所以这个方程也叫做直线的斜截式方程.
例二：
写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（1） y (2) y 3 x (3) x 3 y 2
3 3
( x 1)
那么，直
30 线的斜率为___________,倾斜角为_______. 3
3.写出斜率为
3 2
,在y轴上的截距是-2的直线方程.
y 3 2 x 2
点斜式方程
x
y y0 k(x x0 )
点斜式
（1）直线上任意一点的坐标是方程的解（满足方程） （2）方程的任意一个解是直线上点的坐标
点斜式方程
y
P0(x0,y0)
y0
l
x O
直线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率k=0
y y0 0 (x x0 )
y y0 0 y y0
单,不过却关系到粥药の品质.绝大多数の粥药,都分等级.从壹等到四等,壹等粥药是最好の,四等粥药最次.等级越高の粥药,所含の杂质越少.呐个淬炼の过程,就是驱除杂质の过程.而在市面上能见到の粥药,几乎都是最差の四等粥药.就算是最次の四等粥药,也是无数修行者梦寐以求の.杂 质越少,粥药越纯净.粥药越纯净,吸收の效率就越高,吸收起来也就越容易.淬炼步骤,没问题！第三个步骤,凝型,同样没有任何问题.接下来就是最后壹步,稳固.进行到呐壹步,鞠言更加小心起来,不敢有分毫の大意.整个心申,都放在稳固呐壹步之上.“凝！”鞠言心中低喝,双目中光芒闪烁. 第壹次炼粥,紧章在所难免.就算鞠言不在乎壹炉两炉炼制青冥粥の材料,也不可避免の有些紧章.“成了吗?”鞠言,收敛元气,全申贯注の用伍感,探听粥炉内の动静.他没有听到,粥药溃散の声音.鞠言の脸上,出现壹抹欣喜,他呼出壹口气,伸手打开粥炉.顿事,陆颗浑圆の草绿色粥药,映入视 线之内.“嗯?”“不好！”就在鞠言想要取出粥药の事候,粥药之上,突然壹股能量波动传递而出,鞠言脸色瞬间大变,呐是裂粥の迹象.但是到了呐事候,鞠言根本没有任何办法阻止粥药裂开,只能眼睁睁の看着粥药の变化.“噗噗噗……”草绿色粥药,果然壹壹裂开,药效溃散.壹炉,陆颗粥药 ,全部裂开,壹颗都没有剩下.呐第壹次炼粥,鞠言是全部失败了.“是哪个地方,出现了差错?”鞠言开始回想自身炼粥の每壹个步骤,壹点点の推算,结合乾坤粥道信息,壹点点の排查.在半个事辰后,鞠言开始第二次炼粥.呐第二炉粥药,在开炉之后,鞠言看到仍然是陆颗粥药在其中.呐些粥药, 在短暂の事间过后,再次裂开.不过呐壹次,鞠言脸色好了许多,陆颗粥药,最终还留下壹颗粥药没有裂粥.呐壹颗青冥粥,算是炼制成功了.对于壹般の粥师来说,壹炉粥药,只要有壹颗能成功,那么本次炼粥就算成功了.可是对于鞠言来说,陆颗粥药保住壹颗,显然远远达不到鞠言の预期.鞠言,对 呐样の结果是有些失望の.不过,若是被其他修行者知道鞠言想法の话,壹定会恶狠狠の咒骂鞠言.第二次炼制粥药就能成功壹颗,呐是多么逆天の存在啊?壹般の粥师,根本就不敢想象.哪壹个粥师,不是经过几拾上百次の尝试,甚至是数百次の尝试,才能成功の?鞠言只两次,就成功炼制出壹颗 粥药,呐得羡慕死多少粥师?炼制成功壹颗粥药,那也是真正の粥师了！青冥粥是壹级粥药,那鞠言现在就是壹级粥师.让鞠言稍微欣慰の是,呐成功の壹颗青冥粥,纯净度达到了三等,比四等粥药好得多.对于粥师来说,如果能够炼制出二等の粥药,那就了不得了.不是每壹次都炼制出二等粥药, 而是在其炼粥生涯中,只要有壹次成功炼制出二等粥药,那么就足以被称为小粥尪了.沧玉の师父高兆泊,就是炼制成功过二等粥药,所以才被众多修行者称为小粥尪.如果壹名粥师,壹生中,能够炼制出壹等粥药,那就是名副其实の粥尪.对,不论粥药の级别,就算是壹级粥药归元粥、青冥粥,只 要能炼制出壹等品质,那就能够称之为粥尪.由此可见,壹等、二等粥药想要炼制出来,难度有多大.稍微休息后,鞠言开始炼制第三炉青冥粥.有了前面两次炼粥の经验,尤其是第二次炼制成功了壹颗青冥粥,鞠言自信了许多.呐第三炉青冥粥,也是凝型了陆颗,最后稳固成功三颗.呐三颗粥药,全 部都是三等粥药.第四炉,凝型陆颗,稳固四颗.第伍炉,凝型陆颗,稳固四颗.……第八炉青冥粥被炼制出来后,凝型七颗,稳固伍颗.呐壹次,鞠言の眼申,精光连闪.由于,伍颗稳固の粥药中,居然有壹颗粥药纯净度达到了二等！贰零叁,第贰零叁章贪得无厌炼制出二等粥药,呐有哪个意义?意义就 是,鞠言虽然还是壹级粥师,但却已经是小粥尪了.呐简直,是不可思议不可能出现の事情.虽然说小粥尪和粥尪称号,与炼制の粥药级别没直接关系.可是,想要炼制出二等の壹级粥药,壹级粥师,有可能做到吗?呐个问题在蓝曲郡内,询问任何壹个粥师,哪怕询问不是粥师の修行者,他们给出の答 案壹定都是不可能.也只有那些能够炼制级别较高粥药の粥师,才可能炼制出二等の壹级粥药.看着手中の呐壹颗二等青冥粥,鞠言嘴角也带着微笑.八炉青冥粥炼制完毕,鞠言暂停了下来.他の青冥粥材料,消耗空了.而且,他の元气消耗也非常严叠,炼制粥药不仅耗费心申,同样也耗费元气.若 不是鞠言の元气浑厚程度极为恐怖,他也做不到连续炼制八炉青冥粥.八炉粥药,成粥足足二拾伍颗,呐是极其惊声の效率.放眼整个蓝曲郡地域,恐怕也没有几个粥师,能够做到吧?鞠言盘坐下来,开始恢复元气,也闭目养申.休息了几个事辰后,鞠言继续开始炼粥,由于青冥粥材料没了,他就炼制 归元粥.归元粥,也是壹级粥药,而且是消耗量最多の粥药.富有の先天修行者,以及道灵境强者,对归元粥の需求,是非常庞大の！在西墎城内,归元粥,壹般只有在拍卖上才会出现,而且是大型の拍卖,比如西墎第壹楼每年壹次の年度拍卖上.鞠言,第壹次炼制归元粥,就成功.他之前虽然没炼制 过归元粥,可是有青冥粥の底子,炼制归元粥不是难事.第壹炉归元粥,就成粥三颗,尽皆都是三等纯净度.壹颗三等の归元粥,在拍卖上,价值壹般在七千枚修玉到八千枚修玉左右.三颗归元粥,价值在两万枚修玉之上.而壹炉归元粥の材料价值,连四千枚修玉都不到.呐其中の利润,何其恐怖！鞠 言,在西墎第壹楼购买了伍炉归元粥の材料.伍炉归元粥炼制结束,成粥二拾壹颗,其中包括两颗二等归元粥,呐些归元粥の总价值超过拾伍万修玉.有圣灵药剂和归元粥在,鞠言,还需要担心自身の粥楼声气不足吗?“唰！”与天水告辞了壹声后,鞠言就出了乾坤空间.呐壹次闭关,大约已经过了 壹个月事间.“南区坊市の粥楼,应该建造好了吧?”鞠言眼申眯了壹下.呐是壹个,修行者の时节.建筑の建造,速度是非常恐怖の.只要有足够の资源,用壹些修行者建造,那壹间普通の建筑,壹天内就能建造完毕.就算是比较庞大の建筑,比如鞠言计划中の粥楼,也不需要太多の事间就能够建造 完毕.壹个月前,他从南区坊市出来の事候,就给鞠晨星留下了足足拾伍万修玉现货银卡.除去拾三万修玉收购龙晨宇の武器铺,剩下の两万修玉,用来建造壹座坚固の粥楼,绝对是绰绰有余！所以,现在粥楼の建造,应该已经完成,就等着自身出面,将粥楼开业了.“鞠言少爷！”当鞠言出了别院 ,护卫便连叫住他.“鞠言少爷,鞠晨星管事来找过你,好像是有事.由于你吩咐俺们,不得任何声打扰,所以俺们没让鞠晨星管事进入你の别院.”其中壹名护卫,对鞠言躬身说.呐两名护卫,也都知道鞠晨星与鞠言の关系.他们对鞠晨星很客气,但是,他们还是阻止鞠晨星进入鞠言の别院.“嗯,俺 知�
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
直线的点斜式方程
深入理解
问题1：截距与距离一样吗？
截距与距离不一样，截距可正、可零、可负, 而距离 不能为负。
问题2：斜截式与一次函数y=kx+b一样吗？
斜截式与一次函数y=kx+b 形式一样，但有区别。 当k≠0 时，斜截式方程就是一次函数的表现形式。
问题3：斜截式的适用范围？ 斜截式的适用范围是：k存在
例2 写出下列直线的斜截式方程
说明：①斜率要存在！②方程(1)是有缺点的直线； 而方程(2)表示一条完整的直线.
直线的点斜式方程：
y y0 k(x x0 )
两个独立条件：“点”和“斜”
思维拓展:
y
P0(x0,y0)
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于
y0
(1)l与x轴平行或重合时:
倾斜角α为0°斜率k=0
代入点斜式得：
(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.
二、直线的斜截式方程:
方程 y = k x + b 由直线的斜率k 与它在y轴的截距b 确定的方程叫做直线的斜截方程，简称斜截式。
b
P(0,b)
a
O
x
A(a,0)
纵截距
横截距 (a 、b∈R)
截距不是 距离！
直线的斜截式方程: y
y
y=kx+b
b
x
x
0
0
b
把直线与y轴交点（ 0 , b ）的纵坐标b叫 做直线在y轴上的截距.
x2 x1
实践出真知：
直线l经过点P0(x0，y0),且斜率为k， 设点P(x，y)是直线l上不同于P0的任意 一点，求P(x，y) 满足的关系？
y
l
P(x,y)
直线的点斜式方程
直线的点斜式方程直线的点斜式方程是数学中描述直线的一种常用方程形式。
它通过一条直线上已知的一点和该直线的斜率来表示直线方程，其一般形式为y - y1 = m(x - x1)。
首先，我们来了解一下直线的基本概念。
直线是平面上的一种基本几何图形，它是由无数个连续的点组成的，具有无限延伸的性质。
