编号2 山西大学附中高三年级集合的运算
2020届山西省山西大学附属高三上学期10月月考数学试题
2020届山西省山西大学附属中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，则z C A =（ ） A ．{0} B ．{1}C ．{0,1}D ．{-1,0,1,2}【答案】C【解析】利用一元二次不等式解出集合A ，利用补集的运算即可求出z C A 。
【详解】由集合{}2|20A x x x =∈--≥Z ，解得：{}|21A x x x =∈≥≤-Z 或∴}{z 0,1C A =，故答案选C 。
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。
2．复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1C ．iD ．i -【答案】A【解析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 3．已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（ ）A. B. C.－1 D.1【答案】A【解析】本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．【详解】由投影的定义可知：向量在向量方向上的投影为：，又∵，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．4．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522 B．324 C．535 D．578【答案】D【解析】根据随机抽样的定义进行判断即可．【详解】第6行第6列开始的数为808（不合适），436，789（不合适），535，577，348，994（不合适），837（不合适），522，535（重复不合适），578则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578则第6个编号为578本题正确选项：D【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．5．函数6()22x xxf x -=+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在0x >时的函数值，进行判断，得到答案. 【详解】()622x xxf x -=+定义域为R ，()()622x x x f x f x ---==-+，且()00f = 所以()f x 为R 上的奇函数，A 、B 排除.当0x >时，()f x 分子、分母都为正数，故()0f x >，排除D 项. 故选C 项. 【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题. 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．116πB ．73π C ．136πD ．83π 【答案】C【解析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可. 【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积2211131211326V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选C 【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型. 7．已知1sin()54πα-=，则3cos(2)5πα+=（） A.78-B.78 C.18D.18-【答案】A【解析】由题意可得：2233cos 2cos 2510cos 2252cos 1252sin 157.8ππααππαππαπα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=-本题选择A 选项.8．下列说法正确的是（ ）A.设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则2m >.B.“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.C.命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++>”.D.命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是真命题. 【答案】B【解析】逐一分析每一个命题的真假得解. 【详解】A. 设m 是实数，若方程22112x ym m+=--表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m ＞2或m ＜1,所以该命题是假命题；B. “p q ∧为真命题”则p 真且q 真，“p q ∨为真命题”则p,q 中至少有个命题为真命题，所以“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题； C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，2230x x ++≥”.所以该命题是假命题；D. 命题“若0x 为()y f x =的极值点，则0'()0f x =”的逆命题是“0'()0f x =则0x 为()y f x =的极值点”，如函数3()f x x =，(0)0f '=，但是00x =不是函数的极值点.所以该命题是假命题. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( )A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p ==，()()21P X p p ==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A 【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A.()f x 的图象关于直线23x π=对称 B.()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 C.将函数32cos 2y x x =- 的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D.若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,3-【答案】D【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图象求出ϕ得值，可得函数的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，得出结论. 【详解】由函数的图象可得122,4312A w πππ=⋅=-，求得2w =， 由五点法作图可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=，所以()2sin(2)3f x x π=+，当23x π=-时，()0f x =，不是最值，故A 不成立；当512x π=-时，()2f x =-，不是函数的对称中心，故B 不成立；将函数32cos 22sin(2)6y x x x π=-=-的图象向左平移2π个单位得到函数 52sin[2()]sin(2)266y x x πππ=+-=+的图象，故C 不成立；当[,0]2x π∈时，22[,]333x πππ+∈-， 因为23sin(),sin()1322ππ-=--=-，故方程()f x m =在[,0]2π上两个不相等的实数根时，则m的取值范围是(2,-，所以D 成立，故选D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，其中确定三角函数sin()y A x ωϕ=+中的参数的方法：（1）A 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）w 的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定，着重考查了推理与运算能力.11．已知()()11,101,01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( ) A.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.{}28,3⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据题意，先表示出当()1,0x ∈-的()f x 表达式，再根据()f x 表达式画出对应图像，若要使方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于函数()y f x =与函数()21g x ax a =+-有唯一的一个交点，采用数形结合进行求解即可.【详解】令()1,0x ∈-，则()10,1x +∈，()11f x x +=+，所以()11,101,01x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪≤<⎩，作出()f x 图像，如图所示，方程()21f x ax a -=-有唯一解，即等价于()()21f x g x ax a ==+-有唯一的一个交点，()121212g x ax a a x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，恒过1,12A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为()1,1B ，43AB k =，422,33a a ∴>>，当()g x 与曲线()()11,101f x x x =--<<+相切时，也满足条件，令2112123101ax a ax ax a x -=+-⇒++-=+，229880a a a ∆=-+=，解得08a a ==-或，0a =（舍去）， 所以当方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是{}28,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭.答案选D 【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.12．已知(0,3)A ，若点P 是抛物线28x y =上任意一点，点Q 是圆22(2)1x y +-=上任意一点，则2||PA PQ的最小值为（ ）A ．434-B ．221-C ．232-D ．421+【答案】A 【解析】设点，要使2||PA PQ的值最小，则PQ 的值要最大，即点P 到圆心的距离加上圆的半径为PQ 的最大值，然后表示出2||PA PQ 关于0y 的方程，利用基本不等式即可求出2||PA PQ的最小值。
山西大学附中高三上学期期中考试数学文试题 Word版含解析
山西大学附中2014年高三第一学期月考数学试题（文科）考查内容：高中全部【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 【题文】1．若{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,4U A B ===，则错误！未找到引用源。
（ ） A ．{}2,4 B ．{}1,3 C ．{}1,2,3,4 D ．{}1,2,3,4,5 【知识点】集合运算 A1【答案】【解析】B 解析：因为{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,4U A B ===,所以{1,3,5}u C B = 因此{1,3}u AC B =，故选B.【思路点拨】根据集合的运算直接求解即可.【题文】2．已知命题p ：对任意的x R ∈，有ln 1x >，则p ⌝是（ ） A ．存在0x R ∈，有0ln 1x <B ．对任意的x R ∈，有ln 1x <C ．存在0x R ∈，有0ln 1x ≤D ．对任意的x R ∈，有ln 1x ≤【知识点】全称命题 A3【答案】【解析】C 解析：命题p ：对任意的x R ∈，有ln 1x >，由全称命题的否定是特称命题可得:p ⌝是“存在0x R ∈，有0ln 1x ≤”.故选C. 【思路点拨】由全称命题的否定是特称命题直接可得.【题文】3．若公比为2且各项均为正数的等比数列{}n a 中，41264a a ⋅=，则7a 的值等于（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【知识点】等比数列D3【答案】【解析】B 解析：因为41264a a ⋅=所以8784a a =∴=.故选B.【思路点拨】因为41264a a ⋅=，由等比数列性质可得2412864a a a ⋅==，可求8a ，从而可求7a .【题文】4．设x R ∈，则“1x =”是“复数2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】C 解析：当1x =时，2z i =，充分性成立；当2(1)(1)z x x i =-++为纯虚数时，21101110x x x x x =±⎧-=⎧∴∴=⎨⎨≠-+≠⎩⎩，必要性成立.故选C.【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】5．已知角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<，则2sin cos θθ+的值是（ ） A ．25 B ．25- C ．25或25- D ．随着k 的取值不同其值不同 【知识点】三角函数定义C1【答案】【解析】B 解析：因为角θ的终边过点(4,3)(0)P k k k -<所以5r k ==-，所以33sin 55k k θ==--，44cos 55k k θ-==-， 3422sin cos 2()555θθ+=⨯-+=-，故选B.【思路点拨】由三角函数定义sin y r θ=，cos xrθ=即可求得.【题文】6．已知直线,m n 及平面,αβ，则下列命题正确的是 （ ）A. m n //////αβαβ⎫⎬⎭⇒B.m m n n //////αα⎫⎬⎭⇒ C. m m ⊥⊥⎫⎬⎭⇒ααββ// D. m n m n ⊥⎫⎬⎭⇒⊥αα// 【知识点】命题的真假判断A2【答案】【解析】D 解析：A 中,αβ还可能相交，B 中还可能n α⊂，C 中还可能m β⊂， 故选D.【思路点拨】由空间中线面的位置关系即可求得结果. 【题文】7．曲线2x y =上的点P 处的切线的倾斜角为4π，则点P 的坐标为 （ ） A ．00（，）B ．24（，）C ．)161,41(D ．)41,21(【知识点】导数应用B12【答案】【解析】D 解析：因为2x y =所以'2y x =，1tan 242x x π=∴=，代入2x y =， 得14y =，因此点P 的坐标为)41,21(，故选D. 【思路点拨】由'2y x k ==，可得点P 横坐标，代入2x y =可求纵坐标.【题文】8．“2=a ”是“函数1)(2++=ax x x f 在区间)1[∞+-，上为增函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】A 解析：当2=a 时，2()21f x x x =++，此函数在区间)1[∞+-，上为增函数，充分性成立；当函数1)(2++=ax x x f 在区间)1[∞+-，上为增函数时，它的单调增区间为,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以122a a -≤-∴≥，因此必要性不成立，故选A【思路点拨】判断充要条件时，应先明确条件和结论，由条件能推出结论，充分性满足，由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】9. 下列函数中周期是2的函数是 （ ） A ． 22cos 1y x π=- B ．sin 2cos 2y x x ππ=+ C ．)32tan(ππ+=x y D ． sin cos y x x ππ=【知识点】函数周期 C8【答案】【解析】C 解析：A 中()22cos 1cos 2y x x ππ=-=周期为1； B中sin 2cos 224y x x x ππππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭周期为1；C 中)32tan(ππ+=x y 周期为2；D 中1sin cos sin 22y x x x πππ==周期为1.故选C.【思路点拨】正弦余弦函数的周期为2πω，正切函数的周期为πω. 【题文】10．椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于,A B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为ba,23的值为 （ ）A ．23 B ．332 C ．239 D ．2732 【知识点】椭圆的应用 H5【答案】【解析】A 解析：把x y -=1代入椭圆122=+by ax 得2211ax b x +-=（）， 整理得2210a b x bx b +-+-=（）， 设1122A x y B x y （，），（，），则122a x b x b +=+ ，1222y y ba b+=-+， ∴线段AB 的中点坐标为()b aa b a b++，，∴过原点与线段AB 中点的直线的斜率2aa ab k b b a b+===+．答案：A ．【思路点拨】把x y -=1代入椭圆122=+by ax 得2211ax b x +-=（），由根与系数的关系可以推出线段AB 的中点坐标为()b aa b a b++，，，再由过原点与线段AB能够导出ab的值． 【题文】11．数列{}n a 满足11a =，且对于任意的n *N ∈都有11,n n a a a n +=++则1a ++等于（）BC D 【知识点】数列递推式；数列的求和 D1 D4【答案】【解析】B 解析：因为111n n n a a a n a n +=++=++，11n n a a n +∴-=+用叠加法：()12111122n n n n n a a a a a a n -+=+-+⋯+-=++⋯+=（）（） ， 所以()2112111n a n n n n ==-++（）， 11111111212233420132014a ⎛⎫++=-+-+-++- ⎪⎝⎭1212014⎛⎫=- ⎪⎝⎭40262014=，故答案为：B. 【思路点拨】先找递推关系11n n a a n +-=+并求通项公式，再利用通项的特征求和，即可得到结论.【题文】12．已知函数2lg(),0()64,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩若关于x 的函数2()()1y f x bf x =-+有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．),2(+∞ B ．),2[+∞ C ．)417,2( D ．]417,2(【知识点】根的存在性及根的个数判断B1 【答案】【解析】D 解析：∵函数2lg(),0()64,0x x f x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，作出f x （）的简图，如图所示：由图象可得当f x （）在04]（，上任意取一个值时，都有四个不同的x 与f x （）的值对应． 再结合题中函数2()()1y f x bf x =-+ 有8个不同的零点，可得关于k 的方程210k bk -+=有两个不同的实数根12k k 、，且120404k k ≤≤＜，＜． ∴应有 2 40042001016410b b b b =--⨯+-+⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪≥⎩＞＜＜＞，解得17 24b ≤＜，故选D ． 【思路点拨】方程2()()10y f x bf x =-+=有8个不同实数解，即要求对应于f x （）等于某个常数k ，有2个不同的k ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解故先根据题意作出f x （）的简图：由图可知，只有满足条件的k 在开区间04]（，时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案. 【题文】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上）．【题文】13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。
