人教版A版高中数学高二选修2-1作业 空间向量的数乘运算
【精品】高中数学人教A版选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算课件(55张)
(1 ) A B B C ( 2 ) A B A D A A1 1 (3 ) A B A D C C 1 2 1 ( 4 ) ( A B A D A A1 ) 3
A A1
D1 B1ຫໍສະໝຸດ C1D BC
例题:
•
P课本 97
习题 3.1
A组
第1题
如图, 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式， D1 并在图中标出化简结果的向量： C
bba b ) c a (b c ) b ) k a＋ k b
加法结合律： ( a
数乘分配律： k ( a
4、平面向量的加法的推广
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向 末尾向量的终点的向量；
A A A A A A A A A A 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka ( k > 0 ) ka ( k < 0 )
CA OA OC
空间向量的加减法 空间向量的数乘
新课：一 、空间向量的数乘运算及运算律
1、定义： 实数 λ 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 λ a，并规定： ① λ a 的长度 | λ a | = | λ | · | a |； ② 当 λ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；
线段的起点和终点字母表示.
相等向量：长度相等且方向相同的向量.
B A C D
一 、平面向量：2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
人教版高中数学选修2-1第三章3.1.2空间向量的数乘运算
导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.(1) 加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则. (2) 运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1. 通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2. 通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点共线向量概念、基本定理及推论．难点共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1. 空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vetor by salar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0; （3）大小: λa的长度是a长度的|λ|倍.aλa(λ<0)a λa(λ>0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律（）λ(a +b )=λa +λbλ+μa =λa +μaλ(μa )=(λμ)a 即：知识要点（1） λa与a 之间是什么关系？（2） λa 与a 所在直线之间的关系？对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.知识要点3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）记作a//b（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量; （3）对空间任意两个向量a 与b ,如果 ,那么a 与b 有什么相等关系?反过来呢?b //a 零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a // b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a ,b(b≠0)，a // b的充要条件是存在实数λ，使a = λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a // b，b // c，则a一定平行于c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对于空间任意一点像O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使 OP = OA + ta. (1) AaOP B其中向量a叫做直线l的方向向量（direction vector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP = (1- t)OA + t OB.(2)说明: (1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.知识要点6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanar vectors）.空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p = x a + y b8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP = xMA + yMB或对空间任一定点O，有OP = OM + xMA + yMB.Ma AbB A' p P对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P 、A 、B 、 C 是否共面？OP =xOA+yOB +zOC解答原式可以变形为OP=(1-y-z)OA+yOB+zOC,OP-OA=y(OB-OA)+z(OC-OA), AP=y AB+z AC,所以，点P与点A，B，C共面.例题如下图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使OE OF OG OH====kOA OB OC OD求证：四点E、F、G、H共面.D'A'B'C'DA B CO分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为 所以 OE=kOA ，OF=kOB ， OG=kOC ，OH=kOD. 由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC=AB+AD. 解答OE OFOGOH====kOA OB OC OD继续因此EG=OG-OE=kOC-kOA=k AC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平行或重合. 平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 定理 推论 运用 判断三点共线，或两直线平行 判断四点共线，或直线平行于平面)0a (b //a ≠b λa =p b a b y αx p +=ABt OA OP +=AC y AB x OA OP ++=共面1)y (x OBy OA x OP =++=1)z y (x 0OC z OB y OA x OP =++=++=高考链接1.（2006年福建卷）已知|OA|=1，|OB|= ，OA·OB=0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB (m 、n ∈R)，则 等于_______. 3nm 3D. 33 C. 3B. 31 A. BOA =1,OB =3,OA.OB =0,解析: 点C 在AB 上，且∠AOC=30°设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0， )C 点的坐标为(x ，y)=( ， ) OC =mOA+nOB(m,n R)∈33434则∴ 3n m ，41，n 43m ===课堂练习1.选择（1）若对任一点O 和不共线的三A,B,C,且有 则x+y+z=1是四点P 、A 、B 、C 共面的（） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 R),z y,(x,OC z OB y OA x OP ∈++= C（2）对于空间任意一点O ，下列命题正确的是（）. A.若 ，则P 、A 、B 共线 B.若 ，则P 是AB 的中点C.若 ，则P 、A 、B 不共线D.若 ，则P 、A 、B 共线 OP =OA+t AB3OP =OA+AB OP=OA -t AB OP=-OA+AB A（3）下列命题正确的是（）CA.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B.向量a，b，c共面就是它们所在的直线共面C.零向量没有确定的方向D.若a // b，则存在唯一的实数λ使得a = λb解答A.中向量b为零向量时要注意，B.中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D.中需保证b不为零向量.答案C.点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处.像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾 .2.解答题已知：且m，n，p不共面.若a∥b,求x，y的值.,p2yn8m1)(xb0,p4n2m3a+++=≠--=空间向量在运算时，注意到如何利用空间向量共线定理.解答 ∵a // b,且a ≠0， ∴b= λ a ，即 又∵m ，n ，p 不共面，∴.p 4λn 2λm 3λp 2y n 8m 1)(x --=+++8.y 13,x ,42y 2831x =-=∴-=-=+习题答案1. （1）AD; （2）AG;（3）MG2. （2）x=1; （2）x=y=1/2; （3） x=y=1/2;3.CA QBRPSO。
人教新课标A版高二数学《选修2-1》3.1.2 空间向量的数乘运算
探究点：三点共线
如何利用共线向量定理判定三点共线？
A B C
O
典例分析
利用BD构建EH与FG的关系
典例分析
证明:
跟踪训练
知识点三：共面向量
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
想一想，为什么？ 说明：空间任意两个向量都是共面向量， 但空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.
