数学建模实验三--Lorenz模型与食饵模型
一类具有时滞与Lévy跳的随机捕食者-食饵模型
用连续的随机噪声来描述．因此，本文考虑下列具有时滞与 Ｌéｖｙ跳的随机捕食者 －食饵模型
ｄｘ１（ｔБайду номын сангаас ＝ｘ１（ｔ）［ｂ１ －ｃ１１ｘ１（ｔ）－ｃ１２ｘ２（ｔ－τ１２）－ｃ１３ｘ３（ｔ－τ１３）］ｄｔ＋β１１ｘ１（ｔ）ｄＷ１１（ｔ）＋
∫
β１２ｘ２ １（ｔ）ｄＷ１２（ｔ）＋
ｘ１（ｔ－）γ１（ｕ）珟Ｎ（ｄｔ，ｄｕ），
响，也要考虑随机因素对种内竞争系数的影响，即
·
－ｃｉｉ→ －ｃｉｉ＋βｉ２Ｗｉ２（ｔ）（ｉ＝１，２，３），
其中，β２ｉｊ ＞０表示白噪声的强度，ｉ＝１，２，３，ｊ＝１，２．Ｗｉｊ（ｔ）（ｉ＝１，２，３，ｊ＝１，２）是完备的概率空间（Ω，Ｆ，Ｐ） 中相互独立的标准的布朗运动．此外种群也可能会受到一些突然的波动，例如：地震、海啸等，这些现象不能
食饵种群之间的种间竞争系数；ｃ１３和 ｃ２３是捕获系数；ｃ３１和 ｃ３２代表捕食者对食饵的转化率；以上参数均为正
常数．τｉｊ表示时滞，Ｗｉ１（ｔ）（ｉ＝１，２，３）是白噪声，β２ｉ１（ｉ＝１，２，３）是白噪声强度．然而模型（１）仅考虑了对参
数 ｂｉ的扰动，没有考虑对种内竞争系数的扰动．为此，本文不仅要考虑随机因素对自然增长率和死亡率的影
（山西大学 数学科学学院，山西 太原 ０３０００６）
摘要：研究了一类具有时滞与 Ｌéｖｙ跳的随机捕食者 －食饵模型．首先利用 Ｌｙａｐｕｎｏｖ方法和 Ｉｔｏ＾公 式，给出了模型全局正解的存在唯一性．然后根据切比雪夫不等式和指数鞅不等式以及 Ｂｏｒｅｌ－ Ｃａｎｔｅｌｌｉ引理等，得到了解的随机最终有界性以及灭绝性．最后，运用数值模拟验证了理论结果． 关键词：Ｌéｖｙ跳；时滞；捕食者 －食饵模型；灭绝 中图分类号：Ｏ２１１．６３ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７２－８５１３（２０１９）０５－０４７０－０５
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制
一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制一类捕食者-食饵模型的敏感性分析和最优控制捕食者-食饵模型是一种描述两种不同生物种群之间相互作用的数学模型，常用于生态系统和环境保护等领域的研究中。
其中，捕食者指的是靠捕食其他生物为生的动物，而食饵则是捕食者的猎物。
在这种模型中，捕食者的存在和数量会影响食饵的种群数量，而食饵数量的减少也会影响捕食者数量的大小。
本文将从敏感性分析和最优控制两个方面对一类捕食者-食饵模型进行研究。
一、敏感性分析在数学建模的过程中，敏感性分析是一个非常重要的环节，可以通过分析一些重要的参数的变化对模型结果的影响，来判断模型的准确性和可靠性。
对于一类捕食者-食饵模型而言，一些关键的参数包括捕食者的增长率、食饵自然死亡率和捕食率等。
以R x∈[0,1], Ry ∈[0,1] 为状态，t ∈[0, ∞) 为时间的Lotka- Voltera 模型为例，该模型的方程如下：dRx/dt= Rx(α-βRy)dRy/dt= Ry(δRx-γ)其中，Rx 和Ry 分别表示捕食者和食饵类群数量的变化，α是捕食者的出生率常数，β是捕食率常数，δ是食饵的增长率常数，γ是自然死亡率常数。
该模型可以用来描述食饵数量对捕食者数量的影响，以及捕食者的数量对食饵数量的影响。
通过敏感性分析，可以得出以下结论：1、捕食者增长率的变化对模型结果的影响较小，这是因为在该模型中，捕食者数量的增长主要依赖于食饵数量的增加，而不是捕食者自身的增长率。
因此，在此模型中，捕食者的增长率不是一个非常重要的参数。
2、食饵自然死亡率的变化对模型结果有较大的影响，当食饵自然死亡率增加时，食饵的数量减少，进而影响捕食者的数量，导致整个生态系统失衡。
3、捕食率的变化对模型结果也有较大的影响。
当捕食率增加时，捕食者数量迅速增加，会让食饵数量大幅度下降，使得捕食者数量接下来也会下降。
反之，当捕食率减小时，食饵数量随之增加，导致捕食者的数量增加。
数学建模 具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型 论文
《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。
研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。
关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。
建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。
食饵—捕食者模型进一步研究
四、问题提出：
现在的问题是在原有模型的基础上进一步研究参数及初始值的变化对食饵和捕食者数量的周期、最大（小）值的影响。并引入Logistic项，分析相轨线及参数的影响。使问题更进一步切合实际。
食饵—捕食者模型的进一步研究
一、摘要
捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多,自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。
五、问题分析：
该问题的焦点在于；在研究的15年期限内，鲨鱼在鱼的捕获量中所占的比例明显上升而被捕食者（食用鱼）所占比例却呈下降趋势，显然战争使捕鱼量下降，生态系统中总的鱼量增加，食用鱼增加，鲨鱼等也增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加而食用鱼的比例却下降那？据此分析外界的有利因素更有利于强者生存的条件。
六、模型求解：
plot(t1,x3,'-',t2,y3,'*')
figure(4)
plot(t1,x(:,1),'-',t1,x(:,2),'*')
figure(5)
plot(x(:,1),x(:,2))
figure(7)
捕食模型（生物数学）
捕食模型（生物数学）捕食模型（食饵捕食模型，生物数学重要模型）假设及建立模型：假设一个生态系统，其中含有两种生物 A 生物和B 生物，其中A 生物是捕食者，B 生物是被捕食者。
建立捕食数学模型1) 在观测数据（DATA1）无误差的情况下，确定模型中的参数，并分析误差。
2) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2和DATA3，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。
3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。
通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。
观测数据的格式依次为：观测时刻jt 、A 生物数目)(j t x 、B 生物数目)(j t y对于生态系统中的两种生物A 和B ，A 生物为捕食者，B 生物为被捕食者。
在某一段时期内，A 生物的数量与B 生物的数量之间存在一定的关系。
根据已知条件，可将（15）式改写为如下形式：12()dxx y dtαα=+ （1）34()dyy x dtαα=+ （2）0506()()x t y t αα=??=?其中()16k k α≤≤为模型的待定参数。
进行变换可得：3412()()y x dy dx x y αααα+=+ （3）3412()()dx x dy y y xαααα++=即（4）积分得：10203040ln ln )()(ln ln )()0y y y y x x x x αααα-+-+-+-=（可将上述表达式改写成n 元齐次线性方程组的形式，如下所示：m n A 0α?= （5）上述n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<="">我们首先用DATA1中的3组数据确定，，，，4321a a a a 程序clearA=zeros(3,4);A(1,1)=log(0.####82216 /60); A(1,2)= 60-0.####82216;A(1,3)=-log(11.750840650304518 /10); A(1,4)=10-11.750840650304518 ; A(2,1)=log(7.108705996120129/60);A(2,2)= 7.108705996120129-60; A(2,3)=-log(3.4####9176 /10); A(2,4)=10-3.4####9176; A(3,1)=log(0.425####24/60); A(3,2)= 0.425####24-60;A(3,3)=-log(20.80921881438798/10); A(3,4)=10-20.80921881438798 ;r=rank(A); % rank(A)=r<="" bdsfid="110" p="" r=""y="null(A," 时,该方程有无穷多个解,求它的一个基本解=""> 表1 )41(a '≤≤k k 的值'1a'2a'3a '4a-0.0478 -0.0042-0.99250.11253314140000222222(ln ln )ln ln y y y x x y x x αααααααααααα=+---++ （28）如设：31400000222(ln ln )y y x x αααβααα=+--，112αβα=-，422αβα=，332αβα=，1x =ln y ，2x =x ，3ln x x =，则（28）式可以写为如下形式；0112233y x x x ββββ=+++ （29）对于（29）式中因变量y 是自变量{}123x x x x =的线性函数。
食饵——捕食者数学模型论文 精品
食饵——捕食者数学模型摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。
种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。
为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。
