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20道已知函数解析式解函数不等式问题

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第三章不等式基础大题20道

第三章不等式基础大题20道

第三章不等式基础大题20道一、解答题1．解下列不等式（1）314x -+<（2）()()2340x x --<2．已知23(6)6y x a a x =-+-+.（1）当1x =时，求关于a 的不等式大于0的解集；（2）若不等式23(6)6x a a x b -+-+>的解集为(1,3)-，求实数a ，b 的值.3．（1）已知平面向量()1,a x =，()23,b x x =+-，若a 与b 垂直，求x ；（2）求关于x 的不等式(1)()0x x a -->的解集．4．已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或}2x >.（1）求a ；（2）解不等式()2220ax ac x c -++<. 5．（1）已知,a b c d ><，求证：a c b d ->-；（2）已知,0a b ab >>，求证：11a b<； （3）已知0,0a b c d >><<，求证：a b c d >. 6．已知不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤.（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：()()0x c ax b -->（c 为常数，且2c ≠）.7．已知1y x x=+. （1）已知x ＞0，求y 的最小值；（2）已知x ＜0，求y 的最大值．8．解下列关于x 的不等式：（1）2(1)10ax a x -++<.（2）221ax x +≥+. 9．（1）已知,a b ∈R ，且360a b -+=，求128a b+的最小值．（2）已知,a b 是正数，且满足1a b +=，求14a b+的最小值． 10．已知函数()()22log 32f x mx mx =-+，m R ∈.（1）若1m =，求函数()f x 的单调递减区间；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.11．已知x 、y 都是正数，求证：（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 12．已知不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，（1）画出不等式组所表示的平面区域（要求尺规作图，不用写出作图步骤，画草图不能得分）；（2）求平面区域的面积．13．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a ，b ；（2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<． 14．设1a ≈21111a a =++． （1介于1a 与2a 之间；（2）判断1a ，2a，并说明理由．15．已知A ={m |a ≤m ≤b }，B ={m |2m +4m +3≤0}，A =B（1）求实数a ，b 的值；（2）若实数x ，y 满足10220240x y x y x y -+>⎧⎪+-≥⎨⎪+-≥⎩，试作出不等式组表示的平面区域，并求t =x b x a ++的取值范围.16．已知函数()9()33f x x x x =+>-. （1）求函数()f x 的最小值；（2）若不等式2()7f x t t ≥++恒成立，求实数t 的范围.17．若二次函数()f x 满足()1()2f x f x x +-=，且()02f =.（1）求()f x 的解析式；（2）若不等式2()0f x mx mx -+>对于x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.18．已知函数()()22f x x a b x a =-++． （1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{}12x x <<，求a ，b 的值；（2）当2b =时，解关于x 的不等式()0f x >．19．设二次函数2()3f x ax bx =++.（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求a ，b 的值；（2）若(1)4f =，0a >，0b >，求49a b+的最小值． 20．目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前()*n n ∈N 年的支出成本为()2105n n -万元，每年的销售收入95万元．（1）估计该设备从第几年开始实现总盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．参考答案1．（1）{}06x x <<；（2）{4x x >或32x ⎫<⎬⎭. 【分析】（1）先将不等式化为33x -<，进而可求出结果；（2）先将不等式化为()()2340x x -->，求解即可得出结果.【详解】（1）由314x -+<得33x -<，所以333x -<-<，则06x <<， 所以原不等式的解集为{}06x x <<；（2）由()()2340x x --<得()()2340x x -->，解得4x >或32x <， 所以原不等式的解集为{4x x >或32x ⎫<⎬⎭. 2．（1）(3-+；（2）33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩【分析】（1）当1x =时，得2630a a -++>，解此不等式即可；（2）由题意可知1,3-是方程23(6)60x a a x b --+-=的两根，再利用根与系数的关系可得(6)1336133a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩，从而可求出a ，b 的值. 【详解】（1）当1x =时，263y a a =-++.∴不等式为2630a a -++>，解得33a -<<+∴所求不等式的解集为(3-+.（2）∵23(6)6x a a x b -+-+>，∴23(6)60x a a x b --+-<，∴1,3-是方程23(6)60x a a x b --+-=的两根， ∴(6)1336133a a b -⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩，解得33a b ⎧=±⎪⎨=-⎪⎩3．（1）3x =或1x =-；（2）分类讨论，答案见解析．【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，计算即可得出结果；（2）对参数a 分情况讨论，分别求得不等式的解集．【详解】（1）∵a b ⊥，∴()2230x x +-=，2230x x --= ∴3x =或1x =-．（2）①1a >时解集()(),1,a -∞⋃+∞，②1a =时解集{|x x R ∈且}1x ≠③1a <时解集()(),1,a -∞⋃+∞．【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示、一元二次不等式的解法，意在考查学生的分类讨论思想及数学运算的学科素养，属基础题.4．（1）a ＝1；（2）当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，当2c =时，不等式的解集为∅，当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<【分析】（1）由已知可知1x =或2x =是方程2320ax x -+=的根，把根代入方程中可求出a 的值； （2）由（1）可知不等不等式化为()2220x c x c -++<，然后分2>c ，2c =和2c <求解即可【详解】解：（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或}2x >，所以1x =或2x =是方程2320ax x -+=的根，所以320a -+=，解得1a =（2）由（1）可知不等式化为()2220x c x c -++<， 即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，当2c =时，不等式的解集为∅，当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<【点睛】此题考查由一元二次不等式的解集求参数，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 5．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）根据c d <不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 c d ->-, 再用同向可加性法则即可得出结果. （2）根据正数的倒数大于0可得10ab>,再用同向同正可乘性得出结果. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d >>,再用同向同正可乘性得出结果. 【详解】证明：（1）因为,a b c d ><，所以,a b c d >->-.则a c b d ->-.（2）因为0ab >，所以10ab>. 又因为a b >，所以 1a b ab ab1⋅>⋅， 即11b a >，因此11a b <. （3）因为0c d <<，根据（2）的结论，得110c d>>. 又因为0a b >>，则 11a b c d⋅>⋅，即a b c d>. 【点睛】本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.6．（1）1a =，2b =；（2）当2>c 时解集为{|x x c >或2}x <；当2c <时解集为{|2x x >或}x c <.【分析】（1）不等式2320x x -+≤的解集为{}|12x x ≤≤，即得解；（2）不等式为()(2)0x c x -->，再对c 分类讨论得解.【详解】（1）不等式2320x x -+≤的解集为{}|12x x ≤≤，因为不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤，所以1a =，2b =.（2）由（1）可知：不等式为()(2)0x c x -->， c 为常数，且2c ≠，∴当2>c 时解集为{|x x c >或2}x <；当2c <时解集为{|2x x >或}x c <.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．（1）2；（2）－2.【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可（2）由于x ＜0，所以先对式子变形()1y x x ⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦，然后再利用基本不等式即可 【详解】（1）因为x ＞0，所以12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即x ＝1时等号成立．所以y 的最小值为2.（2）因为x ＜0，所以－x ＞0.所以()12y x x ⎡⎤=--+≤=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当1x x-=-，即x ＝－1时等号成立． 所以y 的最大值为－2.【点睛】此题考查基本不等式的应用，属于基础题.8．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）对不等式因式分解，对a 分成0,0,01,1,1a a a a a <=<<=>等五种情况，根据一元二次不等式对应一元二次方程的根的情况，求得不等式的解集.（2）将原不等式转化为右边为零的形式，对a 分成2,2,2a a a >=<三种情况，由此求得不等式的解集.【详解】（1）(1)(1)0ax x --<.当0a <时，不等式的解集为1|x x a ⎧<⎨⎩，或1x ⎫>⎬⎭；当0a =时，不等式的解集为{}|1x x >；当01a <<时，不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当1a =时，不等式的解集为∅；当1a >时，不等式的解集为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）(2)01a x x -+.当2a >时，不等式的解集为{|1x x <-，或}0x ≥；当2a =时，不等式的解集为{}|1x x ≠-；当2a <时，不等式的解集{}|10x x -<≤.【点睛】本小题主要考查含有参数的一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.9．（1）14；（2）9. 【分析】（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出128a b +的最小值； （2）将代数式+a b 与14a b +相乘，展开后利用基本不等式可求出14a b +的最小值． 【详解】（1）360a b -+=，36a b ∴-=-，由基本不等式可得31122284a ab b -+=+≥===， 当且仅当336a b a b =-⎧⎨-=-⎩，即当31a b =-⎧⎨=⎩时，等号成立，所以，128a b +的最小值为14； （2）由基本不等式可得()14144559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当410,0a b b a a b a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪>>⎪⎩，即当1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，所以，14a b +的最小值为9. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．10．（1）∞(-,1)；（2）809m ≤<【分析】（1）先求出函数的义域为{|2x x >或1}x <，再利用复合函数的单调性原理求函数的单调减区间；（2）等价于2320mx mx -+>在R 上恒成立，利用一元二次函数的图象和性质分析得解.【详解】（1）若1m =，()()22log 32f x x x =-+, 函数的定义域为{|2x x >或1}x <， 由于函数2log y x =是定义域上的增函数，所以()f x 的单调递减区间等价于函数232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间，232(2y x x x =-+>或1)x <的减区间为(),1-∞，所以函数()f x 的单调递减区间(),1-∞.（2）由题得2320mx mx -+>在R 上恒成立，当0m =时，2＞0恒成立，所以0m =满足题意；当0m ≠时，20980m m m >⎧⎨∆=-<⎩，所以809m <<. 综合得809m ≤<【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用基本不等式可证明出结论成立；（2）利用基本不等式可证明出结论成立.【详解】因为x 、y 都是正数，所以2x y +≥（1）当积xy 等于定值P 时，2x y +≥=x y +≥，当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，和x y +有最小值；（2）当和x y +等于定值S 22x y S +≤=，所以214xy S ≤， 当且仅当x y =时，上式等号成立.于是，当x y =时，积xy 有最大值214S . 【点睛】本题考查利用基本不等式证明和与积的最值，在应用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”三个条件的成立，考查计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.12．（1）见解析（2）43【分析】（1）画出每一个二元一次不等式所表示的平面区域，然后取公共部分.（2）根据（1）分别求得三角形三个顶点的坐标，然后用三角形的面积公式求解.（1）不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，所表示的平面区域，如图所示：（2）由034x x y =⎧⎨+=⎩，解得40,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由034x x y =⎧⎨+=⎩，解得()0,4C .由3434x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()1,1B . 所以平面区域的面积14441233S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组与可行域，还考查数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.13．（1）1a =，2b =；（2）答案见解析.【分析】（1）根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系，列出方程组，求出a ，b 的值；（2）将a ，b 的值代入，并将不等式因式分解为(2)()0x x c --<，通过对c 与2的大小关系进行讨论，得出不等式的解集.（1）因为不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1． 由根与系数的关系，得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩； （2）原不等式化为：2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<，①当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<，②当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<，③当2c =时，不等式的解集为∅．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，根与系数的关系的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.14．（1）证明见解析；（2）2a【分析】（1）只要证明)120a a <即可；（2）用a -a与1的大小即可． 【详解】（1）证：∵)12a a)11111a a ⎫=-⎪+⎭()211101a a =<+，介于1a ，2a 之间；（2）解：∵11221221a a -=>--， 1222a a ∴->-，2a ∴更接近于2．【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．15．（1）3,1a b =-=- ；（2）作图见解析；t 的取值范围为[12-，1]. 【分析】（1）解出集合B ，由A =B ，可求出答案.(2)由条件作出可行域，又t =13x x --表示区域内任一点(x ，y )与M 点（3，1)连线的斜率，由可行域结合图形可求解.【详解】解：（1)由2m +4m +3≤0得31m -≤≤-，故{}|31B x m =-≤≤-又A ={m |a ≤m ≤b }，A =B ，∴3,1a b =-=-（2）不等式组表示的平面区域如图中阴影所示由10240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得()1,2B 由220240x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，可得()2,0A t =13x x --表示区域内任一点(x ，y )与M 点（3，1)连线的斜率，112MA MB k k ==-， 故由图形可知12-≤t ≤1，即t 的取值范围为[12-，1] 16．（1）9；（2）21t -≤≤.【分析】（1）将函数解析式变形，利用基本不等式，即可求出最值；（2）根据（1）的结果，将不等式化为2min ()7f x t t ≥++，解对应的一元二次不等式，即可得出结果.【详解】（1）因为3x >，所以99()333933f x x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当933x x -=-，即6x =时，等号成立； 即函数()f x 的最小值为9；（2）为使不等式2()7f x t t ≥++恒成立，只需2min ()7f x t t ≥++，由（1）知297t t ≥++，解得21t -≤≤，即实数t 的范围为21t -≤≤.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.17．（1）2()2f x x x =-+；（2）(]7,1-. 【分析】（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠，由()02f =，求出c ，即可求出()1f x +，再根据()1()2f x f x x +-=，计算可得；（2）依题意2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立，对二次项系数为零与否分类讨论，分别求出参数的取值范围最后取并集即可；【详解】解：（1）设()2()0f x ax bx c a =++≠， ∵()02f =，∴2c =，∴2()2f x ax bx =++.∵()()12f x f x x +-=，∴22ax a b x ++=，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩， ∴2()2f x x x =-+.（2）2()0f x mx mx -+>即2(1)(1)20m x m x -+-+>对于x ∈R 恒成立， 当1m =时，20>恒成立，当1m ≠时，则210(1)8(1)0m m m ->⎧⎨∆=---<⎩，解得71m -<<. 综上：m 的取值范围为(]7,1-.【点睛】求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)方程法：已知关于f (x )与1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．18．（1）12a b =⎧⎨=⎩；（2）答案见解析. 【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程组求得结果；（2）分别在2a <、2a =和2a >三种情况下，解一元二次不等式求得结果.【详解】（1）()0f x <的解集为{}12x x <<，∴方程()220x a b x a -++=的两根为1和2，由韦达定理知：12212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩. （2）当2b =时，()()()()22220f x x a x a x a x =-++=-->， 当2a <时，()0f x >的解集为()(),2,a -∞⋃+∞；当2a =时，()0f x >的解集为()(),22,-∞+∞；当2a >时，()0f x >的解集为()(),2,a -∞⋃+∞．19．（1）1,2a b =-=；（2）25.【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系运算即可得解；（2）转化条件为1a b +=，()()49494913b a a b a b a b a b +=++=++，再由基本不等式即可得解.【详解】解：（1）因为不等式()0f x >的解集为(1,3)-，所以-1和3是方程()0f x =的两个实根，且0a <， 由根与系数的关系，得13,313,b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩（2）由(1)4f =，得34a b ++=，即1a b +=，又0a >，0b >， 所以()()494949131325b a a b a b a b a b +=++=++≥+=当且仅当1,49,a b b a a b +=⎧⎪⎨=⎪⎩即2,535a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20．（1）第2年；（2）方案二较为合理，理由见详解.【分析】（1）先设()f n 为前n 年的总盈利额，由题中条件得出()f n ，列出不等式求解，即可得出结果；（2）分别求出两种方案的总利润，以及所需要的时间，即可得出结论.【详解】（1）设()f n 为前n 年的总盈利额，单位：万元；由题意可得()()()()22951059010100901019n n n f n n n n n +-=--=--=---， 由()0f n >得19n <<，又*n ∈N ，所以该设备从第2年开始实现总盈利；（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额()()221009010516010f n n n n +-=--+=-，当5n =时，()f n 取得最大值160；此时处理掉设备，则总利润为16020180+=万元； 方案二：由（1）可得，平均盈利额为()21009091010010020401n n n f n n n n +-⎛⎫=-++≤-⎪-== ⎝⎭， 当且仅当9n n=，即3n =时，等号成立；即3n =时，平均盈利额最大，此时()120f n =，+=万元；此时处理掉设备，总利润为12060180综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。

初中数学方程与不等式25道典型题(含答案和解析)

初中数学方程与不等式25道典型题(含答案和解析)

初中数学方程与不等式25道典型题（含答案和解析）1. 楠楠老师在解方程2x−13＝x ＋a 2−1去分母时，因为手抖发作，将方程右侧的－1漏乘了，因而求得的方程的解为x ＝2，请帮助楠楠老师求出正确的解. 答案：x ＝－3. 解析：漏乘后方程为：2(2X －1)＝3（x ＋a ）－1. 4x －2＝3x ＋3a －1. x ＝3a ＋1 .∵ x ＝2.∴ a ＝13.∴ 原方程去分母后得： 2(2X －1)＝3（x ＋13）－6. 4x －2＝3x ＋1－6. X ＝－3.考点：方程与不等式—一元一次方程—含字母参数的一元一次方程—错解方程.2. 已知关于x 的方程3[x −2（x −a2）]＝4x 与3x ＋a 12−1−5x 8＝1有相同的解，求 a 的值及方程的解.答案：a ＝2711，方程的解为x ＝8177.解析：把a 当作常数，方程3[x −2（x −a2）]＝4x 的解为x ＝37a .方程3x ＋a 12−1−5x 8＝1的解为x ＝27−2a 21.故37a ＝27−2a 21.解得a ＝2711，所以x ＝8177.考点：方程与不等式—一元一次方程—同解方程—同解方程求参数.3. 解方程组.（1）{m ＋n3−n−m4＝24m ＋n 3＝14 （2）{1−0.3(y −2)＝x ＋15y−14＝4x ＋920−1答案：（1）{m ＝185n ＝−65.（2）{x ＝4y ＝2.解析：（1）化简方程组得，{7m ＋n ＝2412m ＋n ＝42，加减消元可解得答案为{m ＝185n ＝−65.（2）化简方程组得，{2x ＋3y ＝144x −5y ＝6，加减消元可解得答案为{x ＝4y ＝2.考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.4. 回答下列小题.（1）当k ＝ 时，方程组{4x ＋3y ＝1kx ＋(k −1)y ＝3的解中，x 与y 的值相等．（2）关于x ，y 的方程组{ax ＋by ＝2cx −7y ＝8，甲正确的解得{x ＝3y ＝−2，乙因为把c 看错了，解得{x ＝−2y ＝2，求a ，b ，c 的值. （3）若方程组{2x ＋3y ＝7ax −by ＝4与方程组{ax ＋by ＝64x −5y ＝3有相同的解，则a ，b 的值为（ ）.A.{a ＝2b ＝1B. {a ＝2b ＝−3C. {a ＝2.5b ＝1D. {a ＝4b ＝−5 答案：（1）11.（2）a ＝4，b ＝5，c ＝－2. （3）C ．解析：（1）因为x 和y 的值相等，所以x ＝y ，代入1式可得x ＝y ＝17，再代入2式可得k ＝11.（2）乙看错了c ，说明乙的解只满足1式；甲是正确的解，说明甲的解满足两个等式．将解代入方程可得{3a −2b ＝23c ＋14＝8−2a ＋2b ＝2，解得a ＝4，b ＝5，c ＝－2.（3）由题中条件：有相同的解可知，这两个方程组可以联立，即{2x ＋3y ＝7ax−by ＝4ax ＋by ＝64x−5y ＝3，由1式和4式可以解得{x ＝2y ＝1，代入2式和3式可得{2a −b ＝42a ＋b ＝6. 解得{a ＝2.5b ＝1，故选C.考点：方程与不等式—二元一次方程组—同解方程组.5. 台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．答案：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 解析：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．依题意，列方程组得：{x ＋y ＝245x ＝2y ＋50.解得{x ＝180y ＝65．答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的解.6.如图所示，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 cm2.答案：400.解析：设一个小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组{x＋y＝50x＋4y＝2x.解得{x＝40y＝10．则一个小长方形的面积＝40cm×10cm＝400cm2．考点：方程与不等式—二元一次方程组—二元一次方程（组）的应用.7.高新区某水果店购进800千克水果，进价每千克7元，售价每千克12元，售出总量一半后，发现剩下的水果己经有5﹪受损（受损部分不可出售），为尽快售完，余下的水果准备打折出售．（1）若余下的水果打6折出售，则这笔水果生意的利润为多少元？（2）为使总利润不低于2506元，在余下的水果的销售中，营业员最多能打几折优惠顾客（限整数折，例如：5折、6折等）？答案：（1）这笔水果生意的利润为1936元．（2）营业员最多能打8折优惠顾客．解析：（1）根据题意得：400×12＋（400－400×5﹪）×0.6×12－800×7＝1936（元）.答：这笔水果生意的利润为1936元．（2）设余下的水果应按原出售价打x折出售，根据题意列方程：400×12＋（400－400×5﹪）×0.1x×12－800×7＝2506.解方程得：x＝7.25．答：营业员最多能打8折优惠顾客．考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用.打折销售问题—经济利润问题.8. 二轮自行车的后轮磨损比前轮要大，当轮胎的磨损度（﹪）达到100时，轮胎就报废了，当两个轮的中的一个报废后，自行车就不可以继续骑行了．过去的资料表明：把甲、乙两个同质、同型号的新轮胎分别安装在一个自行车的前、后轮上后，甲、乙轮胎的磨损度（﹪）y1、y2与自行车的骑行路程x （百万米）都成正比例关系，如图（1）所示.（1）线段OB 表示的是 （填“甲”或“乙”），它的表达式是 （不必写出自变量的取值范围）．（2）求直线OA 的表达式，根据过去的资料，这辆自行车最多可骑行多少百万米． （3）爱动脑筋的小聪，想了一个增大自行车骑行路程的方案：如图（2），当自行车骑行a百万米后，我们可以交换自行车的前、后轮胎，使得甲、乙两个轮胎在b 百万米处，同时报废，请你确定方案中a 、b 的值． 答案：（1）1．甲.2．y ＝20x. （2）OA 的解析式是y ＝1003x ，这辆自行车最多可骑行3百万米．（3）{a ＝158b ＝154.解析：（1）∵ 线段OB 表示的是甲，设OB 的解析式是y ＝kx.∴ 1.5k ＝30. ∴ 解得：k ＝20. ∴ OB 的表达式是y ＝20x. ∴ 答案是：甲，y ＝20x ．（2）∵ 设直线OA 的表达式为y ＝mx.∴ 根据题意得：1.5m ＝50. ∴ 解得：m ＝1003.∴ 则OA 的解析式是y ＝1003x .∵ 当y ＝100时，100＝1003x .∴ 解得：x ＝3.答：这辆自行车最多可骑行3百万米．（3）∵ 根据题意，得：{1003a ＋20(b −a )＝10020a ＋1003(b −a )＝100. ∴ 解这个方程组，得{a ＝158b ＝154.考点：方程与不等式—二元一次方程组—解二元一次方程组.函数—一次函数—待定系数法求正比例函数解析式—一次函数的应用—一次函数应用题.9. 若关于x 的一元二次方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则k 的取值范围为 ．答案：k ＞1.解析：若方程（x ＋1）2＝1－k 无实根，则1－k ＞0.∴k ＞1.考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—一元二次方程的相关概念.10. 小明在探索一元二次方程2x2－x －2＝0的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ）．A.4B.3C.2D.1答案：D.解析：根据表格中的数据，可知：方程的一个解x的范围是：1＜x＜2.所以方程的其中一个解的整数部分是1．考点：方程与不等式—一元二次方程—估算一元二次方程的近似解.11.已知m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．（1）求证：关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．（2）若x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根，且Rt△ABC的周长为√2＋2，求Rt△ABC的面积.答案：（1）证明见解析．（2）1．解析：（1）∵ m、n、p分别是Rt△ABC的三边长，且m≤n＜p．∴ p2＝m2＋n2.∴ b2－4ac＝2p2－4mn＝2(m2＋n2)－4mn＝2(m－n)2≥0.∴关于x的一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0必有实数根．（2）∵ x＝－1是一元二次方程mx2＋√2px＋n＝0的一个根.∴ m－√2p＋n＝0 ①.∵ Rt△ABC的周长为2√2＋2.∴ m＋n＋p＝2√2＋2②.由①、②得：m＋n＝2√2，p＝2.∴（m＋n）2＝8.∴ m2＋2mn＋n2＝8.又∵ m2＋n2＝p2＝4.∴ 2mn＝4.∴1＝mn＝1.2∴ Rt△ABC的面积是1．考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.根与系数的关系—韦达定理应用.三角形—三角形基础—三角形面积及等积变换.12.关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根，则k的取值范围为．答案：k＜4且k≠3.解析：∵关于x的方程（k－3）x2＋2x＋1＝0有两个不等的实数根.∴ {k−3≠0△＝4−4（k−3）＞0.∴ k＜4且k≠3.考点：方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的定义—根据一元二次方程求参数值.根的判别式—已知一元二次方程根的情况，求参数的取值范围.13.设a、b是方程x2＋x－9＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为．答案：8.解析：∵ a是方程x2＋x－9＝0的根.∴ a2＋a＝＝9.由根与系数的关系得：a＋b＝－1.∴ a2＋2a＋b＝（a2＋a）＋（a＋b）＝9＋（－1）＝8．考点：方程与不等式—一元二次方程—根与系数的关系—韦达定理应用.14.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12cm的住房墙．另外三边用25cm长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．（1）所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？（2）能否围成一个面积为100 m2的矩形猪舍？如能，说明了围法；如不能，请说明理由．答案：（1）矩形猪舍的长为10m，宽为8m．（2）不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．解析：（1）设矩形猪舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形猪舍的另一边长为（26－2x）m.由题意得：x（26－2x）＝80.解得：x1＝5，x2＝8，当x＝5时，26－2x＝16＞12（舍去）.当x＝8时，26－2x＝10＜12.答：矩形猪舍的长为10m，宽为8m．（2）由题意得：x（26－2x）＝100.整理得：x2－13x＋50＝0.∵△＝（－13）2－4×1×50＝－31＜0.∴方程无解.故不能围成一个面积为100 m2的矩形猪舍．考点：方程与不等式—一元二次方程—根的判别式—判断一元二次方程根的情况.一元二次方程的应用.15.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为 120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）设每件童装降价x元时，每天可销售__________件，每件盈利__________元（用x的代数式表示）．（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．（3）要想每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．答案：（1）（20＋2x），（40－x）.（2）20元或10元．（3）不可能，理由见解析．解析：（1）根据题意得：每天可销售（20＋2x）；每件盈利（40－x）.（2）根据题意得：（40－x）（20＋2x）＝1200.解得：x1＝20，x2＝10．答：每件童装降价20元或10元时，平均每天赢利1200元．（3）（40－x）（20＋2x）＝2000.整理得：x2－30x＋600＝0.△＝62－4ac＝（－30）2－4×1×600＝900－2400＜0.∴方程无解．答：不可能做到平均每天赢利2000元．考点：式—整式—代数式.方程与不等式—一元二次方程—一元二次方程的解.根的判别式—判断一元二次方程根的情况—一元二次方程的应用.16.若a＞b，则下列不等式中正确的是．（填序号）① a－2＜b－2 ② 5a＜5b ③－2a＜－2b ④a3＜b3答案：③.解析：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号改变方向．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—不等式的基础—不等式的性质.17.解不等式：2−x＋23＞x＋x−12．答案：x＜1.解析：12－2（x＋2）＞6x＋3（x－1）.12－2x－4＞6x＋3x－3.－11x＞－11.X＜1.考点：方程与不等式—不等式与不等式组—解一元一次不等式.18.解不等式组{2x＋4≤5（x＋2）x−1<23x，把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．答案：原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．解析：由2x＋4≤5（x＋2）得x≥－2.由x−1<23x得x＜3．不等式组的解集在数轴上表示如下.∴原不等式组的解集为－2≤x＜3．∴原不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—在数轴上表示不等式的解集—一元一次不等式组的整数解.19.为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表.已知可供建造沼气池的占地面积不超过370m2，该村农户共有498户．（1）满足条件的方案共有哪几种？写出解答过程．（2）通过计算判断，哪种建造方案最省钱？造价最低是多少万元？答案：（1）方案共三种：分别是A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）A型建8个的方案最省，最低造价52万元．解析：（1）设A型的建造了x个，得不等式组：{15x＋20（20−x）≤370 18x＋30（20−x）≥498.解得：6≤x≤8.5.三方案：A型6个，B型14个．A型7个，B型13个．A型8个，B型12个．（2）当x＝6时，造价2×6＋3×14＝54.当x＝7时，造价2×7＋3×13＝53.当x＝8时，造价2×8＋3×12＝52.故A型建8个的方案最省，最低造价52万元．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式组的应用—最优化方案.20.服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元，计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．（1）若购进这100件服装的费用不得超过7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在5月1日当天对甲种服装以每件优惠a（0＜a＜20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？答案：（1）甲种服装最多购进75件．（2）当0＜a＜10时，购进甲种服装75件，乙种服装25件.当a＝10时，按哪种方案进货都可以.当10＜a＜20时，购进甲种服装65件，乙种服装35件．解析：（1）设购进甲种服装x件，由题意可知.80x＋60（100－x）≤7500，解得：x≤75．答：甲种服装最多购进75件．（2）设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65≤x≤75.W＝（40－a）x＋30（100－x）＝（10－a）x＋3000.方案1：当0＜a＜10时，10－a＞0，w随x的增大而增大.所以当x＝75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件.方案2：当a＝10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以.方案3：当10＜a＜20时，10－a＜0，w随x的增大而减小.所以当x＝65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件．考点：方程与不等式—不等式与不等式组—一元一次不等式的应用—一元一次不等式组的应用—最优化方案.21.解答下列问题：（1）计算：2xx＋1−2x＋6x2−1÷x＋3x2−2x＋1．（2）解分式方程：3x＋1＋1x−1＝6x2−1.答案：（1）2x＋1.（2）x＝2．解析：（1）原式＝2xx＋1−2（x＋3）(x＋1)（x−1）÷（x−1）2x＋3．＝2xx＋1−2（x−1）x＋1＝2x＋1.（2）3（x－1）＋x＋1＝6.3x－3＋x＋1＝6.4x＝8.x＝2.检验：当x＝2时，x2＋1≠0.故x＝2是该分式方程的解．考点：式—分式—分式的加减法—简单异分母分式的加减.方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.22.解下列方程：（1）5x−4x−2＝4x＋103x−6−1．（2）x−2x＋2−x＋2x−2＝8x2−4.答案：（1）x＝2是方程的增根，原方程无解．（2）x＝－1.解析：（1）等式两边同乘以3（x－2）得，3（5x－4）＝4x＋10.解得x＝2.检验x＝2时，2（x－2）＝0.∴ x＝2是方程的增根，原方程无解．（2）两边同乘x2－4.得：－8x＝8.X＝－1.经检验x＝－1是原方程的解.考点：方程与不等式—分式方程—解分式方程—常规法解分式方程.分式方程解的情况—分式方程有解—分式方程有增根.23.若分式方程2xx＋1−m＋1x2＋x＝x＋1x产生增根，则m的值为．答案：－2或1.解析：方程两边都乘x（x＋1）.得x2－（m＋1）＝（x＋1）2.∵原方程有增根.∴最简公分母x（x＋1）＝0.解得x＝0或－1.当x＝0时，m＝－2.当x＝－1时，m＝0.故m的值可能是－2或0.考点：方程与不等式—分式方程—分式方程解的情况—根据增根求参数.24.在“春节”前夕，某花店用13000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？答案：第二批鲜花每盒的进价是 120元．解析：设第二批鲜花每盒的进价是x元．依题意有：6000x ＝12×13000x＋10.解得x＝120．经检验：x＝120是原方程的解，且符合题意．答：第二批鲜花每盒的进价是120元．考点：方程与不等式—分式方程—分式方程的应用.25.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独完成此项任务比乙队单独完成此项任务多用10天，且乙队每天的工作效率是甲队每天工作效率的1.5倍．（1）甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天？（2）若甲、乙两队共同工作4天后，乙队因工作需要停止施工，由甲队继续施工，为了不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的2倍，如果要完成任务，那么甲队再单独施工多少天？答案：（1）甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）甲队再单独施工10天．解析：（1）设乙队单独完成此项任务需要x天，则甲队单独完成此项任务需要（x＋10）天.由题意可得：1x ＝ 1.5x＋10.解得：x＝20.经检验，x＝20是原方程的解.∴x＋10＝30（天）.答：甲队单独完成此项任务需要30天，乙队单独完成此项任务需要20天．（2）设甲队再单独施工a天，由题意可得：(130＋120)×4＋230×a＝1.解得：a＝10.答：甲队再单独施工10天．考点：方程与不等式—一元一次方程—一元一次方程的应用—工程问题.分式方程—分式方程的应用.。

