《一元二次方程》章末总结
期北师大版九年级数学上册章末复习(二)
章末复习 (二 )一元二次方程基础题知识点 1一元二次方程的观点及解1．以下方程是一元二次方程的是()A ． x2＋ 2x－ y＝3B.3－12＝2 x x3C． (3x 2－ 1)2－ 3＝ 0D. 5x2－8＝ 32．方程x2－4x－7＝0必有一个解知足()A ．－ 1＜ x＜ 0B．－ 2＜ x＜－ 1C． 0＜x＜ 3D． 3＜x＜ 43．依据下表得悉，方程x2＋ 2x－10＝ 0 的一个近似解为x≈________． (结果精准到 0.1) x－ 4.1－ 4.2－ 4.3－ 4.4－ 4.5－ 4.6 y＝x2－ 1.39－ 0.76－ 0.110.56 1.25 1.96＋2x －104.已知x＝－1是对于x的方程－2x2－ax＋a2＝0的一个根，求 a 的值．知识点 2解一元二次方程5．用配方法解方程x2＋ 10x ＋ 9＝0，配方后可得 ()A． (x＋ 5)2＝ 16B． (x＋ 5)2＝ 1C． (x＋ 10)2＝ 91D ． (x＋ 10)2＝1096．方程(x－5)(x＋2)＝1的解为()A ． 5B．－ 2C．5 和－ 2D．以上结论都不对7．用适合的方法解以下一元二次方程：(1)x 2－ 10x＋ 25＝ 7；(2)x 2－ 5x＋ 2＝ 0；(3)(x ＋ 2)(x － 1)＝ 2－ 2x；(4)(2x ＋ 3)2＝ x2－ 6x＋ 9.知识点 3一元二次方程的根的鉴别式及根与系数的关系8．(滨州中考)一元二次方程4x2＋ 1＝ 4x 的根的状况是()A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．(荆门中考)已知对于x 的一元二次方程x2＋ (m＋ 3)x＋ m＋ 1＝ 0 的两个实数根为x1， x2，若 x21＋ x22＝ 4，则 m 的值为 ________．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x － 2 019＝ 0 的两根，求 (m＋ 1)(n＋ 1)的值．知识点 4一元二次方程的应用11．要用一条长24 cm 的铁丝围成一个斜边长是10 cm 的直角三角形，则两直角边的长分别为 ()A ． 4 cm， 8 cmB ． 6 cm， 8 cmC． 4 cm， 10 cm D ． 7 cm， 7 cm12．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2013 年用于绿化的投资是20 万元， 2015 年用于绿化的投资是25 万元，求这两年绿化投资的均匀增加率，设这两年绿化投资的均匀增加率为 x，依据题意所列的方程为________________ ．13．在一幅长8 分米，宽 6 分米的矩形景色画(如图 1)的周围镶上宽度同样的金色纸边，制80 平方分米，设金色纸边宽为x 分米，可列成一幅矩形挂图(如图 2) ，使整个挂图的面积是方程为 ____________．14．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场竞赛，应邀请多少支球队参加竞赛？学习以下解答过程，并达成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打________ 场竞赛，竞赛总场数用代数式表示为________．依据题意，可列出方程________________ ．整理，得 ______________ ．解这个方程，得 ______________．符合实质意义的解为________．答：应邀请 ________支球队参赛．15．如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并相互垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为 0.24 米2的风筝，请你计算一下将竹条截成长度分别为多少的两段？中档题16．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下边给出的说法不正确的选项是()A ．与方程x2＋ 4＝4x 的解同样B ．两边都除以x－ 2，得 x－ 1＝ 1，能够解得x＝ 2C．方程有两个相等的实数根D ．移项、分解因式，得(x－ 2)2＝0，能够解得x1＝ x2＝ 217．用一条长为60 cm的绳索围成一个面积为 a cm2的长方形， a 的值不行能为 ()A ．240B．225C．60D．3018．假如对于x的方程x2－ax＋a2－3＝0起码有一个正根，则实数 a 的取值范围是 () A ．－ 2＜ a＜ 2 B. 3＜ a≤2C．－ 3＜a≤ 2 D ．－ 3≤ a≤ 219．当m＝________时，对于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．20．(台州中考)对于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0 时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③不论m 取何值，方程都有一个负数解，此中正确的选项是________(填序号 ) ．21．用适合的方法解以下一元二次方程：(1)3x 2－ 6x＋ 2＝ 0；(2)x 2－ 2(x＋4) ＝0；(3)x 2－ 1＝4(x ＋ 1)．22．定义：假如两个一元二次方程有且只有一个同样的实数根，我们称这两个方程为“友善方程”．假如对于 x 的一元二次方程 x2－ 4x ＋5m＝ mx ＋ 5 与 x2＋ 2x＋m－1＝ 0 互为“友善方程”，求 m 的值．23．某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元．每日能够销售48 件，为赶快减少库存，商场决定降价促销．(1) 若该商品连续两次下调同样的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次降落的百分率；(2) 经检查，若该商品每降价0.5 元，每日可多销售 4 件，那么每日要想获取512 元的收益，每件应降价多少元？24．(梅州中考)已知对于x 的方程 x2＋2x ＋ a－ 2＝ 0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，务实数a 的取值范围；(2) 若该方程的一个根为1，求 a 的值及该方程的另一根．25．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s 的速度向 B 点挪动，点 Q 从 B 点出发，以 2 cm/s 的速度向 C 点挪动．假如P、 Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于 4 cm2?综合题26．实验与操作：小明是一位着手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 4 cm 的正方体．(1)如图 1 所示，在顶面中心地点处从上到下打一个边长为 1 cm 的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________cm2；(2)假如在第 (1) 题打孔后，再在正面中心地点(如图 2 所示 )以前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；(3)假如把 (1)、 (2) 中的边长为 1 cm 的通孔均改为边长为 a cm(a ≠ 1)的通孔，可否使橡皮泥块的表面积为 118 cm2？假如能，求出 a，假如不可以，请说明原因．参照答案基础题1． D 2.B 3.－ 4.34.把 x ＝－ 1 代入－ 2x 2－ ax ＋ a 2＝ 0，得－ 2×(－ 1)2－ (－ 1)a ＋ a 2＝ 0，整理，得 a 2＋a － 2＝ 0.解得 a 1＝－ 2， a 2＝1.∴ a 的值为－ 2 或 1.5.A6.D7.(1)(x － 5)2＝ 7，x － 5＝ ± 7，∴ x 1＝ 5＋7，x 2 ＝5－ 7.(2)a ＝ 1， b ＝－ 5， c ＝ 2，∵ ＝ 25－8＝ 17＞ 0， ∴ x ＝5± 175＋ 175－ 17.2 .∴ x 1＝， x 2 ＝22(3)(x ＋ 2)(x － 1)＋ 2(x － 1) ＝0， (x － 1)(x ＋ 4)＝ 0， ∴ x － 1＝ 0 或 x ＋ 4＝0.∴ x 1＝ 1， x 2＝－ 4.(4) ∵ (2x ＋3)2 ＝(x －3)2，∴ 2x ＋ 3＝x － 3 或 2x ＋ 3＝ 3－x.解得 x 1＝－ 6， x 2＝ 0. 8.C9.－ 1 或－ 310.依据题意得 m ＋ n ＝2， mn ＝－ 2 019，原式＝ mn ＋ m ＋ n ＋ 1＝－ 2 019＋2＋ 1＝－ 2 016.2＝ 25 13.(2x ＋ 6)(2x ＋ 8)＝ 80 14.(x － 1)1 1 x(x － 1)＝ 28 1 x 211.B 12.20(1＋ x)x(x － 1)222－ 1x ＝ 28 x 1＝ 8， x 2＝－ 7 x ＝ 8 82115.设将竹条截成长度分别为x 米和 (1.4－x)米的两段， 依据题意得 2x(1.4 － x)＝ 0.24，解得 x 1 ＝ 0.6， x 2＝ 0.8.当 x 1＝ 0.6 时， 1－ x ＝ 0.8；当 x 2＝ 0.8 时， 1－ x ＝ 0.6.答：将竹条截成长度分别为0.6 米和 0.8 米的两段．中档题16． B 17.A18.C19.－ 220.①③21. (1) ∵b 2－ 4ac ＝ (－ 6)2－ 4×3×2＝ 12，∴ x ＝ 6±12.∴ x 1＝3＋ 3， x 2＝3－ 3.2×333(2)x 2－ 2x － 8＝ 0， x 2－ 2x ＝ 8， x 2－2x ＋ 1＝ 9，∴ (x － 1)2＝ 9.∴ x － 1＝ ±3.∴ x 1＝－ 2， x 2＝ 4.(3) 移项，得 (x ＋ 1)(x － 1)－4(x ＋1) ＝0.分解因式，得 (x ＋ 1)(x － 1－4) ＝0.∴ x ＋1＝ 0 或 x － 1－ 4＝ 0.∴ x 1＝－ 1，x 2＝5. 22. x 2－ 4x ＋ 5m ＝mx ＋ 5，整理，得 x 2－ (4＋ m)x ＋ 5(m － 1)＝ 0.分解因式，得 (x － 5)[x － (m － 1)]＝ 0.解得 x 1 ＝5， x 2＝ m － 1.当 x ＝ 5 时， 25＋ 5 2＋m －1＝ 0，解得 m ＝－ 24－ 5 2.∴ m － 1＝－ 25－ 5 2，此时方程 x 2＋ 2x ＋ m － 1＝ 0 为 x 2＋ 2x － 25－ 5 2＝ 0.解得 x 1＝ 5，x 2 ＝－ 5－ 2.∵－ 5－ 2≠－ 25－ 5 2，∴ m ＝－ 24－ 5 2切合题意．当 x＝ m－ 1 时， (m－ 1)2＋ 2(m－ 1)＋ m－ 1＝0，解得 m＝ 1 或 m＝－ 2.当 m＝ 1 时， m－ 1＝ 0，此时方程 x2＋ 2x＋ m－ 1＝ 0 为 x2＋2x＝ 0.解得 x1＝－ 2，x2＝0.∵－ 2≠ 5，∴ m＝ 1切合题意．当 m＝－2时， m－1＝－2－ 1，此时方程 x2＋ 2x ＋ m － 1＝ 0 为 x2＋ 2x －2－ 1＝ 0.解得 x1＝ 1， x2＝ 2－ 1.∵ 1≠5，∴ m＝－2切合题意．因此m 的值为－ 24－ 5 2或 1 或－ 2.23.(1)设每次降价的百分率为x，由题意，得40×(1－ x)2＝ 32.4.解得 x1＝ 10%，x2＝ 190%( 不切合题意，舍去 )．答：该商品连续两次下调同样的百分率后售价降至每件32.4 元，两次下降的百分率为 10%.y(2) 设每件商品应降价y 元，由题意，得 (40－ 30－ y)(0.5× 4＋ 48)＝ 512.解得 y1＝ y2＝ 2.答：每日要想获取 512 元的收益，每件应降价 2 元．24.(1) ∵b2－ 4ac＝ 22－ 4×1×(a－ 2)＝ 12－ 4a＞ 0，解得 a＜ 3.∴ a 的取值范围是a＜ 3.(2) 设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：1＋x1＝－ 2，1· x1＝ a－ 2.a＝－ 1，解得则 a 的值是－ 1，该方程的另一根为－ 3.x1＝－ 3.25.过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.1 QB.1∵∠ ABC ＝ 30°，∴ QE＝∴ S△PQB＝ PB ·QE.22设经过 t 秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2，则 PB＝6－ t， QB＝ 2t， QE＝ t.依据题意，得1(6－ t) t·＝ 4，即 t2－ 6t＋ 8＝ 0.解得 t1＝ 2， t2＝ 4.当 t＝ 4时， 2t＝8， 8＞ 7，不2合题意，舍去，因此t＝2.答：经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2 .综合题26．(1)110(2)118(3) 能使橡皮泥块的表面积为118 cm2，原因：∵ S1＝ 96－ 2a2＋ 4a×4，S2＝ S1－ 4a2＋ 4×4a－ 4a2，∴ 96－ 2a2＋ 16a－ 8a2＋ 16a＝ 118.解得 a1＝11，a2＝ 1.∵ a≠1，11＜ 4，55∴当边长改为112 5 cm 时，表面积为118 cm .。
(完整版)一元二次方程归纳总结
一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。
2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。
注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。
③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
九年级数学上册第二章一元二次方程小结与复习教学
正常销售
4
32
128
涨价销售
x-20
32-2(x-24)
150
其等量关系(guān xì)是：总利润=单件利润×销售量.
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意(tí yì)可得(x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
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针对训练
3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x+12=0的一个(yī ɡè)根，则菱形ABCD的周长为（ A）
