1.4.1角平分线导学案
北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线导学案
神木县第五中学导学案年级八班级学科数学课题 1.4.1角平分线性质定理及逆定理第课时总课时编制人审核人使用时间第周星期使用者学习目标1．探索并理解角平分线的性质和判定．2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．【学习重、难点】正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明.学法指导操作说明教学流程一.情景导入，初步认知角平分线上的点有什么性质吗？折纸可以得到这个性质吗？二.思考探究，获取新知探究1：角平分线定理角平分线上的点到这个角两边的距离相等.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．【归纳结论】角平分线上的点到______________________相等.你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？探究2：角平分线的判定定理.命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上．利用“AAS”证明三角形全等，再利用“全等三角形的对应边相等”，即可得出结论。
利用“HL”证明三角形全等，再利用“全等三角形的对应角相等”，得到两角相等，即角分线。
【归纳结论】在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在__________________________上.三.运用新知，深化理解例1、已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
四.师生互动，课堂小结这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线(或证明一条射线是角的平分线)时，过角平分线(或射线)上的点向角两边作垂线段，利用角平分线的性质(或判定)则使问题迅速得到解决．能力强的同学可独立完成，弱的同学可小组合作完成，或者是教师讲解后，学生再自主完成。
角平分线的性质导学案
1.4角的平分线的性质（1）学习目标：1、通过探究理解角平分线的性质并会运用2、掌握尺规作图作角平分线 学习重点：角平分线的性质及尺规作图【学习过程】 一、预习导学：基本定理的学习：（阅读课文P22-25的内容）角的平分线性质定理和判定定理： 二、讨论展示：（1）知识回顾： 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝DC ，求证：AC 是∠DAB 的平分线（2）学习新知：1、 如图，已知∠BAC ，用尺规作图的方法作出∠BAC 的角平分线AD ，写出作法，并说明这种作法的依据。
2、OC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点，操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB,点D 、E 为垂足，测量PD 、PE 的长.将三次数据填入下表：观察测量结果,猜想线段3、你能用所学知识证明以上你发现的结论吗？ 已知：AD 平分∠BAC ，P 为AD 上的一点，PM ⊥AB ，PN ⊥AC 求证： 证明：4、 反过来，如图，若P 为∠BAC 内的一点，且点P 到边AB 、AC 的距离相等，即PM=PN ，你认为经过点P 的射线AD 平分∠BAC 吗？为什么？5、 小结：通过以上探索和证明，我们得出了角平分线的性质是：（1） ； （2） 。
仔细比较分析，以上两条定理有什么关系：一般情况下，我们要证明一个几何中的命题时，会按照类似的步骤进行，即：（1） ；（2） ；（3） 。
三、新知应用：（1）如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，且D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CFA B D C A B C C A B CN M P D A B C N M P D。
1.4 角平分线(1)导学案
数学来源于生活，认真观察做生活的有心人，你一定收获满满！第一章三角形的证明１.４角平分线(1)导学案【学习目标】1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.经过练习拓展，能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题，体会转化的思想.【课前导学】同学们：课前预习是学习的重要组成部分，认真完成事半功倍！１. 什么叫角平分线？从一个角的顶点引出一条，把这个角分成，这条射线就叫这个角的角平分线.２. 角平分线上的点具有什么性质？角平分线上的点到这个角相等.３．角平分线上的点到这个角的两边距离相等条件是：结论是：４．结合图中条件和命题内容补写下列证明过程：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.已知：OC是的平分线，点P在OC上丄丄,垂足分别为，求证：＝证明：∵OC是∠AOB的平分线PD⊥OA , PE⊥OB∴∠= ∠∠= ∠＝90°在△OPD和△OPE中∵∴△≌△ ( )∴【课中导练】同学们：课堂是学习的主阵地，利用好课堂时间，实现高效学习！1.结合随堂检测先分析再完成.（思路一定要清晰！）如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？分析：AD、AF是线段？射线？AD，AF存在数量关系？存在什么位置关系？2.结合拓展提升先分析再完成.（善于分析总结才能突破提升！）１如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,DE丄AB， DF丄AC，垂足分别为E，F，(1)求证：EB＝FC（请试一试有几种途径或方法）(2)你还有哪些新的发现？连接 EF？说出成立的理由分析：1.利用角平分线性质定理，还是角平分线判定定理？2. 两个定理已证明，可以直接使用？3.题目看似简单，隐含着较多的等量关系！２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE丄AB， DF丄AC，垂足分别为E，F，DE＝DF，求DE的长.分析：1.利用角平分线性质定理，还是角平分线判定定理？2.求DE的长是数量，题目中的条件哪个是相关的数量条件？3. ∠BAC＝60°这个条件有什么用途？。
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教学设计
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教学设计一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一节内容是北师大版八年级下册数学的重要知识点。
本节课主要介绍了角平分线的定义、性质以及作法。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，进而学会如何作一个角的平分线。
这部分内容是学生学习几何的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和空间想象能力具有重要意义。