当堂训练
D
当堂训练
则D点位于( D ) A.BC边的中线上 C.BC边的中垂线上 B.BC边的高线上 D.∠BAC的平分线上
谢谢大家！
a
λ<0
|a| 大小 |λa|=|λ|·
运算律
典例分析
O M
[思路探索]在三角形中运用向量的线性运算进行分解 数乘 解:
A
G
C N
B
减法 加法
跟踪训练
A
知识点二：共线向量
1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在直线
互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量
(或平行向量),记作a∥b.
规定：零向量与任意向量共线.
第三章 空间向量与立体几何 §3.1.2 空间向量的数乘运算
引入课题
平面向量的数乘运算是如何定义的？
其几何意义是什么？
其运算律是怎样的？
空间向量与平面向量有何关系？
能否将平面向量的数乘运算推广到空间向量？
知识点一：数乘运算的概念
定义：与平面向量的数乘运算相同， 实数λ与空间向量a的乘积λa， 称为向量的数乘. 方向 当λ>0时， λa与向量a的方向相同 λ>0
证明:
∵E 、 F 、 G 、 H 分别是所在三角形的重心，
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张ppt)
B．O→M＋O→A＋O→B＋O→C＝ 0 C． M→A＋M→B＋M→C＝0
D．O→M＝14O→B－O→A＋12O→C
3.下列说法正确的是（ D ）
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
b b
a a
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其 运算律是否也与平面向量完全相同呢?
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
整过程
方向
资料
筛选Βιβλιοθήκη 认知高效学习模型-学习的完
整过程
消化
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者 复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆 规律
记忆中
选择恰当的记忆数量
魔力之七：美国心理学家约翰·米勒曾对短时记忆的 广 度进行过比较精准的测定：通常情况下一个人的 记忆 广度为7±2项内容。
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.1.2空间向量的数乘运算课时作业 新人教A版选修2-1
空间向量的数乘运算(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )A.有相同起点的向量B.等长向量C.共面向量D.不共面向量【解析】选C.由题意知,==-,所以向量,,是共面向量.2.(2014·沈阳高二检测)下列命题中正确的是( )A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面C.空间任意两个向量共面D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb【解析】选C.对A.若a∥b,b∥c,则a与c所在直线平行,错误.当b=0时不成立;B.向量a,b,c共面即它们所在直线共面,错误,因为空间平行的向量也是共面的;C.空间任意两个向量共面,正确;D.若a∥b,则存在惟一的实数λ,使a=λb,错误,当b=0时不成立.【变式训练】与共线是直线AB∥CD的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若与共线,则∥,此时AB与CD可能平行也可能为同一直线;而若AB∥CD,则必有与共线.3.(2014·西安高二检测)对空间任一点O和不共线三点A,B,C,能得到P,A,B,C四点共面的是( )A.=++B.=++C.=-++D.以上都不对【解析】选B.因为=++,所以3=++,所以-=(-)+(-),所以=+,所以=--,所以P,A,B,C共面.【变式训练】对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C有6=+2+3,则( )A.四点O,A,B,C必共面B.四点P,A,B,C必共面C.四点O,P,B,C必共面D.五点O,P,A,B,C必共面【解析】选B.由6=+2+3,得(-)=2(-)+3(-),即=2+3.由共面向量定理,知P,A,B,C四点共面.4.已知两非零向量e1,e2不共线,设a=λe1+μe2(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则( ) A.a∥e1 B.a∥e2C.a与e1,e2共面D.以上三种情况均有可能【解析】选C.若a∥e1,则存在实数t使得a=t e1,所以t e1=λe1+μe2,所以(t-λ)e1=μe2,则e1与e2共线,不符合题意.同理,a与e2也不平行.由向量共面的充要条件知C正确.5.(2014·南宁高二检测)已知O,A,B是平面上的三个点,直线AB上有一点C,满足2+=0,则等于( )A.2-B.-+2C.-D.-+【解析】选A.由已知得2(-)+(-)=0,所以=2-.6.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.-a-b+c【解析】选A.=+=+(-)=+-=-a+b+c.二、填空题(每小题4分,共12分)7.已知e1,e2是不共线向量,a=3e1+4e2,b=-3e1+8e2,则a与b是否共线(填是或否).【解析】设a=λb,即3e1+4e2=λ(-3e1+8e2)=-3λe1+8λe2,所以⇒所以不存在λ,使a=λb,即a与b不共线.答案:否8.(2014·福州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用,,表示向量,则= .【解析】=++=++(+)=++(-+)=++.答案:++9.如图所示,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,=a,=b,=c,若=x a+y b+z c,则x+y+z= .【解析】在△OBD中,=+=+-=+-=+--(-)=+-=a-b+c,故x+y+z=1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)10.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.【解题指南】先利用三角形法则进行向量的加减运算,将表示成其他向量,然后进一步用a,b,c表示.【解析】如图所示,连接AN,则=-=+-=+-(+)=+(-)-(+)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.【拓展延伸】数形结合法表示向量用已知向量表示未知向量,体现了向量的数乘运算.解题时要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量逐渐转化为已知向量.本题也可以先将表示为=++.11.(2014·武汉高二检测)已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任意一点O,若点M满足=++.(1)判断,,三个向量是否共面.(2)判断点M是否在平面ABC内.【解析】(1)由已知,得++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--.所以向量,,共面.(2)由(1)知向量,,共面,三个向量的基线又过同一点M,所以四点M,A,B,C共面,所以点M在平面ABC内.【变式训练】直线AB,CD为两异面直线,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. 【证明】如图,在封闭图形ABNM中,=++, ①在封闭图形CDNM中,=++, ②又因为M,N分别为线段AC,BD的中点,所以+=0,+=0,①+②得2=+,即=+,所以向量,,共面.