从立体图形到平面图形的转化

从立体图形到平面图形的相互转化

［本讲数学思想方法的学习］

1. 立体图形与平面图形之间的相互转化。即已知几何体画它的三种视图，已知视图确定几何体。多边形之间的转化等都是转化思想的重要体现。

2. 根据几何体的俯视图中每个小正方形中所标注的数字可以画出几何体的主视图和左视图；根据三种视图，确定搭成几何体的小正方体的个数等都是数形结合思想的转化。

3. 结合几何体的主视图和俯视图，画它的左视图，所画的左视图可能不惟一，需要根据不同的情况分类画出。

一. 知识要点：

1. 知识点概要

⑴认识圆柱、圆锥、棱柱、球等立体图形的特征，能对几何体进行分类。

⑵能识别简单物体的三视图，会画简单几何体的三视图，并能根据三视图想象几何体或实物原形。

⑶认识立体图形与平面图形的关系，经历和体验图形的变化过程，掌握棱柱、圆锥、圆柱的侧面展开图，能根据展开图想象立体模型。尤其是掌握正方体的展开与折叠。

⑷了解多边形的概念，知道任何多边形都可由三角形组合而成，知道点、线、多边形、圆等图形可组合成各种优美的图案。

2. 重点难点

⑴重点：对几何体的识别及分类，简单物体的三视图，根据展开图想象和制作立体模型。

⑵难点：由实物的形状抽象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化。

二. 考点分析：

（一）立体图形

1. 常见几何体的类型：①柱体；②锥体；③球体。如图所示：

图⑵，⑷，⑸，⑹，⑺都称为柱体，它们有两个面互相平行，余下的每相邻两个面的交线互相平行。图⑴，⑼，⑽都称为锥体，图⑶是球体。由图可以看出，柱体包括圆柱、棱柱；锥体包括圆锥、棱锥。

2. 常见几何体的特征：

棱柱：棱柱的所有侧棱都相等，侧面的形状都是长方形，棱柱的上、下底面的形状相同。因底面的形状不同而分为三棱柱，四棱柱、五棱柱……，如图⑷，⑸，是四棱柱，⑹是三棱柱，⑺是五棱柱。

圆柱：上、下底面是半径相等的两个圆面，侧面是一个曲面。如图⑵。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。因底面的形状不同而分为三棱锥，四棱锥、五棱锥……，如图⑼是四棱锥，图⑽是三棱锥。

圆锥：由一个底面（为圆）和一个侧面组成。

3. 多面体：由多个平面围成的密封的几何体。如果把一个多面体具有的顶点数记作V，棱数记作E，面数记作F，通过观察简单的多面体得到V＋F－E＝2，即顶点数＋面数－棱数＝2，人们称它为欧拉公式。

（二）几何体的三视图

1. 三视图的概念：正视图―――从正面看到的图；左视图———从左面看到的图；俯视图———从上面看到的图。如图1，是一个由小立方体搭成的几何体，它的三种视图如图2所示。

正视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的高和宽。

2. 常见几何体的三视图：

3. 画三视图的注意点：（1）一般先画几何体的主视图，再画左视图和俯视图。（2）在画三视图时，要注意主、俯视图长相等，主、左视图要高平齐，左、俯视图要宽相等。

（三）立体图形的展开图

1. 常见几何体的展开图：

2. 正方体的展开图：

（四）平面图形

1. 常见平面图形：三角形、四边形、五边形、六边形、圆、扇形等。

2. 多边形：都是由一些不在同一条直线上的线段首尾相连组成的封闭图形。

3. 多边形的分割：设一个多边形的边数为n，从这个n边形的一个顶点出发，分别连接这

个顶点与n边形的其他各顶点（与这个顶点相邻的顶点除外），可以得到（n－2）个三角形。

4. 多边形的组合：几个简单的平面图形巧妙组合，可以得到许多优美典雅而又看起来十分复杂的图案。

【典型例题】

例3. （2008年市）在学校开展的“为灾区儿童过六一”的活动中，晶晶把自己最喜爱的铅笔盒送给了一位灾区儿童。这个铅笔盒（图1）的左视图是（）。

分析：左视图是从左边看到的图。从左边看，可看到两个相邻的长方形，又长方体的长比宽长，宽比高长，从左边看，只能看到宽、高的长度。

解：B。

例4.（2008年黄冈市）如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（）。

A. 长方体

B. 圆柱体

C. 球体

D. 三棱柱

分析：长方体的三视图均是长方形，圆柱的正、左视图是长方形，俯视图是圆，球的三视图都是圆，三棱柱的正视图是长方形，左视图是相邻的两个长方形，俯视图是三角形。即长方体、圆柱体、三棱柱都有同一种视图———长方形，只有球体例外。

解：C。

例5.（2008年回族自治区）展览厅要用相同的正方体木块搭成一个三视图如右图的展台，则此展台共需这样的正方体______块。

分析：由正视图可知，展台有三列，左、右两列是3个，中间一列是1个，由左视图又可知，展台有三行，第一、二两行是1个，第三行是3个，由俯视图可知，展台有三列，左列有两行，中间一列有一行，右列有三行。由此可得，展台所需的正方体应如右图放置。

解：10。

例 6.如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD 剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）。

分析：可将四个选项中的每个图折叠一下，能得到三棱锥的便是。

解：B。

例7.正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？

分析：图中出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对。再看6，•和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，余下是4和2相对。

解：图（1）的底面是2，图（2）的底面是5，图（3）的底面是1。

例8. （2008，市）如图1是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格，这时小正方体朝上一面的字是（）

A. 奥

B. 运

C. 圣

D. 火

分析：由图1可知：“接”与“运”、“奥”与“圣”、“迎”与“火”是相对的，当小正方体从图2所示的位置依次翻到第1格时，小正方体朝上一面的字是“圣”，当小正方体从第1格的位置依次翻到第2格时，小正方体朝上一面的字是“运”，当小正方体从第2格的位置依次翻到第3格时，小正方体朝上一面的字是“火”。

解：D。

例9. 如图，可用一个正方形制作成一副“七巧板”，利用“七巧板”能拼出各种各样的图案，根据“七巧板”的制作过程，请你回答下列问题。

A E D

B C

（1）一副七巧板有_______种不同形状的图形；

（2）七巧板是由________制作而成的。

A. 三角形

B. 梯形

C. 正方形

D. 平行四边形

（3）在一副七巧板中，有_______对可以完全重合的图形；

（4）七巧板由一块正方形，一块_______和五块_______组成。

分析：由分割正方形可知：七巧板是由正方形制作而成的，有三种形状不同的图形，它们分别是正方形、平行四边形、等腰直角三角形。

解：（1）3；

（2）选C；

（3）两。