概率论第五章

解 将船舶每遭受一次海
浪的冲击看作一次试验,
并假设各次试验是独立的,
在90 000次波浪冲击中纵摇角大于 3º的次数为 X, 则 X 是一个随机变量, 且 X ~ b(90000, 1).
3
分布律为
P{ X
k}
90
000
1
k
2
90
000
k
,
k 3 3
所求概率为
k 1, ,90000.
20
且都在区间(0,10) 上服从均匀分布, 记 V Vk , k 1
求 P{V 105}的近似值.
解 E(Vk ) 5,
D(Vk
)
100 12
(k
1,2,
,20).
由中心极限定理知：V近似服从正态分布
E(V
)
E
20
Vk
k 1
20E(Vk
)
20
5
100
D(V
)
D
20
Vk
k 1
20D(Vk
1.
1 n
n
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伯努利大数定理
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件A 发生 的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,
则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1或
lim
n
P
nA n
p
0.
分析 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第k 次试验中 A 发生, k 1, 2, .
E( Xk ) p, D( Xk ) p(1 p) (k 1,2, , n),
根据定理一得
lim P n
n np
np(1 p)
x
lim n
P
n
Xk
k 1
np(1
np p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理三表明:
正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
x1, x2 , , xn
一、问题的引入
实例1 测量一个物体的长度，真实值为a，记录
下n次测量结果： x1, x2, , xn ，当n很大时，算
术平均值1 n
n i 1
xi
a
。
实例2 频率的稳定性
随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数.
启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平 均值有稳定性.
显然 nA X1 X2 Xn , 这里X1, X 2 , , X n , 是相互独立的， 且Xk服从以 p 为参数的 (0 1) 分布,
E( X k ) p, D( X k ) p(1 p), k 1, 2, .
所以
lim
n
P
nA n
p
1.
即
lim
n
P
1 n
(
X1
X2
中心极限定理表明, 在相当一般的条件下,
n
当独立随机变量的个数n增加时, 其和 X i i 1
的分布趋于正态分布
N
E
n i 1
Xi
,
D
n i 1
X
i
，
因此，当独立随机变量的个数n充分大时, 不论
随机变量服从什么分布，其和的分布可用正态
分布来近似。
三、典型例题
例1 一加法器同时收到20 个噪声电压Vk ( k 1, 2, 20 ) , 设它们是相互独立的随机变量,
Xn)
p
1,
亦即
lim
n
P
1 n
n k 1
Xk
E
1 n
n k 1
Xk
1,
大数定律描述了n个随机变量的算术平均值
1
n
n k 1
Xk
在某种条件下收敛到它的数学期望
E
1 n
n k 1
X
k
，
即n个r.v.的算术平均值，它仍是一个r.v.；但当试验次
数n无限增大时，此r.v.将趋向于某个常数，即它的数学
定理一也表明：当n充分大时
n
X i n 近似
i 1
～N 0,1
n
由此可见,当n充分大时
n
近似
X i～N n, n 2
i 1
X
1 n
n i 1
X
近似
i～N
,
2
n
定理三(德莫佛－拉普拉斯定理)
设随机变量n (n 1,2, ) 服从参数为n, p
(0 p 1)的二项分布, 则 对于任意 x, 恒有
P{29500 X 30500}
30500
90000
1
k
2
90000k
.
k29501 k 3 3
直接计算很麻烦，利用德莫佛－拉普拉斯定理
P{29500 X 30500}
P
29500
np(1
np p)
X np np(1 p)
30500 np(1
np
p)
P
29500
30000
X np
30500
30000
20000
np(1 p)
20000
5 2 5 2
2 2
23.54 1 20.99981 0.9996.
)
20
100 12
500 3
P{V 105} P{V 100 105 100} 500 3 500 3
P{V 100 0.39} 1 (0.39) 0.3483.
500 3
例2 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪 的冲击, 纵摇角大于 3º的概率为1/3, 若船舶遭受 了90 000次波浪冲击, 问其中有29 500～30 500次 纵摇角大于 3º的概率是多少？
n Xk E n Xk
n
Xk n
标准化变量Yn k1
k1 D n X k
k1
n
k1
的分布函数 Fn( x) 对于任意x 满足
lim
n
Fn
(
x
)
n
lim
P
k
1
n
Xk n n
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
定理一表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函数.
期望（随机性消失了）。
第二节 中心极限定理
一、基本定理 二、典型例题
一、基本定理
定理一（独立同分布的中心极限定理）
设随机变量 X1, X2 , , Xn , 相互独立, 服从
同一分布, 且具有数学期望和方差：E( Xk ) , D( Xk ) 2 0 (k 1,2, ), 则随机变量之和的
lim P n
n np
np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt ( x).
2π
n
证明 因为 n ~ b(n , p) ，所以 n Xk ,
k 1
其中 X1, X2 , , Xn 是相互独立的、服从同一
(0－1) 分布的随机变量, 分布律为
P( X k 1) p, P( X k 0) 1 p
二、大数定律
辛钦大数定理
设随机变量 X1, X2 , , Xn , 相互独立,
服从同一分布, 且具有数学期望E( Xk )
(k 1,2, ),
则对于任意正数 ,
称
1n n k 1 X k
P
有lim n
P
1 n
n k 1
X
k
1 n 1 n
E
n
k 1
Xk
n
k 1
E(Xk )