本文根据它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵—捕食者模型。
我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性关键词：自滞作用数值解matlab 平衡点相轨线分析稳定性一、问题重述自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。
种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵—捕食者系统。
为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。
解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。
二，问题背景一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时捕捞），但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？V olterra建立的模型回答了这个问题三，问题分析首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。
假如给食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的环境，它们是呈J形增长的。
现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。
我们利用软件matlab 求出微分方程的数值解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。
最后对数学模型进行修改和确定。
四、基本假设1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构4，假设捕食者离开食饵无法生存5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝五，符号说明X （t ）：食饵（食用鱼）在时刻t 的数量 Y （t ）：捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量 r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，（相对增长率） r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，（相对增长率） N1：食饵的最大容量 N2：捕食者的最大容量1：单位数量乙（相对于N2）提供的供养甲的食物量为单位甲（相对于N1）消耗的供养甲食物量 1倍2：单位数量甲（相对于N1）提供的供养甲的食物量为单位乙（相对于N2）消耗的供养甲食物量 2倍d ：捕食者离开时独立存在的死亡率六，模型建立食饵（甲）数量x （t ），捕食者（乙）数量y （t ） 甲独立生存的增长率r .x =rx乙使甲的增长率减小，减小量与y 成正比.x （t ）=（r-ay ）x=rx-axy （1）a~捕食者掠取食饵的能力乙独立生存的死亡率d .y =-dy 甲使乙的死亡率减小，减小量与x 成正比.y （t ）= -（d-bx ）y=-dy+bxy （2）b~食饵供养捕食者的能力 方程（1），（2）无解析6.1模型建立我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型.x 1（t ）=r1x1（1-11N x - 122N x ） (3) .x 2(t)=r2x2(-1+ 211N x -22N x ) (4)6.2 模型求解利用数学软件matlab 分别求解（3），（4）两个微分方程的数值解。
建模——捕食者
食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。
关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。
就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。
1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。
羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。
2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。
（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。
《数学模型实验》
《数学模型实验》实验一 被食者——食者系统的数学模型一、 实验大纲通过建立被食者与食者系统的数学模型并进行模拟，将模拟结果与实际观察数据进行对照分析。
并通过计算机观察改变各种参数后所引起的数量的变化。
二、 实验指导1、建立被食者与食者系统的数学模型（1） 害虫麦蚜的数量动态模型：x dtdx ）－（αλ= 其中α表示麦蚜遭天敌消灭的速率。
（2） 天敌数量动态模型：y dtdy ）－（βμ-= （3） 初始条件：000(,)0(y y x x ）＝=2、介绍微分方程的各种数值算法3、通过编程模拟被食者与食者在一段时间内的数量变化，并观察出变化规律4、改变模型中的各项参数，并观察变化规律。
三、 实验报告（见附表）实验二 安全过河问题一、 实验大纲通过建立安全过河的决策模型，进行计算编程求解。
二、 实验指导1、问题分析与建立模型（1） 将该问题可看作一个多步决策的过程。
设第k 次渡河前此岸的商人数为k x ，随从数为k y ， ,2,1=k ，k x ,k y =0,1,2,3。
将二维向量),(k k k y x S =定义为状态，安全渡河条件的状态集合称为允许状态集合，记作S ，则：}2,1;3,2,1,0,30|),{(=====y x y x y x S 或（2） 又设第k 次渡船上的商人数为k u ，随从数为k v 。
将二维向量),(k k k v u d =定义为决策.相应的允许决策集合记作D ，则由小船的容量可知：}2,1|),({=+=v u v u D（3） 分析状态k S 随着决策k d 变化的规律：k k k k d S S )1(1-+=+2、算法分析将问题转化为求决策)2,1(n k D d k =∈，使状态S S k ∈按照转移律（5.3），由初始状态)3,3(1=S 经有限步（设为n 步）到达状态)0,0(1=+n S 。
3、探讨无解的情况及其满足的条件4、将问题推广至n人的情形三、实验报告（见附表）实验三 飞行管理问题一、 实验目的通过分析飞机空中飞行可能发生的各种问题与应对策略后，建立模型与计算机模拟，能更快速的科学的指导某区域中飞机的飞行航向。
食饵—捕食者模型
《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d ，即dy y -='，而食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。
捕食食饵模型
生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=P N c r tN P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程;0d d d d 12=-+-PP r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]*ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *.证: ⎰⎰⎰==--=-0d 1)(d *)(d )*(220PP c P r N c P N N t N N p T, 同理可证另一个关系式.MATLAB 中解常微分方程(组)的程序ode45的用法:[T,Y] = ODE45(@Fun,TSPAN,Y0)% TSPAN = [T0 TFINAL] 解的定义区间(行向量)% Y0 初始条件Y(0)=Y0, Y0是行向量% Fun 是一个函数名, 其函数值是(列)向量场, 即微分方程dY/dt=F(t,Y) 的右边.% 输出T 是一个列向量, 其分量T(k)为自变量的值, Y是矩阵Y(:,k) 是解的第k个分量在T的值，% 若取TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL] . 则将得到解在指定的时刻T0, T1, ..., TFINAL 的值例: 要求解(12) ,可编程序如下:设方程中各常数都等于1, 初始条件为N(0)=1, P(0)=2; 解的定义区间为[0,8], 则微分方程函数子程序为function dydt=bushi(t,y) % 不显含t时，也要加上tdydt=zeros(2,1); dydt(1)=(1-y(2))*y(1); dydt(2)=(-1+y(1))*y(2);主程序为y0=[1 2]; tspan=[0 6.7];[T,y]=ode45(@bushi, tspan, y0);plot(y(:,1), y(:,2));上图是运行程序后的轨道图。
稳定性模型食饵捕食者模型课件
m
捕食者的死亡率。
03
稳定性模型食饵捕食者模 型的求解方法
解析解法
公式推导
通过数学公式推导，直接得出模型在 各种参数下的解。
适用范围
适用于模型简单、参数较少的情况， 但可能不适用于复杂模型。
数值解法
迭代计算
01
通过迭代的方式逐步逼近模型的解。
精度控制
02
可以控制计算的精度，以适应不同的需求。
适用范围
模型定义
稳定性模型食饵捕食者模型是 一种生态学数学模型，用于描 述捕食者和食饵之间的相互作 用关系。
该模型由两个微分方程组成， 分别描述了食饵和捕食者的种 群动态。
通过分析该模型的平衡点和稳 定性，可以了解种群数量的变 化规律和生态系统的稳定性。
模型背景
该模型是在20世纪20年代由 美国生态学家洛特卡和沃尔特 拉提出的，用于研究种群数量
捕食者种群的增长率可用以下方程表示
dP/dt = P*(aN/H - m)
模型参数解释
K
