计算方法 线性代数方程组的解法
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
线性代数方程组的解法
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法
线性方程组的求解方法
线性方程组的求解方法线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、工程学等。
解决线性方程组的问题，对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和迭代法。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。
它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形。
最后，通过回代法求解得到方程组的解。
高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。
但是，当方程组的规模较大时，计算量会很大，效率较低。
二、矩阵法矩阵法是求解线性方程组的另一种常见方法。
它的基本思想是通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式，从而得到方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式。
最后，通过求逆矩阵或伴随矩阵求解得到方程组的解。
矩阵法的优点是计算效率高，适用于方程组规模较大的情况。
但是，对于奇异矩阵或非方阵的情况，矩阵法无法求解。
三、迭代法迭代法是求解线性方程组的一种近似解法。
它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。
然后，选择一个初始解，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。
最后，通过设定一个误差限，当迭代结果满足误差限时停止计算。
迭代法的优点是计算过程简单，适用于方程组规模较大的情况。
但是，迭代法的收敛性与初始解的选择有关，有时可能无法收敛或收敛速度较慢。
综上所述，线性方程组的求解方法有高斯消元法、矩阵法和迭代法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高计算效率和解决实际问题的准确性。
在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地推动科学技术的发展和解决实际问题。
常见的线性代数求解方法
常见的线性代数求解方法
1.列主元消去法
列主元消去法是一种经典的求解线性方程组的方法。
它通过将
方程组转化为上三角矩阵的形式来求解。
这个方法的关键在于选取
主元的策略。
一种常见的选取主元的策略是选择当前列中绝对值最
大的元素作为主元，然后进行消去操作，直到将矩阵转化为上三角
矩阵。
2.高斯-约当消去法
高斯-约当消去法是另一种常见的线性方程组求解方法。
它通
过消去矩阵的下三角部分来将线性方程组转化为上三角矩阵的形式。
这个方法也需要选择主元，常见的选择策略是选取当前行中绝对值
最大的元素作为主元，然后进行消去操作。
3.LU分解法
LU分解法是将矩阵分解为一对矩阵的乘积的方法。
这个方法的思想是先将矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，然后通过求解上三角矩阵和下三角矩阵的两个方程组来求解原始的线性方程组。
4.Jacobi迭代法
Jacobi迭代法是一种迭代求解线性方程组的方法。
它通过将原始的线性方程组转化为一个对角矩阵和另一个矩阵的乘积的形式，然后通过迭代求解这个对角矩阵和另一个矩阵的方程组来逼近线性方程组的解。
5.Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是另一种迭代求解线性方程组的方法。
它与Jacobi迭代法类似，但是在每一次迭代中，它使用前一次迭代得到的部分解来更新当前的解。
这个方法通常比Jacobi迭代法收敛得更快。
以上是一些常见的线性代数求解方法。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解线性方程组的问题。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过对方程组进行一系列简化操作，使得方程组的解易于求得。
首先将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形，最后通过回代求解出方程组的解。
2.列主元高斯消元法列主元高斯消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的方法。
在该方法中，每次选取主元时不再仅仅选择当前列的第一个非零元素，而是从当前列中选取绝对值最大的元素作为主元。
通过选取列主元，可以避免数值稳定性问题，提高计算精度。
3.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的方法。
首先进行列主元高斯消元法得到行阶梯形矩阵，然后对行阶梯形矩阵进行进一步的操作，得到L和U。
最后通过回代求解出方程组的解。
4.追赶法（三角分解法）追赶法也称为三角分解法，适用于系数矩阵是对角占优的三对角矩阵的线性方程组。
追赶法是一种直接求解法，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过简单的代数运算即可求得方程组的解。
5.雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代法，适用于对称正定矩阵的线性方程组。
该方法的基本思想是通过不断迭代求解出方程组的解。
首先将方程组表示为x=Bx+f的形式，然后通过迭代计算不断逼近x的解。
6.高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，使用已经更新的解来计算新的解。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
7.松弛因子迭代法松弛因子迭代法是一种对高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，通过引入松弛因子来调节新解与旧解之间的关系。
可以通过选择合适的松弛因子来加快迭代速度。
以上是一些常用的线性方程组求解方法，不同的方法适用于不同类型的线性方程组。
在实际应用中，根据问题的特点和要求选择合适的求解方法可以提高计算的效率和精度。
线性代数方程组的解法
说明：线性方程组的初等变换是可逆的。 即，方程组（1）经初等变换化为一个新方 程组，那么新方程组也可以经过初等变换还 原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与 它经过若干此初等变换之后得到的新方程组 是同解的。
⎧ a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 ⎪ a x + a x + L+ a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⎪ LLLLLLLLLLLL ⎪a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm ⎩
L a1n ⎞ ⎟ L a2 n ⎟ L L⎟ ⎟ L amn ⎟ ⎠
矩阵A的 (m , n)元
这m × n个数称为 A的元素 , 简称为元素 (元 ).
