统计的意义与平均数

统计的意义与平均数、中位数和众数及使用

教学内容：

一、统计的意义：

1．总体：所要考察对象的全体叫做总体.

2．个体：总体中每一个考察对象叫做个体.

3．样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.

4．统计调查的两种基本形式：普查和抽样调查.

区别是：普查是通过调查总体的方式收集数据的，抽样调查是通过调查样本的方式来收集数据的.

二、平均数、中位数和众数的使用：

1．平均数：一组数据中所有数据的平均数叫做这组数的平均数，一组数据x1，x2，…，x n

其平均数是.

2．众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

3．中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.

4．需要注意的几个问题：

（1）平均数大小与一组数据中的每一个数据都有关，它反映一组数据的平均大小。

（2）中位数与数据排列位置有关，且中位数是唯一的，它可以不是数据中的数。

（3）众数的大小只与一组数据中的部分数据有关；一组数据的众数可以有一个或一个以上，也可能没有.

典型例题：

例1．（1）为了了解某市初三毕业升学考试数学成绩的状况，从参考学生中抽取了1500名学生的数学成绩统计分析，在这个问题中，下面说法正确的是（）

A．总体是指该市参加数学开学考试的全体学生B．个体是指每个学生

C．样本是指这1500名学生的数学考试成绩D．以上说法都正确

（2）某校要了解初一学生的体重，以掌握他们的身体发育情况，从初一300名学生中抽出30名进行体重检测，在这个问题中，下列说法正确的是（）

A．300名学生是个体 B．300名学生是总体

C．30名学生是总体的一个样本D．300名学生中每一个学生的体重是个体

解：（1）应选（C）（2）应选（D）

点评：1．解决此类问题的关键是要弄清总体、个体、样本概念

2．总体、个体和样本的考察对象是同一的，所不同的是范围的大小，在（1）题中，总体、个体都是指毕业考生的数学成绩，它们既不是学生，也不是试卷，统计里考察对象是一种数量指标。

例2．请指出哪些调查不适合作普查而适合作抽样调查：

（1）了解市民最喜欢的几类书

（2）研究早餐中的牛奶和鸡蛋对孩子的健康是否绝对有益

（3）了解一个短期的插花培训班学员的插花技术是否达到班组平均水平

（4）了解一个班级中某一小组的数学平均成绩是否达到班级平均水平

分析：由于人力、物力、时间等等因素的限制，我们常常无法调查总体中的每一个对象，但在小范围内是可以采用普查的调查方法的

解：（1）和（2）所要考察的对象范围太广，故适合作抽样调查（3）和（4）可采用普查例3．请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性：

（1）调查一个班级里的女同学，以了解该班全体学生的学习情况

（2）在苏州地区调查气候情况，以了解全国相应季节的气候

（3）在某一超市的食品架上随机抽取若干袋饼干检查质量，从而可和该超市的饼干是否合格

分析：由于抽样调查所取的样本只是总体的一部分，故选取时应考虑具有代表性，即从样本的特征能估测出总体的特征。

解：（1）和（2）的样本缺乏代表性

例4．分别求下面一组数据的众数、中位数与平均数。

10 20 80 40 30 90 50 40 50 40

解（1）上面数据中，40出现了3次，是出现次数最多的，所以40是这组数据的众数。

（2）将上面10个数据按从小到大的顺序排列得到

10 20 30 40 40 40 50 50 80 90

其中最中间的两个数据都是40，它们的平均数是40，即这组数据的中位数是40。

（3）10+20+30+40+40+40+50+50+80+90=450

450÷10=45

所以这组数据的平均数是45。

点评①平均数、中位数和众数都是从不同角度用来代表一组数据，其中又以平均数的应用最为广泛。

②如果一组数据的个数为n，当n为奇数时，第个数是中位数（首先应将数据按大小排列），当n是偶数是，第和+1两个数的平均数是中位数。

例5．某工厂生产一批零件，其重量（单位：㎏）如下：

重量（㎏）2.932.963 3.023.03

个数4121086

这组数据的中位数是，众数是。

解：这40个数据中，最中间两个数是3，故中位数是=3（㎏），数据2.96出现12次，次数最多，故众数是2.96(㎏)

点评①统计数据个数的时候，相等的数据不能合起只算作一个数据。

②众数、中位数的单位和原数据单位一样。

例6．某商场4月份随机抽查了6天的营业额，结果分别如下（单位：万元）

2.8

3.2 3.4 3.7 3.0 3.1

试估计该商场4月份的总营业额大约是。

点评：抽查的这6天的营业额是一个样本，可求出这6天平均每天的营业额，从而估计出4月份每天的营业额，然后用这个平均数乘以30即得出4月份的总营业额。答案是96万元。

统计的思想方法，在社会生产部门商业财贸和生活实际中应用十分广泛。

例7．下图是某班学生的一次数学测验成绩的扇形统计图与之相对的统计表，把它们补充完整，并求学生成绩的平均数、中位数和众数。

成绩90807165

人数1210

解：将统计表与统计图综合观察，可以发现90分与

71分的人数共有22人，占总数的1－40%－5%=55%。

所以，22÷55%=40（人）

80分的人数为40×40%=16（人），65分的人数为40×5%=2（人）

90分占：12÷40=30%，71分占：10÷40=25%

于是不难求得学生成绩中位数是80分，众数是80分，

平均数是（90×12+80×16+71×10+65×2）÷40=80（分）

点评：一组数据的平均数、中位数、众数可能不相等，也可能相等。

例8．某合资企业对两位工人进行为期100天的技能考核，拟选技术好者为工长，考核结果如下面条形统计图，试问应确定谁任工长？

解：甲工人平均每天出现次品数是：

（60×0+25×1+10×2+5×3）÷100=0.6（件）

乙工人平均每天出现次品数是：

（55×0+40×1+5×2）÷100=0.5（件）

0.5＜0.6 乙低于甲，所以，应确定乙任工长。

例9．某公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表：

销售额（单位：万元）34567810

销售员人数（单位：人）1321111