从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值

第23卷第1期大　学　数　学Vol.23,№.1 2007年2月COLL EGE MA T H EMA TICS Feb.2007从诺贝尔经济学奖看数学建模的价值韩　明(福建工程学院数理系,福州350014) [摘　要]分为三个部分,第一部分,诺贝尔经济学奖的概述;第二部分,数学建模在经济学中的应用情况;最后一部分,展望经济科学的发展趋势.[关键词]诺贝尔奖;数学建模;经济学[中图分类号]F224;O213 [文献标识码]C [文章编号]167221454(2007)01201812061　诺贝尔经济学奖的概述1968年瑞典银行为庆祝建行300周年,决定从1969年起同样以诺贝尔的名义,颁发经济学奖.这一奖项的全称是:“瑞典银行为纪念阿尔弗雷德・诺贝尔的经济科学奖(The Central Bank of Sweden Prize of Nobel in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel)”.除了奖金来源不同外,诺贝尔经济学奖的整个程序与其他诺贝尔奖完全相同.获得当今世界上最具影响力的经济学奖项———诺贝尔经济学奖,几乎是每个经济学家的梦想.诺贝尔经济学奖从1969年第一次颁奖到2004年,已经有55人获此殊荣(同时获奖的人数最多不超过3人).1969年首届授予计量经济学的奠基人Regnar Frisch(挪威,1895-1979)和J an Tinbergen(荷兰, 1903-1994).正如著名经济学家、后来的瑞典皇家科学院院长Erik L undberg在首届颁奖仪式上的讲话所说:“过去四十年中,经济科学在经济行为的数学规范化和统计定量化的方向上已经越来越发展.沿着这样的路线的科学分析,通常用来解释诸如经济增长、商情周期波动以及为各种目的来对经济资源重新配置那样的复杂经济现象…….然而,经济学家对有关战略性的经济关系构造数学模型的企图,以至借助于时间序列的统计分析来定量地阐明它们,事实上已经被证实是成功的.经济研究的这条路线,也就是数理经济学和计量经济学,已经在最近几十年里刻画了这一宗旨的发展.……”“近二十年来,Frisch教授和Tinbergen教授正在沿着本质上是同样的路线在进行研究.他们的目的是对经济理论赋予数学上的严谨性,并使它具有允许经验定量和统计假设检验的形式.其本质目标之一是要使经济学摆脱模糊的、较为‘文学’的类型.例如在Frischt和Tinbergen的著作中,商情周期波动的原因的任意‘命名’已经被抛弃,代之以陈述经济变量之间相互关系的数学系统.”从Erik L undberg的这段讲话,我们能看出经济科学在1969年前四十年的发展概况.我们从经济科学的发展概况中,似乎能感觉到数学所起的作用.那么诺贝尔经济学奖得主的工作中数学建模起什么作用呢?它对开展大学生数学建模竞赛活动和我国大学数学教育又有什么启发呢?2　数学建模在经济学中的应用情况本文简要地介绍诺贝尔经济学奖得主的主要工作,从中我们能看到数学建模的应用情况和数学建　[收稿日期]2005208210　[基金项目]福建工程学院教育科学基金项目(G B-06-20)模的价值.11Frisch的经济周期模型和Tinbergen的经济政策模型1969年的诺贝尔经济学奖授予J an Tinbergen和Ragnar Frisch,以奖励他们对经济过程的分析发展和应用动态过程.他们发展了动态模型来分析经济进程,他们是经济计量学的奠基人.(1)Frisch的经济周期模型Frisch提出了下列宏观经济模型(见文献[1]):x=c-λ(r x+sz),y=m x+μ x,ε zt=y t-y t-ε,这里y是资本产品的(总)产出,x是总消费(Frisch称为国民收入),z是资本持有活动(总投资),其它为常数.这几个方程的经济意义是清楚的:第一个方程,是消费增长速度随当前消费和投资的增加而减少;第二个方程,是产出与消费量和消费速度成正比;第三个方程,是投资与一段时期的经济增长成正比.这是一个差分———微分混合方程组,后来Frisch等还讨论了这个方程组.(2)Tinbergen的经济政策模型(见文献[2])假设有两个政策目标(例如财政收入,通货膨胀率)和两种政策工具(例如货币政策,税收政策),它们的水平分别以T1,T2以及I1,I2来表示.它们之间有如下关系T1=a1I1+a2I2,T2=b1I1+b2I2,即两种政策工具的水平对政策目标水平的影响是线性的.