环境最大容纳量，表示在理想 环境下，食饵种群的最大数量 。
H
捕食者的半饱和常数，表示捕 食者达到最大捕食效率时所需 要的食物量。
r
食饵种群的内在增长率，表示 在没有环境限制的情况下，食 饵种群的增长速度。
a
捕食效率，表示单位时间内， 一个捕食者能够捕获的食饵数 量。
通过分析系统的数学模型 ，可以确定分岔的类型和 发生条件。
05
稳定性模型食饵捕食者模 型的改进与扩展
模型参数调整
调整捕食率
通过实验数据或观察，对捕食者 对食饵的捕食率进行更精确的估 计和调整，以提高模型的预测精 度。
调整死亡率
根据环境和物种特性，调整食饵 和捕食者的死亡率，使模型更符 合实际情况。
具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型
第61卷 第3期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .32023年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022285具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型王 灵 芝(陕西师范大学数学与统计学院,西安710119)摘要:考虑一类具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型.先利用特征方程和L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理,证明当R (τ)ɤ1时边界平衡点的全局渐近稳定性;再利用时滞微分方程H o pf 分支理论,讨论当R (τ)>1时共存平衡点的稳定性和全局H o pf 分支的存在性,得到了恐惧效应与时滞会影响系统稳定性的结果;最后通过数值模拟验证理论结果的正确性.关键词:恐惧效应;时滞;L y a p u n o v -L a S a l l e 不变性原理;H o p f 分支中图分类号:O 175 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)03-0449-10D e l a y e dP r e d a t o r -P r e y Mo d e l w i t hF e a rE f f e c t WA N GL i n gz h i (S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,S h a a n x iN o r m a lU n i v e r s i t y ,X i a n 710119,C h i n a )A b s t r a c t :T h e a u t h o r c o n s i d e r e dac l a s so f d e l a y e d p r e d a t o r -p r e y m o d e lw i t hf e a r e f f e c t .F i r s t l y ,b y u s i n g t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n d L y a p u n o v -L a S a l l ei n v a r i a n c e p r i n c i p l e ,t h e g l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h eb o u n d a r y e q u i l i b r i u m w a s p r o v e d w h e n R (τ)ɤ1.S e c o n d l y ,b y u s i n g t h e H o pf b i f u r c a t i o n t h e o r y o f d e l a y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ,t h ea u t h o rd i s c u s s e d t h e s t a b i l i t y of t h e c o e x i s t e n c e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d t h ee x i s t e n c eo f t h eg l o b a lH o pfb i f u r c a t i o nw h e n R (τ)>1,a n do b t a i n e dt h e r e s u l t s t h a t f e a r e f f e c t a n dd e l a y a f f e c t e d t h es t a b i l i t y o f t h es y s t e m.F i n a l l y,t h ec o r r e c t n e s so f t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t sw a s v e r i f i e db y nu m e r i c a l s i m u l a t i o n s .K e y w o r d s :f e a r e f f e c t ;d e l a y ;L y a p u n o v -L a S a l l e i n v a r i a n c e p r i n c i p l e ;H o p f b i f u r c a t i o n 收稿日期:2022-06-27.作者简介:王灵芝(1999 ),女,汉族,硕士研究生,从事生物数学时滞微分方程的研究,E -m a i l :w a n g l z 0114@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:11971285).0 引 言捕食者和食饵之间的相互作用是数学生态学和进化生物学的一个核心问题.研究表明,捕食者通过直接杀戮可对食饵的种群数量产生直接影响[1-4],但每个物种也会对感知到的捕食风险作出各种反捕食反应[5-11],包括栖息地㊁觅食㊁警惕性和生理的变化等.基于文献[11-12]的工作,本文考虑具有恐惧效应㊁种内竞争和捕食后生物量从食饵转化到捕食者的时间延迟以及在转化过程中捕食者的死亡率等因素的捕食者-食饵模型:̇u (t )=r f (k ,v )u (t )-d u (t )-a u 2(t )-g (u )v (t ),̇v (t )=βe -s τg (u (t -τ))v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t ),(1)其中:u (t )和v (t )分别表示食饵和捕食者t 时刻的种群密度;r 为食饵的出生率;d 和μ分别为食饵和捕食者的自然死亡率;a 和α分别为食饵和捕食者因种内竞争而导致的死亡率;f (k ,v )为恐惧因子,表示由于恐惧而导致的反捕食行为成本,k 反映了驱动食饵反捕食行为的恐惧程度;β和τ分别为捕食Copyright ©博看网. All Rights Reserved.后生物量从食饵转化到捕食者的转化率和时间延迟;e-s τ为捕食者在生物量转化过程中的存活率;g (u )为功能反应函数,且∀u ȡ0,g (u )ɪC (ℝ),g (0)=0,gᶄ(u )>0.根据k 和f (k ,v )的生物学意义,本文做如下合理假设[10-11]:(H 1)f (0,v )=1,f (k ,0)=1,l i m k ңɕf (k ,v )=0,l i m v ңɕf (k ,v )=0,∂f (k ,v )∂k <0,∂f (k ,v )∂v<0.由文献[10]可知,当r <d 时,无论恐惧效应和捕食机制如何,食饵和捕食者都趋向于灭绝.因此,考虑到其实际生物意义,本文做如下假设:(H 2)r >d .1 适定性与可行平衡点当τ>0时,记C ʒ=([-τ,0],ℝ),其中C 为从[-τ,0]映射到ℝ的连续函数全体构成的B a n a c h 空间.对∀ϕɪC ,定义范数 ϕ =s u p -τɤθɤ0ϕ(θ).记C +ʒ=([-τ,0],ℝ+)为C 的非负锥.当t =0时,系统(1)的初始条件为ϕɪX ʒ=C +ˑC +.(2) 定理1 在初始条件(2)下,系统(1)的解具有非负性和最终有界性.即所有轨线最终进入并保持在如下有界不变区域中:Γ=(u ,v )ɪC +ˑC +: u ɤr -d a , v ɤβe -s τ(r -d )2a m i n {r -d ,μ{}}. 证明:由系统(1)的第一个方程得d u (t )d t=r f (k ,v )-d -a u -g (u )u æèçöø÷v u ,从而可得u (t )=u (0)e x pʏt0r f (k ,v (θ))-d -a u (θ)-g (u (θ))v (θ)u (θéëêêùûúú)d {}θȡ0.对于v 的非负性,可利用反证法.假设t 1>0是使得v (t )第一次为0的时刻,即v (t 1)=0.由系统(1)的第二个方程可知v ᶄ(t 1)=βe -s τg (u (t 1-τ))v (t 1-τ)>0,故存在ε>0,使得当t ɪ(t 1-ε,t 1)时,有v (t )<0.与当t ɪ[0,t 1)时,v (t )>0矛盾,故v (t )ȡ0.下证最终有界性.由系统(1)的第一个方程及条件(H 1)可知,u ᶄ(t )ɤr f (k ,v )u -d u -a u 2ɤ(r -d )u -a u 2,由比较原理得l i ms u pt ң+ɕu (t )ɤr -d a .将系统(1)的两个方程相加可得(βe -s τu (t )+v (t +τ))ᶄ=βe -s τ[rf (k ,v )u -d u -a u 2-g (u )v ]+βe -s τg (u )v -μv (t +τ)-αv 2(t +τ)=βe -s τu (rf (k ,v )-d -a u )-μv (t +τ)-αv 2(t +τ)ɤβe -s τr -d a (r -d -a u )-μv (t +τ)ɤβe -s τ(r -d )2a-βe -s τ(r -d )u -μv (t +τ)ɤβe -s τ(r -d )2a-δ(βe -s τu (t )+v (t +τ)),其中δ=m i n {r -d ,μ}.