三角形全等之截长补短(讲义)

三角形全等之截长补短（讲义）
➢课前预习
1.尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
>），作一条线段，使它等于a+b．
（1）已知线段a，b（a b
a
b
>），作一条线段，使它等于a-b．
（2）已知线段a，b（a b
a
b
2.想一想，证一证
已知：如图，射线B M平分∠A B C，点P为射线B M上一点，PD⊥BC于点D，BD=AB+CD，过点P作PE⊥BA于点E．
求证：△P AE≌△PCD．
E
M
A
P
D
B C
➢知识点睛
截长补短：
题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________
___________________________________________________．
➢ 精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，∠1=∠2，∠B =2∠C ．
求证：AC =AB +BD ．
2. 如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠B =90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平
分∠ADC ，CE 平分∠BCD ． 求证：CD =AD +BC ．
2
1D C
B A 21D
A
21D A C
3.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别
为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF．
求证：EF=BF+DE．D
A
4. 已知：如图，在△ABC 中，∠ABC =60°，△ABC 的角平分线AD ，CE 交于点
O ．
求证：AC =AE +CD ．
O
E
D B
F E
D
C
B A
5.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交
BD的延长线于点E．
求证：CE
1
2
BD．
O
E
D
C
B
A
E
D
C
A
【参考答案】 ➢ 课前预习
1. 略
2. 证明：如图
∵BM 平分∠ABC ，PD ⊥BC ，PE ⊥BA ∴PE =PD ，∠PEB =∠PDB =∠PDC =90° 在Rt △PBE 和Rt △PBD 中，
PE PD
PB PB
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △PBE ≌Rt △PBD （HL ）
E
D
C
B A
∴BE =BD ∵BE =AB +AE BD =AB +CD ∴AE =CD
在△P AE 和△PCD 中
AE CD PEA PDC PE PD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△P AE ≌△PCD （SAS ） ➢ 知识点睛
线段间的和差倍分；
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系．
➢ 精讲精练 1. 补短法：
证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． ∴∠E =∠3
∵∠ABC 是△BDE
∴∠ABC =∠E +∠3 ∴∠ABC =2∠E ∵∠ABC =2∠C ∴∠E =∠C
在△ADE 和△ADC 中
12E C AD AD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
F
A B
D
12
∴AE =AC ∴AC =AB +BE
=AB +BD 截长法：
证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中
12AB AF AD AD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B =∠AFD ，BD =FD ∵∠B =2∠C ∴∠AFD =2∠C
∵∠AFD 是△DFC 的一个外角 ∴∠AFD =∠C +∠FDC ∴∠FDC =∠C ∴DF =FC ∴BD =FC
∴AC =AF +FC
=AB +BD
2. 证明：如图，在DC 上截取DF =DA ，连接EF ．
∵DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD
∴∠1=∠2，∠3=∠4 在△ADE 和△FDE 中
12AD FD DE DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADE ≌△FDE （SAS ） ∴∠A =∠DFE ∵∠A =∠B =90°
∴∠DFE =∠CFE =∠B =90° 在△CFE 和△CBE 中
34CFE B CE CE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴CF =CB
∴CD =DF +FC =AD +BC
3. 证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ．
∵∠ABC =∠D =90° ∴∠ABG =∠D =90° 在△ABG 和△ADE 中
AB AD ABG D BG DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABG ≌△ADE （SAS ） ∴∠3=∠2，AG =AE
∵∠BAD =∠1+∠2+∠EAF =90° ∠EAF =45° ∴∠1+∠2=45° ∴∠1+∠3=45°
即：∠GAF =∠EAF =45° 在△EAF 和△GAF 中
AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF
∴EF =BG +BF =BF +DE
4. 证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，连接OF ．
∵AD ，CE 分别是△ABC 的角平分线 ∴∠1=∠2，∠3=∠4
在△AEO 和△AFO 中
12
AE AF AO AO =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△AEO ≌△AFO （SAS ）
∴∠5=∠6 在△ABC 中，∠B =60° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=120︒
E
∴∠2+∠3=60︒
∵∠5是△AOC 的一个外角 ∴∠5=∠2+∠3=60︒ ∴∠8=∠5=60︒ ∠6=∠5=60° ∠7=180°-∠5-∠6=60° ∴∠7=∠8
在△CFO 和△CDO 中
3478CO CO ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△CFO ≌△CDO （ASA ） ∴CD =CF ∴AC =AF +CF =AE +CD
5. 证明：如图，延长CE 交BA 的延长线于F ．
∵CE ⊥BD
∴∠BEC =∠BEF =90°
∵BD 平分∠ABC
∴∠1=∠2 ∴∠F =∠BCE ∴BC =BF ∴EF =EC=1
2
CF ∵∠BAC =90°，∠BEC =90° ∴∠1+∠4=90°，∠3+∠5=90° ∵∠4=∠5 ∴∠1=∠3 ∵∠BAC =90°
∴∠BAD =∠CAF =90° 在△BAD 和△CAF 中
13AB AC
BAD CAF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
∴△BAD ≌△CAF （ASA ） ∴BD =CF
5
4321××
F
A
B D
E
∵CE=1
2
CF
∴CE=1
2
BD
三角形全等之截长补短（随堂测试）
6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=45°，BD平分∠ABC交AC于
点D．
求证：BC=AB+AD．
方法一：截长
方法二：补短
D
C A
D
C A
【参考答案】
1. 截长补短；
过程书写：
方法一：截长
证明：如图，在BC 上截取BE =AB ，连接DE ． ∵BD 平分∠ABC
∴∠ABD =∠EBD
在△ABD 和△EBD 中，
AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABD ≌△EBD （SAS ）
∴AD =ED
∠BAD =∠BED
∵∠BAD =90°
∴∠BED =90°
∵∠BED 是△DEC 的一个外角
∴∠BED =∠EDC+∠C
∵∠C =45°
∴∠EDC=90°-45°
=45°
∴∠EDC=∠C
∴EC=ED= AD
∴BC =BE +EC
=AB +AD
方法二：补短
证明：如图，延长BA 到点E ，使AE =AD ，连接DE ． ∵AE =AD
∴∠E=∠ADE
∵∠BAD 是△EAD 的一个外角
∴∠BAD =∠E+∠ADE
=2∠E
∵∠BAD =90°
∴∠E=1
2∠BAD=45°
∵∠C =45°
∴∠E=∠C
∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD =∠CBD
在△BED 和△BCD 中， C E C
ABD BD BD BD
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△BED ≌△BCD （AAS ） ∴BE =BC
∵BE =AB +AE
=AB +AD
∴BC =AB +AD。