江苏省启东中学高三数学复习教案：专题复习数学归纳法

专题复习 数学归纳法 一．小题热身：

1.用数学归纳法证明不等式“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取为________．

解析：当n ≤4时，2n ≤n 2＋1；当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n 0应取为5.

2.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －11)时，第一步应验证________． 答案：1＋12＋13<2 ∵ n ∈N *，n>1，∴ n 取的第一个数为2，左端分母最大的项为122－1＝13

. 3.利用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1314

时，由k 递推到k ＋1时左边应添加的因式是__________．

解析：f(k ＋1)－f(k)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2－(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12（k ＋1）.答案：12k ＋1－12（k ＋1）

4. 已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，用数学归纳法证明f(2n )>112

时，则f(2k ＋1)－f(2k )＝________．

解析：∵ f(2k ＋1)＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12

k ＋1，f(2k )＝1＋12＋13＋14＋…＋1k ＋1k ＋1＋…＋12k ，∴ f(2k ＋1)－f(2k )＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12

k ＋1. 答案：12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12

k ＋1 二．典例解析：

题型 证明整除性

例1设n ∈N *，f(n)＝3n ＋7n －2.

(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；

(2) 求证：对任意正整数n ，f(n)都是8的倍数．

(1) 解：代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.(3分)

(2) 证明：①当n ＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立．(4分)

②假设当n ＝k 时命题成立，即f(k)＝3k ＋7k －2是8的倍数，

那么当n ＝k ＋1时，f(k ＋1)＝3k ＋1＋7k ＋1－2＝3(3k ＋7k －2)＋4(7k ＋1)．

因为7k ＋1是偶数，所以4(7k ＋1)是8的倍数．

又由归纳假设知3(3k ＋7k －2)是8的倍数，

所以f(k ＋1)是8的倍数，

所以当n ＝k ＋1时，命题也成立．

根据①②知对任意正整数n ，f(n)都是8的倍数．(10分)

跟踪训练1：求证：对一切正整数n ，5n ＋2·3n －1＋1能被8整除．

证明：①当n ＝1时，原式＝5＋2＋1＝8，能被8整除；

② 假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，

则5k ＋2·3k －1＋1能被8整除．

设5k ＋2·3k －

1＋1＝8m ，m ∈N *，

当n ＝k ＋1时，5k ＋1＋2·3k ＋1＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·3k －1－4

＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·(3k －1＋1)，

而当k ≥2，k ∈N *时，3k －1＋1显然为偶数，设为2t ，t ∈N *，

故5k ＋1＋2·3k ＋1＝5(5k ＋2·3k －1＋1)－4·(3k －1＋1)＝40m －8t(m ，t ∈N *)，也能被8整除， 故当n ＝k ＋1时结论也成立．

由①②可知，对于一切正整数n ，5n ＋2·3n －1＋1能被8整除．

题型二 证明等式

例2.用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n （2n ＋2）＝n 4（n ＋1）(n ∈N *)． 证明：① 当n ＝1时，左边＝12×1×（2×1＋2）＝18，右边＝14（1＋1）＝18

， 左边＝右边，所以等式成立．

② 假设n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即有

12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＝k 4（k ＋1）， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k （2k ＋2）＋12（k ＋1）[2（k ＋1）＋2]

＝k 4（k ＋1）＋14（k ＋1）（k ＋2）＝k （k ＋2）＋14（k ＋1）（k ＋2） ＝（k ＋1）24（k ＋1）（k ＋2）＝k ＋14（k ＋2）＝k ＋14（k ＋1＋1）

. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由①②可知，对于一切n ∈N *等式都成立．

变式跟踪2：

用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n (n ∈N ) 证明：① 当n ＝1时，等式左边＝1－12＝12

＝右边，等式成立． ② 假设当n ＝k(k ∈N )时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2

＋…＋12k ，那么，当n ＝k ＋1时，有1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2

，所以当n ＝k ＋1时，等式也成立．

由①②知，等式对任何n ∈N 均成立．

题型三 证明不等式

例3.由下列不等式：1＞12，1＋12＋13＞1，1＋12＋13＋…＋17＞32，1＋12＋13＋…＋115

＞2，…，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．

解：一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n 2

(n ∈N *)．证明如下： ① 当n ＝1时，由题设条件知命题成立．