相似三角形专题 8字形

相似基本形————————

8

字形

一、基本形说明

条件：D E ∥BC 结论：（1）ΔAED ∽ ΔABC （2）

BC

DE

AB AE AC AD =

= （3）等积式：AD ·AB=AE ·AC

（4）对应比例式（上：下=上：下，上：全=…） 说明：不能直接用 过程：∵D E ∥BC

∴∠B=∠E ，∠D=∠C

∴ΔAED ∽ ΔABC ∴BC

DE

AB AE AC AD =

= 二、基本形练习；

1.已知：如图，D E ∥BC ，AC AD ＝1

2

,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( )

A.8cm

B.12cm

C.11cm

D.10cm

答案：A

2. 将一副三角板按如图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于（ ）

答案：C

3.在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 在直线AD 上，EF 交AC 与G,且AF=2DF ，则AG ：GC= 。 答案：

23或25

4.如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为(-3，4)，点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H. (1)求直线AC 的解析式；

(2)连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S(S ≠0)，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．

A

D E

B

C

A

D E

B

C

A B C D ....

13121314

答案：

5.在△ABC 中，已知AB ＞AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 在DC 的延长线上，且

BD

DE

＝k ，过E 作EF ∥AB 交AC 的延长线于F.

（1）如图1，当k=1时，求证：AF+EF ＝AB ；

（2）如图2，当k=2时，直接写出线段AF 、EF 、AB 之间满足的数量关系： ； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AE ，若AB ＝9，tan ∠DAF=2

1

,AE=217，且AF ＞EF ，求边AC 的长.

答案：（1）证明：延长AD 、EF 交于点G , 当k =1时，DE=BD

∵E F ∥AB, ∴∠BAD=∠EGD,

又∵∠BDA=∠EDG,BD=ED, ∴△AB D ≌△GED, ∴AB=GE, 又∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∴∠FGD=∠DAC,

∴AF=GF, ∴AF+EF=AB. (2) AF+EF=2AB. (3)延长AD 、EF 交点为G. 由（1）（2）可知：FG+EF=2AB=18,即GE=18.

过点A 作A H ⊥GE,在Rt △AGH 中，tan ∠G=tan ∠DAF=2

1

.

即2

1=GH AH ∴GH=2AH 设AH=x ，则GH=2x ,HE=18-2x ,在Rt △AEH 中,由勾股定理可得

2x +22)172()218=-x （ ，解得5

32

,821==x x 当AH=8时，GH=16,设FH=a ，则AF=16-a ,在Rt △AFH 中,

由勾股定理可得: 2

22)16(8a a -=+ 解得a =6，AF=10,EF=8,成立。

当AH=532

时，同理可求FH=4.8,AF=8,EF=10. ∵A F ＞EF, ∴此种情况不成立. ∵E F ∥AB, ∴∠ABC=∠FEC, 又∵∠ACB=∠FCE.

∴△AB C ∽△FEC, ∴

FC AC FE AB = 即AC

AC

-=1089 ∴AC=17

90

G

F

D

A

B C E

第（1）问图

H

G

F

D

A B C E 第（3）问图