直线可以用不同的方式来表示，其中点斜式方程是一种常见且方便的表达形式。
点斜式方程中的斜率m代表的是直线在平面上的倾斜程度。
斜率表示了直线上的任意两个点之间的垂直距离和水平距离之比。
斜率可以用两点之间的纵坐标的差值与横坐标的差值之比来计算，也可用三角函数来表示。
斜率可以为正数、负数、零或无穷大。
在点斜式方程中，已知直线上的一点（x1, y1）和斜率m，我们可以得到直线的方程。
方程的一般形式为y - y1 = m(x- x1)。
其中，(x1, y1)是直线上的已知点的坐标，m是直线的斜率。
点斜式方程的推导和理解可以通过几何图形来帮助解释。
假设已知直线上的一个点A(x1, y1)，斜率为m。
我们在坐标系中以该点A为起点，按照斜率m的比例进行纵横坐标的移动，得到另外一个点B(x, y)。
则根据直线的定义，点A和点B都在直线上。
我们可以观察到，点A和点B在横坐标上的差值为x - x1，纵坐标上的差值为y - y1。
根据斜率定义的公式，我们可以得到y - y1 = m(x - x1)。
点斜式方程的优点是可以直接通过已知的一点和斜率来表示直线方程。
这对于求解直线与其他几何图形的交点、直线的平行和垂直关系等问题非常方便。
同时，点斜式方程形式简洁，易于理解和应用。
在应用点斜式方程时，我们首先需要确定直线上的一个已知点和斜率。
已知点可以通过给定的条件、直线上的交点或已知的坐标等方式确定。
而斜率则可以由直线与坐标轴的交点、两点之间的距离关系等已知信息推导得到。
在得到已知点和斜率后，我们可以直接将它们代入点斜式方程的一般形式中，即可得到所求直线的方程。
点斜式方程——精选推荐
点斜式方程直线的点斜式和斜截式方程直线的点斜式与斜截式方程一、复习引入1、直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.2、已知直线上两点的斜率公式：3、一次函数及其图像：函数y=kx+b (k 0)称为一次函数，其图像是一条直线，该直线的斜率为k，与y轴的交点为.二、直线的点斜式方程1.概念形成直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系.三、四、根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，k y y0，即y –y0 = k (x –x0) （1）x x0问题：（1）过点P0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，叫做直线的点斜式方程，简称点斜式（3）直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？（4）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？（5）经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？（6）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？例. 直线l经过点P0 (–2，3)，且倾斜角 = 45°. 求直线l的点斜式方程，并画出直线l.点斜式公式求直线方程必须具备的两个条件：（1）一个定点；（2）有斜率.变式训练：(1)过点（-1，2）,倾斜角为135°的直线方程为(2)过点（2，1）且平行于x轴的直线方程为(3)过点（2，1）且平行于y轴的直线方程为(4)过点（2，1）且过原点的直线方程为练习:1.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过A（3，－1（2）经过B（2），倾斜角是30°（3）经过C（0，3），倾斜角是0°（4）经过D（－4，－2），倾斜角是120°2.填空：(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1,那么此直线的斜率是,倾斜角是(2) 已知直线的点斜式方程是y+2=(x+1),那么此直线的斜率是倾斜角是;(3) 已知直线的点斜式方程是y=-3,那么此直线的斜率是,倾斜角是三、直线的斜截式方程1.概念形成（1）已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0, b)，求直线l的方程.（2）观察方程y kx b与y y0 k(x x0)，它们有什么联系？斜截式是点斜式的特殊情况（3）直线y = kx + b在x轴上的截距是什么？“截距”与“距离”两个概念的区别.截距：距离：（4）一次函数中k和b的几何意义是什么？你能说出一次函数y = 2x –1，y = 3x，y = –x + 3图象的特点吗？（5）任何直线都能用斜截式表示吗？例. 已知直线l1：y = k1 + b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：（1）l1∥l2的条件是什么？（2）l1⊥l2的条件是什么？答：（1）若l1∥l2，则k1 = k2，此时l1、l2与y轴的交点不同，即b1 = b2；反之，k1 = k2，且b1 = b2时，l1∥l2 .于是我们得到，l1∥l2 k1 = k2，且b1≠b2；（2）l1⊥l2 k1k2 = –1.变式训练：(1)写出斜率为-2，且在y轴上的截距为t的直线的方程.(2)当t为何值时，直线通过点（4，-3）？并作出该直线的图象.练习：1.写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是2，在y轴上的截距是－2,（2）斜率是－2，在y轴上的截距是4,2.判断下列各对直线是否平行或垂直：（1）（2）（3）11x3,l2:y x 2 2253l1:y x,l2:y x 35l1:y l1:y 3,l2:y 0四、综合应用1例1 :求倾斜角是直线y 1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程是. 4（1）经过点1)；（2）在y轴上的截距是–5.例2:直线l过点P(–2，3)且与x轴，y轴分别交于A、B 两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的方程.五、课堂小结1.由直线上一定点及其斜率确定的直线方程叫做直线的___________方程;2.点斜式方程:若直线l过点P(x0,y0),斜率为k,则其方程为________________________.3.斜截式方程:若直线l的斜率为k,且在y轴上的截距为b,则其方程为___________________.4.特殊直线：（1）点斜式与斜截式方程不能表示______________的直线;（2）过点（3）过点P(x0,y0)且平行于x轴的直线l倾斜角为_______,斜率______,方程是P(x0,y0)且平行于y轴的直线l倾斜角为_______,斜率______,方程是六、课堂检测1.下列四个直线方程中,可以看作是直线的斜截式方程的是( )3 3 C. 2y x D. x 2y 12.方程表示y k(x3)(x R)( )A.通过点(3,0)的所有直线B.通过点(3,0)的所有直线C. 通过点(3,0)且不垂直于x轴的所有直线D. 通过点(3,0)且除去x轴的所有直线3．直线l的方程为y=xtanα+2，则( )（A）α一定是直线的倾斜角( B）α一定不是直线的倾斜角（C）π–α一定是直线的倾斜角（D）α不一定是直线的倾斜角4．直线y–4= –3(x+3)的倾斜角和所过的定点分别是( )(A）–2 5 2 , (–3, 4) （B）, (–3, 4) （C）,(3, –4) （D）, (3, –4) 33635、直线y=kx+b(b≠0)不过第二象限,则（）A kb0 D kb≥06、直线kx y13k 0一定经过定点（）A、（0,0）B、（0,1）C、（3,1）D、（2,1）7. 在y轴上的截距为–3，倾斜角的正弦为5的直线的方程是. 138.直线l过点(1,2),且它的倾斜角是直线y x2倾斜角的2倍,则直线l的方程为9.倾斜角是1350,在y轴上的截距是3的直线l的方程为_________________.10.直线l过点P1,2,将点P左移2个单位再上移3个单位后所得的点仍在直线l上,则直线l的方程是11.将直线y x1绕它上面的点沿逆时针方向旋转15,所得直线方程是12.直线l:y1 k x2必过定点13.已知直线l在y 轴上的截距为3,且与坐标轴围成的三角形的面积为6, 求直线l的方程14．一直线经过点A(2,-3),它的倾斜角等于直线y x的倾斜角的两倍，求该直线方程.15. ΔABC的顶点是A(0,5)、B(1,-2)、C(-5,4)，求BC 边上的中线所在的直线方程.16. 已知直线的斜率k=2, P1(3,5)、P2(x2,7)、P3(-1, y3 )是这条直线上的三点，求x2和y3.17.已知直线l过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为8，求直线l 的方程18.已知，直线l的方程为4x-y+8=0（1）求直线l的斜率、在y轴上的截距（2）求直线l与坐标轴围成的三角形的面积直线的点斜式方程¤知识要点：1. 点斜式：直线l过点P0(x0,y0),且斜率为k，其方程为y y0 k(x x0).2. 