正态分布
正态分布
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X
~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a
正态分布
2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).
这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)
P{X
x}
P
X
x
P
X
1 2
5
1
2
2
0.9772
P{0
X
1.6}
P
0
1 2
X 1 2
1.6 1
2
0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05
0.12}
P
0.12 0.06
X
10.05 0.06
0.12
0.06
2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2
正态分布
密度函数
(x)
1 2
x
2
e
2
专用符 号
分布函数
( x)
x
1 2
x
2
e
2
dx
专用符 号
标准正态分布的性质
分布函数
( x ) P{ X x}
( x)
( x)
x
1 2
t
2
e
2
dt
x
( x) 1 ( x)
一般正态分布的标准化
定理
x 如果 X ~ N ( , ), 则 F ( x)
2
概率计算 若 X ~ N ( , 2 )
b a P (a X b)
a P( X a) 1
决定了图形的中心位置，
的陡峭程度.
决定了图形中峰
正态分布的分布函数
f (x) 1 2
(x ) 2
2 2
e
y
1
1 2
F ( x)
x
1 2
( x ) 2
2
2
e
dx
F(x)
x
计算概率？
P a X b F b F a
由 x 的单调性可得
k 18 2.5 0.91
k 20.275
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526 人报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N ( , 2 ) 已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高 分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被 录取？ 分析
正态分布
三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
正态分布
正态分布（normal distribution ）一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。
概率密度函数， -∞<x<∞二、 参数1、可变参数（1）位置参数 μ E （x ）=μ表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ11 2 3(2) 形态参数 σ表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。
三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律P{μ-σ<x<μ+σ}=0.6827P{μ-1.96σ<x<μ+1.96σ}=0.9500 P{μ-2.58σ<x<μ+2.58σ}=0.990022()())2X f X μσ-=-四、 应用1、描述资料分布2、依据面积分布规律求医学参考值范围3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。
而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出例：已知x =50，S=10,N=200,求45<x<65的频数 解：令x 1=45 x 2=65U 1=(45-50)/10=-0.5， U 2=(65-50)/10=1.5 查U 值表Ф{-0.5< U 1<0}=0.5-0.3085=0.1915 Ф{0< U 2<1.5}=0.5-0.0668=0.4332 P{-0.5<U<1.5}=0.1915+0.4332=0.6247 200×0.6247=1255、正态分布式在特定条件下一些离散型分布的极限分布，这意味着只要符合特定条件，这些离散型分布亦可按正态近似法处理。
正态分布完整ppt课件
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布
正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。
附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
正态分布
[µ − 3σ , µ + 3σ ] 区间内. 区间内.
这在统计学上称作“ σ 准则” 这在统计学上称作“3 准则” .
看一个应用正态分布的例子: 看一个应用正态分布的例子
例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头 以下来设计的.设男子身高X～ 碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高 ～ N(170,62),问车门高度应如何确定? 问车门高度应如何确定? ( , ),问车门高度应如何确定 解 设车门高度为h cm,按设计要求 设车门高度为 ,
例
设 X ~ N(0, 1), P(X ≤ b) = 0.9515, P(X ≤ a) = 0.04947, 求 a, b.
解: Φ(b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: Φ(1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66
而 Φ(a) = 0.0495 < 1/2, 所以 a < 0, Φ(−a) = 0.9505, 反查表得: Φ(1.65) = 0.9505, 故 a = − 1.65
例 设 X ~ N(0, 1), P(X>−1.96) ,
求 P(|X|<1.96)
解: P(X>−1.96) = 1− Φ(−1.96) = 1−(1− Φ(1.96)) = Φ(1.96) = 0.975 (查表得) P(|X|<1.96) = 2 Φ(1.96)−1 = 2 ×0.975−1 = 0.95
标准正态分布的上 α分位点 设 X ~ N ( 0,1) ,若数 zα满足条件
P{ X > zα} = α , 0 < α < 1 ⇒ P{ X < − zα } = α
则称点 zα 为标准正态分布的上 α分位点 标准正态分布的上 分位点.
