很好的拉普拉斯变换讲解

第7章 拉普拉斯变换

令狐采学

拉普拉斯(Laplace)变换是阐发和求解常系数线性微分方程的一种简便的办法，并且在自动控制系统的阐发和综合中也起着重要的作用．本章将简明地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．

7.1拉氏变换的基本概念

在代数中，直接计算

是很庞杂的，而引用对数后，可先把上式变换为

164

.1lg 53

)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N ，

然后通过查经常使用对数表和否决数表，就可算得原来要求的数

N ．

这是一种把庞杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法． 7.1.1 拉氏变换的基本概念

界说 设函数)(t f 那时0≥t 有界说，若广义积分dt

e t

f pt ⎰∞

+-0)(在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作)(P F ，即

dt

e t

f P F pt ⎰

∞

+-=

)()(（71）

称（71）式为函数)(t f 的拉氏变换式，用记号)()]([P F t f L =暗示．函数)(P F 称为)(t f 的拉氏变换(Laplace) (或称为)(t f 的象函数)．函数)(t f 称为)(P F 的拉氏逆变换（或称为)(P F 象原函数），记作

)()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=．

关于拉氏变换的界说，在这里做两点说明：

(1) 在界说中，只要求)(t f 在0≥t 时有界说．为了研究拉氏变换性质的便利，以后总假定在0

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在单数规模内取值．为了便利起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这其实不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．

例71 求一次函数at t f =)(（a t ，0≥为常数）的拉氏变换． 解

⎰

⎰

⎰

∞+-∞

+-∞+-∞+-+

-=-

==

00

][)(][dt

e p

a e p at e

td p

a dt ate

at L pt pt pt

pt

2020

][0p a e p a dt e p

a

pt pt =-

=+

=∞+-∞+-⎰

)0(>p ．

7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(t i ，以)(t Q 暗示上述电路中的电量，则

由于电流强度是电量对时间的变更率，即

t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)

()(lim )()(0-+==→，

所以，那时0≠t ，0)(=t i ；那时0=t ，

∞

=-=-+=→→)1

(lim )0()0(lim

)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆．

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来

暗示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．

界说

设

⎪⎩⎪⎨

⎧>≤≤<=ε

ε

εδεt t t t ，

，，001

00)(，当ε→0时，)(t εδ的极限

称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为-δ函数．

那时0≠t ，)(t δ的值为0；那时0=t ，)(t δ的值为无穷年夜，即

⎩⎨

⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ．)(t εδ和

)(t δ的图形如图71和图72所示．

显然，对任何0>ε，有1

1

)(0

==

⎰

⎰

∞

+∞

-dt dt t ε

εε

δ，所以 1

)(=⎰

∞

+∞

-dt t δ．

工程技术中，常将-δ函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将-δ函数用一个长度即是1的有向线段来暗示（如图72所示），这个线段的长度暗示-δ函数的积分，叫做-δ函数的强度．

例72 求)(t δ的拉氏变换． 解 根据拉氏变换的界说，有

dt

e dt e

dt e

dt e

t t L pt pt

pt

pt

-→∞

+-→-→∞+-⎰

⎰

⎰

⎰

=⋅+=

=

ε

εε

εε

εε

ε

δδ0

1

lim

0lim

)1

lim

()()]([

11lim 1)()1(lim 11lim 1][1

lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→ε

εεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e ，

即1)]([=t L δ．

例

73 求单位阶梯函数

⎩⎨

⎧≥<=0,10

,

0)(t t t u 的拉氏变换．

解

p e p dt e dt e

t u t u L pt pt pt

1

]1[1)()]([00

=-

=⋅=

=

∞+-∞+-∞+-⎰

⎰

，)0(>p ．

例74求指数函数at e t f =)(（a

为常数）的拉氏变换．

解

dt e dt e

e e L t a p pt

at at

⎰

⎰

∞

+--∞+-=

⋅=

)(0

][)(1

a p a p >-=

，即

)(1

][a p a p e L at >-=

． 类似可得

)

0(][sin 2

2>+=

p p t L ωω

ω；

)0(][cos 2

2>+=

p p p

t L ωω．

习题7–1

求14题中函数的拉氏变换 1．t e t f 4)(-=． 2．

2)(t t f =． 3．

at te t f =)(

4．ϕωϕω，()sin()(+=t t f 是常数）． 7.2 拉氏变换的性质

拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为庞杂的函数的拉氏变换．

性质 1 (线性性质) 若 1a ，2a 是常数，且)()]([11p F t f L =，)()]([22p F t f L =，则

)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=． （72） 证明

dt

e t

f a dt e

t f a dt e

t f a t f a t f a t f a L pt pt

pt

-∞+-∞+-∞+⎰

⎰

⎰

+=+=

+)()()]()([)]()([0

22

11

22110

2211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=．

例75 求下列函数的拉氏变换：

（1）)1(1

)(at e a t f --=

； （2）t t t f cos sin )(=．

解

（1）

)(1

}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----．