人教版高二数学必修五:课时作业18(1)有答案
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课时作业(十八)
1.在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3,前三项和为21,则a 3
+a 4+a 5=( )
A .33
B .72
C .84
D .189
答案 C
2.设等比数列{a n }的公比q =2,前n 项和为S n ,则S 4
a 2
=( )
A .2
B .4 C.172 D.152
答案 D
3.设公比为q (q ≠1)的等比数列{an }的前n 项和为Sn ,且Sn =q n +k ,那么k 等于( )
A .2
B .1
C .0
D .-1 答案 D 解析 Sn =
a
-q n 1-q =a 11-q -a 11-q
q n
=A -A ·q n .
4.已知{a n }是等比数列,a 2=2,a 5=1
4,则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1等于( )
A .16(1-4-n )
B .16(1-2-n ) C.32
3(1-4-n ) D.32
3
(1-2-n ) 答案 C
解析 考查的是等比数列的性质,令b n =a n a n +1=16·(12
)2n -1
也是等比数列.
5.已知数列{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 2·a 3=2a 1,且a 4与2a 7的等差中项为5
4
,则S 5=( )
A .35
B .33
C .31
D .29
答案 C
解析 设数列{a n }的公比为q ,a 2·a 3=a 21·q 3
=a 1·a 4=2a 1⇒a 4=2,
a 4+2a 7=a 4+2a 4q 3=2+4q 3=2×54⇒q =12
.
故a 1=a 4q 3=16,S 5=a 1-q 5
1-q
=31.
6.在等比数列{an }中,已知a 1+a 2+…+an =2n -1,则a 21+a 22+…+
a 2n 等于( )
A .(2n -1)2
B.13(2n
-1)2 C .4n
-1 D.13
(4n
-1) 答案 D
解析 ∵Sn =2n -1,∴a 1=1,q =2. ∴{a 2n }也成等比数列.a 21=1,公比为4. ∴a 2
1+a 2
2+…+a 2
n =
n
-4-1
=1
3
·(4n -1). 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 6S 3=3,则S 9
S 6
=________.
答案 7
3
解析 设数列{a n }的公比为q ,则S 6S 3=1-q 6
1-q 3=
+q 3-q 3
1-q 3
=1+q 3
=3,所以q 3
=2.S 9S 6=1-q 91-q 6=1-231-22=7
3
.
另解 ∵{a n }为等比数列, ∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比, 即(S 6-S 3)2=S 3·(S 9-S 6).
又S 6S 3=3,S 6
3
=S 3代入上式, 得49S 26=S 63·(S 9-S 6
)及S 9S 6=73
. 8.在数列{an }和{bn }中,a 1=2,且对任意正整数n,3an +1-an =0,bn 是an 与an +1的等差中项,则{bn }的前n 项和为__________.
答案 2-23
n
解析 {an }成等比数列a 1=2,公比q =1
3
.
an =2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n -1
.
∴bn =
an +an +12
=⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫13n =43·⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n -1
. ∴{bn }的前n 项和为 43·⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1-13n 1-13
=2⎝
⎛⎭⎪⎫1-13n =2-2
3n .
9.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列,则{a n }的公比为________.
答案 13
解析 由题意得2(2S 2)=S 1+3S 3,即4S 2=S 1+3S 3,很明显公比q ≠1,则
4
a 1
-q 21-q =a 1+3a 1-q 31-q ,解得q =1
3
.
10.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{an }是
公比为q 的无穷等比数列,下列{an }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第________组.(写出所有符合要求的组号)
①S 1与S 2;②a 2与S 3;③a 1与an ;④q 与an . 其中n 为大于1的整数,Sn 为{an }的前n 项和. 答案 ①④
解析 ②不能唯一..确定 ③需对n 讨论. 11.(2013·陕西)设{a n }是公比为q 的等比数列. (1)推导{a n }的前n 项和公式;
(2)设q ≠1,证明:数列{a n +1}不是等比数列. 解析 (1)设{a n }的前n 项和为S n , 当q =1时,S n =a 1+a 1+…+a 1=na 1; 当q ≠1时,S n =a 1+a 1q +a 1q 2+…+a 1q n -1,①
qS n =a 1q +a 1q 2+…+a 1q n ,②
①-②,得(1-q )S n =a 1-a 1q n .
∴S n =a 1
-q n
1-q ,∴S n =⎩⎪⎨⎪⎧
na 1
,q =1,a 1
-q n
1-q
,q ≠1.
(2)证明 假设{a n +1}是等比数列,则对任意的k ∈N +, (a k +1+1)2=(a k +1)(a k +2+1),
a 2k +1+2a k +1+1=a k a k +2+a k +a k +2+1,
a 21q 2k +2a 1q k =a 1q
k -1
·a 1q k +1+a 1q k -1+a 1q k +1, ∵a 1≠0,∴2q k =q k -1+q k +1.
∵q ≠0,∴q 2-2q +1=0,∴q =1,与已知矛盾.