很好的拉普拉斯变换讲解

第7章 拉普拉斯变换令狐采学拉普拉斯(Laplace)变换是阐发和求解常系数线性微分方程的一种简便的办法，并且在自动控制系统的阐发和综合中也起着重要的作用．本章将简明地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．7.1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很庞杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N ，然后通过查经常使用对数表和否决数表，就可算得原来要求的数N ．这是一种把庞杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法． 7.1.1 拉氏变换的基本概念界说 设函数)(t f 那时0≥t 有界说，若广义积分dte tf pt ⎰∞+-0)(在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作)(P F ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()(（71）称（71）式为函数)(t f 的拉氏变换式，用记号)()]([P F t f L =暗示．函数)(P F 称为)(t f 的拉氏变换(Laplace) (或称为)(t f 的象函数)．函数)(t f 称为)(P F 的拉氏逆变换（或称为)(P F 象原函数），记作)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=．关于拉氏变换的界说，在这里做两点说明：(1) 在界说中，只要求)(t f 在0≥t 时有界说．为了研究拉氏变换性质的便利，以后总假定在0<t 时，0)(=t f ．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在单数规模内取值．为了便利起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这其实不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例71 求一次函数at t f =)(（a t ，0≥为常数）的拉氏变换． 解⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p ．7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(t i ，以)(t Q 暗示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变更率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，那时0≠t ，0)(=t i ；那时0=t ，∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来暗示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．界说设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(，当ε→0时，)(t εδ的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为-δ函数．那时0≠t ，)(t δ的值为0；那时0=t ，)(t δ的值为无穷年夜，即⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ．)(t εδ和)(t δ的图形如图71和图72所示．显然，对任何0>ε，有11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ，所以 1)(=⎰∞+∞-dt t δ．工程技术中，常将-δ函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将-δ函数用一个长度即是1的有向线段来暗示（如图72所示），这个线段的长度暗示-δ函数的积分，叫做-δ函数的强度．例72 求)(t δ的拉氏变换． 解 根据拉氏变换的界说，有dte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ，即1)]([=t L δ．例73 求单位阶梯函数⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u 的拉氏变换．解p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰，)0(>p ．例74求指数函数at e t f =)(（a为常数）的拉氏变换．解dt e dt ee e L t a p ptat at⎰⎰∞+--∞+-=⋅=)(0][)(1a p a p >-=，即)(1][a p a p e L at >-=． 类似可得)0(][sin 22>+=p p t L ωωω；)0(][cos 22>+=p p pt L ωω．习题7–1求14题中函数的拉氏变换 1．t e t f 4)(-=． 2．2)(t t f =． 3．at te t f =)(4．ϕωϕω，()sin()(+=t t f 是常数）． 7.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为庞杂的函数的拉氏变换．性质 1 (线性性质) 若 1a ，2a 是常数，且)()]([11p F t f L =，)()]([22p F t f L =，则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=． （72） 证明dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=．例75 求下列函数的拉氏变换：（1）)1(1)(at e a t f --=； （2）t t t f cos sin )(=．解（1）)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----．（2）412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L ． 性质2（平移性质） 若)()]([p F t f L =，则)()]([a p F t f e L at -=（a为常数）． （73）证明⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat at．位移性质标明：象原函数乘以ate 即是其象函数左右平移a 个单位．例76 求 ][at te L ，]sin [t e L atω-和 ]cos [t e L at ω-．解 因为21][p t L =，22][sin ωωω+=p t L ，22][cos ωω+=p p t L ，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若)()]([p F t f L =，则)()]([p F e a t f L ap -=-)0(>a ．（74）证明dtea t f a t f L pt⎰∞+--=-0)()]([=dte a tf dt ea t f apt apt⎰⎰∞+---+-)()(0，在拉氏变换的界说说明中已指出，那时0<t ，0)(=t f ．