课时过关检测(九) 幂函数

课时过关检测（九） 幂函数
1．若幂函数f (x )＝x k 在(0，＋∞)上是减函数，则k 可能是( ) A ．1 B ．2 C ．12
D ．－1
解析：选D 由幂函数的性质得k <0，故选D. 2．幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选D 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝1
2，
所以y ＝x 12
.故选D.
3．已知a ＝335
，b ＝425
，c ＝1215
，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．c <b <a
D ．c <a <b
解析：选C 因为a ＝2715
，b ＝1615
，c ＝1215
，由幂函数y ＝x 15
在(0，＋∞)上为增函数，知a >b >c ，故选C.
4．幂函数y ＝x |m －
1|与y ＝x 3m －m 2(m ∈Z )在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m 的值为( )
A ．0
B ．1和2
C ．2
D ．0和3
解析：选C
由题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧|m －1|>0，3m －m 2
>0，m ∈Z ，
解得m ＝2.故选C.
5．设x ＝0.20.3，y ＝0.30.2，z ＝0.30.3，则x ，y ，z 的大小关系为( ) A ．x <z <y B ．y <x <z C ．y <z <x
D ．z <y <x
解析：选A 由函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，可得y >z .由函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上单调递增，可得x <z .所以x <z <y .故选A.
6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (3π)，c ＝f ⎝⎛⎭
⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <c <b
B ．a <b <c
C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析：选A 因为点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)·x n
的图象上，所以⎩⎪⎨
⎪⎧m －1＝1，
（m －1）m n ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝3，
所以f (x )＝x 3，且f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，又33<2
2
<3π，所以a <c <b .
故选A.
7.若幂函数y ＝x －
1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )
A ．－1<m <0<n <1
B ．－1<n <0<m
C ．－1<m <0<n
D ．－1<n <0<m <1
解析：选D 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1；当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x ＝2，根据题图可得2－1<2n ，∴－1<n <0，综上所述，故选D.
8．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m
＋1
是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足
f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值( )
A ．恒大于0
B ．恒小于0
C ．等于0
D ．无法判断
解析：选A 因为对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f （x 1）－f （x 2）
x 1－x 2
>0，所
以幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，
m ＋1>0，
解得m ＝2，则f (x )＝x 3.函数f (x )
＝x 3在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，所以f (a )>f (－b )＝－f (b )，所以f (a )＋f (b )>0，故选A.
9．若f (x )是幂函数，且满足f （9）f （3）＝2，则f ⎝⎛⎭⎫
19＝________． 解析：设f (x )＝x α，∵
f （9）f （3）＝9α3α＝3α＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫19＝⎝⎛⎭⎫19α＝⎝⎛⎭⎫132α＝132α＝122＝14
. 答案：14
10．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是________．
解析：由f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3.又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.
答案：3
11．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12
，h (x )＝x －
2，则f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是________________．
解析：分别作出y ＝f (x )，y ＝g (x )，y ＝h (x )的图象如图所示，可知h (x )＞g (x )＞f (x )．
答案：h (x )＞g (x )＞f (x )
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的
值域是⎣⎡⎦
⎤－1
4，2，则实数c 的取值范围是________． 解析：当c ＝0时，当x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫1
3，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－1
4
时，x ＝
－1
2
；当x2＋x＝2时，x＝1或x＝－2；当1
x
＝2时，x＝1
2
，由图象可知当f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤
－1
4
，2
时，需满足1
2≤c≤1.
答案：⎣⎡⎭⎫
－
1
4，＋∞⎣
⎡
⎦
⎤
1
2，1
13．已知幂函数f(x)＝x
(m2＋m)－1
(m∈N*)的图象经过点(2，2)．
(1)试确定m的值；
(2)求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)∵幂函数f(x)的图象经过点(2，2)，∴2＝2
(m2＋m)－1，即212＝2(m2＋m)－1
.
∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N*，∴m＝1.
(2)由(1)知f(x)＝x
1
2，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．由f(2－
a)>f(a－1)，得
⎩⎪
⎨
⎪⎧2－a≥0，
a－1≥0，
2－a>a－1，
解得1≤a<3
2.∴a的取值范围为⎣
⎡
⎭
⎫
1，
3
2.。