山西大学附中学年高三第一学期12月月考.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作山西大学附中2015—2016学年高三第一学期12月月考数学试题（文）考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）1．若bi i ai -=+1)21(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则=+||bi a （ ） A.i +21B.5C.52D.542．已知{}2R y y x M =∈=，{}22R 2x x y N =∈+=，则M N =（ ）A ．()(){}1,1,1,1- B ．{}1 C ．[]0,1 D ．0,2⎡⎤⎣⎦3．下列说法中正确的是（ ）A ．“()00f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．若:p 0R x ∃∈，20010x x -->，则:p ⌝R x ∀∈，210x x --< C ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“若6πα=，则1sin 2α=”的否命题是“若6πα≠，则1sin 2α≠4．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且23cos cos 2tan 210πααα⎛⎫++==⎪⎝⎭，则（ ）A ．12 B ．13 C ．14 D ．155．执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（ ） A ．2015?k ≤ B ．2016?k ≤ C ．2015?k ≥ D ．2016?k ≥6．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．32B ．6262++C ．12D ．3262++7 . 已知变量,x y 满足240220x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则32x y x +++的取值范围是（ ）（A ）52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）55,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）45,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）5,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为10.5y x a =+，则a 的值等于（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5 9．已知函数()f x 是定义在[]1,2a a -上的偶函数，且当0x >时，()f x 单调递增， 则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为（ ） A ．45[,)33 B ．]35,34()32,31[⋃ C ．)32,31[]31,32(⋃--D ．随a 的值而变化 10．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，3PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．π5B ．π2C ．π20D ．π411. 如图，1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、B ．若2F ∆AB 为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．7C ．233D ．3 12．等差数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，且满足150S >，160S <，则11S a ，22S a ，... ，1515S a 中最大的项为（ ） A ．66S a B ．77S a C ．99S a D ．88Sa 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．等比数列{}n a 的前n 项和=2+2nn S a a ⋅-，则a =_______.14.记集合(){}22,|16A x y xy =+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ．若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为_ __15．已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1,AE AF ⋅=，则λ的值为16．已知函数()f x （R x ∈）满足()11f =，且()f x 的导数()12f x '<，则不等式()22122x f x <+的解集为三.解答题(本大题共6小题,共70分.) 17．（本小题满分12分）已知函数()()2cos 3cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()31f θ=+，求θ的值； （2）在△ABC 中，AB=1，()31f C =+，且△ABC 的面积为32，求sinA+sinB 的值．18．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，∠ADC =0120，11AA AB ==，点1O O 、分别是上下底菱形对角线的交点． （1）求证：1A O ∥平面11CB D ；（2）求点O 到平面11CB D 的距离．19.(本小题满分12分)某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）.（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F 和2F ，且122F F =，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在该椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△2AF B 的面积为1227，求以2F 为圆心且与直线l 相切圆的方程．21．（本小题满分12分设函数()22ln f x x x a x =-+（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处切的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点()1212x x x x <、，①求实数a 的范围；②证明：()123ln 22f x x >--请考生在第22、23二题中任选一题作答(在答题卡相应位置填涂)，如果多做，则按所做的第一题记分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程 在直角坐标系xOy 中，半圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0ϕπ≤≤），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是(sin 3cos )53ρθθ+=，射线OM ：3πθ=与半圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23．（本题小满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+． （Ⅰ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集； （Ⅱ）设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．。
山西省山西大学附属中学高三上学期期中考试数学理试题
山西大学附中2015~2016学年第一学期高三（11月）模块诊断数学（理）试题考查时间：100分钟一.选择题（每小题3分,满分36分,每小题给出的四个选项中,只有一项是题目要求的）1．设集合，，若，则A. B. C. D.2．已知命题则是A． B．C． D．3. 若－9，，，－1四个实数成等差数列，－9，，，，－1五个实数成等比数列，则＝（）.A．8 B．－8 C．±8 D．4．已知向量，，若∥，则实数的取值为A. B. C. D.5．已知函数则下列区间必存在零点的是A. ()B. (C. ()D. ()6．为调查哈市高中三年级男生的身高情况，选取了人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，若其输出的结果是，则身高在以下的频率为A． B． C． D．7．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）A．140种 B．84种 C．70种 D．35种8.函数的图象大致是9. 若某棱锥的三视图(单位:)如图所示,则该棱锥的体积等于A.10B.20C.30D.4010.已知三个向量，,共线，其中分别是的三条边和三个角，则的形状是A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形11．已知()10210012101(1)(1)(1)x a a x a x a x+=+-+-++-，则A．180 B．90 C． D．12．已知函数.若，使000()(1)()63f x f x f x n+++++=成立,则称为函数的一个“生成点”.则函数的“生成点”共有__个正视图侧视图俯视图A.1个 B .2个 C .3个 D .4个二.填空题（每题4分,满分16分）13．已知，，的夹角为60°，则 ．14．设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时, ,则, ,的从大到小关系是_________________15．设、满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0004402y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为，则的最小值为 .16．已知函数2222012()ln ,(),201320132013ex e e e f x f f f a b a b e x =++-若()+()++()=503则 的最小值为____________________三.解答题（本大题5个小题，共48分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.已知数列满足：，其中为数列的前项和.（1）试求的通项公式；（2）若数列满足：，求的前项和公式.18．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题．规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行 测试，答对一题加分，答错一题（不答视为答错）减分，至少得分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．19．如图, 四棱柱的底面是正方形,为底面中心,平面.（1） 证明:平面; （2）求平面二面角的大小.1A20．椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．21.已知函数)R ,()(2∈+=n m nx mx x f 在处取到极值2. （1）求的解析式；（2）设函数.若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.。
高二语文测试题：山西大学附中高三数学上册9月月考试题(含答案)-精选教育文档
高二语文测试题：山西大学附中2019届高三数学上册9月月考试题(含答案) 山西大学附中高三九月月考试题(文科)一.选择题：1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设集合 , , 则A∩B=A. B. C. D.3.设全集U=R，A= ，则右图中阴影部分表示的集合为A. B. C. D.4. 若是正数，且，则有A.最大值16B.最小值C.最小值16D.最大值5.函数的单调递增区间为( )A. B. C. D.6.已知方程有一负根且无正根，则实数的取值范围是A. B. C. D.7.命题“存在 R，0”的否定是A. 不存在 R, 0B. 存在 R, 0C. 对任意的 R, 0D. 对任意的 R, 08.若不等式的解集为 ,则实数的取值范围是A B C D9.已知命题，命题恒成立。
若为假命题，则实数的取值范围为(A、 B、 C、 D、10.已知平面平面 , =c，直线直线不垂直，且交于同一点，则“ ”是“ ”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 充要条件11. 函数的图像可以是A B C DA B C D12.设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围为A. B. C. )D.二.填空题：13.已知，则 =_________________14. 满足约束条件，则的最大值是_____最小值是_______15.已知函数满足，则 =_______16.关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称;②当时，是增函数;当时，是减函数;③ 的最小值是 ;④ 在区间(-1，0)、(2,+∞)上是增函数;⑤ 无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号是山西大学附中高三九月月考(文科)答题纸一.选择题题号12345678[ 9101112答案二.填空题13_____________14_____,_________15________________1 6_______________三.解答题：17. 如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图.在直观图中，是的中点.侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.(1)求出该几何体的体积;(2)求证：EM∥平面ABC;18.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球(I)试问：一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果;(Ⅱ)若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5的概率。
山西省太原市山大附中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷(文科) Word版含解析
山西省太原市山大附中2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3，}，B={2，4}，则A∩（∁U B）( ) A．{1，3} B．{2，4} C．{1，2，3，5} D．{2，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩C U B解答：解：C U B={1，3，5}A∩C U B={1，2，3}∩{1，3，5}={3，1}故选A点评：本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．已知p：对任意的x∈R，有lnx＞1，则¬p是( )A．存在x0∈R，有lnx0＜1 B．对任意的x∈R，有lnx＜1C．存在x0∈R，有lnx0≤1 D．对任意的x∈R，有lnx≤1考点：的否定．分析：根据题意分析可得，这是一个全称，其否定为特称，分析选项可得答案．解答：解：根据题意，p：对任意的x∈R，有lnx＞1，这是全称，其否定为特称，即存在x0∈R，有lnx0≤1，故选C．点评：本题考查的否定，是基本概念的题型，难度不大．3．若公比为2且各项均为正数的等比数列{a n}中，a4•a12=64，则a7的值等于( )A．2 B．4 C．8 D．16考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等比数列的性质可得=a4•a12=64，从而求得a8的值，再根据公比等于2求得a7的值．解答：解：公比为2且各项均为正数的等比数列{a n}中，a4•a12=64，则由等比数列的性质可得=a4•a12=64，∴a8=8．再由=q=2，可得a7=4，故选B．点评：本题主要考查等比数列的性质的应用，属于中档题．4．设x∈R，则“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：常规题型．分析：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，故可得到x的值，再与“x=1”比较范围大小即可．解答：解：由于复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数，则，解得x=1，故“x=1”是“复数z=（x2﹣1）+（x+1）i为纯虚数”的充要条件．故答案为C．点评：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以先判断p与q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断p与q的关系．5．已知角θ的终边过点P（﹣4k，3k）（k＜0），则2sinθ+cosθ的值是( )A．B．﹣C．或﹣D．随着k的取值不同其值不同考点：终边相同的角；任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：根据角的终边所过的一个点，写出这点到原点的距离，注意字母的符号，根据三角函数的定义，写出角的正弦和余弦值，代入要求的算式得到结果即可．解答：解：∵角θ的终边过点P（﹣4k，3k），（k＜0），∴r==5|k|=﹣5k，∴sinθ==﹣，cosθ==，∴2sinθ+cosθ=2（﹣）+=﹣故选B．点评：本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查，解题时若没有字母系数的符合，我们就得讨论两种情况，在两种情况下，分别做出角的三角函数值，再进行运算．6．已知直线m、n及平面α、β，则下列正确的是( )A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题．分析：A：由条件可得：α∥β或者α与β相交．B：根据空间中直线与平面的位置关系可得：n∥α或者n⊂α．C：由特征条件可得：m∥β或者m⊂β．D：根据空间中直线与直线的位置关系可得：m⊥n．解答：解：A：若m∥α，n∥β，则α∥β或者α与β相交，所以A错误．B：若m∥α，m∥n，则根据空间中直线与平面的位置关系可得：n∥α或者n⊂α，所以B错误．C：若m⊥α，α⊥β，则有m∥β或者m⊂β，所以C错误．D：若m⊥α，n∥α，则根据空间中直线与直线的位置关系可得：m⊥n，所以D正确．故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面、直线与直线的位置关系，以及熟练掌握有关的判定定理与性质定理，此题考查学生的逻辑推理能力属于基础题，一般出现再选择题好像填空题中．7．在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是( )A．（0，0）B．（2，4）C．（，）D．（，）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：根据切线的倾斜角的大小，求出其切点的坐标，故先设切点的坐标，利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解答：解：y'=2x，设切点为（a，a2）∴y'=2a，得切线的斜率为2a，所以2a=tan45°=1，∴a=，在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是（，）．故选D．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．8．“a=2”是“函数f（x）=x2+ax+1在区间9．下列函数中周期是2的函数是( )A．y=2cos2πx﹣1 B．y=sin2πx+cosπxC．y=tan（x+）D．y=sinπxcosπx考点：三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：分别对4个选项进行化简，求出各自周期，然后与已知要求周期比较即可排除选项．