因此，对函数)(a t f -，当0<-a t （即a t <）时，0)(=-a t f ，所以上式右真个第一个积分为0，对第二个积分，令τ=-a t ，则滞后性质指出：象函数乘以ape -即是其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位（如图73所示）．由于函数)(a t f -是那时a t ≥才有非零数值．故与)(t f 相比，在时间上滞后了一个a 值，正是这个事理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在)(a t f -这个函数上再乘)(a t u -，所以滞后性质也暗示为)()]()([p F e a t f a t u L ap -=--．例77 求)]([a t u L -．解 因为=)]([t u L p1，由滞后性质得p e a t u L ap1)]([-=-．例78 求)]([)(ττ--t u e L t a ． 解 因为a p e L at -=1][，所以)(1)]([)(a p a p e t u e L p t a >-=---，τττ．例79 求下列函数的拉氏变换：（1）⎩⎨⎧≤≤≤=.,,0,)(21t a c a t c t f （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤-<≤=.4,0,42,1,20,3)(t t t t f解 （1）由图74容易看出，那时a t ≥，)(t f 的值是在1c 的基础上加上了（12c c -），即)()(12a t u c c --．故可把)(t f 写成)()()()(121a t u c c t u c t f --+=，于是p e c c c e p c c p c t f L pa p a ---+=-+=)()]([121121．（2）仿（1），把)(t f 写成)4()2(4)(3)(-+--=t u t u t u t f ，于是pe e p e p e p tf L pp p p 42424343)]([----+-=+-=．我们可以用拉氏变换界说来验算例79所得的结果．由例79看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子．例710 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=a t a t a c a t c t t f 3,03,20,0,0)(，求)]([t f L ．解：如图75所示，)(t f 可用单位阶梯函数暗示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=，于是)21(233ap ap ap ap e e p ce p c e p c p c ----+=-+=， 由拉氏变换界说来验证：)21()221(33ap ap ap ap ap e e p ce e e p c ------+=-+-=．性质4（微分性质） 若)()]([p F t f L =，并设)(t f 在[0，+)∞上连续，)(t f '为分段连续，则)0()()]([f p pF t f L -='． (75)证明 由拉氏变换界说及分部积分法，得dt e t f t f L pt ⎰∞+-'='0)()]([⎰∞+-∞+-+=00)(])([dte tf Pe tf pt pt ，可以证明，在)]([t f L 存在的条件下，必有 0)(lim =-+∞→pt t e t f ．因此，)0()()]([)0(0)]([f p pF t f pL f t f L -=+-='．微分性质标明：一个函数求导后取拉氏变换即是这个函数的拉氏变换乘以参数p ，再减去函数的初始值．应用上述结果，对二阶导数可以推得)}0()0({)()0()}0()({)0()]([)]([2f pf p F p f f p pF p f t f pL t f L '+-='--='-'=''．同理，可得)}0()0()0({)()]([23f f p f p p F p t f L ''+'+-='''．以此类推，可得)}0()0()0({)()]([)1(21)(---+'+-=n n n n n f f p f p p F p t f L ． （76）由此可见，)(t f 各阶导数的拉氏变换可以由p 的乘方与象函数)(p F 的代数式暗示出来．特别是现在值0)0()0('')0(')0()1(====-n f f f f 时，有更简单的结果),2,1()()]([)( ==n p F p t f L n n ，． （77）利用这个性质，可将)(t f 的微分方程转化为)(p F 的代数方程． 例711 利用微分性质求][sin t L ω和][cos t L ω． 解 令t t f ωsin )(=，则t t f f f ωωωsin )()0(0)0(2-=''='=，，，由76式，得 )]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=，即ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ，移项化简得22][sin ωωω+=p t L ．利用上述结果，)(sin 1cos '=t t ωωω及（75）式，可得2222}0{1ωωωω+=-+⋅=p p p p ．性质5（积分性质） 若)()]([p F t f L =)0(≠p ，且设)(t f 连续，则⎰=t p p F dx x f L 0)(])([．（78）证明 令⎰=t dxx f t 0)()(ϕ，显见0)0(=ϕ，且因)()(t f t ='ϕ，由微分性质，得)0()]([)]([ϕϕϕ-='t pL t L ，而)()]([)]([p F t f L t L =='ϕ，所以有])([)]([)(0⎰==tdx x f pL t pL p F ϕ，即)(1])([p F p dx x f L t=⎰．积分性质标明：一个函数积分后再取拉氏变换，即是这个函数的象函数除以参数p ．例712 求][nt L （n 是正整数）．解 因为⎰⎰⎰===t t tdxx t xdx t dx t 0232321，，，…，⎰-=t n ndxnx t 01，所以由（78）式即得 …………………… 一般地，有1101!][][][+--===⎰n n tn npn p t nL dt xnL t L ．性质6 若)()]([p F t f L =，则0>a 时)(1)]([a pF a at f L =． （79）性质7 若)()]([p F t f L =，则)()1()]([)(p F t f t L n n n -=． （710）性质8 若)()]([p F t f L =，且t t f t )(lim→存在，则⎰∞+=pdpp F tt f L )(])([． （711）例713 求]sin [t t L ω． 解 因为22][sin ωωω+=p t L ，由（710）式可得22222)(2)()1(]sin [ωωωωω+=+-=p p p dp d t t L ．例714 求]sin [t tL ．解 因为11][sin 2+=p t L ，并且1sin lim 0=→t tt ，所以由（711）式可得p arctg p arctg dp p ttL pp -==+=⎰∞+∞+2|11]sin [2π．即p arctg dt e t t pt -=⎰∞+-2sin 0π．因此，那时0=p ，获得一个广义积分的值⎰∞+=02sin πdt t t ．这个结果用原来的广义积分的计算办法是得不到的．