有效值、平均值和平均功率

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29第二十九讲有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算

I = 1 T
∫0
T
i 2 dt
设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数：可以分解为傅里叶级数：
i = I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )
k =1
∞
代入有效值公式，则得此电流的有效值为：代入有效值公式，则得此电流的有效值为：
1 I= T
∫
T
0
[ I 0 + ∑ I km cos( kω1t + φk )]2 dt
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，因为取电流的绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。绝对值相当于把负半周的值变为对应的正值。
对于同一非正弦周期电流，当用不同类型的仪表进行测对于同一非正弦周期电流，量时，会得到不同的结果。例如：量时，会得到不同的结果。例如：用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流用磁电系仪表（直流仪表）测量，的恒定分量；的恒定分量；用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；用电磁系仪表测得的结果为电流的有效值；用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，用全波整流仪表测量时，所得结果为电流的平均值，因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。因为这种仪表的偏转角与电流的平均值成正比。因此，在测量非正弦周期电流和电压时，要选择合适因此，在测量非正弦周期电流和电压时，的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。的仪表，并注意不同类型仪表读数表示的含义。
k = 1
ϕ
•
(1 )
= − 81 . 70
o
( 容性 )
o
I m ( 1 ) = 13 . 47 ∠ 81 . 70 P ( 1 ) = 272 . 33 W

§5-3 有效值、平均值、有功功率

第五章非正弦周期性电流电路§5-3 有效值、平均值、有功功率一、有效值根据周期函数有效值的定义，非正弦量有效值也是它的方均根值。

设非正弦周期电流的傅里叶级数的展开式为)sin()(10k K km t k I I t i ϕω++=∑∞=ΛΛ++++=+=∑∞=232221201220I I I I I I I k k 非正弦周期电流的有效值为非正弦周期电压的有效值ΛΛ++++=23222120U U U U U【例5-6】试求周期电压的有效值V t t u )25942sin(230)30314sin(220050οο-+++=解根据式（5-3）得到电压有效值为V U U U U 3.2083020050222232120=++=++=二、平均值除有效值外，对非正弦周期量还会用到平均值，在电工技术中，非正弦周期量的平均值等于它的绝对值在一个周期内的平均值，称为绝对平均值（也称为整流平均值）。

如电流为例，其平均值定义为dt t i T I T av ⎰=0)(1对周期量，还用波形因数来反映其波形的性质。

波形因数等于周期量的有效值与平均值的比值，即avf I IK =正弦量的有效值是平均值的1.11倍。

对于同一非正弦周期量，用不同的仪表进行测量时会得到不同的结果。

例如用磁电系仪表测量，其读数就是被测量的直流分量，这是因为磁电系仪表的偏转角与直流分量成正比；用电磁系仪表进行测量时，仪表的读数是被测量的有效值，这是因为这种仪表的偏转角与被测量的有效值的平方成正比；用全波整流磁电系仪表测量时，偏转角与整流平均值成正比，但其标尺是按正弦量的波形因数换算为有效值来刻度的。

因此，在测量非正弦周期电流或电压时，要注意选择合适的仪表，并注意各种不同类型仪表读数的含义。

【例5-7】分别用磁电系电压表、全波整流的整流系电压表、电磁系电压表测量一个全波整流电压，已知其最大值为50V ，试求各电压表的读数。

解从表5-1中查的全波整流电压的有效值和平均值为V U U m 5.352502===V U U m av 85.311002===ππ磁电系电压表读数为31.85V ，全波整流的整流系电压表V35.3511.185.31=⨯通过本例，进一步认识到用不同仪表测量同一非正弦量时，测量结果有所不同。