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
12/11/2021
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4.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求(yāoqiú)写出必要解题步骤）.
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28
元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多 少元？
12/11/2021
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解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系(guān xì)用表析分如 下：设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量（件） 每星期利润（元）
根的判别式： Δ=b2-4ac
根与系数的关系
x1
x2
b a
x1
x2
c a
一元二次方 几何问题、数字问题 程 的 应 用 营销问题、平均变化率问题
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2021/12/11
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内容(nèiróng)总结
小结与复习。课堂小结。(2)未知数的最高次数为2。（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需 要恰当选取设元法．。（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能 否顺利解决实际问题．。解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方(píngfāng)。4.用公式法和配方法分别解
一元二次方程知识点总结(全章齐全)
一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。
②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。
(2)确定a,b,c的值。
(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。
(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。
·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。
(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。
(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。
(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。
根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。
一元二次方程小结
第二十一章小结与复习一、内容和内容解析1.内容对本章内容进行梳理总结,建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.2.内容解析在学习全章有关知识的基础上，分两课时对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，并综合应用本章知识解决问题。
第一课时着重对本章内容进行梳理总结，建立知识体系；第二课时综合应用本章知识解决问题。
本节课设计的是第一节内容.从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
选择适当的方法将“二次”降为“一次”是本章学习的另一条主线。
一元二次方程是本套初中数学教科书所学习的最后一种方程，对本章学习的小结也有对方程的学习进行总结的作用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：从两条主线上对本章内容进行梳理总结，建立知识体系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握一元二次方程的解法，体会一般到特殊的思想方法。
提高数学的应用意识，培养以一元二次方程为模型解决实际问题的能力。
（2）复习本章的重点内容，整理本章知识，形成有关方程的知识体系，体会化归思想。
2.目标解析达成目标（1）的标志是：明确一元二次方程的降次思想，能根据一元二次方程的特点选择恰当方法解方程。
能说出方程化归过程中各步骤的依据。
能够在具体的问题情境中建立一元二次方程数学模型，运用一元二次方程解决问题。
达成目标（2）的标志是：知道方程的主要学习内容是方程的概念、解法和应用，形成有关方程的知识体系。
以一元二次方程为重点，回顾比较前面已经学习过的其他整式方程、分式方程的解题思想和化归过程，进一步体会解方程的过程是将高次化低次、分式化整式、多元化归为一元，最终使方程变形为x=a的形式，这是解方程的基本指导思想。
结合具体问题，能够通过列方程将实际问题转化为数学问题，通过解方程得到数学问题的解，通过检验得到实际问题的解，从而加深对本章知识结构图的理解。
三、教学问题诊断分析学生在本章之前学习过一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，解一元二次方程提出了新的解题思想——降次。
初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）
初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。
一元二次方程知识点总结
2 1 章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。
注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前—面的符号。
（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
（3）形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方程。
二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，2 2X 3x 2 0所以X 2是x 3x 2 0方程的解。
一兀二次方程的解也叫一元二次方程的根。
一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a . b，x a . b，当b<0时，方程没有实数根。
三种类型：（1）x2a a 0的解是x a ；（2）x m 2n n 0 的解是x 、n m ；22、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有x 2 2bx b 2 (x b)2。
(一) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1) 把一元二次方程化成一般形式(2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3) 把原方程变为x m 2 n 的形式。
高一数学第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末重难点归纳总结(解析版)
第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结考点一 基本不等式常见考法【例1-1】（2022·浙江·温州中学）若正数,a b 满足a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．42C ．322+D ．222+【答案】C【解析】因为正数,a b 满足a b ab +=，所以111a b+=，所以112(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭23a b b a =++232322a bb a ≥+⋅+ 当且仅当2a b b a =，即2221,a b +==C【例1-2】（2022·湖北十堰·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得332727ab a b ab =++≥，得)()627930ab ab ab ab -=≥9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立．故选：D 【例1-3】（2021·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ）A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a <- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.【例1-4】（2021·江苏·高一专题练习） 若两个正实数,x y 满足141x y +=且存在这样的,x y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．()(),41,-∞-+∞D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+【答案】C【解析】正实数x ，y 满足141x y+=，144422244444y y x y x y x x x y y x y x⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当44x yy x =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号， 存在x ，y 使不等式234yx m m +<+有解， 243m m ∴<+，解可得1m 或4m <-，即()(),41,m ∈-∞-+∞，故选：C ．【一隅三反】1．（2022·四川德阳）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ，显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.2．（2022·天津红桥·）若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．3D ．42【答案】A【解析】若a ，b 都是正数，且1ab = ∴11888824222222b a a b a b a b a b a b a b a b++++=++=+⋅++++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立，故选：A.3．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设0a >，0b >，且1a b +=，则4aba b+的最大值为（ ）．A ．110 B ．19C ．227 D ．15【答案】B【解析】∵1a b +=，1414ab a b a b =++，()4141445529a b a ba b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当23a =，13b =时取等号，∵149ab a b ≤+．故选：B ． 4．（2022·全国·专题练习）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为________． （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为________． （3）函数22(1)1x y x x +=>-的最小值为________．【答案】（1）23（2） 1 （3） 232 【解析】（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +-⎡⎤-=⨯-≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号．故答案为：23.（2）因为54x <，所以540x ->， 则()()()1114254325431455454f x x x x x x x⎡⎤=-+=--++≤--⨯=⎢⎥---⎣⎦, 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号．故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. 故答案为：1.（3）2222(21)(22)3(1)2(1)3111x x x x x x y x x x +-++-+-+-+===--- 3122321x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即31x =时，等号成立. 故答案为：232.5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________. 【答案】13230+3013【解析】因为正实数a 、b 满足131a b+=，则03ba b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()()33515152223132231313230333b b b b b b b -+=++=-++≥-⋅=+---当且仅当630b +=.