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲(含答案及解析)

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲(含答案及解析)

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：20 不等式选讲1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a +1c≥3．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据a2+b2+4c2=a2+b2+(2c)2，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得0<a+4c≤3，即可得到1a+4c ≥13，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有[a2+b2+(2c)2](12+12+12)≥(a+b+2c)2，所以a+b+2c≤3，当且仅当a=b=2c=1时，取等号，所以a+b+2c≤3；(2)证明：因为b=2c，a>0，b>0，c>0，由（1）得a+b+2c=a+4c≤3，即0<a+4c≤3，所以1a+4c ≥13，由权方和不等式知1a +1c=12a+224c≥(1+2)2a+4c=9a+4c≥3，当且仅当1a =24c，即a=1，c=12时取等号，所以1a +1c≥3.2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc≤19；(2)ab+c +ba+c+ca+b≤2√abc；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．(1)证明：因为a >0，b >0，c >0，则a 32>0，b 32>0，c 32>0， 所以a 32+b 32+c 323≥√a 32⋅b 32⋅c 323，即(abc )12≤13，所以abc ≤19，当且仅当a 32=b 32=c 32，即a =b =c =√193时取等号．(2)证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b +c ≥2√bc ，a +c ≥2√ac ，a +b ≥2√ab ， 所以a b+c≤2√bc=a 322√abc，b a+c≤2√ac=b 322√abc，ca+b≤2√ab =322√abc a b +c +b a +c +ca +b ≤a 322√abc +b 322√abc c 322√abc=a 32+b 32+c 322√abc=12√abc当且仅当a =b =c 时取等号．3．【2021年甲卷文科】已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）图像见解析；（2）112a ≥ 【解析】 【分析】（1）分段去绝对值即可画出图像；（2）根据函数图像数形结和可得需将()y f x =向左平移可满足同角，求得()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时a 的值可求.【详解】（1）可得2,2()22,2x x f x x x x -<⎧=-=⎨-≥⎩，画出图像如下：34,231()232142,2214,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=+-≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像如下：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过1,42A ⎛⎫⎪⎝⎭时，1|2|42a +-=，解得112a =或52-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移112个单位，112a ∴≥.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解. 4．【2021年乙卷文科】已知函数()3f x x a x =-++． （1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． 【答案】（1）(][),42,-∞-+∞.（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式化简()f x a >-，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）[方法一]：绝对值的几何意义法当1a =时，()13f x x x =-++，13x x -++表示数轴上的点到1和3-的距离之和， 则()6f x ≥表示数轴上的点到1和3-的距离之和不小于6，当4x =-或2x =时所对应的数轴上的点到13-，所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到13-，所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是4x ≤-或2x ≥，所以()6f x ≥的解集为(][),42,-∞-+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法 当1a =时，()|1||3|f x x x =-++． 当3x ≤-时，(1)(3)6-+--≥x x ，解得4x ≤-； 当31x -<<时，(1)(3)6-++≥x x ，无解； 当1≥x 时，(1)(3)6-++≥x x ，解得2x ≥． 综上，|1||3|6-++≥x x 的解集为(,4][2,)-∞-+∞． （2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值 依题意()f x a >-，即3a x a x -+>-+恒成立，333x a x x a a x -++-+=≥++，当且仅当()()30a x x -+≥时取等号，()3min f x a ∴=+, 故3a a +>-，所以3a a +>-或3a a +<， 解得32a >-.所以a 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.[方法二]【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值由||x a -是数轴上数x 表示的点到数a 表示的点的距离，得()|||3||3|f x x a x a =-++≥+，故|3|a a +>-，下同解法一. [方法三]：分类讨论+分段函数法 当3a ≤-时，23,,()3,3,23,3,x a x a f x a a x x a x -+-<⎧⎪=--≤≤-⎨⎪-+>-⎩则min [()]3=--f x a ，此时3-->-a a ，无解． 当3a >-时，23,3,()3,3,23,,x a x f x a x a x a x a -+-<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪-+>⎩则min [()]3=+f x a ，此时，由3a a +>-得，32a >-．综上，a 的取值范围为32a >-．[方法四]：函数图象法解不等式由方法一求得()min 3f x a =+后，构造两个函数|3|=+y a 和y a =-，即3,3,3,3a a y a a --<-⎧=⎨+≥-⎩和y a =-， 如图，两个函数的图像有且仅有一个交点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭M ，由图易知|3|a a +>-，则32a >-．【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法． 方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况， 方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得()3min f x a =+，利用不等式恒成立的意义得到关于a 的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得()f x 的最小值，最有简洁快速，为最优解法方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求()f x 最小值，要注意函数()f x 中的各绝对值的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；方法四与方法一的不同在于得到函数()f x 的最小值后，构造关于a 的函数，利用数形结合思想求解关于a 的不等式.5．【2020年新课标1卷理科】已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．6．【2020年新课标2卷理科】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号）， ()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 7．【2020年新课标3卷理科】设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：由()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）方法一：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c=-+-≥34,a ≥a【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法()22222220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<． ［方法二］：消元法由0a b c ++=得()b a c =-+，则()ab bc ca b a c ca ++=++()2a c ac =-++()22a ac c =-++223024c a c ⎛⎫=-+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当0a b c ===时取等号，又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法三］：放缩法方式1：由题意知0,a ≠0,a b c ++=(),a c b =-+()222224a c b c b cb bc =+=++≥，又()ab bc ca a b c bc ++=++2a bc =-+224a a ≤-+2304a =-<，故结论得证．方式2：因为0a b c ++=，所以()22220222a b c a b c ab bc ca =++=+++++ ()()()22222212222a b b c c a ab bc ca ⎡⎤=++++++++⎣⎦()()122222232ab bc ca ab bc ca ab bc ca ≥+++++=++． 即0ab bc ca ++≤，当且仅当0a b c ===时取等号， 又1abc =，所以0ab bc ca ++<． ［方法四］：因为0,1a b c abc ++==，所以a ，b ，c 必有两个负数和一个正数，不妨设0,a b c ≤<<则(),a b c =-+()20ab bc ca bc a c b bc a ∴++=++=-<.［方法五］：利用函数的性质方式1：()6b a c =-+，令()22f c ab bc ca c ac a =++=---，二次函数对应的图像开口向下，又1abc =，所以0a ≠， 判别式222Δ430a a a =-=-<，无根， 所以()0f c <，即0ab bc ca ++<．方式2：设()()()()()31f x x a x b x c x ab bc ca x =---=+++-，则()f x 有a ，b ，c 三个零点，若0ab bc ca ++≥，则()f x 为R 上的增函数，不可能有三个零点， 所以0ab bc ca ++<．（2）［方法一］【最优解】：通性通法不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0,a >0,b <0,c <()()a b c =-+-≥则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法二］：不妨设{}max ,,a b c a =，因为0,1a b c abc ++==，所以0a >，且,1,b c a bc a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩则关于x 的方程210x ax a++=有两根，其判别式24Δ0a a =-≥，即a故原不等式成立． ［方法三］：不妨设{}max ,,a b c a =，则0,a >(),b a c =-+1,abc =()1,a c ac -+=2210ac a c ++=，关于c 的方程有解，判别式()22Δ40a a =-≥，则34,a a ≥≥．故原不等式成立． ［方法四］：反证法假设{}max ,,a b c0a b ≤<<1ab c =>a b c --=1132a b ---≥=={}max ,,a b c ≥证． 【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．。

用函数观点看方程(组)与不等式(解答应用)

用函数观点看方程(组)与不等式(解答应用)

用函数观点看方程(组)与不等式（解答应用）一、解答题1.作出函数y=-x+5的图象，观察图象回答下列问题：(1)x___________时，-x+5≤0；(2)x___________时，-x+5≥0；(3)x___________时，-x+5<2；(4)x___________时，-x+5>3.2.若正比例函数2m -21)x -(2m y =中，y 随x 的增大而减小，求这个正比例函数.3.已知3x+y=2，当y 取何值时，-1<x ≤2？4.【2008·浙江台州】在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是改善学习的重要方法．善于学习的小明在学习了一次方程(组)、一元一次不等式和一次函数后，把相关知识归纳整理如下：(1)请你根据以上方框中的内容在下面数字序号后写出相应的结论：①___________；②___________；③___________；④___________；(2)如果点C 的坐标为(1，3)，那么不等式11b x k b kx +≥+的解集是_________ ．5.已知y+5与3x+4成正比例，当x=1时，y=2. (1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当x=-1时的函数值；(3)如果y 的取值范围是0≤y ≤5，求x 的取值范围.6.已知一次函数y=(6+3m)x+(n-4)求：(1)m 为何值时，y 随x 的增大而减小；(2)m 、n 分别为何值时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴的下方？(3)m 、n 分别为何值时，函数图象经过原点？7.一次函数y=-3x+12与x 轴的交点坐标是多少，当函数值大于0时，x 的取值范围是多少，当函数值小于0时，x 的取值范围是多少？8.【2007·山东日照】某水产品市场管理部门规划建造面积为24002m 的集贸大棚，大棚内设A 种类型和B 种类型的店面共80间，每间A 种类型的店面的平均面积为282m ，月租费为400元；每间B 种类型的店面的平均面积为202m ，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%.(1)试确定A 种类型店面的数量；(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知，A 种类型店面的出租率为75%，B 种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A 种类型的店面多少间？9.用作图象的方法解方程组⎩⎨⎧==-12y -x 1y -x .10.作出函数y=-4x+2的图象，并回答下列问题：(1)x 取什么值时，y 大于-2？(2)x 取什么值时，y 小于-2？(3)x 取什么值时，y 等于0？11.已知2-2x y x 5y 21+=+=，.当x 取何值时，21y y ≥？12.作出函数12x 512-y +=的图象，观察图象并回答下列问题： (1)x 取何值时，y>0？(2)x 取何值时，y=0？(3)x 取何值时，y<0？13.利用图象求出二元一次方程2x-y=2的两个整数解.二、应用题14.【2008·四川广安】“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象.(1)根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式(不写出自变量的取值范围)；(2)写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？(3)试求出出租车出发后多长时间赶上客车？15.某辆汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶50km耗油9L.设汽车行驶路程为xkm时，油箱剩余油量为yL.(1)求y与x之间的函数关系式.(2)汽车行驶多少千米时，油箱剩余油量不足55L？16.某校计划购买若干台微机，现从两家商场了解到同一型号的微机每台报价均为a元，甲商场经理说：“第一台按原价收费，其余每台优惠25%”，乙商场经理说：“每台优惠20%”.(1)分别写出两家商场收费的函数关系式；(2)试讨论该校到哪家商场买微机较优惠.17.如图，L1表示某机床公司一天的销售收入1y与机床销售量x之间的函数关y与机床销售量x之间的函数关系.系，L2表示该公司一天的销售成本2(1)1y关于x的函数关系式是______________，2y关于x的函数关系式是______________；(2)求出一天的销售利润y关于销售量x之间的函数关系式(销售利润=销售收入-销售成本)；(3)要使一天的销售利润不低于3万元，则一天的销售量应是多少？18.【2008·湖南益阳】乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.(1)请你求出x≥2时乘车费用y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系式；(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x的范围.19.【2008·浙江衢州】1月底，某公司还有11000千克椪柑库存，这些椪柑的销售期最多还有60天，60天后库存的椪柑不能再销售，需要当垃圾处理，处理费为0.05元/千克.经测算，椪柑的销售价格定为2元/千克时，平均每天可售出100千克，销售价格降低，销售量可增加，每降低0.1元/千克，每天可多售出50千克.(1)如果按2元/千克的价格销售，能否在60天内售完这些椪柑？按此价格销售，获得的总毛利润是多少元(总毛利润=销售总收入-库存处理费)？(2)设椪柑销售价格定为x(0<x≤2)元/千克时，平均每天能售出y千克，求y关于x的函数解析式；如果要在2月份售完这些椪柑(2月份按28天计算)，那么销售价格最高可定为多少元/千克(精确到0.1元/千克)？20.文具商场画夹每个定价20元，水彩每盒5元. 为了促销，商场制定了两种办法：一种是买一个画夹送一盒水彩；另一种是画夹和水彩一律按九折付款. 小王需购画夹4个，水彩若干盒(不少于4盒)，哪种方法对他来说更优惠？21.【2005·云南(课改实验区)】某单位团支部组织青年团员参加登山比赛.比赛奖次所设等级分为：一等奖1人，二等奖4人，三等奖5人.团支部要求一等奖奖品单价比二等奖奖品单价高15元，二等奖奖品单价比三等奖奖品单价高15元.设一等奖奖品的单价为x(元)，团支部购买奖品总金额为y(元).(1)求y与x的函数关系式(即函数表达式)；(2)因为团支部活动经费有限，购买奖品的总金额应限制在：500≤y≤600.在这种情况下，请根据备选奖品表提出购买一、二、三等奖奖品有哪几种方案？然后本着尽可能节约资金的原则，选出最佳方案，并求出这时全部奖品所需总金额是多少？备选奖品及单价如下表(单价：元)备选奖品足球篮球排球羽毛球拍乒乓球拍旱冰鞋运动衫象棋围棋单价(元) 84 79 74 69 64 59 54 49 4422.某移动通讯公司开设两种通讯业务：“全球通”用户先交25元月租费，5元来电显示费，然后每通话1分钟，再付话费0.20元；“乡情卡”不交月租费，而交5元来电显示费，每通话1分钟，付话费0.3元.若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为1y和2y元.(1)写出1y，2y与x之间的函数关系式；(2)一个月内通话多少分钟，两种通讯业务的费用相同；(3)某人估计一个月内通话400分钟，应选择哪种通讯业务合算.23.聊城市委、市政府为进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸收更多的人来观光旅游，决定对古运河城区实施二期开发工程，现需要A ，B 两种花砖共50万块，全部由砖厂完成此项生产任务，该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A 砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1.5万千克，造价1.2万元；生产1万块B 砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.(1)利用现有原料，该厂是否能按要求完成任务，若能，按A ，B 两种花砖的生产块数，有哪几种方案？请你设计出来(以万块为1个单位且取整数).(2)试分析你设计的哪种生产方案总造价最低？最低造价是多少？24.【2008·四川南充】某乒乓球训练馆准备购买10副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配x(x ≥3)个乒乓球，已知A ，B 两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折(按原价的90%付费)销售，而B 超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：(1)如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去A 超市还是B 超市买更合算？(2)当x=12时，请设计最省钱的购买方案.25.某单位急需汽车，但无力购买，单位领导想租一辆. 一国营汽车出租公司的出租条件为每百千米租费100元；一个体出租车司机的条件为每月付800元工资，另外每百千米付10元，问该单位租哪家的汽车合算？26.某服装厂现有甲种布料42m 、乙种布料30m ，现计划用这两种布料生产M 、L 两种型号的服装共40件.已知做一件M 型服装用甲种布料0.8m ，乙种布料1.1m ，可获利45元；做一件L 型服装用甲、乙两种布料分别为1.2m 和0.5m ，可获利30元.设生产M 型服装件数为x ，用这批布料生产这两种型号服装所获利润为y(元).(1)写出y(元)与x(件)的函数关系式，并求自变量x 的取值范围；(2)该厂在生产这批服装时，当M 型号的服装为多少时，能使该厂所获的利润最大？最大利润为多少？27.王颖和刘丽原有存款分别为80元和180元，从本月开始，王颖每月存款40元，刘丽每月存款20元.如果设两人存款时间为x(月)，王颖的存款额是1y (元)，刘丽的存款额为2y (元).(1)试写出1y 与x 及2y 与x 之间的关系式；(2)到第几个月时，王颖的存款额能超过刘丽的存款额？28.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品.生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元.现将该矿石原料全部用完.设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元.(1)写出m 与x 之间的函数关系式；(2)写出y 与x 的函数关系式(不要求写自变量的范围)；(3)若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？29.某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元.其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生，为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理，每处理一吨废渣需付0.1万元的处理费.问：(1)设工厂每月生产x 件产品，每月利润为y 万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y 与x 之间的函数关系式；(利润=总收入-总支出)(2)若你作为工厂负责人，如何根据月生产量选择处理方案，既达到环保要求又合算？30.一个由父亲、母亲、叔叔和x 个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价43优惠，这两家旅行社的原价均为100元/人. (1)写出两家旅行社的收费总额y(元)与孩子数x(个)的函数关系式；(2)试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？31.某企业想租一辆车，现有甲、乙两家汽车出租公司，甲公司的出租条件是：每千米租车费为1.10元；乙公司的出租条件是：每月付800元的租车费，另外每千米付0.10元油费.该企业租哪家公司的车合算？32.如图表示一骑自行车者和一骑摩托者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)，两地间的距离是80km ，请你根据图象解决下列问题：(1)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)请你分别求出下列时间：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.33.某班去商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个定价30元，文具盒每个定价5元，商店实行两种优惠方案：①买1个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款.若该班需购书包8个，设实际购文具盒x 个(x ≥8)，付款共y 元.(1)分别求出这两种优惠方案中，y 与x 之间的函数关系式；(2)若购文具盒30个，应选哪种优惠方案？付多少元；(3)比较购买同样多的文具盒时，按哪种优惠办法付款更省钱.34.(2006·苏州)司机在驾驶汽车时，发现紧急情况到踩下刹车这段时间之后还会继续行驶一段距离.我们把司机从发现紧急情况到汽车停止所行驶的这段距离叫“刹车距离”(如图所示).已知汽车的刹车距离s(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间有如下关系：2kv tv s +=.其中t 为司机的反应时间(单位：s)，k 为制动系数.某机构与测试司机饮酒后刹车距离的变化，对某种型号的汽车进行了“醉汉”驾车测试，已知该型号汽车的制动系数k=0.08，并测得志愿者在未饮酒时的反应时间t=0.7s.(1)若志愿者未饮酒，且车速为11m/s ，则该汽车的刹车距离为_______m(精确到0.1m).(2)当志愿者在喝下一瓶啤酒半小时后，以17m/s 的速度驾车行驶，测得刹车距离为46m.假如该志愿者当初是以11m/s 的车速行驶，则刹车距离将比未饮酒时增加多少？(精确到0.1m)(3)假如你以后驾驶该型号的汽车以11m/s 至17m/s 的速度行驶，且与前方车辆的车距保持在40m 至50m 之间.若发现前方车辆突然停止，为防止“追尾”.则你的反应时间应不超过多少秒？(精确到0.01s)35.【2009·山东潍坊】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱，供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本2.4元.(1)若需要这种规格的纸箱x 个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用1y (元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用2y (元)关于x(个)的函数关系式；(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由.36.【2009·内蒙古赤峰】“教师节”快要到了，张爷爷用120元钱，为“光明”幼儿园购买价格分别为8元、6元和5元的图书20册，(1)若设8元的图书购买x 册，6元的图书购买y 册，求y 与x 之间的函数关系式.(2)若每册图书至少要购买2册，求张爷爷有几种购买方案？并写出y 取最大值和y 取最小值时的购买方案.37.某市自来水公司收费标准如下：每户每月用水不超过53m 收费1.5元/3m ，若超过53m ，超过的部分收费2元/3m .小明家某月水费不超过12元，若设小明家该月的用水量为x 3m .(1)x 应满足什么条件？写出其关系式.(2)x 可能取6，8吗？(3)它最多不超过多少立方米？38.【2009·广西南宁】南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y 甲(元)与铺设面积x(2m )的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的造价y 乙(元)与铺设面积x(2m )满足函数关系式：y 乙=kx ．(1)根据图写出甲工程队铺设广场砖的造价y 甲(元)与铺设面积x(2m )的函数关系式；(2)如果狮山公园铺设广场砖的面积为16002m ，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？39.某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆，已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别是40和80元；从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元.(1)设从乙仓库调往A县的农用车x辆，求总运费y关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过900元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？40.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案.甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元.(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所买的水果x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围内时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由.41.通过电话拨号上网的费用由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过拨号上网的费用为电话费0.18元/3分钟，上网费为7.2元/时，后根据信息产业部调整上网资费的要求，自2001年起上网费用调整为电话费0.22元/3分钟，上网费为每月不超过60小时，按4元/时计算，超过60小时部分，按8元/时计算.试根据以上信息提出你的问题，并做出解答.42.(2003·大连)某水产养殖加工厂有200名工人，每名工人每天平均捕捞水产品50kg，或将当日所捕捞的水产品40kg进行精加工.已知每千克水产品直接出售可获得利润6元，精加工后再出售，可获利润18元.设每天安排x名工人进行水产品精加工.(1)每天做水产品精加工所得利润y(元)与x的函数关系式；(2)如果每天精加工的水产品和未来得及精加工的水产品全部出售，那么如何安排生产可使一天所获利润最大？最大利润是多少？43.A、B两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在春节期间让利酬宾，A商场所有商品8折出售，在B商场消费金额超过200元后，可在这家商场7折购物，试问如何选择商场来购物更经济？44.某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费50元，另外，每通话1分钟交费0.4元；B类收费标准如下：没有月租费，但每通话1分钟收费0.6元，完成下列各题.(1)写出每月应缴费用y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系式；(2)若每月通话时间为300分钟，你选择哪类收费方式？(3)每月通话时间多长时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？(4)你选择哪类收费标准？45.某自行车保管站在某个星期日接受保管的自行车共有3500辆，其中变速车保管费是每辆一次0.5元，一般车保管费是每辆一次0.3元.(1)若设一般车停放的辆数为x，总保管费的收入为y元，试写出y与x的关系式；(2)若估计前来停放的3500辆自行车，变速车的辆数不少于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日保管费收入总数的范围.设定间隔行数：46.(2003·四川)东风商场文具部的某种毛笔每支零售价为25元，书法练习本每本售价5元.该商场为促销制定了两种优惠办法，甲：买一支毛笔就赠一本书法练习本；乙：按购买金额九折付款.某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x本(x≥10).(1)写出每种优惠办法实际付款金额y甲(元)、y乙(元)与x(本)之间的函数关系式.(2)比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱？(3)如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时用两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10支和书法练习60本设计一种最省钱的购买方案.47.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.(1)分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式.(2)什么情况下到甲商场购买更优惠？(3)什么情况下到乙商场购买更优惠？(4)什么情况下两家商场的收费相同？48.某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000kg以上(含3000kg)的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．(1)分别写出该公司两种购买方案的付款y(元)与所购买的水果量x(千克)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少?并说明理由．49.某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出每份材料收费30元，不收设计费.(1)什么情况下选择甲公司比较合算？(2)什么情况下选择乙公司比较合算？(3)什么情况下两公司的收费相同？50.一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份1.0元，卖不掉的报纸还可以以每份0.2元的价格退回报社，在一个月内(以30天计算)，有20天每天可以卖出100份，其余10天每天只能卖60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，若以报亭每天从报社订购报纸的份数为自变量x ，每月所得利润为y.从节约资源的角度出发，在保证利润的前提下，问：(1)写出y 与x 之间的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？(3)报亭每天应该从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润不少于560元？51.【2009·山东泰安】某旅游商品经销店欲购进A 、B 两种纪念品，若用380元购进A 种纪念品7件，B 种纪念品8件；也可以用380元购进A 种纪念品10件，B 种纪念品6件.(1)求A 、B 两种纪念品的进价分别为多少？(2)若该商店每销售1件A 种纪念品可获利5元，每销售1件B 种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A 、B 两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？52.折线ABC 是某人乘出租汽车所付的费用y(元)与乘车的里程数x(km)之间的函数关系的图象，如图.(1)观察图象，乘车3km 和6km 各需付乘车费用多少元？(2)当x ≥3时，求乘车费用y(元)与乘车的里程数x(km)之间的函数关系式；(3)某乘客所付车费在14～18元之间，求他乘车路程的范围.53.我市某中学要印刷本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务，甲厂的优惠条件是：按每份定价1.5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1.5元的价格不变，而制版费900元，按六折优惠.且甲乙两厂都规定：一次印刷数量至少500份.(1)分别求两个印刷厂收费y(元)与印刷数量x(份)的函数关系，并指出自变量x 的取值范围；(2)如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印刷2000份录取通知书，那么应选择哪一个厂？需要多少费用？54.某企业为解决部分职工(人数多于100)午餐，联系了两家快餐公司.两家公司的报价、质量和服务承诺都相同，且都表示对职工优惠：甲公司表示每份按报价的90%收费，乙公司表示购买100份以上部分按报价的80%收费.问应选择哪家公司较好.55.声音在空气中的传播速度y(m/s)(简称音速)与气温x(℃)的关系是：331x 53y +=.求音速超过340m/s 时的气温.56.下图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)，两地间的距离是80km.请你根据图象回答或解决下面的问题：(1)谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？(2)两人在途中行驶的速度分别是多少？(3)请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数表达式；(4)指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式.①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面.57.某座水库的最大库容量是26.2万立方米，库区面积为100平方公里，其中林地占60%，经测定，每次降雨，林地有10%的降水流入水库，非林地有85%的降水进入水库.预测今后一段时间内库区连续降雨，且单位面积降水量相同，设降水总量为Q万立方米，进入水库的水量为y万立方米.(1)用含Q的代数式分别表示在降雨期间林地、非林地进入水库的水量.(2)预计今后x天内降水总量Q(万立方米)与天数x的函数关系式为Q=3+2x，写出y关于x的函数关系式.(3)若水库原有水量20万立方米，在降雨的第2天就开闸泄洪，每天泄洪量为0.2万立方米，问连续降雨几天后，该水库会发生险情(水库里水量超过最大库容量就有危险).58.为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过120度时，电价为a元/度；超过120度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度.已知某用户五月份用电115度，交电费是69元，六月份用电140度，交电费是94元.(1)求a、b的值；(2)设该用户每月用电量为x(度)，应付电费为y(元).①分别求0≤x≤120和x>120时，y与x之间的函数关系式；②若该用户计划七月份所付电费不超过83元，问该用户七月份最多可用电多少度？59.小刚有60枚1角和5角的硬币. 这些硬币的总值小于20元. 那他最少拥有多少枚1角硬币呢？60.某企业生产每种吉祥物所需材料及所获利润如下表：。