故l i ms u p t ң+ɕ(βe -s τu (t )+v (t +τ))ɤβe -s τ(r -d )2δa,从而l i ms u pt ң+ɕv (t )ɤβe -s τ(r -d )2δa.因此系统(1)的所有解最终进入并保持在Γ中.系统(1)的动力学行054 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.为将在有界可行域Γ内进行分析.显然,系统(1)总存在两个边界平衡点E 0=(0,0)和E b =r -d a ,æèçöø÷0.若存在共存平衡点E *=(u *,v *),则共存平衡点满足的方程为r f (k ,v )u -d u -a u 2-g (u )v =0,βe -s τg (u )-μ-αv =0{.(3)由式(3)的第二个方程得v *=βe -s τg (u *)-μα,因此v *>0当且仅当u *>g -1μβe s æèçöø÷τ,由文献[11]及条件(H 1)易知,当且仅当R (τ)ʒ=βe -s τg ((r -d )/a )μ>1即0ɤτ<τm a x ʒ=1s l n βg ((r -d )/a )æèçöø÷μ时,系统(1)存在共存平衡点E *=(u *,v *).2 边界平衡点的全局稳定性下面讨论边界平衡点E b =r -d a ,æèçöø÷0的稳定性.系统(1)在E b 处的特征方程为[λ+(r -d )]λ+μ-βe -s τg r -d æèçöø÷a e -éëêêùûúúλτ=0.(4) 定理2 1)若R (τ)ɤ1,则E b 是局部渐近稳定的,进一步,E b 在Γ\{u =0}内是全局渐近稳定的;2)若R (τ)>1,则E b 是不稳定的.证明:1)显然特征方程(4)有一个特征根λ1=-(r -d )<0,其他根由方程λ+μ-βe -s τg r -d æèçöø÷a e -λτ=0(5)决定,由文献[13]中引理6可知,当βe -s τg r -d æèçöø÷a <μ,即R (τ)<1时,式(5)的所有特征根均具有严格负实部,则E b 局部渐近稳定.对于临界情形βe -s τg r -d æèçöø÷a =μ,即当R (τ)=1时,0是式(5)唯一的实特征根,其余根均具有严格负实部.进一步,利用规范型理论[14]可得时滞微分方程(1)限制在中心流形上的规范型为η1+τβe -s τg r -d æèçöø÷éëêêùûúúa ̇z =-ηβe -s τg ᶄr -d æèçöø÷a +αηéëêêùûúú2z 2+O (z 3),其中η=r -d gr -d æèçöø÷a -r (r -d )a ∂f (k ,v )∂v v =0>0.由条件(2)有z (0)ȡ0,故系统(1)的边界平衡点E b 局部渐近稳定.若R (τ)ɤ1,则有ρʒ=βe -s τg r -d æèçöø÷a ɤμ,因此由系统(1)的第二个方程得v ᶄ(t )=βe -s τg (u (t -τ))v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t )ɤβe -s τg r -d æèçöø÷a v (t -τ)-μv (t )=ρv (t -τ)-μv (t ). 考虑L y a p u n o v 泛函[12]:F (v (t ))=12v 2(t )+ρ2ʏtt -τv 2(θ)d θ,计算其沿系统(1)的导数为F ᶄ(1)=v (t )v ᶄ(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]ɤρv (t )v (t -τ)-μv 2(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]ɤρ2[v 2(t )+v 2(t -τ)]-μv 2(t )+ρ2[v 2(t )-v 2(t -τ)]=(ρ-μ)v 2(t )ɤ0,当且仅当u (t )=r -d a,v (t )=0时等号成立,则F ᶄ=0的最大不变集为单点集{E b }.由于当u =0时,154 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.系统(1)的解趋向于E 0,因此由L a S a l l e s 不变原理[15]知,E b =r -d a ,æèçöø÷0在Γ\{u =0}内全局吸引,又E b 是局部渐近稳定的,从而E b 在Γ\{u =0}内全局渐近稳定.2)若R (τ)>1,则由文献[13]中引理6可知式(5)存在一个正实部特征根,从而E b 是不稳定的.3 共存平衡点的稳定性与局部H o pf 分支基于文献[11-12],选取线性功能反应函数g (u )=c u 以及恐惧因子f (k ,v )=11+k v,则系统(1)可写为如下时滞微分方程:̇u (t )=r u (t )1+k v (t )-d u (t )-a u 2(t )-c u (t )v (t ),̇v (t )=βe -s τc u (t -τ)v (t -τ)-μv (t )-αv 2(t ).(6) 下面讨论当R (τ)>1时系统(6)共存平衡点E *=(u *,v *)的稳定性.共存平衡点E *满足的方程为r1+k v-d -au -c v =0,(7)βe -s τc u -μ-αv =0.(8)由式(8)得u *=αv *+μc βe s τ,代入式(7)可知v *满足如下一元二次方程:a 2v 2+a 1v +a 0=0,(9)其中a 2=k (a αe s τ+c 2β)>0, a 1=a e s τ(α+μk )+c β(d k +c )>0, a 0=a μe s τ+c β(d -r )<0.故式(9)仅有唯一的正根v *=-a 1+Δ2a 2,其中Δ=a 21-4a 2a 0>0.从而系统(6)存在唯一的共存平衡点E *=(u *,v *).在共存平衡点E *处的特征方程为λ2+b 1λ+b 0+(c 1λ+c 0)e -λτ=0,(10)其中b 1=μ+2αv *+a u *>0, b 0=a u *(μ+2αv *)>0,c 1=-(μ+αv *)<0, c 0=(αv *+μ)2c v *+d -r (1+k v *)éëêêùûúú2.由于b 0+c 0=a αu *v *+c βe -s τu *v *r k (1+k v *)2+éëêêùûúúc >0,故0不是方程(10)的特征根.当τ=0时,系统(6)变为如下常微分方程:̇u (t )=r u (t )1+k v (t)-d u (t )-a u 2(t )-c u (t )v (t )췍P (u ,v ),̇v (t )=βc u (t )v (t )-μv (t )-αv 2(t )췍Q (u ,v ).(11) 定理3 当τ=0且R (0)>1时,共存平衡点E *=(u *,v *)在 Γʒ=Γ\{u =0或v =0}内全局渐近稳定.证明:当τ=0时,在共存平衡点E *处的特征方程(10)变为λ2+(b 1+c 1)λ+(b 0+c 0)=0,(12)其中b 1+c 1=a u *+αv *>0, b 0+c 0>0.由R o u t h -H u r w i t z 准则可知式(12)的根均具有严格负实部,即当τ=0时,E *=(u *,v *)是局部渐近稳定的.取D u l a c 函数[12]B (u ,v )=1u v,经计算可知对∀(u ,v )ɪ Γ,均有254 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.∂(P B )∂u +∂(Q B )∂v=-αu +a æèçöø÷v <0,从而由D u l a c -B e n d i x s o n 判别法可知,系统(6)不存在全部位于 Γ内的周期轨.进一步,当τ=0且R (0)>1时,E *是位于 Γ内的唯一平衡点.又共存平衡点E *是局部渐近稳定的,于是可知共存平衡点E *在 Γ内全局渐近稳定.下面考虑当τ>0时,特征方程(10)纯虚根的存在性.假设λ=i ω(ω>0)是方程(10)的一个根,将λ=i ω代入方程(10)并分离实部和虚部可得ω2-b 0=c 1ωs i n (ωτ)+c 0c o s (ωτ),(13)b 1ω=c 0s i n (ωτ)-c 1ωc o s (ωτ).(14)对方程(13)和(14)两端取平方再相加,可得G (ω,τ)=ω4+(b 21-2b 0-c 21)ω2+(b 0+c 0)(b 0-c 0)=0,(15)其中b 21-2b 0-c 21=(2μ+3αv *)αv *+a 2u *2>0, b 0+c 0>0,b 0-c 0=a u *(2μ+3αv *)-c βe -s τv *r k u *(1+k v *)2+c u éëêêùûúú*. 记J (τ)=b 0(τ)-c 0(τ), I -={τɪ(0,τm a x ):J (τ)<0}, I +={τɪ(0,τm a x ):J (τ)ȡ0}.若I -=Ø,则对∀τɪ(0,τm a x ),均有b 0ȡc 0,即式(15)不存在正根,因此对∀τɪ(0,τm a x )没有纯虚特征根穿过虚轴,且式(10)的根始终保持在虚轴左侧,故∀τɪ[0,τm a x ),共存平衡点E *是局部渐近稳定的.若I -ʂØ,则∃τ*ɪI -,使得b 0(τ*)<c 0(τ*),所以式(15)有唯一的正根ω(τ*)=-(b 21-2b 0-c 21)+(b 21-2b 0-c 21)2-4(b 20-c 20)2.(16)从而特征方程(10)存在纯虚特征根λ=i ω(τ*),且纯虚特征根需满足s i n (ω(τ)τ)=ω(τ)[c 1ω(τ)2+b 1c 0-b 0c 1]c 20+c 21ω(τ)2췍g 1(τ),c o s (ω(τ)τ)=(c 0-b 1c 1)ω(τ)2-b 0c 0c 20+c 21ω(τ)2췍g 2(τ).(17)记θ(τ)ɪ(0,2π]是满足s i n (θ)=g 1,c o s (θ)=g 2的唯一解.经计算可得ω(τ*)2ɤb 0-b 1c 0c 1,所以θ(τ)=a r c c o s (g 2(τ)).根据文献[16]中关于判断系数依赖时滞的超越方程发生稳定性开关的几何准则S n (τ)=τ-θ(τ)+2n πω(τ), τɪI -,n ɪℕ,(18)可知i ω*(τ*)是特征方程(10)的纯虚根当且仅当τ*为函数S n 的零解.