因此，()()12a b ++的最小值是13230+故答案为：1330+ 考点二 三个一元二次的关系【例2-1】（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是（ ） A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭ B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭ D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选：B【例2-2】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤； 当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<； 故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C【例2-3】（2022·江西宜春）已知:4p m <-，q ：方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，当且仅当2160m ∆=->，解得4m <-或4m >， 显然，p q ⇒，q p ，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（ ）A ．()()12-∞⋃+∞，， B ．()12， C ．()()21-∞-⋃+∞，， D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,∞∞--⋃+则（ ）A ．0a <B ．不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <C ．420a b c ++<D ．不等式20cx bx a -+≥的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,∞∞--⋃+ 所以0a >，2,3-是方程20ax bx c ++=，所以A 错误，2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则6b a c a =-⎧⎨=-⎩，对于B ，由0bx c ->，得60ax a -+>，因为0a >，所以6x <，所以不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <，所以B 正确，对于C ，因为0a >，6b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以4242()(6)40a b c a a a a ++=+-+-=-<，所以C 正确，对于D ，不等式20cx bx a -+≥可化为260ax ax a -++≥，因为0a >，所以2610x x --≤，解得1132x -≤≤，所以原不等式的解集为11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以D 错误，故选：BC30（2022广东）在∵A B A ⋃=，∵A B ⋂≠∅，∵B A ⊆R这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()2ax am b x bm -++<的解集为B (其中m ∈R ). (1)求a ，b 的值； (2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得_______.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). 【答案】(1)1、2；(2)当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =； (3)若选∵：2m ≥；若选∵：1m <或2m >；若选∵：12m ≤≤.【解析】(1)由一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，得0a >，且方程2320ax x -+=的两根为1、b ，∵0,31,21,a b a b a⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由(1)可知()20ax am b x bm -++<即为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<．m ＜2时，2m x <<； m ＝2时，不等式无解； m ＞2时，2x m <<．综上，当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =． (3)由(1)知{1A x x =<或}2x >， 若选①：A B A ⋃=，则B A ⊆， 当2m <时，(),2B m =，不满足； 当2m =时，B =∅，满足； 当2m >时，()2,B m =，满足； ∵选①，则实数m 的取值范围是2m ≥； 若选②：A B ⋂≠∅，当2m <时，(),2B m =，则1m <； 当2m =时，B =∅，不满足； 当2m >时，()2,B m =，满足；∵选②，则实数m 的取值范围是1m <或2m >； 若选③：B A ⊆R，A R[]1,2=，当2m <时，(),2B m =，则m ≥1，∵12m ≤<； 当2m =时，B =∅，满足; 当2m >时，()2,B m =，不满足． ∵选③，则实数m 的取值范围是12m ≤≤.考点三 恒成立或存在问题【例3-1】（2022·全国·专题练习）若命题“0x ∃∈R ，20020x x m -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】(),1-∞【解析】由题意可知，不等式220x x m -+<在R 上有解，∵440,1m m ∆=-><，∵实数m 的取值范围为(),1-∞，故答案为：(),1-∞【例3-2】（2022·全国·专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >． x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【一隅三反】1．（2022·江西吉安）若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ． 2．（2022·全国·专题练习）已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞【答案】A【解析】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤，综上所述，k 的取值范围是[]0,1，故选：A.3．（2021·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C 4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）命题“存在[]01,2x ∈-，20020x x a -->”为假命题，则实数a的取值范围是___________. 【答案】[)3,+∞【解析】由于“存在[]01,2x ∈-，20020x x a -->”为假命题，所以“[]21,2,20x x x a ∀∈---≤”，为真命题，所以22a x x ≥-在区间[]1,2-上恒成立，在区间[]1,2-上，当1x =-时，22x x -取得最大值为()()21213--⨯-=，所以3a ≥.故答案为：[)3,+∞5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【解析】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-6．（2021·全国·高一专题练习）若不等式210ax x ++>在[]1,2x ∈时有解，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(2,)-+∞【解析】由210ax x ++>，得21ax x >--，因为[]1,2x ∈，所以211a x x >--有解，令2211111()24f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，则()f x 在[1,2]上单调递增，所以min ()(1)2f x f ==-，所以2a >-，故答案为：(2,)-+∞7（2022·江苏）已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]1,4-【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，()22424y x x x =-+=--+的最大值为4 所以234a a -≤，解得14a -≤≤故答案为：[]1,4-考点四 含参一元二次不等式解法【例4-1】（2022·四川）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线，对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.【例4-2】（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2325ax x ax -+>- (1)若不等式的解集为3{|1}2x x -<<-，则实数a 的值；(2)若R a ∈，求不等式的解集． 【答案】(1)2-；(2)答案见解析.【解析】(1)不等式22325(3)30ax x ax ax a x -+>-⇔+-->，依题意，3,12--是方程2(3)30ax a x +--=的二根，且0a <，因此，33(1)233(1)2a a a -⎧-+-=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得2a =-，所以实数a 的值是2-.(2)由（1）知，2(3)30(3)(1)0ax a x ax x +-->⇔-+>， 当0a =时，解得1x <-，当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a -+>，解得1x <-或3x a>，当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a-+<， 当30a -<<时，有31a <-，解得31x a<<-， 当3a =-时，有31a=-，不等式无解， 当3a <-时，有31a >-，解得31x a-<<， 所以当0a =时，原不等式解集为(,1)-∞-，当0a >时，原不等式解集为3(,1)(,)a-∞-⋃+∞，当30a -<<时，原不等式解集为3(,1)a -，当3a =-时，原不等式解集为∅，当3a <-时，原不等式解集为3(1,)a-.【一隅三反】．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式：（1）()22120ax a x +--<；（2）2(1)10ax a x -++>；（3）222ax x ax -≥-；（4）()210x x a a --->；（5）220ax x a -+<；（6）()()2220mx m x m R +-->∈；（7）ax 2-2（a +1）x +4>0. 【答案】答案见解析【解析】（1）2(21)20ax a x +--<当0a =时，不等式为20x --<，解集为(2,)-+∞；0a ≠时，不等式分解因式可得(1)(2)0ax x -+<当0a >时，故1()(2)0x x a -+<，此时解集为1(2,)a-；当12a =-时，1(1)(2)02x x --+<，故此时解集为{}||2x x x ≠-；当12a <-时，(1)(2)0ax x -+<可化为1()(2)0x x a -+>，又12a >-解集为1(,2)(,)a-∞-⋃+∞；当102a -<<时，(1)(2)0ax x -+<可化为1()(2)0x x a -+>，又12a <-解集为1(,)(2,)a-∞⋃-+∞.综上有，0a =时，解集为(2,)-+∞； 0a >时，解集为1(2,)a -；12a =-时，解集为{}||2x x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-⋃+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞⋃-+∞ （2）把2(1)10ax a x -++>化简得(1)(1)0x ax -->， ∵当0a =时，不等式的解为{}|1x x < ∵当11a>，即10a a -<，得01a <<，此时，不等式的解为1{|x x a>或1}x < ∵当11a<，即10a a ->，得1a >或0a <，a当0a <时，不等式的解为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，∵当11a=，得1a =，此时，2(1)0x ->，解得{|x x R ∈且1}x ≠， 综上所述，当0a <时，不等式的解为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a =时，不等式的解为{}|1x x <， 当01a <<时，不等式的解为1{|x x a>或1}x <， 当1a =时，不等式的解为{|x x R ∈且1}x ≠， 当1a >时，不等式的解为{1|x x a<或1}x >， （3）222ax x ax -≥-， 2(2)20ax a x +--≥，∵0a =时，220x --≥，可得{}|1x x ≤-； ∵0a ≠时，可得2()(1)0a x x a-+≥若0a >，解可得，{2|x x a≥或}1x ≤-； 若0a <，则可得2()(1)0x x a-+≤，()i 当21a >-即2a <-时，解集为[1-，2]a ； ()ii 当21a <-即20a -<<时，解集为[2a，]1-； ()iii 当21a=-即2a =-时，解集为{}1-. （4）不等式2(1)0x x a a --->可化为[]()(1)0x a x a --->. ∵当12a >时，1a a ，解集为{|x x a >，或1}x a <-； ∵当12a =时，1a a ，解集为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； ∵当12a <时，1a a <-，解集为{|x x a <，或1}x a >-. 综上所述， 当12a >时，原不等式的解集为{|x x a >，或1}x a <-；22⎩⎭当12a <时，原不等式的解集为{|x x a <，或1}x a >-. （5）当0a =时，不等式即20x -<，解得0x >. 当0a ≠时，对于方程220ax a -+=，244a ∆=- 令∆<0，解得1a >或1a <-； 令0∆=，解得1a =或1-；令0∆>，解得01a <<或10a -<<，方程220ax x a -+=211a±-. 综上可得，当1a ≥时，不等式的解集为∅；当01a <<时，不等式的解集为221111|a a x x ⎧--+-⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； 当0a =时，不等式的解集为{}|0x x >； 当10a -<<时，不等式的解集211{|a x x +-<211}a x -->； 当1a =-时，不等式的解集为{}|1x x ≠-； 当1a <-时，不等式的解集为R .