正态分布
正态分布(Normal distribution)随机变量的概率分布随机变量的类型(数理统计)连续型变量：变量在某一实区间内任意取值；离散型变量：变量只能取有限个数或可列个数。
应用统计分为：数值变量和分类变量，对应于定量资料和定性资料（含等级资料）。
描述随机变量的两个函数●概率密度函数用f(X)表示，对于离散型变量f(X)是变量取X值的概率，常用P(X)表示。
●分布函数变量取小于等于X值所占的比例，显然：有()0F X≥'()()F X f X=()()xF X f X dX-∞=⎰正态分布正态分布（normal distribution ），也称高斯分布（Gaussian dist.），是最常见、最重要的一种连续型分布。
若一个随机变量的概率密度函数为则称这种分布为正态分布。
式中，π为圆周率；e 为自然对数的底。
其中的参数µ是均数，σ是标准差，正态分布可记为X ～Ν(µ,σ)。
正态分布的分布函数为：de Moivre(德)首先提出正态分布的概率曲线具有下述特点（1）正态分布只有一个高峰，高峰的位置在X＝μ处。
（2）分布以均数为中心，中间高，两头低，左右完全对称的钟型曲线。
（3）正态分布的两个参数（μ和σ）分别决定了分布的位置和形状。
其中μ是位置参数，σ是形状参数。
当σ恒定时，μ愈大，正态曲线向右移动；反之，μ愈小，正态曲线向左移动。
若μ恒定，σ愈大（数据愈离散），正态曲线显得愈“矮胖”；反之，σ愈小(数据愈集中），正态曲线显得愈“瘦高”。
（5）对任一正态变量X 进行如下线性变换则u 一定服从于均数为零，标准差为1的正态分布，记为u ～N （0，1），称为标准正态分布（standard normal distribution ），其密度函数u 被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate ）。
此性质在实际工作中极为重要，给应用工作者提供了极大的方便。
正态分布简单解释
正态分布简单解释
1 什么是正态分布？
正态分布，又称高斯分布，是概率统计学中的一种基本分布。
正态分布具有单峰性、对称性、钟形曲线的特点，是自然界中很多现象的统计分布。
2 正态分布的特点
正态分布的曲线正中间有一个顶峰，左右两侧对称，呈钟形。
这个顶峰代表了数据的平均值，也就是算术平均数。
而曲线两侧高度逐渐降低，代表了数据的集中程度。
曲线左右两侧的面积相等，也就是说左侧的面积等于右侧的面积，因此在平均值左右对称的情况下，有50%的数据落在平均值左边，有50%的数据落在平均值右边。
3 正态分布的应用
由于正态分布在自然界中很多现象中都具有普遍性和代表性，因此被广泛地应用于各种领域中。
例如，医疗诊断中使用正态分布来确定正常范围，制造业使用正态分布来控制产品质量，金融领域使用正态分布来进行风险分析等等。
此外，正态分布在统计学中也起着重要的作用，可以通过正态分布来推论总体参数，计算出置信区间和假设检验等。
4 正态分布的重要性
相信很多人都听过“大数定律”，那么正态分布对于这个定律的解释有很大的帮助。
基于中心极限定理，我们可以证明当样本容量达到一定程度时，样本均值的分布趋近于正态分布。
因此，正态分布在统计学中是非常重要的基础分布，也是许多分析方法的基础。
同时，在机器学习、人工智能等领域中，正态分布也是非常常用的一种概率分布，例如在回归分析中经常使用高斯分布来描述随机误差。
5 总结
正态分布在统计学中是非常基础和重要的概率分布，它的应用涵盖了各个领域。
理解和掌握正态分布的基本概念和特点，对于提高我们对大数据的分析能力和对实际问题的解决能力都具有重要意义。
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
正态分布简介
正态分布
一：正态分布的概念和和图形
正态分布的概率密度函数为：
(-∞＜ X ＜+
∞) 式中，有4个常数，μ 为总体均数，σ 为总体标准差，π为圆周率，e 为自然
,π，e 为固定常数，仅X 为变量，代表图形上横轴的数值，f(X)为纵轴数
分布曲线。
正态分布曲线是一簇曲线。
二：正态分布图的特点
1 对称的钟型（在均数处最高） 2两侧逐渐下降 3两端在无穷远处与横轴无限接近。
三：正态分布的特征
特征一 正态分布是一单峰分布，高峰位置在均数X= μ 处。