斜截式：直线l的斜率为k，在y 轴上截距为b，其方程为y kx b.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线l过点P0(x0,y0)且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为xx0 0，或x x0. 4. 注意：y y0k与y y0 k(x x0)是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点x x0P0(x0,y0)，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点A(2,5)，斜率是4；（2）经过点B(3,1)，倾斜角是30.【例2】已知直线y kx3k 1.（1）求直线恒经过的定点；（2）当3 x 3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围.【例3】光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l经过点P(5,4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其方程为y y1x x1，y2y1x2x12. 截距式：直线l在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为xay1. b3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段P1P2中点坐标公式(¤例题精讲：【例1】已知△ABC顶点为A(2,8),B(4,0),C(6,0)，求过点B且将△ABC面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：Ax By C 0，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程Ax By C 0(B 0)化为斜截式方程yx1x2y1y2,). 22x，表示斜率为，y轴上截距BBB为C的直线. B2 与直线l:Ax By C 0平行的直线，可设所求方程为Ax By C 0；与直线Ax By C 0垂直的直线，可设所求方程为Bx Ay C 0. 过点P(x0,y0)的直线可写为A(x x0)B(y y0) 0.经过点M0，且平行于直线l的直线方程是A(x x0) B(y y0) 0；经过点M0，且垂直于直线l的直线方程是B(x x0)A(y y0) 0.3. 已知直线l1,l2的方程分别是：l1:A1x B1y C1 0（A1,B1不同时为0），l2:A C 0（A2,B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：2x2By2 （1）l1 l2 A1A2B1B2 0；（2）l1//l2 A1B2A2B1 0,AC12A2B1 0；（3）l1与l2重合 A1B2A2B1 0,AC12A2B1 0；（4）l1与l2相交 A1B2A2B1 0.如果A2B2C2 0时，则l1//l2 相交. A2B2A1B1C1ABC ；l1与l2重合 1 1 1；l1与l2A2B2C2A2B2C2¤例题精讲：【例1】已知直线l1：x my2m2 0，l2：mx y1m 0，问m为何值时：（1）l1 l2；（2）l1//l2.【例2】（1）求经过点A(3,2)且与直线4x y2 0平行的直线方程；（2）求经过点B(3,0)且与直线2x y5 0垂直的直线方程.【例3】已知直线l的方程为3x+4y－12=0，求与直线l平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式A(x x0)B(yy0) 0而直接写出方程，即3(x1)4(y3) 0，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组A1x B1y C1 0. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；Ax By C 0 222若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程 (A1x B1y C1)(A2x B2y C2) 0为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是A1x B1y C1 0与A2x B2y C2 0的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l1: nx y n1, l2: ny x 2n.【例2】求经过两条直线2x y8 0和x2y1 0的交点，且平行于直线4x3y7 0的直线方程.两点间的距离两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则两点间的距离为：.特别地，当P1,P2所在直线与x轴平行时，|PP1,P2所在直线与y轴12| |x1x2|；当P平行时，|PP1,P2在直线y kx b上时，|PP12| |y1 y2|；当P12| x1x2|. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线2x y 0上求一点P，使它到点M(5,8)的距离为５，并求直线PM的方程.【例2】直线2x－y－4=0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线，证明|AB|2＋|AC|2=2（|AO|2＋|OC|2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点P(x0,y0)到直线l:Ax By C 0的距离公式为d2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线l1:Ax By C1 0，l2:Ax By C2 0之间的距离公式d，推导过程为：在直线l2上任取一y C0，即Axy C点P(x0,y0)，则Ax0B020B02. 这时点P(x0,y0)到直线l1:Ax By C1 0的距离为d.¤例题精讲：【例1】求过直线l1:y x1310和l2:3x y 0的交点并且与原点相距为1的直线3l的方程.【例2】在函数y 4x2的图象上求一点P，使P到直线y 4x5的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程(x a)2(y b)2 r2(r 0)表示圆心为A（a，b），半径长为r的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准方程. ¤例题精讲：【例1】过点A(1,1)、B(1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（）. A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y－1）2＝4 C.（x－1）2＋（y－1）2＝4 D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程：（1）过点A(2,0)，圆心在(3,2)；（2）圆心在直线2x y7 0上的圆C与y轴交于两点A(0,4),B(0,2)圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程x2y2DxEy F 0 （D2E24F 0）表示圆心是(, )D2E2. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标(x,y)满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,－1)的圆的方程.【例2】设方程x2y22(m3)x2(14m2)y 16m47m29 0，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定：方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x或（y），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（a,b）到直线Ax By C0的距离d，比较d与r的大小.（1）相交 d r 0；（2）相切 d r 0；（3）相离 d r 0. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式1】若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值【例2】求直线l:2x y2 0被圆C:(x3)2y2 9所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为O1,O2，半径分别为r1,r2，则：（1）两圆相交 |r1r2| |O1O2| r1r2；（2）两圆外切 |O1O2| r1r2；（3）两圆内切 |O1O2| |r1 r2|；¤例题精讲：【例1】已知圆C1：x2y26x6 0①，圆C2：x2y24y6 0②（1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆x2y26x4 0和x2y2 6y28 0的交点，并且圆心在直线x y4 0上的圆的方程.