第十二章非正弦周期电流电路

由傅立叶级数演变出一种从时间域到频率域的变换——傅立叶变换，是信号分析与处理的极其重要的数学工具。通过傅立叶变换，可以将随时间变化的函数（信号）变换为幅值随频率变化的信号，可以方便地分析不同频率下信号的特点和贡献幅值大小。
前边已经讲到过一种变换——相量，是将正弦函数变换到复频域的相量的一种数学变换。再后边还要讲到拉普拉斯变换，也是一种数学上的变换，是专门解决动态电路问题的，拉普拉斯变换可以将一个高阶微分方程变换为一个代数方程，可以避免求解微分方程的困难。
4Em
3
频率为5ω1的5次谐波成分幅值为：
4Em
5
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§12-3有效值、平均值和平均功率
一、有效值
定义：非正弦周期电流 i(t)的有效值定义为： I 1 T i2 t dt
T0 如果将i(t)的傅立叶级数展开为如下表达式：
f t I0 I1m cost 1 I2m cos2t 2
代替原函数，但工程上只要达到要求的精度，取前若干项也就
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可以了。
2、傅氏级数另一种表达式：
将 an cos nt bn sin nt 合并（进行和差化积）可得：
f t fT t A0 A1m cost 1 A2m cos2t 2
bk

4kEm。所以可得：
f
t
4Em

sin 1t

1 3
s
in
31t

1 5
sin51t
若只取前3项，合成的波形如下图(a) ：
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若取到前5项，即取到9次谐波，合 Nhomakorabea的波形如下图(b)：

非正弦周期电流i的有效值

所以：u(t) 4Um (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sinkt )

3
5
k
(k为奇数）
例2 求出下图所示的锯齿波电流的傅里叶级数。
i 10
0 0.2 0.4
t(ms)
解：锯齿波电流的周期，角频率和最大值分别为：
T 0.2ms 0.0002s
奇函数（原点对称）
f t f t
奇函数的波形的特点：对称于坐标原点
i(t)
Im
T
T 2
2
t
0
在一个周期内的积分
为零
当 f t 是奇函数时，f t cos kt 也是一个奇函数，因而有：
1T
A0
f (t)dt 0
T0
2
AK
T
f (t)cos ktdt 0
2 2 3.14 rad s 31400rad s
T 0.0002 I m 10 A
查表6-1并计算得：（表6-1见教材）
i 53.18sin 31400t 1.59sin 62800t 1.06sin 94200t A
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§6.3 函数对称性与傅里叶级数的关系
1T
Iav T 0 i dt
非正弦周期电流在一周期内绝对值的平均值称为该电流
的平均值
磁电式仪表（直流仪表）可以测量
直流分量
用电磁式或电动式仪表测量
所得结果是
有效值
用全波整流
磁电式仪表测量所得
结果是电流的
平均值
平均功率：
i
u
无源二端网络

u U0 Umk sinkt uk k 1

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算

T /2
0
ak

2
2
0
iS (t ) cos kt d (t )
2I m 1 sin kt 0 0 k
11
bk

Im
1
2
0
iS (t ) sin ktd(t )
1 ( cos k t ) 0 k
若k为偶数，bk=0
2I m 若k为奇数， bk k
2
0
k p
17
2. 非正弦周期信号的有效值设 i (t ) I 0 则有效值:
1 T 2 I i dt 0 T 1 T 0
1 I T 0
T
I
k 1

km
cos( k1t k )
T
I 0 I km cosk1t k dt k 1
k 1
f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1
9

f (t ) A0 Akm cos( k1t k )
k 1

式中：A0——直流分量
Akm cos( k1t k ) ——k次谐波分量
振幅角频率初相位
一次谐波分量常称为基波分量，1为基波频率

2
2 2 I 2 I I cos k t I cos k t 0 0 km 1 k 1 k dt km k 1 k 1
18
1 T 2 2 I I 0 I km cos 2 k1t k 2 I km I jm cosk1t k cos j1t j dt T 0 k 1 k , j 1 k j