解答：解：A：y=2cos2πx﹣1即：y=cos2πx，故周期为，∴排除A．B：y=sin2πx+cosπx，∵y=sin2πx周期为1，y=cosπx周期为2，故排除B．C：y=tan（x+），T=，C正确．D：y=sinπxcosπx，即y=，T=1．故排除D．故选：C．点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，需要对三角函数的定义已知转化熟练掌握，属于基础题．10．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题．分析：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．解答：解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A ．点评：本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．数列{a n }满足a 1=1且对任意的m ，n ∈N *都有a m+n =a m +a n +mn ，则+++…+=( ) A ．B ．C ．D ．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：取m=1，得a n+1=a n +（n+1），所以a n =1+2+…+n=，从而得到==2（），由此能求出+++…+．解答： 解：∵数列{a n }满足a 1=1且对任意的m ，n ∈N *都有a m+n =a m +a n +mn ， ∴取m=1，得a n+1=a n +a 1+n ，即a n+1=a n +（n+1） ∴a n =1+2+…+n=，∴==2（），∴+++…+=2（1﹣）=2×（1﹣）=． 故选：B ．点评：本题考查数列的前2013项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．12．已知函数若关于x 的函数y=f 2（x ）﹣bf （x ）+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．（2，+∞） B ．时符合题意．再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案．解答： 解：∵函数，作出f （x ）的简图，如图所示：由图象可得当f （x ）在（0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x 与f （x ）的值对应．再结合题中函数y=f2（x）﹣bf（x）+1 有8个不同的零点，可得关于k的方程k2 ﹣bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且0＜k1≤4，0＜k2≤4．∴应有，解得2＜b≤，故选：D．点评：本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识，采用数形结合的方法解决，使本题变得易于理解．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上）．13．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为18．考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：由题意确定老年职工的人数，再由青年职工确定抽样比，因为分层抽样，各层抽取比例一样，故可计算出样本中的老年职工人数．解答：解：青年职工160人，在抽取的样本中有青年职工32人，故抽取比例为，老、中年职工共430﹣160=270人，又中年职工人数是老年职工人数的2倍，故老年职工有90人，所以该样本中的老年职工人数为90×=18故答案为：18点评：本题考查分层抽样知识，属基础知识、基本题型的考查．14．设实数x，y满足，则的最大值为．考点：简单线性规划．专题：作图题．分析：由题意作出可行域，目标函数z=的代表可行域（阴影）内的点与原点连线的斜率，由图可知当直线过点A时，斜率最大，只需解方程组求解A的坐标即可得答案．解答：解：由题意作出所对应的可行域，（如图）目标函数z=的代表可行域（阴影）内的点与原点连线的斜率，由图可知当直线过点A时，斜率最大，而由解得，即点A的坐标为（2，9），所以直线OA的斜率为：=故则的最大值为，故答案为：点评：本题考查线性规划，准确作图，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，属中档题．15．已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为﹣7．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2∴f'（x）=3x2+6ax+b，又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，∴，∴或当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意；当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意；∴a﹣b=﹣7故答案为：﹣7．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．16．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为6π．考点：球的体积和表面积；由三视图求面积、体积；球内接多面体．专题：计算题．分析：由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积．解答：解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为的正方体，该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=，所以外接球的表面积为：4πR2=6π．故答案为：6π．点评：本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．公差不为零的等差数列{a n}中，a3=7，且a2，a4，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=b n+1﹣b n，b1=1，求数列{b n}的通项公式．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由等差数列{a n}中a2，a4，a9成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a3的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；（2）分别把n=1，2，…，n﹣1代入a n=b n+1﹣b n，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b1的值代入，整理后即可得到数列{b n}的通项公式．解答：解：（1）∵等差数列{a n}中，a2，a4，a9成等比数列，∴a42=a2•a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，∵d≠0，∴d=3a1，又a3=a1+2d=7a1=7，∴a1=1，d=3，则数列{a n}的通项公式为a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2；（2）∵b1=1，a n=3n﹣2，a n=b n+1﹣b n，∴a1=b2﹣b1，a2=b3﹣b2，…，a n﹣1=b n﹣b n﹣1，∴a1+a2+••+a n﹣1=b n﹣b1，即==b n﹣1，则b n=+1=．点评：此题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．18．已知集合A={x|﹣3＜x＜1}，B={x|＜0}．（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）在区间（﹣4，4）上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；（Ⅲ）设（a，b）为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，求“b﹣a∈A∪B”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；概率与统计．分析：（Ⅰ）求A∩B，A∪B；（Ⅱ）由已知化简集合A和B，设事件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，测度是长度，代入几何概型的计算公式即可；（Ⅲ）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，这是一个古典概型，设事件E为“b﹣a∈A∪B”，分别算出基本事件个数和事件E中包含的基本事件，最后根据概率公式即可求得事件E的概率．解答：解：（Ⅰ）由已知B={x|﹣2＜x＜3}，A∩B={﹣2＜x＜1}，A∪B={﹣3＜x＜3}，（Ⅱ）设事件“x∈A∩B”的概率为P1，这是一个几何概型，则P1=，（Ⅲ）因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以，基本事件共12个：（﹣2，﹣1），（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，﹣1），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，﹣1），（0，0），（0，1），（0，2）．设事件E为“b﹣a∈A∪B”，则事件E中包含9个基本事件，事件E的概率．点评：本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．19．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC 的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ACE的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）取AC中点O，连接BO、DO，等边三角形△ACD中，DO⊥AC，结合面面垂直的性质，得D0⊥平面ABC．再过E作EF⊥平面ABC，可以证出四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，结合线面平行的判定定理，证出DE∥平面ABC；（2）三棱锥E﹣ABC中，判断出EF是平面ABC上的高，最后用锥体体积公式，即可得到三棱锥E﹣ABC的体积．解答：解：（1）取AC中点O，连接BO、DO，∵△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，∴BO⊥AC，DO⊥AC；∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC∴DO⊥平面ABC，过E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，易求得EF=DO=，所以四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．（2）∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，OD⊥AC，∴OD⊥平面ACB；又∵DO∥EF，∴EF⊥平面BAC，∴三棱锥E﹣ABC的体积V2=×S△ABC×EF=×4=．点评：本题给出两个三棱锥拼接成多面体，求证线面平行并且求它的分割的几何体的体积，着重考查了面面垂直的性质、线面平行的判定和锥体体积公式等知识，属于中档题20．椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点D（0，4）的直线l与椭圆C交于两点E，F，O为坐标原点，若△OEF为直角三角形，求直线l的斜率．考点：椭圆的应用．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，由此能够求出椭圆C的方程．（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，再由根与系数的关系求解．解答：解：（Ⅰ）由已知，a2+b2=5，又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，所以椭圆C的方程为；（Ⅱ）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在，设l：y=kx+4，联立，，消去y得（1+4k2）x2+32kx+60=0，△=（32k）2﹣240（1+4k2）=64k2﹣240，令△＞0，解得．设E，F两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（ⅰ）当∠EOF为直角时，则，因为∠EOF为直角，所以，即x1x2+y1y2=0，所以（1+k2）x1x2+4k（x1+x2）+16=0，所以，解得．（ⅱ）当∠OEF或∠OFE为直角时，不妨设∠OEF为直角，此时，k OE•k=﹣1，所以，即x12=4y1﹣y12①，又；②，将①代入②，消去x1得3y12+4y1﹣4=0，解得或y1=﹣2（舍去），将代入①，得，所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．点评：本题是椭圆问题的综合题，解题时要认真审题，仔细解答．21．已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间上的最小值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f （2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1） 1 （1，a） a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1 单调递减极小值a2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2af′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间上的最小值为g（a）=．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三.选做题（在22、23、24三题中任选一题作答）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．解答：（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA•ED=EF•EP．又∵EA•ED=CE•EB，∴CE•EB=EF•EP；（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得E P=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，∴，解得．点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．解答：解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===，当α=时，|AB|的最小值为4．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．24．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）通过对自变量x的范围的讨论，去掉绝对值符号，从而可求得不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，利用绝对值不等式的性质易求f（x）min=4，从而解不等式＜2即可．解答：解：（Ⅰ）原不等式等价于或或，解得：＜x≤2或﹣≤x≤或﹣1≤x＜﹣，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤2}．（Ⅱ）不等式f（x）﹣＞2恒成立⇔+2＜f（x）=|2x+1|+|2x ﹣3|恒成立⇔+2＜f（x）min恒成立，∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴f（x）的最小值为4，∴+2＜4，即，解得：﹣1＜a＜0或3＜a＜4．∴实数a的取值范围为（﹣1，0）∪（3，4）．点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查函数的单调性与解不等式组的能力，属于难题．。
山西大学附属中学与东北师大附中2024届高三上学期期中联考数学试题
整体难度：一般考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、等式与不等式、数列、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面解析几何知识模块题量题号难度系数详细知识点集合与常用逻辑用语310.94交集的概念及运算；求对数型复合函数的定义域；20.85全称命题的否定及其真假判断；60.65判断命题的充分不必要条件；正弦定理边角互化的应用；函数与导数1110.94交集的概念及运算；求对数型复合函数的定义域；30.65求函数值；由奇偶性求参数；40.85指数式与对数式的互化；对数的运算性质的应用；指数函数模型的应用(2)；50.65函数图像的识别；求含cos x的函数的奇偶性；80.65求函数值；100.85用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式；120.40由导数求函数的最值(不含参)；利用导数研究不等式恒成立问题；函数极值点的辨析；利用导数研究双变量问题；130.94已知切线(斜率)求参数；140.85求分段函数解析式或求函数的值；对数的概念判断与求值；160.65用料最省问题；220.40零点存在性定理的应用；函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究函数的零点；由导数求函数的最值(含参)；三角函数与解三角形550.65函数图像的识别；求含cos x的函数的奇偶性；60.65判断命题的充分不必要条件；正弦定理边角互化的应用；110.65求正弦(型)函数的对称轴及对称中心；利用正弦函数的对称性求参数；由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)；求sin x型三角函数的单调性；150.85用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的正切公式；170.65由正弦(型)函数的周期性求值；由正(余)弦函数的性质确定图象(解析式)；三角形面积公式及其应用；余弦定理及辨析；等式与不等式270.85条件等式求最值；90.85由已知条件判断所给不等式是否正确；作差法比较代数式的大小；数列1180.65利用定义求等差数列通项公式；裂项相消法求和；利用a n与S n关系求通项或项；计数原理与概率统计1190.65计算古典概型问题的概率；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；空间向量与立体几何1200.65证明线面垂直；线面垂直证明线线垂直；面面垂直证线面垂直；已知面面角求其他量；平面解析几何1210.65根据双曲线过的点求标准方程；根据韦达定理求参数；试题满分：150分考试时间：120分钟一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知集合A =-2,-1,0,1,2 ，B =x y =ln x 2-5x -6 ，则A ∩B =()A . -2,-1,0,1,2B . -2C . 0,1,2D . -2,-1,02. 命题“∀a ∈R ，函数y =ax 2+1是偶函数”的否定是()A . ∀a ∈R ，函数y =ax 2+1不是偶函数B . ∃a ∈R ，函数y =ax 2+1不是偶函数C . ∀a ∈R ，函数y =ax 2+1是奇函数D . ∃a ∈R ，函数y =ax 2+1是奇函数3. 已知函数f x =x +a -2 x 2+a -1 为奇函数，则f a 的值是()A . 0B . -12C . 12D . 104. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m (亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量y (亿吨)与时间t (年)满足函数关系式y =ma t，若经过5年，二氧化碳的排放量为4m5(亿吨)．