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
⎛ 1 0 3 5⎞ ⎟ 是一个 2 × 4 实矩阵, ⎜ ⎝ − 9 6 4 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化 为梯矩阵呢？ 定理1 任意m × n矩阵A总可以经初等行变换化为梯
矩阵及最简形。
证明 Step1 若A的元全为0, A已经是一个阶梯矩阵。
Step2 设非零矩阵A的第 j1 列是自左而右的第 一个非零列，设 a1 j ≠ 0 (否则，若 a ij1 非零，作 行变换 r1 ↔ ri ，总可使第j1列的第一个元非零)， 矩阵A的各行分别作行变换：
解
同理可得
−2 −2 1 1 −2 1 0 1 − 3 = −10, −1
D1 = 1 0
1
1 1
− 3 = −5, D2 = 2 −1 −1 1 = −5, 0
第三章 线性代数方程组的解法
于是 由于 e
e
(0)
(k )
= Me
( k - 1)
= M e
2 ( k - 2)
=L = M e
时
Mk - 0
Mk ® 0
k (0)
可以是任意向量,故 e
(k )
收敛于0当且仅
0
k M 当 收敛于零矩阵，即当 k
矩阵序列：M1，M2，M3……Mk 收敛于零矩阵
15
3.1 简单迭代法的一般形式
于是 0 ? (r (M )) 所以必有
k
13
3.1 简单迭代法的一般形式
定理3-1 简单迭代公式 x(k + 1) = Mx( k ) + g , k = 0,1, 2,L
收敛的充要条件是迭代矩阵M的谱半径 r (M ) < 1
证:必要性 设迭代公式收敛,当k→∞时,
x
(k )
® x
*
则在迭代公式两端同时取极限得 x* = Mx* + g
x( k + 1) = Mx( k ) + g
M 1- M
k
(k = 0,1,L )
收敛,且有误差估计式,且有误差估计式
x - x
* (k )
?
x( k )
x( k- 1)
及
x - x
*
(k )
M ? 1- M
x (1)
x (0)
18
3.1 简单迭代法的一般形式
收敛时令k→∞，有 等价地有Ax*=b . 控制迭代结束的实用标准：
计算方法 吴筑筑编
第三章 线性代数方程组的解法
孙剑
计算机学院信息管理系
1
本章主要内容：
线代求解线性方程组的方法
线代求解线性方程组的方法线代求解线性方程组的方法________________________________________________________________线性方程组是数学中的一个重要的概念，它在日常生活中也是十分重要的。
它可以用来描述各种现实问题，如求解一元一次方程，求解多元一次方程，甚至求解高阶方程等。
本文将介绍如何使用线代法来求解线性方程组，从而帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、什么是线性方程组---------------------------------线性方程组是一组由一元或多元线性方程所组成的方程组，如：$$\begin{cases}3x_1 + 4x_2 = 10\\5x_1 + 6x_2 = 14\end{cases}$$上面的方程是一个二元一次的线性方程组，即有两个未知数$x_1$和$x_2$，由两个方程所约束。
在这里，我们希望通过求解这个方程组，来找到$x_1$和$x_2$的值。
二、什么是线代法---------------------线代法是指将一个多元一次方程组，利用高斯消元法（或者叫做初等变换法）将其化为上三角形式，然后由下而上依次求解各元变量值的过程。
它是数学中最常用的一种求解多元一次方程的方法，也是最容易理解和实施的方法之一。
三、如何使用线代法求解多元一次方程--------------------------------------------------1. 首先，将原来的多元一次方程写成如下形式：$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mn} & b_m\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示方程中的未知数$x_j$的係數，而$b_i$则表示右边的常数项。
第3章 线性代数方程组的解法
=
即:
a11x1 a12x2 ... a1nxn b1
a21
x1
a22x2 M
... M
a2n xn
b2 M
an1x1 an2x2 ... annxn bn
转化为等价的（同解）的三角形方程组。
b x b x b x g
L
11 1
12 2
1n n
1
b x L 22 2
11 1
12 2
13 3
1n n
1
a x a x a x b (2) (2) L (2) (2)
