次序统计量及其分布
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推论1 ：最大次序统计量 x (n) 的概率密度函数为
p n ( x ) n [ 1 F ( x ) ] n 1 p ( x ) (5-3-4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p 1 (x ) n [F (x )]n 1 p (x ) (5-3-5)
.
例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为
p ij(y,z)(i 1 )!(jin !1 )!(nj)![F (y)]i 1 [F (z)F (y)]j i 1
[1F (z)]njf(y)f(z), ayzb
（5-3-6） 证明：对增量 y, z 以及 y < z , 事件
x ( i ) ( y ,y y ] ,x ( j .) ( z ,z z ]
33 27 种，现将它们以及由它们所构成的次序统
计量 X(1),X(2),X(3) 的一切可能值列在表中(P243)， 由此可给出 X(1),X(2),X(3) 的分布列如下：
X(1)
0
12
P 19/27 7/27 1/27
X(2)
0
1
2
P 7/27 13/27 7/27
X(3)
0
1
2
P 1/27 7/27. 19/27
为最小顺序统计量(Minimum order Statistic)
称
X(n) m 1iaxn Xi
（5-3-2）
为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。
.
例5-3-1：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均
匀分布，其分布列为
x0 1 2
p
1 3
1 3
1 3
现从中抽取容量为 3 的样本，其一切可能取值有
种，于是，若以 Fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多 项分布可得
F k(x x ) F k(x )
n ! [F (x )]k 1 [F x x F (x )][1 F (x x )]n k
(k 1 )!(n k)!
.
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
pk(x) lixm 0F k(x xx )F k(x) n ! [ F ( x ) ] k 1 p ( x ) [ 1 F ( x ) ] n k ( k 1 ) ! ( n k ) !
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值落 在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于“样本 容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，有 n-k 个 观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下图 5-8 .
§5.3 次序统计量及其分布
定义
定义 5-3-1: 设 X1,X2,L,Xn 为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 X (1 ) X (2 ) L X (n )
则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic)
特别地，称
X(1) m 1iinnXi
（5-3-1）
可见这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布， 如 x(1) 和 x(2) 的联合分布列为
x(2) x(1) 0
0 7/27
1 9/27
2 3/27
1
0
4/27
3/27
2
0
0
1/27
易于看出 P (x(1 )0 )P (x(2)0 )1 2 9 72 7 7
不等于
.
k-1
1
n-k
x
x+x
图 5—8 x (k) 的取值示意图
样本的每一分量小于等于 x 的概率为 F (x) , 落入区
间 ( x , x + x ] 概率为F(x+ x)-F(x),落入区间 (x+
x, b]的概率为 1-F(x+x) ，而将 n 个分量分成这
样的三组，总的分法有
n!
(k 1)!1!(n k)!
p 2 (x ) (2 1 ) 5 ! ( ! 5 2 )! [F (x ) ]2 1 p (x ) [ 1 F (x ) ] 5 2
2 0 x 3 3 x 2 ( 1 x 3 ) 3 6 0 x 5 ( 1 x 3 ) 3 , 0 x 1
于是
P (x(2)1 2)0 1 260x5(1x3)3dx
P(x(1)
0,x(2)
0)7 27
即 x(1) 和 x(2) 是不独立的。.
次序统计量的分布
（一）单个次序统计量的分布
定理 5-3-1：设总体X的密度函数为 p (x) ，分布函数 为 F (x) ，x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计 量 x (k) 的密度函数为
p k (x ) (k 1 )! n ( ! n k )![F (x )]k 1 [ 1 F (x )] （n k 5p -3(-x 3)）
y x 31 8 2 0 y ( 1 y ) 3 d y 1 2 0 ( z 3 z 4 ) d z
0
7 8
5 ( 1 ( 7 ) 4 ) 4 ( 1 ( 7 ) 5 ) 0 . 1 2 0 7 88
.
（二）多个次序统计量的联合分布
Fra Baidu bibliotek仅讨论任意二个次序统计量的情形。
定理 5-3-2 ：设总体 ξ 有密度函数 f (x) , a ≤x ≤b , （同样可设 a = - ∞, b = +∞ ) 。并且 ξ1 , ξ2 , … , ξn 是 取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计 量 ξ (1) < ξ (2) 的联合分布密度函数为
可以表述为“容量为 n 的样本 x1, x2, … , xn 中有 i-1 个观测值小于等于 y , 一个落入区间 ( y , y + y ] , j –i -1 个落入区间 ( y + y , z ] , 一个落入区间 ( z,
z+z ] ,而余下的 n—j 个大于 z + z ”
i-1
1
j-i-1
p (x)3 x2, 0x 1
现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算
P ( x(2)
1) 2
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为
0 ,
F
(
x)
x3
,
1 ,
x 0; 0 x 1; x 1
由公式（5-3-3）可以得到 x (2) 的密度函数为
.
y
y+y
于是由多项分布得
1
p n ( x ) n [ 1 F ( x ) ] n 1 p ( x ) (5-3-4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p 1 (x ) n [F (x )]n 1 p (x ) (5-3-5)
.