（6）原不等式可变形为(2)(1)0mx x -+>.∵当0m =时，则有2(1)0x -+>，即10x +<，解得1x <-； ∵当0m >时，21m>-，解原不等式得1x <-或2x m >；∵当0m <时，20m<. （i ）当21m=-时，即当2m =-时，原不等式即为22(1)0x -+>，该不等式无解； （ii ）当21m<-时，即当20m -<<时，解原不等式得21x m <<-；（iii ）当21m>-时，即当2m <-时，解原不等式可得21x m -<<.综上所述：∵当2m <-时，原不等式的解集为2(1,)m-； ∵当2m =-时，原不等式的解集为∅； ∵当20m -<<时，原不等式的解集为2(,1)m-； ∵当0m =时，原不等式的解集为(,1)-∞-；∵当0m >时，原不等式的解集为2(,1)(,)m-∞-⋃+∞. （7）（1）当a =0时，原不等式可化为-2x +4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}. （2）当a >0时，原不等式可化为(2)(2)0ax x -->，对应方程的两个根为x 1=2a ，x 2=2.∵当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为{2|x x a >或2}x <；∵当a =1时，2a =2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；∵当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为2{|x x a <或2}x >.（3）当a <0时，原不等式可化为(2)(2)0ax x -+-<，对应方程的两个根为x 1=2a，x 2=2，则2a <2，所以原不等式的解集为2|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 综上，a <0时，原不等式的解集为2|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；a =0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 0<a ≤1时，原不等式的解集为{2|x x a>或2}x <； 当a >1时，原不等式的解集为2{|x x a<或2}x >.。
第21章《一元二次方程》章节总复习(学生版)
2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练第21章《一元二次方程》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）导图指引 (2)新知精讲梳理 (2)高频易错知识点拨 (4)考点讲练1：一元二次方程的定义 (5)考点讲练2：一元二次方程的一般形式 (6)考点讲练3：一元二次方程的解 (7)考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 (7)考点讲练5：解一元二次方程-配方法 (8)考点讲练6：解一元二次方程-公式法 (9)考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 (9)考点讲练8：换元法解一元二次方程 (10)考点讲练9：根的判别式 (11)考点讲练10：根与系数的关系考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 (13)考点讲练12：一元二次方程的应用 (14)考点讲练13：配方法的应用 (15)中等题真题汇编练 (17)培优题真题汇编练 (19)导图指引新知精讲梳理知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只，并且未知数的的，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使叫做一元二次方程的解，也叫做细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是，否则一定一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的，看是否具备另两个条件：①一个；②未知数的最高次数为对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想降次一元二次方程−−−→2．基本解法细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是审题；二是把握问题中的三是的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清等)；设(设，有时会用)；列(根据题目中的，)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为，然后由数学问题的解决而获得对的解决.高频易错知识点拨易错知识点01：一元二次方程的定义与识别定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。
九年级数学上册第21章《第二十一章章末复习》名师教案(人教版)
第21章一元二次方程章末回顾一.本章思维导图.二.典型例题.例1.用适当方法解下列一元二次方程.1.（2x＋1）2=2x＋1．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：∵（2x＋1）2－（2x＋1）=0，∴（2x＋1）（2x＋1－1）=0，即2x（2x＋1）=0，则x=0或2x＋1=0，解得：x1=0或x2=12 -．【思路点拨】因式分解法求解可得．【答案】x1=0或x2=12 -．2. x2－4x＋1=0【知识点】解一元二次方程－配方法. 【解题过程】解：∵x2－4x＋1=0，∴x2－4x=－1，∴x 2－4x ＋4=4－1，⇒（x －2）2=3，⇒2x -=∴2x =±解得122x x ==【思路点拨】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【答案】122x x ==3. 4x 2－3=12x【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：原方程整理为：4x 2－12x －3=0，∵a=4，b=－12，c=－3，∴∆=144－4×4×（－3）=192＞0，则x=123=82±±． 【思路点拨】利用公式法求解可得．【答案】32x ±= 4. x 2＋x －2=0．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：分解因式得：（x －1）（x ＋2）=0，可得x －1=0或x ＋2=0，解得：x 1=1，x 2=－2．【思路点拨】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】x 1=1，x 2=－2．例2.关于x 的一元二次方程（a ＋c ）x 2＋2bx ＋（a －c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【知识点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理.【解题过程】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2－4（a＋c）（a－c）=0，∴4b2－4a2＋4c2=0，∴a2=b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵当△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∵（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0，∴2ax2＋2ax=0，∴x1=0，x2=－1．【思路点拨】（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（2）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）x1=0，x2=－1．例3. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日猪肉总销量为1，则5月21日两种猪肉的总销量为1+a%.根据题意得：40（1﹣a%）×34（1+a%）+40×14（1+a%）=40（1+110a%）， 令a%=y ，原方程化为：40（1﹣y ）×34（1+y ）+40×14（1+y ）=40（1+110y ）， 整理得：5y 2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；【思路点拨】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【答案】（1）25元；（2）20.章末检测题一．选择题1．有下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c=0，②3x （x －4）=0，③x 2＋y －3=0，④21x ＋x=2，⑤x 3－3x ＋8=0，⑥12x 2－5x ＋7=0，⑦（x －2）（x ＋5）=x 2－1．其中是一元二次方程的有（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5 【知识点】一元二次方程的定义.【解题过程】解：一元二次方程有②⑥，共2个，【思路点拨】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【答案】A ．2．若m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，则2014－m 2＋5m 的值是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，∴m 2－5m=2，∴2014－m 2＋5m=2014－（m 2－5m ）=2014－2=2012．【思路点拨】把m 代入方程得出m 2－5m=2，再代入到2014－m 2＋5m 即可求解．【答案】B ．3．一元二次方程4x2－2x＋14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【知识点】根的判别式.【解题过程】解：在方程4x2－2x＋14=0中，∆=（－2）2－4×4×14=0，∴一元二次方程4x2－2x＋14=0有两个相等的实数根．【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∆=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【答案】B．4．一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为（）A．（x－3）2=15 B．（x－3）2=3 C．（x＋3）2=15 D．（x＋3）2=3【知识点】解一元二次方程－配方法.【解题过程】解：方程整理得：x2－6x=6，配方得：x2－6x＋9=15，即（x－3）2=15，【思路点拨】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【答案】A.5．已知x=2是关于x的方程x2－（m＋4）x＋4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【知识点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.【解题过程】解：把x=2代入方程x2－（m＋4）x＋4m=0得4－2（m＋4）＋4m=0，解得m=2，方程化为x2－6x＋8=0，解得x1=4，x2=2，因为2＋2=4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．【思路点拨】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2－（m＋4）x＋4m=0得m=2，则方程化为x2－6x＋8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．【答案】C．6. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．【思路点拨】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x ﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．【答案】C．7.如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x+y=7 B．x﹣y=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故x+y=7正确；B、因为矩形长和宽的差为中间小正方形的边长，即x﹣y=2，故B选项是正确的；C、x2+y2=（x+y）2﹣2xy=49﹣2×454=532，故x2+y2=25是错误的；D、由B可知4xy+4=49．故选C．【思路点拨】本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．【答案】C8．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1＋x）=16.8 B．16.8（1－x）=10.8C．10.8（1＋x）2=16.8 D．10.8[（1＋x）＋（1＋x）2]=16.8【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8（1＋x）2=16.8，【思路点拨】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1＋增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．【答案】C．9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（）A．12步B．24步C．36步D．48步【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60－x）步，根据题意得：x（60－x）=864，整理得：x2－60x＋864=0，解得：x=36或x=24（舍去），∴x－（60－x）=12．