二. 学情分析在八年级下册的学生已经学习了基本的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于角平分线的概念和性质，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要教师通过生动的实例和形象的图示，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。
同时，学生需要通过动手操作，提高自己的实践能力，将理论知识应用到实际问题中。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会用直尺和圆规作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生体验到成功的喜悦。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.难点：角平分线的性质证明和作法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生动的实例和形象的图示，引导学生理解和掌握角平分线的性质。
2.实践操作法：让学生动手操作，提高实践能力，将理论知识应用到实际问题中。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养团队合作精神。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、直尺、圆规、三角板等教学用品。
2.学生准备：笔记本、文具、几何模型等学习用品。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个生活中的实例引入角平分线的概念，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个农业生产中的问题：如何将一个角的农田分成两个面积相等的部分？引导学生思考和讨论。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的定义和性质，让学生直观地理解角平分线。
八年级数学下册 1.4 平分线导学案1(新版)北师大版
角平分线一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，E F⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=C F.四、课堂检测FEDC BA1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EP O D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上 B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上 D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.。
八年级数学下册1.4第1课时角平分线教案
1．4 角平分线第1课时角平分线1．复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理；(重点)2．能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题．(难点)一、情境导入问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质定理【类型一】应用角平分线的性质定理证明线段相等如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB ＝AF＋2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CDF≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE ⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵BD＝DF，DC＝DE，∴Rt△CDF≌Rt △EBD(HL)．∴CF＝EB；(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在△ADC与△ADE中，∵CD＝DE，AD＝AD，∴△ADC≌△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等．【类型二】角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB ＝4，则AC的长是( )A．6 B．5 C．4 D．3解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝12×4×2＋12×AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用如图所示，D是△ABC外角∠ACG 的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.解析：由角平分线上的性质可得DE＝DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△CDF 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∵CD＝CD，DE＝DF，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．探究点二：角平分线的判定定理【类型一】角平分线的判定如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BE＝CF，BD＝CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．【类型二】角平分线的性质和判定的综合如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF ⊥AC可得DE＝DF，由此易得△ADE≌△ADF，故∠ADE＝∠ADF，即①AD 平分∠EDF正确；②AE＝AF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故③正确；∵④到AE、AF距离相等的点，在∠BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在∠EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故④正确；①②③④都正确．故选 D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．【类型三】添加辅助线解决角平分线的问题如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点 D.求证：AD是∠BAC的平分线．解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DE＝DG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明．证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.∵BD平分∠CBE，DE⊥BE，DF⊥BC，∴DE＝DF.同理DG＝DF，∴DE＝DG，∴点D在∠BAC的平分线上，∴AD是∠BAC的平分线．方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题．【类型四】线段垂直平分线与角平分线的综合运用如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根据角平分线的性质可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵AC＝AD，OC＝OD，AO＝AO，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练.。