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为m8(亿吨)，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？(参考数据：lg2=0.3)()A . 43B . 44C . 45D . 465. 函数y =2x-2-xcos x 在区间-2,2 上的图象大致为()A .B .C .D .6. 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知p :a sin C =b sin A=csin B ，q ：△ABC 是等腰三角形.则p 是q 的()A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. 已知a ,b 为正实数，且ab -3a +b+8=0，则ab取值范围是()A . 2,4B . 0,2 ∪4,+∞C . 4,16D . 0,4 ∪16,+∞8.已知函数f x 的定义域为R ，且f x =x 3f 1xx ∈-∞,0 ∪0,+∞ ，f x +f y +2xy =f x +y ，则f 3 的值是()A . 9B . 10C . 11D . 12二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是()A . 若ab ≠0且a <b ，则1a >1b B . 若0<a <1，则a 2<a C . 若b >a >0且c >0，则b +c a +c >baD . a 2+b 2+1≥2a -2b -210. 已知函数f x =e x +e -x+12x 2，则满足f 3a <f a +2 的整数a 的取值可以是()A . -1B . 0C . 1D . 211. 已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2 任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线y =f x 的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称，则()A . ω=2,φ=π6B . 直线x =2π3为曲线y =f x 的一条对称轴C . 若f x 在-a ,a 单调递增，则0<a ≤π3D . 曲线y =f x 与直线y =12x -5π24有5个交点12. 已知函数f x =x e x+1 ，g x =x +1 ln x ，则()A . 函数f x 在R 上无极值点B . 函数g x 在0,+∞ 上存在极值点C . 若对任意x >0，不等式f ax ≥f ln x 2恒成立，则实数a 的最小值2eD . 若f x 1 =g x 2 =t t >0 ，则ln t x 1x 2+1的最大值为1e 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数y =f (x )的图像在x =2处的切线方程是y =3x +1，则f (2)+f(2)=______．14. 设f x 定义在R 上且f x =log 22-x ,x <2 f x -1 -f x -2 ,x ≥2，则f 13 =______．15. 已知tan α+π6 =12，tan π12+β =13，则tan α-2β =______．16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足AC ⊥MN ，且AC 长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A 到小岛建三段栈道AB 、BD 与BE ，水面上的点B 在线段AC 上，且BD 、BE 均与圆C 相切，切点分别为D 、E ，其中栈道AB 、BD 、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN ，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.四．解答题：(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17. 已知函数f x=sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2 最小正周期为π,π3是函数f x 一个零点.(1)求ω,φ；(2)在△ABC 中，角A ,B ,C对边分别为a ,b ,c ,fA2 =32,a =2，求△ABC 面积的最大值.18. 已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 2n +2a n -n =2S n ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =3an -1，若数列c n 满足c n =b n +1b n ⋅b n +1，求证：c 1+c 2+⋯+c n <14．19. 2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；(2)设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD =PC =CA =BA =12AD =2，AD ⎳CB ，∠CPD =∠ABC =90°，平面PCD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥面PCA ；(2)点Q 在棱PA 上，设PQ =λPA 0<λ<1 ，若二面角P -CD -Q 余弦值为55，求λ.21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过A (2，0)，B (4，3)两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点P (2，1)，设过点P 的直线l 交C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点G ，H ，当GH =6时，求直线l 的斜率.22. 已知函数f (x )=mxe -x+x -ln x (m ∈R ).(1)讨论函数f x 的极值点个数；(2)若m >0，f x最小值是1+ln m ，求实数m 的所有可能值.山西省山西大学附属中学与东北师大附中2024届高三上学期期中联考数学试题试题满分：150分考试时间：120分钟一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A =-2,-1,0,1,2 ，B =x y =ln x 2-5x -6 ，则A ∩B =()A . -2,-1,0,1,2B . -2C . 0,1,2D . -2,-1,0【答案】B 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A ∩B .【详解】因为B =x y =ln x 2-5x -6 =x x 2-5x -6>0 =x x <-1 或x >6 ，又因为A =-2,-1,0,1,2 ，因此，A ∩B =-2 .故选：B .2. 命题“∀a ∈R ，函数y =ax 2+1是偶函数”的否定是()A . ∀a ∈R ，函数y =ax 2+1不是偶函数B . ∃a ∈R ，函数y =ax 2+1不是偶函数C . ∀a ∈R ，函数y =ax 2+1是奇函数D . ∃a ∈R ，函数y =ax 2+1是奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题易得.【详解】因为命题“∀a ∈R ，函数y =ax 2+1是偶函数”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“∃a ∈R ，函数y =ax 2+1不是偶函数”.故选：B .3. 已知函数f x =x +a -2 x 2+a -1 为奇函数，则f a 的值是()A . 0B . -12C . 12D . 10【答案】D 【解析】【分析】由奇函数的性质可知f 0 =0，由此可以求出a 的值，进而可以求出f a .【详解】因为函数f x =x +a -2 x 2+a -1 为奇函数，所以f 0 =0，即a -2 a -1 =0，即a =2或a =1，显然函数f x =x +a -2 x 2+a -1 的定义域为R 关于原点对称，且当a =2时，有f x =x x 2+1 ，从而有f -x =-x x 2+1 =-f x ，当a =1时，有f x =x 2x -1 ，但f -1 =-2≠-f 1 =0，所以a =2，即f x =x x 2+1 ，所以f a =f 2 =2×22+1 =10.故选：D .4. “碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m (亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量y (亿吨)与时间t (年)满足函数关系式y =ma t，若经过5年，二氧化碳的排放量为4m5(亿吨)．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为m8(亿吨)，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？(参考数据：lg2=0.3)()A . 43B . 44C . 45D . 46【答案】C 【解析】【分析】由条件列式ma 5=4m5确定参数，再结合对数运算解方程即可.【详解】由题意可得y =ma 5=4m 5，即a 5=45，解得a =545，令ma t=m 8，即545 t =18，两边取对数得t lg545=lg 18，所以t 5lg8-lg10 =-lg8，即t 53lg2-1 =-3lg2，解得t =-15lg23lg2-1=-4.5-0.1=45，故选：C5. 函数y =2x-2-xcos x 在区间-2,2 上的图象大致为()A .B .C .D .【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性排除D ，再取特值x =1,x =2排除AB .【详解】因为x ∈-2,2 ，关于原点对称，f -x =2-x -2x cos -x =-2x -2-x cos x =-f x ，所以函数f x 为奇函数，故D 错误；因为0<1<π2，所以cos1>0，所以f 1 =2-2-1cos1=32cos1>0，故A 错误；因为π2<2<π，所以cos2<0，所以f 2 =4-2-2cos2=154cos2<0，故B 错误；故选：C .6. 在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知p :a sin C =b sin A=csin B ，q ：△ABC 是等腰三角形.则p 是q 的()A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理边角互化思想结合充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】在△ABC 中，若a sin C =b sin A=c sin B ，由正弦定理a sin A =b sin B =csin C ，得a c =b a =cb，所以a 2=bc b 2=ac ，所以a =b =c ，所以△ABC 等边三角形，若命题p 成立，则△ABC 是等腰三角形，即命题q 成立；反之，△ABC 为等腰三角形，△ABC 不一定为等边三角形，如在△ABC 中，A =B =π4，C =π2，则a sin C =b sin A=csin B 不成立，所以p :a sin C =b sin A=csin B 是q ：△ABC 是等腰三角形的充分不必要条件.故选：B .7. 已知a ,b 为正实数，且ab -3a +b +8=0，则ab 的取值范围是()A . 2,4B . 0,2 ∪4,+∞C . 4,16D . 0,4 ∪16,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用a +b ≥2ab ，结合ab -3a +b +8=0可得ab -2 ab -4 ≥0，进而可得答案.【详解】因为a ,b 为正实数，则0=ab -3a +b +8≤ab -6ab +8，即ab -2 ab -4 ≥0，所以0<ab ≤2或ab ≥4，所以0<ab ≤4或ab ≥16.ab 的取值范围是0,4 ∪16,+∞ ，故选：D .8. 已知函数f x 的定义域为R ，且f x =x 3f 1xx ∈-∞,0 ∪0,+∞ ，f x +f y +2xy =f x +y ，则f 3 的值是()A . 9B . 10C . 11D . 12【答案】D 【解析】【分析】由赋值法先得f 0 =0，再由f 1 与f -1 关系列式求解．详解】f x +f y +2xy =f x +y 中令x =y =0，则f 0 =0，f x +f y +2xy =f x +y 中令x =1，y =-1，则f 1 +f -1 -2=f 0 =0，又f x =x 3f 1x中令x =-1，则f -1 =0，所以f 1 =2，f x +f y +2xy =f x +y 中，令x =y =1，则f 2 =2f 1 +2=6，再令x =1，y =2，则f 3 =f 1 +f 2 +4=2+6+4=12．故选：D二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是()A . 若ab ≠0且a <b ，则1a >1b B . 若0<a <1，则a 2<aC . 若b >a >0且c >0，则b +c a +c >baD . a 2+b 2+1≥2a -2b -2 【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断A 选项；利用作差法可判断BCD 选项.【详解】对于A 选项，若ab ≠0且a <b ，取a =-1，b =1，则1a <1b，A 错；对于B 选项，若0<a <1，则a 2-a =a a -1 <0，B 对；对于C 选项，若b >a >0且c >0，则a -b <0，则b +c a +c -b a =a b +c -b a +c a a +c =c a -b a a +c<0，故b +c a +c <ba ，C 错；对于D 选项，a 2+b 2+1-2a -2b -2 =a 2-2a +1 +b 2+4b +4 =a -1 2+b +2 2≥0，当且仅当a =1b =-2时，等号成立，故a 2+b 2+1≥2a -2b -2 ，D 对.故选：BD .10. 已知函数f x =e x+e -x+12x 2，则满足f 3a <f a +2 的整数a 的取值可以是()A . -1B . 0C . 1D . 2【答案】BCD 【解析】【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解．【详解】由题意得f -x =e -x+e x+12x 2=f (x )，故f x 为偶函数，而f x =e x -e -x+x ，当x >0时，f x >0，故f x 在(0,+∞)单调递增，在(-∞,0)单调递减，若f 3a <f a +2 ，则|3a |<|a +2|，得3a 2≤a 2+4a +4，即a 2-2a -2≤0，解得1-3≤a ≤1+3故选：BCD11. 已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2 任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线y =f x 的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称，则()A . ω=2,φ=π6B . 直线x =2π3为曲线y =f x 的一条对称轴C . 若f x 在-a ,a 单调递增，则0<a ≤π3D . 曲线y =f x 与直线y =12x -5π24有5个交点【答案】ABD 【解析】【分析】根据周期可得ω=2，进而根据对称可得ϕ=π6，即可求解A ，代入验证即可判断B ，根据正弦函数的单调性，即可求解C ，根据函数的对称性，结合函数图象即可判断D .【详解】由题意π4=T 4=2π4ω，故ω=2，又y =f x 图象向左平移π6个单位得到y =2sin 2x +π3+φ ，所以π3+φ=k π+π2k ∈Z ，且0<φ<π2，故ϕ=π6，A 正确；因为f x =2sin 2x +π6 ，且f 2π3 =2sin 4π3+π6 =-2为最小值，所以直线x =2π3为曲线y =f x 的一条对称轴，B 对；令-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π⇒-π3+k π≤x ≤π6+k π,k ∈Z ,故易知f x 在-π3,π6单调递增，故0<a ≤π6，C 错；直线y =12x -5π24与曲线y =f x 均过点5π12,0 ，且该直线与曲线y =f x 均关于该点中心对称，当x =7π6时，y =3π8<2，当x =13π6时，y =7π8>2，由对称性可知曲线y =f x 与直线y =12x -5π24有5个交点，故D 对．故选：ABD ．12. 已知函数f x =x e x+1 ，g x =x +1 ln x ，则()A . 函数f x 在R 上无极值点B . 函数g x 在0,+∞ 上存在极值点C . 若对任意x >0，不等式f ax ≥f ln x 2恒成立，则实数a 的最小值2eD . 若f x 1 =g x 2 =t t >0 ，则ln t x 1x 2+1的最大值为1e 【答案】ACD 【解析】【分析】对f x ,g x 求导后，根据导函数正负可确定f x ,g x 的单调性，由极值点定义可知AB 正误；由f x 单调性可得ax ≥ln x 2，分离变量后，可知a ≥h x =2ln xx，利用导数可求得h x max ，知C 正确；采用同构法可确定x 2=e x 1，可将ln t x 1x 2+1 化为ln x 1e x1+1 x 1e x1+1 ，令k =x 1e x 1+1 ，p k =ln kk ，利用导数可求得p k 最大值，知D 正确.【详解】对于A ，f x 定义域为R ，fx =e x+1+xe x=x +1 e x+1，令m x =f x ，则mx =x +2 e x ，∴当x ∈-∞,-2 时，m x <0；当x ∈-2,+∞ 时，m x >0；∴m x ，即fx 在-∞,-2 上单调递减，在-2,+∞ 上单调递增，∴f x ≥f -2 =-e -2+1=1-1e 2>0，∴f x 在R 上单调递增，无极值点，A 正确；对于B ，g x 定义域为0,+∞ ，g x =ln x +x +1x =ln x +1x+1，令n x =g x ，则nx =1x -1x 2=x -1x 2，∴当x ∈0,1 时，n x <0；当x ∈1,+∞ 时，n x >0；∴n x ，即g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，∴g x ≥g 1 =2>0，∴g x 在0,+∞ 上单调递增，无极值点，B 错误；对于C ，由A 知：f x 在R 上单调递增，由f ax ≥f ln x 2得：ax ≥ln x 2，则当x >0时，a ≥ln x 2x =2ln x x，令h x =2ln x x ，则hx =21-ln x x 2，∴当x ∈0,e 时，h x >0；当x ∈e ,+∞ 时，h x <0；∴h x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴h x max =h e =2e ，∴a ≥2e ，即a 的最小值为2e，C 正确；对于D ，若f x 1 =g x 2 =t t >0 ，则x 1e x1+1 =x 2+1 ln x 2=t ，∵f 0 =0，g 1 =0，t >0，由AB 知：f x ,g x 均为定义域上的增函数，∴x 1>0，x 2>1，由x 1e x1+1 =x 2+1 ln x 2得：x 1e x1+1 =e x1+1 ln e x1=x 2+1 ln x 2，∴x 2=e x1，∴ln t x 1x 2+1 =ln x 1e x 1+1 x 1e x1+1；令k =x 1e x1+1 ，则k >0，令p k =ln k k ，则pk =1-ln k k 2，∴当k ∈0,e 时，p k >0；当k ∈e ,+∞ 时，p k <0；∴p k 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴p k max =p e =1e ，即ln t x 1x 2+1的最大值为1e ，D 正确.故选：ACD .【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D 选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知函数y =f (x )的图像在x =2处的切线方程是y =3x +1，则f (2)+f(2)=______．