特征二 正态分布以均数为中心，左右完全对称。
特征三 正态分布取决于两个参数，即均数μ 和标准差σ μμ
μ 变小，曲线沿横轴向左移动。
σ
示数据的离散程度，若σσ 。
特征四 有些指标不服从正态分布，但通过适当变换后服从正态分布，如对数正态分布。
特征五 正态分布曲线下的面积分布是有规律的。
无论σ
μ,
①正态密度函数曲线与横轴间的面积恒等于1或100%；
②正态分布是对称分布。
其对称轴为直线X=μX>μX<μ等，各占50%；
四：标准正态分布
将正态分布变量作标准化变换，就得到均数为0，标准差为1的标准正态分布 标准化变换公式： 正态分布的概率密度函数方程就简化为标准正态分布的概率密度函数方程：
，(-∞＜ u ＜+∞) 22
()21()2X f X e μσσπ--= f σμ
-=X u 2221)(u e u -=π
ϕ。
正态分布
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若 固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单 位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面 积 的随概着率越 大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]
正态分布（Normaldistribution）也称“常态分布”，又名高斯分布
正态分布（Normaldistribution）也称“常态分布”，⼜名⾼斯分布常⽤希腊字母符号：
正态分布公式
曲线可以表⽰为：称x服从正态分布，记为 X~N(m,s2)，其中µ为均值，s为标zhuan准差，X∈（-∞，+ ∞ )。
其中根号2侧部分可以看成密度函数的积分为1，你就可以看成为了凑出来1特意设置的⼀个框架⽆实际意义。
标准正态分布另正态分布的µ为0，s为1。
判断⼀组数是否符合正态分布主要看 P值是否⼤于0.05。
1、∫
不定积分
不定积分的定义为：若函数f(x)在某区间 I 上存在⼀个原函数F(x)，则称F(x)+C（C为任意常数）为f(x)在该区间上的不定积分，记为
2、∮
闭合曲⾯积分
3、∝
⽆穷⼩
4、∞
⽆穷⼤
5、∨
集合符号，并
6、∧
集合符号，交
7、∑
求和符号，连加
8、∏
求积符号，连乘
9、∪
逻辑符号，并
10、≌
全等
11、∈
集合符号，属于
12、∵
因为
13、∴
所以
14、∽
相似
15、√
开⽅。
正态分布
当x<0时 Φ(−x) = 1− Φ( x) 时
若 X～N(0,1), ～
P(a < X < b) = Φ(b) − Φ(a) X −µ 2 若 X ~ N(µ,σ ), Y = ~N(0,1) σ a−µ b−µ ≤Y ≤ ) P(a < X < b)= P( σ σ b−µ a−µ = Φ( ) − Φ( ) σ σ
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标准正态分布 的正态分布称为标准正态分布. µ = 0,σ = 1的正态分布称为标准正态分布. 表示： 其密度函数和分布函数常用ϕ(x)和 Φ(x)表示：
1 ϕ(x) = e 2π −∞ < x < ∞
ϕ ( x)
x2 − 2
,
1 Φ( x) = 2π
∫e
t2 x − 2 −∞
查表可知 z0.025 =1.96 z0.005 =2. 575
ϕ (x )
注：
z1-α = −zα ,
α
z0.95 = -1.645
z0.995 = -2. 575
z1−α
目 录
0
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zα x
退 出
第二章 随机变量及其分布
§4连续型随机变量的概率密度
小结： 小结： 1 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 连续型随机变量的密度函数的定义和性质。 定义和性质 特别是
Φ( x )
dt
标准正态分布N(0,1) 标准正态分布 标准正态分布的重要性在于， 标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布. 标准正态分布.
