平面向量单元教学设计样本

《平面向量》单元教学设计

武都区两水中学王斌

向量是近代数学中重要和基本数学概念之一，有深刻几何背景，是解决几何问题有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形基本性质转化为向量运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数一种工具，有着极其丰富实际背景。在本章中，学生将理解向量丰富实际背景，理解平面向量及其运算意义，能用向量语言和办法表述和解决数学和物理中某些问题，发展运算能力和解决实际问题能力。

一、单元教学目的

本章重要涉及平面向量实际背景及基本概念、平面向量线性运算、平面向量基本定理及坐标表达、平面向量数量积、平面向量应用五某些内容。通过本章学习，应引导学生：1．通过力和力分析等实例，懂得向量实际背景，会运用平面向量和向量相等含义，会向量几何表达。

2．通过实例，会算向量加、减法运算，并会求其几何意义。

3．通过实例，纯熟运用向量数乘运算，并解释其几何意义，以及两个向量共线含义。

4．能说出向量线性运算性质及其几何意义。

5．懂得平面向量基本定理及其意义。

6．掌握平面向量正交分解及其坐标表达。

7．会用坐标表达平面向量加、减与数乘运算。

8．解释用坐标表达平面向量共线条件。

9．通过物理中“功”等实例，阐明平面向量数量积含义及其物理意义。

10．体会平面向量数量积与向量投影关系。

11．识记数量积坐标表达式，会进行平面向量数量积运算。

12．能运用数量积表达两个向量夹角，会用数量积判断两个平面向量垂直关系。

13．经历用向量办法解决某些简朴平面几何问题、力学问题与其她某些实际问题过程，

体会向量是一种解决几何问题、物理问题等工具，发展运算能力和解决实际问题能力。

二、学习者特性分析

向量是近代数学中重要和基本概念之一，它是沟通代数几何与三角一种工具。向量对学生来说是比较新内容，学生对它学习可以说是布满了探求欲望，应当说可以使大某些学生在此章节学习中体会到学习成功乐趣。学生在学习本单元内容之前，已熟知了实数运算体系，具备了物理知识. 这都为学习向量准备好各方面条件.

三、单元教材分析

本章共安排了5个小节及2个选学内容，大概需要12个学时，详细分派如下

2．1 平面向量实际背景及基本概念 2学时

2．2 向量线性运算 2学时

2．3 平面向量基本定理及坐标表达 2学时

2．4 平面向量数量积2学时

2．5 平面向量应用举例 2学时

小结2学时

本章知识构造如下：

1．第一节涉及向量物理背景与概念、向量几何表达、相等向量与共线向量。

教科书一方面从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向量——向量，并阐明向量与数量区别。然后简介了向量几何表达、有向线向量长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

2．第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。

教科书先讲了向量加法、加法几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量加法定义向量减法，把向量减法与加法统一起来，并给出向量减法几何意义；然后通过向量加法引入了实数与向量积定义，给出了实数与向量积运算律；最后简介了两个向量共线条件和向量线性运算运算法则。

3．第三节涉及平面向量基本定理、平面向量正交分解及坐标表达、平面向量坐标运算、平面向量共线坐标表达。

平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表达基本。教科书一方面通过一种详细例子给出平面向量基本定理，同步简介了基底、夹角、两个向量垂直概念；然后在平面向量基本定理基本上，给出了平面向量正交分解及坐标表达，向量加、减、数乘坐标运算和向量坐标概念，最后给出平面向量共线坐标表达。坐标表达使平面中向量与它坐标建立起了一一相应关系，这为通过“数”运算解决“形”问题搭起了桥梁。

4．第四节涉及平面向量数量积物理背景及其含义、平面向量数量积坐标表达、模、夹角。

教科书从学生熟知功概念出发，引出了平面向量数量积概念及其几何意义，接着简介了向量数量积性质、运算律及坐标表达。向量数量积把向量长度和三角函数联系了起来，这样为解决关于几何问题提供了以便，特别能有效地解决线段垂直问题。

5．第五节涉及平面几何中向量办法、向量在物理中应用举例。由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”特点，因此它在物理和几何中具备广泛应用。本节通过几种详细例子阐明了它应用。

6．为了拓展学生知识面，使学生理解向量及向量符号由来，向量运算（运算律）与几何图形形式关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号由来，向量运算（运算律）与图形性质。

四、教学中要注意几种问题

1．突出向量物理背景与几何背景

教科书特别注意从丰富物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过寻常生活中拟定“位置”中位移概念，阐明学习向量知识意义；在2.1节，通过物理学中重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，阐明它们都是既有大小又有方向量，由此引出向量概念；引出向量概念后，教科书又运用有向线段给出了向量几何背景，并定义了向量模、单位向量等概念。这样安排，可以使学生结识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中作用，使学生建立起理解和运用向量概念背景支持。

教科书借助几何直观，并通过与数运算类比引入向量运算，以加强向量几何背景。

2．强调向量作为解决现实问题和数学问题工具作用。

为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常用现象有力数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际联系。此外，向量也是解决数学问题好工具，例如，和（差）角三角函数公式、线段定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数桥梁，是一种较好数形结合工具，教科书通过“平面几何中向量办法”进行了简介，并在第三章用向量办法来推导两角差余弦公式。这些解决也都是为了体现向量作为基本、重要数学工具地位。

3．强调向量法基本思想，明确向量运算及运算律核心地位。

向量具备明确几何背景，向量运算及运算律具备明显几何意义，因而涉及长度、夹角几何问题可以通过向量及其运算得到解决。此外，向量及其运算（运算律）与几何图形性质紧密相联，向量运算（涉及运算律）可以用图形直观表达，图形某些性质也可以用向量运算（运算律）来表达。这样，建立了向量运算（涉及运算律）与几何图形之间关系后，可以使图形研究推动到有效能算水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。

几何中向量办法与解析几何思想具备一致性，不同只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中“数和数运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间运算进行讨论，然后把这些计算成果翻译成关于点、线、面相应成果。如果把解析几何办法简朴地表述为

[形到数]——[数运算]——[数到形]，

则向量办法可简朴地表述为

[形到向量]——[向量运算]——[向量和数到形]。

教科书特别强调了向量法上述基本思想，并依照上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律重要性，教科书注意引导学生