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·泰安高二检测)如图所示,已知A,B,C三点不共线,P为平面ABC内一定点,O为平面ABC外任一点,则下列能表示向量的为( )A.+2+2B.-3-2C.+3-2D.+2-3【解析】选 C.根据A,B,C,P四点共面的充要条件可知=x+y.由图知x=3,y=-2,所以=+3-2.2.(2014·济南高二检测)下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若a,b共线,则a与b所在直线平行;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中不正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.①若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0正确;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件,错误;③若a,b共线,则a与b所在直线平行,错误,有可能是共线、平行或者其中有零向量;④对空间任意一点P与不共线的三点A,B,C,若=x+y+z(x,y,z∈R)且x+y+z=1,则P,A,B,C 四点共面.【变式训练】在下列条件中,使M与A,B,C一定共面的是( )A.=3-2-B.+++=0C.++=0D.=-+【解析】选C.因为++=0,所以=--,所以M与A,B,C必共面.3.(2013·温州高二检测)空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )A. B.3 C.3 D.2【解析】选B.-+=-(-)=-=+=+2=3.4.(2014·石家庄高二检测)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有=x++,则x的值为( )A.1B.0C.3D.【解析】选D.因为=x++,且M,A,B,C四点共面,所以x++=1,x=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知i与j不共线,则存在两个非零常数m,n,使k=m i+n j是i,j,k共面的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).【解析】若i不平行于j,则k与i,j共面⇔存在惟一的一对实数x,y使k=x i+y j.答案:充要6.有下列命题:①若∥,则A,B,C,D四点共线;②若∥,则A,B,C三点共线;③若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-e2,b=-e1+e2,则a∥b;④若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0.其中是真命题的序号是(把所有真命题的序号都填上).【解析】根据共线向量的定义,若∥,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故①错;∥且,有公共点A,所以②正确;由于a=4e1-e2=-4b,所以a∥b,故③正确;易知④也正确.答案:②③④三、解答题(每小题12分,共24分)7.设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点.求证:M,N,P,Q四点共面.【证明】如图,过B1作l3∥l1取点C2∈l3且BC=B1C2.因为=,=,所以=2,=2.因为A,B,C及A1,B1,C1分别共线,所以=λ=2λ,=μ=2μ.于是=+=+=+(-)=(+)=(2λ+2μ)=λ+μ.因此,,共面.故M,N,P,Q四点共面.8.已知斜三棱柱ABC-A′B′C′,设=a,=b,=c.在面对角线AC′上和棱BC上分别取点M和N,使=k,=k(0≤k≤1).求证:(1)与向量a和c共面.(2)MN∥面A′AB.【证明】(1)显然=k=k b+k c,且=+=a+k=a+k(-a+b)=(1-k)a+k b,=-=(1-k)a+k b-k b-k c=(1-k)a-k c.因此,与向量a和c共面.(2)由(1)知与向量a,c共面,a,c在面A′AB内,而不在面A′AB内,所以MN∥面A′AB.。
人教A版高中数学高二选修2-1学案 空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算【使用说明及学法指导】1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；2．小组合作，动手实践。
【学习目标】1.掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；一、自主学习1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题复习1：化简：⑴ 5（32-）；b a-）+4（23a b⑵()()-+--+-.a b c a b c63复习2：在平面上有两个向量,a b，若b是非零向量，则a与b平行的充要条件是2.导学提纲1.空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________?2. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫_____________3对空间任意两个向量,a b（0a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得______,为何要求b≠），//b≠？3.如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是4.对空间两个不共线向量,a b，向量p与向量,a b共面的充要条件是存在，使得.5.空间一点P 与不在同一直线上的三点A,B,C 共面的充要条件是： ⑴ 存在 ，使⑵ 对空间任意一点O ，有6.向量共面的充要条件的理解（1）MP ＝xMA →＋yMB →.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OB ＝(1－t )OA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．二、典型例题例1.1. 下列说法正确的是（ ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB x AD y AB z AA =++,则x ＝ ，y ＝ ，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP = OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D 的交点,则'1()3AB AD AA ++= AO5. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ ）A. 1122a b c -++； B. 1122a b c ++；C.1122a b c -+； D. 1122a b c --+. 6. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 37.下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（ ） ①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++= ④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 4例2. 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式： ⑴ 'AA CB - ; ⑵ '''''AB B C C D ++ ⑶ '111222AD AB A A +-例3 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD==== 求证：E,F,G,H 四点共面.变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F,G,H 四点共面.三、变式训练：课本第89页练习1-3 四、课堂小结1．知识：2．数学思想、方法：3．能力：五、课后巩固1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，ABCDFE G H0a ≠，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e 不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
