北京四中数学必修一【知识讲解】1.3奇偶性(基础)

函数的奇偶性

编稿：丁会敏审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解函数的奇偶性定义；

2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；

3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用.

【要点梳理】

要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤

1．函数奇偶性的概念

偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.

奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.

要点诠释：

（1）奇偶性是整体性质；

（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；

（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：

()

()()0,1(()0)

()

f x

f x f x f x

f x

-

--==≠，

f(-x)=-f(x)的等价形式为：

()

()()01(()0)

()

f x

f x f x f x

f x

-

+-==-≠

，；

（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；

（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.

2.奇偶函数的图象与性质

（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.

（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.

3.用定义判断函数奇偶性的步骤

（1）求函数()

f x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，

则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；

（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.

若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；

若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；

若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；

若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数

要点二、判断函数奇偶性的常用方法

（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.

（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()

f x f x -=±是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.

（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

（5）分段函数奇偶性的判断

判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

要点三、关于函数奇偶性的常见结论

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.

【典型例题】

类型一、判断函数的奇偶性

例1. 判断下列函数的奇偶性：

(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；

(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x = (5)22-(0)()(0)

x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈． 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.

【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．

【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2

-4|x|+3为偶函数 ；

(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22

≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且

()f x ∴==

(-)-()f x f x x

∴===，∴f(x)为奇函数； (5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22

f x

g x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”