误差理论与测量平差基础第五章 条件平差PPT课件
合集下载
误差理论与测量平差共206页
▪
误要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
206
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
第5章 测量误差理论的基础知识
第五章 测量误差理论的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
误差理论与测量平差基础教学课件-第五讲06
firstly; 3. 3）Applying the Law of Propagation of
Errors; 4. 4）Substituting standard error for variance.
2020/3/21
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
Some special cases： [1]观测值不相关时
z2Biblioteka n i1f xi2i2
0
[2]线性函数
n
z ki xi i 1
n
2 z
ki2
2 i
i 1
2020/3/21
X
2121
12
2 2
1n 2n
n1 n2
2 n
X
012
0
2 2
0
0
0
0
2 n
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
m2 xn
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
2.Variance and standard error of functions of random variable
Step of Solution:
1. 1）Construct the Mathematical model; 2. 2）If the model is no-linear, linearizing it
x n
dY dYdX dY—雅克比矩 m阵 n阶 ，
dX
dX
补充知识
4.向量的微分
y1 y1
dY dX
Errors; 4. 4）Substituting standard error for variance.
2020/3/21
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
Some special cases： [1]观测值不相关时
z2Biblioteka n i1f xi2i2
0
[2]线性函数
n
z ki xi i 1
n
2 z
ki2
2 i
i 1
2020/3/21
X
2121
12
2 2
1n 2n
n1 n2
2 n
X
012
0
2 2
0
0
0
0
2 n
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
m2 xn
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
2.Variance and standard error of functions of random variable
Step of Solution:
1. 1）Construct the Mathematical model; 2. 2）If the model is no-linear, linearizing it
x n
dY dYdX dY—雅克比矩 m阵 n阶 ，
dX
dX
补充知识
4.向量的微分
y1 y1
dY dX
测量平差教学课件PPT
实用文档
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度： • 描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，
精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
• 当 时，即观测值中不存在系统误差，亦即 观测值中只存在偶然误差时，均方误差就 等于方差，此时精确度就是精度。
ZX,则 Z的方D 差 ZZ阵 D XX为 D XY
Y
D YX D YY
其中：DXY =E 为[XX 关(于u Y的X)互Y 协( 方u 差Y阵)T]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1y1
DXY
x2
y1
...
xn y1
x1y2
...
x2 y2
...
... ...
xn y2
...
实用文档
x1yr
x2 yr
...
（correlation observation） 实用文档
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差 设观测向量L及其期望和方差为：
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
实用文档
Chapter 3. spread of covariance
5直接应用协方差传播律得出所求问题的方差协方差矩阵第三章协方差传播律八权及定权的常用方法权的概念一定的观测条件对应着一定的误差分布而一定的误差分布就对应着一个确定的方差方差是表征精度的一个绝对的数字指标为了比较各观测值之间的精度除了可以应用方差之外还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度的高低这种表示各观测值方差之间的比例关系的数字特征成为权所以权是表征精度的相对的数字指标第三章协方差传播律权的概念权是权衡轻重的意思其应用比较广泛应用到测量上可作为衡量精度的标准如有一组观测值是等精度的那么在平差时应该将他们同等对待因此说这组观测值是等权的而对于一组不等精度的观测值在平差时就不能等同处理容易理解精度高的观测值在平差结果中应占较大的比重或者说应占较大的权所以平差时对于一组不等精度的观测值应给予不同的权
6 第五章 条件平差
三角网的基本图形构成
单三角形； 大地四边形； 中点多边形
30