函数不等式解法2难题汇编

函数不等式解法2难题汇编

不等式解法2难题汇编一．选择题（共5小题）1．设函数f（x）的定义域是[﹣4，4]，其图象如图，那么不等式的解集为（）A．[﹣2，1] B．[﹣4，﹣2]∪[1，4]C．[﹣4，﹣π）∪[﹣2，0）∪[1，π）D．[﹣4，﹣π）∪（1，π）2．已知函数，则不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的解集是（）A．B．C．D．3．已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx ＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，3）B．C．D．（0，1）∪（1，3）4．已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2f（x）•2f′（x）＞2，f（0）=8，则不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）5．设函数f（x）=x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（共15小题）6．定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且，则θ=．7．设函数，则实数a的取值范围是．8．若函数的定义域用D表示，则使f（x）＞0对x∈D均成立的实数k的范围是．9．定义区间（c，d]，[c，d），（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．则满足不等式的x构成的区间长度之和为．10．若函数则不等式的解集为．11．若对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是．12．已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是．13．f（x）=[x]（x﹣[x]），[x]为x的整数部分，g（x）=x﹣1，当0≤x≤2012时，f（x）≤g（x）的解集为．14．∀x∈R，且x≠0．不等式恒成立，则实数a的取值范围是．15．已知数列{a n}中a1=1，a2=2，当整数n＞1时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，则S15=．16．已知函数，若，则实数a的取值范围是．17．设f（x）=x﹣4tanx+2，x∈[﹣1，1]，则关于a的不等式f（a2﹣1）+f（1﹣a）＞4的解集为．18．已知则f（f（x））＞1的解集是．19．使得：C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n＜2006成立的最大正整数n的值为．20．已知常数a，b∈R，且不等式x﹣alnx+a﹣b＜0解集为空集，则ab的最大值为．三．解答题（共6小题）21．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．22．若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．23．已知不等式2|x﹣3|+|x﹣4|＜2a．（Ⅰ）若a=1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．24．设函数f（x）=|x﹣a|﹣ax，其中a为大于零的常数．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）若0≤x≤2时，不等式f（x）≥﹣2恒成立，求实数a的取值范围．25．（1）解不等式：+2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．26．设函数f（x）=e1﹣x+lnx﹣x2．（I）若f（x）的定义域为（，+∞），解不等式f（x）≥0；（Ⅱ）证明：f（x）在区间（0，）上有唯一极值点．不等式解法2难题汇编参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2013•山东模拟）设函数f（x）的定义域是[﹣4，4]，其图象如图，那么不等式的解集为（）A．[﹣2，1] B．[﹣4，﹣2]∪[1，4]C．[﹣4，﹣π）∪[﹣2，0）∪[1，π）D．[﹣4，﹣π）∪（1，π）【分析】根据函数的图象可得，f（x）小于0时，x的范围；f（x）大于0时，x的范围，；且根据正弦函数图象可知，sinx大于0时，x∈（﹣4，﹣π）∪（0，π）；当sinx小于0时，x∈（﹣π，0），则把所求的式子化为f（x）与sinx异号，即可求出不等式的解集．【解答】解：由函数图象可知：当f（x）＜0时，﹣4＜x＜﹣2，1＜x＜4，或当f（x）＞0时，﹣2＜x＜1；而sinx中的x∈[﹣4，4]，当sinx＞0时，x∈（﹣4，﹣π）∪（0，π）；当sinx＜0时，x∈（﹣π，0），∴≤0，转化化为：，或，结合图象得到x∈（﹣4，﹣π）∪[﹣2，0）∪[1，π），所以所求不等式的解集为（﹣4，﹣π）∪[﹣2，0）∪[1，π）故选C．2．（2011•天津校级模拟）已知函数，则不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的解集是（）A．B．C．D．【分析】把原不等式化为①，或②，分别求出①的解集和②的解集，再取并集即得所求．【解答】解：函数，则由不等式f（1﹣x2）＞f（2x）可得①，或②．解①得x＞，解②得≥x＞﹣1+或x＜﹣1﹣．故原不等式的解集为，故选D．3．（2002•北京）已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx＜0的解集是（）A．（0，1）∪（2，3）B．C．D．（0，1）∪（1，3）【分析】根据函数的图象可得，f（x）小于0时，x大于0小于1；f（x）大于0时，x大于1小于3，；且根据余弦函数图象可知，cosx大于0时，x大于0小于；当cosx小于0时，x大于小于3，则把所求的式子化为f（x）与cosx异号，即可求出不等式的解集．【解答】解：由函数图象可知：当f（x）＜0时，0＜x＜1；当f（x）＞0时，1＜x＜3；而cosx中的x∈（0，3），当cosx＞0时，x∈（0，）；当cosx＜0时，x∈（，3），则f（x）cosx＜0，可化为：或即或，解得：＜x＜3或0＜x＜1，所以所求不等式的解集为：（0，1）∪（，3），故选C．4．已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2f（x）•2f′（x）＞2，f（0）=8，则不等式＞1的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】由题意可得到f（x）+f′（x）＞1，而令g（x）=e x[f（x）﹣1]，从而可得到g′（x）＞0，这便说明g（x）在R上为增函数，而可求得g（0）=7，从而便可得到g（x）＞g（0），这样即可得出原不等式的解集．【解答】解：2f（x）•2f′（x）=2f（x）+f′（x）＞2；∴f（x）+f′（x）＞1；令g（x）=e x[f（x）﹣1]，则g′（x）=e x[f（x）+f′（x）﹣1]＞0；∴g（x）在R上为增函数；∵f（0）=8；∴g（0）=f（0）﹣1=7；由得，；∴g（x）＞g（0）；∴x＞0；即原不等式的解集为（0，+∞）．故选：B．5．（2016秋•唐山月考）设函数f（x）=x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】设g（x）=x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可．【解答】解：设g（x）=x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）=a（x+1），g'（x）=x2﹣6x+8=（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）=，g（2）=，g（3）=1，g（4）=，图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，所以只要a＞0并且即解得；故选：A．二．填空题（共15小题）6．（2014•怀化三模）定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且，则θ=．【分析】先设出不等式的对应方程两个根为a、b，推出不等式的对应方程两个根为a、b，利用韦达定理，求得关于θ的三角方程，根据θ的范围求解即可．【解答】解：不等式与不等式2x2+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，设不等式的对应方程两个根为a、b，则不等式2x2+4xsin2θ+1＜0对应方程两个根为：所以即：tan2θ=﹣因为，所以故答案为：7．（2015•海南模拟）设函数，则实数a的取值范围是﹣3＜a＜1．【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a≥0和a＜0两种情况，进而求出实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a≥0时，＜1，得0≤a＜1．当a＜0时，＜1，解得a＞﹣3，即﹣3＜a＜0，故答案为：﹣3＜a＜1．8．（2013•浙江模拟）若函数的定义域用D表示，则使f（x）＞0对x∈D均成立的实数k的范围是k＞或k＜或k=1．【分析】由f（x）＞0对x∈D均成立，分子分母同时大于0或者小于0，分类讨论，可得结论．【解答】解：①k+1=0时，f（x）=＞0等价于2x﹣10＞0，x＞5，不满足题意，舍去；②2k﹣1=0时，f（x）=＞0等价于（3x2+7x﹣14）（3x﹣7）＞0，解得x∈（，）∪（，+∞），不满足x≠，舍去；③k≠﹣1且k≠时，分子分母同号，可得（k+1）（2k﹣1）＞0且判别式均小于0，可得k ＞或k＜．④当系数对应成比例时，k=1时，f（x）=2＞0，满足题意．故答案为：k＞或k＜或k=1．9．（2013•江苏模拟）定义区间（c，d]，[c，d），（c，d），[c，d]的长度均为d﹣c，其中d ＞c．则满足不等式的x构成的区间长度之和为．【分析】将原不等式转化为一端为乘积，另一端为0，利用穿根法，计算即可求得不等式中的x构成的区间长度之和．【解答】解：依题意，得≥0，即≥0⇔≤0，由a1a2x2﹣2（a1+a2）x+3=0，得其两根为：x1，2=（其中△=4[（a1﹣）2+]），x3，x4=，或；不妨设a1≥a2，判断一下四个根的大小，得到：≤≤≤，所以解集为：[，]∪[，]，区间长度=（﹣）+（﹣）=（﹣﹣）+=．10．（2009•北京）若函数则不等式的解集为[﹣3，1] ．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3，1]．11．（2010•扬州二模）若对一切x＞0恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】转化为函数y=|x﹣a|与y=，通过函数的图象，即可求出a 的取值范围．【解答】解：转化为函数y=|x﹣a|与y=，由函数的图象，y=＜，且x=2时y=0，可知a的取值范围是（﹣∞，2]故答案为：（﹣∞，2]12．（2016•盐城模拟）已知函数f（x）=ax2+x﹣b（a，b均为正数），不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，则﹣的最大值是．【分析】根据不等式解集对应的关系，得到﹣2∈P，然后利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：∵不等式f（x）≥0的解集记为P，集合Q={x|﹣2﹣t＜x＜﹣2+t}，若对于任意正数t，P∩Q≠∅，∴﹣2∈P，即f（﹣2）≥0，则4a﹣2﹣b≥0，即1≤2a﹣，又由题意知，﹣的最大值必是正数，则﹣=（﹣）×1=（﹣）×（2a﹣）≤2﹣﹣+=﹣2=﹣2=，即﹣的最大值是，故答案为：13．（2013•颍泉区校级二模）f（x）=[x]（x﹣[x]），[x]为x的整数部分，g（x）=x﹣1，当0≤x≤2012时，f（x）≤g（x）的解集为[1，2012] ．【分析】根据0≤x≤2012，分两种情况考虑：当0≤x＜1时，[x]=0，可得出x﹣1小于0，进而确定出f（x）=0，g（x）小于0，进而得到此时f（x）大于g（x），不合题意；当1≤x ≤2012时，假设n≤x＜n+1，则[x]=n，表示出f（x），利用作差法判断出f（x）﹣g（x）的符合为负，可得出不等式f（x）≤g（x）的解集．【解答】解：当0≤x＜1时，[x]=0，x﹣1＜0，∴f（x）=0，g（x）=x﹣1＜0，即f（x）＞g（x），不合题意；当1≤x≤2012时，假设n≤x＜n+1，则[x]=n，∴f（x）=n（x﹣n），又g（x）=x﹣1，∴f（x）﹣g（x）=n（x﹣n）﹣x+1=（n﹣1）x﹣n2+1＜（n﹣1）（n+1）﹣n2+1=0，∴不等式f（x）≤g（x）的解集为[1，2012]．故答案为：[1，2012]14．（2012•洞口县校级模拟）∀x∈R，且x≠0．不等式恒成立，则实数a的取值范围是4＜a＜6．【分析】不等式对于一切非零实数x均成立，可以先求出的最小值，然后利用|a﹣5|+1小于这个最小值即可求解a的取值范围．【解答】解：当x＞0时，；当x＜0时，．从而恒成立，所以不等式对于一切非零实数x均成立，可转化为|a﹣5|+1＜2，即|a﹣5|＜1即﹣1＜a﹣5＜1所以4＜a＜6．故答案为：4＜a＜6．15．（2012•五华区校级模拟）已知数列{a n}中a1=1，a2=2，当整数n＞1时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，则S15=211．【分析】将n＞1时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）转化为：n＞1时，a n+1﹣a n=2，利用等差数列的求和公式即可求得答案．【解答】解：∵数列{a n}中，当整数n＞1时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，⇔S n+1﹣S n=S n﹣S n﹣1+2⇔a n+1﹣a n=2（n＞1）．∴当n≥2时，{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列．∴S15=14a2+×2+a1=14×2+×2+1=211．故答案为：211．16．（2012•盱眙县校级模拟）已知函数，若，则实数a的取值范围是．【分析】根据分段函数g（x）的解析式作出其图象，如图所示．再对x进行分类讨论：①当x＞时，g（x）是增函数，若；②当x≤时，g（x）=，若，得出关于a的不等关系，最后综上①②所述，即可得出实数a的取值范围．【解答】解：根据函数g（x）的解析式作出其图象，如图所示．①当x＞时，g（x）是增函数，若，则，解得：﹣1≤a＜0或a≤≥1；②当x≤时，g（x）=，若，则，解得：﹣≤a≤﹣；综上①②所述，实数a的取值范围是故答案为：．17．（2012•铁东区校级模拟）设f（x）=x﹣4tanx+2，x∈[﹣1，1]，则关于a的不等式f（a2﹣1）+f（1﹣a）＞4的解集为{a|0＜a＜1} ．【分析】令h（x）=x﹣4tanx，x∈[﹣1，1]，不等式可化为h（a2﹣1）+h（1﹣a）＞0．再由由h（x）=x﹣4tanx 是奇函数，定义域为[﹣1，1]，不等式进一步化为h（a2﹣1）＞h （a﹣1）．解不等式组求得a的范围，即为所求．【解答】解：令h（x）=x﹣4tanx，x∈[﹣1，1]，则f（x）=h（x）+2，关于a的不等式f （a2﹣1）+f（1﹣a）＞4 即h（a2﹣1）+2+h（1﹣a）+2＞4，即h（a2﹣1）+h（1﹣a）＞0．再由h（x）=x﹣4tanx 是奇函数，定义域为[﹣1，1]，可得不等式即h（a2﹣1）＞﹣h（1﹣a）=h（a﹣1），即h（a2﹣1）＞h（a﹣1）．∴．解得0＜a＜1，故不等式的解集为{a|0＜a＜1}，故答案为{a|0＜a＜1}．18．（2011•富阳市校级模拟）已知则f（f（x））＞1的解集是．【分析】分两种情况考虑：当x大于等于0时，根据分段函数解析式可得f（x）=，化简所求不等式的左边，再根据也大于等于0，再根据f（x）=，可把所求不等式化为关于x 的一元一次不等式，求出不等式的解集与x大于等于0求出交集，即为原不等式的解集；当x 小于0时，根据分段函数解析式得出f （x ）=x 2，而x 2大于0，再根据f （x ）=，可把所求不等式化为关于x 的一元二次不等式，分解因式后，根据两数相乘积大于0，可得两因式同号，转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，与x 小于0求出交集，即为原不等式的解集，综上，求出两解集的并集即可得到所求不等式的解集． 【解答】解：当x ≥0时，f （x ）=， ∵≥0，∴f （f （x ））=f （）=， 所求不等式化为＞1，解得x ＞4，此时原不等式的解集为（4，+∞）；当x ＜0时，f （x ）=x 2， ∵x 2＞0，∴f （f （x ））=f （x 2）=，所求不等式可化为＞1，即（x +）（x ﹣）＞0，可化为或，解得：x ＞或x ＜﹣，此时原不等式的解集为（﹣∞，﹣），综上，原不等式的解集为．故答案为：19．（2006•杭州校级模拟）使得：C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n＜2006成立的最大正整数n 的值为 8 ．【分析】令不等式左边，即C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n=t ，根据C n m=C n n ﹣m，得到t=C n n ﹣1+2C n n﹣2+3C n n ﹣3+…+（n ﹣1）C n 1+nC n n ，两式相加根据组合数的公式可得2t=n ×2n +nC n n，进而得到此式子小于2006的2倍，验证即可得到最大正整数n 的值．【解答】解：由题意令t=C n 1+2C n 2+3C n 3+…+nC n n，则有t=C n n ﹣1+2C n n ﹣2+3C n n ﹣3+…+（n ﹣1）C n 1+nC n n ，则可得2t=n ×2n +nC n n，故n ×2n +nC n n＜4012， 验证知，最大的n 是8 故答案为：8． 20．（2016秋•沧州月考）已知常数a ，b ∈R ，且不等式x ﹣alnx +a ﹣b ＜0解集为空集，则ab的最大值为e 3．【分析】由题意可得不等式x﹣alnx+a﹣b＜0解集为空集，即任意正数x，x﹣alnx+a﹣b≥0恒成立，即x+a﹣b≥alnx恒成立，a＞0是必然的，设曲线y=alnx的切线l与直线y=x+a﹣b 平行，求出切点，以及切线方程，可得x+a﹣b≥x+alna﹣a，ab≤a•a（2﹣lna），构造函数f （x）=x2（2﹣lnx），求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到ab最大值．【解答】解：不等式x﹣alnx+a﹣b＜0解集为空集，即任意正数x，x﹣alnx+a﹣b≥0恒成立，即x+a﹣b≥alnx恒成立，当题目条件成立时，a＞0是必然的，设曲线y=alnx的切线l与直线y=x+a﹣b平行，由=1，解得x=a，切点为（a，alna），则可以求得直线l方程为y=x+alna﹣a．于是必有x+a﹣b≥x+alna﹣a，即b≤2a﹣alna，当ab取得最大值时，必然b＞0，于是ab≤a•a（2﹣lna），构造函数f（x）=x2（2﹣lnx），导数f′（x）=3x﹣2xlnx，x＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增．则x=e时，取得极大值，也为最大值f（e）=e3（2﹣lne）=（2﹣）e=e．故答案为：．三．解答题（共6小题）21．（2016•荆州模拟）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x﹣2|﹣m）．（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|＞7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）．（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，∴m+4≤3，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．22．（2014•甘肃二模）若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x ﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．【分析】先将“不等式5﹣x＞7|x+1|”转化为和两种情况求解，最后取并集，再由“与不等式ax2+bx﹣2＞0同解”，利用韦达定理求得a，b，最后由“|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集”求得“|x﹣a|+|x﹣b|”最小值即可．【解答】解：得或得﹣2＜x＜﹣1 （3分）综上不等式的解集为，又由已知与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，所以解得（7分）则|x﹣a|+|x﹣b|≥|x﹣a﹣x+b|=|b﹣a|=5，所以当|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解为空集时，k＜5．（10分）23．（2012•商丘三模）已知不等式2|x﹣3|+|x﹣4|＜2a．（Ⅰ）若a=1，求不等式的解集；（Ⅱ）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对于不等式2|x﹣3|+|x﹣4|＜2，分x≥4、3＜x＜4、x≤3三种情况分别求出解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，由此求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于不等式2|x﹣3|+|x﹣4|＜2，①若x≥4，则3x﹣10＜2，x＜4，∴舍去．②若3＜x＜4，则x﹣2＜2，∴3＜x＜4．③若x≤3，则10﹣3x＜2，∴＜x≤3．综上，不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）设f（x）=2|x﹣3|+|x﹣4|，则f（x）=，∴f（x）≥1．要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，故2a＞1，∴，即a的取值范围（，+∞）．…（10分）24．（2010•苏州模拟）设函数f（x）=|x﹣a|﹣ax，其中a为大于零的常数．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）若0≤x≤2时，不等式f（x）≥﹣2恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）把f（x）的解析式代入到f（x）＜0得到一个不等式，当x小于等于0时得到不等式不成立；当x大于0时，对不等式的两边分别平方，移项后利用平方差公式分解因式，分a大于1，a等于1，a大于0小于1三种情况分别求出不等式的解集即可；（2）把f（x）的解析式代入到f（x）≥﹣2得到一个不等式，当a小于1大于01时，由0≤x≤2，得到ax﹣2小于等于0，原不等式恒成立；当a大于1时，分两种情况去掉绝对值号，然后把x等于2分别代入到化简的不等式中，得到关于a的两个不等式，分别求出解集与a大于1求出交集即可得到实数a的范围，综上，把两种情况求出的a的范围求出并集即可得到所有满足题意的a的范围．【解答】解：（1）不等式即为|x﹣a|＜ax，若x≤0，则ax≤0，故不等式不成立；若x＞0，不等式化为（x﹣a）2＜a2x2，即[（1+a）x﹣a][（1﹣a）x﹣a]＜0，∴当a＞1时，x或x（舍）；当a=1时，x；当0＜a＜1时，．综上可得，当a＞1时，不等式解集为{x|x＞}；当a=1时，不等式的解集为{x|x}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|}；（2）不等式即为|x﹣a|≥ax﹣2，若0＜a≤1，则当0≤x≤2时有ax﹣2≤0，故不等式|x﹣a|≥ax﹣2恒成立．若a＞1，则x﹣a≥ax﹣2或x﹣a≤2﹣ax对任意x∈[0，2]恒成立，即（1﹣a）x+2﹣a≥0或（1+a）x﹣a﹣2≤0对任意x∈[0，2]恒成立，所以（1﹣a）•2+2﹣a≥0或（1+a）•2﹣a﹣2≤0，解得a≤或a≤0，∴1．综上，实数a的取值范围为（0，]．25．（2015秋•上海校级期中）（1）解不等式：+2x≤5（2）解关于x的不等式：＞（a∈R）．【分析】（1）由+2x≤5得，解之即可得到不等式：+2x ≤5的解集；（2）＞（a∈R）⇒＞0，通过对参数a分a＜0、a=0、0＜a＜、a=、a＞五类讨论，可分别求得不等式＞的解集．【解答】解：（1）∵+2x≤5，∴，即，解得：1≤x≤2，∴不等式：+2x≤5的解集为[1，2]．（2）由＞（a∈R）得：﹣=＞0．当a=0时，解得：x＜2；当a≠0时，＞0⇔＞0．当a＞0时，若﹣2=2，即a=时，解得：x≠2；若﹣2＞2，即0＜a＜时，解得：x＞﹣2或x＜2；若﹣2＜2，即a＞时，解得：x＜﹣2或x＞2；当a＜0时，解得：﹣2＜x＜2．综上所述，a＜0时，不等式：＞的解集为{x|﹣2＜x＜2}；a=0时，不等式：＞的解集为{x|x＜2}；0＜a＜时，不等式：＞的解集为{x|x＞﹣2或x＜2}；a=时，不等式：＞的解集为{x|x≠2}；a＞时，不等式：＞的解集为{x|＜﹣2或x＞2}．26．设函数f（x）=e1﹣x+lnx﹣x2．（I）若f（x）的定义域为（，+∞），解不等式f（x）≥0；（Ⅱ）证明：f（x）在区间（0，）上有唯一极值点．【分析】（Ⅰ）根据得到e+e x（lnx﹣x2）≥0，构造函数g（x）=lnx﹣x2，利用导数求出函数的最值，判断出函数f（x）的单调性，继而得到不等式的解集；（Ⅱ）先求导，再构造函数h（x）=e x（1﹣2x）﹣ex，求导，再构造函数t（x）=﹣2x2﹣4x+1=﹣2（x+1）2+3，判断出函数的单调性，求出函数的值域，即可判断函数h（x）的单调性，由函数的单调性证明结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=e1﹣x+lnx﹣x2，∴e+e x（lnx﹣x2）≥0，设f（x）=0，解得x=1，设g（x）=lnx﹣x2，则g′（x）=，当g′（x）≥0时，解得0＜x≤，函数g（x）单调递增，当g′（x）＜0时，解得x＞，函数g（x）单调递减，∴当x=时，g（x）有最大值，即g（x）max=g（）=﹣ln2﹣＜0，∴e x（lnx﹣x2）为减函数，∴f（x）≥0的解集为（，1]（2）∵f′（x）=﹣e1﹣x+﹣2x=令f′（x）=0，即e x（1﹣2x）﹣ex=0，设h（x）=e x（1﹣2x）﹣ex，∴h′（x）=e x（﹣2x2﹣4x+1）﹣e，设t（x）=﹣2x2﹣4x+1=﹣2（x+1）2+3，∴t（x）在（0，）上单调递减，∴t（）＜t（x）＜t（0），即﹣＜t（x）＜1，∴e x（﹣2x2﹣4x+1）﹣e＜0，∴h′（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递减，∴f′（0）=1＞0，f′（）=（﹣e）＜0，∴f′（x）在区间（0，）上有唯一解，∴f（x）在区间（0，）上有唯一极值点。