【思路点拨】设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60－x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x－（60－x）中，即可求出结论．【答案】A．10．若关于x的方程kx2－3x－94=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥－1且k≠0C．k≥－1 D．k＞－1【知识点】根的判别式.【解题过程】解：当k=0时，方程化为－3x－94=0，解得x=34；当k≠0时，Δ=（－3）2－4k•（－94）≥0，解得k≥－1，所以k的范围为k≥－1．【思路点拨】讨论：当k=0时，方程化为－3x－94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（－3）2－4k•（－94）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【答案】C．11．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，则a－b的值为（）. A．3 B.1 C .－1 D.2【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，∴b2－ab＋b=0，∵－b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b－a＋1=0，∴a－b=1．【思路点拨】由于关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么代入方程中即可得到b2－ab＋b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【答案】B．12.若方程x2－4x＋1=0的两根是x1，x2，则x1（1＋x2）＋x2的值为（）．A．4 B.5 C .6 D.7【知识点】根与系数的关系.【解题过程】解：根据题意得x1＋x2=4，x1x2=1，所以x1（1＋x2）＋x2=x1＋x1x2＋x2=x1＋x2＋x1x2=4＋1=5．【思路点拨】先根据根与系数的关系得到x1＋x2=4，x1x2=1，然后把x1（1＋x2）＋x2展开得到x1＋x2＋x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．【答案】B．二．填空题13．一元二次方程－12x2＋4x=3的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为．【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】解：－12x2＋4x=3，－12x2＋4x－3=0，∵二次项系数是-12，一次项系数是4，常数项是-3，∴-12×4×（－3）=6，【思路点拨】移项，化成一元二次方程的一般形式，找出各个项系数，即可得出答案．【答案】6．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20－20×2x－30x＋2x•x=532，整理，得：x2－35x＋34=0．【思路点拨】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【答案】x2－35x＋34=0．15．若方程3x2－5x－2=0有一根是a，则6a2－10a=．【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：由题意，把是a的根代入3x2－5x－2=0，得：3a2－5a=2，∴2×（3a2－5a）=2×2，∴6a2－10a=4．【思路点拨】将a代入方程3x2－5x－2=0，得到3a2－5a=2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．【答案】4.16．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－x＋8=0，则△ABC的周长是．【知识点】根的判别式；解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系.【解题过程】解：根据题意得k≥0且（）2－4×8≥0，解得k≥329，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．【思路点拨】根据题意得k≥0且（）2－4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【答案】6或12或10．17．现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2－3a＋b，若x☆2=6，则实数x的值是．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：x☆2=6，x 2－3x ＋2=6，x 2－3x －4=0，（x －4）（x ＋1）=0，x －4=0，x ＋1=0，x 1=4，x 2=－1，【思路点拨】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【答案】4或－1．18．已知x=2b -+（b 2－4c ＞0），则x 2＋bx ＋c 的值为 ． 【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：∵b 2－4c ＞0）， ∴x 2＋bx ＋c=2＋b ＋c=22244b b c --＋22b -+ c=222242244b bc b c ---+ =0．【思路点拨】把x 的值代入代数式，再进行计算即可．【答案】0．三．解答题19.解下列方程：（1）（2x －1）2=25．【知识点】解一元二次方程－直接开平方法.【解题过程】解：（2x －1）2=25开方得：2x －1=5或2x －1=－5，解得：x 1=3或x 2=－2．【思路点拨】方程利用平方根定义开方即可求出解．【答案】x 1=3或x 2=－2．（2）2x 2－x=1【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】2x 2－x －1=0，（2x ＋1）（x －1）=0，2x ＋1=0或x －1=0，所以x 1=－12，x 2=1； 【思路点拨】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；【答案】x 1=－12，x 2=1. （3）x 2＋4x ＋2=0．【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】∆=42－4×2=8，x=42-±=－，所以x 1=－2，x 2=－2．【思路点拨】利用求根公式法解方程．【答案】x 1=－2，x 2=－2．20.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm ，面积为24cm 2，求它的两条直角边的长．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设十位数字为x ，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x 2+（x+2）2]=20，化简为27x 2-21x ﹣66=0；（2）设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边为（14﹣x ），根据题意得：12x （14﹣x ）=24，整理得：x2﹣14x+48=0．【思路点拨】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；（2）设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．【答案】（1）27x2-21x﹣66=0；（2）x2﹣14x+48=0．21. 如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：所以通道的宽为5米．【思路点拨】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可；【答案】（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）通道的宽为5米．22.为创建和谐社会，大力发展民生工程，其中一项就是拓展市民视野，增加农民生活科技含量．为此市财政部门于2012年投资160万创建社区书屋和农村阅读室，并计划2014年投资360万元．若每年投资增长率不变，那么年投资增长率应为多少？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设年投资增长率为x，由题意得：160×（1+x）2=360，解得：x1==50%，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．【思路点拨】首先设年投资增长率为x，2012年的投资×（1+增长率）2=2014年投资，把相关数值代入求解即可．【答案】年投资增长率为50%．23. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，60007500300x x=+，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+180050x-）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【思路点拨】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【答案】（1）1500元，1200元；（2）1600元.24.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【知识点】根的判别式.【解题过程】解：（1）根据题意得m－2≠0且△=4m2－4（m－2）（m＋3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2＋10x＋8=0，∴（3x＋4）（x＋2）=0，∴x1=－43，x2=－2．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m－2≠0且△=4m2－4（m－2）（m＋3）＞0，然后解不等式即可；（2）根据（1）的结论得到m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2＋10x＋8=0，然后利用因式分解法解方程．【答案】（1）m＜6且m≠2；（2）x1=－43，x2=－2．25. 某校初2018届学生会进行了爱心义卖活动，准备将义卖获得的利润全部用于易书吧购买图书，免费借阅给全校学生，首次购进的义卖商品单价为25元，共卖出120件，第二次购进的义卖商品的单价是20元，共卖出150件．已知首次义卖的每件售价比第二次多20元，但第二次比第一次少获得600元．（1）求第二次义卖的商品每件售价是多少元？（2）为了让全校更多同学借阅到图书，初2018届学生会决定再进行一次义卖活动，此次义卖购进的商品单价为15元，每件售价比第二次上调了a%，则卖出的件数比第二次减少2a%，若第三次获利4500元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设第二次义卖的商品每件售价为x元，则第一次义卖的商品每件售价为（x+20）元，根据题意得：120（x+20﹣25）=150（x﹣20）+600，解得：x=60．答：第二次义卖的商品每件售价是60元．（2）第三次义卖的商品每件售价为60（1+a%）元，售出的件数为150（1-2a%），根据题意得：150（1﹣2a%）[60（1+a%）﹣15]=4500，解得：a=25或a=﹣50（舍去）．答：a的值为25．【思路点拨】（1）设第二次义卖的商品每件售价为x元，则第一次义卖的商品每件售价为（x+20）元，根据总利润=单件利润×销售数量结合第二次比第一次少获得600元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）第三次义卖的商品每件售价为60（1+a%）元，售出的件数为150（1+2a%），根据总利润=单件利润×销售数量即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【答案】（1）60元；（2）25.26. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1211，x2=211（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=421﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=21﹣1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x211．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，解得x1=﹣10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x﹣x=x2﹣3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【思路点拨】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．（3）如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【答案】（11；（2）x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）不能.。
完整版一元二次方程归纳总结
( )2x i X2•元二次方程归纳总结注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。
备注：公式法解方程的步骤：③代公式：X,,2 —一b一4ac(要注意符号) 3、一元二次方程的根与系数的关系2法1 :一元二次方程ax bX c 0 (aX i b 后4ac----------- ,X22a所以：X i X22ab 4ac2a b 4ac b2ab 4b4ac b J b2 4ac ( b)22a (2a)2 2a 4ac 4a221、一元二次方程的一般式：ax bX c0 (a 0)，a为二次项系数，b为一次项系数, c为常数项。