角平分线的性质导学案
1.4 角平分线的性质与判定导学案（一）【导学目标】1、掌握角平分线的性质定理及判定定理；2、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
【导学重点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【导学难点】掌握角平分线的性质定理及判定定理；【强基导学】1、判定三角形全等的方法有哪些？判定直角三角形全等的方法呢？2、斜边、直角边定理的内容是什么？3、什么是角平分线？4、点到直线的距离的定义，完成任务1：【自主探学】阅读教材P22【任务1】如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，作PD⊥OA ，PE⊥OB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？请写出证明过程。
【归纳】角平分线的性质定理：角平分线上的点到。
几何语言描述角平分线的性质定理：∵∴，完成任务2：【带问自学】阅读教材P23【任务2】如图，点P在∠AOB的内部，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E. 若PD= PE，那么点P在∠AOB的平分线上吗？请说明理由。
【归纳】角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点 。
用几何语言描述角平分线的判定定理：∵∴【互动帮学】例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. （1）求证：点B 在∠ADC 的平分线上； （2）求证：BD 是∠ABC 的平分线.【知识梳理】1、角平分线的性质定理是 。
2、角平分线的判定定理是 。
【达标评学】1． 如图，在△ABC 中，∠B =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，BC =10cm ，CD =6cm ，则点D 到AC 的 距离是： 。
2、如图，在Rt △ABC 中，AC =4，BC =3，AB =5， 点D 是三角形内角平分线的交点，则点D 到AB 的 距离是： 。
A3、如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，且DC＝DE，∠CBD:∠A＝2:1，则∠A的度数为。
【布置作业】教材P26A组1、2题BEADC第3题图。
1.4.1角平分线(教案)
一、教学内容
本节课选自七年级数学教材《几何初步》1.4.1节——角平分线。教学内容主要包括以下部分：
1.角平分线的定义：介绍什么是角平分线，即从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线。
2.角平分线的性质：讨论角平分线的一些基本性质，如角平分线把角分成两个相等的角，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
-难点2：在证明角平分线性质时，教师应逐步引导学生通过等量代换和角的性质来进行逻辑推理，同时提供多个证明方法的示例，以帮助学生理解。
-难点3：在画角平分线时，教师应详细演示画图步骤，并强调圆规和直尺的正确使用方法，同时提供足够的练习机会，让学生在实践中掌握技巧。
-难点4：针对实际问题中的应用，教师可以设计一系列有层次的练习题，从简单到复杂，让学生逐步学会如何将角平分线的性质运用到几何图形的求解中。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“角平分线在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
5.培养学生的团队合作能力：设置小组讨论和合作完成练习题，促使学生在交流与合作中共同提高。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-角平分线的定义：确保学生能够准确理解角平分线的概念，即从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等角的射线。
-角平分线的性质：掌握角平分线将角分成两个相等的角，以及角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（二）新课讲授（用时10分钟）
八年级数学下册 1.4 角平分线第1课时导学案(新版)北师大版
八年级数学下册 1.4 角平分线第1课时导学案(新版)北师大版（一）授课教师学习目标1、记住角平分线的性质定理和判定定理。
2、能够利用角平分线的性质定理和判定定理解决相关问题。
学习重难点学习重点：线段的垂直平分线的性质、判定定理的证明。
学习难点：尺规做已知线段的垂直平分线。
学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案一、知识回顾、引入新课已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E、求证：PD=PE证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90，∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE认真阅读课本第28-29页：①记住线段的角平分线的性质、判定定理。
②看懂例题的解题过程。
③尝试完成随堂练习。
合作探究已知：在△AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上。
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠ PEO=90、在Rt△ODP和Rt△OEP中OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)自我挑战在△ABC 中，∠ BAC =60，点 D 在 BC 上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长。
堂清试题1、如图△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD= 。
2、在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44，则∠B＝。
3、如图△ABC中，∠C＝90，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC、则∠B＝。
自我总结1、两个定理的证明是本节课的重点，运用是本节课的难点。
2、规范的书写解题和证明过程中学生容易忽略的细节。
预留作业课本第30页知识技能第 1、3题。
板书设计角平分线（一）一、性质定理三、自学检测二、判定定理四、堂清试题导学反思。
1.4角平分线导学案
课题：《§1.4角平分线》（1）导学案【学习目标】1、能够证明角平分线的性质定理以及判定定理。