定理1 定理 设
Y X ~ N(µ,σ ) , 则Y =
什么是正态分布
什么是正态分布正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的概率分布之一。
它在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种非常常见的分布模式。
正态分布的特点是呈钟形曲线，对称分布于均值周围。
其概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，e表示自然对数的底。
正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
当均值为0，标准差为1时，曲线称为标准正态分布。
正态分布具有许多重要的性质和应用。
以下是正态分布的几个重要特点：1. 对称性：正态分布是对称的，均值处于曲线的中心位置，两侧的概率密度相等。
2. 峰度：正态分布的峰度较高，曲线较陡峭，尾部较平缓。
3. 独立性：正态分布的随机变量之间是相互独立的。
4. 中心极限定理：当样本容量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。
正态分布在实际应用中具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 自然科学：正态分布常用于描述测量误差、实验数据、物理量的分布等。
2. 社会科学：正态分布常用于描述人口统计数据、心理测量数据、考试成绩等。
3. 金融领域：正态分布常用于描述股票价格、利率、风险收益等。
4. 质量控制：正态分布常用于描述产品尺寸、重量、强度等的分布。
5. 生物学：正态分布常用于描述身高、体重、血压等生物特征的分布。
正态分布的应用不仅限于上述领域，还广泛应用于工程、经济学、环境科学等各个领域。
总之，正态分布是一种重要的概率分布，具有对称性、峰度高、独立性等特点。
它在自然界和社会科学中广泛应用，用于描述各种随机变量的分布。
了解正态分布的特点和应用，对于理解和分析实际问题具有重要意义。
正态分布
正态分布正态分布（normal distribution）又名高斯分佈（Gaussian distribution），是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有著重大的影響力。
若隨機變量X服從一個數學期望為μ、標準方差為σ2的高斯分佈，記為：則其概率密度函數為常態分佈的期望值μ決定了其位置，其標準差σ決定了分佈的幅度。
因其曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。
我們通常所說的標準常態分佈是μ = 0,σ = 1的常態分佈（見右圖中綠色曲線）。
目录[隐藏]1 概要o 1.1 歷史2 正态分布的定義o 2.1 概率密度函數o 2.2 累積分佈函數o 2.3 生成函數▪ 2.3.1 動差生成函數▪ 2.3.2 特徵函數3 性質o 3.1 標準化正態隨機變量o 3.2 矩(英文:moment)o 3.3 生成正態隨機變量o 3.4 中心極限定理o 3.5 無限可分性o 3.6 穩定性o 3.7 標準偏差4 正態測試5 相關分佈6 參量估計o 6.1 參數的極大似然估計▪ 6.1.1 概念一般化o 6.2 參數的矩估計7 常見實例o7.1 光子計數o7.2 計量誤差o7.3 生物標本的物理特性o7.4 金融變量o7.5 壽命o7.6 測試和智力分佈[编辑]概要正態分布是自然科學與行為科學中的定量現象的一個方便模型。
各種各樣的心理學測試分數和物理現象比如光子計數都被發現近似地服從常態分佈。
儘管這些現象的根本原因經常是未知的，理論上可以證明如果把許多小作用加起來看做一個變量，那麼這個變量服從正态分布(在R.N.Bracewell的Fourier transform and its application中可以找到一種簡單的證明)。
正态分布出現在許多區域統計:例如, 採樣分佈均值是近似地正態的，既使被採樣的樣本總體並不服從正态分布。
另外，常態分布信息熵在所有的已知均值及方差的分佈中最大，這使得它作為一種均值以及方差已知的分佈的自然選擇。
正态分布
或 x Z s
23
例题：
例9-11 利用表9-1的资料计算95%参考值范围。
表9-1的资料近似服从正态分布，可以利用正
态分 布法计算95%参考值范围。
X 350.24，S 32.97
双侧95%的参考值范围：
X 1.96 S 350.24 1.96 32.97 ( 285.62 ~ 414.86) 20-29岁正常成年男子的尿酸浓度的95%参考值
25
（二） 质量控制： 随机误差 系统误差
26
判断异常的8种情况
有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外） 在中心线的一侧连续有9个点 连续6个点稳定地增加或减少 连续14个点交替上下 连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限 以外） 连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差 中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差 以内 中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差 范围。
的疾病和有关因素的同质人群。
一般认为至少应在 120 例以上。例数过少，
确定的参考值范围往往不够准确。
19
B.对选定的正常人进行准确的测量；
C.决定取单侧范围还是双侧范围值； 根据研究目的和专业知识确定单双侧 例：白细胞计数过低过高均异常，故双侧； 肺活量过低为异常，故单侧； 血铅、发汞含量过高为异常，故单侧。
知道面积求U值。 查附表1 得：0.10 对应的U值为-1.28
0.10
0.80
0.10
则: 80%的男孩身高集中： (116.9cm，129.2cm)
X 1.28 s
17
三、正态分布的应用 （一） 确定医学参考值范围(reference range) ：
正态分布
例1：设
X ~ N 0,1
求 P ( X 1.23); P ( X 2.08); P ( X 0.09);
P(2.15 X 5.12); P( X 1.96)
解：
P ( X 1.23) 0
P ( X 2.08) (2.08) 0.9812
P( X 0.09) 1 (0.09) (0.09) 0.5359
重要结论：设 X ~ N ( ， )，则
2
X
~ N (0,1) .