【答案】10【解析】【分析】通过切线可得斜率即可导数值，再求函数值即可.【详解】由已知切点在切线上，所以f (2)=3×2+1=7，切点处的导数为切线斜率，所以f(2)=3，所以f (2)+f(2)=10.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14. 设f x 定义在R 上且f x =log 22-x ,x <2 f x -1 -f x -2 ,x ≥2，则f 13 =______．【答案】0【解析】【分析】根据分段函数解析式一一计算可得.【详解】因为f x =log 22-x ,x <2 f x -1 -f x -2 ,x ≥2，所以f 13 =f 12 -f 11 =f 11 -f 10 -f 11 =-f 10 ，f 10 =f 9 -f 8 =f 8 -f 7 -f 8 =-f 7 ，同理可得f 13 =f 7 =f 1 =log 22-1 =0.故答案为：015. 已知tan α+π6 =12，tan π12+β =13，则tan α-2β =______．【答案】-211【解析】【分析】由二倍角正切公式可求得tan π6+2β ，由tan α-2β =tan α+π6 -π6+2β ，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】∵tan π12+β=13，∴tan π6+2β =2tan π12+β 1-tan 2π12+β =231-19=34，∴tan α-2β =tan α+π6 -π6+2β =tan α+π6 -tan π6-2β 1+tan α+π6 tan π6-2β =12-341+12×34=-211.故答案为：-211.16. 修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足AC ⊥MN ，且AC 长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A 到小岛建三段栈道AB 、BD 与BE ，水面上的点B 在线段AC 上，且BD 、BE 均与圆C 相切，切点分别为D 、E ，其中栈道AB 、BD 、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN ，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.【答案】2π3+5【解析】【分析】连接CD ，CE ，设∠CBE =∠CBD =θ，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值.【详解】连接CD ，CE ，由半圆半径为1得：CD =CE =1.由对称性，设∠CBE =∠CBD =θ，又CD ⊥BD ，CE ⊥BE ，所以BE =BD =CD tan θ=1tan θ，BC =CD sin θ=1sin θ，易知∠MCE =∠NCD =θ，所以ME =ND的长为θ.又AC =3，故AB =AC -BC =3-1sin θ∈(0,2)，故sin θ∈13,1 ，令sin θ0=13且θ0∈0,π6 ，则f θ =5-1sin θ+2tan θ+2θ，θ∈θ0,π2 ，所以fθ =-cos θ2cos θ-1 sin 2θ.θθ0,π3π3π3,π2f θ -0+f θ单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值f θ min =f π3 =2π3+5.故答案为：2π3+5.四．解答题：(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17. 已知函数f x=sin ωx +φ ω>0,0<φ<π2 最小正周期为π,π3是函数f x 一个零点.(1)求ω,φ；(2)在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,f A 2 =32,a =2，求△ABC 面积的最大值.【答案】(1)ω=2，φ=π3(2)3【解析】【分析】(1)根据周期求出ω=2，再根据零点和φ的范围即可；(2)代入A2求出A 值，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.【小问1详解】依题意，周期2πω=π，所以ω=2，由题意得2×π3+φ=k πk ∈Z ，解得φ=k π-2π3k ∈Z ，而0<φ<π2，所以取k =1，φ=π3.【小问2详解】因为fA 2 =32，所以sin A +π3 =32，因为A ∈0,π ，所以A +π3∈π3,4π3 ，则A +π3=2π3,A =π3，由余弦定理得4=b 2+c 2-bc ，因为b 2+c 2≥2bc ，则4=b 2+c 2-bc ≥2bc -bc ，所以bc ≤4(当且仅当b =c =2时，bc 有最大值4)，因为S △ABC =12bc sin A =34bc ，所以△ABC 面积的最大值为3.18. 已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且a 2n +2a n -n =2S n ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =3an -1，若数列c n 满足c n =b n +1b n ⋅b n +1，求证：c 1+c 2+⋯+c n <14．【答案】(1)a n =n (2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用和与项的关系可求得a n =a n -1+1(n ≥2)，从而利用等差数列的通项公式即可求解；(2)由(1)知b n =3n-1，从而利用裂项相消法求得c 1+c 2+⋯+c n =14-123n +1-1，从而可证.【小问1详解】∵a 2n +2a n -n =2S n ，当n ≥2时，a 2n -1+2a n -1-(n -1)=2S n -1，两式相减得：a 2n +2a n -a 2n -1-2a n -1-1=2a n ，整理得a 2n =a n -1+1 2，∵a n >0，∴a n =a n -1+1(n ≥2)，当n =1时，a 21+2a 1-1=2a 1，∴a 1=-1(舍)或a 1=1，∴a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，则a n =n ；【小问2详解】由(1)知，b n =3n-1，c n =3n 3n -1 ⋅3n +1-1=1213n -1-13n +1-1 ∴c 1+c 2+⋯+c n =12131-1-132-1+132-1-133-1+⋯+13n -1-13n +1-1 =1212-13n +1-1 =14-123n +1-1，∵123n +1-1 >0，∴14-123n +1-1<14，即c 1+c 2+⋯+c n <14．19. 2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；(2)设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．【答案】(1)13(2)分布列见解析，E X =53【解析】【分析】(1)分别考虑第一天训练的是和不是“篮球运球上篮”的情况，根据古典概型概率公式可分别求得对应的概率，加和即可求得结果；(2)分别求得X 每个可能的取值对应的概率，进而确定分布列；根据数学期望公式可求得期望.【小问1详解】记第一天训练的是“篮球运球上篮”且第三天也是训练“篮球运球上篮”为事件A ；第一天训练的不是“篮球运球上篮”且第三天是训练“篮球运球上篮”为事件B ；由题意知：三天的训练过程中，所有可能的情况有：3×2×2=12种，∴P A =1×2×112=16，P B =2×1×112=16，∴第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率P =P A +P B =16+16=13.【小问2详解】由题意知：X 所有可能的取值为0,1,2,3，考前最后5天训练中，所有可能的情况有：3×24=48种；当X =0时，第一天有2种选择，之后每天都有1种选择，∴P X =0 =2×1448=124；当X =1时，若第一天选择“羽毛球对拉高远球”，则第二天有2种选择，之后每天只有1种选择，共2种选择；若第二天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第三天2种，之后每天只有1种选择，共4种选择；第三天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天有1种选择，第三天1种选择，第四天有2种选择，第五天有1种选择，共4种选择；第四天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天均只有1种选择，第五天有2种选择，共4种选择；第五天选择“羽毛球对拉高远球”，则第一天有2种选择，第二天，第三天，第四天，第五天都只有1种选择，共2种选择；∴P X =1 =2+4+4+4+248=13；当X =3时，只有第一天，第三天，第五天，选择“羽毛球对拉高远球”，共有22=4种选择，∴P X =3 =448=112；∴P X =2 =1-P X =0 -P X =1 -P X =3 =1324，∴X 的分布列为：X123P124131324112∴E X =0×124+1×13+2×1324+3×112=53.20. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD =PC =CA =BA =12AD =2，AD ⎳CB ，∠CPD =∠ABC =90°，平面PCD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥面PCA ；(2)点Q 在棱PA 上，设PQ =λPA 0<λ<1 ，若二面角P -CD -Q 余弦值为55，求λ.【答案】(1)证明见解析(2)λ=12【解析】【分析】(1)根据四边形AECB 为平行四边形可得CE =12AD ，知AC ⊥CD ，由面面垂直和线面垂直性质可得AC ⊥PD ，结合PD ⊥PC 可证得结论；(2)以C 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得λ.【小问1详解】取AD 中点E ，连接AC ，CE ，∵AD ⎳CB ，AE =CB ，∴四边形AECB 为平行四边形，∴AB =CE ，又AB =12AD ，∴CE =12AD ，∴AC ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，∴AC ⊥PD ，∵∠CPD =90°，即PD ⊥PC ，又AC ∩PC =C ，AC ,PC ⊂平面PCA ，∴PD ⊥平面PCA .【小问2详解】取CD 中点F ，连接PF ，∵PC =PD ，∴PF ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD =CD ，PF ⊂平面PCD ，∴PF ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，CD ,CA正方向为x ,y 轴正方向，作z 轴平行于直线PF ，可建立如图所示空间直角坐标系，则A 0,22,0 ，P 2,0,2 ，C 0,0,0 ，D 22,0,0 ，∴PA =-2,22,-2 ，CD =22,0,0 ，CP =2,0,2 ，∴PQ =λPA =-2λ,22λ,-2λ ，∴CQ =CP +PQ =2-2λ,22λ,2-2λ ，设平面CDQ 的法向量n=x ,y ,z ，则CD ⋅n=22x =0CQ ⋅n=2-2λ x +22λy +2-2λ z =0，令y =λ-1，解得：x =0，z =2λ，∴n =0,λ-1,2λ ；∵平面PCD ⊥y 轴，∴平面PCD 的一个法向量m =0,1,0 ，∴cos m ,n =m ⋅n m ⋅n =λ-1 λ-1 2+4λ2=55，解得：λ=12，满足0<λ<1，∴λ=12.21. 已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过A (2，0)，B (4，3)两点.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点P (2，1)，设过点P 的直线l 交C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点G ，H ，当GH =6时，求直线l 的斜率.【答案】(1)x 24-y 23=1(2)k =14【解析】【分析】(1)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1，根据双曲线过A 2,0 ,B 4,3 代入求解；(2)设过点P 的直线l 的方程为：y =k x -2 +1，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，与双曲线方程联立，设直线AM 的方程为y =y 1x 1-2x -2 ，令x =0，得到G 的坐标，设直线AN 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，令x =0，得到H 的坐标，再由GH =y G -y H =-2y 1x 1-2--2y 2x 2-2=6结合韦达定理求解.【小问1详解】解：设双曲线的方程为mx 2+ny 2=1，因为双曲线过A 2,0 ,B 4,3 ，所以4m =116m +9n =1 ，解得m =14n =-13，所以双曲线方程x 24-y 23=1；【小问2详解】由题意设过点P 的直线l 的方程为：y =k x -2 +1，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y =k x -2 +1x 24-y 23=1，消去y 得3-4k 2 x 2-8k 1-2k x -16k 2+16k -16=0，则3-4k 2≠0Δ=-8k 1-2k 2-43-4k 2 -16k 2+16k -16 >0 ，解得k <1或k ≠±32，由韦达定理得x 1+x 2=8k 1-2k 3-4k 2,x 1⋅x 2=-16k 2+16k -163-4k 2，设直线AM 的方程为y =y 1x 1-2x -2 ，令x =0，得y G =-2y 1x 1-2，则G 0,-2y 1x 1-2 ，设直线AN 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ，令x =0，得y H =-2y 2x 2-2，则H 0,-2y 2x 2-2 ，所以GH =y G -y H =-2y 1x 1-2--2y 2x 2-2=6，即y 1x 1-2-y2x 2-2 =3，即k x 1-2 +1x 1-2-k x 2-2 +1x 2-2=3，即1x 1-2-1x 2-2=3，即x 1-x 2x 1⋅x 2-2x 1+x 2 +4=3，即x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3x 1⋅x 2-2x 1+x 2 +4 ，则x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=9x 1⋅x 2-2x 1+x 2 +4 2，将韦达定理代入得8k 1-2k 3-4k 22-4-16k 2+16k -163-4k2 =9-16k 2+16k -163-4k 2-28k 1-2k 3-4k 2+42，整理得1921-k =9×-4 2，即41-k =3，解得k =14，符合条件.22. 已知函数f (x )=mxe -x+x -ln x (m ∈R ).(1)讨论函数f x 的极值点个数；(2)若m >0，f x 的最小值是1+ln m ，求实数m 的所有可能值.【答案】(1)m ≤e 时，f x 恰有一个极值点；m >e 时，f x 恰有三个极值点；(2)e ,+∞ .【解析】【分析】(1)求出函数f x 的导数，按m ≤e 与m >e 分类讨论，并借助零点存在性定理推理作答.(2)利用(1)中信息，按m ≤e 与m >e 探讨利用导数函数f x 的最小值作答.【小问1详解】函数f x 的定义域是0,+∞ ，求导得f(x )=m (e -x-xe -x)+1-1x =1ex (x -1)e x x -m ，令u (x )=e x x -m ,x >0，求导得ux =e x x -1 x 2，x ∈(0,1),u (x )<0,u (x )递减，x ∈(1,+∞),u (x )>0,u (x )递增，u (x )min =u (1)=e -m ，①当m ≤e 时，u (x )≥e -m ≥0，x ∈(0,1),f (x )<0,f (x )递减，x ∈(1,+∞),f(x )>0,f (x )递增，有1个极小值点；②当m >e 时，e -m <0，令y =e x -x -1,x >0，则y =e x -1>0，函数y =e x -x -1在(0,+∞)上递增，e x -x -1>0，即e x>x+1，当x <1m -1<1时，u x >x +1x -m =1+1x-m >0，此时∃x 1∈0,1 ，使得u x 1 =0，令v (x )=e x -x 2,x >1，有v (x )=e x -2x ，令φ(x )=e x-2x ,x >1，φ (x )=e x -2>0，即有v(x )在(1,+∞)上递增，v(x )>v(1)=e -2>0，函数v (x )在(1,+∞)上递增，v (x )>v (1)=e -1>0，则e x >x 2，当x >m >e 时，u x >x 2x-m =x -m >0，此时∃x 2∈1,+∞ ，使得u x 2 =0，因此x ∈0,x 1 ,f(x )<0,f x 递减，x ∈x 1,1 ,f (x )>0,f x 递增，x ∈1,x 2 ,f (x )<0,f x 递减，x ∈x 2,+∞ ,f (x )>0,f x 递增，f x 有3个极值点，所以当m ≤e 时，f x 恰有一个极值点；当m >e 时，f x 恰有三个极值点.【小问2详解】由(1)知，①当0<m ≤e 时，f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，f (x )min =f 1 =m e +1=1+ln m ，即1e =ln m m ，令g x =ln x x,0<x ≤e ，g x =1-ln x x2≥0，函数g (x )在0,e 上单调递增，g (x )max =g e =1e ，则m =e ；②当m >e 时，∃x 1∈0,1 ，使得u x 1 =0，∃x 2∈1,+∞ ，使得u x 2 =0，x ∈0,x 1 ,f (x )<0,f x 递减，x ∈x 1,1 ,f (x )>0,f x 递增，x ∈1,x 2 ,f (x )<0,f x 递减，x ∈x 2,+∞ ,f (x )>0,f x 递增，其中e x ix i-m =0i =1,2 ⇔x i =ln m +ln x i ，则f (x )min =min f x 1 ,f x 2 =1+ln m ，显然f x i =mx iex i+x i -ln x i =1+ln m 符合要求，即有m >e ，综上提m ≥e ，所以m 的所有可能值是e ,+∞ 上的实数.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。
山西省山西大学附属中学2017届高三上学期期中考试理数试题Word版含解析