2、能够用尺规作已知角的平分线。
3、进一步发展学生的推理证明意识和能力 【学习重点】：角平分线的性质及判定方法的掌握及运用【学习难点】: 灵活运用角平分线的判定及性质解决实际问题。
【学习方法】：自主探索、归纳总结。
【学习过程】： 一、课前展示：1、线段垂直平分线的性质定理和逆定理的内容：定理：线段垂直平分线的点到逆定理：到一条线段两个端点的距离 的点，在这条线段的 。
2、什么是角的平分线？ 二、探索新知：1、自主学习：如何用尺规作一个角的平分线。
已知：∠AOB求作：射线OC 使∠AOC=∠BOC 作法：2、合作探究： （1）实验：画一个∠AOB,用尺规作出∠AOB 的平分线OC , 在OC 上任意一点P ，过P 作PD ⊥ OA,PE ⊥ OB问题：①比较PD 和PE 的大小关系（量一量）。
②再换一个新的位置看看情况会怎样？（2）猜想的结论是：（3）证明的你的猜想：已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：由此得到角平分线的性质定理：其中题设是： 结论： 利用此性质怎样书写推理过程?结合图形（4）反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 你能证明你的猜想吗？画图试一试。
A BO三、巩固新知：1、已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.。
求证:EB=FC.2、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．四、拓展提升： 1、教材37页第3、4题：2、已知，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.五、总结评价：附加题：1、如图所示，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE、CD交于O点，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC。
八年级数学下册 1.4 角平分线导学案1(新版)北师大版
八年级数学下册 1.4 角平分线导学案1（新版）北师大版1、4、1角平分线（第1课时）【学习目标】课标要求：①角平分线的性质和判定定理的证明、②用尺规作已知角的角平分线并说明理由、目标达成：①角平分线的性质和判定定理的证明、②用尺规作已知角的角平分线并说明理由、学习流程：【课前展示】（见课件）二、自主探究【创境激趣】搭建探究平台问题我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等、你能证明它吗?【自学导航】1、角平分线的性质定理2、角平分线的判定定理3、用尺规作角的平分线要求学生作出图形，并能规范地写出作法。
【合作探究】1、角平分线的性质定理请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流、已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E、求证：PD=PE、2、角平分线的判定定理在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上、它是真命题吗? 你能证明它吗?[生]没有加“在角的内部”时，是假命题、 (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，)逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理、我们就把它叫做角平分线的判定定理。
3、用尺规作角的平分线要求学生作出图形，并能规范地写出作法。
已知：∠AOB(如图)求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC、作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE、2、分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在么AoB内交于点C、3、作射线OCOC就是∠AOB的平分线、完成做法后，请学生说明OC为什么是∠AOB的平分线，【展示提升】典例分析知识迁移如图，AD、AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线，它们有什么关系？【强化训练】P341 P352 P361 、2、3、4【归纳总结】这节课我们在折纸的基础上，证明了角平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力、【板书设计】1、4、1角平分线（第1课时）1、角平分线的性质定理2、角平分线的判定定理3、用尺规作角的平分线【教学反思】本节利用我们已学过的定理和公理证明了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能利用尺规作出已知线段的垂直平分线、已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形，从折纸，尺规作图，逻辑推理多层次地理解并证明了三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等、尤其本节能够充分利用几何画板的动态演示功能，更能增强学生的理解力，我认为这样处理起来是比较好的。
八年级数学下册1.4平分线导学案1(新版)北师大版
八年级数学下册1.4平分线导学案1（新版）北师大版1、4 角平分线导学目标:1、体会证明的必要性，增加证明意识和能力。
2证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力。
3能运用角平分线的性质定理和判定定理。
重点：证明角平分线的判定定理难点：运用角平分线的性质定理和判定定理。
导学过程导学过程导学后反思1、知识回顾：角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到的？2、自主学习：阅读教材P2-3。
并尝试解决课后问题。
1、定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
（结合题设与结论写出已知与求证）已知：在ΔABC中，求证：证明：推理格式：∵ ∴ 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？2、定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
（结合题设与结论写出已知与求证并证明）已知：求证：证明：推理格式：∵ ∴3、简单运用巩固新知1、如图下左图，AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF、2、如图下中图，PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP、3、如图上右图，∠BAC=60，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=，则PE=______、4、已知，如图（4），∠AOB=60,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=__________度、5、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm、6、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD、求证：AD平分∠BAC、教学反思：。