P ( X b ) P ( X b ) ( b ) （1） P （2） (a X b) P (a X b) P (a X b) b a ) ( ) P (a X b) ( a （3）P ( X a ) P ( X a ) 1 ( ) （4） P( X k ) P( X k ) ( k ) ( k )
对第二种方案有X ~ N 6，2）， （ 2 56 于是（X 5） 1 P X 5） 1 （ P （ ） 3 1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
综上分析，选择第 ？
种方案
小
1.标准正态分布
1）记为 X~N(0，1)
2）密度 ( x ) 函数：
（1） P ( X x ) 0.90 ，求x； （2） P ( X y ) 0.04 ，求y。 解：（1）P ( X x )
10
x 500 0.90 10
查表得 x 500 1.28
，得 x =512.8
y 500 0.04 （2）P ( X y ) 1 10 y 500 y 500 0.96 查表得 于是 1.75 10 10
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对正态分布的理解 1．正态分布是自然界最常见的一种分布，例如：测量的误差； 人的身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长 度、宽度、高度„„都近似地服从正态分布． 2．正态分布定义中的式子实际是指随机变量 X 的取值区间在 (a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．也就是 指随机变量 X 的取值区间在(a， b]上时的概率等于正态曲线与直线 x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的封闭图形的面积． 3．从正态曲线可以看出，对于固定的 μ 和 σ 而言，随机变量 在(μ－σ， μ＋σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增大． 这说明 σ 越小， X 取值落在区间(μ－σ， μ＋σ)的概率越大， 即 X 集中在 μ 周围的概 率越大．正态分布的 3σ 原则是进行质量控制的依据，要会应用给 定三个区间的概率解决实际问题.
知识点三 3σ 原则 1.若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a＞0，P(μ－a＜X≤μ＋ μ ＋a a)＝ φμ，σ(x)dx.
－ μ a
2．正态分布在三个特殊区间内取值的概率． P(μ－α＜X≤μ＋σ)＝0.682 6； P(μ－2α＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4； P(μ－3α＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.
变式训练 2 设 X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)． (2)P(3＜X≤5)．
解析：因为 N～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因为 P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以 P(3＜X≤5) 1 ＝ [P(－3＜X≤5)－P(1＜X≤3)] 2 1 ＝ [P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] 2 1 ＝ [P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] 2 1 ＝ (0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 2
类型二 正态分布下的概率计算 【例 2】 在某项测量中，测量结果服从正态分布 N(1,4)，求 正态总体 X 在(－1,1)内取值的概率．
解析： 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 1 所以 P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝ P(－1＜X＜3)＝0.341 3. 2
[点评] 1．本题利用正态分布曲线的图象和性质以特殊概率的值进行转 化求值． 2．解决正态分布曲线的概率计算问题，首先应理解曲线的对称 性，再者要熟练记住正态变量的取值在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ， μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布 确定所给区间属于上述区间的哪一个．
知识点一 正态曲线 1.正态曲线的概念 1 e 若 φμ，σ(x)＝ ， x∈(－∞， ＋∞)， 其中实数 μ 和 σ(σ 2πσ ＞0)为参数， 我们称 φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线， 简称正态 曲线．
( x )2 2 2
2．正态曲线的性质 ①曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； 1 ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 ； 2πσ ④曲线与 x 轴之间的面积为 1； ⑤当 σ 一定时，曲线的位置由 μ 确定，曲线随着 μ 的变化而 沿 x 轴平移； ⑥当 μ 一定时， 曲线的形状由 σ 确定， σ 越小， 曲线越“瘦高”， 表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分 布越分散．
答案：C
4．设随机变量 X～N(1,52)，且 P(X≤0)＝P(X＞a－1)，则实数 a 的值为__________．
解析：因为随机变量 X～N(1,52)，所以正态曲线关于 x＝1 对 称，因为 P(X≤0)＝P(X＞a－1)，所以 0 与 a－1 关于 x＝1 对称， 1 所以 ×(0＋a－1)＝1，所以 a＝3. 2 答案：3