由文献[16]有S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*=S i g n ∂G ∂ω(ω*(τ*),τ*æèçöø÷)S i g n (S ᶄn (τ*)),注意到∂G ∂ω(ω*(τ*),τ*)=4ω*(τ*)3+2(b 21-2b 0-c 21)ω*(τ*)>0,因此关于横截条件的结论如下:引理1 若∃τ*ɪI -满足S n (τ*)=0(n ɪℕ),则当τ=τ*时,式(10)具有一对共轭纯虚根λ(τ*)=ʃi ω*(τ*).进一步,若S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*>0,则在复平面上这对纯虚根随着τ的变化从左至右穿过虚轴;反之,若S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*<0,则其从右至左穿过虚轴,其中S i g n d R e λ(τ)d ττ=τæèçöø÷*=S i g n (S ᶄn (τ*)).354 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.由式(18)可知S n (0)<0,且对∀τɪI -,有S n (τ)>S n +1(τ),其中n ɪℕ.记^τ=s u p I -ʒ=s u p {τɪ(0,τm a x ):b 0<c 0},则有b 0(^τ)-c 0(^τ)=0,因此当τң^τ时,ω(τ)ң0.再结合式(17)可得l i m τң^τ-s i n (θ(τ))=0且l i m τң^τ-c o s (θ(τ))=-1,从而l i m τң^τ-θ(τ)=π,l i m τң^τ-S n (τ)=-ɕ.为简化,本文做如下假设:(H 3)s u p τɪ[0,^τ)S 0(τ)>0,且对n ɪℕ+,S n (τ)最多存在两个根(包括重数).假设(H 3)可保证存在一个K ɪℕ+,使得当0ɤi ɤK -1(i ɪℕ)时每个S i (τ)存在两个单根,记为τi 和τ2K -i -1,且当i ȡK 时,S i (τ)没有零点,则对于所有的n ɪℕ,S n (τ)只有2K 个简单的零点τi ,且0<τ0<τ1< <τ2K -1<^τ.进一步,引理1表明,对于每个0ɤi ɤK -1(i ɪℕ),有S ᶄi (τi )>0,S ᶄi (τ2K -i -1)<0.从而一对纯虚特征根ʃi w (τi )从左至右穿过虚轴,另一对纯虚特征根ʃi ω(τ2K -i -1)从右至左穿过虚轴.因此当τ=τj (0ɤj ɤ2K -1,j ɪℕ)时,系统(6)在E *处经历了H o p f 分支.进一步,当τɪ[0,τ0)ɣ(τ2K -1,^τ)时E *是局部渐近稳定的,当τɪ(τ0,τ2K -1)时E *是不稳定的.记T j 为在τj 处分支出周期解的周期,对于0ɤi ɤK -1(i ɪℕ),有T i =2πω(τi )=2πτi θ(τi )+2i π, T 2K -i -1=2πω(τ2K -i -1)=2πτ2K -i -1θ(τ2K -i -1)+2i π,考虑到θɪ(0,2π],可得T 0>τ0,T 2K -1>τ2K -1,τn n +1ɤT n <τn n ,τ2K -n -1n +1ɤT 2K -n -1<τ2K -n -1n,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.因此,利用时滞微分方程H o p f 分支理论[15],可得如下关于E *的稳定性和局部H o pf 分支的存在性结论.定理4 对于系统(6),如果R (τ)>1且I -ʂØ,则下列结论成立:1)如果s u p τɪ[0,^τ)S 0(τ)ɤ0,则∀τɪ[0,τm a x ),共存平衡点E *是局部渐近稳定的;2)如果假设(H 3)成立,则存在2K 个局部H o p f 分支点,即0<τ0<τ1< <τ2K -1<^τ,使得当τ=τj (0ɤj ɤ2K -1)时,系统(6)在E *处经历H o p f 分支;当τɪ[0,τ0)ɣ(τ2K -1,τm a x )时,E *是局部渐近稳定的;当τɪ(τ0,τ2K -1)时,E *是不稳定的.进一步,在τn 处分支出周期解的周期T n 满足T 0>τ0,T 2K -1>τ2K -1,T n ɪτn n +1,τn æèçöø÷n ,T 2K -n -1ɪτ2K -n -1n +1,τ2K -n -1æèçöø÷n ,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.4 全局H o pf 分支下面利用W u [17]提出的全局H o p f 分支定理讨论系统(6)的全局H o pf 分支.令x (t )=(u (τt ),v (τt ))T,则系统(6)可写成如下泛函微分方程:x ᶄ(t )=F (x t ,τ,T ), (t ,τ,T )ɪℝ+ˑ[0,^τ)ˑℝ+,(19)其中x t (θ)=x (t +θ),θɪ[-1,0],且x t ɪX ʒ=C ([-1,0],ℝ2+),F (x t ,τ,T )=τr x 1t (0)1+k x 2t (0)-τd x 1t (0)-τa x 21t (0)-τc x 1t (0)x 2t (0)τc βe -s τx 1t (-1)x 2t (-1)-τμx 2t (0)-ταx 22t (0æèçççöø÷÷÷),(20)x t =(x 1t ,x 2t )ɪX .将F 限制在X 常值映射的子空间ℝ2+上,可得췍F (x ,τ,T )ʒ=F ℝ2+ˑ[0,^τ)ˑℝ=τrx 11+k x 2-τd x 1-τa x 21-τc x 1x 2τc βe -s τx 1x 2-τμx 2-ταx æèçççöø÷÷÷22,显然췍F 二阶连续可微,即文献[17]中条件(A 1)成立.设系统(19)的驻解集合为E (F )={( x , τ,췍T )ɪℝ2+ˑ[0,^τ)ˑℝ+:췍F ( x , τ,췍T )=0},则E (F )中任意一个驻解( x , τ,췍T)的特征方程为Δ(췍x ,τ,T )(λ)=λI d -D F ( x ,τ,T )(e -λI d ).(21)454 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.当R (τ)>1时,0不是系统(19)任何驻解的特征值,故文献[17]中条件(A 2)成立.由式(20)知文献[17]中光滑性条件(A 3)成立.由上述讨论可知,∀j ɪ[0,2K -1],驻解为(E *,τj ,2π/(ωj τj )),其中j ɪℕ是系统(19)的孤立中心[17],ωj =ω(τj )是G (ω,τ)=0的唯一正根,如式(16)所示,且只有一对形式为i m (2π/췍T )的纯虚特征根,其中m =1,췍T =2π/(ωj τj ).由引理1可得每个中心处的横截数[17]为γ1E *,τj ,2πωj τæèçöø÷j =-S i g n (R e λᶄ(τj))=-S i g n (S ᶄj (τj ))=-1,0ɤj ɤK -1,-S i g n (S ᶄ2K -j -1(τj ))=1,K ɤj ɤ2K -1{.(22)故文献[17]中条件(A 4)成立.定义一个紧子集Σ(F )⊂X ˑ[0,^τ)ˑℝ+为Σ(F )=C l {(x ,τ,T )ɪX ˑ[0,^τ)ˑℝ+:x 是方程(19)的非平凡T -周期解}.记C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))⊂Σ(F )是过(E *,τj ,2π/(ωj τj ))的连通分支,其中j ɪ[0,2K -1],j ɪℕ.由局部H o p f 分支定理4可知,C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))是Σ(F )的非空子集.为进一步给出存在周期解的τ区间,需证明系统(19)的一些性质.引理2 系统(19)的所有非平凡非负周期解x (t )一致有界.即对∀t ȡ0,有0<x (t )ɤM ,其中M =m a x r -d a ,βe -s τ(r -d )2a m i n {r -d ,μ{}}.(23) 证明:系统(19)是由系统(6)经无量纲变化所得,因此系统(19)的所有非平凡非负周期解x (t)等价于系统(6)的非平凡非负周期解u (t ),v (t ).下证系统(6)的非平凡非负周期解u (t ),v (t ),对∀t ȡ0有0<u (t ),v (t )ɤM ,其中M 如式(23)所示.因为u (t )是非平凡非负的周期解,故存在t 0>0,使得u (t 0)>0.对u ᶄ(t )积分可得u (t )=u (t 0)e x p ʏt t 0r 1+k v (ξ)-d -a u (ξ)-c v (ξéëêêùûúú)d {}ξ>0, t >t 0,则∀t >t 0,u (t )>0.又因为u (t )具有周期性,故∀t >0,u (t )>0.再由u (t ),v (t )是非平凡非负的周期解,可得̇v =βe -s τc u (t -τ)v (t -τ)-μv -αv 2ȡ-μv -αv 2,并存在t 1>0,使得v (t 1)>0.考虑初值问题̇y =-μy -αy 2,y (t 1)=v (t 1{),(24)问题(24)的解为y (t )=1y -1(t 1)e μ(t -t 1)+ʏtt 1αeμ(t -θ)d θ>0,由比较原理知当t >t 1时,v (t )ȡy (t )>0,又因为v (t )具有周期性,故∀t >0,v (t )>0.由定理1得l i ms u p t ңɕu (t )ɤM .断言∀t ȡ0,有u (t )ɤM .否则,存在t 1>0,使得u (t 1)>M ,则l i m n ңɕu (t 1+n T )=u (t 1)>M ,其中T 是周期解的周期,与u (t )最终有界矛盾,因此M 为u (t )的一致上界.同理,M 为v (t)的一致上界.引理3 系统(19)不存在周期为1的非平凡周期解.证明:反证法.设x (t )是系统(19)周期为1的非平凡周期解,则(u (t ),v (t ))为系统(6)周期为τ的非平凡周期解,故u (t -τ)=u (t ),v (t -τ)=v (t ),因此(u (t ),v (t ))也为常微分方程(11)的周期解,但由定理3知系统(11)不存在周期解,矛盾.