§2 条件方程
二.三角网 1.独立测角网条件方程
测角网的观测值
测角网的观测值很简单,全部是角度观测值
测角网的作用
确定待定点的平面坐标
测角网的基准
位置基准2个(任意一点坐标X0Y0) 方位基准1个(任意一边方位角α0) 长度基准1个(任意一边的边长S0)
Av f 0
V PV min
T
在满足 Av f 0 的条件下，
求函数 V PV min 的V值
T
条件 极值 问题
4
§1 条件平差原理 条件平差的步骤
5
§1 条件平差原理
列条件方程 观测值权阵
最小二乘原则
求唯一解
6
§1 条件平差原理 一.基础方程及其解
r个线性条件方程：
3 ka 3 k 2 0 6 b
写成矩阵形式：
(2)定权： 100米量距为单位权：Pi=100/Si
1/Pi=Si/100 1/P1=2， 3=3， 1/P 1/P2=3， 4=5， 1/P
2 0 Q 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5
AV f 0 PLL diag p1 p2 p4
组、解法方程： AQAT K f 0
由改正数方程求： V P A K
T 1
ˆ 求平差值： L L V
15
§1 条件平差原理 二.条件平差的求解步骤及示例
条件平差计算步骤
16
§1 条件平差原理
例：
r 1
r 1
r个改正数条件式：
a1v1 a2 v2 an vn wa 0 b1v1 b2 v2 bn vn wb 0 r1v1 r2 v2 rn vn wr 0
测量学 第五章 测量误差及测量平差
第五章 测量误差及测量平差§5.1 测量误差概述一、测量误差的概念某量的各测量值相互之间或观测值与理论值之间的往往存在着某些差异，说明观测中存在误差。
观测值与真值之差称为测量误差，也叫真误差。
X l i i -=∆ （i =1、2、……、n ） X 为真值。
二、研究测量误差的目的分析测量误差的产生原因、性质和积累规律；正确地处理测量成果，求出最可靠值；评定测量结果的精度；为选择合理的测量方法提供理论依据。
三、测量误差产生的原因1.测量仪器因素2.观测者的因素3.外界条件的因素测量观测条件——测量仪器、观测人员和外界条件这三方面的因素综合起来称为测量观测条件。
等精度观测——测量观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
非等精度观测——测量观测条件不相同的各次观测称为非等精度观测。
四、测量误差的分类1.系统误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小、符号表现出系统性，或按一定的规律变化，或保持不变，这种误差称为系统误差。
其特点：具有累积性，但可以采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
2.偶然误差在相同的观测条件下对某量作一系列观测，如果误差的大小和符号不定，表面上没有规律性，但实际上服从于一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。
偶然误差单个的出现上没有规律性，不能采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
因此，观测结果中偶然误差占据了主要地位，是偶然误差影响了观测结果的精确性。
五、减少测量误差的措施对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数来消除或减弱其影响。
对偶然误差，通常采用多余观测来减少误差，提高观测成果的质量。
§5.2 偶然误差的特性一、精度的含义1.准确度准确度是指在对某一个量的多次观测中，观测值对该量真值的偏离程度。
2.精密度精密度是指在对某一个量的多次观测中，各观测值之间的离散程度。
3.精度精度也就是精确度，是评价观测成果优劣的准确度与精密度的总称，表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合影响的程度。
误差理论与测量平差基础间接平差.pptx
2、未知数的选择 选择原则：a、所选取t个待估参数必须相互独立； b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第5页/共48页
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
第15页/共48页
例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
第17页/共48页
（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
第5页/共48页
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立
（1）、水准网
在水准网平差中，通常选t个待定点的高程平差
值作为待估参数。这样选 既足数，又独立， 而且容易写出参数 与观测值之间的函 Xˆ数1 关Hˆ系E , 。Xˆ 2如 图Hˆ F，选
由于观测值 y 有误差，故由上式可得曲线拟合
的误差方v程i 为aˆ：0 aˆ1xi aˆ2 xi2 aˆ3 xi3 yi
b、曲面拟合
曲面拟合在DEM、GPS水准等工作中常常用到。 将地H面i 视 为a0 一 a个1x连i 续a2的yi 曲 a面3 x，i2 则a高4 yi程2 可a5表xi y达i 为平面 坐标的函数，且可用多项式表达为：
有足够起算数据的三边网与三角网一样，也是
选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即
t=2m 。一般地，边长观测值可由下图表示，于是
k
有：
Si
j
vi ( Xˆ k Xˆ j )2 (Yˆk Yˆj )2 Si
第15页/共48页
例如在下图，我们选 Xˆ1 Xˆ C , Xˆ 2 YˆC , Xˆ 3 Xˆ D , Xˆ 4 YˆD
教材：7－5 习题：7.2.16
第17页/共48页
（5）、导线网