22 2
23 3
2n n
2
a x a x b (3) L (3) (3)
33 3
3n n
3
LL
a x b (n)
(n)
nn n
n
系数矩阵与常数项：
a a a (1)
(1)
(1) L
m=5.291/0.0030
如果将两个方程互换，再采用高斯消去法解方程组
50..209013x01x1 6.5193.01x42x2465.97.817
消元后得59.14x2=59.14，则x2=1.000 将x2代入第一个方程中，得 x1=10.000 此时，利用高斯消去法得到的结果与精确解一致。 从求解过程可以看出，在第一种解法中，乘以的系数为
( i > k , j=k+1,…,n+1 )
2、回代 第 i次回代公式 （ i=n,n-1….1)
Xi(即a
in+1(i))=(a
(i) in+1
-
）/aii(i)
三、特点 1、优点： 公式简明，容易程序化 2、缺点： 第k次消元时， 必须 a kk ≠ 0 , 且当
线性代数方程组的解法
xi( k ) xi 若对 i 1, 2,, n 有 lim k
则称向量序列 { x ( k ) } 收敛于向量 x ( x1 , , xn )T
命题: 当 k 时 (k ) (k ) lim x x x x
k
(k ) x x 这是因为
0
(k ) (k ) max | x1 x1 |, ,| xn xn |
从而当 k 时， x ( k ) x 与 x ( k ) x
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0 等价
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定理 5.2
设 为 Rn 中的任一种范数，则序
列{x ( k ) }收敛于 x R n 的充分必要条件为
x( k ) x 0,
k 时.
利用向量范数的等价性及向量范数的连续性, 容易 得到定理5.2的证明
A B A B , A 、B R nn
定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
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三种从属范数计算：
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
5 几种特殊矩阵
定义 5.5 若矩阵 A 满足条件
a
j 1 ji
n
ij
aii
, i 1,2, , n
且至少有一 i 个使不等式严格成立，则称矩阵 A 为按行对角占优矩阵。若 i 1, 2,, n 严格不等 式均成立，则称 A 为按行严格对角占优矩阵.
类似地，可以给出矩阵 A 为按列（严格）对角
A 1 max | aij |
线性代数方程组求解
线性代数方程组求解线性代数方程组是线性代数中一个重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
求解线性代数方程组是线性代数中的一项基本任务，它对于解决实际问题和数学推理都具有重要意义。
本文将介绍线性代数方程组的求解方法，包括矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法矩阵消元法是求解线性代数方程组的一种常用方法。
它通过消元和回代两个步骤来求解方程组。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按列合并，得到增广矩阵。
2.初等行变换：对增广矩阵进行初等行变换，将其转化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵。
3.回代求解：从最后一行开始，逐步代入求解未知数，得到方程组的解。
矩阵消元法的优点是简单直观，容易理解和实现。
然而，当矩阵的行数和列数较大时，矩阵消元法的计算复杂度会很高，需要消耗大量的时间和计算资源。
矩阵的逆除了矩阵消元法，我们还可以使用矩阵的逆来求解线性代数方程组。
矩阵的逆是一个与原矩阵相乘后得到单位矩阵的矩阵。
对于给定的线性方程组Ax=b，我们可以通过以下步骤求解：1.计算矩阵A的逆矩阵A^-1。
2.将方程组转化为x=A^-1b。
3.计算x的值。
求解矩阵的逆的方法有多种，包括伴随矩阵法和初等变换法等。
其中，伴随矩阵法是一种常用的求解逆矩阵的方法。
它通过求解伴随矩阵和矩阵的行列式来计算矩阵的逆。
使用矩阵的逆求解线性代数方程组的优点是计算速度快，尤其适用于行数和列数较大的情况。
然而，矩阵的逆并不是所有矩阵都存在，如果矩阵不存在逆矩阵或逆矩阵存在但计算困难，则无法使用矩阵的逆求解方程组。