课后练习一、选择题1．设直线ax by c 0的倾斜角为 ，且sin cos 0，则a,b满足（）A．a b 1B．a b 1C．a b 0D．a b 02．过点P(1,3)且垂直于直线x2y3 0 的直线方程为（）A．2x y1 0 B．2x y5 0 C．x2y5 0 D．x2y7 0 3．已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2x y1 0平行，则m的值为（）A．0 B．8 C．2 D．104．已知ab 0,bc 0，则直线ax by c通过（）A第一二三象限B第一二四象限C第一三四象限D．第二三四象限5．直线x 1的倾斜角和斜率分别是（）A．450,1B．1350, 1 C．900，不存在D．1800，不存在6若方程(2m2m3)x(m2m)y4m1 0表示一条直线，则实数m满足（）A．m 0 B．m 二、填空题1．点P(1,1) 到直线x y1 0的距离是________________.2．已知直线l1:y 2x3,若l2与l1关于y轴对称，则l2的方程为__________; 若l3与l1关于x轴对称，则l3的方程为_________; 若l4与l1关于y x对称，则l4的方程为___________;3．若原点在直线l上的射影为(2,1)，则l的方程为____________________ 4．点P(x,y)在直线x y4 0上，则x2y2的最小值是________________. 5．直线l过原点且平分ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B(1,4),D(5,0)，则直线l的方程为________________33C．m 1 D．m 1，m ，m 0 22三、解答题1．已知直线Ax By C 0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；（4）系数满足什么条件时是x轴；（5）设P x0，y0为直线Ax By C 0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A x x0By y0 0．2．求经过直线l1:2x3y5 0,l2:3x2y3 0的交点且平行于直线2x y3 0的直线方程3．经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程4．过点A(5,4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．直线点斜式方程§直线的点斜式方程预习案1、目标：知道直线的点斜式的推导过程，，了解直线与方程的关系2、预习课本p92—94，回答下列问题回顾：（1）倾斜角 的定义及其取值范围；平行与垂直的判定x （2）已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如果2率为；如果x2x1，那么直线PQ的斜x1，那么直线PQ的斜率练习：求出下列直线的斜率k和倾斜角 ：（1）则k= ； =（2）A(-1,-2),B(3,2),C(5,4) ,则kABkBC AB BC 探究：确定一条直线需要知道哪些条件？例如：一个点P(0,3)和斜率为k＝2就能确定一条直线.取这条直线上不同于点P的任意一点Q(x,y)，问题1：用两点表示出直线的斜率k 问题2：写出横坐标x与纵坐标y满足的关系问题3：直线与方程有什么联系？课堂案目标：1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程一、基本概念1、点斜式方程：一般的，设直线l经过点P1(x1,y1)，斜率为k，则直线方程叫做直线的点斜式方程思考：点斜式方程可以表示所有直线吗？注意：（1）当过P1(x1,y1)点直线的倾斜角为90时，斜率不存在，直线方程为（2）当过P1(x1,y1)点直线的倾斜角为0时，斜率为0，直线方程为2、斜截式方程：直线l由斜率k和它在y轴上的截距b 确定，则直线方程叫做直线的斜截式方程注意：（1）直线l与y轴交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距；（2）斜截式是点斜式的特例（3）斜截式方程与一次函数的关系 例题解析例1：直线l过点P1(2,3),斜率为2，求直线l方程变式：直线l过点P1(2,3),且倾斜角 45，求直线l方程例2：（1）斜率为，在y轴上的截距（纵截距）是2；2（2）倾斜角是135，在x轴上的截距（横截距）是3；（3）过点（3，1），垂直于x轴，垂直于y 轴变式：（1）斜率为3，纵截距为1；（2）倾斜角为120，与x轴交点横坐标为2例3、求下列直线方程（1）过点1,2且与直线y 2x5垂直（2）在y轴截距为2且与直线y 4x2平行；思考：直线l1:y k1x b1,l2:y k2x b2，若两直线平行（垂直），k,b应满足什么条件？三、课堂小结：(1)直线的方程涵义及直线方程的两种形式：点斜式：y y1 k(x x1) 斜截式：y kx b(2)要注意两种形式的适用范围．巩固案：目标：进一步理解直线方程点斜式、斜截式，掌握其方程特征自我检测（必做：20分钟）A组1、课本p95 练习1、2、3、4 2、方程y k(x2)表示（）A、过点2,0的所有直线B、过点2,0的所有直线C、过点2,0且不垂直于x轴的直线D、过点2,0且除去x轴的直线3、直线y kx b过原点的条件是（）A、k=0B、b=0C、k=0且b=0D、k 0且b=0 4、直线y=kx+b(b≠0)不过第二象限,则（）A kb0 D kb≥0 5、直线kx y13k 0一定经过定点（）A、（0,0）B、（0,1）C、（3,1）D、（2,1）6、直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是（）A1111ab B |ab| C D 222ab2|ab|7、在y轴上的截距为-6，且与x轴相交成45 角的直线方程是___________ 8、求满足下列条件的直线方程（1）经过点A(3,2),且与直线4x y2 0平行（2）经过点C(3,2)，且平行于过点M(1,2)和N(1,5)的直线（3）经过点B(3,0)且与直线2x y5 0垂直9、已知直线l过点P(1,4),且与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为8，求直线l 的方程B组1、直线L1：y=kx+b(kb≠0)；直线L2：xy+=1在同一坐标系中的图象可能是（）kb2、求与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为-3/4的直线方程直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式Xupeisen110 高中数学一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析121)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计四、教学过程(一)点斜式已知直线lP1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得Xupeisen110 高中数学注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线lP1、斜率为k的直线l的方程．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是当直线的斜率为90°时(示．但因l1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)Xupeisen110 高中数学也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y(2)要记住两点式方程，只要记住yx代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．解：因为直线A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．Xupeisen110 高中数学程的截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．解：直线AB即这就是直线ABBC由斜截式得：即5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是Xupeisen110 高中数学即2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(练习第1题) (1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；Xupeisen110 高中数学3．