山西大学附属中学2016~2017学年高三第一学期11月模块诊断数学试题（理）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =--≤，2{|10}B x x =->，则A B =（ ）A.[2,1)-B. (1,1)-C. (1,2]D. (2,1)(1,2]-- 【答案】C考点：集合的交集运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2.已知复数z 满足(1)5i z i -=+，则z =（ ）A. 23i +B. 23i -C. 32i +D. 32i -【答案】B【解析】试题分析：（方法一）由已知得5(5)(1)46231(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+，故23z i =-.故选B.（方法二）设z a bi =+(,)a b R ∈，则z a bi =-.故由已知方程可得(1)()5i a bi i --=+，即()()5a b a b i i -+--=+.所以51a b a b -=⎧⎨--=⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩.所以23z i =-.故选B. 考点：复数的基本运算以及共轭复数【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()++=-++∈a b i c d i a c b d a d b c i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3.若1||,3||==且)2b b +⋅=-，则 cos ,a b <>=（ ）A.-B.31- C ．-【答案】C考点：向量的数量积【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.4.如图为某几何体的三视图，则其体积为（ ） A.243π+ B.243π+ C.43π+ D.43π+【答案】D【解析】考点：三视图【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．5.函数1()sin(ln )1x f x x -=+的图象大致为（ ）【答案】B【解析】 试题分析：由101x x ->+得11x x ><-或，所以舍去A; 111()sin(ln )sin(ln )sin(ln )()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+，所以舍去C; 1(2)sin(ln )sin(ln 3)03f ==-<,所以舍去D;故选B. 考点：函数图象【思路点睛】(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系6.已知身穿红，黄两种颜色衣服的各两人，身穿蓝衣服的有1人，现将五人排成一列，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法有（ ）A. 72种B. 78种C. 48种D. 84种【答案】C考点：排列组合【方法点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.7.已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b+的最小值为（ ） A. 9 B. 32 C.34 D.52 【答案】B【解析】 试题分析：如图画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设2z x y =+，显然z 的几何意义为直线20x y z +-=在y 轴上的截距.由图可知，当直线过点M 时，直线在y 轴上截距最大，即目标函数取得最大值.由230330x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得(3,0)M ； 所以z 的最大值为2306⨯+=，即6m =.所以 6a b +=.故1411414()()(5)66b a a b a b a b a b+=++=++13(562≥+=.当且仅当4b a a b =，即2=4b a =时等号成立. 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8.抛物线223y x x =--与坐标轴的交点在同一个圆上，则交点确定的圆的方程为（ ）A . 22(1)2x y +-= B.22(1)(1)4x y -+-=C.22(1)1x y -+=D. 22(1)(1)5x y -++=【答案】D【解析】试题分析：抛物线223y x x =--与坐标轴的交点为(1,0),(3,0),(0,3)--，由圆一般方程220x y Dx Ey F ++++=得222210293022230(1)(1)59303D F D D F E x y x y x y E F F -+==-⎧⎧⎪⎪++=⇒=⇒+-+-=⇒-++=⎨⎨⎪⎪-+==-⎩⎩选D. 考点：抛物线、二次方程和圆的方程9.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（ ）A.必要条件B. 充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A考点：充要条件【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．10.已知点A 、B 、C 、D在同一个球的球面上，2,AB BC ===若四面体ABCD 中球心O 恰好在侧棱DA 上，DC= ） A. 254π B.4π C. 16π D. 8π【答案】C【解析】试题分析：由2,AB BC ===可知,2ABC π∠=取AC 中点M ，则OM 为DA 的中位线，又点M 为ABC ∆外接圆圆心，球心O 到面ABC的距离为12d DA ==2R ===，故球表面积为2416S R ππ==.考点：球的表面积 【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足170S >，180S <，则11S a ，22S a ，…，1515S a 中最大的项为（ ）A ．77S aB ．88S aC ．99S aD ．1010S a 【答案】C考点：等差数列的性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.12.已知函数ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A. [32ln 2,2)-B. [32ln 2,2]-C. [1,2]e -D. [1,2)e -【答案】A【解析】试题分析：如图，作出函数()y f x =的图象，不妨设()()f m f n t ==，由()()f m f n =可知函数()f x 的图象与直线y t =有两个交点，而0x ≤时，函数()y f x =单调递增，其图象与y 轴交于点(0,1)，所以01t <≤.又m n <，所以0m ≤，0n >，由01t <≤，得0ln(1)1n <+≤，解得01n e <≤-.由()f m t =，即112m t +=，解得22m t =-；由()f n t =，即ln(1)n t +=，解得1t n e =-；记()1(22)21t t g t n m e t e t =-=---=-+（01t <≤），()2t g t e '=-. 所以当0ln 2t <<时，()0g t '<，函数()g t 单调递减；当ln 21t <≤时，()0g t '>，函数()g t 单调递增.所以函数()g t 的最小值为ln 2(ln 2)2ln 2132ln 2g e=-+=-； 而0(0)12g e =+=，(1)2112g e e =-+=-<.所以32ln 2()2g t -≤<.考点：分段函数与方程的解，导数与函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()121x a f x =++（a R ∈）为奇函数，则=a . 【答案】2-考点：函数的奇偶性【方法点睛】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式.14.如图，若4n =时，则输出的结果为 .【答案】94考点：循环结构程序框图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.15.如图，在长方形OABC 内任取一点(,)P x y ，则点P 落在阴影部分内的概率为 .【答案】e 231考点：定积分的应用以及几何概型的求解 【方法点睛】1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．16.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a Cb B2s i n s i n c =+，2=b ，则ABC ∆面积是_______. 【答案】1 【解析】试题分析：在ABC ∆中，a Cb B 2sin sinc =+，∴sinC sin 2sin 2sin sin BA B C =+≥,当且仅当sinC sin B =时取等号,∴1sin ≥A ,又1sin ≤A ，故1sin =A ,2π=A 则ABC ∆面积是1考点：正弦定理，基本不等式【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)()1(42*∈+=N n a n nS n n ．11=a（Ⅰ）求n a ； (Ⅱ)设n n a n b =，数列}{n b 的前n 项和为n T ，求证：47<n T ． 【答案】（Ⅰ）3n a n = (Ⅱ)详见解析试题解析：解(1); n n a n nS 2)1(4+=, (1) 1-21-1-4n n a n S n =）（(2) (1)-(2),得,221(1)44(1)n n n n n a a a n n -+=--, 11)1(1313==-=-a n a n a n n ，3n a n = (2)21nb n =,47147)1(14313212112<-=⨯-++⨯+⨯++<n n n T n 考点：由和项求通项，裂项相消法求和【方法点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AB AD ⊥，PAB ∆和PAD ∆是两个边长为2的正三角形，4DC =，O 为BD 的中点，E 为PA 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求面PAD 与面PBC 所成角的大小．【答案】（Ⅰ）详见解析(Ⅱ)2π试题解析：（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB = ∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ，∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点，∴O 为,AF BD 的交点， ∵2PD PB ==， PO BD ⊥，∵BD ==∴PO ==12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥， ∵AOBD O =，∴PO ⊥平面ABCD ；ADOCP BE考点：线面垂直判定定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.（本小题满分12分）某技术公司新开发了,A B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；(Ⅱ)生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记X为生产1件产品A和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X的分列和数学期望．【答案】（1）45，34；（2）分布列见解析，132．【解析】试题分析：（1）根据频率估计概率得：产品A为正品的概率为产品A为正品数除以总数100，即4032841005++=，同理可得产品B为正品的概率约为4029631004++=．（2）先确定随机变量的取法：180,90,6030，-，再分别求对应概率，()433180545P X ==⨯=；()133905420P X ==⨯=；()41160545P X ==⨯=；()111305420P X =-=⨯=．列表可得分布列，最后根据数学期望公式求数学期望 试题解析：（1）产品A 为正品的概率为4032841005++=． 产品B 为正品的概率约为4029631004++=．考点：1、离散型随机变量的期望与方差；2、列举法计算基本事件数及事件发生的概率；3、离散型随机变量及其分布列．【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.20.（本小题满分12分）已知点(0,2)A -,椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程【答案】（I ）2214x y +=（II ）22y x =-或22y x =--试题解析：（I ）设(,0)F c ，由条件知23c =，得c =2c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=（II ）当l x ⊥轴时不合题意，故可设:2l y kx =-，1122(,),(,)P x y P x y ，将:2l y kx =-代入2214x y +=中得22(14)16120k x kx +-+=，当216(43)0k ∆=->时,即234k >, 由韦达定理得1212221612,1414k x x x x k k +==++从而||PQ ==214k=+又点O 到直线PQ 的距离为d =所以POQ ∆的面积1||2OPQ S d PQ ∆=⋅=考点：椭圆的标准方程，点到直线的距离公式，弦长公式，二次分式类函数最值的求法 【方法点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 21.（本小题满分12分） 已知函数x x f ln )(=，0,21)(2≠+=a bx ax x g ． （Ⅰ）若2=b ，且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,，证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.【答案】（I ）（－1，0）∪（0，+∞）（II ）详见解析 【解析】试题分析：（I ）先转化：函数h(x)存在单调递减区间，等价于)(x h '<0在（0，+∞）上有解.再求导数.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--='，再转化：a x 2+2x －1>0有正数解.再分离变量转化为对应函数最值：11112122-≥--=->）（xx x a ，最后不要忘记题设条件0a ≠（II ）先转化：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行，等价于C 1在点M 处的导数值不等于C 2在点N 处的导数值，即b x x a x x ++=+2)(22121无解，利用Q P ,为函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 公共点，列等量关系：2211112222ln ,ln 22a a y x x bx y x x bx ==+==+，两式对应相减得2221212121ln ln ()()2a y y x x x xb x x -=-=-+-，即211221ln ()2x x a x x b x x +=+-，即.1)1(2ln 121212x x x x x x +-=令,12x x t =转化为研究2(1)ln ,(1)1t t t t -=>+无解，利用导数研究函数.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 为单调递增函数，所以.0)1()(=>r t r 即tt t +->1)1(2ln ，得证方法二 分离参数，11112122-≥--=->）（xx x a ，a 的取值范围为（－1，0）∪（0，+∞）.（II ） 设点P 、Q 的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0<x1<x2. 则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=C1在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= C2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+=假设C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线平行，则k1=k2. 即b x x a x x ++=+2)(22121，则)2()2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-（=.ln ln 1212x x y y -=-所以.1)1(2ln121212x x x x x x +-=设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r 因为1>t 时，0)(>'t r ，所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则tt t +->1)1(2ln . 这与①矛盾，假设不成立.故C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线不平行.考点：利用导数求函数单调性，导数几何意义 【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y ＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则 y ＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y ＝f(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)．（Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲线1C 于,A B 两点，求AB ． 【答案】（I ）222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+=（II试题解析：⑴222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+=曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l 的参数方程为)(22424为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 将其代入曲线1C 整理可得：04232=+-t t ，设,A B 对应参数分别为21,t t ，则4,232121==+t t t t所以2t 4t -)t -(t |t -t |||2122121===AB 12||||AB s s =-==. ………10分方法二，直线方程为4y +=x ，圆心到直线4y +=x 的距离为21=d ，22112||=-=AB 考点：参数方程化为普通方程，直线参数方程几何意义23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x a x x =--+．（Ⅰ）若2a =，解不等式()3f x ≤；(Ⅱ) 若存在实数x ，使得不等式()12|2|f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）37{|}42x x -≤≤（II ）5[,)2-+∞ 【解析】 试题分析：（I ）先根据绝对值定义将不等式转化为三个不等式组：22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩，或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩，或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩，最后求三个不等式组解集的并集得原不等式的解集（II ）先化简不等式为3361x a x a --+≥-，再利用绝对值三角不等式求最值：336|(3)(36)||6|x a x x a x a --+≤--+=+，再转化解不等式|6|1a a +≥-得实数a 的取值范围．试题解析：不等式()3f x ≤化为2323x x --+≤，则22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩，或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩，或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩，……………………3分 解得3742x -≤≤， 所以不等式()3f x ≤的解集为37{|}42x x -≤≤．……………………5分考点：绝对值三角不等式，绝对值定义【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
山西大学附中跟进落实3 集合的基本关系及运算二