函数不等式求解问题高中数学解题方法含详解

函数不等式求解问题高中数学解题方法含详解

函数不等式求解问题高中数学解题方法一、单选题1．不等式240x ax ++<的解集为空集，则a 的取值范围是（ ）A ．[]44-，B ．()4,4-C ．()[],44-∞-⋃+∞，D ．()(),44-∞-+∞，2．不等式265x x+≤的解集是（ ）A ．[]2,3B ．(][),16,-∞-⋃+∞C ．()[],02,3-∞ D ．()()0,23,+∞3．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤－4 B ．a ≥－4 C ．a ≥－12D ．a ≤－124．若集合()2{|ln 21}A y y x x ==-++，{}ln 1|B y y =<，则AB =（ ）A ．[]0,eB ．(]0,eC ．(]0,ln2D ．()0,e5．设集合{}26A x x =∈<<N ，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =（ ）A ．{2,3,4,5}B ．{25}x x <<∣C ．{3,4}D ．{3,4,5}6．设集合(){}2log 11A x x =-≤，2122x B x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．(],2-∞B ．[]1,2C ．(]1,2D ．(]1,3 7．定义在R 上的函数()f x ，对任意的12,x x ∈R （12x x ≠），都有()()12120f x f x x x ->-，且()32f =，则不等式()12f x -≤的解集为（ ） A ．(,2]-∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．[4,)+∞8．已知函数()f x 在R 上为增函数，若不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．()3,+∞ C ．[)0,+∞ D ．[)1,+∞9．设()()()2(),xf x ea g x ln x a a R =-=+∈，若不等式()()()()0f g x g f x ->恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,1B ．()1,+∞C ．[]1,1-D ．(],1-∞10．已知函数2()441,(1,1),()0f x ax x x f x ∀=+-∈-<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．34a ≤-B ．1a <-C ．314a -<≤D ．1a ≤-11．若“R x ∃∈，22390x ax -+<”，则实数a 的取值范围是（ ）A．(),22,⎡-∞-+∞⎣B．(-C．((),-∞-⋃+∞D．-⎡⎣12．已知函数()21f x x =-，()()sin 206g x m x m m π⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(]0,1B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．()0,413．若命题“存在0x R ∈，使2104x mx ++<”是假命题，则非零实数m 的取值范围是（ ） A ．(][),11,-∞-+∞B ．()1,1-C ．[)(]1,00,1-D ．[]1,1-14．用有机溶剂萃取水溶液中的溶质是化学中进行物质分离与提纯的一种重要方法.根据能斯特分配定律，一次萃取后，溶质在有机溶剂和水中的物质的量浓度(单位：mol/L )之比为常数K ，并称K 为该溶质在水和有机溶剂中的分配常数.现用一定体积的有机溶剂进行n 次萃取，每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010K+倍，溶质在水溶液中原始的物质的量浓度为 1.0mol/L ，该溶质在水和有机溶剂中的分配常数为20，则至少经过几次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯？（ ）(假设萃取过程中水溶液的体积不变.参考数据：ln 3 1.099≈，ln10 2.303≈.)A ．9次B ．10次C ．11次D ．12次15．已知函数(4),1,()log , 1.aa x a x f x x x --<⎧=⎨⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(1,2]C ．[2,4)D ．(1,4)16．已知()21x f x =+，()21g x x =-，则不等式][[]()()f g x g f x >的解集是（ ） A ．{}|2x x < B ．{}|02x x <<C ．{}|2x x >D ．{}|12x x <<17．集合1284x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1B x x a =->，若A B =∅，则a 的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．[)1,+∞D ．1,18．若函数22(41)y mx mx m =--+，且[1,1]m ∀∈-，5(1)y m <+恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．42x -<<-或35x << B ．42x -<<- C ．35x <<D ．45x -<<19．已知函数2()42,()34f x x x g x ax a =-+=+-，若对任意113x ≤≤，总存在213x ≤≤，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．543a ≤≤ B ．53a ≤或4a ≥ C ．453a ≤≤ D ．43a ≤或5a ≥ 20．已知向量a ，b 满足||3,||2a b ==，且对任意的实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ的值为（） AB．C．D 21．已知函数()()14,12ln 1,1xx f x x x ⎧⎛⎫-≤-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+>-⎩，若()0f f x <⎡⎤⎣⎦，则x 的取值范围为（ ） A ．()2,0-B ．21,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．212,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()212,11,0e ⎛⎫--⋃-⎪⎝⎭22．设0.3log 0.5a =，4log 0.5b =，则下列结论错误的是（ ） A ．0ab <B ．0a b +>C ．2(1)ab a +<D ．22116a b+> 23．已知()f x '是定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的奇函数()f x 的导函数，当02x π<<时，都有()()cos f x x f x '+sin 0x >，4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭则不等式()1sin f x x >的解集为（ ）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．,0,244πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <-的解集为（ ）A ．()0,eB ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭25．已知函数()2xxf x e ex -=--，若不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,126．函数()211ln 21f x x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪+⎝⎭，则使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围是（ ）A ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1113,,,4422⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．1111,,443⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27．已知奇函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且当(],0x ∈-∞时，()'1f x ＜，则不等式()()2101110102021f x f x x --+≥-的解集为（ ） A ．()2021,+∞ B ．[)2021,+∞C ．(],2021-∞D ．(),2021-∞第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题28．已知关于x 的不等式220x x a ++>恒成立，则实数a 的取值范围是_________. 29．已知f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，且(2)3f -=，则满足(23)3f x -<的x 的取值范围是_______.30．设函数()()2log 1,0x x f x x ⎧+≥⎪=<，则满足()2f x <的x 的取值范围_____.31．已知函数3()2f x x x =+为增函数，则不等式(21)()0f a f a -+>的解集为_________．32．已知关于x 的不等式22101kx kx x x -+≤++的解集为∅，则实数k 的取值范围是__________．33．已知函数()223f x x x =-+，()2log g x x m =+，对任意的1x ，[]21,4x ∈有()()12f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是______．34．已知定义域为R 的()f x 为减函数，若不等式2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______________35．当14x ≤≤时，若关于x 的不等式22840x x a --->有解，则实数a 的取值范围是______.36．已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．37．设()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若不等式()()22f x f x k -≥对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，则实数k 的取值范围是________________38．已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.39．已知偶函数()f x ，对任意的x 都有()()2'6f x xf x +>，且()12f =，则不等式()2231x f x x >-的解集为_________．三、解答题40．已知函数)(f x 满足)()(11433x xf x f x +-+-=-．（1）求)(0f 的值； （2）求)(f x 的解析式；（3）若)(27xf x m ->⋅对)3log 2,x ⎡∈+∞⎣恒成立，求m 的取值范围．41．已知函数2y x bx c =++的零点为122,3x x == （1）求二次函数的解析式；（2）若对于任意的33x -≤≤，不等式21y t -+≤恒成立，求t 的取值范围． （3）若对于任意的33t -≤≤，不等式212y t +≤恒成立，求x 的取值范围．42．已知()122243log 1,()log 4log ()⎛⎫⎡⎤-≤≤-=⋅⋅∈ ⎪⎣⎦⎝⎭mx f x x m R x ． （1）求函数()f x 的最大值()g m 的解析式；（2）若()2≥++g m t m 对任意[4,0]m ∈-恒成立，求实数t 的取值范围． 43．设函数()log (01)a f x x a a =>≠，． （1）解不等式()()265f a f a +≤；（2）若1a >时，是否存在实数k ，使得对任意的[]10x ∈-，，不等式()()14240x x x f f k ++-->恒成立，若存在，求出k 的范围；若不存在，请说明理由．44．已知函数()()223f x ax ax a R =--∈.（1）若0a >，且()0f x ≥在[)3,+∞上恒成立，求a 的取值范围；（2）若关于x 的方程()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ，求2212x x +的取值范围.45．函数()211x x f x x -+=-，[)2,x ∈+∞，()23g x x ax =++，x M ∈．（1）求函数()f x 的单调性：（2）若[]2,2M =-，求使()g x a ≥恒成立时a 的取值范围；（3）若3a >-，[)2,M =+∞，[)12,x ∀∈+∞，2x M ∃∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围．46．已知函数()()2240f x ax x a a =++-≠，且对任意的x ∈R ，()2f x x ≥恒成立．（1）若()()f xg x x=，0x >，求函数()g x 的最小值； （2）若对任意的[]1,1x ∈-，不等式()2x f x t f ⎛⎫+<⎪⎝⎭恒成立，求实数t 的取值范围． 47．已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围； 48．已知幂函数()()2351m f x m m x+=-+，其中m R ∈，且()f x 为奇函数.（1）求m 的值； （2）若不等式()()212230x f t f t +-+>对任意的x ∈R 恒成立，求t 的取值范围.（3）求函数()()2212log log 2y f x f x =-⎡⎤⎣⎦，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦的最值，并求出取得最值时的x 的值（其中()()()2222log log f x f x =. 49．已知定义域为R 的函数()()2()2h x nf x h x +=--是奇函数，其中()h x 为指数函数且()h x 的图象过点(2,4)． （1）求()f x 的表达式；（2）若对任意的[1,1]t ∈-．不等式()22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围；50．已知函数2()24f x x x k =+-，2()2g x x x =-.（1）若存在[]2,4x ∈，使()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围；（2）若对任意[]13,3x ∈-，存在[]23,3x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.51．设函数2()(3)3f x mx m x =+--（1）若对任意[]1,3x ∈，不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围 （2）若存在[]1,3x ∈，不等式()0f x >成立，求实数m 的取值范围 52．已知函数22()24,()2f x x x k g x x x =+-=-（1）若对任意x ∈[-3，3]，都有f (x )≤g (x )成立，求实数k 的取值范围； （2）若存在12,[3,3],x x ∈-使12()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.53．曾在北京召开的国际数学家大会会标如图，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形.已知大正方形的面积是1，小正方形的面积是125.记直角三角形中的一个锐角为θ.（1）根据本题题意写出sin θ与cos θ之间的等量关系，并求tan θ的值；（2）解关于x 的不等式()2tan log 10x θ-≥.参考答案1．A 【分析】由不等式240x ax ++<的解集为空集，利用判别式0∆≤求解即可. 【详解】∵不等式240x ax ++<的解集为空集， ∴216044a a ∆=-≤⇒-≤≤． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用不等式恒成立求解参数的问题.属于容易题. 2．C 【分析】分别讨论当0x >时，当0x <时，结合二次不等式的解法求解即可. 【详解】解：当0x >时，不等式265x x +≤可化为2560x x -+≤，解得23x ≤≤；当0x <时，不等式265x x+≤可化为2560x x -+≥，此时，解得0x <.所以原不等式的解集为(,0)[2,3]-∞.故选：C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 3．A 【分析】将不等式分离参数转化为2284a x x ≤--在[1,4]内有解，然后构造函数转化为最大值即可解决. 【详解】因为关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，所以2284a x x ≤--在[1,4]内有解， 令2()284([1,4])f x x x x =--∈， 则max ()a f x ≤，因为2()2(2)12f x x =--的对称轴2x =142+<，其图像是开口向上的抛物线， 所以4x =时，()f x 取得最大值为4-， 所以4a ≤-， 故选：A 【点睛】本题考查了不等式有解问题，解题关键是分离参数，转化为最大值来解决，属于基础题. 4．C 【分析】先化简集合A B ，，再求A B 得解.【详解】()222ln 21=ln[(21)]ln[(1)2]ln 2y x x x x x =-++---=--+≤，所以()(]2{|ln 21,ln 2A y y x x ==-++=-∞，{}()|ln 10,B y y e =<=，所以(]0,ln2A B ⋂=. 故选：C 5．C 【分析】先求出集合A 、B ，再求A B .【详解】{}{}26=3,4,5A x x =∈<<N ，{}{}2log (1)215B x x x x =-<=<<∴{}3,4AB =.故选：C 6．D【分析】求出两个集合后可求它们的交集. 【详解】{}(]0121,3A x x =<-≤=，{}(]21,3B x x =-≥-=-∞，故AB =(]1,3，故选：D. 7．C 【分析】判断()f x 的单调性，由此求得不等式()12f x -≤的解集. 【详解】因为对任意的12,x x ∈R （12x x ≠），都有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在R 上单调递增．因为()32f =，所以()2f x ≤的解集为(,3]-∞，则()12f x -≤的解集为(,4]-∞． 故选：C 8．D 【分析】根据函数为单调递增可得243x a x -+≥--，分离参数，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为函数()f x 在R 上为增函数，则不等式()2()43f x a f x ≥-+--对(]0,3x ∀∈恒成立，即243x a x -+≥--对(]0,3x ∀∈恒成立， 所以243a x x ≥-+-对(]0,3x ∀∈恒成立，令()()224321g x x x x =-+-=--+，当(]0,3x ∈，则()()(]2213,1g x x =--+∈-，所以1a ≥，故a 的取值范围为[)1,+∞. 故选：D9．B 【分析】令新的函数()()()()()y f g x g f x x a =->-，将不等式()()()()0f g x g f x ->恒成立，转化为min 0y >成立，再利用二次函数的性质求解函数最小值. 【详解】令()()()()()y f g x g f x x a =->-，根据题意得()()()22ln 2222220+=--=+--=+-+->x a x y e a lne x a a x x a x a a 恒成立，即min 0y >成立，因为函数()()2222y x a x a a x a =+-+->-的对称轴为1x a a =->-，所以函数的最小值()()()2min 2122110-+--+-=-=>a a a a a a y ，解得1a >.故选：B . 10．B 【分析】将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a 的取值范围． 【详解】2()4410f x ax x =+-<，即2441ax x <-+当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x ≠时，20x >，则2min414a x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭令()()1,11,t x=∈-∞-⋃+∞，则()[)224244,y t t t =-+=--∈-+∞ 即44a <-，解得1a <- 故选：B 11．C 【分析】由特称命题为真，并结合二次函数2239y x ax =-+的性质，可求出a 的范围. 【详解】因为R x ∃∈，22390x ax -+<，所以()234290a ∆=--⨯⨯>，解得a >a <-故选：C. 12．C 【分析】分别求出()f x 与()g x 在区间[]0,1上的值域，根据题意只需()()max min f x g x ≥，解不等式即可求解. 【详解】存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，就是()()max min f x g x ≥. 因为01x ≤≤，所以066x ππ≤≤，10sin 62m x m π⎛⎫≤≤⎪⎝⎭. 于是1()2,22g x m m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 当01x ≤≤时，()[]210,1f x x =-∈.因此()()max min f x g x ≥，就是12m ≥-，解得m 1≥. 故选：C 【点睛】本题考查了不等式能成立问题、求三角函数的值域、二次函数的值域，属于基础题. 13．C 【分析】根据命题真假列出不等式,解得结果. 【详解】因为命题“存在0x R ∈，使2104x mx ++<”是假命题, 所以214104m ∆=-⨯⨯≤,解得:11m -≤≤,因为0m ≠. 故选:C . 【点睛】本题考查命题真假求参数,注意已知条件非零实数m 是正确解答本题的关键,考查学生分析求解能力,难度较易.14．C 【分析】审题确定常数，分配常数20K =，根据每次萃取后溶质在水溶液中的残留量为原物质的量的1010K+倍，建立函数模型与不等关系，利用参考数据求解即可.【详解】由题意知，20K =，则101103K =+，设经过n 次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯，则51()103n -<，解得513log 10n ->， 由换底公式得5513ln105ln105 2.303log 1010.481ln 3 1.099ln3--⨯===≈. 则至少经过11次萃取，溶质在水溶液中的物质的量浓度低于5 1.010mol/L -⨯.故选：C. 【点睛】解决实际应用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 15．C 【分析】由于()f x 在R 上单调递增，所以此分段函数每一段上为增函数，且log 14a a a ≥--，从而可求出实数a 的取值范围 【详解】解：因为函数(4),1,()log , 1.aa x a x f x x x --<⎧=⎨⎩在R 上单调递增，所以401log 14aa a a a ->⎧⎪>⎨⎪≥--⎩，解得24a ≤<，故选：C 16．C 【分析】不等式][[]()()f g x g f x >可化为21212(21)1x x -+>+-，整理可得2(2)420x x -⋅>，即解关于2x 的一元二次不等式，再根据指数函数的单调性即可求解.【详解】解：因为()21x f x =+，()21g x x =-，所以不等式][[]()()f g x g f x >可化为21212(21)1x x -+>+-， 整理可得2(2)420x x -⋅>，解得24x >，即2x >， 故选：C ． 17．C 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性分别解不等式，化简集合A 与B ，再根据A B =∅，确定a 的取值范围. 【详解】{}128234x A x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，(){}{}2log 12B x x a x x a =->=>+，又AB =∅，所以23a +≥，即1a ≥， 故选：C. 18．A 【分析】将不等式恒成立问题转化为关于m 的一次函数恒成立问题可得不等式组，解不等式组即可得答案；【详解】()2()82y f m x x m==--⋅-，∴()25(1)1370y m x x m<+⇔--⋅-<对[1,1]m∀∈-恒成立，∴2232(13)(1)704245(13)170x xx xxxx x⎧><-⎧--⨯--<⎪⇒⇒-<<-⎨⎨-<<--⨯-<⎪⎩⎩或或35x<<，故选：A.19．A【分析】若对任意113x≤≤，总存在213x≤≤，使得()()12f xg x=成立，只需函数()f x的值域为函数()g x值域的子集，求出()f x在[]1,3上的值域，讨论a的值，确定()g x在[]1,3上的值域，根据包含关系确定实数a的取值范围.【详解】若对任意113x≤≤，总存在213x≤≤，使得()()12f xg x=成立，只需函数()f x的值域为函数()g x值域的子集函数()f x的对称轴为2x=，(1)(3)1,(2)4822f f f==-=-+=-则函数()f x的值域为[2,1]--，记[2,1]A=--当0a=时，()3g x=为常数，不符合题意当0a>时，()[33,3]g x a a∈--，记[33,3]B a a=--A B⊆33231aaa-≤-⎧⎪∴-≥-⎨⎪>⎩，解得543a≤≤当0a<时，()[3,33]g x a a∈--，记[3,33]C a a=--A C⊆323310a a a -≤-⎧⎪∴-≥-⎨⎪<⎩，无解 综上，543a ≤≤ 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的值域以及根据集合间的包含关系求参数的范围，属于中档题. 20．B 【分析】因为对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，所以242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立，则0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，结合已知可得cos θ的值，进而可求出sin θ的值，从而可求出答案. 【详解】由题意，a xb a b +≥⇔+22a xb a b +≥⇔+222220x b a bx a b b +⋅-⋅-≥， 对任意实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，且||3,||2a b ==，∴242240x a bx a b +⋅-⋅-≥对任意实数x 恒成立， ∴0∆≤，即()2216(24)0a ba b ⋅+⋅+≤，又cos 6cos a b a b θθ⋅==，∴2144cos 16(12cos 4)0θθ++≤，即29cos 12cos 40θθ++≤，∴2(3cos 2)0θ+≤，则2(3cos 2)0θ+=，解得2cos3θ=-， 又0πθ≤≤，∴sin θ=， ∴sin 3tan 2cos 3θθθ===-故选：B .【点睛】本题主要考查了求三角函数值，考查向量数量积的运算，考查一元二次不等式的解与判别式的关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 21．D 【分析】先由()0f f x <⎡⎤⎣⎦可得出()20f x -<<，然后再分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()20f x -<<，即可得解.【详解】若()1f x ≤-，则()()1402f x f f x ⎛⎫=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得()2f x >-，此时，()21f x -<≤-； 若()1f x >-，则()()ln 10f f x f x =+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可得()011f x <+<，解得()10f x -<<.综上，()20f x -<<.若1x ≤-，由()20f x -<<可得12402x ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得1242x⎛⎫<< ⎪⎝⎭，解得21x -<<-，此时21x -<<-；若1x >-，由()20f x -<<可得()2ln 10x -<+<，可得2111x e <+<，解得2110x e -<<，此时，2110x e-<<. 综上，满足()0f f x <⎡⎤⎣⎦的x 的取值范围为()212,11,0e ⎛⎫--⋃- ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】思路点睛：涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量的取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量的取值确定但分段函数中含有参数时，只需根据自变量的情况直接代入相应解析式求解. 22．C 【分析】本题首先可根据0.3log 0.5log >2142log 0.5log 2-=得出12a >、12b =-，A 、B 正确，然后通过1a <得出2(1)ab a +>，C 错误，最后通过基本不等式即可得出D 正确. 【详解】0.31log 0.5log 2a =>=，21421log 0.5log 22b -===-， 则0ab <，0a b +>，A 、B 正确，因为2(1)2ab a +=-+，0.30.3log 0.5log 0.31a =<=， 所以21a -+>，2(1)1ab +>，2(1)ab a +>，C 错误， 因为0.3log 0.5a =，所以0.51log 0.30a=>， 因为0.5log 0.32≠， 所以()220.50.52211log 0.3222log 0.3a b+=+>⨯⨯ 612223104log 4log log 26103==>=，即22116a b +>，D 正确， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查对数的相关性质的应用，考查通过对数函数的单调性判断对数的取值范围，考查通过基本不等式求最值，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题. 23．D 【分析】依题意可构造函数()()sin h x f x x =，由条件可知，()h x 是偶函数，且()h x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是减函数，再根据144h h ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可由单调性解出不等式．【详解】因为()f x 是奇函数，所以()sin f x x 是偶函数．设()()sin h x f x x =，∴当02x π<<时，()()()cos sin 0h x f x x f x x ''=+>，∴()h x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，∴()h x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是减函数，∵sin 14444h h f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．当02x π-<<时，不等式()1sin f x x >等价于()14sin h f x x π⎛-<=⎫⎪⎝⎭， 当02x π<<时，不等式()1sin f x x >等价于()14sin h f x x π⎛>=⎫ ⎪⎝⎭， ∴原不等式的解集为,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：D ． 24．C 【分析】根据奇偶性求分段函数的解析式，然后作出函数图象，根据单调性解不等式即可. 【详解】因为当0x >时，()2f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以0x <时，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=--+-=-+⎣⎦，所以()22,0,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨+>⎩，作出函数图象：所以函数()f x 是()+-∞∞，上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <-，所以ln 10x x <-⎧⎨>⎩，即10x e <<， 故选：C. 25．D 【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性即可将不等式转化为2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立，根据恒成立问题求解即可. 【详解】 解：()2x x f x e e x -=--的定义域为R 关于原点对称，且()()2xx f x e e x f x --=-+=-，()f x ∴为R 上的奇函数，又()12x xf x e e '=+-，而12x x e e +≥=，当且仅当1xx e e =，即0x =时等号成立， 故()120xx f x e e'=+-≥恒成立，故()f x 为R 上的增函数，不等式()()2120f ax f ax +-≥对x R ∀∈恒成立， 即()()212f ax f ax ≥--对x R ∀∈恒成立， 即()()221f ax f ax ≥-对x R ∀∈恒成立，即221ax ax ≥-对x R ∀∈恒成立， 即2210ax ax -+≥对x R ∀∈恒成立， 当0a =时，不等式恒成立，当0a ≠时，则()20240a a a >⎧⎪⎨∆=--≤⎪⎩ ， 解得：01a <≤， 综上所述：[]0,1a ∈. 故选：D. 26．D 【分析】由函数定义域的求解方法可求得()f x 定义域，由奇偶性定义可知()f x 为偶函数，由单调性性质和复合函数单调性的判断方法可确定当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，由偶函数性质知其在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，由此可得自变量的大小关系，结合函数定义域可构造不等式组求得结果. 【详解】由1200x x ⎧->⎪⎨⎪≠⎩得：12x <-或12x >，()f x ∴定义域为11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()()221111ln 2ln 211f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为偶函数； 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()211ln 21f x x x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭， 又12y x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1ln 2y x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又211y x =+在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()f x 为偶函数，()f x ∴在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减；由()()21f x f x <-得：21x x <-，解得：113x -<<； 又112,,22x ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111,,22x ⎛⎫⎛⎫-∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，114x ∴-<<-或1143x <<，即使得()()21f x f x <-成立的x 的取值范围为1111,,443⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D . 【点睛】易错点点睛：本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够通过对函数单调性的判断，将函数值大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成取值范围求解错误. 27．C 【分析】利用()'1f x ＜构造函数g (x )，即可得到函数g (x )的单调性，再将所解不等式转化为用g (x )表达的抽象函数不等式而得解. 【详解】因()'1f x ＜，即()10f x '-<，令()()g x f x x =-，则()0g x '<，()g x 在(,0]-∞上递减， 又()f x 是R 上的奇函数，则()g x 也是R 上的奇函数，从而有()g x 在R 上单调递减，显然()()f x g x x =+，则有()()2101110102021f x f x x --+≥-(21011)(21011)[(1010)(1010)]2021g x x g x x x ⇔-+--+++≥- (21011)21011(1010)10102021g x x g x x x ⇔-+--+--≥- (21011)(1010)g x g x ⇔-≥+由()g x 在R 上单调递减得2101110102021x x x -≤+⇔≤， 所以所求不等式的解集为(],2021-∞. 故选：C 【点睛】关键点睛：解给定导数值特征的抽象函数不等式，根据导数值特征构造对应函数是解题的关键. 28．()1,+∞ 【分析】由关于x 的不等式220x x a ++>恒成立，则2240a ∆=-<，再求解即可. 【详解】解：由关于x 的不等式220x x a ++>恒成立， 则2240a ∆=-<，即1a >， 即实数a 的取值范围是()1,+∞， 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，属基础题. 29．x ＜12【分析】将不等式化为(23)(2)f x f -<-，再根据函数的单调性可解得结果. 【详解】因为(2)3f -=，所以(23)3f x -<和化为(23)(2)f x f -<-， 又因为f (x )是定义在(,0]-∞上的单调递增函数，所以232x -<-，解得12x <. 故答案为：12x <. 30．()4,3- 【分析】根据分段函数的性质，结合函数不等式列不等式组，求解集即可. 【详解】由题设，得：2log (1)20x x +<⎧⎨≥⎩或2x <<⎪⎩，∴03x ≤<或40x -<<，即43x -<<. 故答案为：()4,3-. 31．1(,)3+∞ 【分析】函数3()2f x x x =+为奇函数，又函数为增函数，故将不等式转化为21a a ->-，解不等式. 【详解】3()2f x x x =+，33()()2()2()f x x x x x f x ∴-=-+⨯-=--=-，故函数3()2f x x x =+为奇函数，且单调递增，又(21)()0f a f a -+>，即(21)()()f a f a f a ->-=-，21a a ->-，解得13a >，故答案为：1(,)3+∞ 【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． 32．04k < 【分析】问题转化为210kx kx -+解集为∅，分类讨论结合二次函数的性质可得． 【详解】 解：22131()024x x x ++=++>，∴不等式22101kx kx x x -+++等价于210kx kx -+，当0k =时，210kx kx -+可化为10，解集为∅，当0k ≠时，可得2()40k k k >⎧⎨=--<⎩，解得04k <<， 综合可得k 的取值范围为04k < 故答案为：04k <． 33．,0【分析】由题设不等式恒成立，只需在[]1,4x ∈上()()min max f x g x >成立即可，进而求m 范围. 【详解】()()222312f x x x x =-+=-+，当[]1,4x ∈时，()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是,0．故答案为：,0.34．(2,2)- 【分析】由()f x 单调减，不等式在x ∈R 恒成立，知：210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，根据判别式即可求a 的取值范围. 【详解】由()f x 在R 上为减函数，且2(1)(2)f ax f x ->+对任意的x ∈R 恒成立，∴212ax x -<+对任意的x ∈R 恒成立，整理可得210x ax ++>对任意的x ∈R 恒成立， ∴240a ∆=-<，即22a -<<. 故答案为：(2,2)-. 35．4a【分析】题设中的不等式有解可以转化为()2max284x x a -->，从而可得实数a 的取值范围.【详解】因为关于x 的不等式22840x x a --->有解在[]1,4上有解，故()2max284x x a -->，又()222842212y x x x =--=--，而14x ≤≤，故()2max 242124y =--=-，故4a ，故答案为：4a .【点睛】本题考查一元二次不等式在给定的范围上有解，此类问题可以转化为函数的最值来处理，本题属于基础题.36．(,2-∞+ 【分析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+. 【点睛】 思路点睛：含有指数或对数函数的二次型不等式恒成立问题，通常将指数或对数函数进行等价换元，转化成二次函数图象性质来解决即可. 37．(],1-∞- 【分析】本题可设12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()22f x t =，然后根据[]1,1x ∈-得出1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，最后根据题意得出不等式()211t k --≥对于任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即可得出结果. 【详解】 设12x t ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()22211222xx f x t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为[]1,1x ∈-，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()22f x f x k -≥即22t t k -≥，()211t k --≥，因为1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()2111t --≥-，因为不等式()()22f x f x k -≥对于任意的[]1,1x ∈-恒成立，即不等式()211t k --≥对于任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以1k ≤-，实数k 的取值范围是(],1-∞-， 故答案为：(],1-∞-.38．12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】不等式两边同除以b ，先将题意转化为2x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解，即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤，再求出函数对应最值即得结果.【详解】解：因为0b >，故不等式两边同除以b ，得21a a x x b b -≤-，令at b=∈R ，即不等式21x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解.去绝对值即得2211tx x t tx -≤-≤-，即2211tx x t x t tx ⎧-≤-⎨-≤-⎩ 即22111111x t x x t x x +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤即可， 由1()1f x x -=+在[0,1)x ∈上，1[1,2)x +∈，11,112x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，即()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故min ()1t f x ≥=-；由()()()22111()211221121x x g x x x x x x ++===+++-+++-+，利用基本不等式()211x x ++≥+211x x +=+即,)11[0x ∈=时等号成立，故1()2g x ≤=，即max 1()2g x =，故12t ≤，综上：t 的取值范围是112t -≤≤，即a b 的取值范围是112b a -≤≤.故答案为：11,2+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】 方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；（2）根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果. 39．{1x x <-，或0x =，或}1x > 【分析】由已知条件构造函数22()()31g x x f x x =-+，求导后可判断出()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，由()12f =，可得(1)(1)0g g -==，由()f x 为偶函数，可判断出()g x 为偶函数，而不等式()2231x f x x >-转化为()0>g x ，偶函数的性质可得1x >，从而可求出x 的范围，再由(0)10g =>可得0x =，进而可求出不等式的解集 【详解】解：令22()()31g x x f x x =-+，则'2''()2()()6[2()()6]g x xf x x f x x x f x xf x =+-=+-， 因为对任意的x 都有()()2'60f x xf x -+>， 所以当0x >，'()0g x >，当0x <，'()0g x <， 所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 因为()12f =，所以(1)(1)0g g -==， 因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以2222()()()3()1()31()g x x f x x x f x x g x -=----+=-+=， 所以()g x 为偶函数，所以由()0>g x ，所以()(1)g x g >，所以1x >，解得1x <-或1x >， 因为(0)10g =>，所以0x =， 综上，1x <-，或1x >，或0x =，所以不等式的解集为{1x x <-，或0x =，或}1x >. 故答案为：{1x x <-，或0x =，或}1x >40．（1）0；（2）)(33x xf x -=-；（3）)(,12-∞.【分析】（1）令0x =，计算即可求得)(0f 的值；（2）由)()(11433x x f x f x +-+-=-可得)()(11433x x f x f x -+-+=-，解方程组即可求得结果；（3）由（2）知)(27xf x m ->⋅等价于)(22233xx m <-．令)(234xt t =≥，设函数)(2g t t t =-，只需)(min m g t <即可.【详解】解：（1）令0x =，得)()(40033f f +=-，解得)(00f =．（2）因为)()(11433x xf x f x +-+-=-，① 所以)()(11433x xf x f x -+-+=-，②①4⨯-②得)(11155353x x f x +-=⨯-⨯，即)(33x xf x -=-． （3）由（2）知)(27xf x m ->⋅等价于)(22233xx m <-．令)(234x t t =≥，设函数)(2g t t t =-，易知)(g t 在)4,⎡+∞⎣上单调递增，从而)()(min 412g t g ==．则12m <，即m 的取值范围为)(,12-∞． 41．（1）256y x x =-+；（2）5t ≤-或6t ≥；（3）[]1,6-． 【分析】（1）利用韦达定理求出b 、c 的值即可；（2）利用二次函数的知识求出当33x -≤≤时256y x x =-+的最大值即可；（3）易得212t +的最小值为12，然后解出不等式2560x x --≤即可. 【详解】（1）由题知2和3是方程20x bx c ++=的两个根．由根与系数的关系得2323b c -=+⎧⎨=⨯⎩即56b c =-⎧⎨=⎩，所以256y x x =-+．（2）不等式2y t t -+≤对于任意33x -≤≤恒成立，由于256y x x =-+的对称轴是52x =， 由二次函数的知识可得，当3x =-时二次函数取最大值max 30y =， 所以只需230t t -≥，即2300t t --≥，解得5t ≤-或6t ≥．（3）当0t =时，212t +取得最小值为12，故12y ≤，即2560x x --≤ 解得16x -≤≤，即x 的取值范围为[]1,6-42．（1）()212,021,2032,2m m g m m m m m m +>⎧⎪=++-≤≤⎨⎪--<-⎩；（2）54t ≤-【分析】（1）利用对数的运算以及换元法可得()()()()222224f x y m t t t m t m ==+-=-+-+，讨论二次函数的对称轴，利用二次函数的性质即可求解.（2）将不等式转化为()2t g m m ≤--对任意[4,0]m ∈-恒成立，只需求出()2g m m --在[4,0]m ∈-最小值即可. 【详解】（1）由123log 1x -≤≤-，解得21log 3x ≤≤， ()()()2222224()log 4log log 4log log 4log mmf x x x x x ⎛⎫⎡⎤=⋅⋅=+- ⎪⎣⎦⎝⎭()()22log l g 2o 2x x m =+-，令[]2log 1,3x t =∈，()()()()222224f x y m t t t m t m ==+-=-+-+，对称轴1t m =-，当11m -<时，即0m >，此时max 122412y m m m =-+-+=+， 当113m ≤-≤时，即20m -≤≤时，此时()()()22max 1221421y m m m m m m =--+--+=++，当13m ->时，即2m <-，此时max 966432y m m m =-+-+=--，综上所述，函数()f x 的最大值()212,021,2032,2m m g m m m m m m +>⎧⎪=++-≤≤⎨⎪--<-⎩，（2）()2≥++g m t m 对任意[4,0]m ∈-恒成立， 即()2t g m m ≤--对任意[4,0]m ∈-恒成立， ①当[)4,2m ∈--时，()353251t m ≤--<-⨯--=， 所以1t ≤，②当[]2,0m ∈-时，2215124t m m m ⎛⎫≤+-=+- ⎪⎝⎭， 由21524m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的最小值为54-， 所以54t ≤-， 综上所述，54t ≤-. 43．（1）()[)0,12,+∞；（2）存在，312k << 【分析】（1）讨论01a <<或1a >，利用对数函数的单调性即可求解.（2）根据对数函数的单调性，将不等式转化为1424x x x k ++>-，分离参数可得()22222x x k <⋅+⋅，求出()22222x x ⋅+⋅的最小值，结合函数的定义域即可求解.【详解】（1）()log (01)a f x x a a =>≠，， 当01a <<时，函数()f x 单调递减，若()()265f a f a +≤，则265a a +≥，解得2a ≤， 此时，01a <<，当1a >时，函数()f x 单调递增，若()()265f a f a +≤，则265a a +≤，解得2a ≥， 此时，2a ≥，综上所述，不等式的解集为()[)0,12,+∞.（2）若1a >时，函数()f x 单调递增，对任意的[]10x ∈-，，不等式()()14240x x x f f k ++-->恒成立， 即对任意的[]10x ∈-，，1424x x x k ++>-恒成立，即()22222xx k <⋅+⋅恒成立，令12,12xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，可得()()22211222222g t t t t t t ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭， 由于()g t 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()min 1322g t g ⎛⎫==⎪⎝⎭，可得32k <， 又因为40x k ->恒成立，只需()max41xk >=，所以1k >， 综上所述，312k <<44．（1）1a ≥；（2）()2,4. 【分析】（1）根据二次函数的性质，由题中条件，得到()30f ≥，即可求解； （2）根据方程有两不同正根，结合判别式与韦达定理，求出3a <-，再由()2221212122x x x x x x +=+-，即可求出结果.【详解】（1）当0a >时，二次函数()223f x ax ax =--开口向上，对称轴为1x =，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增， 要使()0f x ≥在[3)+∞，上恒成立，只需()39630a a f =--≥， 所以a 的取值范围是1a ≥；（2）因为()0f x =有两个不相等的正实数根1x ，2x ，所以21212041202030a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得3a <-，因为()222121212624x x x x x x a+=+-=+，所以2212x x +的取值范围是()2,4.45．（1）()f x 在[)2,x ∈+∞时单调递增；（2）72a -≤≤；（3）32a -<≤-. 【分析】（1）将函数化为()11f x x x =+-，再利用函数的单调性定义即可求解. （2）根据题意，只需()min g x a ≥，由二次函数的解析式讨论二次函数的对称轴所在的区间，求出()min g x ，解不等式即可求解.（3）根据题意可知()f x 的值域含于()g x 的值域，求出()[)3,f x ∈+∞，()[)72,g x a ∈++∞，从而可得723a +≤，解不等式即可求解.【详解】（1）()()()()22111111111111x x x x f x x x x x x x -+-+-+===-++=+----当[)2,x ∈+∞时，任取[)12,2,x x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()()()21121212121212121111111111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+=--⎢⎥---⋅--⋅-⎣⎦因为12x x <，所以120x x -<，又因为[)12,2,x x ∈+∞，所以111x -≥，211x ->，。

函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)

函数的定义域与值域求法典型例题(解析版)

专题13：函数的定义域与值域求法典型例题（解析版）函数定义域的常见其一、已知函数解析式型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。

例1、求函数yx 2 2x 15的定义域。

x 3 82 x 5或x3 x 2x 15 0解：要使函数有意义，则必须满足即 x 5且x 11 x 3 8 0解得x 5或x 3且x 11即函数的定义域为x x 5或x 3且x 11 。

二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能用常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的定义域，一般有两种情况。

（一）已知f (x )的定义域，求f g (x ) 的定义域。

其解法是：已知f (x )的定义域是[a ,b ]求f g (x ) 的定义域是解a g (x ) b ，即为所求的定义域。

例2、已知f (x )的定义域为[ 2,2]，求f (x 1)的定义域。

2解： 2 x 2， 2 x 1 2，解得 3 x 23即函数f (x 1)的定义域为x 3 x 3（二）已知fg (x ) 的定义域，求f (x )的定义域。

2其解法是：已知f g (x ) 的定义域是[a ,b ]求f (x )的定义域的方法是：a x b ，求g (x )的值域，即所求f (x )的定义域。

例3、已知f (2x 1)的定义域为[1,2]，求f (x )的定义域。

解： 1 x 2， 2 2x 4， 3 2x 1 5。

即函数f (x )的定义域是x |3 x 5 。

三、逆向思维型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。

特别是对于已知定义域为R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。

例4、已知函数ymx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。

22分析：函数的定义域为R ，表明mx 6mx m 8 0，使一切x R 都成立，由x 项的系数是m ，所以应分m 0或m 0进行讨论。

20道已知函数解析式判断函数图像问题

20道已知函数解析式判断函数图像问题

20道已知函数解析式判断函数图像问题1.函数xx y ln =的图象大致是( )2.设函数()sin cos f x x x x =+的图象在点x t =处切线的斜率为()g t ，则()y g t =函数的图象一部分可以是( )A ．B ．C ．D ．3.函数xy xln 2=的图象大致为4.已知函数a kx y +=的图象如图所示，则函数k x a y +=的图象可能是5.函数3()2x y x x =-⋅的图象大致是( )6.函数()43tan f x x x =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象大致为（ ）． A ．B ．C ．D ．7. 函数()(1)ln f x x x =-的图象可能为( )．8.已知函数151)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则y=f(x)的大致图像为（ ）9. 已知a>0且a ≠1，函数f(x)＝log a (x ＋x 2＋b)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝log a ||x|－b|的图象是( )A ．B. C ．D ．10．（5分）函数2()(1)sin 1xf x x e=-+图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．11.函数的大致图象为（ ）A. B.C. D.12.函数的图象大致为A. B.C. D.13．函数的部分图象大致是14．函数的大致图象是（）()21xf xx-=A ．B ．C ．D ．15.函数()ln f x x x =的图像可能是( )16.函数()()122ln 1222++⋅-=x x x y 的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．17．已知函数()ln(||)cos f x x x =⋅，以下哪个是()f x 的图象A. B.C. D.18.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )19.函数f （x ）=2sin 1x x +的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．20.函数2sin 2x y x =-的图像大致是（ ）A. B.C. D.答案1. C2. B3. D4. B5. B6. D7. A8. D9. D10. 【解答】解：21()(1)sin sin 11xx xe f x x x e e -=-=++，则111()sin()(sin )sin ()111x x xx x xe e ef x x x x f x e e e ------=-=-==+++，则()f x 是偶函数，则图象关于y 轴对称，排除B ，D ， 当1x =时，f （1）1sin101e e-=<+，排除A ，故选：C ． 11.【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键12.D13.C14.D15.A16.C17.B18.B19.A20.C。

求出反函数解析式解关于反函数的不等式

求出反函数解析式解关于反函数的不等式

求出反函数解析式解关于反函数的不等式例1、已知函数ax b ax x f ++=)(的图像与其反函数图像都经过点)3 ,1(-，求不等式0)(1>-x f 的解的集合．分析：求出系数b a ,是本题的关键，利用已知的两个条件可列两个方程，从而求出a 和b ．解：（法1）令,)(ax b ax x f y ++== .)(,b ay x a y b ax ya x y +-=-∴+=+⋅∴.)(,1ax b ax x f a y b ay x -+-=∴-+-=∴- )(x f 与)(1x f -的图像都经过点)3 ,1(-，∴有⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+=+-+-.3,0,31,31b a ab a a b a .3)(1xx f -=∴- 由,003)(1<⇒>-=-x xx f ∴不等式0)(1>-x f 的解集是{}0<x x ．（法2）根据了数与反函数的图像关于直线x y =对称，又反函数)(1x f -的图像过点)3 ,1(-，所以原函数)(x f 的图像必过点)1 ,3(-，也就是说，函数ax b ax y ++=过)3 ,1(-和)1 ,3(-两个点． ∴有⎩⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=+-+-.3,0,133,31b a ab a a b a .3)(xx f -=∴.00)(,3)(11<⇒>∴-=∴--x x f xx f ∴不等式0)(1>-x f 的解集是{}0<x x ．小结：注意解法2，根据原函数与反函数的性质联系，可以将反函数的有关性质转化为原函数的性质（此处用的是图像关于x y =对称），从而不必将反函数的表达式求出来，减少了运算量．再如问x x x f +=3)(的反函数是奇函数还是偶函数？单调性怎样？就可由原函数的性质作出解答：是奇函数且是增函数．求反函数例1、求下列函数的反函数: (1)12)(-=x x f ； (2)1,3)(2<-=x x x x f ； (3)⎩⎨⎧≤≤-<<-+=10011)(x x x x x f .分析:求反函数时,通常先由给定的解析式)(x f y =中解出)(1y fx -=,再求出原来的函数的值域,再把x 与y 互换. 解: (1)由12-=x y 得211222+=∴=-y x y x ,又12-=x y 得值域是[)+∞,0. 0,21)(21≥+=∴-x x x f . (2)由x x y 32-=变形得1,032<=--x y x x 2493y x +-=∴. 又1,32<-=x x x y 得值域是2->y , ).2(2493)(1->+-=∴-x x x f (3)由1+=x y 得1,122-=∴=+y x y x ; 由x y -=得2y x =. 又1+=x y ()01<≤-x 的值域是10<≤y ,而x y -=)10(≤≤x 的值域是 01≤≤-y ,∴⎩⎨⎧≤≤-<<-=-01101)(221x x x x x f . 小结:在求解方程时,一定要注意题目中对x 的限制条件的使用,分段函数存在反函数时,也应分段求解它的反函数,一般情况下,它的反函数仍然是个分段函数.求复合函数的反函数例1、已知函数12)1(2-+=+x x x f ,[]2,1∈x ,求)1(-x f 的反函数.分析: 由于已知是)1(+x f ,所求是)1(-x f 的反函数,因此应首先由)1(+x f 找到)(x f ,再由)(x f 求出)1(-x f 的表达式,再求反函数.解:令u x =+1,则1-=u x ,21)1(2)1()(22-=--+-=∴u u u u f ,[]3,2∈u , []3,2,2)(2∈-=x x x f .于是有[]4,3,122)1()1(22∈--=--=-x x x x x f . 由122--=x x y 得0122=---y x x ,由于[]4,3∈x , y y x ++=++=∴212482. 又122--=x x y ,[]4,3∈x 的值域是[]7,2,∴)1(-x f 的反函数是[]7,2,21∈++=x x y .小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.。

2.3二次函数性质的再研究2—不等式与系数问题2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修1

2.3二次函数性质的再研究2—不等式与系数问题2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修1
2
①当a=0时，f(x)=1不符合要求
②当0<a<1时，开口朝上，
2a
对称轴 x -1
2a
4a （2a ) 2 1
x R，
f min ( x)

4a
2
1
a
2
1 2 1
x x （ ） 0
2 2
1
3
{x | x }
2
2
2
求解析式
例4：已知下列条件的二次函数解析式：
即：mx2-mx-1<-m+5，
∴mx2-mx+m-6<0，
①m=0时，-6<0,符合要求
m 1
②m>0时，开口朝上， 对称轴 x

2m 2
0.5在[1,3]外，结合图像得：f(3)<0
解得m<6/7
∴0<m<6/7
③m<0时，开口朝下， 对称轴 x m 1
2m
2
0.5在[1,3]外，结合图像得：f(1)<0
a
2
a
2
a
2
a
-1
2

1 x a ，a 2

综上：
a = -2
- 1,
2
x -1, - 2 a 0
a
练2：求使得y=-ax2-5x的函数图像处于y=-ax-5上方
的x取值范围 (a<0)
①解：由题意得：-ax2-5x>-ax-5 (a<0)
5
∴-ax2+(a-5)x+5>0
上方的x取值范围(a<0)

2023年中考专题训练——二次函数与不等式(附答案)

2023年中考专题训练——二次函数与不等式(附答案)