如果我们希望达到的目标水平为T31和T32,那么可以得到政策工具的水平为I1=b1T31-a2T32 a1b2-b1a2,I2=a1T32-b1T31 a1b2-b1a2.21Klein的宏观经济模型1980年诺贝尔经济学奖授予Lawrence R Klein,以奖励他创立的宏观经济模型,并把它应用于经济波动和经济政策的分析.Klein(克莱因)与戈德伯格(Art hur G oldberger)两人合作完成了一套新的美国经济模型,称为克莱因2戈德伯格模型(Klein2G oldberger model).Klein在1950年发表的美国经济模型有如下六个方程(见文献[3]):(i)消费函数　C t=β0+β1p t+β2(W+W′)t+β3p t-1+u1t,(ii)投资函数　I t=β4+β5p t+β6p t-1+β7K t-1+u2t,(iii)劳动需求　W t=β8+β9(Y+T-W′)t+β10(Y+T-W′)t-1+β11t+u3t,(iv)恒等式　Y t+T t=C t+I t+G t,(v)恒等式　Y t=W t+W t′+P t,(vi)恒等式　K t=K t-1+I t,其中C是消费支出,I是投资支出,G是政府支出,P是利润,W是个人收入,W′是政府收入,K是资本储备,T是税收,Y是税后收入,t是时间,u1,u2和u3是随机干扰项.C,I,W,Y,P和K是相互依赖的内生(因)变量,其他变量都是预定的外生(自)变量,其中包括P t-1,K t-1和Y t-1.由此可以根据这六个方程导出变量之间的关系.K lein依据的是1921-1941年的美国数据.K lein早期的论文主要是方法论性质的,例如他的第一个美国经济模型,只有六个变量,而后来又提出的模型中变量个数就不止六个变量了.Klein在1980年和中国社会科学院合办了一次计量经济的暑期研习会,此后,来自中国的访问学者也来到费城.尽管进展极为有限,但为L IN K建构中国模型,并维持运作,总算有了好的开始.原已有的中国模型,是由斯坦福大学的刘遵义(Laurence Lau)建立的.1984年,Klein再度造访中国,继续讲授计量经济方法.1982年—1983年,Klein在中国台湾地区就建构和L IN K相容模型进行了类似的工作.281大　学　数　学 第23卷31Tobin 的实在资产模型1981年诺贝尔经济学奖授予J ames Tobin ,以奖励他对金融市场及其与支出决策、就业、生产和价格的关系的分析.Tobin 阐述和发展了凯恩斯的系列理论及财政与货币政策的宏观模型.在金融市场及相关的支出决定、就业、产品和价格等方面的分析做出了重要贡献(见文献[4]和[5]).按照经典的凯恩斯理论,在均衡状态下,国民收入Y 等于总投资I 和总消费C 之和,但如果在经济中引进货币,那么就要考虑货币的作用.Tobin 引入“实在财富”W 和“实在净可支配收入”Y 的概念,这里“实在(real )”意味着考虑到价格水平的收缩.它们的定义为W =K +M/p ,　Y =F (K ,L )-δK +d (M/p )d t,这里K 是总资本,M 是货币总量,p 是价格水平,F (K ,L )是作为资本K 与劳动L 的函数的总产出,δK 是资本折旧.因为总产出等于总水费C 加上资本折旧δK 和净资本形成 K ( K 表示K 对时间t 的导数),即F (K ,L )=C +δK + K ,由此得到Y = W +C ,这是凯恩斯理论的表达.另一方面,财富的“货币价值”为 W =p K +M =p W.如果认为“净可支配收入”的“货币价值” Y 等于: Y =W Η+p C ,那么就会发现p C =p F (K ,L )-p δK -p K ,　W Η= p K +p K + M ,从而Y =p F (K ,L )-p δK + M + p K ≠p Y ,即“净可支配收入”的“货币价值”并不等于“实在净可支配收入”的“货币价值”,其差额是货币总量的变化与价格水平的变化所带来的,因为W Η≠p W.这种变化反映在消费C 上(C =(1-s )Y 和p C =(1-s ) Y 导出不同的结果),就会变成总资本因价格水平的变化而引起的资本增益 p K ,会影响消费的货币价值的变化.这种变化后来被称为“货币幻想(money illusion )”.结论是应该用“实在价格”来刻画宏观经济.41Stigler 文献引证模型1982年诺贝尔经济学奖授予George Jo sep h Stilgler ,以奖励他对行业结构、市场功能以及公共监管的起因和效应的系统研究(见文献[6]).Stigler 被认为是“信息经济学”与“监管经济学”的创始人.研究市场信息在市场中的作用就是信息经济学的主题,例如人在购买房屋、汽车、家用电器之类的耐用消费品时,会广泛收集有关信息,来使自己买到最适合的商品.Stigler 就把这样的问题模型化为效用函数的变量中还有信息变量,这一个数学观念很快就被广泛应用.Stigler 及其合作者对经济学家在其论文中的引证作了详尽的统计分析.其中还对1886-1925年间和1925-1969年间的数据分别作了回归分析.