从而系统(19)不存在周期为1的非平凡周期解.定理5 对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),关于系统(19)下列结论成立:1)所有的连通分支C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))是有界的;2)两个全局H o p f 分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))和C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1))相连,连接一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1.进一步,对于每个τɪ(τn ,τ2K -n -1),系统(19)至少存在一个周期属于554 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.(1/(n +1),1/n )的周期解,其中1ɤn ɤK -1,n ɪℕ+.证明:根据引理2可知C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在X 上的投影有界.又因为系统(19)不存在周期为1的周期解,故对∀m ɪℕ+,系统(19)不存在周期为1/m 或1/(m +1)的周期解.由定理4可知,对∀n ɪ[1,K -1],n ɪℕ+,在连通分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))(r e s p .C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1)))上周期解的周期T n 满足1n +1<T n <1n r e s p .1n +1<T 2K -n -1<1æèçöø÷n .故对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在T -空间上的投影有界.又因为τɪ[0,^τ)为有界区间,所以对∀j ɪ[1,2K -2](j ɪℕ+),C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))在X ˑ[0,^τ)ˑℝ+上有界.易知当R (τ)>1时,对任意的τ和周期T ,驻解(E 0,τ,T )和(E b ,τ,T )都不是中心,所以不需要考虑两个边界平衡点.记E 1(F )={(E *,τ,T );(τ,T )ɪ[0,^τ)ˑℝ+},则由文献[17]中的全局H o p f 分支定理可知E ʒ=C (E *,τj ,2π/(ωj τj ))ɘE 1(F )是有限的,且ð(췍x ,τ,T )ɪEγ1(x ,τ,T )=0.(25)由式(25)和式(22)知,任何全局H o p f 分支必须包含至少两个H o p f 分支值τn (1ɤn ɤK -1)和τ2K -r -1(1ɤr ɤK -1).断言每个全局H o p f 分支精确地连接一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1(1ɤn ɤK -1).否则,存在一个全局H o p f 分支连接τn 和τ2K -r -1(n ʂr ).在连通分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))中,周期T n ɪ1n +1,1æèçöø÷n ;在另一个分支C (E *,τ2K -r -1,2π/(ω2K -r -1τ2K -r -1))中,周期T 2K -r -1ɪ1r +1,1æèçöø÷r .如果这两个分支相连,则相连时的周期应相同,但注意到n ʂr ,1n +1,1æèçöø÷n ɘ1r +1,1æèçöø÷r =Ø,所以两者周期范围的分离排除了连接的可能性.因此对任意的正整数1ɤn ɤK -1,H o pf 分支C (E *,τn ,2π/(ωn τn ))(r e s p .C (E *,τ2K -n -1,2π/(ω2K -n -1τ2K -n -1)))连接了一对H o p f 分支值τn 和τ2K -n -1.图1 函数S 0,S 1,S 2在区间[0,^τ)上的图像(A )和系统(19)所有的全局H o pf 分支(B )及其周期解的周期(C )F ig .1 I m a g e s o f f u n c t i o n s S 0,S 1,S 2o n [0,^τ)(A ),a l l g l o b a lH o pf b i f u r c a t i o n s o f s ys t e m (19)(B )a n d p e r i o d s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s (C )5 数值模拟下面利用MA T L A B 软件和D D E -B I F T O O L 工具包进行数值模拟,演示在可行区间τɪ[0,^τ)上全局H o p f 分支的理论结果.基于文献[11-12]的数值模拟,选择如下一组参数:r =3,k =0.3,d =0.03,a =0.01,c =0.8,β=0.5,s =0.21,μ=0.08,α=0.2.直接计算可得^τʈ20.1719<τm a x ʈ34.778.因此存在唯一的共存平衡点E *.S n (τ)在[0,^τ)上的图像如图1(A )所示,根据定理4知,存在4个(K =2)局部H o p f 分支值:0<τ0ʈ0.3956<τ1ʈ6.8935<τ2ʈ19.2090<τ3ʈ20.0799<^τʈ20.1719.相应地,有ω0ʈ0.9992>ω1ʈ0.9753>ω2ʈ0.4179>ω3ʈ0.1328.当分支参数τ在更大范围内变化时,全局H o p f 分支由局部H o p f 分支从H o pf 分支值延拓而得.图1(B )为两个全局H o p f 分支C (E *,τk ,2π/(ωk τk ))(0ɤk ɤ1),且每个全局H o p f 分支连接了一对H o p f 分支值.图1(C )为全局H o p f 分支中周期解的周期.由图1(C )可知,∀τɪ(τ1,τ2),系统(19)至654 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.少在全局H o p f 分支C (E *,τ1,2π/(ω1τ1))上存在一个周期为T 1ɪ(τ/2,τ)的周期解,因此与定理5结论相符.图2(A )为两个全局H o p f 分支上周期解F l o qu e t 乘子的最大模,以反映周期解的稳定性.由图2(A )可见,第一支全局H o p f 分支C (E *,τ0,2π/(ω0τ0))上的周期解随着τ的增加呈现 稳定-不稳定-稳定 的状态变化,第二支全局H o p f 分支C (E *,τ1,2π/(ω1τ1))上的周期解均为不稳定状态.图2(B )为以τ为分支参数的分支图,进一步验证了定理4以及图2(A )中周期解的性质.当τɪ[0,τ0)ɣ(τ3,τm a x )时,唯一的共存平衡点E *是局部渐近稳定的;当τɪ(τ0,τ3)时,E *是不稳定的,并产生H o p f 分支,且H o p f 分支上的周期解从稳定状态转入混沌状态又恢复稳定状态.此外,当τ>τm a x ʈ34.778时,系统(19)不存在共存平衡点,此时边界平衡点E b 全局渐近稳定.图2 H o p f 分支上周期解F l o qu e t 乘子的最大模(A )及以τ为分支参数的分支图(B )F i g .2 M a x i m u m m o d u l u s o f F l o q u e tm u l t i p l i e r s o f p e r i o d i c s o l u t i o n s o nH o pf b i f u r c a t i o n s (A )a n db i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h τa s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r (B )为分析恐惧程度k 和时滞τ对系统(19)的综合影响,基于文献[10-11]的数值模拟选择如下一组参数:r =0.6,d =0.05,a =0.05,c =0.4,β=0.5,s =0.16,μ=0.08,α=0.05.利用D D E -B I F T O O L 工具包绘制双参数H o pf 分支,如图3(A )所示.由图3(A )可见,在区域S 中共存平衡点E *局部渐近稳定,在区域U 中共存平衡点不稳定,且在E *附近发生H o p f 分支,存在周期解.由图3(A )可知:当时滞τ较小(τɪ[0,τ4))或较大(τɪ(τ7,τm a x ))时,恐惧程度k 对系统(19)的稳定性无影响,当时滞τɪ(τ4,τ7)时,系统(19)的稳定性将受食饵对捕食者恐惧的影响,当捕食者引起的恐惧处于低水平时,E *不稳定,产生H o pf 分支,当捕食者引起的恐惧处于高水平时,E *为稳定状态.图3(B )为在选取τ=2.3ɪ(τ5,τ6)时,k 作为分支参数的分支图.由图3(B )可见:当k 较小时,E *不稳定,在其附近产生稳定的周期解;当k 较大时,E *又恢复稳定状态.对这种现象的合理生物学解释[18]是:当食饵非常害怕捕食者时,它们会减少觅食活动并适应不同的防御机制以避免被捕食.恐惧效应可极大地帮助捕食者物种增加其生物量,因此,从长远来看,还有助于捕食者物种的持久性并提高整个系统的稳定性.图3 以k ,τ为分支参数的双参数H o pf 分支图(A )及当τ=2.3ɪ(τ5,τ6)时k 作为分支参数的分支图(B )F ig .3 T w o p a r a m e t e r sH o p f b i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h k a n d τa s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e r s (A )a n db i f u r c a t i o nd i a gr a m w i t h k a s b i f u r c a t i o n p a r a m e t e rw h e n τ=2.3ɪ(τ5,τ6)(B )754 第3期 王灵芝:具有恐惧效应的时滞捕食者-食饵模型 Copyright ©博看网. 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数学建模实验三 Lorenz模型与食饵模型