交流电的有效值和平均值定义和计算

交流电的有效值和平均值交流电流的有效值按电流的热效应来规定，定义为：因此，有效值也叫均方根值．有效值的意义是：在一个周期的时间内，交流电流通过电阻R产生的热量与稳恒电流通过同一个电阻产生的热量相等．或者说，就电流通过电阻产生的热量说，（变化）与（稳定）等效．类似地，交流电压、交流电动势的有效值定义为：不同波形的交流电，有效值与最大值的关系不同．对正弦交流电，，由定义得：=即正弦交流电的有效值等于最大值被除．对下图所示的方波说，由定义显然可得有效值与最大值相等．对下图所示的三角波和锯齿波说，由定义可得有效值等于最大值被除．．交流电在一个周期内的平均值为零，而技术上应用的交流电的平均值是指在一个周期内交流电的绝对值的平均值．也等于交流电在正半个周期内的平均值．即：= ，= ，=不同波形的交流电，平均值与最大值的关系不同．对正弦交流电，由定义得：= = = 0×637Im正弦交流电的有效值与平均值之比为：．对于方波：对于三角波、锯齿波，由定义得：=交流电的有效值与平均值是两个不同的概念，一般说，有效值比平均值大．实用上用得最多的交流电是正弦交流电．交流电的最大值、有效值、平均值中，有效值用得最多．这是因为我们在讨论交流电的平均功率时很自然地要引用有效值的概念．对正弦交流电，设：，则：= ==所以：==由此可见，从计算交流电的平均功率上看，交流电的有效值与稳恒电流的值相当．我们常用磁电式电表指针偏转的角度正比于通过偏转线框的电流强度．对单向脉动电流说，指针偏转角度正比于电流的平均值．在磁电式电表上加接整流二极管用来测量交流电流时，电表真正测量的是交流电流的平均值．因为有效值用得最多，几乎所有的交流电表的表盘都是按“有效值”来刻度的，这一点我们应该特别注意．电磁式电表指针偏转的角度正比于电流的平方，这是与磁电式电表不同的地方．。

第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱

k
)
其中:
A
0
：恒定分量 (直流分量)
：一次谐波。
A 1 m cos( t 1 )
也称为基波分量。
A km cos( k 1 t k )
k 2 ,3 , 4 ,
称为高次谐波（如2次谐波、3次谐波等等）。
二、频谱(图):
(1) 幅度频谱： (2) 相位频谱：
A km k 1

(sin t
1 3
sin 3 t )
f(t) A
O
t
O
t
f1 ( t )
f 1 (t) 4 A /
4A

sin t
f 3 ( t) A
f3 (t )
4A

(sin t
1 3
sin 3 t
1 5
sin 5 t )
O
t
O
t
f (t ) f3 (t )
电容对低频电流有抑制作用, 电感对低频电流起分流作用。
12-6
付里叶级数的指数形式
一、付里叶级数的指数形式：
付里叶级数的指数形式：
f (t )
其中：
ck 1 T

k

cke
jk 1 t

T
f (t )e
jk 1 t
dt
0
二、说明：
因为：且：
A km cos( k 1 t k ) 1 2 A km e
P

k 1
U k I k cos k Leabharlann pk ok
p
k o
k

有效值平均值和平均功率

1
T
4 102 dt =5A
T0
平均值为
I av
1 T
T
| i | dt
0
10*T/4
=
=2.5A
T
三、正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率任意一端口的瞬时功率（吸收）定义为
p ui
U 0
U km
k 1
cos(k1t
ku
)
I
0
k 1
I km
cos(k1t
k
)
式中u、i取关联方向。
2、平均功率的定义
使用时，直接删除本页！
u 10 20cos(30t 27) 30sin(60t 11) 40sin(120t 15)V i 2 3cos(30t 33) 4sin(90t 52) 5sin(120t 15)A
平均功率
× P = 10×2 + 20×3 + 30×4 +40×5
× P = 10×2 + 20×3cos60° + 30×4cos41°+ 40×5cos30 °
=2Im/π =0.637Im =0.898I
它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个值变为对应的正值。
i Im
Iav
O
ωt
3、不同的测量结果
对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表进行测量时，会有不同的结果。
用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将是电流的恒定分量；
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
此结论可推广用于其他非正弦周期量。
二、非正弦周期量的平均值

交流电的有效值和平均值定义及其计算

13.3 有效值、平均值和平均功率

§13. 3 有效值、平均值和平均功率
一、非正弦周期量的有效值
1、有效值的定义
1 T 2 I i dt T 0
2、有效值与各次谐波有效值之间的关系假设一非正弦周期电流 i 可以分解为傅里叶级数
i I 0 I km cos( k1t k )
k 1