2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法2①Xa(a 0) 解为：X②(X a)2b(b 0) 解为：X a③(ax b)2c(c 0) 解为：ax b④(ax b)2(cx 2d) (a c) 解为: ax b(cxd)(3)公式法: 一元二次方程2ax2 bX c 0 (a 0)，用配方法将其变形为: (X2a)2b2 4ac4a2①当4ac②当b24ac③当b24ac 0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:0时，右端是负数.因此，方程没有实根。
X l,2v b4ac2a2a①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式:2ax bx c 0 ( a 0)，并确定出a、b、②求出2b 4ac，并判断方程解的情况。
2a0)的两个根为:(也可以使用因式分解法)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法24、应用题定理：如果一元二次方程 axbx c 0 (a 0)定的两个根为X 1, X 2，那么:法2:如果一元二次方程 2 ax X i bx 2ax bx c 0 a(x X i )(X X 2 X 2 法3: 如果一元二次方程 ax 2 bcX 2 -, X 1X 2 -a a c 0 (a 0)定的两个根为X i ,X 2；那么 X 2) 0 两边同时除于a ，展开后可得: (X i X 2)X X i gX 2 0 X 1 X 2bc -；X 1 ?X 2a bX 0(a 0)定的两个根为 X 1,X 2 ;那么 ax-,2bx 1 c ax 22bx 2 c 0L 常用变形: 2X 1 2 X 2 (X 1 0L |X 1 X 2 | ②得：X , x 2 (余下略) X 2)2 2X I X 2， X2(X1X 2)2 (X 1 X 2)2 4X 1X 2，X i X 2 XX 2A /C X X 2p 4X 1X 2，2X 1X 2X 12X 2 x 1 x 2(x 1X 2)，X 2 X 1 X 1X 2 2 2/ \2X 1 X 2 (X 1 X 2)4X 1X 2 练习: 【练习 11 2(1) X 1 【练习21X 1X 2 X 1X 2 若X 1, X 2是方程X 2 2X 2；1⑵—X 1 已知关于X 的方程x2x X 22(k20071)X 0的两个根，试求下列各式的值: (X 1 5)(X 25)；⑷|X 1^k 21 0，根据下列条件，分别求出 k 的值.4(1)方程两实根的积为5 ；(2)方程的两实根X 1, X 2满足| X 1|X 2.2【练习31已知X 1, X 2是一元二次方程4kx 4kx k0的两个实数根.(1)是否存在实数k ，使(2为 x 2)(x-i 2X 2 )成立？若存在，求出 k 的值；若不存在,请您说明理由.(2)求使 生 生 2的值为整数的实数 k 的整数值.X 2 X 1(1)平均增长率的问题：a(1 x)nb 其中：a 为基数,X 为增长率，n 表示连续增长的次数,b 表示增长后的数量。
人教版初中九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．用配方法解方程x 2﹣6x ﹣3＝0，此方程可变形为（ ）A ．（x ﹣3）2＝3B ．（x ﹣3）2＝6C ．（x+3）2＝12D ．（x ﹣3）2＝12D解析：D【分析】先移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可得新答案．【详解】由原方程移项得：x 2﹣6x ＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：x 2﹣6x+9＝12，配方得；（x ﹣3）2＝12．故选：D ．【点睛】此题主要考查配方法的运用，配方法的一般步骤为：移项、二次项系数化为1、两边同时加上一次项系数一半的平方、配方完成；熟练掌握配方法的步骤并熟记完全平方公式是解题关键．2．已知三角形的两边长分别为4和6，第三边是方程217700x x -+=的根，则此三角形的周长是（ ）A ．10B ．17C ．20D ．17或20B 解析：B【分析】根据第三边是方程x 2﹣17x +70＝0的根，首先求出方程的根，再利用三角形三边关系求出即可．【详解】解：∵217700x x -+=，∴(10)(7)0x x --=，∴110x =，27x =，∵4610+=，无法构成三角形，∴此三角形的周长是：46717++=．故选B ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，正确利用因式分解法解一元二次方程可以大大降低计算量．3．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）A ．5000（1+x ）＝6050B ．5000（1+2x ）＝6050C．5000（1﹣x）2＝6050 D．5000（1+x）2＝6050D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．【详解】解：设每天的增长率为x，依题意，得：5000（1+x）2＝6050．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1场，共比赛10场，则参加此次比赛的球队数是（）A．4 B．5 C．6 D．7B解析：B【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x队，根据题意得：1x（x-1）=10，2化简，得x2-x-20=0，解得x1=5，x2=-4（舍去），∴参加此次比赛的球队数是5队．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．5．若关于x的一元二次方程260-+=有两个相等的实数根，则常数c的值为（）x x cA．3B．6C．8D．9D解析：D【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程，解方程即可得出结论．【详解】解：260x x c -+=有两个相等的实根，2(6)40c ∴∆=--=，解得：9c =故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键．6．一元二次方程20x x -=的根是（ ）A ．10x =，21x =B ．11x =，21x =-C ．10x =，21x =-D ．121x x ==A 解析：A【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：∵x 2-x=0，∴x （x-1）=0，则x=0或x-1=0，解得：x 1=0，x 2=1，故选：A ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 7．方程23x x =的解为（ ）A ．3x =B ．3x =-C ．10x =，23x =D ．10x =，23x =-C解析：C【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】解：方程变形得：x 2-3x=0，分解因式得：x （x-3）=0，可得x=0或x-3=0，解得：x 1=3，x 2=0．故选：C ．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．【详解】解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．∵k 2≥0，∴k 2+8＞0，即△＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．9．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定B解析：B【分析】 根据方程的系数结合根的判别式，可得出△21432k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭＞0，由此即可得出：无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【详解】在方程()21210--+=k x kx 中， ∵1a k =-，2b k =-，1c =，∴()()224241b ac k k =-=--- 214302k ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ∴无论k （k≠1）为何值，该方程总有两个不相等的实数根．故选：B ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”．10．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．x 2＝0B ．x ﹣3＝0C ．x 2﹣5＝0D ．x 2+2＝0C 解析：C【分析】利用直接开平方法分别求解可得．【详解】解：A ．由x 2＝0得x 1＝x 2＝0，不符合题意；B ．由x ﹣3＝0得x ＝3，不符合题意；C ．由x 2﹣5＝0得x 1=x 2=，符合题意； D ．x 2+2＝0无实数根，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 二、填空题11．当a =______，b =_______时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值，这个最小值是_____．4315【分析】利用配方法将多项式转化为然后利用非负数的性质进行解答【详解】解：===∴当a=4b=3时多项式有最小值15故答案为：4315【点睛】此题考查了配方法的应用以及非负数的性质熟练掌握完全解析：4 3 15【分析】利用配方法将多项式22222425a ab b a b -+--+转化为22(1)(3)15a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：22222425a ab b a b -+--+=22222691152b a a b b b a b --+-+++++=2222(1)(1)(3)15a a b b b -++-+++=22(1)(3)15a b b --+-+∴当a=4，b=3时，多项式22222425a ab b a b -+--+有最小值15．故答案为：4，3，15．【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．若关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，则k =______．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为：4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解解析：4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x k ++=有两个相等的实数根，∴224440b ac k ∆=-=-=，解得：4k =；故答案为：4．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．已知0x =是关于x 的一元二次方程()()22213340m x m x m m -+++-=的一个根，则m =__________．-4【分析】根据方程根的定义把代入原方程求出m 的值【详解】解：将代入原方程得解得∵该方程是一元二次方程∴即∴故答案是：【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程需要注意一元二次方程的二次项解析：-4【分析】根据方程根的定义，把0x =代入原方程，求出m 的值．【详解】解：将0x =代入原方程，得2340m m +-=，解得14m =-，21m =，∵该方程是一元二次方程，∴10m -≠，即1m ≠，∴4m =-．故答案是：4-．【点睛】本题考查一元二次方程根的定义和解一元二次方程，需要注意一元二次方程的二次项系数不能为0．14．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为________．-1【分析】根据方程的根的判别式得出m 的取值范围然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1）α•β=m2-m 结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的解析：-1【分析】根据方程的根的判别式，得出m 的取值范围，然后根据根与系数的关系可得α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，结合α2+β2=12即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根，∴△=[2（m-1）]2-4×1×（m 2-m ）=-4m+4≥0，解得：m≤1．∵关于x 的方程x 2+2（m-1）x+m 2-m=0有两个实数根α，β，∴α+β=-2（m-1），α•β=m 2-m ，∴α2+β2=（α+β）2-2α•β=[-2（m-1）]2-2（m 2-m ）=12，即m 2-3m-4=0，解得：m=-1或m=4（舍去）．故答案为：-1．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系得出关于m 的一元二次方程．15．一元二次方程()422x x x +=+的解为__．【分析】利用因式分解法解一元二次方程提取公因式【详解】解：故答案是：【点睛】本题考查解一元二次方程解题的关键是掌握一元二次方程的解法 解析：114x =，22x =- 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式()2x +．【详解】解：()422x x x +=+ ()()4220x x x +-+=()()4120x x -+=114x =，22x =-． 故答案是：114x =，22x =-． 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法．16．已知关于x 的方程2x m =有两个相等的实数根，则m =________．