小结线性代数方程组的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到实际问题的解决和数学推理。
本文介绍了两种求解线性代数方程组的方法：矩阵消元法和矩阵的逆。
矩阵消元法通过消元和回代的过程来求解方程组，简单直观但计算复杂度较高；矩阵的逆通过求解矩阵的逆矩阵来求解方程组，计算速度快但存在逆矩阵不存在的情况。
根据具体问题的需求和矩阵性质的条件，选择合适的方法来求解线性代数方程组是十分重要的。
线性方程组的解法
线性方程组的解法线性方程组是初等代数中的重要概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组是数学和物理等领域中最为基础且重要的问题之一。
本文将介绍三种常见的线性方程组解法：高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
一、高斯消元法高斯消元法是最常用的线性方程组解法之一。
其基本思想是通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，进而求解出方程组的解。
以一个二元线性方程组为例：```a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂```通过行变换，我们可以将其转化为阶梯型矩阵：```a₁₁'x₁ + a₁₂'x₂ = b₁'a₂₂'x₂ = b₂'```其中，a₁₁'、a₁₂'、b₁'、a₂₂'、b₂'是经过行变换后的新系数。
由此可得到方程组的解。
二、矩阵求逆法矩阵求逆法是利用逆矩阵的性质来求解线性方程组的解法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为常数向量。
首先，我们需要判断系数矩阵A是否可逆。
若A可逆，则可以得到A的逆矩阵A⁻¹。
方程组的解即为x = A⁻¹b。
若A不可逆，说明方程组的解不存在或者有无穷多个解。
三、矩阵的列主元素消去法矩阵的列主元素消去法是一种改进的高斯消元法，其目的是尽量减小计算误差。
在高斯消元法中，我们选择主元素为每一行首非零元素。
而在列主元素消去法中，我们选择主元素为每一列的绝对值最大的元素。
类似于高斯消元法，列主元素消去法也通过一系列的行变换将线性方程组转化为阶梯形矩阵。
通过后向代入的方法，可以得到方程组的解。
总结线性方程组的解法有多种，其中包括高斯消元法、矩阵求逆法和矩阵的列主元素消去法。
这些解法在不同场景下都有其应用价值，具体的选择取决于问题的特点和所需计算的精度。
通过掌握这些解法，并结合具体问题的特点，我们可以高效解决线性方程组，进而应用到更广泛的数学和物理等领域中。
求解线性方程组的方法
求解线性方程组的方法1. 矩阵消元法矩阵消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
它通过对线性方程组的系数矩阵进行行变换，将其化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
2. 选择一个主元，通常选择矩阵的左上角元素作为主元。
3. 利用主元所在行的系数将其他行的对应系数消去。
4. 重复以上步骤，不断选取主元，直到将增广矩阵化为行阶梯形式。
5. 根据行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
如果出现矛盾或自由变量，则方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵求逆法矩阵求逆法是另一种求解线性方程组的方法。
它利用线性方程组的系数矩阵的逆矩阵，通过矩阵乘法得到方程组的解。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵A求逆，得到逆矩阵A^-1。
2. 将线性方程组的常数向量b作为列向量。
3. 将逆矩阵A^-1与常数向量b相乘，得到方程组的解向量x。
需要注意的是，矩阵求逆法要求线性方程组的系数矩阵是可逆的，即行列式不为零，否则无法求解。
3. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是对矩阵消元法的改进。
它在选择主元时不仅考虑行，还同时考虑列，从而提高了计算的准确性和稳定性。
具体步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量合并为增广矩阵。
2. 选择一个主元，同时考虑主元所在的行和列，通常选择主元绝对值最大的元素作为主元。
3. 利用主元所在行的系数将其他行的对应系数消去。
4. 重复以上步骤，不断选取主元，直到将增广矩阵化为行阶梯形式。
5. 根据行阶梯形式，可以得到线性方程组的解。
如果出现矛盾或自由变量，则方程组无解或有无穷多解。