即������������ =y������������ +z������������ .
∴点 P 与点 A,B,C 共面.
+
������������
=
2 3
������������
−
������������
+
1 3
������������1
=23 (������������
+
������������ )-������������
+
1 3
(������
������1
+
������1 ������1 )
=23 (������������
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
1.设 M 是△ABC 的重心,记������������=a,������������=b,������������=c,则������������=(
)
答案:D
解析:∵M 是△ABC 的重心,
∴������������
=
2 3
������������
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预习导引
123
已知在空间四边形 OABC 中,M,N 分别是对边 OA,BC 的中点,
点 G 在 MN 上,且 MG=2GN.设������������=a,������������=b,������������=c,则用 a,b,c 表示向
人教A版高中数学选修2-1课件空间向量的数乘运算
例2(课本例)已知ABCD，从平面AC外一点O引向量
OE kOA, OF kOB, OG kOC , OH kOD
求证：①四点E、F、G、H共面；
②平面AC//平面EG.
证明：∵四边形ABCD为
O
① ∴AC AB AD
（﹡）
EG OG OE kOC kOA
k(OC OA) kAC
注:①、②、③式都称为平面的向量表示式, 即平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
试证明:对于不共线的三点 A、B 、C 和平面 ABC 外的
一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性
量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线 (C)在平面内共线的向量在空间一定不共线 (D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：C(A)平面内的任意
两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面
例3:如图,已知空间四边形ABCD中，向量 AB a, AC b, AD c, 若M为BC的中点，
(4) | a | | | | a |
2、空间向量的数乘的运算律
（1）数乘分配律1：(a b) a b
（2）数乘分配律2： ( )a a a
（3）数乘结合律： (a) ()a
二、空间中的共线向量
1、定义：
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平 行或重合，则这些向量叫做 共线向量
∵ OP xOA yOB zOC 可变形为OP (1 y z)OA yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
2018年高中数学人教A版选修2-1： 3.1.2 空间向量的数乘运算 (25张)1
相对目标设置法在高校速度滑冰教学中的运用研究作者：刘晓鹏来源：《青少年体育》 2014年第10期刘晓鹏（长春师范大学体育学院，吉林长春 130032 ）收稿时间：2014-09-12作者简介：刘晓鹏（1981~），硕士，讲师。
研究方向：花样滑冰、速度滑冰等冰雪项目。
高校大学生经常参加滑冰锻炼，能促进心血管和呼吸系统机能的改善，增强腰、腹、腿部肌肉的力量和各关节的灵活性和韧性，还能有效地增强抗寒、耐寒能力，对人体的平衡能力有特殊作用，通过滑冰锻炼，还可以培养学生勇敢、顽强、不畏困难的意志品质。
但高校滑冰教学实践中教学效率和质量并不高，如何提高高校冰雪教学质量是值得研究的问题。
1 研究对象与方法1.1 研究对象本研究以高校大学生的速度滑冰中的直道滑跑教学为研究对象，以沈阳市某大学滑冰专项课的2 个教学班40 名学生，分为a 班、b 班（每班10 男、10 女）。
2 个教学班中采用随机抽样方式确定学生所在班级。
1.2 研究方法本课题采用文献资料、教学等组实验法、实地观察等方法，做4 次课的对比教学实验。
相同教师、相同教学、课时、内容和评价条件下, 实验组（a 班）运用相对目标设置, 对照组（b 班）采用传统的教学，对比a 班、b 班教学效果。
实验时间为2014 年下半学期中期4 次课。
2 结果与分析2.1 理论概述2.1.1 相对目标设置法相对目标设置教学法是在目标设置理论的基础上结合目标教学法而提出的一种新的教学方法，它是指教师在教学实践中根据学生的具体情况通过不断合理的设置相对于学生个体的目标，逐渐激励学生进步和提高，不断地主动完成自我超越，进而达到教学任务的教学方法。
相对目标设置的教学法的步骤主要包括以下环节：测评学生的初使水平→教学内容的学习→根据学生的实际水平为学生设置合理的相对目标→让学生明确并挑战自己的相对目标→目标的完成和反馈和归因→教学内容的在次（或新的教学内容的）学习→目标的在次完成和反馈和归因→新水平下一个相对目标的设定、教学内容的学习、目标的完成与反馈归因，循环往复。
【师说】高中数学 第3章 空间向量与立体几何 17空间向量的数乘运算课时作业 新人教A版选修2-1
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若 ∥ ，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错； ∥ 且 ， 有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－ e2＝－4 ＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴ ＝m ＋n ＋p ，且m＋n＋p＝1.
由条件知 ＝(－2x) ＋(－3y) ＋(－4z) ，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以 ∴k＝±1.
A. ＝3 －2 －
B. ＋ ＋ ＋ ＝0
C. ＋ ＋ ＝0
D. ＝ － ＋
解面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝ ，若 ＝x ＋y( ＋ )，则( )
A．x＝1，y＝ B．x＝ ，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
从而得m＝ ，即 ＝ ，∴ ＝ .
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝ HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵ ＝ － 且 ＝ ，
∴ ＝ － .
∵ ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ － ＝－ ＋ ＋ .
解析： ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ( － )＝－ a＋ b＋c.
人教A版高中数学选修2-1习题课件：3.1.2 空间向量的数乘运算
3.1.2 空间向量的数乘运算