0【分析】先将方程化成一般式然后再运用根的判别式求解即可【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根∴关于的方程有两个相等的实数根∴△=02-4m=0解得m=0故答案为0【点睛】本题主要考查了一元二次解析：0【分析】先将方程化成一般式，然后再运用根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x的方程2x m=有两个相等的实数根，∴关于x的方程20x m-=有两个相等的实数根，∴△=02-4m=0，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解答本题的关键．17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，共有________个队参加比赛．10【分析】设共有x个队参加比赛根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x的一元二次方程解之即可得出结论【详解】解：设共有x个队参加比赛根据题意得：2×x（x-1）=90整理得：x2解析：10．【分析】设共有x个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设共有x个队参加比赛，根据题意得：2×12x（x-1）=90，整理得：x2-x-90=0，解得：x=10或x=-9（舍去）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了90场列出关于x的一元二次方程是解题的关键．18．北京奥运会的主会场“鸟巢”让人记忆深刻．在鸟巢设计的最后阶段，经过了两次优化，鸟巢的结构用钢量从5.4万吨减少到4.2万吨．若设平均每次用钢量降低的百分率为x，根据题意，可得方程_______54（1-x）2=42【分析】根据题意经过两次的钢量减少最后的结果应该是原来的（1-x）2倍列出方程即可【详解】解：根据题意有：54（1-x）2=42故答案为：54（1-x）2=42【点睛】本题考查解析：5.4（1-x）2=4.2【分析】根据题意，经过两次的钢量减少，最后的结果应该是原来的（1-x）2倍，列出方程即可．【详解】解：根据题意有：5.4（1-x）2=4.2故答案为：5.4（1-x）2=4.2【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，属于基础题．19．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛(即每两个队之间比赛一场)一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜__场11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x+1）支队伍参加比赛根据一共比赛66场即可得出关于x 的一元二次方程解之取其正值即可得出结论【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场则共有（x解析：11【分析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，根据一共比赛66场，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x 场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x(x+1)=66， 整理，得：x 2+x-132=0，解得：x 1=11，x 2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．故答案为11．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 20．已知a 、b 、c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++=_______．3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项可以通过配方法得到三个平方数的和为0然后根据非负数的性质可以得到abc 的值从而求得a+b+c 的值【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：即∴∴a=解析：3【分析】题中三个等式左右两边分别相加后再移项，可以通过配方法得到三个平方数的和为0.然后根据非负数的性质可以得到a 、b 、c 的值，从而求得a+b+c 的值．【详解】解：题中三个等式左右两边分别相加可得：2222267117a b b c c a ++-+-=--，即222226110a b b c c a ++-+-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴a=3,b=-1,c=1，∴a+b+c=3-1+1=3，故答案为3．【点睛】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题关键．三、解答题21．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC Scm =？（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？解析：（1）2或4；（2）2；（3）1082-+【分析】本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．【详解】（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC Scm =， 由题意得：()16282x x -⋅= ∴2680x x -+=，解得：12x =，24x =．经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC Scm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得：()()162242t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，解得：124t t ==．因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()2226282x x x -+=-，解得：110x =-+210x =--答：经过10-+PQ ＝BQ ．【点睛】此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．22．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？解析：（1）口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）预计4月份平均日产量为39930个．【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为36300个，即可预计4月份平均日产量．【详解】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x ，根据题意，得30000（1＋x ）2＝36300，解得x 1＝−2.1（舍去），x 2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%；（2）36300（1＋10%）＝39930（个）．答：预计4月份平均日产量为39930个．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题应用题的等量关系． 23．5月10日，重庆正式启动“加快发展直播带货行动计划”，以推动直播带货和“网红经济”发展，已知云阳桃片糕每盒12元，仙女山红茶每盒50元，第一次直播期间，共卖出云阳桃片糕和仙女山红茶共计2000盒．（1）若卖出桃片糕和红茶的总销售额不低于54400元，则至少卖出仙女山红茶多少盒？（2）第一次直播结束，为了回馈顾客，在第二次直播期向，桃片糕每盒降价10%3a，红茶每盒降价4a%，桃片糕数量在（1）问最多的数量下增加6a%，红茶数量在（1）问最少的数量下增加4a%，最终第二次直播总销售额比第一次直播的最低销售额54400元少80a 元，求a的值．解析：（1）至少卖出仙女山红茶800盒；（2）a的值为5．【分析】（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得关于x的不等式，求解即可；（2）根据（1）的结果得出桃片糕最多卖出的盒数，根据题意得出关于x的方程，解方程即可．【详解】解：（1）设卖出仙女山红茶x盒，则卖出桃片糕（2000-x）盒，由题意得：50x+12（2000-x）≥54400，解得：x≥800，∴x的最小值是800，∴至少卖出仙女山红茶800盒；（2）∵（1）中最少卖出仙女山红茶800盒，∴桃片糕最多卖出的盒数为：2000-800=1200（盒）．由题意得：12×（110%3a）×1200×（1+6a%）+50（1-4a%）×800×（1+4a%）=54400-80a，解得：a1=0（舍去），a2=5．∴a的值为5．【点睛】本题考查了一元一次不等式和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．24．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下面的问题：例题：说明代数式m2+2m+4的值一定是正数．解：m2+2m+4＝m2+2m+1+3＝（m+1）2+3．∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3，∴m2+2m+4的值一定是正数．（1）说明代数式﹣a2+6a﹣10的值一定是负数．（2）设正方形面积为S1，长方形的面积为S2，正方形的边长为a，如果长方形的一边长比正方形的边长少3，另一边长为4，请你比较S1与S2的大小关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）S1＞S2，见解析【分析】（1）利用配方法，将原式化成含平方代数式形式﹣（a﹣3）2﹣1，可判断其值为负数；（2）用a 分别表示出S 1与S 2，再作差比较即可．【详解】解：（1）﹣a 2+6a ﹣10＝﹣（a 2﹣6a+9）﹣1＝﹣（a ﹣3）2﹣1，∵（a ﹣3）2≥0，∴﹣（a ﹣3）2≤0，∴﹣（a ﹣3）2﹣1＜0，∴代数式﹣a 2+6a ﹣10的值一定是负数；（2）S 1＞S 2，理由是：∵S 1＝a 2，S 2＝4（a ﹣3），∴S 1﹣S 2＝a 2﹣4（a ﹣3）＝a 2﹣4a+12＝a 2﹣4a+4+8＝（a ﹣2）2+8，∵（a ﹣2）2≥0，∴（a ﹣2）2+8≥8，∴S 1﹣S 2＞0，∴S 1＞S 2．【点睛】本题主要考查配方法的应用，掌握配方法是解题的关键，注意两数比较大小时可用作差法．25．某种品牌的衬衫，进货时的单价为50元．如果按每件60元销售，可销售800件;售价每提高1元，其销售量就减少20件．若要获得12000元的利润，则每件的售价为多少元? 解析：每件的售价为70元或80元．【分析】要求衬衫的单价，就要设每件的售价为x 元，则每件衬衫的利润是（x-50）元，销售服装的件数是[800-20（x-60）]件，以此等量关系列出方程即可．【详解】解:设每件的售价为x 元，根据题意，得()()50800206012000 ,x x ⎡⎤⎣⎦---=化简整理，得215056000x x -+=()70800()x x --=1270,80x x ∴==答:每件的售价为70元或80元．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．26．回答下列问题．（1（2|1-． （3）计算：102(1)-++． （4）解方程：2(1)90x +-=．解析：（13；（21+；（3）44）12x =，24x =-． 【分析】 （1）利用用二次根式的性质化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的乘除法则以及绝对值的性质计算，再合并同类二次根式即可； （3）根据零指数幂，负整数指数幂以及完全平方公式计算，再合并同类二次根式即可； （4）移项，利用直接开平方法即可求解．【详解】（133=+3=； （2|11)=-1=12=+； （3）102(1)-++121=+-4=-（4）2(1)90x +-=，移项得：2(1)9x +=，∴13x +=或13x +=-，12x =，24x =-．【点睛】本题考查了解一元二次方程－直接开平方法，二次根式的混合运算，掌握运算法则是解答本题的关键．27．解下列方程（1）2210x x ++= （2）233x x解析：（1）121x x ==-；（2）123,4x x ==．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可得；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得．【详解】（1）2210x x ++=，2(1)0x +=，解得121x x ==-；（2）233x x ，2330x x ， 3310x x ，即()()340x x --=，30x -=或40x -=，3x =或4x =，即123,4x x ==．【点睛】本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．28．某文具商从荷花池小商品批发市场购进一批书包，每个进价50元．调查发现，当销售价为80元时，每季度可售出500个；如果售价每降低1元，那么平均每季度可多售出40个．（1）当降价2元时，平均每季度销售书包_____个．（2）某文具商要想平均每季度赢利18000元，且尽可能让利与顾客，应该如何定价？ 解析：（1）580；（2）70元．【分析】（1）根据降价后销量＝降价前销量＋增加的销量可求得结果；（2）设定价x 元，根据每季度的总利润＝每个玩具利润×降价后每天的销售数量列出方程，解方程可求得定价．【详解】（1）500240580+⨯=（个）．故答案为：580．（2）设定价x 元，根据题意得：(50)[50040(80)]18000x x -+-=，解得：1272.5,70x x ==，∵尽可能让利与顾客，70x ∴=．答：应该定价70元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目隐含的等量关系是解决问题的关键．。
第二十一章 一元二次方程(单元小结)(解析版)
(x 1 )2 13 ．④ 24
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】C
【分析】按照配方法的步骤逐步分析即可.