以上是求解线性方程组的三种常用方法，根据具体问题的复杂程度和要求的精确性，选择相应的方法进行求解。
线性代数解方程组的方法
线性代数解方程组的方法
解线性方程组的方法：第一种消元法；第二种克拉姆法则；第三种逆矩阵法；第四种增光矩阵法；第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令；目前这5中教为适用，适合一切齐次或者非齐次线性方程组。
第一种消元法,此法最为简单，直接消掉只剩最后一个未知数，再回代求余下的未知数，但只适用于未知数个数等于方程的个数，且有解的情况；
第二种克拉姆法则，如果行列式不等于零，则用常数向量替换系数行列式中的每一行再除以系数行列式就是解；
第三种逆矩阵法，同样要求系数矩阵可逆，直接建立AX=b与线性方程组的关系，X=A^-1.*b就是解；
第四种增光矩阵法，利用增广矩阵的性质(A,b)通过线性行变换，化为简约形式,确定自由变量,（各行中第一个非零元对应的未知数除外余下的就是自由变量）,对自由变量进行赋值,求出其它未知数，然后写成基础解析的形式。
第五种计算机编程，随便用个软件，譬如Matlab，输入密令。
第02讲：线性代数方程组求解(直接方法)
A(1) ( A(1)
§2.1 Gauss evaluation method
首先进行消去过程，对 A (1) 分别用-2，-3，-4乘第一行 后加到第2、3、4行有
例：试用高斯顺序消去法求解线性代数方程组：
x1 x2 x3 x4 4 2x x x x 5 1 2 3 4 3 x1 2 x2 x3 x4 7 4 x1 3 x2 2 x3 x4 10
解：线性方程组的增广矩阵为：
(2) a22 0时，用矩阵 第二步：等价于：若 左乘 A (1) 即有
(1) a 0 1 11 0 0 1 (1) l0 L A 1 L 0 2 32 0 0 l n2
(1) a 012 (2) a 022
1
(2) a 0n 2
基本思想 对线性代数方程组所对应的增广矩阵进行一系 列 “把某一行的常数倍加到另一行上去” 这样的 初等行变换,最后得到上三角矩阵所对应的线性代数 方程组,只要回代就可得到原方程组的解。
A
a
(1)
(A
(1)
b ) ( A b)
(1)
(1) ij
aij (i, j 1,2,3, , n)
, n)
§2.1 Gauss evaluation method
(1) a11 0 ( A(3) | b(3) ) 0 0 (1) a12 (2) a22 0 (1) a13 (2) a23 (3) a33 (1) a1(1) b n 1 (2) (2) a2 n b2 (3) (3) a3 b n 3 (3) (3) ann bn
计算机方法线性方程组的解法
高斯-塞德尔迭代格式
k k x1k 1 0.1x 2 0.2 x 3 0.72 k 1 k 1 k x 0 . 1 x 0 . 2 x 0.83 2 1 3 k 1 k 1 k 1 x 0 . 2 x 0 . 2 x 0.84 1 2 3
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 求解线性方程组 Ax b 的求解方法，其中
A R nn
， x, b R n 。
* x* ( x1* , x2 , * T , xn )
… … …
…
( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) xn 1 ( a n1 x1 an 2 x2 an 3 x3 a nn 1 x n 1 bn ) a nn
写成矩阵形式： x( k 1) D1 ( Lx( k 1) Ux( k ) ) D1b
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
x1 0.1 x2 0.2 x3 0.72 x2 0.1 x1 0.2 x3 0.83 x 0.2 x 0.2 x 0.84 1 2 3
据此建立迭代公式：
(k ) (k ) x1(k +1) =0.1x2 +0.2x3 +0.72 (k +1) (k ) (k ) x2 =0.1x1 +0.2x3 +0.83 (k +1) (k ) (k ) x =0.2 x +0.2 x 1 2 +0.84 3
线性代数方程组求解直接方法
LU分解法
将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和 一个上三角矩阵U的乘积，然后通过求 解LY=b和UX=Y两个三角形方程组得到 原方程组的解。LU分解法具有较高的数 值稳定性，适用于中小型方程组。
根据系数矩阵的第一行和最后一行元素， 计算出初始参数。
2. 追赶过程
3. 回代过程
从第二行开始，逐行进行消元，将系数矩 阵转化为上双对角矩阵。