(练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(练习第4题)并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计直线的点斜式方程与斜截式方程直线的点斜式方程与斜截式方程班姓名组评学习目标：1、理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2、能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；重点：正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程难点：理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围学法指导：1、小组长带领组员回顾有关知识，精读教材第50页内容完成导学案，将不能独立完成的问题提交组上，有本组成员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交老师，全班共同完成.2、课堂上注意用“红笔”做好改正和记录.3、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，各组成员将纠错内容记录在“纠错本”上.一、【检查预习、引入新课】——教师检查问题导读评价单完成情况，并对问题导读评价单中出现的问题进行规范指导.（一）、课前准备1、（预习教材第55—56页，完成以下内容并找出疑惑之处）2、问题：我们知道，方程x y1 0的图像是一条直线，那么方程的解与直线上的点之间存在着怎样的关系呢？（二）、知识梳理、双基再现1、一般地，如果直线（或曲线）L与方程F(x,y) 0满足下列关系：⑴；⑵那么，直线（或曲线）L叫做二元方程F(x,y) 0的直线（或曲线），方程F(x,y) 0叫做直线（或曲线）L的方程记作曲线L:F(x,y) 0或者曲线F(x,y) 02、方程___________________叫做直线的点斜式方程，简称点斜式其中点为直线上的点，．．．．．．．．k为直线的特殊情况：当直线经过点P0(x0,y0)且斜率时，直线的倾角为90°，此时直线与x轴线上所有的点横坐标都是x0，因此其方程为3、方程___________________叫做直线的斜截式方程，简称斜截式其中k为直线的，b为直线在．．．．．．．．_________________4、如图所示，设直线l与x轴交于点A(a,0)，与y轴交于点B(0,b)则a叫做直线l_______________（或_________）；b叫做直线l_______________（或__________）．【想一想】直线在x轴及y轴上的截距有可能是负数吗？【我的疑惑】二、【基础训练、锋芒初显】——自主学习，合作探究——教师发放问题生成评价单；学生分组讨论，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题生成评价单完成情况；教师对问题生成评价单完成情况进行点评.1、在下列各条件下，分别求出直线的方程：（1）直线经过点P,1) 0(1,2)，倾角为45；（2）直线经过点P1(3,2)，P2( 12、设直线l的倾角为60°，并且经过点P（2，3）（1）写出直线l的方程；（2）求直线l在x轴及y 轴上的截距【我的疑惑】三、【举一反三、能力拓展】——强化训练，形成能力——教师发放问题训练拓展评价单；学生分组讨论完成问题训练拓展评价单上的练习题，教师巡回指导；各学习小组选派学生，汇报问题训练拓展评价单完成情况；教师对问题训练拓展评价单完成情况进行点评.1、作出y2、设点P(a,1)在直线3x y5 0上，求a的值3、根据下列各直线满足的条件，写出直线的方程：（1）过点(5,2)，斜率为3；（2）在y轴上的截距为5，斜率为44、分别求出直线y8 5(x1)在x轴及y轴上的截距1x的图像，并判断点P(2,3)、Q(4,2)是否为图像中的点2【我的疑惑】四、【畅谈收获、提升意义】1、教师提问：（1）咱们今天学习的是什么内容？（2）你们今天学会了什么内容？2、学生自我小结:（1）今天学习了什么内容？（2）今天学会了什么内容?（3）我有什么疑惑？五、【布置作业、知识巩固】习题A组1、(3)，（4），2、（2），3直线方程的点斜式.(正式) 直线方程的点斜式（一）学习目标1．知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；（2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；（3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.2．过程与方法在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过探讨，得出直线的点斜式方程，对比理解“截距”与“距离”的区别.3．情态与价值观体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题.（二）重点、难点：（1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程.（2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.（三）学习过程1．在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.2．直线l经过点P0 (x0, y0)，且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点，请建立x，y与k，x0, y0之间的关系.y y0根据斜率公式，可以得到，当x≠x0时，k ，即y –y0 = k (x –x0)x x03．（1）过点P0 (x0, y0)，斜率是k的直线l上的点，其坐标都满足方程（1）吗？（2）坐标满足方程（1）的点都在经过P0 (x0, y0)，斜率为k的直线l上吗？方程（1）由直线上一定点及其斜率确定，所以叫做直线的点斜式方程，简称点斜式4．（1）x轴所在直线的方程是什么？Y轴所在直线的方程是什么？（2）经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么？（3）经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么？通过画图分析，求得问题的解决.。
3.2.1点斜式直线方程
.
即2 x y 5 0
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1
例2.①已知直线的点斜式方程是y－2=x－1，
1 ，倾斜角是_____ 那么直线的斜率是____ 45 ，
(1, 2) ； 此直线必过定点______
3 ②已知直线的点斜式方程是 y 2 ( x 1) 3
点斜式方程
y
l
①倾斜角α°≠90
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l x0
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
O
xபைடு நூலகம்
x x0 0或x x0
练习：已知直线经过点P1,3 ，求
（1）倾斜角为 0 时的直线方程；
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
1 x
（过点P(0,3)斜率为2确定的）方程 y-3＝2（x-0）是直线 l 的方程，且 称为直线 l 的点斜式方程。
3– P
l
o
–
一般的，设直线l经过点 P 1 ( x1 , y1 )，斜 率为 k 则方程 y y1 k ( x x1 )叫做直线 的点斜式方程。
－1
局限性：只适用于斜率存在的情形。
3 是______ ，倾斜角是 _______. 30 3
(1, 2) ，直线的斜率 那么此直线经过定点_______
例3.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程 y+5=-2(x-3) 2x+y-1=0
例4.求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角 三角形的直线方程。
3.2.1直线的点斜式方程
§3.2.1直线的点斜式方程
令 y=0 , 则 直线l在x轴上的截距为： k b
由题意得
k 2 k 1 b b1 k 3 或 2 解得 2 6k b b 1 b 2
y y1
当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率 此时直线的方程是
x = x1
例1 直线l 经过点P1（-2, 3），倾斜角α=45º， 求这条直线的方程，并画出图形。 解：这条直线经过点 P ( 2，), 斜率为 k tan 45 0 1 3
代入点斜式，得
y3 x2
即 x y50 为所求的直线方程， 图形如图所示 .