则得电流的有效值为
例：计算有效值和平均值
i(A)
10
O T/4
T
T 4 0
t
解：有效值为
1 2 =5A I= 10 dt T
10*T/4 T =2.5A
平均值为 I0 =
三、非正弦周期电流电路的功率
1、瞬时功率任意一端口的瞬时功率（吸收）为
p ui U 0 U km cos( k1t ku ) k 1 I 0 I km cos( k1t k ) k 1

式中u、i取关联方向。
2、平均功率
P U 0 I 0 U1I1 cos 1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐波平均功率的代数和。
已知一端口的电压和电流，求电压和电流的有效值和一端口的平均功率。
1 T I I 0 I km cos( k1t k ) dt T 0 k 1

2
有效值与各次谐波有效值之间的关系Hale Waihona Puke I I I I I
2 0 2 1 2 2 2 3
非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。此结论可推广用于其他非正弦周期量。
i
+ u -

第6章非正弦周期信号电路

14
第 6 章非正弦周期信号电路
15
第 6 章非正弦周期信号电路
当k为奇数时，当k为偶数时，由此可得
16
第 6 章非正弦周期信号电路
例 6.2 求图6.4所示周期信号的傅立叶级数展开式。
17
第 6 章非正弦周期信号电路
图 6.4 例 6.2 图
18
第 6 章非正弦周期信号电路
第 6 章非正弦周期信号电路
第 6 章非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解 6.2 非正弦周期信号的频谱 6.3 非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率 6.4 非正弦周期电路的计算
1
第 6 章非正弦周期信号电路
6.1 非正弦周期信号及分解
6.1.1 非正弦周期信号工程实际中经常遇到非正弦周期信号，如电子示波器中
47
第 6 章非正弦周期信号电路
同理，电压平均值的表示式为 (6-10)
比较式(6-3)、(6- 6)、(6-9)可以看出，非正弦交流电路中的直流分量、有效值和平均值是三个不同的概念，应加以区分。
48
第 6 章非正弦周期信号电路
例6.6 已知半波整流电压的最大值为150 V，若分别用电磁式电压表、磁电式电压表和全波整流式电压表对其进行测量，求各电压表的读数。
28
第 6 章非正弦周期信号电路
画一个直角坐标，以谐波角频率kω为横坐标，在各谐波角频率所对应的点上，作出一条条垂直的线叫做谱线。如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅，这样画出的图形称为振幅频谱图，如图6.9所示。
29
第 6 章非正弦周期信号电路
图 6.9 振幅频谱图
30
第 6 章非正弦周期信号电路

第7章非正弦周期电流电路

第七章非正弦周期电流电路
7. 3 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期性电流电路的分析计算方法,主要是利用傅里叶级数将激励信号分解成恒定分量和不同频率的正弦量之和,然后分别计算恒定分量和各频率正弦量单独作用下电路的响应,最后利用线性电路的叠加原理,就可以得到电路的实际响应。这种分析电路的方法称谐波分析法。其分析电路的一般步骤如下: (1 )将给定的非正弦激励信号分解为傅里叶级数,并根据计算精度要求,取有限项高次谐波。
第七章非正弦周期电流电路Fra bibliotek对上例的正弦量
对于同一非正弦周期电流,当我们用不同类型的仪表进行测量时,往往会有不同的结果。如用磁电系仪表测量时,所得结果为电流的恒定分量;用电磁系或电动系仪表测量时,所得结果将是电流的有效值;用全波整流磁电系仪表测量时,所得结果将是电流的平均值,但标尺按正弦量的有效值与整流平值的关系换算成有效值刻度,只有在测量正弦量时读数为其实际有效值,而测量非正弦量时会有误差。
第七章非正弦周期电流电路
表 7.1 中,三角波、梯形波、锯形波都是奇谐波函数。交流发电机所产生的电压实际为非正弦周期性的电压(一般为平顶波),也属于奇谐波函数。可以证明,奇谐波函数的傅里叶展开式中只含有奇次谐波, 而不含直流分量和偶次谐波, 可表示为
第七章非正弦周期电流电路
函数对称于坐标原点或纵轴,除与函数自身有关外,与计时起点也有关。而函数对称于横轴,只与函数本身有关,与计时起点的选择无关。因此,对某些奇谐波函数,合理地选择计时起点,可使它又是奇函数或又是偶函数,从而使函数的分解得以简化。如表 7.1 中的三角波、矩形波、梯形波,它们本身是奇谐波函数,其傅里叶级数中只含奇次谐波,如表中选择的计时起点,则它们又是奇函数,不含余弦项,所以,这些函数的傅里叶级数中只含有奇次正弦项。

