研究生课程《数值分析》-第六章线性方程组的迭代解法

k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
1
0.72
0.83
0.84
2
0.971
1.07
1.15
……
……
…….
……
11
1.099993 1.199993 1.299991
12
1.099998 1.199998 1.299997
从上表可以看出，迭代序列收敛于x*，若取x(12)作为近似
解，则误差不超过 10-5
an1 x1(k )
...
a x (k) nn 1 n1
bn
可以缩写为：
x (k1) i
1 aii
i 1
aij x j(k )
j 1
n
aij x j(k )
j i 1
bi
(i 1,2,, n)
6
例1
用雅可比迭代法解线性方程组
10x1 x2 2x3 7.2
x1
10x2
2x3
8.3
a21 x1 a22 x2 ... a2n xn ... ... ... ...
b2
aii
0
an1 x1 an2 x2 ... ann xn bn
x2
1 a22
a21 x1
...
a2n xn
b2
...
...
...
...
建立迭代格式：
xn
1 ann
an1x1 ... ann1xn1 bn
B
f
Jacobi 迭代阵，简记为BJ
x(k1) D1(L U)x(k) D1b
8
三、Gauss–Seidel（高斯—塞德尔）迭代法
x ( k 1) 1
1 a11
(a12 x2(k )
a13 x3(k )
a14 x4(k )
a1n xn(k)
b1 )
x ( k 1) 2
1 a22
(a21 x1(k1)
7
写成矩阵形式：把A分解成 A D L U，其中
wk.baidu.com
D diag (a11, a22 ,, ann ),
0
L
a21
an1
0
an,n1
, 0
0 U
a12 0
a1n
an1,n 0
.
Ax b (D L U )x b Dx (L U )x b
x D1(L U)x D1b
解 雅可比迭代格式：
x1 x2 5x3 4.2
x (k1) 1
x (k1) 2
0.1x2(k ) 0.1x1(k )
0.2 x3(k) 0.2 x3(k)
0.72 0.83
x3
(
k
1)
0.2 x1(k )
0.1x2(k )
0.84
取x(0)＝ 0,0,0T , 迭代结果见下表 准确解x *＝1.1,1.2,1.3T
2．解决方法：（利用迭代方法）
迭代方法：把线性方程组的数值求解问题化为一个 迭代序列来实现。
2
由于迭代方法能避免系数矩阵中零元的存贮与计算， 特别适用于解系数矩阵阶数很高而非零元极少（即大型 稀疏）的线性方程组。
具体做法
(1) Ax b x Bx f
(2) 取任意初始向量 x(0) 构成迭代序列:
x1
1 5
(1
x2
3x3
)
x2
1 4
(2
2 x1
x3 )
x3
1 11
(3
4
x1
6
x2
)
10
建立 Jacobi 迭代格式如下
x1( k 1) x2( k 1) x3( k 1)
,,
xn(0) )T
, 可计算x(1) ,
x(2) ,,若 lim k
x(k)
x*,
则x * 是方程Ax b的解
迭代初值
如何构造迭代方程
收敛 5
二、Jacobi （雅可比）迭代法
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
x1
1 a11
a12 x2
...
a1n xn
b1
4
迭代法要解决的主要问题如下 ：
1.如何构造迭代格式？
2.构造的格式所产生的序列在什么情况下收敛？
3.如果收敛，收敛的速率如何？
迭代方程
4.近似解的误差估计。
迭代格式
方程
Ax b x Bx f , x(k1) Bx(k) f , k 1, 2,
任给
x(0)
(
x(0) 1
,
x(0) 2
x(k1) Bx(k) f , k 0,1, 2,
若x(k) x（ k ）,则有 x Bx f
即x就 是Ax b的 解 。
3
定义： 迭代格式： x(k1) Bx(k) f , k 0,1, 2,
迭代矩阵：矩 阵B 迭代过程收敛： 若序列{x(k)}极限存在，称此迭代过程收敛，否则称为发散。 迭代 法计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀 疏矩阵 /* sparse matrices */ 的方程组。
数值分析课件 第六章
线性方程组的迭代解法
1. 基本迭代方法 2. 迭代法的收敛性 3. 松弛迭代法
1
§1 基本迭代方法
一、问题的提出
1．直接方法的缺陷(以Gauss消去法为代表)：
对于低中阶数（n ≤ 100）的线性方程组十分有效，
但n 很大时，特别是由某些微分方程数值解所提出来的 线性方程组，由于舍入误差的积累以及计算机的存贮困 难，直接方法却无能为力。
1
x ( k 1) n1
bn )
写成矩阵形式： x(k1) D1(Lx(k1) Ux(k) ) D1b
(D L)x(k1) Ux(k) b
x(k1) (D L)1Ux(k) (D L)1b
Gauss-Seidel 迭代阵，
B
简记为BGS
f
9
Gauss-Seidel迭代法的分量形式为：
x (k1) 1
1 a11
a12 x2(k ) ... a1n xn(k ) b1
x (k1) 2
1 a22
a21 x1(k ) ... a2n xn(k ) b2
...
...
...
...
按此格式迭代求解 的方法称为雅可比 迭代法,简称J法。
x (k1) n
1 ann
a23 x3(k )
a24 x4(k )
a2n xn(k )
b2 )
x ( k 1) 3
1 a33
(a31 x1(k1)
a x(k1) 32 2
a34 x4(k )
a3n xn(k )
b3 )
…………
x ( k 1) n
1 ann
(an1 x1(k1)
an2 x2(k1)
an3 x3(k1)
ann
xi(k1)
1 aii
[bi
i 1
aij
x
(k j
1)
j 1
n
aij x(jk ) ]
j i 1
,
i 1,2,, n
例2 分别给出以下线性方程组的Jacobi迭代格式和
5 1 3 x1 1
Gauss-Seidel迭代格式： 2 4 1 x2 2
4
6
11
x3
3
解
原方程等价于