均值不等式总结
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当ba =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xx x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式知识点
均值不等式知识点均值不等式是高等数学中的一种重要的数学不等式，其在解决各类数学问题中起到了重要的作用。
本文将通过逐步思考的方式，详细介绍均值不等式的相关知识点。
1.均值不等式的基本概念均值不等式是指对于一组实数，其算术平均数大于等于几何平均数，即若有n个正实数x1、x2、……、xn，则它们的算术平均数A≥它们的几何平均数G。
这一不等式可表示为：（x1 + x2 + …… + xn）/ n ≥ (x1 * x2 * …… * xn) ^ (1/n)2.均值不等式的证明为了证明均值不等式，可以使用数学归纳法或其他数学方法。
下面以数学归纳法为例，来证明均值不等式。
首先，当n=2时，我们有：（x1 + x2）/ 2 ≥ √(x1 * x2) 化简可得：x1 + x2 ≥2√(x1 * x2) 这是一种常见的数学不等式，称为算术平均数和几何平均数之间的不等式。
接下来，假设当n=k时，均值不等式成立。
即对于任意的k个正实数x1、x2、……、xk，有：（x1 + x2 + …… + xk）/ k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)然后，我们来证明当n=k+1时，均值不等式也成立。
即对于任意的k+1个正实数x1、x2、……、xk+1，有：（x1 + x2 + …… + xk + xk+1）/ (k+1) ≥ (x1 * x2* …… * xk * xk+1) ^ (1/(k+1))我们可以将左边的式子进行拆分，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1)≥ [(x1 * x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))根据不等式的性质，我们有：(x1 + x2 + …… + xk) / k ≥ (x1 * x2 * …… * xk) ^(1/k) 即：[(x1 + x2 + …… + xk) / k] * k ≥ [(x1 * x2 * …… * xk) ^ (1/k)] * k将上式代入前面的不等式，得到：[(x1 + x2 + …… + xk) + xk+1] / (k+1) ≥ [(x1 *x2 * …… * xk) * xk+1] ^ (1/(k+1))这样，我们证明了当n=k+1时，均值不等式也成立。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋12x 2（2）y＝x＋1x解：(1)y＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高中数学均值不等式知识点
高中数学均值不等式知识点一、均值不等式的形式。
1. 基本形式。
- 对于任意的正实数a、b，有(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时，等号成立。
- 这里(a + b)/(2)叫做a、b的算术平均数，√(ab)叫做a、b的几何平均数。
2. 推广形式（三元均值不等式）- 对于任意的正实数a、b、c，有(a + b + c)/(3)≥slantsqrt[3]{abc}，当且仅当a=b = c时，等号成立。
- 其中(a + b + c)/(3)是a、b、c的算术平均数，sqrt[3]{abc}是a、b、c的几何平均数。
二、均值不等式的证明。
1. 对于(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)的证明。
- 方法一：作差法。
- 因为((a + b)/(2))^2 - ab=(a^2 + 2ab + b^2)/(4)-ab=(a^2 - 2ab + b^2)/(4)=((a - b)^2)/(4)≥slant0。
- 当且仅当a = b时，((a + b)/(2))^2 - ab = 0，即(a + b)/(2)≥slant√(ab)。
- 方法二：分析法。
- 要证(a + b)/(2)≥slant√(ab)(a,b>0)，只需证((a + b)/(2))^2≥slant ab，即证a^2 + 2ab + b^2≥slant4ab，也就是证a^2 - 2ab + b^2≥slant0，即(a - b)^2≥slant0，显然成立，当且仅当a = b时等号成立。
三、均值不等式的应用。
1. 求最值。
- 类型一：和定积最大。
- 已知a + b = m（m为定值，a>0,b>0），根据均值不等式(a +b)/(2)≥slant√(ab)，可得ab≤slant((a + b)/(2))^2=(m^2)/(4)，当且仅当a = b=(m)/(2)时，ab 取得最大值(m^2)/(4)。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
2：已知 ，且 ，求 的最小值。
错解： ，且 ， 故 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在 等号成立条件是 ，在 等号成立条件是 即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
∴ W≤ ＝2
变式:求函数 的最大值。
解析：注意到 与 的和为定值。
又 ，所以
当且仅当 = ，即 时取等号。故 。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。
x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
技巧八：
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项，
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
正解： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。
(均值不等式)总结整理及典例
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧 技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(均值不等式)总结整理及典例
1．已知 为两两不相等的实数，求证：
1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c ，且 。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 ，可由此变形入手。
解： a、b、c ， 。 。同理 ， 。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x2＋ ≥2 ＝ ∴值域为[ ，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝2；
当x＜0时， y＝x＋ = －（－x－ ）≤－2 =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知 ，求函数 的最大值。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
。当且仅当 时取等号。
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值围。
解：令 ，
。 ，
应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若 ，则 的大小关系是.