现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中经常使用的一些函数的象函数辨别列表如下：求512题中函数的拉氏变换5．t e 43-． 6．t t cos 32sin 5-． 7．t t 2cos 2sin ． 8．t 3sin ．9．=)(t f .4,1,40,1≥≤≤-t t 10．=)(t f .,,0,sin ππ≥≤≤t t t t11．=)(t f .4,0,42,1,20,0t t t ≤<≤<≤12．=)(t f atn e t ．7.3 拉氏变换的逆运算前面我们主要讨论了怎样由已知函数)(t f 求它的象函数)(p F 的问题．运算法的另一面是已知象函数)(p F 要求它的象原函数)(t f ，这就是拉斯逆变换问题．同时把经常使用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出． 性质1（线性性质）)]()([22111p F a p F a L +-)()()]([)]([2211212111t f a t f a p F L a p F L a +=+=--．性质2（平移性质）)()]([)]([11t f e p F L e a p F L atat ==---． 性质3（滞后性质）)()()]([1a t u a t f p F e L ap -⋅-=--．例715 求下列象函数的逆变换：（1）31)(+=p p F ； （2）3)2(1)(-=p p F ；（3）252)(p p p F -=； （4）434)(2+-=p p p F ．解 （1）将3-=a 代入表二（5），得te p L tf 31]31[)(--=+=．（2）由性质２及表二（4），得t t t e t P L e p L e p L t f 223123123121]!2[2]1[])2(1[)(===-=---．（3）由性质１及表二（2）、（3），得t p L p L p p L t f 52]1[5]1[2]52[)(21121-=-=-=---．（4）由性质１及表二（9）、（10），得tt p L p p L p p L t f 2sin 232cos 4]42[23]4[4]434[)(212121-=+-+=+-=---．例716 求5232)(2+-+=p p p p F 的逆变换．解]4)1(5)1(2[]5232[)(2121+-+-=+-+=--p p L p p p L t f]2sin 252cos 2[2sin 252cos 2t t e t e t e t t t +=+=．在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数经常是有理分式，对有理分式一般可采取部分分式办法将它分化为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数．例717 求659)(2+++=p p p p F 的逆变换．解 先将)(p F 分化为两个最简分式之和：32)3)(2(96592+++=+++=+++p Bp A p p p p p p ，用待定系数法求得7=A ，6-=B ，所以36276592+-+=+++p p p p p ，于是]3627[)]([)(11+-+==--p p L p F L t f tt e e p L p L 321167]31[6]21[7-----=+-+=． 例718 求Pp p p p F 443)(23+++=的逆变换． 解 先将)(p F 分化为几个简单分式之和：2223)2(2)2(3443++++=++=+++p Cp B p A p P p P p p p ，用待定系数法求得214343-=-==C B A ，，，所以 223)2(2124343443)(+-+-=+++=p p p P p p p p F ，于是t t te e 22214343----=．习题73 求1318题中函数的拉氏逆变换 13．32)(-=p p F ． 14．164)(2+=p p p F ．15．3682)(2+-=p p p F ． 16．)2)(1(1)(++=p p p p F ．17．p p p p p F 962)(232+++=． 18．22)1(1)(-+=P P p p F ．7.4 拉氏变换应用举例下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用．例719 求微分方程0)(2)(=+'t x t x 满足初值条件3)0(=x 的解． 解 第一步 对方程两边取拉氏变换，并设)()]([p X t x L =：]0[)](2)('[L t x t x L =+， 0)]([2)]([=+'t x L t x L ， 0)(2)0()(=+-p X x p pX ．将初始条件3)0(=x 代入上式，得3)()2(=+p X p ．这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就获得了一个象函数的代数方程．第二步 解出)(p X ：)(p X =23+p ．第三步 求象函数的拉氏逆变换：te p L p X L t x 2113]23[)]([)(---=+==．这样就获得了微分方程的解te t x 23)(-=．由例719可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的办法的运算过程如表73：分方程te -=2满足初值条件1)0(2)0(-='=y y ，的解．解 对所给微分方程的两边辨别作拉氏变换．设Y p Y t y L ==)()]([，则得122)]0([3)]0()0([2+=+--'--p Y y pY y py Y p ．将初值条件1)0(2)0(-='=y y ，代入，获得Y 的代数方程7212)23(2-++=+-p p Y p p ，即1552)23(22+--=+-p p p Y p p ．解出Y ，得)1)(2)(1(5522--+--=p p p p p Y ．将上式分化为部分分式23714131---++=p p p Y ，再取拉氏逆变换，就获得满足所给初值条件的方程的特解为tt t e e e t y 237431)(-+=-．用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组． 习题 74用拉氏变换求解1922题中的微分方程19．0)0(1053==+-i e i dt dit ，．20．ωω===+)0('0)0(0222y y y dt y d ，，．21．3)0('3)0(4)(2)('3)(''===+-y y t y t y t y ，，． 22．2)0('3)0(32)(16)(''-===+y y t t y t y ，，． 本章内容本章主要内容为：1．拉氏变换的概念和性质；拉氏变换的逆变换． 2．拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系：4求1．⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤-<≤=.2,2,21,1,10,0)(t t t x f 2．t t t f 2cos 32sin 5)(-=．3．t t f 3sin 8)(2=． 4．t te t f +=1)(．5．atn e t t f =)(． 求69题中象函数的逆变换6．2)1(1)(-=p p p F ． 7．10293)(2+++=p p p p F ．8．32)2)(1(7155)(-++-=p p p p p F ． 9．p e e p F pp 22)(---=．。