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(2)①共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量. ②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件
是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
-6-
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1.向量共线的充要条件及其应用 剖析(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说 a,b共线时,表示a,b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直 线,也可能是平行直线;当我们说a∥b时,也具有同样的意义. (2)“共线”这个概念具有自反性,即a∥a;也具有对称性,即若a∥b, 则b∥a;但不具有传递性,即当a∥b,b∥c时,不一定有a∥c. (3)如果应用上述结论判断a,b所在的直线平行,那么还需说明 a(或b)上有一点不在b(或a)上. (4)用上述结论证明(或判断)三点 A,B,C 共线时,只需证明存在实数 λ,使������������ = ������������������(或������������ = ������������������)即可;也可用“对空间任意一点 O,有 ������������ = ������������������ + (1 − ������)������������”来证明三点共线.
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1.数乘的定义及运算律 (1)实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa,称为向量 的数乘运算.
2020-2021学年人教A版数学选修2-1作业：3.1.2 空间向量的数乘运算
第三章 3.1 3.1.2基础练习1．若a ，b 是平面α内的两个向量，则( ) A ．α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) B ．若存在λ，μ∈R 使λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0C ．若a ，b 不共线，则空间任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )D ．若a ，b 不共线，则α内任一向量p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ) 【答案】D【解析】当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，λa ＋μb ＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则平面α内任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定，故C 项不正确，D 项正确．2．如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c【答案】A【解析】B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(AD →－AB →)＝c ＋12b －12a .3．在下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC →B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C ．MA →＋MB →＋MC →＝0D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 【答案】C4．已知正方体ABCDA ′B ′C ′D ′，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则( )A ．x ＝2，y ＝1，z ＝32B ．x ＝1，y ＝12，z ＝12C ．x ＝12，y ＝12，z ＝1D ．x ＝12，y ＝12，z ＝23【答案】A5.在四面体OABC 中，OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE ＝ (用a ，b ，c 表示).【答案】12a ＋14b ＋14c【解析】如图，OE ＝12(OA ＋OD ).又因为OD ＝12(OB ＋OC )，所以OE ＝12a ＋14b＋14c .6．已知O 是空间任一点，A ，B ，C ，D 四点满足任三点均不共线，但四点共面且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.【答案】－1【解析】OA →＝－2xOB →－3yOC →－4zOD →.∵A ，B ，C ，D 共面，∴－2x －3y －4z ＝1. ∴2x ＋3y ＋4z ＝－1.7.如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若M ，N 分别为AD 1，BD 的中点，用向量法证明MN 与D 1C 共线.证明：连接AC ，则N ∈AC 且N 为AC 的中点，所以AN ＝12AC .由已知得AM ＝12AD 1，所以MN ＝AN －AM ＝12AC －12AD 1＝12D 1C .所以MN 与D 1C 共线.8．求证：向量e 1，e 2，e 3共面的充要条件是存在三个不全为零的实数λ，μ，v 使得λe 1＋μe 2＋v e 3＝0.证明：必要性：由共面向量定理，知当e 1，e 2，e 3共面时，存在实数μ′，v ′使得e 1＝μ′e 2＋v ′e 3，即－e 1＋μ′e 2＋v ′e 3＝0.取λ＝－1，μ＝μ′，v ＝v ′，则有λe 1＋μe 2＋v e 3＝0.充分性：假设存在不全为零的三个实数λ，μ，v ，使λe 1＋μe 2＋v e 3＝0，不妨设λ≠0. 于是可得e 1＝－μλe 2－v λe 3.故由共面向量定理可知e 1，e 2，e 3共面．能力提升9．已知O ，A ，B ，C 为空间不共面四点且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 共面的向量是( )A ．OA →B ．OB →C ．OC →D ．OA →或OB →【答案】C【解析】由a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，得OC →＝12a －12b ，∴OC →与a ，b 共面．故选C ．10.(多选题)有下列命题中是真命题的是( ) A.若AB ∥CD ，则A ，B ，C ，D 四点共线 B.若AB ∥AC ，则A ，B ，C 三点共线C.若e 1，e 2为不共线的非零向量，a ＝4e 1－25e 2，b ＝－e 1＋110e 2，则a ∥bD.若向量e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0，则k 1＝k 2＝k 3＝0【答案】BCD【解析】根据共线向量的定义，若AB ∥CD ，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，故A 错误；因为AB ∥AC 且AB ，AC 有公共点A ，所以B 正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4·⎝⎛⎭⎫－e 1＋110e 2＝－4b ，所以a ∥b ，故C 正确；易知D 也正确.11．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，且实数x ，y ，z 使x a ＋y b ＋z c ＝0，则x 2＋y 2＋z 2＝________.【答案】0【解析】由共面向量基本定理可知a ，b ，c 不共面时，要使x a ＋y b ＋z c ＝0，必有x ＝y ＝z ＝0，∴x 2＋y 2＋z 2＝0.12．已知三棱柱ABCA ′B ′C ′，如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c .在对角线AC ′和棱BC 上分别取点M ，N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →，0≤k ≤1，求证：MN →与向量a 和c 共面．解：AM →＝kAC ′→＝k b ＋k c ，AN →＝AB →＋BN →＝a ＋kBC →＝a ＋k (－a ＋b )＝(1－k )a ＋k b . ∴MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a ＋k b －k b －k c ＝(1－k )a －k c . ∴MN →与向量a 和c 共面．。