山西大学附中高中数学（必修1）跟进落实 编号3集合的基本关系及运算二一、选择题：1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2．已知}1,0{=P ，},1|{22P x y x y Q ∈=+=，则 （ ）A ．P ⊂≠Q B. Q ⊂≠P C. P =Q D. P Q =∅ 3.若集合}2,1,0{=M ，},,012012|),{(M y x y x y x y x N ∈≤--≥+-=且，则N 中元素的个数为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．24.已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则（ ）A ．P F =B ．Q E =C ．E F =D ．Q G =5．已知集合{|},{|12},()R A x x a B x x A C B R =<=<<=，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2a ≥B ．2a >C ． 1a ≤D ．1a <6．设}00|),{(},0|),{(>>=>=y x y x T xy y x S 且，则（ ）A ．S T S =B ．T T S =C ．S T S =D ．Φ=T S7．设全集}123|),{(},,|),{(=--=∈∈=x y y x M R y R x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ，则=)(N M C U （ ）A ．ΦB ．)3,2(C ．)}3,2{(D ．}1|),{(+=x y y x二、填空题：8.已知{}5,2=A , {}02=++=n mx x x B ，A B A = ，}5{=B A ，则=+n m9.设}1|{},3|{>=-≥=x x A x x U ，则=A C U10．设集合},21,|{},40|{2≤≤--==≤≤∈=x x y y B x R x A 则=)(B A C U11. 已知集合}4,2{},3,2,1{==B A ，定义集合B A 、间的运算}|{B x A x x B A ∉∈=*且,则集合B A *=三、解答题：12.（1）已知集合},52|{≤≤-=x x P }121|{-≤≤+=k x k x Q ，Φ=Q P ，求实数k 的取值范围.（2）已知集合},52|{≤≤-=x x P }121|{-≥+≤=k x k x x Q 或，R Q P = ，求实数k 的取值范围.13．设集合}022|{2=-++∈=p x x R x A ，}0|{>=x x B ，且Φ=B A ，求实数p 的取值范围。
2020年3月山西大学附属中学2020届高三模块诊断考试(总第十二次)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前山西大学附属中学2020届高三毕业班下学期模块诊断考试(总第十二次)数学(理)试题(解析版)2020年3月一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）1.已知全集U =R ，集合{}{}2|1,|0A x x B x x =≥=>，则()()U U C A C B ⋂（ ）A. ()1,1-B. (]0,1C. ()1,0-D. (]1,0-【答案】D【解析】【分析】 根据不等式解法得到集合A ，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，{}|11A x x x =≥≤-或，{}|11U C A x x =-<<，{}|0U C B x x =≤， ∴()()(]1,0U U C A C B =-. 故选D.【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算,涉及不等式的计算,属于基础题.2.若12z i =+,则41i zz =- A. 1B. -1C. iD. -i【答案】C【解析】 试题分析：441(12)(12)1i i i zz i i ==-+--,故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中,可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项,复数的乘法与多项式的乘法相类似,只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3.已知a b →→==,且2a b →→⎛⎫- ⎪⎝⎭与a →垂直,则a →与b →的夹角是（ ） A. 3π B. 6π C. 34π D. 4π 【答案】A【解析】【分析】 利用向量的数量积的定义即可求解.【详解】解：22224cos 0a b a a a b θ→→→→→→⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭得1cos 2θ=, 求得a 与b 的夹角是3π.故选：A .【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算,属于基本题.4.已知0.64a =, 1.12b =,4log 12c =,则（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. c a b <<【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较c 与2的大小关系,再利用指数函数的单调性得出2a b >>,即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2x y =为增函数,则 1.2 1.1222a b =>=>,。
2020届山西省山西大学附属中学高三下学期3月(总第十一次)模块诊断数学(文)试题解析
绝密★启用前2020届山西省山西大学附属中学高三下学期3月（总第十一次）模块诊断数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．()Z M 表示集合M 中整数元素的个数，设集合{}18A x x =-<<，{}5217B x x =<<，则()Z A B ⋂=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C先求出A B ⋂，再结合题意即可求出结果. 解：()1,8A =-Q ，517,22B ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5,82A B ⎛⎫∴⋂= ⎪⎝⎭，()5Z A B ∴⋂=.故选C点评：本题考查集合的交集，考查运算求解能力与新定义的理解能力，属于基础题型. 2．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z 的共轭复数是（ ） A ．2i - B ．2i + C ．12i + D ．12i -答案：B根据复数的除法运算法则和共轭复数的定义直接求解即可. 解：由()1243i z i +=+，得43i2i 12iz +==-+，所以2z i =+． 故选：B 点评：本题考查了复数的除法的运算法则，考查了复数的共轭复数的定义，属于基础题. 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<答案：C利用指数函数和对数函数单调性可得到0.632log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可得大小关系. 解：()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.故选：C . 点评：本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.4．宋代诗词大师欧阳修的《卖油翁》中有一段关于卖油翁的精湛技艺的细节描写：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”如果铜钱是直径为5cm 的圆，钱中间的正方形孔的边长为2cm ，则卖油翁向葫芦内注油，油正好进入孔中的概率是（ ） A ．25B ．425C ．25π D ．1625π答案：D根据几何概型面积型计算公式直接求解即可. 解：由题2525=π=π24S ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭圆，=4S 正方形，所以1625πS P S ==正方形圆． 故选：D 点评：本题考查了几何概型面积型计算公式，属于基础题.5．命题p ：,x y R ∈，222x y +<，命题q ：,x y R ∈，2x y +<，则p 是q 的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．必要充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：A222x y +< 表示的范围，用图像来表示就是以(0,0) 为半径的圆内；q ：,x y R ∈，2x y +< 表示以()()()()0,2,0,2,2,0,2,0-- 为顶点的菱形；画出图像知道菱形包含了圆形；故p 范围比q 范围小，根据小范围推大范围，得p 是q 的充分非必要条件； 故选A点睛：充分必要条件中，小范围推大范围，大范围推不出小范围；这是这道题的跟本； 再者，根据图像判断范围大小很直观，快捷，而不是去解不等式；6．已知数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第2020项，则判断框内的条件是（ ）A ．2018?n „B ．2019?n „C ．2020?n „D ．2021?n „答案：B执行程序框图，从1n =开始运行，当运行求出2020a 的值，然后对判断框进行判断即可. 解：由递推式1n n a a n +=+， 可得11n n a a n -=+-，122n n a a n --=+-，…322a a =+，211a a =+.将以上()1n -个式子相加，可得11231n a n =+++++-L ， 则202011232019a =+++++L .①由程序框图可知，当判断框内的条件是()*?n k k ∈N …时，则输出的1123S k =+++++L ，②.综合①②可知，若要想输出①式的结果，则2019k =． 故选：B 点评：本题考查了对程序框图中的判断框的判断，属于基础题. 7．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．答案：D利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。
山西大学附属中学2019-2020学年高三第二学期3月（总第十二次）模块诊断数学理科试题
⼭西⼤学附属中学2019-2020学年⾼三第⼆学期3⽉（总第⼗⼆次）模块诊断数学理科试题⼭西⼤学附中2019～2020学年⾼三第⼆学期3⽉(总第⼗⼆次)模块诊断数学试题（理科）考试时间：120分钟满分：150分⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个是符合题⽬要求的.）1．已知全集U R =，集合2{|1}A x x = ，{|0}B x x =>，则()()(U U A B =?)A ．(1,1)-B ．(0，1]C ．(1,0)-D ．(1-，0]2．若12z i =+，则4(1i z z =- )A ．1B ．1-C ．i D ．i -3．已知||||a b = (2)a b - 与a 垂直，则a 与b 的夹⾓是()A ．3πB ．6πC ．34πD ．4π4．已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则()A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<5．已知m ，n 表⽰两条不同直线，α表⽰平⾯，下列说法正确的是()A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若m α⊥，n α?，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6．731(1)(1)x x -+展开式中3x 的系数为()A ．7-B ．28C ．35D ．427．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +的前2020项和为()A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．202120208．圆周率是圆的周长与直径的⽐值，⼀般⽤希腊字母π表⽰．早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到⼩数点后7位的结果，他是世界上第⼀个把圆周率的数值计算到⼩数点后第7位的⼈，这⽐欧洲早了约1000年．⽣活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值：在区间(0,1)内随机取2m 个数，构成m 个数对(,)x y ，设x ，y 能与1构成钝⾓三⾓形三边的数对(,)x y 有n 对，则通过随机模拟的⽅法得到的π的近似值为()A ．2m n m +B ．2m n n +C ．24m n m +D ．22m n n+9．函数1()sin 1x x e f x x e +=- 的部分图象⼤致为()A．B．C．D ．10．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离⼼率的取值范围是()A ．(1,2)B ．(1，324C ．32[)4+∞D ．(2,)+∞11．设函数()sin()f x x ω?=+，其中0ω>，[,43ππ?∈，已知()f x 在[0，2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满⾜条件的是()A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=12．在正四棱锥P ABCD -中，已知异⾯直线PB 与AD 所成的⾓为60?，给出下⾯三个命题，1p ：若2AB =，则此四棱锥的侧⾯积为4+；2p ：若E ，F 分别为PC ，AD 的中点，则//EF 平⾯PAB ；3p ：若P ，A ，B ，C ，D 都在球O 的表⾯上，则球O 的表⾯积是四边形ABCD ⾯积的2π倍．在下列命题中，为真命题的是()A ．23p p ∧B ．12()p p ∨?C ．13p p ∧D ．23()p p ∧?⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，每题5分，共20分.）13．已知3sin 1α=，则sin cos 2αα的值为．14．已知数列{}n a 满⾜11a =，且11009(*)n n a a n n N ++=-∈，该数列的前n 项和为n S ，则2019S =．15．2020年年初，新冠肺炎疫情袭击全国．⼝罩成为重要的抗疫物资，为了确保⼝罩供应，某⼯⼚⼝罩⽣产线⾼速运转，⼯⼈加班加点⽣产，设该⼯⼚连续5天⽣产的⼝罩数依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x （单位：⼗万只），若这组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的⽅差为1.44，且21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的平均数为4，则该⼯⼚这5天平均每天⽣产⼝罩⼗万只．16．已知函数()lnx f x m x=-，若2()()20f k f k --=有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本⼩题12分）设ABC ?的内⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos cos a c b C B-=．（1）求⾓B 的⼤⼩；（2）设b =ABC ?周长的最⼤值．18．（本⼩题12分）已知菱形ABCD 的边长为4，AC BD O = ，60ABC ∠=?，将菱形ABCD 沿对⾓线BD 折起，使AC a =，得到三棱锥A BCD -，如图所⽰．（1）当a =时，求证：AO ⊥平⾯BCD ；（2）当⼆⾯⾓A BD C --的⼤⼩为120?时，求直线AD 与平⾯ABC 所成⾓的正切值．19．（本⼩题12分）某校为了解学⽣对消防安全知识的掌握情况，开展了⽹上消防安全知识有奖竞赛活动，并对参加活动的男⽣、⼥⽣各随机抽取20⼈，统计答题成绩，分别制成如下频率分布直⽅图和茎叶图：（1）把成绩在80分以上（含80分）的同学称为“安全通”，根据以上数据，完成以下2x 2列联表，并判断是否有95%的把握认为是否是“安全通”与性别有关；男⽣⼥⽣合计安全通⾮安全通合计（2）以样本的频率估计总体的概率，现从该校随机抽取2男2⼥，设其中“安全通”的⼈数为X ，求X 的分布列与数学期望．附：参考公式K 2 ??傈?悔栃栃 ?悔?傈悔 ?栃?傈；其中n ＝a +b +c +d ．参考数据：P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828。
2018届山西省山大附中高三下学期第一次月考理科数学试题及答案
山西大学附属中学2018届高三第二学期第一次月考数学试题（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.已知i 为虚数单位,则1ii+的实部与虚部的乘积等于( ) A. 14 B. 14- C. 14i D. 14i -2．集合A ={=y x A.[]32，B.(]21，3．已知x 与y 方程∧∧∧+=a x b y A ．点)2,2( B C ．点)2,1( D 4个选项中的（A. b c > B. b 5222112(n n n a a a +-=+A ．226．设,,a b c 则下列ss 中，逆ss 不正确的是（ ） A ．当c α⊥时，若c β⊥，则//αβ B ．当b α⊂时，若b β⊥，则αβ⊥C ．当,b a αα⊂⊄且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D ．当b α⊂且c α⊄时，若//c α，则//b c7．若点),(y x M 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥<-+04x x y y x ，则15--x y 的取值范围是（ ）侧视图正视图A.),1()3,(+∞⋃--∞ B.),1[]3,(+∞⋃--∞ C.)1,3(- D.]1,3[-8．使奇函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=xxxf在]0,4[π-上为减函数的θ值为（）A.3π- B.6π- C.65π D.32π9．现有4名教师参加说课比赛，共有4个备选课题，若每位选手从中有放回地随机选出一个课题进行说课，其中恰有一个课题没有被这4位选中的情况有( )A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种10.矩形ABCD中,2,3,AD AB E==为AD的中点,P为边AB上一动点,则tan DPE∠的最大值为（）A B C．111．已知函数,log)31()(2xxxf-=实数cba,,满足),0(0)()()(>>><⋅⋅abccfbfaf若实数x为方程0)(=xf的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是( )A．x<a B．0x>b C．0x<c D．0x>c12．设1F、2F是双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使22()0OP OF PF+⋅=（O且122||3||PF PF=，则双曲线的离心率为A．32B．2C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题13.则该几何体的表面积为 .14.设(sin cos)a x x dxπ=+⎰，则二项式(展开式中含2x项的系数是 .15．在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，三边a、b、c成等差数列，且4Bπ=，则cos cosA C-的值为．16．给出以下四个ss ：①设2:0p a a +≠,:0q a ≠，则q p 是的充分不必要条件；②过点)2,1(-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是01=-+y x ； ③若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图像也关于直线y x =对称； ④若直线01cos sin =++ααy x 和直线1cos 102x y α--=垂直，则角2().26k k k ππαπαπ=+=+∈Z 或其中正确ss 的序号为 ．（把你认为正确的ss 序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分12分）数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n b 的前n 项的和为n T ，}{n b 为等差数列且各项均为正数，11=a ，121+=+n n S a )(*N n ∈，15321=++b b b （Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列；（Ⅱ）若11b a +，22b a +，33b a +成等比数列，求n T ．18．（本题满分12分）为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选。