结果对前一时期得到C ′=2.29+　0.200(1.68)B to05+　0.070(0.60)B 5,25+　0.064(1.05)A to05+　0.0047(0.05)A 5,25　,R 2=0123,　n =53,其中圆括号中的数是t 检验值,B 代表书的数量,A 代表文章的数量,下标to05表示1905年以前,下标5,25代表1905-1925年间.根据这个模型,Stigler 得到的结论:从早期来看,书的重要性为文章的3倍.R 2的值很低,说明出版物的质量所起的作用要比其数量的作用大得多.对于后一时期得到的结果为C ′=3.30+　0.066(1.28)B to25+　0.162(2.09)B 25,50+　0.0081(0.10)B 50,69+　0.028(1.89)A to25+　0.046(3.37)A 25,50+　0.263(2.67)A 50,69　,R 2=01398,　n =126.根据这个模型,Stigler 得到的结论:从早期来看文章的影响力更大,近期的书的影响力可以忽略不计,但近期的文章的影响则逐年上升.除近期外,书的影响力为文章的2—3倍.而1925—1950年间,文381第1期 韩明:从诺贝尔经济学奖看数学模型的价值章的影响力仅是1950—1969年间的1/6,这说明每年下降717%.51考虑技术进步的生产函数1987年的诺贝尔经济学奖授予Robert M Solow,以奖励他对经济增长理论的贡献.Solow提出了考虑技术进步的生产函数,其观点是长期的经济增长主要依靠技术进步,而不是依靠资本和劳动力的投入.Solow于1969年出版了他的专著(后来成为了名著,见文献[7]).假设技术进步既能扩大资本,那么这种技术进步可描绘为把生产函数记作Q=F(e at K,e at L),其中K和L分别是资本投入和劳动投入,Q 是产出.e at意味着一个自然单位的资本在时间t中提供e bt个效率单位的资本,e bt意味着一个自然单位的劳动时间t中提供e bt个效率单位的劳动.这个等式意味着随着时间t的增长,同样的K和L,能得到更多的产出.假定该生产函数满足规模收益不变假设,即生产规模扩大α倍,其产出也扩大α倍,即F是一个齐次函数,亦即F(αx,αy)=αF(x,y),因此,Q=e at K F(1,e(b-a)t L/K).令f(z)=F(1,z),它的经济含义是单位资本下关于劳动的生产率函数.它应该被假设为z的递增函数,于是有Q K =e at f e(b-a)t LK.这是单位资本产出Q/K与单位资本劳动(即单位资本所需要的就业)L/K之间的关系.在稳定的状态下,Q/K是不变的常数c.如果劳动(就业)L随时间t的增长倍数为e nt,资本K随时间t的增长倍数为e gt(由Q/K为常数,产出Q随时间t的增长倍数也为e gt),那么c=e at f(e(b-a+n-g)t).其中假定初始时间的L/K=z=z(0)=1.61Sharpe的资本资产定价模型1990Harry M Markowitz,Merton H Millerh和William F Sharpe,以奖励他们在金融经济理论中的先驱贡献(见文献[8]).资本资产定价模型指在一定条件下,市场中的证券的期望收益与“市场组合”的期望收益率之间的关系.其表达式为E(r i)-r0=cov(r m,r i)var(r m)[E(r m)-r0],其中r i为证券(或证券组合)i的随机收益率,r m为“市场组合”m的随机收益率,r0是无风险收益率,E 表示数学期望,cov代表协方差,var代表方差.Sharpe的资本资产定价模型是基于Markowitz的证券组合选择理论.任何证券组合i与“市场组合”m所形成的新的组合所构成的风险———收益双曲线不可能超越资本市场线,而它们又交于市场组合m所对应的点(σm,μm)上,因此曲线和直线一定在该点相切.任何证券组合i与市场组合m所形成的新的组合所构成的风险———收益双曲线可用参数形式来表示σ=(1-α)2var(rm)+2α(1-α)cov(r i,r m)+α2var(r i),μ=(1-α)E(rm)+αE(r i).71Mundell的固定汇率和浮动汇率的货币动力学模型1999年的诺贝尔经济学奖授予Robert A Mundell,以奖励他对不同汇率体制下的货币政策和财政政策的分析,以及对最优货币流通区域的研究.Mundell具有革新意义的研究为欧元汇率奠定了理性基础,对不同汇率体制下货币与财政政策以及最适宜的货币流通区域所做的分析使他获得这一殊荣.Mundell提出了“固定汇率和浮动汇率的货币动力学模型”(见文献[9]).设X为对于货物和劳务的超过需求,即X等于投资减去储蓄,再加上贸易差额;F为支付剩余,即F等于贸易差额减去资本输出.两者都被假定依赖于国内利率r和国内价格水平比p.均衡条件为X(p,r)=0(即货物劳务市场均衡),F(p,r)=0(即外汇市场均衡).