人教版高中数学选修2-1第三章-空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是( ) ①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 及不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 及b 所在直线平行。
A .1 B .2 C .3 D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 及1CD 所形成角的余弦值为( )A .1010 B . 15C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ；_C_D_A_P_ N_B_M（2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a=-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( )A ．可构成直角三角形B ．可构成锐角三角形C ．可构成钝角三角形D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( ) A ．[0，5] B ．[1，5] C ．（1，5） D ．[1，25]4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 .5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1及平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ；D 1C 1B 1A 1DABCC 1 B 1 A 1B A（2）求1C 到平面1A AB 的距离；（3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，1AC AA ==(1)证明：1ABA C ⊥； （2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面PAC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量及立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算 §3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-. 连结AC ，则§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ； （2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 设1,,A A a AD b DCc ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-，令24260xx +-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），_C_D _A_P_ N _B _M _EA 1§3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示 1.A 2.D 3.B 4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1及AM 所成的角就是AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角.∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°. ∴AC 1及侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网1.A2.C3. （1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DEAC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得t =.设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以10220n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,n =-，所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==7. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,CA =-，()2,0,0CB =，所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =，故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向，可知二面角1A A B C --的余弦值大小为77. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由正弦定理030ACB∠=.如右图，建立空间直角坐标系， 则1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量，设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =，则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 不妨取1,(3,1,1)mn ==则，1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)22SD a a =--，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. (2)由题设知，平面PAC 的一个法向量26()2DSa =，平面DAC 的一个法向量600aOS =（，，，设所求二面角为θ，则3cos OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°._C_A_S_F_BO（3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且),(0,)DS CS ==.设,CEtCS = 则((1)BE BC CE BC tCS t =+=+=-，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面. 作 者 于华东 责任编辑 庞保军。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.2 空间向量的数乘运算(共25张)
探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b
d
c
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量既可能共面，也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢？
由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么 对于这一平面内的任意向量 ，有且 只有一对实数 ， 使
C={x|x是实数}. 集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.