分析：∵ ∴
（
∴R>Q>P。
∴ W≤ ＝2
变式:求函数 的最大值。
均值不等式公式完总结归纳非常实用
均值不等式公式完总结归纳非常实用
三种不等式：
1、大数定理
大数定理定义指：如果随机变量的样本数足够大，则样本平均值将收敛于总体均值，且收敛是按反正比律进行的，即样本容量n越大，收敛速度越快。
它的数学表述为：设X1,X2,…,Xn 是从总体中独立同分布的随机变量，则有lim n→∞ P(，ΣXi/n-μ，>ε)→0。
2、中心极限定理
中心极限定理定义指：当样本数量n足够大时，样本数值构成的概率分布接近正态分布，即样本容量n越大，样本的分布越接近正态分布。
中心极限定理的数学表述为：设X1,X2,…,Xn是从总体中独立同分布的随机变量，则有lim n→∞ P((ΣXi-nμ)/σ√n→N(0,1))。
3、拉普拉斯定理
拉普拉斯定理定义指：随机变量的样本均值估计值无偏，即其均值等于总体均值。
拉普拉斯定理的数学表述为：设X1,X2,…,Xn是从总体中独立同分布的随机变量，则E(ΣXi/n)=μ。
以上三种不等式是概率论中重要的不等式，它们在统计学中有着重要的应用意义。
首先，大数定理说明了，随着样本量n的增大，样本平均值收敛于总体均值，而收敛速度随着样本量的增加而增快，使得我们可以通过样本平均数来估计总体均值，从而使统计学中的问题更容易处理。
均值不等式知识点
均值不等式知识点
均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。
均值不等式有以下几个应用条件：
- 一正：这些数都必须是正实数，因为只有正数才有几何平均值。
- 二定：分为积定与和定。
当这组数的乘积为定值，则这组数的和才能取到最小值。
当这组数的和为定值，则这组数的乘积能取到最大值。
所以要求和的最值，就要让这组数的乘积为定值。
要求乘积的最值就要让组数的和为定值。
- 三相等：表示什么时候能取到最值，也就是取到等号的时候。
只有当这组数据都相同的时候，算术平均值等于几何平均值。
均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)精编版
例1：求下列函数的值域
（1）y＝3x2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x2＋ ≥2 ＝ ∴值域为[ ，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋ ≥2 ＝2；
当x＜0时， y＝x＋ = －（－x－ ）≤－2 =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例已知 ，求函数 的最大值。
法一：a＝ ，ab＝ ·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
∴ab≤18 ∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴ 30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0，－5 ≤u≤3
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。
技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
点评：①本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到 之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换为含 的不等式，进而解得 的范围.