2023年中考专题训练——二次函数与不等式1．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y x 2x m 1=+++以及两点()()A m m 1B m m 3++，和，． (1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m 的代数式表示) (2)若该抛物线经过点()A m m 1+，，求此抛物线的表达式； (3)若该抛物线与线段AB 有公共点，结合图象，求m 的取值范围．2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(1,0)-，且对一切实数x ，都有22111424x ax bx c x x ≤++≤++成立． （1）当1x =时，求y 的值； （2）求此二次函数的表达式；（3）当x t m =+时，二次函数2y ax bx c =++的值为1y ，当2x t =时，二次函数2y ax bx c =++的值为2y ，若对一切11t -≤≤，都有12y y <，求实数m 的取值范围．3．已知函数222222()22()x kx k k x k y x kx k k x k ⎧-+-+=⎨++->⎩，（k 为常数）． （1）当1k =-时，①求此函数图象与y 轴交点坐标．②当函数y 的值随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围为_____ ___． （2）若已知函数经过点（1，5），求k 的值，并直接写出当20x -时函数y 的取值范围． （3）要使已知函数y 的取值范围内同时含有2±和4±这四个值，直接写出k 的取值范围．4．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线、画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22y x x c =-+的过程．（1已知函数过点()1,4，则这个函数的解析式为：___ ___．（2）在（1）的条件下，在平面直角坐标系中，若函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，请画出该函数的图象，并写出函数图象的性质：_____ __（写出一条即可）．（3）结合（2）中你所画的函数图象，求不等式221x x c x -+≥+的解集．5．在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：y ＝ax 2＋2x ﹣1（a ≠0）和直线l ：y ＝kx ＋b ，点A （﹣3，﹣3），B （1，﹣1）均在直线l 上． （1）求出直线l 的解析式；（2）当a ＝﹣1，二次函数y ＝ax 2＋2x ﹣1的自变量x 满足m ≤x ≤m ＋2时，函数y 的最大值为﹣4，求m 的值；（3）若抛物线C 与线段AB 有两个不同的交点，求a 的取值范围．6．根据我们学习函数的过程与方法，对函数y ＝x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|的图像和性质进行探究，已知该函数图像经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点， （1）该函数的解析式为 ，补全下表：（2）描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，写出这个函数的一条性质： ．（3）结合你所画的图象与函数y ＝x 的图象，直接写出x 2＋bx ＋2﹣c |x ﹣1|≤x 的解集 ．7．已知函数()()2110by a x a x=-++≠，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．x … －3 －2 －1 12 3 4 5 … y … －6 －2 2－2 －1 －2 m 385-…（1）请根据给定条件直接写出,,a b m 的值；（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；（3）若()214b a x x x-+≥-，结合图像，直接写出x 的取值范围． 8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x bx =-+的对称轴为直线2x =．(1)求b 的值；(2)在y 轴上有一动点(0,)P n ，过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，其中12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出n 的值；②把直线PB 上方的函数图象，沿直线PB 向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在05x 时，满足44y -，求n 的取值范围．9．如图，直线28y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 和点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)结合图象直接写出不等式228x bx c x ++>-+的解集；(3)若点1(1,)C y ，2(,)D m y 都在抛物线上，当21y y >时，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y ax x c =-+与x 轴交于A ，()3,0B 两点，与直线AM ：2y kx b =+交于点A 、()4,5M 两点．(1)求抛物线解析式及顶点C 的坐标．(2)求点A 的坐标，并结合图象写出不等式22ax x c kx b -+>+的解集． (3)将直线AM 向下平移，在平移过程中与抛物线BC 部分图象有交点时(包含B ，C 端点)，请直接写出b 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 上，其中x 1＜x 2．(1)求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）； (2)①当x ＝a 时，求y 的值；②若y 1＝y 2＝0，求x 1的值（用含a 的式子表示）． (3)若对于x 1+x 2＜﹣4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线2122y x mx =-+，点A 坐标(4,3)，点B 坐标3(1,)4--． (1)抛物线的对称轴为直线 ； (2)当抛物线经过点A 时，求m 的值；(3)点1(22P m -，1)y ，点1(2Q m +，2)y 在抛物线2122y x mx =-+上．当12y y >时，求m 的取值范围；(4)当抛物线2122y x mx =-+与线段AB 只有一个公共点时，直接写出m 的取值范围．13．已知二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象在点B 、C 之间的部分（包含点B 、C ）记为图象G ．已知直线l ：y ＝kx ﹣2k +2总位于图象G 的上方，请直接写出k 的取值范围；（3）如果点P （x 1，c ）和点Q （x 2，c ）在函数y ＝x 2+mx +n 的图象上，且x 1＜x 2，PQ ＝2a ，求x 12﹣ax 2+6a +4的值．14．在初中阶段的学习中，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数22835x y x =-+性质及其应用的部分过程．请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：（2）观察该函数图象，写出该函数图象的一条性质：．（3）已知函数3375y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式223383755x x x -≤-+的解集：．（保留1位小数，误差不超过0.2）15．已知抛物线()2230y ax ax a a =--≠与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧． (1)求A ，B 两点的坐标．(2)结合函数图象写出关于x 的不等式2230ax ax a -->的解集．(3)已知点()11M -，，()23N -，，若该抛物线与线段MN 只有一个公共点，直接写出a 的取值范围．16．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），如果点C （x ，y ）满足12x x x =-，12y y y =-，那么称点C 是点A ，B 的“双减点”．例如：A （3，2），B （-1，5），当点C （x ，y ）满足()314x =--=，253y =-=-，则称点C （4，3-）是点A ，B 的“双减点”． (1)写出点A （1-，2），B （2，4-）的“双减点”C 的坐标，并且判断点C 是否在直线AB 上； (2)点E （t ，y 1），F （t+1，y 2），点G （x ，y ）是点E ，F 的“双减点”，是否存在非零实数k ，使得点E ，F ，G 均在函数ky x=的图象上，若存在，求实数k 的值，若不存在请说明理由； (3)已知二次函数222y ax bx =+-（0a b >>）的图像经过点（2，6），且与x 轴交于点M （x 1，0），N （x 2，0），若点P 为M ，N 的“双减点”，求点P 与原点O 的距离OP 的取值范围．17．已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4（a ≠0）的顶点为A ，与x 轴相交于B ，C 两点． (1)求点A 的坐标；(2)若BC ＝4，求抛物线的解析式；(3)对于抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4（a ≠0）上的任意一点M （x 1，y 1）（x 1＜0），在函数y ＝x +2a ﹣5的图象上总能找到一点N （x 2，y 2）（x 2＞0）使得y 1＝y 2，请结合函数图象，求出a 的取值范围．18．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()2,3A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴负半轴交于点()0,3C -，直线y x m =-+经过A 、B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)观察图象，直接写出不等式2ax bx c x m ++<-+的解集；(3)在y 轴上是否存在点D ，使BDO OBA ∠=∠?如果存在，直接写出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．19．已知抛物线y ＝ax 2+3ax +c (a ≠0)与y 轴交于点A (1)若a ＞0①当a =1，c =－1，求该抛物线与x 轴交点坐标；②点P (m ，n )在二次函数抛物线y ＝ax 2+3ax +c 的图象上，且n －c ＞0，试求m 的取值范围； (2)若抛物线恒在x 轴下方，且符合条件的整数a 只有三个，求实数c 的最小值；(3)若点A 的坐标是(0，1)，当－2c ＜x ＜c 时，抛物线与x 轴只有一个公共点，求a 的取值范围. 20．已知：抛物线211:43C y x x =-+-与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，将1C 绕点A 旋转180゜得到222C y ax bx c =++:交x 轴与点N(1)求2C 的解析式(2)求证：无论x 取何值恒12y y ≤(3)当2243x x mx n ax bx c -+-≤+≤++时，求m 和n 的值．(4)直线:2l y kx =-经过点N ，D 是抛物线2c 上第二象限内的一点，设D 的横坐标为q ，作直线AD 交抛物线1c 于点M ，交直线l 于点E ，若DM ＝2ED ，求q 值参考答案：1．（1）(1,)m -；（2）：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-；（3）013m ≤≤-+132m -≤-. 【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据题意将()A m m 1+，代入求出m 的值即可求得该抛物线的表达式； （3）根据题意分m≥0，m ＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可． 【解析】解：（1）∵抛物线解析式为：22y x 2x m 1(1)x m =+++=++， ∴顶点坐标为：(1,)m -.（2）∵抛物线经过点()A m m 1+，， ∴21(1)m m m +=++，解得0,2m =-，所以该抛物线的表达式为：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-. （3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+， ∴220m m +≥且2220m m +-≤， 解得013m ≤≤-． 当m ＜0时，如图2中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∴m 2+2m≥0且m 2+2m-2≤0，解得12m -≤-，综上所述，满足条件的m 的值为：01m ≤≤-或12m -≤≤-．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答． 2．（1）1y =；（2）2111424y x x =++；（3）11m -<< 【分析】(1)直接将x=1代入22111424x ax bx c x x ≤++≤++,即可确定y 的值； (2)由题意函数图像过（-1,0）和（1,1），可得11,22b a c =+=，然后再根据22111424x ax bx c x x ≤++≤++，确定a 和c 的值即可解答； （3）当11t -≤≤时，可得12y y <,然后列出不等式解不等式即可．【解析】解：（1）不等式22111424x ax bx c x x ≤++≤++对一切实数都成立， 当1x =时也成立，即11a b c ++≤≤即有1y =；（2）根据二次函数2y ax bx c =++的图象经过点()1,0- 可得0a b c -+=①又当1,1x y ==时，即1a b c ++=② 由①②求得，11,22b a c =+=21122y ax x a ∴=++- 221111122424x ax x a x x ∴≤++-≤++ 即211022ax x a ++-≥，211044a x a ⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭恒成立，1110,4()042a a a ∴>∆=--≤， 21110,04()()0444a a a -<∆=---≤， 解得：14a =，14c = 二次函数的表达式为2111424y x x =++ （3）当11t -≤≤时，12y y <即：120y y -<即22111111()()(2)20424424t m t m t t ⎡⎤⎡⎤++++-+⨯+<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦整理得：2231111()042242t m t m m -+-++<当1t =-或1时均成立， 231111042242m m m ∴-+-++<231111042242m m m ∴--+++<解得51m -<<，11m -<<11m ∴-<<【点评】本题考查了二次函数与不等式恒成立问题以及二次函数的性质，掌握赋值法并灵活运用二次函数与不等式的关系是解答本题的关键．.3．（1）①（0,3）；②x≤1-或x≥1 ；（2）4y =-或8≤y ＜20；（3）1-≤k 117+k≥2．【分析】（1）①将1k =-代入函数关系式得2223(1)23(1)x x x y x x x ⎧----=⎨-+>-⎩，再将x ＝0代入223y x x =-+即可求得与y 轴的交点坐标；②先将两个二次函数关系式分别配成顶点式，再根据开口方向、对称轴及自变量的取值范围即可判断得解；（2）将（1,5）分别代入两个函数关系式求得k 的值，再逐个检验，进而可求得正确的函数关系式，再根据x 的取值范围确定y 的取值范围即可；（3）分类讨论，当k≤0时，当0＜k ＜2时，当k≥2时，画出相应的函数图像，讨论图像中的特殊点的坐标即可求得k 的取值范围．【解析】（1）当1k =-时，2223(1)23(1)x x x y x x x ⎧----=⎨-+>-⎩①∵01>-，∴把x ＝0代入223y x x =-+得3y =． ∴此函数图象与y 轴交点坐标为（0,3）． ②当x≤1-时，223y x x -=-- 配方得2(1)2y x =-+-∵a ＝－1＜0，对称轴为直线x ＝－1， ∴当x≤－1，y 随x 的增大而增大，符合题意， 当x ＞1-时，223y x x =-+，配方得2(1)2y x =-+，∵a ＝1＞0，对称轴为直线x ＝1，∴当x≥1时，y 随x 的增大而增大，符合题意，综上所述：当函数y 的值随x 的增大而增大时，自变量x 的取值范围为x≤1-或x≥1； （2）当k≥1时，把（1,5）代入2222y x kx k k =-+-+，得21225k k k -+-+=， 解得2460k k -+=无实根． 当k ＜1时，把（1,5）代入2222y x kx k k =++-，得21225k k k ++-=， 解得12k =（不合题意，舍去），22k =-． ∴2k =-．∴2248(2)48(2)x x x y x x x ⎧----=⎨-+>-⎩当x ＝－2时，将x ＝－2代入248y x x =--- 得：y ＝－4，当－2＜x≤0时，248y x x =-+ 配方得2(2)4y x =-+∵a ＝1＞0，对称轴为直线x ＝2， ∴当－2＜x≤0时，8≤y ＜20，综上所述：当－2≤x≤0时，y 的取值范围为4y =-或8≤y ＜20．（3）由题意可知22()2()()2()x k k x k y x k k x k ⎧--+=⎨+->⎩， 当k≤0时，函数图像如图所示，则2()2()y x k k x k =--+的最大值2k≥－2即可， 解得k≥－1， ∴－1≤k≤0，当0＜k ＜2时，2()2()y x k k x k =--+的最大值2k ＜4 则当x ＞k 时，2()2()y x k k x k =+->的最小值＜4即可，将x ＝k ，y ＝4代入得2424k k -= 解得12117117k k +-==（舍去）， ∴0＜k 117+ 当k≥2时，2()2()y x k k x k =--+的最大值2k≥4，如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意， ∴k≥2，综上所述：1-≤k 117+或k≥2． 【点评】本题考查了二次函数图像的性质，待定系数法的应用，以及用图像法求对应的自变量的取值范围或函数值的取值范围，解决本题的关键是能够画出相应的函数图像，结合函数图像的性质进行解题．本题是二次函数的综合题，属于中考压轴题，有一定的难度．4．（1）225y x x =-+或223y x x =--；（2）图见解析，性质：（写出一条即可）①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大；（3）4x ≥或2x ≤【分析】（1）由函数过点()1,4，代入124c -+=，求出5c =或3c =-，可得函数； （2）用描点法画图，列表、描点、连线，性质：①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大，（3）利用图像解法不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧即可得出答案【解析】解：（1）∵函数过点()1,4，124c -+= ∴14c -=， ∴14c -=±， ∴5c =或3c =-，∴225y x x =-+或223y x x =--； 故答案为：225y x x =-+或223y x x =--；（2）列表描点连线性质：（写出一条即可） ①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大， 故答案为①关于1x =对称；②=1x -或3x =时有最小值为0；③1x ≤-，13x ≤≤，y 随x 的增大而减小；3x ≥，11x -≤≤，y 随x 的增大而增大;（3）2251x x x -+=+，()2251x x x -+=±+，22340,60x x x x -+=-+=，都无解，或2231x x x --=+，()2231x x x --=±+， 2340x x --=或220x x --=，解得x=-1，x=2，x=4，不等式221x x c x -+≥+在图像上表现为225y x x =-+永远在1y x =+图像上方，或223y x x =--图像在1y x =+图像上方；由交点（2,3）的左侧和交点（4,5）的右侧，即不等式2251x x x -+≥+或2251x x x -+≥+的解集为4x ≥或2x ≤．．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集，掌握待定系数法求函数解析式，用描点法画函数解析式，观察函数图像写函数性质，利用函数图像求不等式的解集是解题关键． 5．（1）1322y x =-；（2）m =-3或m =3；（3）49≤a ＜98或a ≤-2； 【分析】（1）用待定系数法直接将点A 和B 代入直线l 中然后得到关于k 和b 的二元一次方程没然后解方程即可得到k 和b 的值，然后得到l 的解析式；（2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1，当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4，x =-1或x =3； ①在x =1左侧，y 随x 的增大而增大，x =m +2=-1时，y 有最大值-4，m =-3； ②在对称轴x =1右侧，y 随x 增大而减小，x =m =3时，y 有最大值-4； （3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1，即a ≤-2；②a ＞0时，x =-3时，y ≥-3，即a ≥49，直线AB 的解析式为y =12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=x -32，△=94-2a ＞0，则a ＜98，即可求a 的范围；【解析】解：（1）点A （-3，-3），B （1，-1）代入y =kx +b 可得：3=31k b k b --+⎧⎨-=+⎩解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴l 的解析式为：1322y x =-； （2）根据题意可得，y =-x 2+2x -1， ∵a ＜0，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =1， ∵m ≤x ≤m +2时，y 有最大值-4， ∴当y =-4时，有-x 2+2x -1=-4， ∴x =-1或x =3，①在对称轴直线x =1左侧，y 随x 的增大而增大， ∴x =m +2=-1时，y 有最大值-4， ∴m =-3；②在对称轴直线x =1右侧，y 随x 增大而减小， ∴x =m =3时，y 有最大值-4； 综上所述：m =-3或m =3； （3）①a ＜0时，x =1时，y ≤-1， 即a ≤-2；②a ＞0时，x =-3时，y ≥-3， 即a ≥49，直线AB 的解析式为y=12x -32，抛物线与直线联立：ax 2+2x -1=12x -32，∴ax 2+32x +12=0，△=94-2a ＞0，∴a ＜98，∴a 的取值范围为49≤a ＜98或a ≤-2．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键．6．(1) y ＝x 2﹣x +2﹣3|x ﹣1|，补全表格见解析，(2) 函数图像见解析，当x =-1时，函数有最小值，最小值为-2；55-x55+15--x15-+．【分析】（1）将点（﹣1，﹣2）与（2，1）代入解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象得到一条性质即可（3）根据图象，求出两个函数图象的交点坐标，通过观察可确定解解集．【解析】解：（1）∵该函数图象经过（﹣1，﹣2）与（2，1）两点，∴1222 4221b cb c-+-=-⎧⎨++-=⎩，∴13bc=-⎧⎨=⎩，∴y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|，故答案为：y＝x2﹣x+2﹣3|x﹣1|；当x=-4时，y=7；当x=0时，y=-1；补全表格如图，x ⋯﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯y ⋯7 2 ﹣1 ﹣2 -1 2 1 2 ⋯（2）函数图像如图所示，当x=-1时，函数有最小值，最小值为-2；（3）当x≥1时，x2﹣x+2﹣3x+3=x，解得，155x+=255x-55-x55+当x＜1时，x2﹣x+2+3x﹣3=x，解得，315x-+=，415x--=15--≤x15-+∴不等式x2+bx+2﹣c|x﹣1|≤x 55-x55+15--≤x15-+【点评】本题考查二次函数与不等式的关系；掌握描点法画函数图象，利用数形结合解不等式是解题的关键．7．（1）12a =-，3b =-，174m =-；（2）见解析；（3）x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【分析】（1）先将（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+bx+1中，列方程组解出可得a 和b 的值，写出函数解析式，计算当x=4时m 的值即可； （2）描点并连线画图，根据图象写出一条性质即可； （3）画y=x-3的图象，根据图象可得结论．【解析】解：（1）把（-1，2）和（1，-2）代入函数y=a （x-1）2+bx+1中得： 41212a b b -+=⎧⎨+=⎩，解得：123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴y=213(1)12x x ---+（a≠0），当x=4时，m=131791244-⨯-+=-；（2）如图所示，性质：当x ＞2时，y 随x 的增大而减小（答案不唯一）；（3）∵a （x -1）2+bx≥x -4，∴a （x -1）2+bx+1≥x -3，如图所示，由图象得：x 的取值范围是：-3≤x ＜0或1≤x≤2．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，描点，画函数图象，以及二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，利用了数形结合思想进行分析． 8．(1)4b = (2)①54n =；②n 的取值范围为24n【分析】(1)由对称轴为直线22bx =-=，可求b 的值； (2)①由题意可得AB =3，由对称性可求点A ，点B 横坐标，代入解析式可求解； ②先求出顶点坐标，由图象和x ，y 的取值范围，可求解． （1）解：抛物线23y x bx =-+的对称轴为直线2x =，22b -∴=-， 4b ∴=；（2）解：①4b =，∴抛物线的表达式为243y x x =-+，直线AB y ⊥轴，AB x ∴∥轴，213x x -=，3AB ∴=．对称轴为直线2x =， ∴点A 的横坐标为31222-=，点B 的横坐标为37222+=，∴当12x =时，54y n ==．②2243(2)1y x x x =-+=--， ∴顶点坐标为(2,1)-，当x =5时，y =8，当4y n ==时，05x 时，图象如下：此时14y -；当2y n ==时，05x 时，图象如下：此时42y -；n ∴的取值范围为24n ．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，图形的翻折变换等知识，利用数形结合思想解决问题是解决本题的关键． 9．(1)268y x x =-+ (2)0x <或>4x (3)1m <或5m >【分析】（1）先通过直线解析式得到A 、B 的坐标，再代入二次函数解析式进行求解即可； （2）根据图象解答即可；（3）先将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得出1y 的值，再解出当13y =时，方程的解，结合图象，求解即可． (1)令0x =，则8y =(0,8)B ∴ 令0y =，则4x =(4,0)A ∴将A 、B 分别代入2y x bx c =++得80164cb c =⎧⎨=++⎩ 解得 68b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为268y x x =-+；(2)直线28y x =-+与抛物线268y x x =-+交于A 、B 两点0x ∴<或>4x 时，228x bx c x ++>-+；(3)将1(1,)C y 代入抛物线解析式，得 11683y =-+= 21y y >23y ∴>将13y =代入抛物线解析式，得 2368x x =-+ 解得 121,8x x ==根据图象，当21y y >时，1m <或5m >．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的综合问题，涉及一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、图像法解一元一次不等式、图像法解一元二次不等式、解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．(1)2223(1)4y x x x =--=--，C 的坐标为()1,4-； (2)点()1,0A -，1x <-或>4x ； (3)2134b -≤≤-【分析】（1）根据待定系数法求得二次函数的解析式，把一般式化成顶点式，即可求得顶点C 的坐标；（2）利用抛物线的解析式求得A 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）先利用待定系数法求得直线AM 的解析式，即可得到平移后的解析式为y x b =+，分别代入B 、C 点的坐标，求得b 的值，求得平移后的直线与抛物线有一个交点时的b 的值，结合图象即可求得． （1）点30B （，）、M （4，5）是抛物线图象上的点，9601685a c a c -+=⎧∴⎨-+=⎩ 解得13a c =⎧⎨=-⎩ ∴抛物线解析式为222314y x x x =--=--（），∴抛物线顶点C 的坐标为14-（，）；（2）对于抛物线2=23y x x --， 当0y =时，即2230x x --=， 解得1213x x =-=，， ∴点A （-1，0）观察函数图象可知，不等式22ax x c kx b -+>+的解集为1x <-或>4x ； （3）点A （-1，0）和点M （4，5）在直线AM ：2y kx b =+的图象上，045k b k b -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AM 的解析式为21y x =+．当直线AM 向下平移经过点30B （，）时，直线AM 的解析式为'y x b =+，则3十'0b =，解得'3b =-，当直线AM 平移经过点C （1，-4）时，则1''4b +=- 解得''5b =-，当直线AM 平移后与抛物线2=23y x x --有一个交点时，联立223y x by x x =+⎧⎨=--⎩化简得2330x x b ---=则94(3)0m ∆=---= 解得214b =-， b ∴的取值范围是2134b -≤≤-． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，函数与不等式的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．11．(1)对称轴为直线x ＝a ﹣1 (2)①y =0；②x 1＝a ﹣2 (3)a ≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝﹣2ba求解即可； （2）①将x ＝a 代入y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 求解即可；②若y 1＝y 2＝0，则﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，解方程并根据x 1＜x 2，求出x 1的值．（3）由题意得出x 1＜﹣2，则只需讨论x 1＜a ﹣1的情况，分两种情况：①当a ≥﹣1时，又有两种情况：x 1＜x 2＜a ﹣1，x 1＜a ﹣1＜x 2，分别结合二次函数的性质及x 1+x 2＜﹣4计算即可；②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意． 【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2(1)2a --＝a ﹣1； （2）解：①当x ＝a 时，y ＝﹣a 2+（2a ﹣2）a ﹣a 2+2a ＝﹣a 2+2a 2﹣2a ﹣a 2+2a ＝0；②当y 1＝y 2＝0时，﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0， ∴x 2﹣（2a ﹣2）x +a 2﹣2a ＝0， ∴（x ﹣a +2）（x ﹣a ）＝0， ∵x 1＜x 2， ∴x 1＝a ﹣2； （3）解：①当a ≥﹣1时， ∵x 1＜x 2，x 1+x 2＜﹣4，∴x 1＜﹣2，只需讨论x 1＜a ﹣1的情况． 若x 1＜x 2＜a ﹣1，∵x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，符合题意； 若x 1＜a ﹣1＜x 2， ∵a ﹣1≥﹣2， ∴2（a ﹣1）≥﹣4， ∵x 1+x 2＜﹣4， ∴x 1+x 2＜2（a ﹣1）． ∴x 1＜2（a ﹣1）﹣x 2．∵x ＝2（a ﹣1）﹣x 2时，y 1＝y 2，x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意．②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意； 综上所述，a 的取值范围是a ≥﹣1．【点评】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键． 12．(1)4m x = (2)152m =(3)1m >或0m <(4)32m =-+152m <-或152m >【分析】（1）根据对称轴为直线2bx a=-，计算求解即可； （2）将(4,3)A 代入抛物线2122y x mx =-+，计算求解即可；（3）由题意知22111111(2)(2)2()()2222222m m m m m m ---+>+-++，解不等式即可；（4）由(4,3)A ，3(1,)4B --可得直线AB 为34y x =，联立234122y x y x mx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得213()2024x m x -++=，当△0=时，解得32m =--32m =-+，可知此时直线与抛物线有且只有一个交点，然后判断此时线段与抛物线是否有一个交点；当抛物线2122y x mx =-+过3(1,)4B --时，解得152m =-，可知在152m <-时，抛物线与线段有一个交点，当抛物线2122y x mx =-+过(4,3)A 时，解得152m =，可知在152m >时，抛物线与线段有一个交点；进而得到m 的取值范围． (1)解：抛物线的对称轴为直线1224mm x -=-=，故答案为：4mx =． (2)解：将(4,3)A 代入抛物线2122y x mx =-+得：2144232m -⨯+=，解得152m = ∴152m =． (3)解：点1(22P m -，1)y ，点1(2Q m +，2)y 在抛物线2122y x mx =-+上，21111(2)(2)2222y m m m ∴=---+，22111()()2222y m m m =+-++，12y y >，22111111(2)(2)2()()2222222m m m m m m ∴---+>+-++，化简整理得：5(1)02m m ->，∴50210m m ⎧>⎪⎨⎪->⎩或50210m m ⎧<⎪⎨⎪-<⎩， 解得1m >或0m <， ∴1m >或0m <． (4)解：由(4,3)A ，3(1,)4B --可得直线AB 为34y x =，联立234122y x y x mx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得213()2024x m x -++=，当△0=时，213[()]412024m -+-⨯⨯=， 解得3422m =--或3422m =-+，即3422m =--或3422m =-+2122y x mx =-+与直线AB 只有一个交点， 当3422m =--时，对称轴4B m x x =<，即此时抛物线2122y x mx =-+与直线AB 的交点不在线段AB 上，故舍去， 当3422m =-+时，144B A m x x =-<<=，此时抛物线2122y x mx =-+与直线AB 的交点在线段AB 上，3422m ∴=-+当抛物线2122y x mx =-+过3(1,)4B --时，231(1)(1)242m -=--⨯-+，解得152m =-， 当抛物线2122y x mx =-+过(4,3)A 时，31622m =-+， 解得152m =， 如图：由图可知：抛物线2122y x mx =-+与线段AB 只有一个公共点，m 的范围是32m =-+或152m <-或152m >． 【点评】本题考查了二次函数的对称轴，根据点坐标求参数，解一元二次不等式，二次函数与一次函数的综合．解题得关键在于对知识的灵活运用． 13．（1）y ＝x 2﹣4x +3，（2，﹣1）；（2）﹣2＜k ＜﹣12；（3）8．【分析】（1）代入点A (1,0)和D (4,3)，可求得m 、n 的值，从而可得二次函数的表达式，将表达式化为顶点式，即可求得顶点坐标．（2）由l ；y =kx −2k +2=k （x −2）+2可得，过定点（2，2），再分别代入点B 、C 的坐标，可求得k 的值，要使直线l ；y =kx −2k +2总位于图象G 的上方，则k 的取值范围，即为分别代入点B 、C 的坐标所求得的k 的值之间的部分．（3）由二次函数243y x x =-+的对称轴是直线x=2，点P (x 1，c)和点Q (x 2，c)在函数2y x mx n =++的图象上，且x 1＜x 2，可得x 1=2−a ，x 2=2+a ，代入21264a a x x +++即可求解．【解析】解：（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩，解得43m n =-⎧⎨=⎩．故二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x +3， 则函数的对称轴为x ＝﹣2ba＝2， 当x ＝2时，y ＝x 2﹣4x +3＝﹣1， 故顶点坐标为：（2，﹣1）； （2）在y ＝x 2﹣4x +3中，令x＝0，解得y＝3，令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，则C的坐标是（0，3），点B（3，0），∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2，即直线故点（2，2），设该点为M，当直线过点C、M或过B、M时，都符合要求，将点C的坐标代入y＝kx﹣2k+2，即3＝﹣2k+2，解得k＝﹣12；将点B的坐标代入3＝kx﹣2k+2，即0＝3k﹣2k+2，解得k＝﹣2；故﹣2＜k＜﹣12，故答案为：﹣2＜k＜﹣12；（3）∵P（x1，c）和点Q（x2，c）在函数y＝x2﹣4x+3的图象上，∴PQ//x轴，∵二次函数y＝x2﹣4x+3的对称轴是直线x＝2，又∵x1＜x2，PQ＝2a，∴x1＝2﹣a，x2＝2+a，∴x12﹣2x2+6a+4＝（2﹣a）2﹣a（2+a）+6a+4＝8．【点评】本题考查二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．14．（1）表格见解析，图见解析；（2）图象是轴对称图形，对称轴为y轴；（3）-1.3≤x≤1.8．【分析】（1）把各自变量的值代入函数即可求出对应的值，故可补全表格与图象；（2）根据函数图象的特点即可求解；（3）根据两函数的交点横坐标与图象的特点即可求解．【解析】（1）当x=-2时，22835xyx=-+=59；当x=0时，22835xyx=-+=-3；当x=1时，22835xyx=-+=53-；补全表格为：故补全图象如下：（2）由图可得图象是轴对称图形，对称轴为y 轴 故答案为：图象是轴对称图形，对称轴为y 轴；（3）由函数图象可得函数3375y x =-与函数22835x y x =-+的交点横坐标为x 1=-1.3，x 2=1.8∴不等式223383755x x x -≤-+的解集为-1.3≤x ≤1.8故答案为：-1.3≤x ≤1.8．【点评】此题主要考查函数与不等式综合，解题的关键是根据题意与表格的数据作出函数图象．15．(1)()10A -，；()30B ，(2)0a ＞时，x 3＞或1x -＜；0a ＜时，13x -＜＜ (3)01a ≤＜或0a ＜【分析】（1）对于抛物线的解析式，令0y =即可求解；（2）分别画出0a ＞时和0a ＜时，抛物线的图象，根据图象即可求解；（3）分别画出0a ＞时和0a ＜时，抛物线的图象和线段MN ，根据图象即可求解； (1)解：∵223y ax ax a =--，∴()()()22331y a x x a x x =--=-+，令0y =，则()()310a x x -+=， 解得13x =，21x =-∴()10A -，，()30B ，； (2)解：当0a ＞时，抛物线()2230y ax ax a a =--≠如图所示，关于x 的不等式2230ax ax a -->的解集为x 3＞或1x -＜；当0a ＜时，抛物线()2230y ax ax a a =--≠如图所示，关于x 的不等式2230ax ax a -->的解集为13x -＜＜； (3)解：对于抛物线()2230y ax ax a a =--≠，当=1x -时，则230y a a a =+-=； 当2x =时，则4433y a a a a =--=-， 若0a ＞时，抛物线的开口向上，如图所示，∵()11M -，，当=1x -时，则230y a a a =+-=； ∴点M 在抛物线的内部，∵()23N -，， ∴当44333y a a a a =--=-=-时，点在抛物线的图象上，此时1a =， ∴当抛物线与线段MN 只有一个公共点时，应满足01a ≤＜；若0a ＜时，抛物线的开口向下，如图所示，∵()11M -，，当=1x -时，则230y a a a =+-=； ∴点M 在抛物线的外部， ∵44333y a a a a =--=--＞时， ∴()2,3N -点在抛物线图象的内部，∴连接线段MN ，抛物线与线段MN 只有一个公共点 此时满足0a ＜；综上可得，抛物线与线段MN 只有一个公共点，满足01a ≤＜或0a ＜．【点评】本题考查了二次函数的图象与x 轴的交点坐标，二次函数的图象与性质以及二次函数与不等式的关系，画出图象，根据图象求解是解题的关键． 16．(1)（-3，6），在直线AB 上 (2)不存在，见解析(3)2OP <<【分析】（1）根据“双减点”的定义求出C 点坐标，再利用待定系数法求出直线AB 的解析式，将C 点坐标代入验证即可；（2）根据“双减点”的定义求出G 点坐标，将将E 、F 、G 坐标代入ky x=，即可得到一个关于t 的一元二次方程，根据方程无解即可判断不存在满足条件的k ；（3）二次函数222y ax bx =+-的图象经过点(2,6)，可得2a b +=，令y =0，得关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=，根据根与系数的关系有：122b x x a +=-，122x x a⋅=-，根据0a b >>，1x 、2x 异号，在不影响结果的前提下，故根据方程的对称性及解答方便，可设120x x >>，则有2124(1)3x x a-=-+0a b >>，2a b +=，即可得到12a ＜＜，继而得到12223x x -＜＜OP 的取值范围．(1)根据A (-1,2)、B (2,-4)及“双减点”的定义可知，A 和B 的“双减点”C 的坐标为：(-3,6)，且点C 在直线AB 上，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，将A (-1,2)、B (2,-4)代入得：224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得：20k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AB 的解析式为：2y x =-，将C 点坐标代入2y x =-验证可知，C 点在直线AB 上；(2)依据E （t ，1y ），F （t +1，2y ），即x =t -(t +1)=-1，y =21y y -，则“双减点”点G 的坐标为（-1，21y y -），将E （t ，1y ），F （t +1，2y ），G （-1，21y y -）代入k y x=， 得：121211k y t k y t k y y ⎧=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪-=⎪-⎩， 得方程210t t ++=，即213()024t ++=，方程无实数解， 故不存在非零的实数k 使得点E ，F ，G 均在函数k y x =的图象上； (3)∵二次函数222y ax bx =+-的图象经过点(2,6)，∴有6442a b =+-，即2a b +=，令y =0，得关于x 的一元二次方程2220ax bx +-=， 根据根与系数的关系有：122b x x a +=-，122x x a⋅=-，∵0a b >>，∴1x 、2x 异号，在不影响结果的前提下，故根据方程的对称性及解答方便，可设120x x >>，∴12x x -= 又∵2a b +=，∴12x x -=， ∵0a b >>，2a b +=，∴12a ＜＜，∴当a =1=∴当a =22，∴2，即122x x -＜＜∵P 为M （1x ,0），N （2x ,0）的“双减点”，∴P 点的纵坐标为0，即P 点在x 轴上，则P 点在坐标原点O 的距离为P 点的横坐标12x x -，则有OP 的取值范围：2OP ＜＜【点评】本题考查了待定系数法求解一次函数解析式、二次函数的性质、反比例函数的性质、一元二次方程以及求解不等式的解集等知识，充分理解“双减点”的定义是解答本题的关键．17．(1)点A （1，﹣4）(2)y ＝x 2+4x-3(3)a 的取值范围是0＜a ≤1【分析】（1）、将解析式化成顶点式，即可求解．（2）、由（1）可得函数的对称轴，结合BC 的长即可求出B 点坐标，代入解析式即可．（3）、画出图像，分别求出一次函数和二次函数与y 轴交点，结合图像即可求出．(1)解：∵y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4＝a （x ﹣1）2﹣4，∴点A （1，﹣4）；(2)∵顶点坐标为（1，﹣4），∴抛物线对称轴为直线x ＝1，∵BC ＝4，∴B （﹣1，0），C （3，0），把B 的坐标代入y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4时，则a +2a +a ﹣4＝0，解得a ＝1∴抛物线的解析式为y ＝x 2+4x-3；(3)当a ＞0时，如图，∵y ＝x +2a ﹣5与y 轴的交点为（0，2a -5），y ＝ax 2﹣2ax +a ﹣4与y 轴的交点为（0，a -4），当2a ﹣5≤a ﹣4时符合题意，∴0＜a ≤1；当a ＜0时，不合题意，故a 的取值范围是0＜a ≤1．【点评】本题考查了二次函数图像与系数的关系，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图像上的点的坐标特点，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握函数的性质和数形结合的方法是解题的关键．18．(1)2=23y x x --；(2)12x -<<；(3)存在点D 的坐标是()0,1或()0,1-．【分析】（1）先求出点B 、C 的坐标，把()2,3A -、()1,0B -、()0,3C -三点代入抛物线，可得抛物线的解析式；（2）观察函数图象，写出二次函数在一次函数图象下方所对应的自变量的取值范围即可；；（3）分两种情况进行讨论：①点D 在y 轴的正半轴上，；②若点D 在y 轴的负半轴上．。