导线网为特殊的边角网，其必要观测数t=2m
（m为待定点个数），其观测值为角度观测值和边
长观测值两类。所以误差方程也是角度误差方程和
边长误差方程两类。
vi ˆik ˆij arctan
可Yˆk以先Yˆi Xˆ k Xˆ
列角度误 arctan
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
测量学第五章误差基本知识培训讲义PPT
第五章 误差基本知识
学习本章的意义 ：使同学们掌握怎样把误差的
基本知识应用到实际工程。
内容主要有 ：误差概述、偶然误差的性质、衡量
精度的标准、误差转播定律、观测值及算术平均值 中误差、非等精度观测。
教学要求 ：
（1）掌握误差的分类及性质、衡量精度的标准、误 差转播定律、怎样求观测值及算术平均值中误差。
4.误差的分类
观测成果的精确程度简称为精度，观测精 度取决于观测时所处的条件。依据观测条 件来区分观测值，可分为：
同等精度：观测条件相同的各次观测
不等精度观测：观测条件不相同的各次观 测
在相同观测条件下测量误差可分为：①过失误差：观测者错误引起
问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行 政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器 测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测 量结果是不是过失误差？
5.偶然误差的特性
现重复观测了多个三角形内角和，得到真误 差 ∆i＝Li－180°，统计见表5-1，从这个列 表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：
• 有界性 • 密集性 • 对称性； • 抵偿性
6.偶然误差的分布曲线
• 误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正 态分布概率密度函数表示：
§5.2衡量精度的标准
②系统误差：误差的大小符号按一定的规律
变化
产生的原因：外界条件、仪器设备、观测 方法、计算手段
消除、减弱系统误差方法： 检校仪器 求改正数 对称观测
③偶然误差：误差的大小、符号无一定的规
律变化，但符合某一统计规律
产生的原因：人的感觉器官、仪器的性能
处理方法：进行多余观测
• 有了多余观测，可以发现观测值中的错误，以便 将其剔除和重测。
∠A=56 °35′18″±38″, ∠B=38°30′32″±26″
学习本章的意义 ：使同学们掌握怎样把误差的
基本知识应用到实际工程。
内容主要有 ：误差概述、偶然误差的性质、衡量
精度的标准、误差转播定律、观测值及算术平均值 中误差、非等精度观测。
教学要求 ：
（1）掌握误差的分类及性质、衡量精度的标准、误 差转播定律、怎样求观测值及算术平均值中误差。
4.误差的分类
观测成果的精确程度简称为精度，观测精 度取决于观测时所处的条件。依据观测条 件来区分观测值，可分为：
同等精度：观测条件相同的各次观测
不等精度观测：观测条件不相同的各次观 测
在相同观测条件下测量误差可分为：①过失误差：观测者错误引起
问题（1）：甲建筑公司在郑州大学行 政楼施工中进行变形观测，一次用DS3仪器 测量A点的沉降量为＋1.3mm，请问这次测 量结果是不是过失误差？
5.偶然误差的特性
现重复观测了多个三角形内角和，得到真误 差 ∆i＝Li－180°，统计见表5-1，从这个列 表中，我们可以看出偶然误差的几个特性：
• 有界性 • 密集性 • 对称性； • 抵偿性
6.偶然误差的分布曲线
• 误差分布曲线一条正态分布曲线，可用正 态分布概率密度函数表示：
§5.2衡量精度的标准
②系统误差：误差的大小符号按一定的规律
变化
产生的原因：外界条件、仪器设备、观测 方法、计算手段
消除、减弱系统误差方法： 检校仪器 求改正数 对称观测
③偶然误差：误差的大小、符号无一定的规
律变化，但符合某一统计规律
产生的原因：人的感觉器官、仪器的性能
处理方法：进行多余观测
• 有了多余观测，可以发现观测值中的错误，以便 将其剔除和重测。
∠A=56 °35′18″±38″, ∠B=38°30′32″±26″
《测量误差与平差》PPT课件
• 精度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但 与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常 用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低 的指标。此处的平均值大小并非简单的算术平均大 小，而是指均方差。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
第5章测量误差及测量平差ppt课件
四.测量误差处理
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
按三角形列条件方程，每个三角形中应保证至少有一 条基线是新基线，如此列立，可保证足数、独立、最 简的原则。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
图1中r =3·（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
vxA BvxB CvxCA(xA BxB CxC A ) vyA BvyB CvyCA(yA ByB CyC A ) vzA BvzB CvzCA(zA BzB CzC A )
第五章——条件平差
条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式； （2）组成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正数V； （5）求观测值的平差值 LˆLV ； （6）检核。
教材：5－1， 5－2， 5－3 习题：5.1.04， 5.1.07
第五章——条件平差