[点评] 1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为 3σ 区间，由 特殊区间的概率值求出． 2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟 练掌握正态分布在，(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ] 三个区间内的概率．
变式训练 3 某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成， 元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作， 设三个电子元件的使用寿命 ( 单位：小时 ) 均服从正态分布 N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用 寿命超过 1 000 小时的概率为__________．
( x 209)2 72
( x 2 )2 2 2 2
( x 1 ) 2 2 2 1
(x∈R)，曲
(x∈R)，则(
)
A．μ1＜μ2 B．曲线 C1 与 x 轴相交 C．σ1＞σ2 D．曲线 C1、C2 分别与 x 轴所夹的＞μ2，σ1＜σ2，曲线 C1，C2 分别与 x 轴所夹面积相等． 答案：D
解析：设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记 1 为 A，B，C，显然 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ ， 2 ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(A B ＋ A B＋ AB)C， ∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 1 1 1 1 1 1 1 3 P＝2×2＋2×2＋2×2× ＝ . 2 8 3 答案： 8
5．若一批白炽灯共有 10 000 只，其光通量 X 服从正态分布， ( x 209)2 1 72 其概率密度函数是 f(x)＝ e ， x∈R.试求光通量在下列范 6 2π 围内的白炽灯的个数． (1)(209－6,209＋6)． (2)(209－18,209＋18)．
1 解析：由于 X 的概率密度函数为 f(x)＝ e ， 6 2π 所以 μ＝209，σ＝6. 所以 μ－σ＝209－6，μ＋σ＝209＋6. μ－3σ＝209－6×3＝209－18， μ＋3σ＝209＋6×3＝209＋18. 因此光通量 X 的取值在区间(209－6,209＋6)，(209－18,209＋ 18)内的概率应分别是 0.682 6 和 0.997 4. (1)光通量 X 在(209－6,209＋6)范围内的白炽灯个数大约是 10 000×0.682 6＝6 826. (2)光通量 X 在(209－18,209＋18)范围内的白炽灯个数大约是 10 000×0.997 4＝9 974.
知识点二 正态分布 如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b) b ＝ φμ，σ(x)dx，则称随机变量 X 服从正态分布．
a
正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ， σ2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ2)．
[点评] 1．本题直接根据正态分布曲线的性质解决 μ，σ. 2．正态曲线的图象及性质特点，其具有两大明显特征： (1)对称轴方程 x＝μ； 1 (2)最值 这两点把握好了，参数 μ，σ 便确定了，代入 φμ， σ 2π σ(x)中便可求出相应的解析式．
1 变式训练 1 如图，曲线 C1：f(x)＝ e 2πσ1 线 C2：φ(x)＝ 1 e 2πσ2
对正态曲线特征的认识 特征 认识 函数的值域为正实数集的子集，且以 x 轴为 特征 1 渐近线 特征 2 曲线是对称的，关于直线 x＝μ 对称 特征 3 函数在 x＝μ 处取最大值 特征 4 随机变量在(－∞，＋∞)内取值的概率为 1 当标准差一定时，μ 变化时曲线的位置变化 特征 5 情况 均值一定时，σ 变化时总体分布的集中、离 特征 6 散程度
1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是(
)
答案：A
2．如果随机变量 ξ～N(－1，σ2)，且 P(－3≤ξ≤－1)＝0.4， 则 P(ξ≥1)等于( ) A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
答案：A
3．某校高考的数学成绩近似服从正态分布 N(100,100)，则该 校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( ) A．22.8% B．45.6% C．95.44% D．97.22%
类型一 正态曲线的图象的应用 【例 1】 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正 态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的均值和方 差．
解析： 从正态曲线可知， 该正态曲线关于直线 x＝20 对称， 最大值为 1 1 1 ，所以 μ＝20， ＝ ，∴σ＝ 2. 2 π 2 π 2πσ ( x 20)2 1 4 于是 φμ，σ(x)＝ · ， e 2 π x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是 μ＝20， 方差是 σ2＝( 2)2＝2.
类型三 正态分布的应用 【例 3】 据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位： cm)服从正态分布 N(174,9)．若该市共有高二男生 3 000 人，试估 计该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数．
解析：因为身高 X～N(174,9)， 所以 μ＝174，σ＝3， 所以 μ－2σ＝174－2×3＝168， μ＋2σ＝174＋2×3＝180， 所以身高在(168,180]范围内的概率为 0.954 4. 又因为 μ＝174. 所以身高在 (168,174] 和 (174,180] 范围内的概率相等，均为 0.477 2， 故该市高二男生身高在(174,180]范围内的人数是 3 000×0.477 2≈1 432(人)．