编号1 山西大学附中高三年级集合的概念
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号1集合的概念【学习目标】1.熟悉集合的定义以及集合和元素之间的关系；2.会判断集合和元素的关系，并求解相应集合；【学习重点】判断集合和元素的关系，并求解相应集合【学习难点】判断集合和元素的关系，并求解相应集合【学习过程】(一）.基础梳理：一.集合与元素:（1）集合元素的三个性质： 、 、 ；（2）元素与集合的关系是属于或不属于的关系，用符号 或 表示；（3）集合的表示方法： 、 、 、 ；二.集合间的基本关系:（1）子集：_________________________⇔⊆B A（2）真子集：A B ⊂≠_________________________⇔ （3）集合相等：B A =⇔_______________（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，用_____表示. )(_______,____φφφ≠A A A（5）全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，称这个集合为全集，用______表示；（二）.巩固练习：一.选择题：1.有下列四个命题： ①{}0是空集； ②若a N ∈，则a N -∉； ③集合{}2210A x R x x =∈-+=有两个元素； ④集合6B x Q N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭是有限集. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．32.若},4,2,0{},2,1,0{,,==⊆⊆Q P Q M P M 则满足上述条件的集合M 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13．如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定4.已知{,,U R A x x a ==>=，则 A ．A C a u ⊆ B ．A C a u ⊄ C ．{}a A ∈ D ．A C a u ⊆}{ 5．已知{}{}221,,24M y y x x x R P x x ==--∈=-≤≤，则M P 与的关系是A ．M P =B ．M P ∈C ．P M ⊆D ．P M ⊇6．集合{2,}A x x k k Z ==∈，{21,}B x x k k Z ==+∈，{41,}C x x k k Z ==+∈又,a A b B ∈∈，则(1)a b A +∈(2)a b B +∈(3)a b C +∈(4)a b C +∉中正确命题的序号是A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（2）7．已知集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，由集合A B 与的所有元素组成集合{}1,3,x 这样的实数x 共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，那么此三角形一定不是A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9.已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则A ．P F =B ．Q E =C ．E F =D ．Q G =10. 已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素 的个数为A ．3B ．6C ．8D ．10二.填空题：11．若非空集{1,2,3,4,5}S ⊆,且若a S ∈,必有(6)a S -∈,则所有满足上述条件的集合 S 共有 个.12.已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ⊆，则适合条件的实数m的集合P 为 ；P 的子集有 个；P 的非空真子集有 个．.13.集合{}N x x N y ∈+-=∈,6y |2的非空真子集的个数是 个．14.设,m R ∈{(,)}A x y y m ==+{(,)cos ,sin ,02}B x y x y θθθπ===<<，且1122{(cos ,sin ),(cos ,sin )}A B θθθθ=12()θθ≠，求m 的取值范围 .三.解答题： 15.设集合2{40,}A x x x x R =+=∈，22{2(1)10,,}B x x a x a a R x R =+++-=∈∈，若B A ⊆,求实数a 的取值范围.16.设()(){}2,,,36a b Z E x y x a b y ∈=-+≤，点()2,1E ∈，但()3,2E ∉，()1,0,E ∉ 求,a b 的值.17.已知集合A={}012|2=++b ax x x 和B={}0|2=+-b ax x x 满足 I C A ∩B={}2，A ∩I C B={}4，I R =，求实数a,b 的值.。
2023-2024学年山西大学附属中学高三上学期10月月考数学试题及答案
山西大学附中2023~2024学年第一学期高三10月月考（总第四次）数 学 试 题考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：高考综合一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只如图所示，则不符合这一结果的试验是（A ．抛一枚硬币，正面朝上的概率B ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C ．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D ．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率10．函数()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕ⎛=+>><< ⎝π617．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)令2,,,,n n n S c b n ⎧⎪=⎨⎪为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T20．（12分）已知函数)(ln 2)(2R a ax x x x f ∈+-=(1)当0=a 时，求)(x f 的单调区间；(2)若函数m ax x f x g +-=)()(在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只3．二项式12⎪⎫⎛-xx展开式的常数项为（）A ．43π6B ．47π6【答案】A【详解】依题意，该玻璃杯所用玻璃的体积为故选：A5．若,ln ,ln e b e a e c b a ==-=--则（ ）A ．c b a << B ．c a <<【答案】Bln ,ln ,,-====由图象可知b c a <<故选：B6．有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛（无并列名次）乙快的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（ ）A ．21B ．61C ．31D ．【答案】C所以，22121242nn n nnn n na a aa a a+++++===，故数列{}1n na a+是公比为4，首项为12248a a=⨯=的等【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F'，由椭圆的对称性可知，四边形如图所示，则不符合这一结果的试验是（A．抛一枚硬币，正面朝上的概率B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率【答案】ABC【详解】解：根据统计图可知，实验结果在0.33附近波动，即其概率选项A，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为6A ．2ω=B ．()g x 的图象关于点(π-对称C ．()g x 在2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()g x 在()0,π上有两个极值点【答案】AC【详解】A 选项，设()f x()()()()2cos sin cos cos g x g x x g x x f x x x '''⎡⎤+==⎢⎥⎣，当π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x <，()0g x '>，6666a a a -=，即E 为AO ,C D ，，则_____.四、解答题：本大题共670分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是等比数列，满足13a =，11b =，2210b S +=，5232.a b a -=(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)令2,,,,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2.n T 【答案】(1)解：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则由13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，得331034232q d d q d +++=⎧⎨+-=+⎩，解得2d =，2q =，21n a n ∴=+，12n n b -=；(2)解：由(1)可得，(2)n S n n =+，则12,(2)2,n n n n n c n -⎧⎪+=⎨⎪⎩为奇数为偶数，即111,22,n n n c n n n -⎧-⎪=+⎨⎪⎩为奇数为偶数，213521242(...)(...)n n n T c c c c c c c -∴=++++++++111[(1)(335=-+-+ (32111)((22...2)2121n n n -+-++++-+12(1-4)1211-4n n =-++22(41).213n n n =+-+PA PB⊥.）故实数m 的取值范围是211,2e ⎛⎤+ ⎥.(1)求CO 的长；(2)若BC BD =，求ABD △的面积【答案】（1）在ACD 中，由余弦定理得解得4CD =或6CD =-（舍去）1cos ACD ∠=-，所以sin令()ln 1F x x x =-+，则11()1x F x xx -'=-=．。
山西大学附中必修一综合训练2
山西大学附中高中数学（必修1）综合训练（二）一、选择题：1.设集合{}{}|10,|20A x x B x x =+>=-<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|1x x >-B ．{}|2x x ≥C ．{}|21x x x ><-或D ．{}|12x x -<< 2.若函数23()43x f x mx mx +=-+的定义域为R ,则实数m 的取值范 围是（ ）A.()3,0(,)4-∞⋃+∞B.3(0,)4 C.3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D .30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.下列四组中的),(),(x g x f 表示同一个函数的是（ ）A.0)(,1)(x x g x f == B. 1)(,1)(2-=-=x x x g x x f C. 42)()(,)(x x g x x f == D. 393)(,)(x x g x x f ==4.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且2()()221f x g x x x +=-+，则(1)f -=（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2-5. 下列说法中，正确的个数（ ）(1)符合{}b a , {}d c b a M ,,,⊆的集合M 有3个；(2)对应11:,,+=→==x y x f R B R A 是映射； (3)()()*,N n m a a n m m n ∈=对任意实数a 都成立； (4)若函数)(x f 的定义域为[]2,0，则函数()()22-=x x f x g 的定义域为[)2,0． A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.设函数22()2x x f x -++=，对于给定的正数K ，定义函数(),()(),()K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩． 若对于函数22()2x x f x -++=定义域内的任意x ，恒有()()K f x f x =，则 ( ) A.K 的最大值为22 B.K 的最小值为22 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为17.已知函数)(x f y =满足：①是偶函数)1(+=x f y ；②在[)+∞,1上为增函数,若0,021><x x ,且221-<+x x ,则)(1x f -与)(2x f -的大小关系是( )A ．)()(21x f x f ->-B ．)()(21x f x f -<-C ． )()(21x f x f -=-D ．无法确定8.对于方程021*******=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛k x x 的解，下列判断不正确的是（ ） A ．41-<k 时，无解 B ．0=k 时，2个解 C ．041<≤-k 时，1个或2个解 D ． 0>k 时，无解 二、填空题9．函数2(1)23f x x x +=+-，则函数()f x = .42-x 10.设632==b a ，则=+ab b a ．1 11．函数()223a a f x x --=（常数a Z ∈）为偶函数且在()0,+∞是减函数，则()2f = ．161 12．设函数()x f 定义域为集合A ,值域为集合B ,若函数满足B A ⊆,则称函数为“集中函数” ．已知函数()x ax x f 22+=为“集中函数”，则实数a 的取值范围是 ．4-≤a 或0=a三．解答题13.已知函数()()[]1421log 2+++=x x a x f ． （1）当1-=a 时，求函数()x f 的定义域； （2）当(]1,∞-∈x 时，()x f 有意义，求实数a 的取值范围；(3) 当21-=a 时，若函数)(x f y =与()10≤≤+=x b x y 的图像无交点，求实数b 的取值范围．。
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山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号2
集合的运算
【学习目标】熟练掌握集合间的运算
【学习重点】 集合间的运算
【学习难点】 集合间的运算
【学习过程】
（一）.基础梳理：
（1）交集：_____________________=B A
（2）并集：_________________________=B A
（3）补集：____________________=A C U
（4）集合的运算性质：
①A B A =⇔ ；A B A =⇔ ；
②A A = ;A ∅= ; A A = ;A
∅= ; ③U A
C A = ; U A C A = ;()U U C C A = ;
④U U U A B A B A A B B C A C B A C B ⊆⇔=⇔=⇔⊇⇔=∅
（5）常用数集的记法：自然数集_______ 正整数集___________整数集_________ 有理数集____________ 实数集________
（二）.巩固练习：
一.选择题：
1．集合(){}(){},0,2A x y x y B x y x y =+==-=，，则A B 是
A ．()1,1-
B ．11x y =⎧⎨=-⎩
C ．(){}1,1-
D ．(){},1,1x y x y ==-或 2．已知集合,,A B C 为非空集合，M A C =,N B C =,P M N =，则
A ．一定有C P C =
B ．一定有
C P P =
C ．一定有C P C P =
D ．一定有C P =∅
3．集合2{,1,1}A a a =+-，2{21,|2|,34}B a a a =--+，{1}A B =-，则a 的值
A ．1-
B ．0或1
C ．2
D ．0 4．2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=且A B A =，则m 的取值范围
A ．⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-21,31 B ．110,32⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， C ．110,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭， D ．11,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 5.设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于 A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．∅
6.设集合},),{(R y R x y x U ∈∈=，}02),{(>+-=m y x y x A ，}0),{(≤-+=n y x y x B ， 那么满足点(2,3)()U P A C B ∈条件是
A. 1,5m n >-<
B. 1,5m n <-<
C. 1,5m n >->
D. 1,5m n <-<
7.如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
)P S B )P S )()I P C S D )()I P C S
8.设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，...，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩
⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大是
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13 9.已知集合A ＝{1，3}，B ＝{1，m } ,A B ＝A, 则m =
A. 0
B. 0或3
C. 1
D. 1或3
二.填空题：
10.已知{}32|320A x x x x =++>，{}2|0B x x ax b =++≤，若{}|02A B x x =<≤，{}|2A B x x =>-，则实数a 、b 的值分别为
11.设{}(){}2220,6250A x x px q B x x p x q =-+==++++=，若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则A B = .
12．已知集合{}210,A x x A
R =++==∅若，则实数m 的取值范围是 . 13.设,A B 是非空集合，定义{}A B x x A B x A B *=∈∉且,已知{03}A x x =≤≤，{1}B y y =≥，则A B *= .
14.已知集合A={}25x x -≤≤，B={}
123x m x m +≤≤-，且B A ⊆，实数m 的取值范围
三.解答题： 15．已知集合A={}32|<<x x ，B={}
034|22<+-a ax x x ,若A ⊆B ，求a 的取值范围. 16.设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
17．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，,A B 是U 的子集，且同时满足{2}A
B =， {1,9},{4,6,8},,U U U
C A
B C A C B A B ==求。