有效值和平均值的数学意义

平均值（Mean Value ）电压值为时间t 的函数V(t)的电压，在单位时间上的积分1()T avrg V V t dt T =∫ 方均根值（Root Mean Square Value ），即RMS 值电压值为时间t 的函数V(t)的电压，其平方值在单位时间上的积分再开方，即rms V =有效值（Effective Value ）一个正弦交流电压Vac 在电阻R 上产生的功率和一个直流电压Vdc 产生的功率相同时，我们将正弦交流电压Vac 的有效值记为Vdc 。

下面我们看看对于一个正弦交流电压，其以上各值有什么区别设正弦交流电压sin()ac m V V t ωϕ=+则电阻R 上t 时间内消耗功为222sin ()ac m V t V t t W R Rωϕ+⋅==则电阻上的功率为 2220011sin ()T T ac m V t V t t P dt dt T R T Rωϕ+⋅==∫∫ 变换公式得到22201sin ()T dc m V P V t t dt R R Tωϕ==+⋅⋅⋅∫再变换得到dc V =看看我们得到了什么，Vac 的方均根值，换句话说，对于正弦交流电，有效值等于方均根值继续计算22201sin ()T dc m V V t t dt T ωϕ=+⋅⋅∫，22sin ()m V t ωϕ+以πω为周期在一个周期内取积分得到212dc V =，0.7072dc m m V V ==。

再来计算平均值，Vac 的平均值为01sin()T acavrg m V V t dt T ωϕ=+∫，Vac 以2πω为周期在一个周期内取积分得到0acavrg V =也就是说，正弦电压的平均值为0。

如果把正弦电压进行全波整流，得到sin()acrec m V V t ωϕ=+整流后的平均值01sin()T acrecavrg m V V t dt T ωϕ=+∫，Vacrec 以πω为周期在一个周期内取积分得到 20.637acavrg m m V V π== 可见，对于正弦交流电，全波整流后的平均值不等于有效值再来看看全波整流后再经过完全滤波（滤掉除直流分量外的其他所有频率）的值先将sin()acrec m V V t ωϕ=+转换一下变成（这种变换对傅立叶展开无影响）sin()acrec m V V x =然后进行傅立叶展开得到01cos()acrec k n V a a kx ∞==+∑其中直流分量（频率为0的量）002sin()0.637m m m a V x V V πωωππ===∫ 可以看到，正弦交流电全波整流并完全滤波后得到的电压等于全波整流后的平均值为什么平均值会比有效值小呢？对于正弦电压而言，平均值的真实意义仅仅是全波整流后，频域上的直流分量，其他交流分量都被过滤掉了，因此损失了能量，在负载上表现出的功率就比有效值功率小，如果整流后不进行滤波，则在负载上会得到和有效值相同的功率，感兴趣的可以自己展开傅里叶级数计算损失的功率，然后换算成电压损失。

周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率

求该电路的平均功率、无功功率和视在功率。
解：平均功率为 P 10 3 20 6 cos(60) 60W
22
无功功率为 Q 20 6 sin(60) 52var
22
视在功率为
S UI
102
( 20 )2
8
2
32
(
6
)2
2
2
98.1VA
2 2
2 2
电工基础
的有效值；等效正弦量的频率为非正
S UI
U
2 0
U
2 k
I02
I
2 k
k 1
k 1
弦波的基波频率；电路的平均功率不变。由此可得
cos P P
UI S
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率
例7.3 已知某电路的电压、电流分别为
u(t) [10 20sint 8sin(3t 60)]V i(t) [3 6sin(t 60) 2sin 5t)]A
电工基础
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率
1.1 有效值
任何周期量(电流、电压或电动势)的有效值都等于它的方均根值。这一定义同样适用于周期性非正弦量。以周期电流为i(t) 例，其有效值为I
I 1 T i2 (t)dt T0
设周期性非正弦电流 i(t)分解为傅里叶级数为 i(t) I0 Ikm sin(kt k ) k 1 将 i(t) 代入有效值定义式，得
例试求周期电压
u(t) [100 282sint 141sin 3t] V的有效值。
解： u(t)的有效值为
U 100 2 282 2 141 2 244 .9 2 2
V
周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率