数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型一、实验目的1、学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析；2、学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。
二、实验材料问题图是著名的洛仑兹混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。
洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT ）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。
以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环 ；4)极限环面。
除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。
事实上这种想法是非常错误的。
1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。
而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。
例如，数据加密中。
我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢图 洛仑兹混沌吸引子假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x 为兔子数量,y 表狐狸数量。
假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。
如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。
狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为。
而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为。
建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。
预备知识1、求解常微分方程的Euler 折线法求初值问题⎩⎨⎧=='00)(),,(y x y y x f y （） 在区间],[0n x x 上的数值解，并在区间插入了结点)()(110n n x x x x <<<<-Λ。
微积分方法建模11食饵—捕食者系统--数学建模案例分析
§11 食饵—捕食者系统一个包含两个群体的系统，其中一个群体紧密地依赖于另一个群体。
例如：害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等。
称为一个食饵—捕食者系统。
设()t x —t 时刻食饵数量 ()t y —t 时刻捕食者数量如果各自独立生活，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y dtdy xdt dx μλ ()0,>μλ 现在两者生活在一起，则有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--=-=)2()1(0,βαβμαλy x dt dy xy dt dx 称为Volterra —Lotka 方程，初始条件()00x x =，()00y y =，()()21÷得到 ()()xy y x dx dy αλμβ--= 得通解c x y x y ln ln ln =++--μλβα 或 c ex e y x y =⋅βμαλ 以初始条件代入，可得到特解，它是xoy 平面上的一条闭轨线，见下图。
当食饵较多时，捕食者增多因而食饵必定减少，使得捕食者也随之减少，从而食饵又会增多。
两者的数量如此起伏，周而复始，维持着生态平衡。
现在来考虑一个有趣的问题，例如食饵和捕食者由于别的因素（如狩猎或火灾）同时按比例消亡。
一旦这种因素作用停止，谁恢复得较快？我们用方程组（1）、（2）来回答这个问题。
当()t x 和()t y 都减小时，乘积项xy 也减小（例如，x 和y 减半,x λ和y μ都减半，xy α和xy β却减为1/4）。
乘积项对捕食者是生长项，而对食饵来说是消亡项，xy 的减小使捕食者受到较大的损失，所以这场悲剧过后，食饵恢复较快，称为Volterra 原理。
这个原理已在许多方面得到证实：如杀虫剂的使用、临床医学中用化疗抑制癌细胞生长等。
食饵捕食者模型
食饵捕食者模型Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。
自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。
二者共同组成食饵—捕食者系统。
一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。
食饵捕食者模型
摘要
自然界中不同种群之间存在着一种有趣的既有依存，又有制约的生存方式： 种群甲靠丰富的自然资源生长，而种群乙靠捕食种群甲为生。生态学上称种群甲 为食饵 (Pr ey ) ，种群乙为捕食者 (Pr edator ) ，二者共处组成食饵——捕食者系统 （简称 P P 系统） 。为了对食饵、捕食者的数量关系做出分析和预测，建立了食 饵——捕食者模型：根据微分方程稳定性理论辅之以相轨线分析，对具有自身阻 滞作用的两种群的数量关系做出分析和预测。
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(t ) rx(1 x
其中因子 (1 用，
x ) N
x ) 反映由于甲对有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作 N
x 可解释为相对于 N 而言单位数量的甲消耗别的供养甲的食物量（设食物 N 总量为 1） 。 当两个种群在同一自然环境中生存时， 考察由于乙消耗同一种有限资源对甲 x 的增长产生的影响，可以合理的在因子 (1 ) 中再减去一项，该项与种群乙的 N
MATLAB 代码为： function xdot=shier(t,x) r=1;d=0.5;a=0.2;b=0.01;n=0.01;m=0.1; xdot=[(r-n*x(1)-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)-m*x(2)).*x(2)]; >> clear; >> ts=0:0.1:25; >> x0=[25,2]; >> [t,x]=ode45('shier',ts,x0); >> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause, >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,
一具有外源和内部感染的捕食-食饵模型的定性分析
基金项 目：国家 自 然科学基金（０７ １４； １９ １２） 教育部高等学校博士点基金（０８ ７８ ０４ ２Ｏ０ １００ ）
通讯作 者： ｉｎ ｕ ｗ￣ｓ ｎ ．ｄ ．ｎ ｊ ｈａ ａ ｎ ｕｅ ｕｃ
４４ ２
高 校 应 用 数 学 学 报
第２卷第４ ６ 期
Ｈ ｌ， Ｕ
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性，并给 出了数值模拟 ．然而现实世界 中， 种群 的空 间分布 是不均匀 的，鉴于 问题 的实际背景， 并考虑 到种群扩散的影响， 在齐次Ｎ ｕ ｎ 边界条件 下， ｅ ｍａ ｎ 系统ｆ） 为 ２变
ｆ％ 一 ｉｕ＝ １ 一 １一 ＋ ２ ｌ 而 ｌ Ｇ（） Ｅ ｔ ０ ｄ ｌ （ Ｕ） （ ） —ＵＵ ＝ Ｉ ， ，＞ ， Ａ １ 乱 ３ Ｕ ３ Ｕ
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解 ＝（１面， ） 面，２ 是局部渐近稳定的．
证 令Ｇ ＝（ （ ）Ｇ （ ， ３ ） ２可记为面 （ ） Ｇ１ ， ２ ｕ ）Ｇ （ ， ） ） 则（ ｄ Ｕ＝Ｇ￡ ． （） 令 厂
Ｉ ｌ ２ ｎ３ ｌ ／０１ １。 １ 、 ｎ
Ｇ （ ｌ ａ １ ａ２ ａ ３ Ｉ ｕ ） Ｉ ２ ２ ２ Ｊ
§ 引 言 １
生 物种群 由于各种 因素，易于遭受病 毒感染．近些年 来，一些具有传 染病的生物个体 出现
在捕 食一 食饵模 型之 中，受到许 多学者 的广泛关注 【６ １】 － ，这些 模型大都局 限于种群 内部 的疾病传 染． 然而许多生物种群 中的传染病不仅来 自种群间的相互接触 ， 而且还直接来源于外部环境． 本
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数学建模实验三 Lorenz 模型与食饵模型一、实验目的1、学习用Mathematica 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析；2、学习用MATLAB 求常微分方程的解析解和数值解，并进行定性分析。
二、实验材料2.1问题图3.3.1是著名的洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子，洛仑兹吸引子已成为混沌理论的徽标，好比行星轨道图代表着哥白尼、开普勒理论一样。
洛仑兹是学数学出身的，1948年起在美国麻省理工学院（MIT ）作动力气象学博士后工作，1963年他在《大气科学杂志》上发表的论文《确定性非周期流》是混沌研究史上光辉的著作。