完成课本 P 95 练习 1 - 4
直线 l 1： y k 1 x b1， l 2： y k 2 x b2
l 1 // l 2 k 1 k 2 , 且 b1 b2 l1 l 2 k 1 k 2 1
例3.已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1， 且过定点(6 , -2)，求直线 l 的方程.
3 .2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式 若直线l 经过点P1(x1, y1)，斜率为k , 求直线l 的方程 . 设点P(x, y)是直线l上不 同于点P1的任意一点，则
k
y x
y x
1 1
化简为 y y 1 k ( x x 1 ) —— 直线方程的点斜式
特殊直线 当直线的倾斜角为0°时， 0 . k 此时直线的方程是
例2 如图已知直线l 斜率为k,与y轴的交点是P（0, b），
求直线l 的方程。 解：由直线方程的点斜式知直线l 的 方程：
点斜式和两点式公式
点斜式和两点式公式点斜式和两点式公式是解析几何中常用的两种表示直线的方法。
在平面几何中，直线是两个点之间所有点的集合，通过确定直线上的任意两个点，我们可以确定一条唯一的直线。
点斜式和两点式公式就是用来表示直线的方程。
我们来介绍点斜式公式。
点斜式公式是通过给定直线上一点的坐标和直线的斜率来表示直线的方程。
假设直线上的一点为P(x1, y1)，直线的斜率为m，那么点斜式公式可以表示为：y - y1 = m(x - x1)。
通过点斜式公式，我们可以方便地求解直线的方程。
例如，已知直线上的一点为P(2, 3)，斜率为2，我们可以使用点斜式公式得到直线的方程为：y - 3 = 2(x - 2)。
通过展开和整理方程，我们可以得到直线的一般形式y = 2x - 1。
接下来，我们来介绍两点式公式。
两点式公式是通过给定直线上两个不同点的坐标来表示直线的方程。
假设直线上的两个点为P(x1, y1)和Q(x2, y2)，那么两点式公式可以表示为：(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
通过两点式公式，我们可以求解直线的方程。
例如，已知直线上两个点为P(1, 2)和Q(3, 4)，我们可以使用两点式公式得到直线的方程为：(y - 2)/(x - 1) = (4 - 2)/(3 - 1)。
通过展开和整理方程，我们可以得到直线的一般形式y = x + 1。
点斜式和两点式公式都是常用的表示直线的方法，它们各有优劣和适用范围。
点斜式公式适用于已知直线上一点和斜率的情况，而两点式公式适用于已知直线上两个点的情况。
根据具体的问题和已知条件，我们可以选择使用其中的一种方法来表示直线的方程。
除了表示直线的方程，点斜式和两点式公式还可以用于求解直线的性质和问题。
例如，我们可以使用点斜式公式求解直线的斜率和与坐标轴的交点；使用两点式公式求解直线的斜率和与坐标轴的交点。
通过这些求解过程，我们可以更好地理解直线的性质和几何特征。
3.2.1 直线的点斜式方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
②如图乙,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线不能用点斜式表
示,其方程为x-x0=0或x=x0.
-4-
3.2.1 直线的点斜式方程
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做1】 若直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率 是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3 解析:直线l经过点(-1,2),且斜率为3. 答案:C
题型一 求直线的点斜式方程
【例1】 写出下列直线的点斜式方程: (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45°; (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行. 解:(1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-5=4(x-2). (2)直线的倾斜角为45°,则此直线的斜率k=tan 45°=1. 故直线的点斜式方程为y-3=x-2. (3)直线与x轴平行,则倾斜角为0°,斜率k=0.
所以直线的斜率为 − 3.
3
故所求直线的点斜式方程为
y+1=−
3 (������
3
−
2).
(3)因为直线与y轴垂直,所以倾斜角为0°,
即斜率k=0.故所求直线的点斜式方程为y=-2.
-12-
3.2.1 直线的点斜式方程
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
题型一 题型二 题型三
题型二 求直线的斜截式方程
3.2.1 直线的点斜式方程
题型一 题型二 题型三
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
正解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1=-1,k2=a2-2.
点斜式方程公式
点斜式方程公式
方程式：y－y1=k（x－x1）
其中（x1,y1）为坐标系上过直线的一点的坐标,k为该直线的斜率。
推导：若直线L1经过点P1（x1,y1）,且斜率为k,求L1方程。
设点P(x,y)是直线上不同于点P1的任意一点,直线PP1的斜率应等与直线L1的斜率,根据经过两点的直线的斜率公式得k=(y－y1)/（x－x1） (且：x≠x1）所以,直线L1：y－y1=k（x－x1）
说明：
(1)这个方程是由直线上一点和斜率确定的,这一点必须在直线上,否则点斜式方程不成立；
(2)当直线l的倾斜角为0°时,直线方程为y=y1；
(3)当直线倾斜角为90°时,直线没有斜率,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程为x=x1。
直线的点斜式方程
例2:斜率是5,在y轴上的截距是-4的直线方程.
解：由已知得k =5， b= - 4， 代入斜截式方程 y= 5x - 4
1、说出下列直线的斜率和在y轴上的截距：
（１）y 3x 2
(2) y 3x
3， -2
3， 0
2、写出下列直线的斜截式方程： 3 3 x2 （1）斜率是 ，在 y轴上的截距是 2； y 2 2 （2）斜率是 2 ，在 y轴上的截距是 4 ；y 2 x 4
y3
（2）斜率为２时的直线方程；
y 3 2( x 1)
（3）倾斜角为 90 时的直线方程.
x 1 （4）且过原点的直线方程.
y 3 x
巩固练习
1.经过点（- 2 ，2）倾斜角是1500的直线的方程是（ （A）y＋ 2 =－ 3 x－2） （
3 3
C）
ห้องสมุดไป่ตู้
（B）y+2= （x－ 2 ） － 3
[答案](1)过定点(3，－2) (2)(－1,3)
[解析](1)由直线点斜式方程的定义知，不论k取何 实数方程y＋2＝k(x－3)总表示经过点(3,－2)，斜率为 k的直线，所以这些直线的共同特征是过定点(3,－2)． (2)将方程mx－y＋m＋3＝0变形为y－3＝m(x＋1)可 知，不论m取何实数，直线总过定点(－1,3)．
1 1 (1) l1 : y x 3 , l2 : y x 2 2 2 5 3 (2) l1 : y x , l2 : y x 3 5
l1 // l2
l1 l2
条 件 ： 有 斜 率 且 非 零 ！
例、已知直线经过点 P1,3 ，求 （1）倾斜角为 0 时的直线方程；
2、直线的斜截式方程：
直线的点斜式方程
（1）直角坐标系内确定一条直线的几何要 素？ （2）已知一直线过一定点P0（x0，y0），且 它的斜率是k，则直线是确定的，也就是可 求的，那怎么求直线L的方程呢？
新课讲解
1、直线的点斜式方程
已知直线l经过已知点P0（x0，y0），并且它的斜率 是k，求直线l的方程。
练习
的点斜式，斜截 小结 式方程在直线斜率存 （1）直线的点斜式方程： 在时才可以应用。
y y0 k x x0
（2）直线的斜截式方程:
y kx b
作业：课本100页1（1）（3）（5）；3、5
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
例题讲解：
∥
对于直线 l1 : y k1 x b1 , l 2 : y k 2 x b l1 // l 2 k1 k 2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
0
(3)经过点C (0,3), 倾斜角是0 ;
0
(4)经过点D(4,2), 倾斜角是900.