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。
本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。
但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。
三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。
2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.角平分线的性质。
2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。
五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。
2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。
4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。
2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。
3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。
同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。
同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。
在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。
1.4角的平分线的性质导学案(1)
(6)1.4角的平分线的性质导学案（1）学习目标：1、掌握角平分线的性质2、会用尺规作一个已知角的平分线． 教学重点：角平分线的性质教学难点：探索作角平分线的过程 一、知识链接1、角平分线是以一个角的顶点为端点的一条 ，它把这个角分成两个 的角。
2、你能用尺规作图的方法做出一个角的角平分线么？二、自主学习已知：如上图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E. 求证：PD=PE归纳：归纳角平分线的性质： 用几何语言表述：PEPD OB PE OA PD AOB OC AOB P =∴⊥⊥∠∠,)(平分或的平分线上在点 进一步思考，若PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E.PD=PE ，那么点P 在∠AOB 的角平分线上么？归纳角平分线的逆定理：三、合作探究1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于 F. 求证：DE=DF.OBACPDEDCB A EF21OBACP DEDCAEB2..如图,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,F 在AC 上,BD=DF ;求证:CF=EB.四、课堂检测1、已知：如图，BM ，ABC 的角平分线 P ，CN 相交于点求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
2、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6㎝，则△DEB 的周长为？3、已知：如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，∠1=∠2. 求证：OB=OC2.如图,四边形ABCD 中AB=AD ,CB=CD ,点P 是对角线AC 上一点,PE ⊥BC 于E ,PF ⊥CD 于F ,求证:PE=PFDACE O654321BP AB C MN.。
八年级数学下《1.4.1 角平分线》导学案
八年级数学下《1.4.1 角平分线》导学案【学习目标】1经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力.2能够证明角平分线的性质定理、判定定理及其相关结论. 3能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题【学习重点、难点】重点：角平分线的性质定理、判定定理难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题【知识链接】角平分线的定义 。
教具准备：圆规 直尺【课前预习】1书本引例 想一想 书本P 28 。
2角平分线的性质1） 点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2） 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 3） 符号语言∵ 点P 在∠AOB 的角平分线上，PE ⊥OA ，PD ⊥OB ∴ PD = PE3角平分线的判定定理在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 符号语言∵ PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，且PD = PE ∴ 点P 在∠AOB 的角平分线上【合作探究】1如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC 。
分析：要证OB = OC ，只需要证明Rt △BOD ≌Rt △COE ，为此,还需要证明OD = OE ，可直接用角平分线性质定理证得。
2如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且OB = OC 。
求证：∠1 =∠2。
3：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC ， 求证BE=CF ；[解析]要证BE=CF ，只需证△BDE ≌△FDCODABP21OED ABC21OED ABCBAPODAB P4如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ⑴已知CD = 4cm ，求AC 的长 ⑵求证：AB = AC + CD【巩固提高】1书本 随堂练习 1,22、 如图，E 是线段AC 上的一点，AB ⊥EB 于B ，AD ⊥ED 于D ，且∠1 =∠2，CB = CD 。
北师大版八年级下册数学 1.4 角平分线 第1课时 角平分线 导学案
1.4 角平分线
第1课时角平分线
学习目标
1．角平分线的性质定理的证明.
2．角平分线的判定定理的证明.
学习难点
理解角平分线的性质定理的逆定理必须增加前提条件“在角的内部”.
学习过程
任务一：
1、自主学习：有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?
2、合作探究
问题：（1）还记得角平分线的概念吗？
（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？
（3）以前我们用折纸的方法得到了这个结论，我们能进行严格意义的证明吗？你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出已知与求证进行证明？
已知：.
