人教版高二数学必修五:课时作业18(1)有答案

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课时作业(十八)

1.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3

+a 4+a 5=( )

A .33

B .72

C .84

D .189

答案 C

2.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4

a 2

=( )

A .2

B .4 C.172 D.152

答案 D

3.设公比为q (q ≠1)的等比数列{an }的前n 项和为Sn ,且Sn =q n +k ,那么k 等于( )

A .2

B .1

C .0

D .-1 答案 D 解析 Sn =

a

-q n 1-q =a 11-q -a 11-q

q n

=A -A ·q n .

4.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=1

4,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1等于( )

A .16(1-4-n )

B .16(1-2-n ) C.32

3(1-4-n ) D.32

3

(1-2-n ) 答案 C

解析 考查的是等比数列的性质,令b n =a n a n +1=16·(12

)2n -1

也是等比数列.

5.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为5

4

,则S 5=( )

A .35

B .33

C .31

D .29

答案 C

解析 设数列{a n }的公比为q ,a 2·a 3=a 21·q 3

=a 1·a 4=2a 1⇒a 4=2,

a 4+2a 7=a 4+2a 4q 3=2+4q 3=2×54⇒q =12

.

故a 1=a 4q 3=16,S 5=a 1-q 5

1-q

=31.

6.在等比数列{an }中,已知a 1+a 2+…+an =2n -1,则a 21+a 22+…+

a 2n 等于( )

A .(2n -1)2

B.13(2n

-1)2 C .4n

-1 D.13

(4n

-1) 答案 D

解析 ∵Sn =2n -1,∴a 1=1,q =2. ∴{a 2n }也成等比数列.a 21=1,公比为4. ∴a 2

1+a 2

2+…+a 2

n =

n

-4-1

=1

3

·(4n -1). 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9

S 6

=________.

答案 7

3

解析 设数列{a n }的公比为q ,则S 6S 3=1-q 6

1-q 3=

+q 3-q 3

1-q 3

=1+q 3

=3,所以q 3

=2.S 9S 6=1-q 91-q 6=1-231-22=7

3

.

另解 ∵{a n }为等比数列, ∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比, 即(S 6-S 3)2=S 3·(S 9-S 6).

又S 6S 3=3,S 6

3

=S 3代入上式, 得49S 26=S 63·(S 9-S 6

)及S 9S 6=73

. 8.在数列{an }和{bn }中,a 1=2,且对任意正整数n,3an +1-an =0,bn 是an 与an +1的等差中项,则{bn }的前n 项和为__________.

答案 2-23

n

解析 {an }成等比数列a 1=2,公比q =1

3

.

an =2·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n -1

.

∴bn =

an +an +12

=⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n =43·⎝ ⎛⎭

⎪⎫13n -1

. ∴{bn }的前n 项和为 43·⎝ ⎛

⎭⎪

⎫1-13n 1-13

=2⎝

⎛⎭⎪⎫1-13n =2-2

3n .

9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为________.

答案 13

解析 由题意得2(2S 2)=S 1+3S 3,即4S 2=S 1+3S 3,很明显公比q ≠1,则

4

a 1

-q 21-q =a 1+3a 1-q 31-q ,解得q =1

3

.

10.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an }是

公比为q 的无穷等比数列,下列{an }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第________组.(写出所有符合要求的组号)

①S 1与S 2;②a 2与S 3;③a 1与an ;④q 与an . 其中n 为大于1的整数,Sn 为{an }的前n 项和. 答案 ①④

解析 ②不能唯一..确定 ③需对n 讨论. 11.(2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;

(2)设q ≠1,证明:数列{a n +1}不是等比数列. 解析 (1)设{a n }的前n 项和为S n , 当q =1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1; 当q ≠1时,S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1,①

qS n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n ,②

①-②,得(1-q )S n =a 1-a 1q n .

∴S n =a 1

-q n

1-q ,∴S n =⎩⎪⎨⎪⎧

na 1

,q =1,a 1

-q n

1-q

,q ≠1.

(2)证明 假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N +, (a k +1+1)2=(a k +1)(a k +2+1),

a 2k +1+2a k +1+1=a k a k +2+a k +a k +2+1,

a 21q 2k +2a 1q k =a 1q

k -1

·a 1q k +1+a 1q k -1+a 1q k +1, ∵a 1≠0,∴2q k =q k -1+q k +1.

∵q ≠0,∴q 2-2q +1=0,∴q =1,与已知矛盾.

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