变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方
5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总
最新高中数学23个经典不等式归纳汇总一、均值不等式：均值不等式是不等式理论中的重要分支，其中最基本的是算术平均数和几何平均数之间的关系。
1.算术均值不等式(AM-GM):对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn , 有以下不等式成立：(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n ≥ √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn)证明：令a = (x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn) / n，其中x1, x2, x3,⋯, xn为非负实数。
令 b = √(x1 · x2 · x3 ⋯ xn) ，则要证明的不等式即为 a ≥ b。
根据均值不等式的性质，两个算术均值之间有一个几何均值，即a≥b。
2. 加权平均值不等式 (Chebyshev 不等式)：对于非负实数 x1 , x2 , x3 ,⋯, xn 和 w1 , w2 , w3 ,⋯, wn 为正实数，并且 w1 + w2 + w3 + ⋯ + wn = 1，有以下不等式成立：w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥ (x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯xn^wn)证明：将w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn 展开为 w1/x1 + w2/x2 +w3/x3 + ⋯ + wn/xn，利用 AM-GM 不等式即可证明。
即 w1x1 + w2x2 + w3x3 + ⋯ + wn xn ≥(x1^w1 · x2^w2 · x3^w3 ⋯ xn^wn)二、特殊不等式：特殊不等式是指在一些特殊条件下成立的不等式，是数学中的一种重要类型。
1. 柯西不等式 (Cauchy-Schwarz):对于任意实数 a1, a2, a3,⋯, an 和 b1, b2, b3,⋯, bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + a3b3 + ⋯ + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + a3^2 + ⋯+ an^2)· (b1^2 + b2^2 + b3^2 + ⋯ + bn^2)证明：考虑函数 f(t) = (a1t + a2t + a3t + ⋯ + ant)^2 ，求导可证明。
均值不等式公式完全总结归纳
均值不等式公式完全总结归纳1.算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= [(a1^n + a2^n + ... + an^n) / n]^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
2.几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(1/n) * (a1 + a2 + ... + an) >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
3.加权算术平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn （满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
4.加权几何平均数不等式：对于任意正实数 a1, a2, ..., an 和正实数 w1, w2, ..., wn（满足 w1 + w2 + ... + wn = 1），有以下不等式成立：w1 * a1 + w2 * a2 + ... + wn * an >= (a1^w1 * a2^w2 * ... * an^wn)等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
5.平方平均数不等式：对于任意非负实数 a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(n * (a1^2 + a2^2 + ... + an^2))^(1/2) >= (a1 + a2 + ... + an) / n等号成立的条件是 a1 = a2 = ... = an。
(均值不等式)总结整理及典例
均值不等式归纳总结1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b bababa+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）5.若R b a ∈,，则2)2(222b ab a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定 值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：(1)y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）(2)当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧 技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
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1 + ������ 2 1 ������ 2 解：������√1 + ������ 2 = ������√2 ∙ = √2x ∙ √ + ≤ √2 ∙ 2 2 2 3 ∴ ������√1 + ������ 2 ������������������ = √2 4 技巧八：
1 ������ 2 ������ + (√2 + 2 )
技巧二：凑系数 例 1：当0 < x < 4 时，求 y = x(8 − 2x)的最大值 解：当 0 < x < 4 时，8 − 2x > 0，y = x(8 − 2x) = 1 1 2������ + 8 − 2������ 2 ∙ 2x(8 − 2x) ≤ ( ) =8 2 2 2
（当且仅当 2������ = 8 − 2������ 即������ = 2时取“=” ） ，y������������������ = 8 例 2：当0 < x < 2 时，求 y = 4x(3 − 2x)的最大值 解： ∵ 0 < x < 3 2������ + 3 − 2������ 2 9 ∴ 3 − 2x > 0 ∴ y = 4x(3 − 2x) = 2 ∙ 2x(3 − 2x) ≤ 2 ( ) = 2 2 2
均值不等式总结
1.（1）若a, b ∈ R，则a2 + ������2 ≥ 2������������ 2.（1）若a, b ∈ ������ ∗，则
a+b 2
（2）若a, b ∈ R，则 ab ≤