【详解】步骤③，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、 右两边应同时加上 1 ．
16 故选 C．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；
【注意】：1）当 n 0 时，方程无解 2）若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
求解：判断右边等式符号，开平方并求解。
【典例分析】
5．下列用配方法解方程 2x2 x 6 0 的步骤中，开始出现错误的步骤是（ ）
2x2 x 6 ，①
x2 1 x 3，② 2
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是 2 进行分析即可．
【详解】A. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误；
B. 是一元二次方程，故此选项正确；
C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误；
D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误；
故选：B.
【点睛】本题考查一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的基本性质是解题关键.
∴二次项系数是：1，一次项系数是：2，常数项是：-1， 故答案分别是：x2+2x-1=0，1，2，-1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，可以得到一元二次方程
的一般形式，然后写出二次项系数，一次项系数和常数项．
知识点 2：解一元二次方程（重点） 方法一：配方法（最基础的解法） 配方的过程需注意：若方程二次项系数为 1 时，“方程两边加一次项系数一半的平方”
1元2次方程归纳总结
1元2次方程归纳总结方程是数学中一个重要的概念，它是通过等号将已知数与未知数之间建立起来的一种等式关系。
而二次方程是一种特殊的方程，具有一元变量的二次项的方程。
在这篇文章中，我们将对一元二次方程进行归纳总结。
不局限于这两个例子，请自行找到合适的格式来书写。
一、一元二次方程的定义和形式一元二次方程是一种含有一个未知数，且该未知数的最高次数为2的方程。
它的一般形式可以表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b和c分别为常数，且a ≠ 0，x为变量。
二、一元二次方程的求解方法1. 因式分解法：当一元二次方程可以进行因式分解时，可以通过将方程分解为两个一次因式的乘积，然后令其中一个因式等于零，求解得到结果。
2. 完全平方式：当一元二次方程的二次项和常数项都是完全平方数时，可以通过将方程进行平方运算，然后求解得到结果。
3. 公式法（求根公式）：对于一般的一元二次方程，可以利用求根公式来求解。
求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示可以取正负两个值，根的个数取决于判别式b^2 - 4ac 的值。
当判别式大于零时，方程有两个不相等实根；当判别式等于零时，方程有两个相等实根；当判别式小于零时，方程没有实根，但可以得到两个共轭复根。
三、一元二次方程的特性和性质1. 判别式：一元二次方程的判别式是 b^2 - 4ac，它可以用来判断方程有几个实根，以及实根的性质。
当判别式大于零时，方程有两个不相等实根；当判别式等于零时，方程有两个相等实根；当判别式小于零时，方程没有实根，但可以得到两个共轭复根。
2. 对称性：一元二次方程的根具有对称性，即方程的两个根的和等于系数b的相反数，两个根的积等于系数c。
3. 平移性：一元二次方程经过平移后，根的位置发生变化。
平移后的方程形式为：a(x - h)^2 + k = 0其中，(h, k)为平移的坐标。
四、实际应用一元二次方程在现实生活中有广泛的应用。
章末复习(一) 一元二次方程
D．一
15．已知 x＝1 是关于 x 的方程(1－k)x2＋k2x－1＝0 的根，则常数 k 的值为________．
16．(随州中考)观察下列图形规律：当 n＝________时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
17．(毕节中考)一个容器盛满纯药液 40 L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时
中档题
13．(安顺中考)三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 x
A．14
B．12
2－12x＋35＝0 的根，则该三角形的周长为( )
C．12 或 14
D．以上都不对
14．(安顺中考)若一元二次方程 x2－2x－m＝0 无实数根，则一次函数 y＝(m＋1)x＋m－1 的图象不经过第象限
()
A．四
综合题 21．(广元中考)李明准备进行如下操作实验：把一根长 40 cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方 形．
(1)要使这两个正方形的面积和等于 58 cm2 ，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48 cm2.你认为他的说法正确吗？请说明理由．
参考答案
5．(深圳校级模拟)一元二次方程 4x2－x＝1 的解是( )
A．x＝0
B．x1＝0，x2＝4
C．x1＝0，x2＝14
1＋ 17
1－ 17
D．x1＝ 8 ，x2＝ 8
6．解下列一元二次方程：
(1)(2x＋3)2－81＝0；
(2)x2－6x－2＝0；
(3)5x(3x＋2)＝6x＋4.
知识点 3 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
容器里只剩下纯药液 10 L，则每次倒出的液体是________L. 18．(日照中考)如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式 2n2－mn＋2m＋2 015 ＝________． 19．(乌鲁木齐中考)某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：每降价 1 元，每星期 可多卖出 20 件．已知商品的进价为每件 40 元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得 6 080 元的利润，应将销售 单价定为多少元？
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本章总结提升
例 2 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3x ＋1 －m＝0， 请你 选取一个你喜爱的 m 的值，使方程有两个不相等的实数根，并 说明它的正确性．
解：由 b2－4ac＝32－4(1－m)＝ 4m＋5＞0， 5 得 m ＞－ . 4 5 所选取的 m 值只要满足 m ＞－ 即可． (具体选取及说明略) 4
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[点评] (1)公式法是解一元二次方程的一般方法， 应掌握这种解 一元二次方程的通法． (2)因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法， 要注意这两种方法适用的方程形式． (3)一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解， 若不 能用这两种方法再考虑用公式法解．
一元二次方程 ax 2＋ bx ＋c＝0(a≠ 0)根的判别式 b2－4ac 的应用： 当 b2－4ac＞0 时，原方程有两个不相等的实根； 当 b2－4ac＝0 时，原方程有两个相等的实根； 当 b2－4ac＜0 时，原方程没有实根； 当 b2－4ac≥0 时，原方程有两个实根． 以上结论，反之亦成立．
数 学
新课标（XJ） 九年级上册
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本章知识框架
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零 二
一
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两 两 没有
不相等 相等
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整合拓展创新
类型之一 一元二次方程的解法
一元二次方程的解法：因式分解法、直接开平方法、配方 法、公式法．要了解各种解法适用的方程形式，在解题前要 认真观察各方程的结构特征，进而采取恰当的方法．同时， 通过解题把握好“配方、降次”这些重要的数学思想方法．
[ 解析 ] 第一次一年到期后得本金和利息为 (2000 ＋ 2000x ) 元， 支取 1000 元后为 (2000x ＋1000)元， 第二次一年到期后得本金和利 息为(2000x ＋1000)(1＋x )元．
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解：设年利率为 x ，根据题意，得 (2000x ＋1000)(1＋x )＝1320， 1 8 解得 x 1＝ ，x 2＝－ (不合题意，舍去)， 10 5 即这种存款方式的年利率为 10% .
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类型之三
一元二次方程的应用
认真读懂题意，运用所学知识及生活经验找出题中等量关 系，并把等量关系数学符号化，建立一元二次方程模型，进而 解答题目，同时，对所求结果一定要认真检验．
例 3 某人将 2000 元人民币按一年定期储蓄存入银行 (不计算利 息税)， 到期后支取 1000 元用作购物， 剩下的 1000 元及应得利息又全 部按一年定期储蓄存入银行，若银行存款的利率不变，到期后得本金 和利息共 1320 元，求这种存款方式的年利率．
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例 1 选择适当的方法解下列方程： (1)(x －1)2＋2x (x －1)＝0； (2)9(x －3)2－4(x －2)2＝0； 1 (3)－2y2＋ 3＝ y； 2 (4)x 2－2x －9999＝0. 1 解：(1)应选用因式分解法，解得 x 1＝1，x 2＝ . 3 (2)应选用因式分解法或直接开平方法，解得 x 1＝ 5，x 2＝ －1－ 97 － 1＋ 97 ，y2＝ . 8 8 (4)应选用配方法，解得 x 1＝－99，x 2＝101. (3)应选用公式法，解得 y1＝ 13 . 5