从最后一行开始，逐行回代求解，得到方程 组的解。
平方根法的基本原理与计算步骤
基本原理
1. Cholesky分解
2. 前代过程
3. 回代过程
平方根法是一种适用于对称正 定矩阵线性方程组的求解方法 ，通过Cholesky分解将系数矩 阵分解为下三角矩阵和其转置 的乘积，进而简化计算。
收敛速度
在适当的条件下，雅可比迭代法的收敛速度可能比一般的 迭代法更快。
计算复杂度
雅可比迭代法需要计算雅可比矩阵及其逆矩阵，因此计算 量相对较大；而一般的迭代法只需要进行矩阵与向量的乘 法运算，计算量相对较小。
稳定性
雅可比迭代法的稳定性较好，对初始近似解的要求较低； 而一般的迭代法可能对初始近似解的要求较高，否则可能 导致迭代序列发散。
对系数矩阵进行Cholesky分解 ，得到下三角矩阵L。
通过下三角矩阵L，求解出中间 向量y。
利用中间向量y和下三角矩阵L 的转置，求解出方程组的解。
追赶法与平方根法的比较
适用范围
追赶法适用于三对角矩阵线性方程组， 而平方根法适用于对称正定矩阵线性方
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(3.6.1)
将其改写成 ... ... a22 ... ... ... ... x1 0 ... x2 − a21 = ... ... ... ... ... ann xn − an1 ... − a1n x1 b1 ... − a2 n x2 b2 + ... ... ... ... ... 0 xn bn
即 lim
(k ) k →∞
x
=
*
(k )
*
k →∞ *
*
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
*
也是 Ax = b 的解。
综上所述 : 设方程组(3.6.1)唯一解
x
*
* * * = ( x1 , x2 ,..., xn ) T
令A = M − N , 其中M非奇异, 则方程(3.6.1)改写为 (M − N ) x = b 即 所以 Mx = Nx + b x = Gx + f (3.6.2)
取初值
x = ( 0 0 0)T
迭代 方 程 组 的 近 次数 0.001 9 (1.0002507 1.0000694 0.0001 10 (0.9999541 1.0001253 0.00001 14 (0.9999981 1.0000020
Gauss-Seidel迭代法 取初值 迭代法 计 算 结 果
3.6 解线性方程组的迭代法
一、迭代法概述
设线性方程组 Ax = b
(3.6.1)
其中, A ∈ R n×n 且非奇异, x ∈ R n , b ∈ R n 且b ≠ 0. 由线性方程组理论知式(3.6.1)有唯一解x *。 类似非线性方程迭代法将(3.6.1)写成等价方程组 x = Gx + f
任取初始向量x ( 0 )作
,x
( k+1) 2
,⋯, x
( k+1) 从而得到G-S迭代法。 迭代法。 迭代法 i −1 值，从而得到
G-S迭代法是 迭代法的一种改进 迭代法是J迭代法的一种 迭代法是 迭代法的一种改进 G-S迭代法的分量形式： 迭代法的分量形式： 迭代法的分量形式
bi − ∑ aij x x
( k +1) i
(1) 1 (0) 2 (0) n (1) 2 ( ( ( ( 第3步 同理由x1(1) , x21) , x30) ,..., xn0 )得x31)；
依此类推 第n步由x , x ，x ， x , x 得x 。 ...,
(1) 1 (1) 2 (1) 3 (1) n −1 (0) n (1) n
故将迭代法改写成 x i( k +1)
( ( x1( k +1) = 0 .2 x 2k ) + 0 .1x3 k ) + 0 .3 ( k +1 ) ( x2 = 0 .2 x1( k ) + 0 .1x3 k ) + 1 .5 x ( k +1 ) = 0 . 2 x ( k ) + 0 . 1 x ( k ) + 2 1 2 3
如果 aii 相应的迭代格式
x
( k +1)
= Bx
(k )
+ f ; k = 0,1, 2,⋯
上述方法称为Jacobi迭代法，简称 法或简单迭代法 迭代法，简称J法或简单迭代法 法或简单 上述方法称为 迭代法 分量形式： 分量形式： 形式
bi − ∑ aij x x
( k +1) i
i −1
=
j =1
解：因为迭代矩阵为 2 1 0 10 10 2 1 0 GJ = 10 10 2 1 0 5 5
原方程改写为 x1 0 x = 0 .2 2 x3 0 .2 其迭代格式 0 .2 0 0 .4 0 .1 x1 0 .3 0 .1 x 2 + 1 .5 0 x3 2
( k +1)
= GJ x
n
(k )
+f
k = 0,1,2,...