§5-2 条件方程的列立
V TP V 2K T(A V W ) （2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导 2.3 法方程
d2VTP2KTA0 dV
A 1 P A TKW 0
改正数方程 VP1ATK
举例
（3） （4） （5）
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0 .01 . 2 11 3 . 1 10 4 4 .00 2 7 .01 8 . 9 2T 9 m16
条件平差的关键是列条件方程，而列条件方程的关键是 正确确定必要观测数和条件方程的类型。
列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简
➢水准网的条件方程
1、水准网的分类及水准网的基准
有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。
2、水准网中必要观测数t的确定（保证足数）
有已知点： t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一
3、水准网中条件方程的分类
附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件
第五章——条件平差
4、水准网中条件方程的列立方法（保证独立） （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数
等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网
P d 1 i1 a 1 2 .5 g 2 .5 2 .5 ， 求各高差平差值
第五章——条件平差
误差方程
v1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
1 1 0
101
v2 v3 v4 v5
2 3 4
0
v6
法方程
9 2 2k1 2 2 9 2k230 2 2 9 k3 4
举例说明：测角网，水准网 4、条件平差及其目的
第五章——条件平差
§5-1 条件平差原理
1、条件方程
AVW0
rnn1 r1 r1
（1）
（1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于r<n，所以（1）式是 不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？
2、法方程及其组成
2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数
一条基线三个观测值，他们是 xij, yij, zij,n=3s，s是基线数。
2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t
三个坐标基准 x, y, z 。必要观测数为 t=3(m-1)，m
为总点数。所以条件方程的个数为：r = 3·(s-m) + 3 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立
第五章——条件平差
第五章 条件平差
§5-1 条件平差原理 §5-2 条件方程的列立 §5-3 非线性条件方程的线性化 §5-4 精度评定
第五章——条件平差
基本概念
1、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最
少观测数。 2、多余观测数
实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。 3、闭合差
图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42
第五章——条件平差
➢ 三角网(测角网)的条件方程 1、三角网的观测值
三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。 2、三角网的作用
法方程的解
k1 9 k2 2 k3 2
2 9 2
21
2 9 2 3 40 511611
第五章——条件平差
按（5）求改正数V：1 0 0 0
0 1 0 0 VP1ATK0 0 1 0
0 0 0
0 1 1
0 0
0
0
0 1 0
00 1
50220.3.7
0 0 0 2.5 0 0 1 0 111 1.1
中有多少个小环，就列多少个闭合条件
在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程， 一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。
第五章——条件平差
5、水准网条件方程列立举例
第五章——条件平差
14
第五章——条件平差
习题：5.2.10
第五章——条件平差
➢ GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程 1、GPS基线向量网的观测值：
确定待定点的平面坐标。 3、三角网的类型
单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形 4、三角网的基准数据
在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0, y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边 这的四方个位基角准数 0据）等以价及于长已度知基两准个1点个的（坐任标意。一条边的边长 S 0 ）。
求观测值的平差值：00
0 0
0 0
0 0
2.5 0
20.5
01
1 1
10161
0.9 0.2
L ˆ L V 0 . 01 2 . 11 3 . 1 10 6 3 . 03 0 9 7 . 03 1 6 9 . 2 9 T 9 19 6
检核：