������2 +������2 2
（当且仅当 a = b 时取“ = ” ）
≥ √������������
当且仅当������ = 4，即������ = 3，������ = 6 时，式中等号成立 ∴ y ≥ 解二：依题意得：30 − ������������ = ������ + 2������ ∵ ������ + 2������ ≥ 2√2������������ ∴ 30 − ������������ ≥ 2√2������������ 令������ = √������������, ������ 2 + 2√2������ − 30 ≤ 0 ， − 5√2 ≤ ������ ≤ 3√2 ∴ √������������ ≤ 3√2 ∴ ������ ≥ 1 18
2. 已知 a > 0，b > 0，ab − (a + b) = 1，求 a + b 的最小值 3. 若直角三角形周长为 1，求他的面积最大值 技巧八：平方 1. 已知 x，y 为正实数，3x + 2y = 10，求函数 W = √3������ + √2������的最值 解一：利用 ������ + ������ ������2 + ������2 2 2 ≤ 求解 √3������ + √2������ ≤ √2 ∙ √(√3������) + (√2������) = √2 ∙ √3������ + 2������ = 2√5 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4 ∵ ������ > −1 ∴ ������ ≥ 2√������ ∙ + 5 = 9 ������ 当且仅当 t=2 即 x=1 时式中等号成立 技巧五：结合单调性 例：求函数 y = ������ 2 + 5 √������ 2 + 4 的值域 ������ 2 + 5 √������ 2 + 4 = √������ 2 + 4 + 1 = ������ + (������ ≥ 2) ������ √������ 2 + 4 1
1 的最小值 ������������
∵ ������ > 0 ∴ 0 < ������ < 15
令������ = ������ + 1，1 < ������ < 16，������������ =
−2������ 2 + 34������ − 31 16 16 = −2 (t + ) + 34 ≤ −2 ∙ 2√������ ∙ + 34 = 18 ������ ������ ������ 1 18
2. 已知 0 < x < 1，求函数 y = √������(1 − ������)的最大值 2 3.0 < x < ，求函数 y = √������(2 − 3������)的最大值 3 条件求最值 1. 若实数满足 a + b = 2, 则3������ + 3������ 的最小值是 分析： “和”到“积”变小，且3������ ∙ 3������ 定值，因此采用均值定理求最小值 解：3������ 和3������ 均是正数，3������ + 3������ ≥ 2√3������ ∙ 3������ = 2√3������+������ = 6 当且仅当3������ = 3������ 即������ = ������ = 1 时等号成立 最小值是 6 1 1 变式：若������������������4 ������ + ������������������4 ������ = 2，求 + 的最小值，并求������, ������的值 ������ ������ 技巧六： “1”的代换 多次连用最值定理时，注意取等的条件一致。 1 9 1. 已知 x > 0，y > 0，且 + = 1，求������ + ������的最小值 ������ ������ 1 9 1 9 9 错解： ∵ x > 0, y > 0, 且 + = 1， ∴ ������ + ������ = ( + ) (������ + ������) ≥ 2√ ⋅ 2√������������ = 12 ������ + ������最小值为 12 ������ ������ ������ ������ ������������ 错因：解法中两次连用均值，取等的条件不一致 1 9 1 9 ������ 9������ 正解： ∵ x > 0，y > 0， + = 1 ∴ ������ + ������ = (������ + ������) ( + ) = + + 10 ≥ 6 + 10 = 10 ������ ������ ������ ������ ������ ������
∵ ������ > −1 ∴ ������ ≥ 2√(������ + 1) ∙
当且仅当 x=1 时式中等号成立 技巧四：换元 解二：令 t = x + 1, 化简原式再分离求最值 y= (������ − 1)2 + 7(������ − 1) + 10 ������ 2 + 5������ + 4 4 = = ������ + + 5 ������ ������ ������
������ 1
（3）若x ≠ 0，则|x + ������| ≥ 2 （当且仅当 x = ±1 时取“ = ” ） 4.（1）若ab > 0，则 + ≥ 2 （当且仅当 a = b 时取“ = ” ）
������ ������ a ������
1
（2）若 ab ≠ 0，则 | + | ≥ 2 （当且仅当 a = b 时取“ = ” ）
解：令√������ 2 + 4 = ������(������ ≥ 2) 则������ =
1 5 ∵ ������ = ������ + 在[2, +∞)上单调递增， ∴ ������ ≥ ������ 2 练习： 1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值
������ 2 + 3������ + 1 ，(������ > 0) ������ 1 (2)������ = 2������ + ，������ > 3 ������ − 3 (1)y = (3)������ = 2������������������������ + 1 ，������ ∈ (0, ������) ������������������������
1 1 1 2������ 2
（2）y = x +
1 ������
∴ 值域为[√6, +∞)
1 1 ≥ 2√������ ∙ = 2； ������ ������
当 x < 0 时，y = x +
1 1 1 = − (−x − ) ≤ −2√������ ∙ = −2 ∴ 值域为(−∞, −2] ∪ [2, +∞) ������ ������ ������
当且仅当 =
������ ������
9������ ，即 x = 4, y = 12 时，式中等号成立 ������
∴ (x + y)������������������ = 16 1 1 2. 若 x，y ∈ R∗ 且 2������ + ������ = 1，求 + 的最小值 ������ ������ ������ ������ 3. 已知 a, b, x, y ∈ R∗ 且 + = 1，求������ + ������的最小值 ������ ������ 技巧七： 已知 x, y ∈ R∗ 且x2 + ������ 2 = 1，求������√1 + ������ 2 的最大值 2
3 3
当且仅当 2x=3-2x，即x = 4 时式中等号成立 技巧三：分离 例 3：求 y = 解一：y =