正态分布

[点评] 1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为 3σ 区间，由 特殊区间的概率值求出． 2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟 练掌握正态分布在，(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ] 三个区间内的概率．
变式训练 3 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成， 元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作， 设三个电子元件的使用寿命 ( 单位：小时 ) 均服从正态分布 N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用 寿命超过 1 000 小时的概率为__________．
( x 2 )2 2 2 2
( x 1 ) 2 2 2 1
(x∈R)，曲
(x∈R)，则(
)
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的面积相等
解析：由正态曲线的特点易知：μ1＞μ2，σ1＜σ2，曲线 C1，C2 分别与 x 轴所夹面积相等． 答案：D
知识点一 正态曲线 1.正态曲线的概念 1 e 若 φμ，σ(x)＝ ， x∈(－∞， ＋∞)， 其中实数 μ 和 σ(σ 2πσ ＞0)为参数， 我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线， 简称正态 曲线．
( x )2 2 2
2．正态曲线的性质 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； 1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 ； 2πσ ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而 沿 x 轴平移； ⑥当 μ 一定时， 曲线的形状由 σ 确定， σ 越小， 曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分 布越分散．
类型一 正态曲线的图象的应用 【例 1】 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正 态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方 差．
解析： 从正态曲线可知， 该正态曲线关于直线 x＝20 对称， 最大值为 1 1 1 ，所以 μ＝20， ＝ ，∴σ＝ 2. 2 π 2 π 2πσ ( x 20)2 1 4 于是 φμ，σ(x)＝ · ， e 2 π x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20， 方差是 σ2＝( 2)2＝2.
( x 209)2 72
对正态分布的理解 1．正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差； 人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长 度、宽度、高度„„都近似地服从正态分布． 2．正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在 (a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是 指随机变量 X 的取值区间在(a， b]上时的概率等于正态曲线与直线 x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积． 3．从正态曲线可以看出，对于固定的 μ 和 σ 而言，随机变量 在(μ－σ， μ＋σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大． 这说明 σ 越小， X 取值落在区间(μ－σ， μ＋σ)的概率越大， 即 X 集中在 μ 周围的概 率越大．正态分布的 3σ 原则是进行质量控制的依据，要会应用给 定三个区间的概率解决实际问题.
解析：设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记 1 为 A，B，C，显然 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ， 2 ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B ＋ A B＋ AB)C， ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 1 1 1 1 1 1 1 3 P＝2×2＋2×2＋2×2× ＝ . 2 8 3 答案： 8
[点评] 1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决 μ，σ. 2．正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征： (1)对称轴方程 x＝μ； 1 (2)最值 这两点把握好了，参数 μ，σ 便确定了，代入 φμ， σ 2π σ(x)中便可求出相应的解析式．
1 变式训练 1 如图，曲线 C1：f(x)＝ e 2πσ1 线 C2：φ(x)＝wk.baidu.com1 e 2πσ2
[点评] 1．本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转 化求值． 2．解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称 性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布 确定所给区间属于上述区间的哪一个．
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是(
)
答案：A
2．如果随机变量 ξ～N(－1，σ2)，且 P(－3≤ξ≤－1)＝0.4， 则 P(ξ≥1)等于( ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
答案：A
3．某校高考的数学成绩近似服从正态分布 N(100,100)，则该 校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( ) A．22.8% B．45.6% C．95.44% D．97.22%
对正态曲线特征的认识 特征 认识 函数的值域为正实数集的子集，且以 x 轴为 特征 1 渐近线 特征 2 曲线是对称的，关于直线 x＝μ 对称 特征 3 函数在 x＝μ 处取最大值 特征 4 随机变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为 1 当标准差一定时，μ 变化时曲线的位置变化 特征 5 情况 均值一定时，σ 变化时总体分布的集中、离 特征 6 散程度
变式训练 2 设 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)． (2)P(3＜X≤5)．
解析：因为 N～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以 P(3＜X≤5) 1 ＝ [P(－3＜X≤5)－P(1＜X≤3)] 2 1 ＝ [P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] 2 1 ＝ [P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] 2 1 ＝ (0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 2
5．若一批白炽灯共有 10 000 只，其光通量 X 服从正态分布， ( x 209)2 1 72 其概率密度函数是 f(x)＝ e ， x∈R.试求光通量在下列范 6 2π 围内的白炽灯的个数． (1)(209－6,209＋6)． (2)(209－18,209＋18)．
1 解析：由于 X 的概率密度函数为 f(x)＝ e ， 6 2π 所以 μ＝209，σ＝6. 所以 μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18. 因此光通量 X 的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋ 18)内的概率应分别是 0.682 6 和 0.997 4. (1)光通量 X 在(209－6,209＋6)范围内的白炽灯个数大约是 10 000×0.682 6＝6 826. (2)光通量 X 在(209－18,209＋18)范围内的白炽灯个数大约是 10 000×0.997 4＝9 974.
知识点三 3σ 原则 1.若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a＞0，P(μ－a＜X≤μ＋ μ ＋a a)＝ φμ，σ(x)dx.
－ μ a
2．正态分布在三个特殊区间内取值的概率． P(μ－α＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； P(μ－2α＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； P(μ－3α＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
答案：C
4．设随机变量 X～N(1,52)，且 P(X≤0)＝P(X＞a－1)，则实数 a 的值为__________．
解析：因为随机变量 X～N(1,52)，所以正态曲线关于 x＝1 对 称，因为 P(X≤0)＝P(X＞a－1)，所以 0 与 a－1 关于 x＝1 对称， 1 所以 ×(0＋a－1)＝1，所以 a＝3. 2 答案：3
类型二 正态分布下的概率计算 【例 2】 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求 正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
解析： 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 1 所以 P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝ P(－1＜X＜3)＝0.341 3. 2
类型三 正态分布的应用 【例 3】 据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位： cm)服从正态分布 N(174,9)．若该市共有高二男生 3 000 人，试估 计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
解析：因为身高 X～N(174,9)， 所以 μ＝174，σ＝3， 所以 μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ＝174. 所以身高在 (168,174] 和 (174,180] 范围内的概率相等，均为 0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)．
知识点二 正态分布 如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) b ＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布．

a
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．