二次函数和不等式方程的综合

二次函数和不等式方程的综合

二次函数和不等式方程的综合【典型例题】例1 . 如图所示，已知抛物线y=－12x2+（5－2m）x+m－3与x轴有两个交点A，B，点A•在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB．（1）求m的值；（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C的坐标；（3）问在抛物线上是否存在一点M，△MAC•≌△OAC，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2. 已知二次函数y=x2－（2m+4）x+m2－4（x为自变量）的图像与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO，OB•满足3（•OB－AO）=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图像的一个交点为P，且锐角∠POB•的正切值4．（1）求m的取值范围；（2）求这个二次函数的解析式；（3）确定直线y=kx+k的解析式．【基础练习题】（20道选择题，每题5分，共100分）1. 下列哪一个函数，其图象与x 轴有两个交点的是（ ） A ．y ＝17(x +83)2+2274 B ．y ＝17(x -83)2+2274 C ．y ＝-17(x -83)2-2274D ．y ＝-17(x +83)2+22742. 已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x … 1- 0 1 3 … y…3-131…则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间3. 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．04. 如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ）A. 0B. －1C. 1D. 25.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ） A.a ＜0B.abc ＞0C.c b a ++＞0D.ac b 42-＞06. 已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009..7. 已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A. a ＞0B. 当x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C ． c ＜0D. 3是方程ax 2+bx+c=0的一个根8. 如图，抛物线y=x 2+1与双曲线y=x k 的交点A 的横坐标是1，则关于x 的不等式xk +x 2+1＜0的解集是（ ）A ．x ＞1B ．x ＜﹣1C ．0＜x ＜1D ．﹣1＜x ＜09. 已知二次函数y ＝－x 2＋x －15，当自变量x 取m 时对应的值大于0，当自变量x 分别取m ﹣1．m +1时对应的函数值为y 1．y 2，则y 1．y 2必须满足（ ） A ．y 1＞0．y 2＞0 B ．y 1＜0．y 2＜0 C ．y 1＜0．y 2＞0D ．y 1＞0．y 2＜010. 若二次函数c x x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则321y y y 、、大小关系正确的是（ ）A ．321y y y >>B ．231y y y >>C ．312y y y >>D ．213y y y >> 11. 坐标平面上，二次函数y=x 2﹣6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（ ） A. x=50B. x=﹣50C. y=50D. y=﹣5012. 已知函数y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ）的图象如下面右图所示，则函数y=ax+b 的图象可能正确的是（ ）A. B. C. D.13. 如图为抛物线y=ax 2+bx+c 的图象，A ．B ．C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA =OC =1，则下列关系中正确的是（ ）A ．a+b=﹣1B ．a ﹣b=﹣1C ．b ＜2aD ．ac ＜014. 二次函数y=x 2–2x –3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是（ ） A. –1＜x ＜3 B. x ＜–1C. x ＞3D. x ＜–3或x ＞315. 巳知一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实效根12x x 、满足12=4x x +和12=3x x ⋅，那么二次函救20(0)y ax bx c a =++=>的图象有可能是( )16. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ． ac ＞0 B. 方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=﹣1，x 2=3C. 2a ﹣b=0D. 当x ＞0时，y 随x 的增大而减小17. 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是（ ）A 、B 、C 、D 、18. 已知抛物线y =ax 2+bx +c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c －8=0的根的情况是A.有两个不相等的正实数根B.xy 8OC.有两个相等的实数根D.没有实数根.19. 抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A.k >－47 B.k ≥－47且k ≠0 C.k ≥－47D.k >－47且k ≠0 20.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( ) A.424m B.6 m C.15 m D.25 m5 m 12m ABCD【知识点巩固】（17道填空题，每题5分，共85分）1. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．2. 从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）与小球运动时间t （秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度为 米．3. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．4. 下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根；④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是__________.5. 某涵洞的截面是抛物线型，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－14x 2，当涵洞水面宽AB 为12m 时，水面到桥拱顶点O•的距离为_______m ．6. 甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （m ）与其距地面高度h （m ）之间的关系式为h=－112s 2+23s+32．如图，已知球网AB 距原点5m ，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m ，•设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是____．7. 下列表格是二次函数2y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程20ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是_________.8. 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．9. 如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______. 10. 二次函数y =－2x 2+x －21，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).11. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示.①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y >0.xy 1 12 -1O 图112. 某一元二次方程的两个根分别为x 1=－2，x 2=5，请写出一个经过点(－2，0)，(5，0)两点二次函数的表达式：______.(写出一个符合要求的即可)13. 不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是______，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是______(填“有解”或“无解”). 14. 某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______(只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).15. 若抛物线y=x 2－(2k+1)x+k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++ 0.03- 0.01- 0.02 0.0416. 已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图1所示，由抛物线的特征你能得到含有a 、b 、c 三个字母的等式或不等式为______(写出一个即可).17. 找出能反映下列各情景中两个变量间关系的图象，并将代号填在相应的横线上. (1)一辆匀速行驶的汽车，其速度与时间的关系.对应的图象是______. (2)正方形的面积与边长之间的关系.对应的图象是______.(3)用一定长度的铁丝围成一个长方形，长方形的面积与其中一边的长之间的关系.对应的图象是______.(4)在220 V 电压下，电流强度与电阻之间的关系.对应的图象是______.A B D【知识点运用】（2道解答题，每题10分，共20分）1．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，•两小孔形状，大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB=20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），•小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m）．当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF．2．如图所示，抛物线L1：y=－x2－2x+3交x轴于A，B两点，交y•轴于M点．抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x轴于C，D两点．（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N•为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A，B重合），那么点P•关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由．《二次函数和不等式方程的综合》参考答案例1：解答:（1）∵抛物线与y轴交于正半轴，且OA=OB．由②得m=±5，由①m>3，故m=－5应舍去．∴m=5．（2）抛物线的解析式为y=－12x2+2，对称轴是y轴，顶点C的坐标为C（0，2）．（3）令y=0得－12x2+2=0，∴x=±2．∴A（2，0），B（－2，0），C（0，2），△OAC是等腰直角三角形．若存在一点M，使△MAC≌△OAC，∵AC为公共边，OA=OC，∴点M与O关于直线AC对称，∴M点的坐标为（2，2）．当x=2时，－12x2+2=0≠2．∴M（2，2）不在抛物线上，即不存在一点M，使△MAC≌△OAC．例2解答:（1）设点A，B的坐标分别为A（x1，0），B（x2，0）（x1<x2），依题意，方程x2－（2m+4）x+m2－4=0有两个不相等的实数根．∴△=[－（2m+4）] 2－4（m2－4）>0．解得m>－2．①又∵函数的图像与y轴的交点在原点下方，∴m2－4<0，∴－2<m<2．②（2）∵图像交y轴于负半轴，与x轴交于A，B两点，且x1<x2，∴x1<0，x2>0．由3（OB－AO）=2AO·OB可得3[x2－（－x1）]=2（－x1）·x2即3（x1+x2）=－2x1x2由于x1，x2是方程x2－（2m+4）x+m2－4=0的两个根，所以x1+x2=2m+4，x1·x2=m2－4．∴3（2m+4）=－2（m2－4）整理，得m2+3m+2=0．∴m=－1或m=－2（舍去）．∴二次函数的解析式为y=x2－2x－3．（3）由y=x2－2x－3，得A（－1，0），B（3，0）．∵直线y=kx+k与抛物线相交，∴由223,,y x xy kx k⎧=-+⎨=+⎩解得121, 0.x y =-⎧⎨=⎩或2223,4.x ky k k=+⎧⎨=+⎩∵∠POB为锐角．∴点P在y轴右侧，∴点P坐标为（k+3，k2+4k），且k+3>0．∵tan∠POB=4，∴2|4|3k kk++=4．如图所示，当点P在x轴上方时．243k kk++=4．解得k13k2=－3经检验，k13k2=－3k2+3<0．∴k2=－3∴直线的解析式为33当点P在x轴下方时，243k kk++=－4，解得k3=－2，k4=－6．经检验，k3=－2，k4=－6是方程的解，但k4+3<0．∴k4=－6舍去．∴y=－2x－2．∴所求直线的解析式为33y=－2x－2．【基础练习题】1-5：DDBAC 6-10:DDDBB 11-15：DDBAC 16-20：BCCDD 【知识点巩固】1、12.52、4.93、4提示：（1）代入-2（2）根据对称轴位置大于-0.5小于0（3）将-2,1代入函数合并（4）由（1）得4a-2b=-c，0＜c＜2综合可得4、（1）（3）（4）提示：（2）中如果b与a+c异号就不成立5、96、5＜m＜4+根号77、6.18＜x ＜6.198、0.59、2根号610、1/4，大，-3/8，没有11、x²-2x，3/-1，x＜0或x＞212、y=（x+2）（x-5）13、无解14、y=-x²-1，最大15、216、abc＞017、adbc。

2.函数与不等式问题的解题技巧

2.函数与不等式问题的解题技巧

第三讲 函数与不等式问题的解题技巧【例题解析】 1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题. 例1．已知函数()f x 的定义域为M ，g(x)=ln(1)x +的定义域为N ，则M∩N=（A ）{|1}x x >- （B ）{|1}x x < （C ）{|11}x x -<< （D ）∅ 命题意图: 本题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求法. 解：函数()f x 的定义域M={}1,x x < g(x)=ln(1)x +的定义域N={}1,x x >-∴M∩N={|11}x x -<<． 故选C例2函数y =( )（A ）(3,+∞) （B ）[3, +∞) （C ）(4, +∞) （D ）[4, +∞) 命题意图: 本题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法.解：由20 4.log 20x x x >⎧⇒>⎨->⎩，故选D.2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培养人的逆向思维能力和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的理解.例3．函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩ 的反函数是（ ） （A）,020xx y x ⎧≥⎪=< （B）2,00x x y x ≥⎧=< （C）,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩（D）2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩ 命题意图: 本题主要考查有关分段函数的反函数的求法.()121:2,.(),(0);22,0,()0.,020.yxy x x f x x y x y f x x xx y x --=∴=∴=≥=-<∴=<⎧≥⎪∴=⎨⎪<⎩解又故选C.例4．已知函数2y x a =-的反函数是3y bx =+，则a = ；b = ． 命题意图: 本题主要考查反函数的求法及待定系数法等知识.解：()()11112,,.2222y x a x y a y x a x a =-∴=+∴=+=+与3y bx =+比较得a =6，1.2b =故填162；3.复合函数问题复合函数问题,是新课程、新高考的重点.此类题目往往分为两类:一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值.二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域.例5．（2007年北京卷文）对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假： 命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③命题意图: 本题主要考查利用复合函数和函数单调性等知识解决问题的能力.解：22()(2),(2)f x x f x x =-∴+=是偶函数，又函数2()(2)f x x =-开口向上且在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数．故能使命题甲、乙均为真的函数仅有2()(2)f x x =-． 故选Ｃ例6．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.命题意图: 本题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的能力. 解：由()()12f x f x +=,得()()14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+.4.函数的单调性、奇偶性和周期性函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样. 这里主要帮助读者深刻理解奇偶性、单调性和周期性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.例7． 已知函数()1,1xf x a z =-+，若()f x 为奇函数，则a =________.命题意图: 本题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由f(x)为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,即,0121121=+-++--x xa a .2112212112112121=++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∴-x x x x a 应填21. 巧妙解法：因为f(x)为奇函数,所以f(0)=0,即.21,01210=∴=+-a a 应填21. 点评：巧妙解法巧在利用了f(x)为奇函数,所以f(0)=0,这一重要结论.例8． ()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件命题意图: 本题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关知识.解 先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数， 所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以 ()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B.方法二：可以选取两个特殊函数进行验证． 故选B点评：对充要条件的论证，一定既要证充分性，又要证必要性，二着缺一不可．同时，对于抽象函数，有时候可以选取特殊函数进行验证． 5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.例9．(2006年山东卷)函数y=1+a x (0<a <1)的反函数的图象大致是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）命题意图: 本题主要考查对数函数的图象，互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知识.解：∵y=1+a x (0<a <1),∴()()1log (1),01a f x x a -=-<<.此函数图象是由函数()()log ,01a f x x a =<<向右平移一个单位得到的.故选A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样. 这里主要帮助考生在掌握有关函数知识的基础上进一步深化综合运用知识的能力，掌握基本解题技巧和方法，并培养读者的思维和创新能力. 例10．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明.41121<+x x命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