Lˆ1Lˆ4Lˆ6 0.0230.07609.09990 Lˆ2Lˆ5Lˆ6 1.11603.09919.21620 Lˆ6Lˆ3Lˆ4 1.21612.13903.07690
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
图1中r =3·（3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
vxA BvxB CvxCA(xA BxB CxC A ) vyA BvyB CvyCA(yA ByB CyC A ) vzA BvzB CvzCA(zA BzB CzC A )
第五章——条件平差
条件平差的求解步骤 （1）根据具体问题列条件方程（1）式； （2）组成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正数V； （5）求观测值的平差值 LˆLV ； （6）检核。
教材：5－1， 5－2， 5－3 习题：5.1.04， 5.1.07
第五章——条件平差
§5-2 条件方程的列立
V TP V 2K T(A V W ) （2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导 2.3 法方程
d2VTP2KTA0 dV
A 1 P A TKW 0
改正数方程 VP1ATK
举例
（3） （4） （5）
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0 .01 . 2 11 3 . 1 10 4 4 .00 2 7 .01 8 . 9 2T 9 m16
条件平差的关键是列条件方程，而列条件方程的关键是 正确确定必要观测数和条件方程的类型。
列条件方程的原则:1、足数；2、独立；3、最简
➢水准网的条件方程
1、水准网的分类及水准网的基准
有已知点和无已知点两类。要确定各点的高程，需要1个高程基准。
2、水准网中必要观测数t的确定（保证足数）
有已知点： t 等于待定点的个数 无已知点： t 等于总点数减一
3、水准网中条件方程的分类
附合条件和闭合条件两类 已知点个数大于1：存在附合和闭合两类条件 已知点个数小于等于1：只有闭合条件
第五章——条件平差
4、水准网中条件方程的列立方法（保证独立） （1）、先列附合条件，再列闭合条件 （2）、附合条件按测段少的路线列立，附合条件的个数
等于已知点的个数减一 （3）、闭合条件按小环列立（保证最简），一个水准网
P d 1 i1 a 1 2 .5 g 2 .5 2 .5 ， 求各高差平差值
第五章——条件平差
误差方程
v1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 1
1 1 0
101
v2 v3 v4 v5
2 3 4
0
v6
法方程
9 2 2k1 2 2 9 2k230 2 2 9 k3 4
举例说明：测角网，水准网 4、条件平差及其目的
第五章——条件平差
§5-1 条件平差原理
1、条件方程
AVW0
rnn1 r1 r1
（1）
（1）式中A的秩是r，未知数的个数是n，由于r<n，所以（1）式是 不定方程。那么，如何求解不定方程（1）式呢？
2、法方程及其组成
2.1 按拉格朗日条件极值法组成新函数
一条基线三个观测值，他们是 xij, yij, zij,n=3s，s是基线数。
2、GPS基线向量网三维无约束平差的基准及必要观测数t
三个坐标基准 x, y, z 。必要观测数为 t=3(m-1)，m
为总点数。所以条件方程的个数为：r = 3·(s-m) + 3 3、GPS基线向量网三维无约束平差的条件方程的列立
第五章——条件平差
第五章 条件平差
§5-1 条件平差原理 §5-2 条件方程的列立 §5-3 非线性条件方程的线性化 §5-4 精度评定
第五章——条件平差
基本概念
1、必要观测数 为了确定观测对象的位置或形状、大小所必须的最
少观测数。 2、多余观测数
实际观测数与必要观测数之差，称为多余观测数。 3、闭合差
图2中，r=3（6-4）+3=9，即9个条件方程。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42
第五章——条件平差
➢ 三角网(测角网)的条件方程 1、三角网的观测值
三角网的观测值很简单，全部是角度观测值。 2、三角网的作用
法方程的解
k1 9 k2 2 k3 2
2 9 2
21
2 9 2 3 40 511611
第五章——条件平差
按（5）求改正数V：1 0 0 0
0 1 0 0 VP1ATK0 0 1 0
0 0 0
0 1 1
0 0
0
0
0 1 0
00 1
50220.3.7
0 0 0 2.5 0 0 1 0 111 1.1
中有多少个小环，就列多少个闭合条件
在水准网条件平差中，按以上方法列条件方程， 一定能满足所列条件方程足数、独立、最简的原则。
第五章——条件平差
5、水准网条件方程列立举例
第五章——条件平差
14
第五章——条件平差
习题：5.2.10
第五章——条件平差
➢ GPS基线向量网三维无约束条件平差的条件方程 1、GPS基线向量网的观测值：
确定待定点的平面坐标。 3、三角网的类型
单三角形、大地四边形、中点多边形、组合图形 4、三角网的基准数据
在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0, y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边 这的四方个位基角准数 0据）等以价及于长已度知基两准个1点个的（坐任标意。一条边的边长 S 0 ）。
求观测值的平差值：00
0 0
0 0
0 0
2.5 0
20.5
01
1 1
10161
0.9 0.2
L ˆ L V 0 . 01 2 . 11 3 . 1 10 6 3 . 03 0 9 7 . 03 1 6 9 . 2 9 T 9 19 6
检核：
Lˆ1Lˆ4Lˆ6 0.0230.07609.09990 Lˆ2Lˆ5Lˆ6 1.11603.09919.21620 Lˆ6Lˆ3Lˆ4 1.21612.13903.07690