由隐函数求导(下标表示对应变量的偏导数)可得d rd p x=0=-X pX r(国内余额进程的斜率),d rd p F=0=-F pF r(国外余额进程的斜率).481大　学　数　学 第23卷通常假定,X p <0(汇率提高引起超过需求下降);X r <0(利率提高引起超过需求下降);F p <0(汇率提高使支付余额下降);F r >0(利率提高使支付余额上升).固定汇率制度的动力学可近似为下列方程d p d t =k 1X (p ,r ),　d r d t=-k 2F (p ,r ),而浮动汇率制度的动力学则可近似为下列方程d p d t =h 1F (p ,r ),　d r d t=-h 2X (p ,r ),其中k 1,k 2和h 1,h 2都是相应的影响速度.这四个方程的经济含义是清楚的,例如第一个方程意味着价格水平的提高正比于货物劳务市场的超过需求等.Mundell 对经济学的伟大贡献主要来自两个领域,一是经济稳定政策,二是最优货币区域理论.瑞典皇家科学院在授奖公告中称:“Mundell 教授奠定了开放经济中货币与财政政策理论的基石……尽管几十年过去了,Mundell 教授的贡献仍显得十分突出,并构成了国际宏观经济学教学的核心内容.”8.其他几位获奖者的工作简介1989年诺贝尔经济学奖授予Trygve Haavelmo ,以奖励他澄清计量经济学的概率基础以及他的联立经济结构分析.Haavelmo 提出了“Haavelmo 平稳人口模型”(见文献[10]).1995年诺贝尔经济学奖授予Robert L ucas ,以奖励他发展和应用理性预期假设,从而改造了宏观经济分析以及加深人们对经济政策的理解,并对经济周期理论提出了独到的见解.L ucas 提出了“理性预期周期和L ucas 纯货币经济模型”(见文献[11]).2000年诺贝尔经济学奖授予J ames Heckman 和Daniel McFadden ,以奖励他们发展广泛应用在经济学及其他社会科学中对个人和住户的行为进行统计分析的理论和方法.Heckman 的主要贡献是提出了对统计数据的选择偏差进行修正的简单可行的理论和方法,即Heckman 修正法(见文献[12]).2001年诺贝尔经济学奖授予George AAkerlof ,A Michael Spence 和Josep h E Stiglitz ,以奖励他们对具有不对称信息的市场的分析.Rot hschilr 2Stiglitz 信号甄别模型,解决了各客户所受损失不同概率下,保险公司对客户采用不同保单的问题(见文献[13]).2003年诺贝尔经济学奖授予Robert F Engle 和Clive W J Graner ,以奖励他们分别用“随时间变化的变动性”(time 2varying volatility )和“共同趋势”(common t rends )这两种新方法分析经济时间序列.近年来,Graner 又把注意力转移到面板数据(panel data )的研究上,他认为这种由相同截面数据构成的时间序列数据,有助于把数学、统计学和经济学更加紧密地结合起来,将成为未来计量经济学的发展方向.3　展望经济科学的发展趋势我们从诺贝尔经济学奖得主的工作可以看出经济科学的发展趋势:日益朝着用数学表达经济内容和统计学定量化的方向发展.从Erik L undberg 1969年的讲话,以及诺贝尔经济学奖得主的主要工作(特别是1969年、1980年、1981年、1982年、1987年、1989年、1990年、1995年、1999年、2000年、2001年、2003年),我们可以看到数学建模的价值.Klein (1980年诺贝尔经济学奖得主)和Mundell (1999年诺贝尔经济学奖得主)等诺贝尔经济学奖得主,数次来中国访问、讲学等,在很大程度上推动了中国经济科学研究的发展.介绍诺贝尔奖的文献越来越多,如[14](该文献主要从“诺贝尔经济学奖与数学的关系”的角度,简要介绍了1969—2001年诺贝尔经济学奖得主的主要工作)、[15]等,介绍诺贝尔奖有关内容的网站也有很多(如诺贝尔基金会的官方网站http ://www.nobel.se 等),这些都为人们了解诺贝尔奖的有关情况提供了方便.4　结束语文献[14]中介绍了诺贝尔经济学奖得主的“运用数学程度”,其中大部分属于“强”或“特强”.本文介581第1期 韩明:从诺贝尔经济学奖看数学模型的价值681大　学　数　学 第23卷绍了诺贝尔经济学奖得主的主要工作中的一些数学模型,它对开展大学生数学建模竞赛活动应该有所启发,无疑将从一个侧面推动我国的大学数学教育.应该说明,本文所介绍的诺贝尔经济学奖得主的主要工作,主要是通过一些简单的例子来说明的,要想用比较少的篇幅来介绍诺贝尔经济学奖得主的主要工作是一件不容易的事.