求证：
证明：
O
B
P
O
P
A
B
D
C
E
定理：
几何语言：
∵∴
3、巩固练习：（1）习题1.9第2题
任务二：
1、自主学习：（1）你清楚这定理的条件与结论了吗？（2）交换定理的题设和结论得到的逆命题是什么？（3）你能证明逆命题是真命题吗？
逆命题：
已知：
求证：
证明：
由此得出定理：
推理格式：∵∴
2、巩固练习：习题1.9 第3题
任务三：角平分线定理的应用
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 课堂小结：
A
O B
E
C
D
P
课堂检测
如图：AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,OD=OE,。
1.41角平分线导学案
1课题：1.41角平分线（1）创编：张杨 审核 姓名 班级学习目标: 通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；2、通过探索与证明，进一步发展推理意识及能力；3、证明是严密推理的方法，并培养自身的逆向思维能力。
学习重点：掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用。
学习难点：掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用。
学习过程： 一，预习导学角平分线的定义：_______________________ 。
二，自主探究：问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？ 已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E 。
求证：PD=PE总结： 问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你作证明它？已知：如图，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，且PD=PE 。
求证：OC 是∠AOB 的角平分线总结ODAPEBCODAPE B C2例题解析：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠B=90°，DF ⊥AC ，垂足为F ，DE=DC ， 求证：BE=CF[分析]要证BE=CF ，只需证△ADE ≌△FD C当堂检测：1、如图在△ABC 中AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ， 则三个结论：①AS=AR ，②QP ∥AR ，③△BRP ≌△QSP 中（ ） A 全部正确 B ：仅①和②正确 C ：仅①正确 D ：仅①和③正确。
2、在△ABC 中∠C=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，BC=CM ， BD ：DC ：=4：3，则点D 到AB 的距离为___________。
九年级数学上册 1.4.1角平分线(二)导学案 北师大版
1、已知：△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。
2、到三角形三边距离相等的点是（）
A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定
三、合作交流；
例：△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。
4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则∠BAO和∠CAO的大小关系为。
5、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是。
课后训练：
1、已知：如图，∠C=900，∠B=300，AD是Rt△ABC的角平分线。求证：BD=2CD。
2、已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD，求证：BE=BF
学习困惑记录
二、讲授新课
自主学习：
如图：设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上
（提示：过P点分别作AB、AC、BC的垂线）
定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。
引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。
九年级数学导学案
课题
§1.4.1角平分线（2）
课型
新授课
课时
教师
教学目标
1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力。
重点
证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理
பைடு நூலகம்难点
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1.1.4等腰三角形（第4课时）
、目标导航:
1、会证明角平分线的性质定理及其逆定理.
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言.转化为符号语言、图形语言的能力.
3、经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
二、自学检测:
1、还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗? 已知: 求证: 证明:
2、上面定理的逆命题是:
它是真命题吗？（）如果是，请证明它。
已知:
求证:
证明:
三、以学定教: 例题：在△ ABC 中，/ BAC = 60。
，点D 在BC 上，AD = 10 , DE丄AB ,
DF丄AC,垂足分别为E, F,且DE = DF，求DE的长.
四、互动探究:
1、如图，AD AE分别是△ ABC中/A的内角平分线和外角平分线，它们有什么
关系?
2、用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明
作图:证明:
3、利用尺规作一个三角形三个内角的平分线，你发现了什么?
4. 如左下图,在^ ABC 中,/ ACB=90 ,BE 平分/ ABC DEI AB 于 D ,如果 AC=3cm 那么AE+DE 等于（
5. 如右上图,已知 AB=AC AE=AF BE 与CF 交于点D,则①△ ABE^A ACF
BDF^A CDE ③D 在/ BAC 的平分线上,以上结论中,正确的是（
五、达标训练:
1.如图（1）,AD 平分/ BAC 点P 在AD 上，若PE 1AB,PF 丄AC 则PE.
PF. 2.如图（2） , PD 丄AB PE ±AC ,且 PD=PE 连接 AP,则/ BAP.
/ CAP. 3.如图（3） , / BAC=60 , AP 平分/ BAC
PD 丄 AB PE 丄 AC,若 AD=^3 ,则 PE= A.2 cm B.3 cm
D.5 cm E
F Q
C.4 cm
A.只有①
B.只有②
C.只有①和② 6 如图，在△ ABC 中, AD 是它的角平分线，且 BD=CDDE 1 AB DF 丄AC ,,垂足
分别为E, F 。
求证：EB=FC
7、如图，在^ ABC 中, / C=90° , / A=30° ,作AB 的垂直平分线，交AB 于点D, 交AC 于点E,连接BE 则BE 平分/ ABC 请证明这一结论。
你有几种证明方法?
8、如图，求作一点P ,使PC=PD ,并且点P 到/AOB 两边的距离相等。
少年智则国智，少年富则国富，少年强则国强，少年独立则国独立，少年自由
D.①，②与③
则国自由，少年进步则国进步，少年胜于欧洲，则国胜于欧洲，少年雄于地球, 则国雄于地球。