第20讲 不等式恒成立之max,min问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练

第20讲 不等式恒成立之max,min问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练

第20讲 不等式恒成立之max ，min 问题-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练第20讲 不等式恒成立之max ，min 问题 一、解答题（2021·云南师大附中高三月考（文））1．已知函数21()(1)12x f x x e x =--+，()sin g x x ax =-，其中a ∈R .（1）证明：当0x 时，()0f x ；当0x <时，()0f x <；（2）用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记()max{(),()}F x f x g x =.是否存在实数a ，对任意的x ∈R ，()0F x 恒成立.若存在，求出a ；若不存在，请说明理由. （2021·云南师大附中高三月考（理））2．已知函数1211()(2)e 22x f x x x x -=--++，()sin ln(1)g x ax x x =--+，其中a ∈R .（1）证明：当1x 时，()0f x ；当1x <时，()0f x <；（2）用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，记()max{(),()}F x f x g x =.是否存在实数a ，对任意的x ∈R ，()0F x 恒成立.若存在，求出a ；若不存在，请说明理由. （2021·广东·顺德一中高三开学考试）3．已知函数3217()(4)322x f x x e x x -=--+-，()cos x g x ae x =+，其中a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求不等式()0f x >的解集； （2）若1a =，证明：当0x >时，()2g x >；（3）用max{,}m n 表示m ，n 中的最大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，若()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）4．已知函数3()()ln 2f x x a x x a =--+.（I ）若()f x 是(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）22a e ≤≤时，记()f x 的最小值为min{()}f x ，证明：0min{()}f x ≤. （2019·云南·一模（理））5．已知e 是自然对数的底数，函数2()x xf x e=与1()()F x f x x x =-+的定义域都是(0,)+∞.（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且0(1,2)x ∈；（3）用min{,}m n 表示m ，n 的最小值，设0x >，1()min{(),}g x f x x x=-，若函数2()()h x g x cx =-在(0,)+∞上为增函数，求实数c 的取值范围． （2018·江西·南昌二中高二期末（文））6．设函数()()2,ln xf x x eg x x x -==.（1）若()()()F x f x g x =-，证明：()F x 在0,上存在唯一零点；（2）设函数()()(){}min ,h x f x g x =，（{}min ,a b 表示,a b 中的较小值），若()h x λ≤，求λ的取值范围.（2016·广西来宾·一模（理）） 7．已知函数()()()()()ln ,,xxf x x xg x F x f x g x e ===-． （1）证明()F x 在区间1,2内有且仅有唯一实根；（2）记()F x 在区间1,2内的实根为0x ，函数()()(){}min ,m x f x g x =，若方程()(),m x n n R =∈在区间()1,+∞有两不等实根()1212,,x x x x <，试判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．（2016·安徽合肥·一模（理）） 8．已知函数()()()()()ln ,,xxf x x xg x F x f x g x e ===-． （1）证明()F x 在区间1,2内有且仅有唯一实根；（2）记()F x 在区间1,2内的实根为0x ，函数()()(){}min ,m x f x g x =，若方程()(),m x n n R =∈在区间()1,+∞有两不等实根()1212,,x x x x <，试判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明． （2021·全国·高三专题练习） 9．已知函数()ln f x x =.（1）讨论函数()()()g x f x ax a =-∈R 的单调性； （2）设函数1()()x F x f x e=-（e 为自然对数的底数）在区间1,2内的零点为0x ，记()min (),x x m x xf x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（其中min{,}a b 表示a ，b 中的较小值），若()()m x n n R =∈在区间()1,+∞内有两个不相等的实数根1x ，()212x x x <，证明：1202x x x +>. （2021·全国·高三专题练习） 10．已知函数()ln f x x x =.（1）若函数2()'()(2)(0)g x f x ax a x a =+-+>，试研究函数()g x 的极值情况；（2）记函数()()x xF x f x e =-在区间(1,2)内的零点为0x ，记()min (),x x m x f x e ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若()()m x n n R =∈在区间(1,)+∞内有两个不等实根1212,()x x x x <，证明：1202x x x +>.（2020·北京八中高二期末）11．已知函数()f x 的图象在[,]a b 上连续不断，定义： 1()min{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈， 2()max{()|}f x f t a t x =≤≤([,])x a b ∈．其中，min{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最小值，max{()|}f x x D ∈表示函数()f x 在D 上的最大值．若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为[,]a b 上的“k 阶收缩函数”．（Ⅰ）若()cos f x x =，[0,]x π∈，试写出1()f x ，2()f x 的表达式；（Ⅰ）已知函数2()f x x =，[1,4]x ∈-，试判断()f x 是否为[1,4]-上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的k ；如果不是，请说明理由；（Ⅰ）已知0b >，函数32()3f x x x =-+是[0,]b 上的2阶收缩函数，求b 的取值范围. （2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））12．记{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{max =.已知函数(){}2max 1,2ln f x x x =-，()2221max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. （2011·浙江宁波·一模（理））13．函数()f x 定义在区间[],a b 上，设“min{()|}f x x D ∈”表示函数()f x 在集合D 上的最小值，“max{()|}f x x D ∈”表示函数()f x 在集合D 上的最大值．现设1()min{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈， 2()max{()|}([,])f x f t a t x x a b =≤≤∈，若存在最小正整数k ，使得21()()()f x f x k x a -≤-对任意的[,]x a b ∈成立，则称函数()f x 为区间[,]a b 上的“第k 类压缩函数”．(Ⅰ) 若函数32()3,[0,3]f x x x x =-∈，求()f x 的最大值，写出12(),()f x f x 的解析式； (Ⅰ) 若0m >，函数32()f x x mx =-是[0,]m 上的“第3类压缩函数”，求m 的取值范围．参考答案：1．（1）证明见解析；（2）存在，a 的取值范围是[1)+∞，. 【分析】（1）对()f x 求导，得到()e (e 1)x x f x x x x '=-=-，对x 分0,0,0x x x ><=讨论即可得答案；（2）由题意，将()0F x 恒成立转化为当0x <时，()0g x ≥恒成立即可，对()g x 求导得()cos g x x a '=-，分0a ≤、01a <<、1a ≥三种情况讨论，结合单调性可得答案.【详解】（1）证明：()e (e 1)x x f x x x x '=-=-，x R ∈.当0x >时，e 10x ->，则()0f x '>；当0x <时，10x e -<，则()0f x '>， 当0x =时，(0)0f '=，所以当x R ∈时，()0f x '≥，()f x 在R 上是增函数， 又(0)0f =，所以当0x ≥时，()(0)0f x f ≥=； 当0x <时，()(0)0f x f <=. （2）函数()F x 的定义域为x R ∈， 由（1）知，当0x ≥时，()0f x ≥， 又()max{()()}()F x f x g x f x =，≥， 所以当0x ≥时，()0F x ≥恒成立， 由于当0x <时，()0f x <恒成立， 所以()0F x ≥等价于：当0x <时，()0g x ≥.()cos g x x a '=-.Ⅰ若0a ≤，当π02x -<<时，0cos 1x <<， 故()0g x '>，()g x 递增，此时()(0)0g x g <=，不合题意； Ⅰ若01a <<，当π02x -<<时，由()0g x '=知，存在0π02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，当0(0)x x ∈，， ()0g x '>，()g x 递增，此时()(0)0g x g <=，不合题意；Ⅰ若1a ≥，当0x <时，由cos 1≤x 知，对任意0x <，()0g x '≤，()g x 递减， 此时()(0)0g x g >=，符合题意.综上可知：存在实数a 满足题意，a 的取值范围是[1)+∞，. 2．（1）证明见解析；（2）存在，2a =.【分析】（1）对()f x 求导，得到1()(1)(e 1)x f x x -'=--，对x 分1,1,1x x x ><=讨论即可获得证明；（2）由题意，将()0F x 恒成立转化为当11x -<<时，()0g x ≥恒成立即可，对()g x 求导得1()cos 1g x a x x '=--+，易得'()g x 单增，分(1)0g '≤与(1)0g '>两种情况讨论，结合'()g x 的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a .【详解】（1）11()(1)e 1(1)(e 1)x x f x x x x --'=--+=--，x R ∈, 当1x >时，10x ->，1e 10x -->，则()0f x '>； 当1x <时，10x -<，1e 10x --<，则()0f x '>， 当1x =时，(1)0f '=．所以当x R ∈时，()0f x '≥，()f x 在R 上是增函数， 又(1)0f =，所以当1x ≥时，()(1)0f x f ≥=； 当1x <时，()(1)0f x f <=． （2）函数()F x 的定义域为(1)-+∞，，由（1）得，当1x ≥时，()0f x ≥，又()max{()()}()F x f x g x f x =，≥， 所以当1x ≥时，()0F x ≥恒成立． 由于当11x -<<时，()0f x <恒成立，故()0F x ≥等价于：当11x -<<时，()0g x ≥恒成立． 1()cos 1g x a x x '=--+，21()sin (1)g x x x ''=++．当10x -<<时，1sin 0x -<<，211(1)x >+，故()0g x ''>； 当01x ≤<时，0sin 1x <≤，210(1)x >+，故()0g x ''>．从而当11x -<<时，()0g x ''>，()g x '单调递增．Ⅰ若(1)0g '≤，即1cos12a +≤，则当(11)x ∈-，时，()(1)0g x g ''<≤，()g x 单调递减， 故当(01)x ∈，时，()(0)0g x g <=，不符合题意； Ⅰ若(1)0g '>，即1cos12a >+，取11,11b a ⎛⎫∈--+ ⎪+⎝⎭，则11101a -<-+<+，且11()cos 1011g b a b a b b '=--+-<++≤，故存在唯一0(11)x ∈-，，满足00()g x '=，当0(1)x x ∈-，时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当0(1)x x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增． 若00x <，则当0(0)x x ∈，时，()g x 单调递增，()(0)g x g <，不符合题意； 若00x =，则()(0)0g x g ≥=，符合题意，此时由0()0g x '=，得2a =； 若00x >，则当0(0)x x ∈，时，()g x 单调递减，()(0)g x g <，不符合题意． 综上可知：存在唯一实数2a =满足题意．【关键点晴】本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将()0F x 恒成立转化为()0g x ≥在11x -<<时恒成立，在对()g x 研究时，关键点是(0)0g =，再结合'()g x 的单调性及零点存在性定理讨论得到a ，有一定难度，特别是书写的规范性.3．（1）()f x 在R 上是增函数，(3,)+∞；（2）证明见解析；（3）34,-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【分析】（1）利用导数讨论()y f x =的单调性，由(3)0f =，得到不等式()0f x >的解集； （2）利用导数讨论()y g x =的单调性，求出最小值，即可证明； （3）先判断当3x ≥时，由()0f x ≥恒成立得到()0h x ≥恒成立；再研究当3x <时， ()max{(),()}=()h x f x g x g x =，只需()0g x ≥在(03)，上恒成立即可． 利用分离参数法得到cos x xa e ≥-，利用导数研究cos ()xx r x e =-，]3[0x ∈，的极大值，求出a 的范围.【详解】（1）()33()(3)3(3)1x x f x x e x x e '--=--+=--，当3x >时，30x ->，310x e -->，Ⅰ()0f x '>， 当3x <时，30x -<，310x e --<，Ⅰ()0f x '>， 当3x =时，()0f x '=，所以当x ∈R 时，()0f x '≥，即()f x 在R 上是增函数； 又(3)0f =，所以()0f x >的解集为(3,)+∞．（2）()sin xg x e x '=-．由0x >，得e 1x >，sin [1,1]x ∈-，则()sin 0x g x e x '=->，即()g x 在(0,)+∞上为增函数． 故()(0)2g g x >=，即()2g x >．（3）由（1）知，当3x ≥时，()0f x ≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；当3x <时，()0f x <，因为()max{(),()}h x f x g x =，要使得()0h x ≥恒成立， 只要()0g x ≥在(0,3)上恒成立即可． 由()e cos 0x g x a x =+≥，得cos xxa e ≥-． 设函数cos ()x xr x e =-，[0,]x ∈， 则sin cos ()xx x r x e '+=．令()0r x '=，得34x =．随着x 变化，()r x '与()r x 的变化情况如下表所示：所以()r x 在30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,34⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．()r x 在(0,3)上唯一的一个极大值，即极大值343242r -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故342a -≥综上所述，所求实数a 的取值范围为34,-⎫+∞⎪⎪⎣⎭． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．4．（Ⅰ）1a e≤-；（Ⅱ）见解析【分析】（I ）问题转化为()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，令g （x ）＝ln x x ，通过求导求出g（x ）的最小值，从而求出a 的范围（Ⅰ）由（I ）22a e ≤时，在()0,+∞有唯一的0x ，使得a=00x lnx 20x e ≤≤，从而得到()f x 的最小值为(){}()0min f x f x =，分解因式分析正负可证得左边成立，再通过构造函数，求导分析得到最大值，证得结论. 【详解】（I ）求导得()ln ln a x x af x x x x='-=-，由题意知， 设()ln g x x x =，则()ln 1g x x ='+，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，即1x e =是()g x 的极小值点，所以()11ln g x x x g e e ⎛⎫=≥=- ⎪⎝⎭，要使()f x 是()0,+∞上的单调函数，即()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，只有1a e ≤-.（Ⅰ）令()0f x '=，即a=xlnx ，()g x 在在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，22a e ≤时，在()0,+∞有唯一的0x ，使得a=00x lnx又由()ln g x x x =20x e ≤，即01ln 22x ≤≤， 所以()f x 的最小值为(){}()()00003min ln 2f x f x x a x x a ==--+，将00ln a x x =代入，得(){}()()()000000051min ln ln 1ln ln 2022f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=---≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而知(){}()0min 0f x f x =≥，另一方面，记()()()1ln ln 22h x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求导得()()3ln ln 12h x x x ⎛'⎫=--+ ⎪⎝⎭，2x e ≤≤时，所以x =是()h x 的唯一极大值点，即()(h x h ≤=有(){}()0min f x f x =≤综上所述，(){}0min f x ≤≤【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查了构造法的技巧及分析问题的能力，属于难题． 5．（1）1y x e =（2）见证明（3）31(,]2e-∞- 【分析】(1)利用导数的几何意义求函数()f x 在点11,e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1y x e =.（2）先计算得()()120F F <，所以()F x 存在零点0x ，且()01,2x ∈.再证明()F x 在()0,+∞上是减函数，即得证函数()F x 只有一个零点0x ，且()01,2x ∈.(3)由题得()202201,0,xx cx x x xh x x cx x x e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，()h x 在()0,+∞为增函数()'0h x ≥即得在()00,x ，()0,x +∞恒成立，即22xxc e -≤在区间()0,x +∞上恒成立. 设()02()2xxu x x x e-=>，只需证明()min c u x ⎡⎤≤⎣⎦，再利导数求得()u x 的最小值()()3min132u x u e ⎡⎤==-⎣⎦，312c e ≤-即得. 【详解】（1）Ⅰ()()2'xx x f x e -=，Ⅰ切线的斜率()1'1k f e==，()11f e =.Ⅰ函数()f x 在点11,e ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1y x e =.（2）证明：Ⅰ()()1F x f x x x =-+，()2x x f x e=，Ⅰ()110F e=>，()243202F e =-<，()()120F F <，Ⅰ()F x 存在零点0x ，且()01,2x ∈. Ⅰ()()221'1xx x F x e x-=--， Ⅰ当2x ≥时，()'0F x <；当02x <<时，由()()22212x x x x ⎡⎤+--≤=⎢⎥⎣⎦得()2221111'1110x F x e x x x≤--<--=-<. Ⅰ()F x 在()0,+∞上是减函数.Ⅰ若10x >，20x >，12x x ≠，则()()12F x F x ≠. Ⅰ函数()F x 只有一个零点0x ，且()01,2x ∈.（3）解：()0201,0,x x x x x g x x x x e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故()202201,0,x x cx x x xh x x cx x x e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，Ⅰ函数()F x 只有一个零点0x ，Ⅰ()00F x =，即02001x x x x e-=.Ⅰ0222000001x x x cx cx x e--=-.Ⅰ()h x 在()0,+∞为增函数()'0h x ⇔≥在()00,x ，()0,x +∞恒成立. 当0x x >时()()2'20xx x h x cx e -=-≥，即22xxc e -≤在区间()0,x +∞上恒成立. 设()02()2xxu x x x e -=>，只需()min c u x ⎡⎤≤⎣⎦， ()3'2xx u x e -=，()u x 在()0,3x 单调减，在()3,+∞单调增. ()u x 的最小值()()3min 132u x u e ⎡⎤==-⎣⎦，312c e ≤-. 当00x x <<时，()21'12h x cx x =+-，由上述得0c <，则()'0h x >在()00,x 恒成立. 综上述，实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．（1）详见解析；（2）)24,e -⎡+∞⎣.【详解】试题分析：（1）证明()F x 在()0,+∞上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数()h x 的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值. 试题解析：解：(1)函数()F x 的定义域为()0,+∞，因为()2ln xF x x e x x -=-，当01x <≤时，()0F x >，而()2422ln20F e =-<，所以()F x 在()1,2存在零点.因为()()()()()2211'ln 1ln 1xxx x x F x x x ee---+=-+=-+，当1x >时，()()21111,ln 11xx x x e e e--+≤<-+<-，所以()1'10F x e <-<，则()F x 在()1,+∞上单调递减，所以()F x 在()0,+∞上存在唯一零点.（2）由（1）得，()F x 在()1,2上存在唯一零点0x ，()00,x x ∈时，()()()0;,f x g x x x >∈+∞时，()()()()[)020,0,,{,,x xlnx x x f x g x h x x e x x -∈<∴=∈+∞.当()00,x x ∈时，由于(]()0,1,0x h x ∈≤；()01,x x ∈时，()'ln 10h x x =+>，于是()h x 在()01,x 单调递增，则()()00h x h x <<，所以当00x x <<时，()()0h x h x <.当[)0,x x ∈+∞时，因为()()'2x h x x x e -=-，[]0,2x x ∈时，()'0h x ≥，则()h x 在[]0,2x 单调递增；()2,x ∈+∞时，()'0h x <，则()h x 在()2,+∞单调递减，于是当0x x ≥时，()()224h x h e -≤=，所以函数()h x 的最大值为()224h e -=，所以λ的取值范围为)24,e -⎡+∞⎣. 7．（1）证明见解析；（2）1202x x x +>，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）只需证明()ln xxF x x x e =-在1,2上单调递增，且()()10,20F F 即可；（2）先证且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >，再用分析法证 明1202x x x +>即证20102x x x x >->. 试题解析：（1）证明：()ln x x F x x x e =-，定义域为()()10,,1ln xx x F x x e -∈++'∞=-，而()1,2x ∈．故()0F x '>，即()F x 在1,2上单调递增， 又()()21210,22ln 20F F e e=-=-，而()F x 在1,2上连续，故根据根的存在性定理有；()F x 在区间1,2有且仅有唯一实根．（2）当01x <≤时，()ln 0f x x x =≤，而()0xxg x e =>，故此时有()()f x g x <， 由（1）知，()11ln xx F x x e -=++'，当1x >时，()0F x '>， 且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >．因而()00ln ,0{,xx x x x m x x x x e <≤=>，显然当01x x <<时，()()ln ,1ln 0m x x x m x x =+'=>，因而()m x 单增； 当0x x >时，()()1,0x xx xm x m x e e -='=<，因而()m x 递减； ()m x n =在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则()()1021,,1,x x x ∈∈+∞．显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明，要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<， 记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e --=-<<，其中()00h x =． ()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e ---+--=++++-'=，记()()1,t t t t t t e e ϕϕ-='=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max1t eϕ=， 而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--=++=+>-'+->，即()h x 单增，从而01x x <<时，()()00h x h x <=，即01011122ln x x x x x x e --<， 故1202x x x +>得证．考点：1、利用导数研究函数的单调性及求最值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】判断()0,f x =则方程实根的常用方法：Ⅰ转化法：函数()y f x =零点个数的个数就是函数零点的个；Ⅰ零点存在性定理法：判断函数在区间,a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；Ⅰ数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.本题（1）的证明就是采取方法Ⅰ进行的.8．（1）证明见解析；（2）1202x x x +>，证明见解析. 【详解】试题分析：（1）只需证明()ln xxF x x x e =-在1,2上单调递增，且()()10,20F F 即可；（2）先证且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >，再用分析法证 明1202x x x +>即证20102x x x x >->. 试题解析：（1）证明：()ln x x F x x x e =-，定义域为()()10,,1ln x x x F x x e-∈++'∞=-，而()1,2x ∈．故()0F x '>，即()F x 在1,2上单调递增， 又()()21210,22ln 20F F e e=-=-，而()F x 在1,2上连续，故根据根的存在性定理有；()F x 在区间1,2有且仅有唯一实根．（2）当01x <≤时，()ln 0f x x x =≤，而()0xxg x e =>，故此时有()()f x g x <， 由（1）知，()11ln xx F x x e -=++'，当1x >时，()0F x '>， 且存在()01,2x ∈，使得()()()0000F x f x g x =-=，故01x x <<时，()()f x g x <；当0x x >时，()()f x g x >．因而()00ln ,0{,xx x x x m x x x x e <≤=>，显然当01x x <<时，()()ln ,1ln 0m x x x m x x =+'=>，因而()m x 单增； 当0x x >时，()()1,0x xx xm x m x e e -='=<，因而()m x 递减； ()m x n =在()1,+∞有两不等实根12,x x ，则()()1021,,1,x x x ∈∈+∞．显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明，要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --<，记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x =． ()0000022212211ln 1ln x xx x x x x x x x h x x x e e e---+--=++++-'=， 记()()1,t t t t t t e e ϕϕ-='=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max1t eϕ=， 而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--=++=+>-'+->，即()h x 单增，从而01x x <<时，()()00h x h x <=，即01011122ln x x x x x x e --<， 故1202x x x +>得证．考点：1、利用导数研究函数的单调性及求最值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】判断()0,f x =则方程实根的常用方法：Ⅰ转化法：函数()y f x =零点个数的个数就是函数零点的个；Ⅰ零点存在性定理法：判断函数在区间,a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；Ⅰ数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.本题（1）的证明就是采取方法Ⅰ进行的.9．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题设有1()(0)axg x x x-'=>，讨论0a ≤、0a >判断()g x '的符号，进而确定()g x 的单调性；（2）由题意得11()x F x x e'=+，研究在1,2上()F x '的符号，由区间单调性结合零点存在性定理确定存在0(1,2)x ∈使得()00F x =，根据题设定义写出()m x 解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证1202x x x +>只需要证01011122ln x x x x x x e --<，构造函数0022()ln x xx x h x x x e --=-，应用导数研究单调性并确定()0h x <，即可证结论.【详解】（1）()g x 的定义域为()0,+∞，11()(0)ax g x a x x x'-=-=>当0a ≤时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在0,上单调递增；当0a >时，令()0g x '=有1x a=， Ⅰ当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减.综上所述：当0a ≤时，()g x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）1()ln x F x x e=-且定义域为()0,x ∈+∞，Ⅰ11()xF x x e '=+，而在()1,2x ∈上()0F x '>，即()F x 在区间1,2内单调递增，又1(1)0F e =-<，21(2)ln 20F e =->，且()F x 在区间1,2内的图像连续不断，Ⅰ根据零点存在性定理，有()F x 在区间1,2内有且仅有唯一零点. Ⅰ存在0(1,2)x ∈，使得()00F x =，即001ln x x e =， Ⅰ当01x x <<时，1()x f x e <，即()x x xf x e <；当0x x >时，1()x f x e >，即()xx xf x e >， Ⅰ可得00ln ,1(),e xx x x x m x x x x <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，当01x x <<时，()ln m x x x =，由()1ln 0m x x '=+>得()m x 单调递增； 当0x x >时，()x x m x e =，由1()0xxm x e -'=<得()m x 单调递减： 若()m x n =在区间1,内有两个不相等的实数根1x ，()212x x x <，则()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞Ⅰ要证1202x x x +>，需证2012x x x >-，又0102x x x ->，而()m x 在()0,x +∞内递减， 故可证()()2012m x m x x <-，又()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e --< 下证01011122ln x x x x x x e --<：记0022()ln x x x x h x x x e--=-，01x x <<，由()00F x =知：0()0h x =， 记()t t t e ϕ=，则1()t tt e ϕ-'=：当()0,1t ∈时，()0t ϕ'>；当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'<，故max 1()t eϕ=，而()0t ϕ>，所以10()t e ϕ<<，由021x x ->，可知002210x x x x e e---<-<.Ⅰ00022211()1ln 10x xx x x x h x x e e e---'=++->->，即()h x 单调递增， Ⅰ当01x x <<时，0()()0h x h x <=，即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证. 【点睛】关键点点睛：（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；（2）由导数研究()F x 在1,2上零点的个数，写出()m x 解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立. 10．（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由()()22ln 1g x ax a x x =-+++求出()()()211'x ax g x x--=，分别讨论1a与12的关系，从而求出()'0g x >，()'0g x <时x 的范围，可得函数()g x 的增减区间，根据单调性可得函数()g x 的极值情况；（2）先证明()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增，根据零点存在性定理，存在()01,2x ∈，使得()()00000x x F x f x e =-=，可得以()00,1,xxlnx x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，要证1202x x x +>，只需证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x xx x e --<，记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x =，利用导数可证明()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=，即可得01011122ln x x x x x x e --<，进而可得结果. 【详解】解：（1）由题意，得()'ln 1f x x =+，故()()22ln 1g x ax a x x =-+++，故()()()()2111'22x ax g x ax a x x--=-++=， 0,0x a >>.令()'0g x =，得1211,2x x a==Ⅰ当02a <<时，112a >， ()1'002g x x >⇐<<或1x a>；()11'02g x x a<⇐<<， 所以()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以()g x 在12x =处取极大值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在1x a =处取极小值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.Ⅰ当2a =时，112a =，()'0g x ≥恒成立，所以不存在极值； Ⅰ当2a >时，112a <，()1'00g x x a >⇐<<或12x >；()11'02g x x a <⇐<<， 所以()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；所以()g x 在1x a =处取极大值11ln g a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，在12x =处取极小值1ln224a g ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.综上，当02a <<时，()g x 在12x =处取极大值ln24a--，在1x a=处取极小值1ln a a --；当2a =时，不存在极值；2a >时，()g x 在1x a=处取极大值1ln a a --，在12x =处取极小值ln24a--. （2）()ln xxF x x x e =-，定义域为()0,x ∈+∞， ()1'1ln xx F x x e -=++，而()1,2x ∈， 故()'0F x >，即()F x 在区间()1,2内单调递增 又()110F e =-<，()2222ln20F e=->，且()F x 在区间()1,2内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有()F x 在区间()1,2内有且仅有唯一零点. 所以存在()01,2x ∈，使得()()0000x x F x f x e =-=， 且当01x x <<时，()xxf x e <； 当0x x >时，()xx f x e >，所以()00,1,x xlnx x x m x xx x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 当01x x <<时，()ln m x x x =， 由()'1ln 0m x x =+>得()m x 单调递增； 当0x x >时，()xxm x e =， 由()1'0xxm x e -=<得()m x 单调递减； 若()m x n =在区间()1,+∞内有两个不等实根12,x x （12x x <） 则()()10201,,,x x x x ∈∈+∞.要证1202x x x +>，即证2012x x x >-又0102x x x ->，而()m x 在区间()0,x +∞内单调递减， 故可证()()2012m x m x x <-， 又由()()12m x m x =， 即证()()1012m x m x x <-， 即01011122ln x x x x x x e --<记()00022ln ,1x xx xh x x x x x e--=-<<，其中()00h x = 记()t t t e φ=，则()1't tt eφ-=， 当()0,1t ∈时，()'0t φ>； 当()1,t ∈+∞时，()'0t φ<， 故()max 1t eφ=而()0t φ>，故()10t eφ<<，而021x x ->，所以002210x x x x e e---<-<，因此()00022211'1ln 10x xx x x x h x x e e e---=++->->， 即()h x 单调递增，故当01x x <<时，()()00h x h x <=， 即01011122ln x x x x x x e --<，故1202x x x +>，得证. 【点睛】本题考查分类讨论求函数的极值以及零点偏移证明不等式. 方法点睛：（1）根据零点判断两根的范围；（2）由证明的结果逆推关系式，一般为要想证明1202x x x +>，只需证2012x x x >-，再根据12,x x 的范围以及函数的单调性寻找要证明的关系式；（3）根据同为零点的关系替换()()21m x m x =，即转化为证明()()1012m x m x x <-； （4）对函数求导，求单调性证明即可.11．（1）1()cos ,[0,]f x x x π=∈，2()1,[0,]f x x π=∈． （2）存在4k =，使得()f x 是[-1,4]上的“4阶收缩函数”． （31b <≤ 【详解】试题分析：（1）根据()f x 的最大值可求出1()f x ，2()f x 的解析式；（2）根据函数2()f x x =，[14]x ∈-，上的值域，先求出1()f x ，2()f x 的解析式，再根据21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围得到答案.(3)先对函数()f x 求导判断函数的单调性，进而写出1()f x ，2()f x 的解析式，然后再由21()()()f x f x k x a -≤-求出k 的取值范围. 试题解析：（1）由题意可得：()1cos f x x =，[]0x π∈，，()21f x =，[]0x π∈，. （2）()[)[]2110004x x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()[)[]2211114x f x x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩，，，，，()()[)[)[]221211010114x x f x f x x x x ⎧-∈-⎪-=∈⎨⎪∈⎩，，，，，， 当[]10x ，∈-时，()211x k x -≤+，Ⅰ1k x ≥-，2k ≥； 当()01x ∈，时，()11k x ≤+，Ⅰ11k x ≥+，Ⅰ1k ≥； 当[]14x ∈，时，()21x k x ≤+，Ⅰ21x k x ≥+，165k ≥综上所述，165k ≥.即存在4k =，使得()f x 是[]14-，上的“4阶收缩函数”. （3）()()23632f x x x x x =-+'=--，令()0f x '=得0x =或2x =.函数()f x 的变化情况如下：令()0f x =得0x =或3x =.（1）当2b ≤时，()f x 在[]0b ，上单调递增，因此，()()3223f x f x x x ==-+，()()100f x f ==.因为()323f x x x =-+是[]0b ，上的“二阶收缩函数”，所以， Ⅰ()()()2120f x f x x -≤-，对[]0x b ，∈恒成立； Ⅰ存在[]0x b ，∈，使得()()()210f x f x x ->-成立. Ⅰ即：3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，由3232x x x -+≤解得01x ≤≤或2x ≥. 要使3232x x x -+≤对[]0x b ，∈恒成立，需且只需01b <≤. Ⅰ即：存在[]0x b ，∈，使得()2310x x x -+<成立.由()2310x x x -+<解得0x <x <<所以，只需b >综合ⅠⅠ1b <≤ （2）当23b <≤时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()100f x f ==，()()214f x f x -=，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立，（3）当3b >时，()f x 在[]02，上单调递增，在[]2b ，上单调递减，因此，()()224f x f ==，()()10f x f b =<，()()()2144f x f x f b -=->，0x x -=，显然当0x =时，()()()2120f x f x x -≤-不成立.综合（1）（2）（31b <≤. 12．（1）2；（2）存在，ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用导数求出()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭的单调区间及最值，结合图像即可判定；（2）构造函数()()342H x g x x a =--，对该函数在()2,x a ∈++∞的最大值进行分类讨论求解，只需要最大值小于0即可.【详解】（1）设()212ln F x x x =--，则()()()21122x x F x x x x-+'=-=. 当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增；当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；所()()min 10F x F ==，所以()0F x ≥，即212ln x x -≥，所以()21f x x =-.设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上的图象可知， 这两个函数的图象在(]0,1内有两个交点，即()h x 在(]0,1上的零点个数为2（或由方程()()f x G x =在(]0,1内有两根可得）. （2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 则2223ln 421324422x x x a x a x a a x a⎧+<+⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-++<+ ⎪⎪⎝⎭⎩对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 4,220,x x a x x a ⎧-<⎪⎨⎪+->⎩对()2,x a ∈++∞恒成立， Ⅰ设()1ln 2H x x x =-，则()22xH x x-'=， 当02x <<时，()0H x '>，()H x 单调递增；当2x >时，()0H x '<，()H x 单调递减. 所以()()max 2ln 21H x H ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，所以ln 214a ->，因为a<0，所以ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭，故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立；当22a +≥，即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减， 所以()()()12ln 212H x H a a a <+=+--.因为()111ln 210222a a a '⎡⎤+--=-≤⎢⎥+⎣⎦，所以()()22ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立.Ⅰ若()()220x x a +->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a +≥， 所以[]1,2a ∈-.由ⅠⅠ得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦. 故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立，且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦. 【点睛】此题考查导数的应用，利用导函数研究函数的单调性，图像，零点等问题，含参问题因为参数取不同范围导致函数单调性发生变化，所以一般分类讨论，属于较难题目.13．(Ⅰ) 3213,02(){4,23x x x f x x -≤≤=-<≤， 2()0f x =；(Ⅰ) m ≤【分析】(I)求出导函数，令导函数大于0求出x 的范围即为递增区间；令导函数小于0求出x 的范围即为递减区间，利用12(),()f x f x 的定义，求出它们的解析式；(II)求出函数32()f x x mx =-的导函数，通过导数判断出其单调性，得到12(),()f x f x 的解析式，根据“第3类压缩函数”的定义列出不等式，求出m 的范围．【详解】(Ⅰ)由于2()36f x x x '=-，故()f x 在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增． 所以，()f x 的最大值为{}max (0),(3)0f f =．3213,02(){4,23x x x f x x -≤≤=-<≤，2()0f x =，(Ⅰ)由于2()32f x x mx '=-，故()f x 在2[0,]3m上单调递减，在2[,]3m m 上单调递增， 而(0)()0f f m ==，324()327m m f =-，故32132,03(){42,3273mx mx x f x m m x -≤≤=-<≤，2()0f x =，232132,03()(){42,3273mmx x x f x f x m mx -≤≤-=<≤． 设对正整数k 有21()()f x f x kx -≤对[0,]x m ∈恒成立， 当x=0时，N k *∈均成立； 当203mx <≤时，21()()f x f x k x-≥恒成立， 而222221()()()244f x f x m m m x mx x x -=-+=--+≤, 故24m k ≥； 当23mx m <≤时，21()()f x f x k x-≥恒成立，而332214()()4227279m f x f x m m x x x -==<； 故229m k ≥；所以，24m k ≥，又()f x 是[0,3]上的“第3类压缩函数”，故2234m <≤，所以，m <≤【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：Ⅰ 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；Ⅰ 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；Ⅰ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；Ⅰ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。

2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式(含解析)

2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式(含解析)

2023年中考数学频考点突破--二次函数与不等式1．已知二次函数y1=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．（1）求m，n的值．（2）如图，一次函数y2=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．（3）直接写出y1＞y2时x的取值范围．2．如图，函数y=2x的图象与函数y=ax2−3(a≠0)的图象相交于点P(3,k)，Q两点.（1）a=，k=；（2）当x在什么范围内取值时，2x>ax2−3；（3）解关于x的不等式：|ax2−3|>1.3．定义：对于给定函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0），则称函数y={ax2+bx+c,(x≥0)ax2−bx−c,(x<0)为函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c为常数，且a≠0）的“相依函数”，此“相依函数”的图象记为G.（1）已知函数y=−x2+2x−1.①写出这个函数的“相依函数”；②当−1≤x≤1时，此相依函数的最大值为；（2）若直线y=m与函数y=−x2+2x−1的相依函数的图象G恰好有两个公共点，求出m的取值范围；（3）设函数y=−12x2+nx+1(n>0)的相依函数的图象G在−4≤x≤2上的最高点的纵坐标为y0，当32≤y≤9时，求出n的取值范围.4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)．（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y的最小值是−1，求当1≤x≤5时，y的最大值；（3）已知直线y=−x+3与抛物线y=ax2−4ax+1(a>0)存在两个交点，设左侧的交点为点P(x1,y1)，当−2≤x1<−1时，求a的取值范围．5．如图，抛物线分别经过点A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）.（1）求抛物线的函数解析式；（2）直接写出当y＞0时，自变量x的取值范围.6．已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．7．某商场出售一款速干毛巾，其成本为20元/条，销售中发现，该商品每天的销售量y（条）与销售单价x（元/条）之间存在如图所示的关系。