第10章非正弦周期电流电路

P0 P1 P2 ......
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
平均功率只取决于电阻，与电容和电感无关，又有
P I 2R I02R I12R I22R Ik2R
注意
1. 只有同频率的电压谐波和电流谐波才能构成平均功率。非同频率的平均功率为零。
10.3 有效值、平均值和平均功率
非正弦周期函数的有效值

若 i(t ) I0 Ikmcos(kω1t ψk )
则有效值:
k 1
I 1 T i2dt
T0
1 T
T

2
0
I0

Ikmcos kω1t
k 1
ψk
dt
I
I
2 0

1 2
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
非正弦周期函数的频谱
由于只要求得各谐波分量的振幅和初相，就可确定一个函数
的傅里叶级数。在电路中为了直观地表示，常用频谱图表示。频谱——描述各谐波分量振幅和相位随频率变化的图形称为
频谱图或频谱。
1. 幅度频谱：f(t)展开式中Akm与 (=k 1)的关系。反映了各频率成份
2. 电路中产生非正弦周期波的原因是什么？试举例说明。
3. 有人说：“只要电源是正弦的，电路中各部分的响应也一定是正弦波” ，这种说法对吗？为什么？
4. 试述谐波分析法的应用范围和应用步骤。
10.2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数
周期函数 f(t) = f(t+kT) (k = 1, 2, 3, …) 若满足狄里赫利条件
非正弦周期量 (激励)
不同频率正弦量的和

电工基础第八章非正弦周期电流电路

3.视在功率
非正弦电流电路的视在功率定义为电压和电流有效值的乘积，即
S UI U02 U12 ... Uk2 ... I02 I12 ... Ik2 ...
注意:视在功率不等于各次谐波视在功率之和。
第四节非正弦周期电流电路的分析
非正弦周期电路稳态电路的分析计算采用谐波分析法。其理论依据是线性电路的叠加定理。
交流量的平均值，也称绝对平均值或整流平均值。即
Irect

1 T
T
i dt
0Leabharlann 1T Urect T
u dt
0
第三节非正弦周期电流电路中的有效值、平均值、平均功率
三、非正弦电流电路的功率
1.平均功率（有功功率）根据平均功率的定义式:
P 1
T
p(t)dt
T0
可得非正弦电流电路的平均功率为
f (t) a0 (a1 cost b1 sin t) (a2 cos 2t b2 sin 2t) ...
(ak cos kt bk sin kt)

a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
a0
,
a k
,
bk
为傅里叶系数，可按下面各式求得
第四节非正弦周期电流电路的分析
例８－3 已知图中u（t）=［１0+100 2 sint+50 2 sin（3t+30）］V，
L=2，1/C=15，
R1=5， R2=10 。
求:各支路电流及它们
的有效值；
电路的有功功率。
图8-4 例8-3图
第四节非正弦周期电流电路的分析
解：因为电源电压已分解为傅里叶级数，可直接计算各次谐波作用下的

13.3 有效值、平均值和平均功率

③将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
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2. 计算举例
例1 方波信号激励的电路。求u, 已知：
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
R C
u
解 (1) 方波信号的展开式为：
L
iS

Im 2

2Im π
(sin t

1 sin 3t
μA
1
1
0.33k
31C 3106 1000 1012
iS 3
R C
u
31L 3106 103 3kΩ
L
Z
(31)

(R R

jXL3)( j( XL3
jXC 3) XC 3)