[参　考　文　献][1]　Frisch R.Propagation and impulse problems in dynamic economics[A].Economic Essays in Honor of GustavCassel[C].London:George Allen&Unwin,1933,171-205.[2]　Tinbergen J.On the theory of economic policy[M].Amsterdam:North2Holland,1952.[3]　Klein L R.Economic flustuation in the United States,1921-1941[M].New Y ork:John Wiley&Sons,Inc.,1950.[4]　Tobin J.A dynamic aggregative model[J].Journal of Political Economy,1955,53:103-115.[5]　Tobin J.Money and economic growth[J].Econometrica1965,33:671-684.[6]　Stigler G J.The economist as preacher and other essays[M].Chicago:The University of Chicago Press,1982.[7]　Solow R.Growth theory:an exposition[M].London:Oxford University Press,1969.[8]　Sharpe W.Capital asset prices:a theory of market equilibrium under conditions of risk[J].Journal of Finance,1964,19:425-442.[9]　Mundell R A.The monetary dynamics of international adjustment under fixed and fiexible exchange rates[J].Quarterly Journal of Economics,1960,74:227-257.[10]　Haavelmo T.A study in the theory of economic evolution[M].Amsterdam:North2Holland,1954.[11]　Stokey N L,L ucas R E J r,Perscott E C.Recursve methods in economic dynamics[M].Cambridge:HavardUniversity Press,1989.[12]　Heckman J J.Sample selection bias as a specification error[J].Econometrica,1979,47:153-161.[13]　Rothschild M,Stiglitz J.Equilibrium in competitive insurance markets:an essay on the economics of imperfectinformation[J].Quarterly Journal of Economiics,1976,95:629-649.[14]　史树中.诺贝尔经济学奖与数学[M].北京:清华大学出版社,2002.[15]　韩平,韩明.诺贝尔奖与数学中的大奖[J].数学通报,2003,3:39-40.C ount for M athem atics Modelling:F rom Prize of N oble in E conomic SciencesH A N M i ng(Department of Mathematics and Physics,Fujian University of Technology,Fuzhou350014,China)Abstract:This article consists of three parts.The first part gives,develop complexion of prize of Nobel in economic sciences.The second part,tell of application complexion of mathematics modelling in economic sciences.In the last part, expected trends for f uture of economic sciences.K ey w ords:prize of Nobel;mathematics modelling;economic sciences。