2、说出下列点斜式方程所对应的直 线斜率和倾斜角： (1)y-2 = x-1
2、直线的斜截式方程：
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0， y b），求直线方程。
代入点斜式方程，得l的直线方程： y - b =k （ x - 0） 即 y = k x + b (2)
(2)在x轴上的截距(横截距) : l与x轴交点的横坐标.
思考斜截式方程的局限性 :
(无法表示斜率 不存在的直线)
练习
例2：斜率是5，在y轴上的截距是4的 直线方程。 y= 5x + 4
高一数学直线的点斜式方程
可化为 y y1 k x x1
y y1 k x x1
. .
P1
O
x
由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直 线的点斜式方程。
小结：
⑴P为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关
y
° P ° ° ° ° ° ° ° ° P1
O x
° ⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x -x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1）， 而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即 不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。
应用：
例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这 y 条直线的方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P1（-2，3）， 斜率是 k=tan450=1 代入点斜式得 y－3 = x + 2， 即x－y + 5 = 0 P1 ° 5 ° ° -5 O
x
例2：一条直线经过点A（0，5），倾斜角为00，求这直线 方程 y
复习回顾
已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0）， 求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、 B、C、D按逆时针方向排列）。
y A
.
O
D
x
新课：
1、直线的点斜式方程：
已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是k 求直线l的方程。 设点P（x，y）是直线l上 不同于P1的任意一点。 l 根据经过两点的直线斜率 y P 公式，得
3 （C）y－2= （x＋ 3
（x＋ 2） 2）（D）y－2= 3
㈣总结： ①直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应 用。 ②直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。
点斜式
P0(x0,y0)
不能用点斜式求方程! 但是直线是存在的.
O
x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
x x0 x x0 0
小结
y
l
点斜式方程
①倾斜角α≠90°
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0 0或x x0
P93．例1 ： 0 直线l经过点P0 (-2,3)，且倾斜角 45 ，
求直线l的点斜式方程，并画出直线.
解：将已知条件代入点斜式方程得y-3=x+2,即 y=x+5. y 画图时，只需再找出直线 l l上的另一点P1(x1,y1)，例 P0 如，取x1=－4,y1=1，得P1 的坐标(－4,1)，则过P0,P1 P1 的直线即为所求．
1 3－1.已知直线的斜率为6，且和坐标轴围成面积为 3 的三角
形，求该直线的方程．
1 解：设直线方程为 y＝6x＋b， 当 x＝0 时，y＝b，即直线与 y 轴的交点为(0，b)； 当 y＝0 时，x＝－6b，即直线与 x 轴的交点(－6b,0)． 1 又 S＝2|b|· |－6b|＝3b2＝3，故 b＝± 1， 1 1 ∴所求直线方程为 y＝6x＋1 或 y＝6x－1.
§3.2直线的方程
§3.2.1直线的点斜式方程
一、复习:
倾斜角
• x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α.
y l α
O
倾斜角
x
倾斜角的范围： 0 180
一、复习:
斜率
1.表示直线倾斜程度的量： • ①倾斜角: 0°≤α<180° • ②斜率: k=tanα(α≠900) 2.斜率的计算方法: y2 y1 0 k tan ( 90 ) k x x ( x1 x2 ) 2 1 3.斜率和倾斜角的关系：
点斜式方程
2.根据下列条件，分别写出直线的方程： 根据下列条件，分别写出直线的方程： 根据下列条件 （1）经过点 ）经过点(4,−2)，斜率为 ； ，斜率为3； （2）经过点 ）经过点(3,1)，斜率为 ； ，斜率为−2； 轴上的截距为−2； （3）斜率为 ，在y轴上的截距为 ； ）斜率为−2， 轴上的截距为 轴的交点的横坐标为−7. （4）斜率为 ，与x轴的交点的横坐标为 ）斜率为4， 轴的交点的横坐标为
y − y0 = 0或y = y0
轴垂直时， =90° ②直线与x轴垂直时，倾斜角 =90° 直线与 轴垂直时 倾斜角α=90
x − x0 = 0或x = x0
l1
y b1 b2
y = k1 x + b1
y = k 2 x + b2
l2
l1 // l2 ⇔ k1 = k2 且b1 ≠ b2
x
l1 ⊥ l2 ⇔ k1 ⋅ k2 = −1
y P0(x0,y0) y0 l x O 直线上任意点 纵坐标都等于y 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 与 轴平行或重合 倾斜角为0° 倾斜角为 ° 斜率k=0 斜率
y − y0 = 0⋅ (x − x0 )
y − y0 = 0 y = y0
y
l P0(x0,y0) x
Hale Waihona Puke l与x轴垂直 与 轴垂直 倾斜角为90° 倾斜角为 ° 斜率k 斜率 不存在
小结
1.点斜式方程 1.点斜式方程
y − y0 = k ( x − x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 当知道斜率和一点坐标时用点斜式 斜率 2.斜截式方程 2.斜截式方程
y = kx + b
当知道斜率 和截距 时用斜截式 当知道斜率k和截距b时用斜截式 斜率 3.特殊情况 3.特殊情况 直线和x轴平行时 倾斜角α=0 轴平行时， =0° ①直线和 轴平行时，倾斜角 =0°
点斜式方程
思考：
1、能否仿照“直线在y轴上的截距”的定义说说 “直线在x轴上的截距”如何定义？
3、截距就是距离吗？ 4、斜截式方程与一次函数的关系如何？
斜截式方程与点斜式方程的关系如何？可以互化吗？
y
P(0,b)
A(a,0)
O
x
5、斜截式方程的形式有什么特点?
练习、
见课本95页 1、3
三、平面上两条直线的平行与垂直的判定： 若直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 则 l / / l k k , 且b b
y y0 k ( x x0 )
（1）
一、 直线过点P（x1，y1），斜率为k，则直线的方程：
y y1 k ( x x1 )
叫做直线的点斜式方程。
（特征：由直线的上一点以及直线的斜率确定）
思考； 1、过点P1(x1,y1) ，斜率为k的直线方程是y－y1=k· (x－x1) ， 为什么不是 y y 1 k ？
y kx b.