例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为
p ij(y,z)(i 1 )!(jin !1 )!(nj)![F (y)]i 1 [F (z)F (y)]j i 1
[1F (z)]njf(y)f(z), ayzb
（5-3-6） 证明：对增量 y, z 以及 y < z , 事件
x ( i ) ( y ,y y ] ,x ( j .) ( z ,z z ]
33 27 种，现将它们以及由它们所构成的次序统
计量 X(1),X(2),X(3) 的一切可能值列在表中(P243)， 由此可给出 X(1),X(2),X(3) 的分布列如下：
X(1)
0
12
P 19/27 7/27 1/27
X(2)
0
1
2
P 7/27 13/27 7/27
X(3)
0
1
2
P 1/27 7/27. 19/27
为最小顺序统计量(Minimum order Statistic)
称
X(n) m 1iaxn Xi
（5-3-2）
为最大顺序统计量(Maximum order Statistic) 。
.
例5-3-1：设总体X的分布为仅取 0, 1, 2 的离散均
匀分布，其分布列为
x0 1 2
p
1 3
1 3
1 3
现从中抽取容量为 3 的样本，其一切可能取值有
种，于是，若以 Fk (x) 记 x (k) 的分布函数，则由多 项分布可得
F k(x x ) F k(x )
n ! [F (x )]k 1 [F x x F (x )][1 F (x x )]n k
(k 1 )!(n k)!
.
两边同除以 x , 并令 x→0 , 即有
pk(x) lixm 0F k(x xx )F k(x) n ! [ F ( x ) ] k 1 p ( x ) [ 1 F ( x ) ] n k ( k 1 ) ! ( n k ) !
证明： 对任意的实数 x ，考虑次序统计量 x(k) 取值落 在小区间 (x , x + x ] 内这一事件，它等价于“样本 容量为 n 的样本中有 1 个观测值落在区间 (x , x + x ] 之间，而有 k-1 个观测值小于等于 x ，有 n-k 个 观测值大于 x + x ”，其直观示意图见下图 5-8 .
§5.3 次序统计量及其分布
定义
定义 5-3-1: 设 X1,X2,L,Xn 为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 X (1 ) X (2 ) L X (n )
则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic)
特别地，称
X(1) m 1iinnXi
（5-3-1）
可见这三个次序统计量的分布是不相同的。
进一步，我们可以给出两个次序统计量的联合分布， 如 x(1) 和 x(2) 的联合分布列为
x(2) x(1) 0
0 7/27
1 9/27
2 3/27
1
0
4/27
3/27
2
0
0
1/27
易于看出 P (x(1 )0 )P (x(2)0 )1 2 9 72 7 7
不等于
.
k-1
1
n-k
x
x+x
图 5—8 x (k) 的取值示意图
样本的每一分量小于等于 x 的概率为 F (x) , 落入区
间 ( x , x + x ] 概率为F(x+ x)-F(x),落入区间 (x+
x, b]的概率为 1-F(x+x) ，而将 n 个分量分成这
样的三组，总的分法有
n!
(k 1)!1!(n k)!
p 2 (x ) (2 1 ) 5 ! ( ! 5 2 )! [F (x ) ]2 1 p (x ) [ 1 F (x ) ] 5 2
2 0 x 3 3 x 2 ( 1 x 3 ) 3 6 0 x 5 ( 1 x 3 ) 3 , 0 x 1
于是
P (x(2)1 2)0 1 260x5(1x3)3dx
P(x(1)
0,x(2)
0)7 27
即 x(1) 和 x(2) 是不独立的。.
次序统计量的分布
（一）单个次序统计量的分布
定理 5-3-1：设总体X的密度函数为 p (x) ，分布函数 为 F (x) ，x1, x2, …, xn 为样本，则第 k 个次序统计 量 x (k) 的密度函数为
p k (x ) (k 1 )! n ( ! n k )![F (x )]k 1 [ 1 F (x )] （n k 5p -3(-x 3)）
y x 31 8 2 0 y ( 1 y ) 3 d y 1 2 0 ( z 3 z 4 ) d z
0
7 8
5 ( 1 ( 7 ) 4 ) 4 ( 1 ( 7 ) 5 ) 0 . 1 2 0 7 88
.
（二）多个次序统计量的联合分布
Fra Baidu bibliotek仅讨论任意二个次序统计量的情形。
定理 5-3-2 ：设总体 ξ 有密度函数 f (x) , a ≤x ≤b , （同样可设 a = - ∞, b = +∞ ) 。并且 ξ1 , ξ2 , … , ξn 是 取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计 量 ξ (1) < ξ (2) 的联合分布密度函数为
可以表述为“容量为 n 的样本 x1, x2, … , xn 中有 i-1 个观测值小于等于 y , 一个落入区间 ( y , y + y ] , j –i -1 个落入区间 ( y + y , z ] , 一个落入区间 ( z,
z+z ] ,而余下的 n—j 个大于 z + z ”
i-1
1
j-i-1
p (x)3 x2, 0x 1
现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算
P ( x(2)
1) 2
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为
0 ,
F
(
x)
x3
,
1 ,
x 0; 0 x 1; x 1
由公式（5-3-3）可以得到 x (2) 的密度函数为
.
y
y+y
于是由多项分布得
1