而迭代序列的分量形式 为： x
(k +1 ) i
= (bi − ∑ aij x ) / aii
j =1 j ≠i (k ) j
i = 1,2,..., n
称其为Jacbi迭代法。
例 1、
试用 Jacbi 迭代法解线性方程组 10 − 2 − 1 −2 10 −2 − 1 x1 3 − 1 x 2 = 15 5 x 3 10
i −1
=
j =1
( k +1) j
−
j = i +1
∑a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i = 1, 2,⋯ , n
利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组 例2：利用 和 迭代法求解方程组
10 3 1
x
x
( k +1) 1
( k +1) 2
1
2 −10 3
解：
Jacobi 迭 代 格 式
B <1 Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是 G < 1 迭代法收敛的充分 迭代法收敛的充分条件是
如例1 利用J和 如例1：利用 和G-S迭代法求解方程组 迭代法求解方程组
10 3 1
1
2 −10 3 3
x1 x2
=
14 −5
10 x3
14
系数矩阵 A
= 2 −10 3 λ1,2 = −0.05 ± 0.384i
= diag ( a11 , a22 ,… , ann )
0 a12 a13 0 a 23 −U = 0 0 an,n−1 0
0
−L = a31 a32 0
a n1 a n 2
a21 0
a1n a2n
0 an−1,n 0
≠ 0( i = 1, 2,⋯ , n) −1 −1 原方程组可化为 x = D ( L + U ) x + D b = Bx + f 其中B = D −1 ( L + U ) = ( I − D −1 A); f = D −1b
要求 精度
x = ( 0 0 0)
T
迭代 方 程 组 的 近 次数 0.001 5 (0.9997916 0.9998479 0.0001 7 (0.9999929 0.9999949 0.00001 8 (1.0000013 1.0000009
似 解
1.0000664) ) 1.0000022) ) 0.9999996) )
i −1 1 = (bi − ∑ a ij x (jk +1) − a ii j =1 j = i +1
a ij x (jk ) ) ∑
n
(i = 1,2,..., n ) ( k = 0,1,...) 矩阵形式：由于 Dx 所以 故有
( k +1)
= Lx
( k +1)
+ Ux
−1
(k )
+b
( D − L ) x = Ux + b
其中，G = M −1 N , f = M −1b。
( 0 任取初始向量x ( 0 ) = ( x1( 0 ) , x20 ) ,..., xn )T
代入方程(3.6.2)的右端得
x
若
( k +1)
= Gx ( k ) +
f
(k = 0,1,2,...)
(3.6.3)
lim x ( k ) = x*
=
=
(14 − 3 x
10 ( k +1) (k ) ( −5 − 2 x1 − 3 x3 ) (14 − x
( k +1) 1
(k ) 2
−x )
(k ) 3
Jacobi迭代法 迭代法 计 算 结 果
要求 精度
G-S
( −10)
x
( k +1) 3
=
− 3x
( k +1) 2
) 10
似 解
1.0002507) ) 0.9999541) ) 0.9999981) )
k = 0,1,...
取 x ( 0 ) = ( 0,0,0 ) T 迭代到第 11次有
x
(11 )
= (1 .0000 , 2 .0000 ,3 .0000 ) T
三、 Jacobi迭代法的矩阵形式 迭代法的矩阵形式 设方程组 Ax = b; A = ( a ij ) n× n , b = ( bi )1× n ;det( A) ≠ 0 将系数矩阵分裂为 将系数矩阵分裂为：A = D− L−U 分裂 其中 D
x = ( D − L ) Ux + ( D − L ) b
−1 −1
−1
因此 Gauss − Seidel 迭代矩阵为 G s = ( D − L ) U， f s = ( D − L )
b
迭代公式中， 在J迭代公式中，计算 迭代公式中
x
( k+1) 时，利用已经算出来的新的 i
x
( k+1) 1
三、 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 和 迭代法的收敛性 定理 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 ρ ( B ) < 1 迭代法收敛的充要 迭代法收敛的充要条件是 Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是 ρ (G ) < 1 迭代法收敛的充要 迭代法收敛的充要条件是 推论1： 迭代法收敛的充分 推论 ：Jacobi迭代法收敛的充分条件是 迭代法收敛的充分条件是