2004年考研数学三真题及解析
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2004年考研数学(三)真题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) (1) 若5)(cos sin lim
=--→b x a
e x x
x ,则a =______,b =______.
(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定,其中函数g (y )可微,且g (y ) ≠ 0,则2
f u v
∂=∂∂.
(3) 设⎪⎩
⎪⎨⎧≥
-<≤-=21,12121,)(2
x x xe x f x ,则212(1)f x dx -=⎰.
(4) 二次型2
132
322
21321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>
}{DX X P _______.
(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1
,,21n X X X 和 2
,,21n
Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则
1
2
2211
12()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤
-+-⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
∑∑.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内) (7) 函数2
)
2)(1()2sin(||)(---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0). (B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3). [ ]
(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义,且a x f x =∞
→)(lim , ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00
,)1
()(x x x f x g ,则
(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.
(C) x = 0必是g (x )的连续点.
(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|,则
(A) x = 0是f (x )的极值点,但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点,但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点,且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.
(D) x = 0不是f (x )的极值点,(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题:
(1) 若∑∞
=-+1
212)(n n n u u 收敛,则∑∞=1
n n u 收敛.
(2) 若∑∞=1
n n u 收敛,则∑∞=+1
1000n n u 收敛.
(3) 若1lim
1>+∞
→n
n n u u ,则∑∞
=1
n n u 发散.
(4) 若∑∞
=+1
)(n n n v u 收敛,则∑∞=1
n n u ,∑∞=1
n n v 都收敛.
则以上命题中正确的是
(A) (1) (2). (B) (2) (3).
(C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ]
(11) 设)(x f '在[a , b]上连续,且0)(,0)(<'>'b f a f ,则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f > f (b ). (C) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得0)(0='x f .
(D) 至少存在一点),(0b a x ∈,使得)(0x f = 0.
[ D ]
(12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有
(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||. (C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*
≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的
互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.
(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.
[ ]
(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,
若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2
αu . (B) 2
1αu
-
. (C) 2
1αu -. (D) αu -1. [ ]
三、解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)
求)cos sin
1(
lim 2
2
2
x
x x
x -
→.
(16) (本题满分8分)