高三函数难题22道20140921

高三函数难题22道20140921

高一函数难题22道20140921高一函数难题22道20140921一．解答题（共22小题，满分264分，每小题12分）1．（12分）（2006•福建）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2．（12分）（2006•重庆）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．3．（12分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．4．（12分）（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．5．（12分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．6．（12分）（2005•浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．7．（12分）（2001•北京）设函数，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．8．（12分）（2014•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．9．（12分）（2014•唐山三模）函数f（x）=﹣++的最大值为_________．10．（12分）（2014•广州模拟）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．11．（12分）（2013•合肥二模）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2•[f（x）﹣a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．12．（12分）（2012•卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．13．（12分）（2011•南昌模拟）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．14．（12分）（2005•广东）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）=f（2+x），f（7﹣x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．15．（12分）（2014•黄浦区一模）已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠﹣d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（﹣1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（﹣2）=﹣，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）恒成立，求负实数m的取值范围．16．（12分）（2014•崇明县一模）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g （x）成立．（文1）记，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；（1）当b=0时，记，若h（x）在[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立；（3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）﹣g（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．17．（12分）（2012•山西模拟）定义域[﹣1，1]的奇函数f（x）满足f（x）=f（x﹣2），且当x∈（0，1）时，．（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）求函数f（x）的值域．18．（12分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．19．（12分）（2009•宁夏）如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C 与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？20．（12分）（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：（Ⅰ）a＞0且；（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．21．（12分）（2014•遂宁一模）已知f（x）=ax2﹣3x﹣4（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立，求x的范围．（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求a的范围．（3）解关于x的不等式：f（x）≥0．22．（12分）（2011•武进区模拟）设函数f（x）=ax2+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值为﹣a，f（x）=0两个实根为x1、x2．（1）求x1﹣x2的值；（2）若关于x的不等式f（x）＜0解集为A，函数f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范围；（3）若﹣2＜x1＜0，求b的取值范围．高一函数难题22道20140921参考答案与试题解析一．解答题（共22小题，满分264分，每小题12分）1．（12分）（2006•福建）已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是12．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．考点：函数解析式的求解及常用方法；函数与方程的综合运用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用单调性求得最大值，解出待定系数．（2）将方程等价转化h（x）=0，利用h（x）的导数判断其单调性，利用单调性判断h（x）=0的根的情况．解答：解：（1）∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），∴可设f（x）=ax（x﹣5）（a＞0）．∴f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值是f（﹣1）=6a．由已知得6a=12，∴a=2，∴f（x）=2x（x（x∈R）．（2）方程等价于方程2x3﹣10x2+37=0．设h（x）=2x3﹣10x2+37，则h'（x）=6x2﹣20x=2x（3x﹣10）．在区间时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；在区间（﹣∞，0），或上，h'（x）＞0，h（x）是增函数，故h（0）是极大值，h（）是极小值．∵，∴方程h（x）=0在区间内分别有惟一实数根，故函数h（x）在（3，4）内有2个零点．而在区间（0，3），（4，+∞）内没有零点，在（﹣∞，0）上有唯一的零点．画出函数h（x）的单调性和零点情况的简图，所以存在惟一的自然数m=3，使得方程在区间（m，m+1）内有且只有两个不同的实数根．点评：本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力．2．（12分）（2006•重庆）已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．（I）若f（2）=3，求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：压轴题．分析：（I）由题意知f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2，f（1）=1，由上（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0，因为f（x0）=x0，所以x0﹣x02=0，故x0=0或x0=1．由此可推导出f（x）=x2﹣x+1（x∈R）．解答：解：（I）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x所以f（f（2）﹣22+2）=f（2）﹣22+2又由f（2）=3，得f（3﹣22+2）=3﹣22+2，即f（1）=1若f（0）=a，则f（a﹣02+0）=a﹣02+0，即f（a）=a．（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）﹣x2+x）=f（x）﹣x2+x．又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0所以对任意x∈R，有f（x）﹣x2+x=x0在上式中令x=x0，有f（x0）﹣x02+x0=x0又因为f（x0）=x0，所以x0﹣若x0=0，则f（x）﹣x2+x=0，即f（x）=x2﹣x但方程x2﹣x=x有两个不相同实根，与题设条件矛盾．故x0≠0若x0=1，则有f（x）﹣x2+x=1，即f（x）=x2﹣x+1，此时f（x）=x有且仅有一个实数1．综上，所求函数为f（x）=x2﹣x+1（x∈R）点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．3．（12分）（2005•江西）已知函数（a，b为常数）且方程f（x）﹣x+12=0有两个实根为x1=3，x2=4．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设k＞1，解关于x的不等式；．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；综合题．分析：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程得出关于a，b的方程组，解之即得a，b，从而得出函数f（x）的解析式．（2）不等式即为：即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）进行分类讨论：①当1＜k＜2，②当k=2时，③当k＞2时，分别求出此不等式的解集即可．解答：解：（1）将x1=3，x2=4分别代入方程，得，解得，所以f（x）=．（2）不等式即为，可化为即（x﹣2）（x﹣1）（x﹣k）＞0．①当1＜k＜2，解集为x∈（1，k）∪（2，+∞）．②当k=2时，不等式为（x﹣2）2（x﹣1）＞0解集为x∈（1，2）∪（2，+∞）；③当k＞2时，解集为x∈（1，2）∪（k，+∞）．用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1．要有明确的分类标准；2．对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3．当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱．根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于y轴对称，求出函数在（0，+∞）上的单调区间，并且只要求出当x＞0时，函数f（x）=x2﹣2ax（a＞0）最小值进而利用f（x）min≤﹣1解答此题．4．（12分）（2014•闸北区二模）已知函数y=f（x）在定义域R上是增函数，值域为（0，+∞），且满足：f（﹣x）=．设F（x）=．（1）求函数y=F（x）值域和零点；（2）判断函数y=F（x）奇偶性和单调性，并给予证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数奇偶性的判断．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）确定函数y=F（x）的解析式，利用值域为（0，+∞），即可求函数y=F（x）值域和零点；（2）利用奇偶性和单调性的定义，即可判断函数y=F（x）奇偶性和单调性．解答：解：（1）∵f（﹣x）=，∴F（x）==﹣1+，∵f（x）＞0，∴0＜＜1∴﹣1＜F（x）＜1，故y=F（x）的值域为（﹣1，1）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵f（﹣x）=，∴令x=0，f（0）=±1，∵f（x）＞0，∴f（0）=1．故y=F（x）的零点为x=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）对任意的x∈R，F（﹣x）==﹣=﹣F（x），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴y=F（x）是奇函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由已知，y=f（x）在定义域R上是增函数，∴对任意的x1，x2∈R，x1＜x2，都有f（x1）﹣f （x2）＜0．又F（x1）﹣F （x2）=﹣=＞0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴y=F（x）在定义域R上是减函数．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．5．（12分）（2014•广东）设函数f（x）=，其中k＜﹣2．（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f（x）在D上的单调性；（3）若k＜﹣6，求D上满足条件f（x）＞f（1）的x的集合（用区间表示）．考点：复合函数的单调性；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）利用换元法，结合函数成立的条件，即可求出函数的定义域．（2）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论．（3）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集．解答：解：（1）设t=x2+2x+k，则f（x）等价为y=g（t）=，要使函数有意义，则t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，则（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，由①解得x+1＞或x+1，即x＞﹣1或x，由②解得﹣＜x+1＜﹣1，即﹣1﹣＜x＜﹣1+，综上函数的定义域为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1﹣，﹣1+）．（2）=，由f'（x）＞0，即（x2+2x+k+1）（2x+2）＜0，则（x+1+）（x+1﹣）（x+1）＜0解得x＜﹣1﹣或﹣1＜x ＜﹣1+，结合定义域知，x＜﹣1﹣或﹣1＜x＜﹣1+，即函数的单调递增区间为：（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1，﹣1+），同理解得单调递减区间为：（﹣1﹣，﹣1），（﹣1+，+∞）．（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，则[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0 即（x+1+）（x+1﹣）（x+3）（x﹣1）=0，∴x=﹣1﹣或x=﹣1+或x=﹣3或x=1，∵k＜﹣6，∴1∈（﹣1，﹣1+），﹣3∈（﹣1﹣，﹣1），∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣）=f （﹣1+），且满足﹣1﹣∈（﹣∞，﹣1﹣），﹣1+∈（﹣1+，+∞），由（2）可知函数f（x）在上述四个区间内均单调递增或递减，结合图象，要使f（x）＞f（1）的集合为：（）∪（﹣1﹣，﹣3）∪（1，﹣1+）∪（﹣1+，﹣1+）．点评：本题主要考查函数定义域的求法，以及复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．6．（12分）（2005•浙江）函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x （Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|．（Ⅲ）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；绝对值不等式的解法．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）在函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0），设关于原点的对称点为P（x，y），再由中点坐标公式，求得Q的坐标代入f（x）=x2+2x即可．（Ⅱ）将f（x）与g（x）的解析式代入转化为2x2﹣|x﹣1|≤0，再通过分类讨论去掉绝对值，转化为一元二次不等式求解．（Ⅲ）将f（x）与g（x）的解析式代入可得h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1，再用二次函数法研究其单调性．解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），则即∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上∴﹣y=x2﹣2x，即y=﹣x2+2x，故g（x）=﹣x2+2x（Ⅱ）由g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|，可得2x2﹣|x﹣1|≤0当x≥1时，2x2﹣x+1≤0，此时不等式无解．当x＜1时，2x2+x﹣1≤0，解得．因此，原不等式的解集为．（Ⅲ）h（x）=﹣（1+λ）x2+2（1﹣λ）x+1①当λ=﹣1时，h（x）=4x+1在[﹣1，1]上是增函数，∴λ=﹣1②当λ≠﹣1时，对称轴的方程为x=．ⅰ）当λ＜﹣1时，，解得λ＜﹣1．ⅱ）当λ＞﹣1时，，解得﹣1＜λ≤0．综上，λ≤0．点评：本题主要考查求对称区间上的解析式，解不等式及研究函数的单调性，属中档题．7．（12分）（2001•北京）设函数，求f（x）的单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性．考点：函数单调性的判断与证明．分析：判断函数的单调性可以通过定义做，也可利用导函数做．解答：解：函数的定义域为（﹣∞，﹣b）∪（﹣b，+∞）．f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数，f（x）在（﹣b，+∞）内也是减函数．证明f（x）在（﹣b，+∞）内是减函数．取x1，x2∈（﹣b，+∞），且x1＜x2，那么=，∵a﹣b＞0，x2﹣x1＞0，（x1+b）（x2+b）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x）在（﹣b，+∞）内是减同理可证f（x）在（﹣∞，﹣b）内是减函数．点评：本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．8．（12分）（2014•徐汇区一模）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．解答：解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．点评：本题考查了含有绝对值的函数的应用问题，解题时应先去掉绝对值，再进行讨论解答．9．（12分）（2014•唐山三模）函数f（x）=﹣++的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义；二次函数在闭区间上的最值．专题：转化思想．分析：设，将函数转化为关于t的二次函数，利用二次函数最值的求法进行求解．解答：解：设，那么，，当且仅当t=2即x=1时等号成立，故答案为．点评：本题考查了换元法的应用，利用换元法将函数转化为二次函数是求函数最值的一种重要的方法．10．（12分）（2014•广州模拟）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=2，求函数f（x）在区间[0，3]上的最大值；（2）若a＞2，写出函数f（x）的单调区间（不必证明）；（3）若存在a∈[﹣2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明；函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：（1）通过图象直接得出，（2）将x分区间进行讨论，去绝对值写出解析式，求出单调区间，（3）将a分区间讨论，求出单调区间解出即可．解答：解：（1）当a=2，x∈[0，3]时，作函数图象，可知函数f（x）在区间[0，3]上是增函数．所以f（x）在区间[0，3]上的最大值为f（3）=9．（2）①当x≥a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，．因为a＞2，所以．所以f（x）在上单调递增，在上单调递减．综上所述，函数f（x）的递增区间是和[a，+∞），递减区间是[，a]．（3）①当﹣2≤a≤2时，，，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，关于x的方程f（x）=t﹣f（a）不可能有三个不相等的实数解．②当2＜a≤4时，由（1）知f （x）在和[a，+∞）上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即．令，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是．点评：本题考查了函数的最值，函数单调性的证明，渗透了分类讨论思想，综合性较强，是较难的一道题．11．（12分）（2013•合肥二模）已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若g（x）=x2•[f（x）﹣a]，且g（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．考点：函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；奇偶函数图象的对称性．专题：函数的性质及应用．分析：（I）先设f（x）的图象上任一点P（x，y），再由点点对称求出对称的坐标，由题意把对称点的坐标代入h（x）的解析式，进行整理即可；（II）由（I）求出g（x）的解析式，再求出导数，将条件转化为：3x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，再分离出常数a，利用函数y=在区间[1，2]上的单调性求出函数的最小值，再求出a的范围．解答：解：（I）设f（x）的图象上任一点P（x，y），则点P关于点A（0，1）对称P′（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上，∴2﹣y=﹣x﹣+2，得y=，即f（x）=，（II）由（I）得，g（x）=x2•[f（x）﹣a]=x2•[﹣a]=x3﹣ax2+x，则g′（x）=3x2﹣2ax+1，∵g（x）在区间[1，2]上为增函数，∴3x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立，即a≤（）在区间[1，2]上恒成立，∵y=在区间[1，2]上递增，故此函数的最小值为y=4，则a≤4=2．点评：本题考查了利用轨迹法求函数解析式，导数与函数单调性、最值问题，以及恒成立问题，考查了转化思想．12．（12分）（2012•卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”．（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I．试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；综合题；新定义；开放型；分类讨论．分析：（1）根据均值的定义，要判断1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”，即要验证；（2）函数f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2，a为常数）存在“均值”，当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，从而求得实数a的取值范围；（3）根据（1），（2）的结论对于当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”；当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”，当为半开半闭区间时，函数f（x）不存在均值．解答：解：（1）对任意的x1∈[﹣1，1]，有﹣x1∈[﹣1，1]，当且仅当x2=﹣x1时，有，故存在唯一x2∈[﹣1，1]，满足，所以1是函数f（x）=2x+1（﹣1≤x≤1）的“均值”．（2）当a=0时，f（x）=﹣2x（1＜x＜2）存在“均值”，且“均值”为﹣3；当a≠0时，由f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax2﹣2x（1＜x＜2）单调，故有或，解得a≥1或a＜0或，综上，a的取值范围是或a≥1．（3）①当I=（a，b）或[a，b]时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当I为（﹣∞，+∞）时，函数f （x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当I=（a，+∞）或（﹣∞，a）或[a，+∞）或（﹣∞，a]或[a，b）或（a，b]时，函数f（x）不存在“均值”．①当且仅当I形如（a，b）、[a，b]其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”．这时函数f（x）的“均值”为；②当且仅当I为（﹣∞，+∞）时，函数f（x）存在无数多个“均值”．这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；③当且仅当I形如（a，+∞）、（﹣∞，a）、[a，+∞）、（﹣∞，a]、[a，b）、（a，b]其中之一时，函数f（x）不存在“均值”．点评：此题是个中档题，考查函数单调性的理解，和学生的阅读能力，以及分析解决问题的能力，其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．13．（12分）（2011•南昌模拟）设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．（Ⅰ）求b，c的值．（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．考点：函数奇偶性的性质．分析：（1）根据g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b与c的值．（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．从而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，从而g'（x）=3x2﹣6，当g'（x）＞0时，x＜﹣或x＞，当g'（x）＜0时，﹣＜x＜，由此可知，的单调递增区间；的单调递减区间；g（x）在x=时取得极大值，极大值为，g（x）在x=时取得极小值，极小值为．点评：本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间，取到极值时导数为0．14．（12分）（2005•广东）设函数f（x）在（﹣∞，+∞）上满足f（2﹣x）=f（2+x），f（7﹣x）=f（7+x），且在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0．（Ⅰ）试判断函数y=f（x）的奇偶性；（Ⅱ）试求方程f（x）=0在闭区间[﹣2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．考点：函数奇偶性的判断；函数的周期性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题．分析：（I）利用条件先求出函数的周期，再求出f（﹣3）=f（7）≠0，而f（3）=0，f（﹣3）≠﹣f（3）根据奇偶性的定义可知该函数为非奇非偶函数；（2II）根据周期函数性质可知，只需求出一个周期里的根的个数，可求得f（x）在[0，10]和[﹣10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[﹣2005.0]上有400个解．解答：解：由⇒⇒f（4﹣x）=f （14﹣x）⇒f（x）=f（x+10），又f（3）=0，而f（7）≠0，⇒f （﹣3）=f（7）≠0⇒f（﹣3）≠f （3），f（﹣3）≠﹣f（3）故函数y=f（x）是非奇非偶函数；（II）由⇒⇒f（4﹣x）=f （14﹣x）⇒f（x）=f（x+10）又f（3）=f（1）=0⇒f（11）=f （13）=f（﹣7）=f（﹣9）=0因为在闭区间[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0，故在[4，7]上无零点，又f（7﹣x）=f （7+x），故在[4，10]上无零点，故在[0，10]上仅有两个解故f（x）在[0，10]和[﹣10，0]上均有有两个解，从而可知函数y=f（x）在[0，2005]上有402个解，在[﹣2005.0]上有400个解，所以函数y=f（x）在[﹣2005，2005]上有802个解．点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的周期性和根的存在性及根的个数判断，属于基础题．15．（12分）（2014•黄浦区一模）已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠﹣d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（﹣1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（﹣2）=﹣，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）恒成立，求负实数m的取值范围．考点：奇偶函数图象的对称性．专题：综合题．分析：（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．解答：解（1）∵a=0，∴．类比函数的图象，可知函f（x）的图象的对称中心是（﹣d，b）．又∵函f（x）的图象的对称中心（﹣1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x0∈[3，10]，恒f（x0）∈[3，10]．①c=3，f（x）=3，符合题意．②c≠3，c＜3时，对任x∈[3，10]，恒，不符合题意．所c＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f（x）＞3．因此，当且仅f （3）≤10，即3＜c≤31时符合题意．综上，所求实c 的范围3≤c≤31．（3）依据题设，解于是．由，得，∴（2x2﹣1）m2＞1∵m＜0∴m＜﹣．因此，．∵函数y=﹣在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=﹣1．∴所求负实数m的取值范围m＜﹣1．故答案为m＜﹣1．点评：本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解16．（12分）（2014•崇明县一模）已知函数f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R恒有f（x）≤g （x）成立．（文1）记，如果h（x）为奇函数，求b，c满足的条件；（1）当b=0时，记，若h（x）在[2，+∞）上为增函数，求c的取值范围；（2）证明：当x≥0时，g（x）≤（x+c）2成立；（3）（理3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式g（c）﹣g（b）≤M（c2﹣b2）恒成立，求M的最小值．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：（文1）因为对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，从而得到c≥，即c≥1．设h（x）=，因为h（x）是奇函数，h（﹣x）=﹣h（x）成立，解得b=0，从而得出结论．（1）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，可得c≥1．当b=0时，由于h（x）==，因为h（x）在[2，+∞）上为增函数，可得（1﹣）＞0 成立，故有c≤4，从而得到c的取值范围．（2）由（1）得2c﹣b=c+（c﹣b）＞0，当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c（c﹣1）≥0，证得不等式成立（3）由（2）知，c≥|b|，当c＞|b|时，有M≥=，求得M的取值范围是[，+∞）；当c=|b|，M的最小值仍是，从而得出结论．解答：解：（文1）因为对任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立，所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c≥，即c≥1．设h（x）=的定义域为D，因为h（x）是奇函数，所以对于任意x∈D，h（﹣x）=﹣h（x）成立，解得b=0，所以b=0，c≥1．（1）因为任意的x∈R恒有f（x）≤g（x）成立，所以对任意的x∈R，2x+b≤x2+bx+c，即x2+（b﹣2）x+c﹣b≥0恒成立．所以（b﹣2）2﹣4（c﹣b）≤0，从而c≥+1，即c≥1．当b=0时，记h （x）===，因为h（x）在[2，+∞）上为增函数，所以任取x2＞x1≥2，f（x2）﹣f（x1）=（x2﹣x1）（1﹣）＞0 恒成立．即（1﹣）＞0 成立，也就是c＜x1•x2成立，所以c≤4，即c的取值范围是[1，4]．（2）由（1）得，c≥1且c≥+1，所以c≥2=|b|，因此2c﹣b=c+（c﹣b）＞0．故当x≥0时，有（x+c）2﹣g（x）=（2c﹣b）x+c （c﹣1）≥0．即当x≥0时，g （x）≤（x+c）2．知，c≥|b|，当c＞|b|时，有M≥==，设t=，则﹣1＜t＜1，所以M≥2﹣，由于y=2﹣的值域为（﹣∞，）；当c＞|b|时，M的取值范围是[，+∞）；当c=|b|，由（1）知，b=±2，c=2，此时g（c）﹣g（b）=﹣8或0，c2﹣b2=0，从而g（c）﹣g（b）≤（c2﹣b2）恒成立，综上所述，M的最小值为．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于中档题．（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；（2）求函数f（x）的值域．考点：奇偶性与单调性的综合；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．专题：计算题．分析：（1）先利用奇函数的定义，求f（x）在（﹣1，0）上的解析式，再利用抽象表达式f（x）=f（x﹣2），求f（1）和f（﹣1）的值，即可得f（x）在定义域上的解析式；（2）先利用导数证明函数f（x）在（0，1）上的单调性，再利用对称性证明函数在（﹣1，1）上的单调性，最后利用单调性和对称性求函数的值域即可解答：解：（1）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），则f（﹣x）=﹣2x+∵f（x）为[﹣1，1]的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）'∴f（x）=2x﹣又∵f（0）=﹣f（0），∴f（0）∵f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣1）=f（1﹣2）=f（1）∴f（﹣1）=0，f（1）=0∴f（x）=（2）∵x∈（0，1）时，．∴f′（x）=2+＞0∴f（x）在（0，1）上为增函数，f（x）∈（0，3）∵f（x）为[﹣1，1]的奇函数，∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数∴当x∈（﹣1，1）时，f（x）∈（﹣3，3），f（±1）=0∴函数f（x）的值域为（﹣3，3）点评：本题主要考查了函数奇偶性的定义及其运用，利用函数的奇偶性求函数解析式的方法，利用函数的奇偶性判断函数的单调性，利用单调性求函数值域的方法18．（12分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若⇔k为偶数不成立若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义19．（12分）（2009•宁夏）如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C 与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和．（1）将y表示成x的函数；（2）要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题设描述CO=x，CA=|10﹣x|，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和，直接建立函数关系即可，由于解析式含有绝对值号，故可以将解析式转换成分段函数．（2）对（1）中的函数进行研究利用其单调性与值域探讨x的取值范围即可．解答：解：（1）由题设，CO=x，CA=|10﹣x|，CB=|20﹣x|，故y=4×|10﹣x|+6×|20﹣x|，x∈[0，30]即y=（2）令y≤70，当x∈[0，10]时，由160﹣10x≤70得x≥9，故x∈[9，10]当x∈（10，20]时，由80﹣2x≤70得x≥5，故x∈（10，20]当x∈（20，30]时，由10x﹣160≤70得x≤23，故x∈（20，23]综上知，x∈[9，23]点评：本题考点是函数解析式的求解及常用方法，本题考查根据的关系建立函数解析式，然后再根据解析式解不等式，由于本题的解析式是一个分段型的，所以在解不等式时要分段求解，解出每一段上的不等式的解集，最后再将它们并起来．20．（12分）（2006•浙江）设f（x）=3ax2+2bx+c．若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：（Ⅰ）a＞0且；（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根．考点：二次函数的性质；不等式的基本性质．专题：计算题；证明题．分析：（I）先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和的范围即可．（II）欲证明方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根，根据根的存在性定理，只须证明某一个函数值小于0即可，最后只须证明在二次函数顶点处的函数值小于0即可．解答：解：证明：（I）因为f（0）＞0，所以c＞0，3a+2b+c＞0．由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．故．（II）抛物线f （x）=3ax2+2bx+c的顶点坐标为，在的两边乘以，得．又因为f（0）＞0，f（1）＞0，而，所以方程f（x）=0在区间与内分别有一实根．故方程f（x）=0两个实根．点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21．（12分）（2014•遂宁一模）已知f（x）=ax2﹣3x﹣4 （1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立，求x的范围．（2）f（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，求a的范围．（3）解关于x的不等式：f（x）≥0．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解不等式即可，（2）中将a转化为求函数y=的最值问题，（3）里的解不等式问题需将a分情况进行讨论．解答：解：（1）f（x）≥0在a∈[1，2]上恒成立令g（a）=ax2﹣3x﹣4，∴，即，解得：x≥4，或x≤。

(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(包含答案解析)(2)

(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．已知函数22(0)y ax bx c a =+->的图象与x 轴交于()2,0A 、()6,0B 两点，则不等式220cx bx a +-< 的解集为（ ） A ．(6,2)-- B ．11,,62⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．若,a b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 4．下列函数中，最大值为12的是（ ）A ．22116y x x=+B ．yC ．241x y x =+D ．()422y x x x =+>-+ 5．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（ ） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(4)(1)(2)f f f <<6．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<< B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或7．已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．4D ．88．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15C ．a ＜15D ．a ≤159．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3- B ．[]2,6- C ．[]6,2- D ．[]3,4-10．若不等式2210ax ax ++>对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)0,1B ．[)0,+∞C ．(](),01,-∞+∞ D ．()0,111．下列命题正确的是（ ） A ．若a bc c>，则a b > B ．若22a b >，则a b >C ．若2211a b>，则a b < D <a b <12．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >二、填空题13．已知函数2()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________.14．定义,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，若,0x y >，则222241616xy y x xy x y μ⎛⎫⎛⎫++=⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值____________.15．已知函数2()21f x x ax =-+，若对∀(]0,2x ∈，恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是___________．16．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 17．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是______．18．若命题“对任意实数0a >，0b >且4a b +=，不等式41m a b+>恒成立”为假命题，则m 的取值范围为_______.19．一批救灾物资随51辆汽车从某市以/vkm h 的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2800v km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要______.h20．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．三、解答题21．近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积x （单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费C （单位：万元）与修建的沼气发电池的容积x （单位：米3）之间的函数关系为()50kC x x =+（0x ≥，k 为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为F （单位：万元）.（1）解释()0C 的实际意义，并写出F 关于x 的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使F 最小，并求出最小值.（3）要使F 不超过140万元，求x 的取值范围.22．对于四个正数x y z w ，，，，如果xw yz <，那么称()x y ，是()z w ，的“下位序对”． （1）对于23711，，，，试求()27，的“下位序对”； （2）设a b c d ，，，均为正数，且()a b ，是()c d ，的“下位序对”，试判断c a a cd b b d++，，之间的大小关系.23．已知关于x 的不等式2120x mx +-<的解集为(6,)n -. （1）求实数m ，n 的值；（2）正实数a ，b 满足22na mb +=. ①求11a b+的最小值； ②若2160a b t +-≥恒成立，求实数t 的取值范围.24．已知不等式()21460a x x --+>的解集为{}31x x -<<．（1）解不等式()2220x a x a +-->；（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知0a b c d >>>>，ad bc =． （Ⅰ）证明：a d b c +>+； （Ⅱ）证明：a b c b c a a b c a b c >．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立. 【详解】001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．D解析：D 【分析】利用函数图象与x 的交点，可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，再利用根与系数的关系，转化为4b a =-，12c a =-，最后代入不等式220cx bx a +-<，求解集.【详解】由条件可知()2200ax bx c a +-=>的两个根分别为12x =或26x =，则226b a +=-，26ca⨯=-，得4b a =-，12c a =-， 22201280cx bx a ax ax a ∴+-<⇔---<，整理为：()()21281021610x x x x ++>⇔++>， 解得：16x >-或12x <-， 所以不等式的解集是11,,26⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D 【点睛】思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示4b a =-，12c a =-，再代入不等式220cx bx a +-<化简后就容易求解.3．D解析：D 【分析】利用基本不等式的性质来逐一判断正误即可. 【详解】对于A ，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，故A 错误；对于B 、C ，虽然0ab >，只能说明,a b 同号，若,a b 都小于0时，则不等式不成立，故B ，C 错误；对于D ，0ab >，,0b aa b∴>，2b a a b ∴+≥，当且仅当a b =时，等号成立，故D 正确； 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题考查基本不等式的相关性质，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】 用排除法求解． 【详解】由于20x >，因此22116y x x=+无最大值，A 错；[0,1]y =，最小值为0，最大值为1，B 错； 2x >-，20x +>，42y x x =++无最大值，D 错， 只有C 正确、 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最大值．对于单选题可以从简单入手，利用排除法确定正确选项．实际上C 可以用基本不等式求解：24()1x f x x =+，0x =时，(0)0f =，0x ≠时，221()1f x x x =+， 而2212x x +≥，当且仅当1x =±时等号成立，∴10()2f x <≤， 综上有()f x 的值域是1[0,]2，最大值为12． 5．B解析：B 【分析】由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称， 由函数2()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22bx =-=， ∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=，∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.7．B解析：B 【分析】根据基本不等式可求得最小值． 【详解】 ∵2x >，∴442+24+2622y x x x x =+=+-≥==--，当且仅当422x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x++的最大值为15， 所以15a ≥. 故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.9．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．10．A解析：A 【分析】设函数()221f x ax ax =++，把不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，转化为()0f x >对于x R ∀∈恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】解：设函数()221f x ax ax =++，则不等式2210ax ax ++>在x ∈R 上恒成立，即()0f x >对于x R ∀∈恒成立， 当0a =时，()10f x =>，显然成立； 当0a ≠时，要使()0f x >在x ∈R 上恒成立，需函数()221f x ax ax =++开口向上，且与x 轴没有交点，即20(2)410a a a >⎧⎨∆=-⨯⨯<⎩，解得01a <<， 综上知，实数a 的取值范围为[0,1).故选：A. 【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中把不等式的恒成立问题转化为利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与计算能力.11．D解析：D 【分析】A 项中，需要看分母的正负；B 项和C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小.【详解】A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错误；C 项中，若2211a b>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题13．2【分析】由时恒成立转化为恒成立根据中ab 系数相等令求解【详解】因为时恒成立所以恒成立令则或当时即当时即要使时的等号成立则即解得函数图象开口向上对称轴为所以则的最大值为2故答案为：2【点睛】关键点点解析：2 【分析】由[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，转化为211222xa xb ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭恒成立，根据+a b中，a ，b 系数相等，令2122xx -=求解. 【详解】因为[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立， 所以2211()22222b a x f x ax x a x b ⎛⎫=+-=-+≥- ⎪⎝⎭恒成立， 令2122x x -=，则12x =-或1x =，当1x =时，()21122a b f =+≥- ，即1a b +≥-， 当12x =-时，112442a b f ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，即2a b +≤， 要使12x =-时，1()2f x ≥-的等号成立， 则min 11()22f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即14211114422b a a b a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩， 解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203a =>，函数图象开口向上，对称轴为12x =-， 所以则+a b 的最大值为2，故答案为：2【点睛】关键点点睛：由+a b 中，a ，b 系数相等，令2122x x -=是本题求解的关键.. 14．【分析】换元判定单调性利用基本不等式求解【详解】令则在为增函数在在为减函数从而当且仅当时取等号故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就 解析：94【分析】换元判定单调性，利用基本不等式求解【详解】 令y t x =，则 22244xy y t t x+=+在()0,∞+为增函数， 22216111616x xy y t t+=+在在()0,∞+为减函数， 从而22111942164t t t t μ⎛⎫≥+++≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当12t =时取等号. 故答案为：94【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方15．【分析】利用参变分离得在上恒成立结合双勾函数性质求出的最小值即可【详解】解：由题意知：在上恒成立所以在上恒成立又因为函数在上单调递减在上单调递增所以当时最小为2所以即故答案为：【点睛】方法点睛：在解 解析：1a ≤【分析】 利用参变分离得2112x a x x x+≤=+在(]02x ∈，上恒成立，结合双勾函数性质求出1y x x=+的最小值即可． 【详解】 解：由题意知：()2210f x x ax =-+≥在(]02x ∈，上恒成立，所以2112x a x x x +≤=+在(]02x ∈，上恒成立， 又因为函数1y x x=+在()01x ∈，上单调递减，在()12x ∈，上单调递增，所以当1x =时，1x x+最小为2， 所以2a ≤2，即1a ≤，故答案为：1a ≤．【点睛】方法点睛：在解决二次函数的恒成立问题，常常采用参变分离法，如此可以避免对参数进行分类讨论．16．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是 解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.17．8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解：向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为：8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于 解析：8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值．【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy∴，当且仅当3232x y ==时，取等号．则32233838y x x y xy ++==，故答案为：8． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．18．【分析】利用基本不等式求出的最小值可得不等式恒成立时的取值范围再取其补集即可【详解】若不等式对任意实数且恒成立则当且仅当且即时等号成立所以故命题为假命题时的取值范围为故答案为:【点睛】本题主要考查命 解析：94m ≥ 【分析】 利用基本不等式求出41a b +的最小值，可得不等式41m a b+>恒成立时，m 的取值范围，再取其补集即可.【详解】若不等式41m a b+>对任意实数0a >，0b >且4a b +=恒成立，则411411419()()(5)5)4444b a a b a b a b a b +=++=++≥=， 当且仅当4b a a b =且4a b +=，即83a =，43b =时等号成立. 所以94m <，故命题为假命题时，m 的取值范围为94m ≥. 故答案为: 94m ≥【点睛】本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题.19．10【分析】用速度v 表示时间结合基本不等式计算最小值即可【详解】当最后一辆车子出发第一辆车子走了小时最后一辆车走完全程共需要小时所以一共需要小时结合基本不等式计算最值可得故最小值为10小时【点睛】考 解析：10【分析】用速度v 表示时间，结合基本不等式，计算最小值，即可．【详解】当最后一辆车子出发，第一辆车子走了25080016v v v ⋅=小时，最后一辆车走完全程共需要400v 小时，所以一共需要40016v v +小时，结合基本不等式，计算最值，可得4001016v v +≥=，故最小值为10小时 【点睛】考查了基本不等式计算函数最值问题，关键利用a b +≥中等．20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.三、解答题21．（1）()0C 的实际意义是未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；192000.1250F x x =++，0x ≥；（2）该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时，可使F 最小，且最小值为90万元；（3）3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）根据题中函数关系式，可直接得到()0C 的实际意义；求出k ，进而可得F 关于x 的函数关系；（2）根据（1）中F 的函数关系，利用基本不等式，即可求出最小值；（3）将140F ≤，转化为关于x 的不等式，求解即可.【详解】（1）()0C 的实际意义是修建这种沼气发电池的面积为0时的用电费用，即未修建沼气发电池时，该合作社每年消耗的电费；由题意可得，()02450k C ==，则1200k =； 所以该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为120019200160.120.125050F x x x x =⨯+=+++，0x ≥； （2）由（1）()19200192000.120.125065050F x x x x =+=++-++690≥=， 当且仅当()192000.125050x x =++，即350x =时，等号成立, 即该合作社应修建容积为350立方米的沼气发电池时， 可使F 最小，且最小值为90万元；（3）为使F 不超过140万元，只需192000.1214050F x x =+≤+， 整理得2333503050000x x -+≤，则()()330501000x x --≤，解得30501003x ≤≤， 即x 的取值范围是3050100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．无23．无24．无25．无26．无。

高一数学不等式试题答案及解析

高一数学不等式试题答案及解析

高一数学不等式试题答案及解析1.下列函数中，最小值为2的是----------------------------------------（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略2.（本题满分10分）已知正数满足,求的最小值有如下解法：解：∵且.∴∴. 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法【答案】不正确【解析】∵且.∴∴. 判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法解：以上解法错误------1分理由：∵，当且仅当x=y时取到等号，3.已知则的最小值为（）A．2B．C．4D．5【答案】C【解析】【考点】均值不等式求最值4.设常数,若对一切正实数成立,则的取值范围为 .【答案】【解析】【考点】1.不等式与函数的转化；2.均值不等式求最值5.已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最小值为_______________．【答案】【解析】将约束条件中任意俩条件进行联立，若想满足三个不等式，则解出y=，将y值带入不等式，解出，所以的最小值为。

【考点】函数不等式6.如果，则下列不等式中成立的只有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，可得，故不正确，正确．再根据，可得不正确，只有选项成立，故选．【考点】不等式关系与不等式7.如果，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，则，所以，A正确；因为，则，B错；因为，则，所以，C错；因为，则，D错；【考点】不等式的基本性质；8.关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】关于x的不等式的解集是，所以，所以不等式可化为，从而确定解集；【考点】1．一元二次不等式的解法；2．一元一次不等式的解集与系数的关系；9.若，且，则的最小值等于_______．【答案】【解析】约束条件对应的平面区域如上图所示，当直线过点时取得最小值3．【考点】线性规划10.（本小题16分）已知函数（1）时，解关于的不等式；（2）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）若，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）将不等式系数整理可得到二次不等式，结合二次函数图像即可求解；（2）将不等式恒成立问题采用分离参数的方法转化为求函数最值问题，本题中首先将不等式变形为进而利用均值不等式求解的最小值；（3）将不等式化简得到关于的不等式，进而求得范围，将所求式子的绝对值去掉，结合值及线性规划求式子的范围试题解析：（1）化为因此解集为；（2）原不等式化为：，因为所以原不等式化为恒成立，，当且仅当时等号成立，所以（3）题目条件化为，作图可知，去绝一个绝对值z＝，对讨论再去掉一个绝对值．当时，由线性规划得；当时，，综上可得【考点】1．不等式解法；2．函数最值；3．线性规划问题11.不等式组所表示的平面区域的面积是 ____________．【答案】25【解析】由已知条件可计算出，不等式表示的平面区域为，易得【考点】线性规划不等式组表示的平面区域及三角形的面积计算12.二次不等式的解集是全体实数的条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，原不等式换位对任意的都成立，要使二次不等式的解集是全体实数，只需，综上，故选B。

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20道已知函数解析式解函数不等式问题
1已知x
x
x f ln )(=,则( ) )
3()()2(.f e f f A >>
)
2()()3(.f e f f B >> )()2()3(.e f f f C >>
)2()3()(.f f e f D >>
2.已知函数112,1()2,1
x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2
(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取
值范围是（ ） A. ]1,2[-
B. [1,)+∞
C. R
D.
(,2][1,)-∞-+∞
3. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，若()()23f x f ->，则x 的取值范围是 .
4己知)(x f 定义在区间[-1,1]上，且满足)()(x f x f -=-，当0<x 时，
)1()(-=x x x f 则关于m 的不等式0<)1()1(2m f m f -+-的解集为
(A) [0,1) (B) (-2,1) (C) (-2,
2) (D) (0,2)
5.已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递增,设
2
1log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝
⎭
,()0.1
7n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )
A.m p n >>
B.p n m >>
C.p m n >>
D.
n p m >>
6.已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a
的取值范围是（ ）
A. 1
0,4
⎛⎫
⎪⎝
⎭
B. 1
,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
()4,+∞
7．已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=，且当)0,(-∞∈x 时，)(')(x xf x f + 0>成立，若0.20.2(3)(3),
(ln 2)(ln 2)a f b f =⋅=⋅，3311(log )(log ),,,99
c f a b c =⋅则的大小关
系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．c a b >>
D ．a c b >>
8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增，
若实数x 满足()12log 11f x f ⎛⎫
+<- ⎪⎝⎭
，则x 的范围是（ ）
A ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
B ．()3,1-
C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
D ．313,,122⎛
⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 9.若
3()log )2f x x x =-，则满足不等式2(23)0f m m --<的m 的取值范围为______．
10.已知R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，(2)0f = ，则
(1)0f x ->的解集为 ( )
A.(2,2)-
B.(1,3)-
C.(,2)(2,)-∞-⋃+∞
D.
(,1)(3,)-∞-⋃+∞
11．设()f x 为定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则()2f -， ()πf -， ()3f 的大小顺序是（ ）
． A ．()()()π23f f f -<-< B ．()()()π32f f f -<<- C ．()()()π32f f f ->>- D ．()()()π23f f f ->-> 12.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）
A.f(-25)<f(11)<f(80)
B.f(80)<f(11)<f(-25)
C.f(11)<f(80)<f(-25)
D.f(-25)<f(80)<f(11)
13.函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2
),1(log 2
,22
31
x x x e x ，则不等式f (x )>2的解集为
( )
A.(－2,4)
B.(－4，－2)∪(－1,2)
C.(1,2)∪(10，＋∞)
D.(10，＋∞) 14..定义在R 上的奇函数
，满足
,且在区间
[0,2]上是增函数,则（ ） A ． B ． C ．
D ．
15.已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a
的取值范围是（ ）
A. 10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
B. 1,4⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
()4,+∞
16．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函
数，设，，，则的大小关系是( ) A ． B ．
C ．
D ．
17.已知函数()sin f x x x =+，若()()()23,2,log 6a f b f c f ===， 则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．b a c <<
D ．b c a << 18.函数在上单调递增，且关于对称，若
，则的的取值范围是（ ）
()f x (,)-∞+∞(,0]-∞4(log 7)a f =12
(log 3)b f = 1.6
(2)c f =,,a b c c a b <<b c a <<c b a <<a b c <<()f x (0,)+∞(2)f x +2x =-(2)1f -=(2)1f x -≤x
A ．
B ．
C ．
D ． 19．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]
x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,)x m ∈-∞，都有()1f x <，则m 的取值范围是（ ） A ． 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．7,3⎛⎤
-∞ ⎥
⎝
⎦
D ．5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 20,已知()x f 是定义在R 上的奇函数，()(),x x f x g -=且对任意的
[)+∞∈,0,21x x 时，当21x x <时，()(),21x g x g < 则不等式
()()3212-≥+--x x f x f 的解集（ ）
A 、()+∞,3
B 、(]3,∞-
C 、[)+∞,3
D 、()3,∞-
答案
1.D 2【答案】D 【解析】 【分析】
由函数112,1
()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩
，的表达式即可判断f （x ）是关于x=1对称的
函数，利用单调性可得x 的不等式求解即可．
【详解】由题画出函数112,1
()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩的图像如图所示，故
2221
21x x x ，即223
1x x x ，解得x 的取值范围是
(,2][1,)-∞-+∞
[2,2]-(][),22,-∞-⋃+∞(][),04,-∞⋃+∞[0,4]
【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题
3. （- 1 , 5）
4.A
5.C
6.C
7.A
8.D
9. --1+
∞⋃∞
（，）（3，）
10.D
11.C
12.D
13.C
14.D
15.【答案】C
【解析】
由题意可得函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，可将已知不等式转为()()222||||2f log a f log a ⇒＜＜，可得a 的取值范围．
【详解】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图
象关于y 轴对称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，
则()()()()222||22|2|f log a f f log a f log a ⇒⇒＜＜＜， 即222log a -<＜，解得：1
44
a <<，
即a 的取值范围为1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
；
故选：C ． 16.C 17.D 18.D 19.D 20.C。

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