例如:
显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结 合律
如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则 这 些向量叫做共线向量或平行向量.
若P为A,B中点, 则
P
aB Alຫໍສະໝຸດ OA lP B
O
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
O
DC
A
B
H
G
E
F
证明
1．下列命题中正确的个数是( D )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3
1.空间向量的数乘运算.(重点) 2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点) 3.向量的共面、共线与直线的位置关系．
观察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗?
(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}. (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
人教A版选修2-1第三章第三课时同步练习3.1.2空间向量的数乘运算(二)
§3.1.2 空间向量的数乘运算(二)一、选择题1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为 （ ）.A ．0 B.1 C. 2 D. 32．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－2AC →D.OA →＋2AB →－3AC →3．i 、 j 不共线，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝m i ＋n j 是i ，j ，k 共面的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件4．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )A.OP →＝OA →＋OB →＋OC →B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12OC → D ．以上皆错 5．如图所示，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM →＝2MA →，N 为BC 中点，则MN →等于( )A ．12a －23b ＋12c B ．－23 a ＋12b ＋12c C ．12a ＋12 b －23cD ．23a ＋23b －12c6．有下列命题：①当λ∈R ，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝0时，λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝0；②当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝0；③当λ1，λ2，…，λn ∈R ，且λ1＋λ2＋…＋λn ＝0时，a 1，a 2，…，a n 是n 个向量， 且a 1＋a 2＋…，a n ＝0，则λ1a 1＋λ2a 2＋…＋λn a n ＝0.其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题7．如图所示，已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且PM ∶MC ＝2∶1，N 为PD 中点，则满足MN →＝xAB →＋yAD →＋zAP →的实数x ＝________，y ＝________，z ＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，则x ＋y ＋z ＝________.三、解答题9．如图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 在AC ′上，且AE ∶EC ′＝1∶2，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，求下列各式中的x ，y ，z 的值．(1)AE →＝xAA ′→＋yAB →＋zAD →；(2)BF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →；(3)GF →＝xBB ′→＋yBA →＋zBC →.10．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，向量p ，q ，r 是否共面？参考答案一、选择题1. [答案]A2．[答案] C[解析] 根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件即可求得AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由图知x ＝3，y ＝－23．[答案] A[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i 不平行j ，则k 与i ，j 共面⇔存在惟一的一对实数x ，y 使k ＝x i ＋y j .故选A.4．[答案] B[解析] 解法一：∵13＋13＋13＝1，∴选B. 解法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →， ∴3OP →＝OA →＋OB →＋OC →，∴OP →－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)，∴AP →＝PB →＋PC →，∴P A →＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面．5．[答案] B[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .∴应选B. 6．[答案] C[解析] 由于λa 1＋λa 2＋…＋λa n ＝λ(a 1＋a 2＋…＋a n )＝λ0＝0， 故命题①为真命题．由于λ1a ＋λ2a ＋…＋λn a ＝(λ1＋λ2＋…＋λn )a ＝0×a ＝0，故命题②也为真命题．命题③为假命题，例如当n ＝2时，取λ1＝1，λ2＝－1，a 1＝a (a ≠0)，a 2＝－a ， 则λ1a 1＋λ2a 2＝a ＋(－1)(－a )＝2a ≠0，但此时有λ1＋λ2＝0，a 1＋a 2＝0，命题③不成立．二、填空题7．[答案] －23 －16 16[解析] 在PD 上取一点F ，使PF ∶FD ＝2∶1，连结MF ，则MN →＝MF →＋FN →∵FN →＝DN →－DF →＝12DP →－13DP → ＝16DP →＝16(AP →－AD →) MF →＝23CD →＝23BA →＝－23AB → ∴MN →＝－23AB →－16AD →＋16AP → ∴x ＝－23 y ＝－16 z ＝168．[答案] 76[解析] 在进行空间向量的线性表示时，一定要与所求一致，才不至于犯错．如图所示，有AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →.又∵AC 1→＝x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →，∴x ·AB →＋2y ·BC →＋3z ·C 1C →＝AB →＋BC →＋(－1)·C 1C →，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，2y ＝1，3z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝12，z ＝－13，∴x ＋y ＋z ＝1＋12－13＝76. 三、解答题9．[解析] (1)∵AE ∶EC ′＝1∶2，∴AE →＝13AC →＝13(AB →＋BC →＋CC ′→)＝13(AB →＋AD →＋AA ′→) ＝13AA ′→＋13AB →＋13AD →， ∴x ＝13，y ＝13，z ＝13. (2)∵F 为B ′D ′的中点，∴BF →＝12(BB ′→＋BD ′→)＝12(BB ′→＋BA →＋AA ′→＋A ′D ′→) ＝12(2BB ′→＋BA →＋BC →)＝BB ′→＋12BA →＋12BC →， ∴x ＝1，y ＝12，z ＝12. (3)∵G 、F 分别为BD ′、B ′D ′的中点，∴GF →＝12BB ′→，∴x ＝12，y ＝0，z ＝0. 10．[解析] 假设存在实数λ，μ，使p ＝λq ＋μr ，则a ＋b －c ＝(2λ－7μ)a ＋(－3λ＋18μ)b ＋(－5λ＋22μ)c ，∵a ，b ，c 不共面，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ－7μ＝1－3λ＋18μ＝1－5λ＋22μ＝－1，∴⎩⎨⎧ λ＝53μ＝13， 即存在实数λ＝53，μ＝13， 使p ＝λq ＋μr ，故p 、q 、r 共面．。
选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 ． 的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间 四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律． 思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？
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13．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．
解析：如图，设 ＝m ，
∵ ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋3 ＋ ，
∴ ＝2m ＋3m ＋ m .