374.5

89.190

U3

IS 3

Z
(31 )
33.3
sin
5
106 t
μA
（2）对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0 78.5μA
IS0
Ru
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 1.57mV
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（b)基波作用 is1 100sin106t μA
1
1

1kΩ
1C 106 1000 1012
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (k1t

k
)dt

1 2
2 0
I
2 km
cos 2
(k1t

12有效值、平均值、平均功率

§12－3 有效值、平均值、平均功率一、有效值（的有效值与各次谐波有效值关系） )(t f 对方均根rms （root-mean-square value ）计算的结果：)(t f ∑∑∞=∞==+=21220k kk k II I I注意：k km I I 2=，I I m 2≠（非正弦）例：已知)3cos(30)cos(100111t t u ωω+=，21100cos()30cos(3)u t 1t ωω=−，，)603cos(30)cos(100113 ++=t t u ωω)60cos(30)cos(100114 ++=t t u ωωV U U U 84.73)230()2100(22321=+=== 有效值相同波形不一定相同V U 75.1235.8360230021004∠=∠+∠=，V U 35.834= 二、平均值1．定义∫=Tav dt t i TI 0)(1， (∫=Tdt t i TI 00)(1 直流分量)00=I av I I =102．当)cos()(t I t i m ω=时，m av I I 637.0=，00=I ，m I I 707.0= 3．波形因数11.1637.0707.0==m m avI I I I正弦另外还有峰值（最大值），峰峰值（波峰和波谷的差） p p V −三、电工仪表磁电系0I ∝α 测直流和周期直流分量，刻度均匀电磁系、电动系测周期信号的有效值、直流，刻度不均匀 2I ∝α整流系av I ∝α 测周期信号平均值，刻度均匀万用表交流电压档测u 的直流分量u 的平均值刻度×1.11即可测正弦有效值故万用表只能测正弦波有效值，非正弦波不可用。

四、平均功率∑∫∫∞=+===1000cos 11k k k k TTU I I U uidt Tpdt TP ϕ帕斯瓦尔定理功率叠加原理（只限于非正弦）∑∞=+=100k k P I U P 同频率电压电流作用的平均功率和因为不同频率电压电流乘积积分为0（正交），不产生平均功率§12－4 非正弦周期电流电路计算一、计算方法（三步）第1步：非正弦周期电压电流分解为傅里叶级数；第2步：各谐波分量单独作用下的响应：直流分量短路，开路 →L →C R 不变基波分量 11(1)C Z j C ω=，1(1)L Z j L ω=，1(1)M Z j M ω= ，R 不变谐波分量 (1)()C C Z Z k k =，()(1)L L Z k kZ =，()(1)M M Z k kZ =，R 不变第3步：叠加01()()k k u t U u t ∞==+∑，时域内叠加01kk U U U ∞=≠+∑ 不同频相量相加无意义看书上例12－2 各分量分别计算，用振幅相量较方便例12－3 化成一个公式计算，当取不同值时，代入计算，利于编程。

有效值、平均值和平均功率

29第二十九讲 有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算

§5-3 有效值、平均值、有功功率

第十二章 非正弦周期电流电路

非正弦周期电流i的有效值

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、 非正弦周期电流电路的计算

交流电的有效值和平均值定义和计算

第十二章 非正弦周期电流电路和信号的频谱

有效值平均值和平均功率

交流电的有效值和平均值定义及其计算

13.3 有效值、平均值和平均功率

第6章 非正弦周期信号电路

第7章 非正弦周期电流电路

有效值和平均值的数学意义

周期性非正弦电流电路中的有效值、平均值、平均功率

第10章 非正弦周期电流电路

电工基础第八章 非正弦周期电流电路

13.3 有效值、平均值和平均功率

12有效值、平均值、平均功率

29第二十九讲有效值平均值和平均功率及非正弦周期电路的计算

第十二章非正弦周期电流电路

非正弦周期信号 ; 周期函数分解为傅里叶级数 ; 有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算

第十二章非正弦周期电流电路和信号的频谱

第6章非正弦周期信号电路

第7章非正弦周期电流电路

第10章非正弦周期电流电路

电工基础第八章非正弦周期电流电路