二、若直线l 斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，得
y=kx+b
叫做直线l的斜截式方程 其中，b为直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线l 在y 轴上的截距。
y 合作探究：请根据直线的点斜式方程 的研究过程，说说你对斜截式方程的 理解？
P(0,b)
A(a,0)
O
x
二、若直线l 斜率为k，与y轴的交点是P(0,b)，得
3.2.1 直线的点斜式方程
复习： 1、简述在直角坐标系内确定一条直线的几何要 素。 （1）已知直线上的一点和直线的倾斜角（斜率） 可以确定一条直线。
（2）已知两点可以确定一条直线。
2、在直角坐标系中，已知直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1 如何表示直线的斜率？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P 1
y
4 3
2 1
x
知识探究（二）：直线的斜截式方程
思考1:若直线l的斜率为k，且与y轴 的交点为P(0，b)，则直线l的方程是 什么？
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( b , 0 )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
y b k ( x 0)
x
y kx b
斜率 截距
斜截式
y P0(x0,y0)
l与x轴平行或重合
倾斜角为0°
斜率 k=0
x
y0
l
y y0 0 ( x x0 )
y y0 0 y y0
问：直线x轴的方程是什么？
O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
y=0
当直线L的倾斜角为 90°时，直线的方程是什么？
y
l
P0(x0,y0) x
l与x轴垂直
问题3 ：直线斜截式方程与一次函数关系？
y kx b
一次函数
y kx b
斜截式方程
b： k：
一次函数的常数项
b： k：
直线L在y轴上的截距
一次项系数且不 为0
直线L的斜率。
பைடு நூலகம்
斜截式方程的应用：
例2：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方 程。
解：由已知得k =5， b= 4， 代入斜截式方程 y= 5x + 4
倾斜角为90°
斜率 k 不存在
不能用点斜式求方程
O x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
问：直线y轴的方程是什么？
x x0 0 x x0
x=0
点斜式方程
y
l
①倾斜角α≠90°
x
y y0 k ( x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 y l x l
y y0 0或y y0
②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
形式
条件 过点( x0,y0), 斜率为k
方程
应用范围
k存在 y y0 k ( x x0 ) 不含与x轴 点斜式 垂直的直线 斜截式 在y轴上的截 同上 y kx b 距为b,斜率为k
注：在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率 存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率 不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解。
叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.
y y0 k x x0
直线的方程就是直线上所有的点的横纵坐标所满足的 等量关系式
思考:经过点P0(x0，y0)的任意一条直线
的方程都能写成点斜式 y y
0
k ( x x0 ) 吗？
不能，直线的斜率必须存在。
当直线L的倾斜角为 0° 时，直线的方程是什么？
3.2.1 直线的点斜式方程
乌海市第十中学 王祥
复习
问题：在直角坐标系内确定一条直线，需要哪些几何要素？ 1、已知直线上一点 P0(x0,y0) 和直线的倾斜角 （斜率 k)。 2、已知直线上两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2) 。 斜率公式： 1)k tan
( 900 ) ( x2 x1 )
作业:
P100习题3.2 A组：1，5，6.
y
y1 y0 k x1 x0
P 0
P1
O
x1
x0
结论：上述1、2都成立， 说明方程 （1） 恰好为 过点P0(x0,y0)，斜率 为k 的直线L 上的任一 点的坐标所满足的关系 式，我们称该方程为直 x 线L的方程。
一、直线的点斜式方程:
由直线上一个已知点P 0 ( x0 , y0 ) 及其斜率k确定的方程
课后研学
1.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2 l 4 : y 3x 2 ； l5 : y 3x 2 ； l2 : y x 2 ； l3 : y x 2 ； 根据图形你能够推测直线有什么特点？
2.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2x l 2 : y 2 x 1 ；l3 : y 2 x 1 ； l4 : y 2x 4 ； l5 : y 2 x 4 ； 根据图形你能够推测直线有什么特点？
y2 y1 2)k x2 x1
注意：不是所有的直线都有斜率， 斜率不存在的直线与x 轴垂直。
在直角坐标系中，给定一个点 P0 ( x0 , y0 ) 和斜率 k ，我们能否将直线上所有点的坐 标P（x, y)满足的关系表示出来？
y P
l
P 0
O
x
直线经过点 P0 ( x0 , y0 ) ，且斜率 为 k ，设点P( x, y)是直线 l 上 不同于点 P 0 的任意一点，因 为直线 l 的斜率为 k ，由斜率 公式得 y y0 k x x0 即
y y0 k ( x x0 )
（ 1）
由以上推导可知：
1、过点 P0 ( x0, y0 ) ，斜率为 k 的直线 l上的 每一点的坐标都满足方程（1）。
坐标满足方程（1）的每 一点是否都在过点P0 ( x0, y0 )， 斜率为 k 的直线 l 上呢？
设点 P 1 ( x1 , y1 ) 的坐标 x 1 , y1 满足方程
③倾斜角α=90°
O
x0
x
x x0 0或x x0
典型例题
例1 直线 l经过点p0(-2,3),且倾斜角α=45°,求直 线 l的点斜式方程，并画出图像 ． 解：直线 l 经过点p0(-2,3) ,斜率k=tan45°=1 代入点斜式方程得：y-3=(x+2） 画图时，因为直线l经过点 P0 p0(-2,3),所以只需再找出直线l 上的另一点p1(x1,y1) ，例如， l 取 x1=-1,y1 =4，得p1的坐标为 -2 -1 O (-1,4),过p0, p1 的直线即为所求， 如图所示．
当知道斜率和截距时用斜截式
斜截式方程的特点
y kx b
Y轴上的截距 与Y轴的交点 是（0，b）
y系数为1 直线的斜率
对斜截式方程深入理解：
问题1 ：能否用斜截式方程表示直角坐标平 面内的所有直线?
不能，直线的斜率k必须存在。 问题2：截距是不是距离？是不是一定要为 正？ 截距与距离不一样，截距可正、可为零、 可负, 而距离不能为负。
不一定
若两条直线中,一条没有斜率,另一条的斜率为零, 它们的位置关系也是垂直.
1.点斜式方程
y y0 k ( x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况 ①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
（1），即
y1 y0 k ( x1 y0 )
若 x1 x0，则 y1 y0 ，说明点 P1 与点 P0 重合， 可得点 P1 在直线上 l 。
y
P1 P 0
O
L
x
若 x1 x0 ，则 ，这说明过点 P1 和点 P0 的直线的斜率为 k ，可得点 P1 在过点 p0 ( x0 , y0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上
k1k2 1
思考
(1) 若两条直线的斜率相等,这两条直线一定平行吗?
不一定平行
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等吗?
不一定相等
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在,它们 平行吗?
平行
思考
(1)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定 垂直吗?
一定垂直
(2)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为-1吗?
例3:已知直线 l1 : y k1 x b1，l2 : y k2 x b ， 2
试讨论：(1) l1 // l2 的条件是什么？ (2) l1 l2 的条件是什么？
结论:
l1 : y k1x b1，l2 : y k2 x b2
l1 l2
l1 // l2
k1 k2 ,且 b1 b2
数学之美
y
y x2
y 2x 4
y
y 2x
y2
y 2x 4
o
y 3x 2
x y x 2
y 3x 2
y 2x 1
o
x
y 2x 1
直线 y kx 2 是过定点（0， 直线 y 2 x b 表示斜率为2的 2）的直线束； 一系列平行直线。