由于P，M，R，N共面，∴2m＋3m＋ m＝1，
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若 ∥ ，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错； ∥ 且 ， 有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－ e2＝－4 ＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ (－ ＋ ＋ )＝－ ＋ ＋ .
又∵ ＝ － ，∴ ＝－ ＋ ＋ .
∵ ＝m，∴ ＝m ＝－ ＋ ＋ .
∵ ＝－ ＋ ＝ － ＋ ，
∴ ＝ ＋ ＋ .
又∵B，G，P，D四点共面，∴1－ ＝0，即m＝ .
15．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1.
解析：因为点N为BC的中点，所以 ＝ ( ＋ )．
又 ＝ ，所以 ＝ － ＝ ( ＋ )－ ，
则 ＝ ＝ ( ＋ )－ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )－ ＝ ＋ ＋ .
答案：D
12．有下列命题：
①若 ∥ ，则A，B，C，D四点共线；
②若 ∥ ，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－ e2，b＝－e1＋ e2，则a∥b；
＝ ＋ ( － )＝－ a＋ b＋c.
答案：A
4．已知空间向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b， ＝7a－2b，则一定共线的三点是()
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
解析：∵ ＝ ＋ ＝2a＋4b＝2 ，∴A，B，D三点共线．
答案：A
5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()
A. B. C. D．1
解析： ＝ ＋ ＋ ，则x＝1，y＝－ ，z＝ ，故选C.
答案：C
3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是()
A．－ a＋ b＋cB. a＋ b＋cC. a－ b＋cD．－ a－
∴四边形EFGH是梯形．
B组 能力提升
11．如图所示，已知三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设 ＝x ＋y ＋z ，则x，y，z的值分别为()
A．x＝ ，y＝ ，z＝
B．x＝ ，y＝ ，z＝
C．x＝ ，y＝ ，z＝
D．x＝ ，y＝ ，z＝
课时作业(十七)空间向量的数乘运算
A组 基础巩固
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()
A．m、n、p共线B．m与p共线
C．n与p共线D．m、n、p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝ m＋ n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若 ＝x －2y ＋3z ，则x＋y＋z等于()
A. ＝3 －2 －
B. ＋ ＋ ＋ ＝0
C. ＋ ＋ ＝0
D. ＝ － ＋
解析：∵ ＋ ＋ ＝0，∴ ＝－ － ，∴M与A，B，C必共面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝ ，若 ＝x ＋y( ＋ )，则()
A．x＝1，y＝ B．x＝ ，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴ ＝m ＋n ＋p ，且m＋n＋p＝1.
由条件知 ＝(－2x) ＋(－3y) ＋(－4z) ，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以 ∴k＝±1.
答案：±1
10．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 ＝ ， ＝ .求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ － ＝ －
＝ ( － )＝ ＝ ( － )
＝ ＝ ( － )＝ ，
∴ ∥ 且| |＝ | |≠| |.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵ ＝ － ＝ ＋ －( ＋ )＝ ＋ － － ＝－ ＋ ＋ ，又 ＝x ＋y ＋z ，∴x＝－1，y＝1，z＝ ，∴x＋y＋z＝ .
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )．所以x＝1，y＝ .
答案：D
7．化简 (a＋2b－3c)＋5 －3(a－2b＋c)＝__________.
答案： a＋ b－ c
8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 ＝2x ＋3y ＋4z ，则2x＋3y＋4z＝________.
从而得m＝ ，即 ＝ ，∴ ＝ .
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝ HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵ ＝ － 且 ＝ ，
∴ ＝ － .
∵ ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ － ＝－ ＋ ＋ .