以前科学家们不自觉地认为微分方程的解只有那么几类：1)发散轨道；2)不动点；3)极限环 ；4)极限环面。
除此以外，大概没有新的运动类型了，这是人们的一种主观猜测，谁也没有给出证明。
事实上这种想法是非常错误的。
1963年美国麻省理工学院气象科学家洛仑兹给出一个具体模型，就是著名的Lorenz 模型，清楚地展示了一种新型运动体制：混沌运动，轨道既不收敛到极限环上也不跑掉。
而今Lorenz 模型在科学与工程计算中经常运用的问题。
例如，数据加密中。
我们能否绘制出洛仑兹吸引子呢？图3.3.1 洛仑兹(E.N.Lorenz)混沌吸引子假设狐狸和兔子共同生活在同一个有限区域内，有足够多的食物供兔子享用，而狐狸仅以兔子为食物.x 为兔子数量,y 表狐狸数量。
假定在没有狐狸的情况下，兔子增长率为400％。
如果没有兔子，狐狸将被饿死，死亡率为90％。
狐狸与兔子相互作用的关系是，狐狸的存在使兔子受到威胁，且狐狸越多兔子增长受到阻碍越大，设增长的减小与狐狸总数成正比，比例系数为0.02。
而兔子的存在又为狐狸提供食物，设狐狸在单位时间的死亡率的减少与兔子的数量成正比，设比例系数为0.001。
建立数学模型，并说明这个简单的生态系统是如何变化的。
2.2预备知识1、求解常微分方程的Euler 折线法求初值问题⎩⎨⎧=='00)(),,(y x y y x f y （12.1）在区间],[0n x x 上的数值解，并在区间插入了结点)()(110n n x x x x <<<<-Λ。
由导数的定义h x fh x f x f h )()(lim )(0-+='→，即微商hx f h x f x f )()()(-+≈'。
（右端称为差商）从而可在每个结点上用差商来近似替代导数，将微分方程),(y x f y ='转化为代数方程组（此处的代数方程组常称为差分方程）))(,()()(k k k k x y x f hx y h x y =-+,1,,1,0-=n k Λ 加上初值条件则可确定一组解。
求解这一差分方程即可得到微分方程初值问题的数值解。
变形上述方程有))(,()()(k k k k x y x hf x y h x y +=+,1,,1,0-=n k Λ记h x x k k +=+1,k k y x y =)(，从而1)(+=+k k y h x y ，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+==++,),(,,)(1100k k k k k k y x hf y y h x x x y y 1,,1,0-=n k Λ这就是求解微分方程初值问题的欧拉(Euler)折线法。
之所以称为欧拉折线法是因为：就几何角度而言，所求得的近似解是初值问题精确解的折线逼近，而且此折线的起点是初值条件所对应的点。
2、微分方程的Mathematica 求解（1）求解命令有两个命令：DSolve[ ]与NDSolve 。
命令格式分别为DSolve[方程，y ，x]NDSolve ［方程，y ，｛x ，xl ，x2｝］。
其中方程必须为微分方程及相应初始条件，｛x ，xl ，x2｝说明要给出数值解的范围为区间［x1，x2］。
（2）使用的注意事项①方程中的函数应写成完整形式y[x],以表明y 是x 的函数；②方程应写成…==…的形式；③重复使用时，应随时清除要涉及变量的以前定义，方法是Clear[y]；④使用NDSolve 时，所加初始条件的个数应等于微分方程的阶数，同时方程中也不含其它参数，否则给不出正确结果。
（3）解的表示形式Mathematica 给出的微分方程的解是以纯函数（或数学中的算子）定义的形式给出的，例如：DSolve[y'[x]+ 3*y[x]==2x,y,x]的结果是3、微分方程的MATLAB 求解（1）求解析解命令dsolve ；（2）求数值解命令ODE 或 Simulink 。
2.3建立模型问题（1）的洛仑兹吸引子可以用下面的微分方程得到，著名的Lorenz 模型的状态方程可表示为⎪⎩⎪⎨⎧-+-=+-=+-=)()()()()()()()()()()()(322133223211t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x ρσσβ&&&若令，，，3/82810===βρσ 且初值为ε===)0(0)0()0(321x x x ，， 为一个小常数，假设1010-=ε。
求微分方程的数值解，并绘制出时间曲线与相空间曲线。
问题（2）是著名的食饵模型，数学模型为⎩⎨⎧+-='-='xy y y xy x x 001.09.002.04 2.4练习题1、求解微分方程22x xe xy y -=+'的通解。
求解的Mathematica 命令为：DSolve[y'[x]+2*x*y[x]== x*E^(-x^2),y,x] 或者DSolve[D[y[x],x]+2*x*y[x]== x*E^(-x^2),y,x]2、求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解。
应给出的命令为：DSolve[{x*y'[x]+ y[x]-E^x==0,y[1]==2E},y,x]3、求0cos 2)1(2=-+-x xy dxdy x 在初始条件1)0(=y 下的特解，并画出解的图形。
要求分别求解析解与数值解并作比较。
清除要涉及变量的命令为：Clear[x,y]求解析解的命令为：sc=DSolve[{(x^2-1)y'[x]+2x*y[x]-Cos[x]==0,y[0]==1},y,x]画解析解图像的命令为：y=y/.sc[[1]]g1=Plot[y[x],{x,0,1},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]注：也可将画图范围变为Plot[y[x],{x,0,4}]求数值解的命令为：sn=NDSolve[{(x^2-1)y'[x]+2x*y[x]-Cos[x]==0,y[0]==1}, y,{x,0,1}]画数值解图像的命令为：y=y/.sn[[1]]g2=Plot[y[x],{x,0,1}]比较解析解图像与数值解图像的命令为：Show[g1,g2]4、求微分方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=++03,5y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件1)0(=x ,0)0(=y 下的解，并画出解函数)(x y y =的图形。
求解微分方程组的命令为：Clear[x,y,t]xy=DSolve[{x'[t]+5*x[t]+y[t==E^t,y'[t]-x[t]-3*y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x,y},t]画解的相位图的命令为：y=y/.xy[[1]];x=x/.xy[[1]];ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,3},PlotRange->{{-10,2},{0,5}}]注：图中反应出y 随x 的变化关系。
三、实验准备认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示4.1实验步骤1、求解问题（2）中的食饵模型的微分方程组，并画出解的图形和相位图。
（1）以x=800，y=100为初始值，计算x（t）,y（t），当t [0，14]时的数据。
绘出解的图形，并分析捕食者和被捕食者的数量变化规律。
可以先用下面的命令求解析解：Clear[x,y,t]xy=DSolve[{x'[t]==4*x[t]-0.02*x[t]*y[t],y'[t]==-0.9*y[t]+0.001*x[t]*y[t],x[0]==800,y[0]==100},{x,y},t]注：可以发现不能求出解析解。
修改代码如下，可以求数值解：Clear[x,y,t]xy=NDSolve[{x'[t]==4*x[t]-0.02*x[t]*y[t],y'[t]==-0.9*y[t]+0.001*x[t]*y[t],x[0]==800,y[0]==100},{x,y},{t,0,14}]绘出解的图形：y=y/.xy[[1]];x=x/.xy[[1]];Plot[{x[t],y[t]},{t,0,14},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],RGBColor[1,0,0]}]图3.3.2 捕食者和被捕食者的数量变化（2）以x为横坐标，y为纵坐标绘制相位图。
根据图形分析被捕食者数量增加(减少)对捕食者数量的影响。
绘制相位图的命令：ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,0,14}]图3.3.3 相位图2、用MATLAB求解问题（1）中Lorenz 模型的微分方程。
（1）打开MATLAB的编辑器；（2）在编辑器中用下面的几个语句描述微分方程，并将其保存在lorenzeq.m的m文件中：f unction xdot = lorenzeq(t,x)xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];（3）新建命令文件：t_final=100; x0=[0;0;1e-10];[t,x]=ode45('lorenzeq',[0,t_final],x0);plot(t,x),figure; plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); axis([10 40 -20 20 -20 20]);绘制出时间曲线与相空间曲线，如下图所示。
图3.3.4时间曲线与相空间曲线4.2思考问题1、运用Mathematica求解Lorenz 模型的微分方程组，从而了解系统状态是如何变化的。
2、求解以下问题（广告的效用）：某公司生产一种耐用消费品，产品一上市，该公司即开始做广告，一段时期的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有购买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。