湖南省衡阳县第一中学高三数学元月月考试题文

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2021届湖南省衡阳一中高三上学期第一次月考数学试题

2021届湖南省衡阳一中高三上学期第一次月考数学试题总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}lg 0P x x =≥，112xQ x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（）A ．{}1R Q x x =>B ．PQ φ= C ．P Q R = D ．{}1P Q x x =≥2．已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)xy a =-为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．23a ≤B ．102a <<C ．1223a <≤D ．112a << 3．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤ D ．4a ≤4．已知函数1,3()3(1),3xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()32log 2f +的值为（） A ．227-B ．154C ．227D ．-54 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油速度 6．函数ln ||()||x x f x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．7．已知1232ab -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题中，是真命题的是（）A ．已知非零向量a ，b ，若||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若:(0,)p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，001ln x x -≤C ．在ABC △中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数10．若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（）A ．1ab ≤B 2≤C ．222a b +≥ D ．112a b+≥ 11．已知函数2()log f x x =-，下列四个命题正确的是（） A ．函数(||)f x 为偶函数函数B ．()22f x x -+在(1,3)上为单调递增函数C ．若()|()|f a f b =，其中0a >，0b >，a b ≠，则1ab =D ．若01a <<，则|(1)||(1)|f a f a +<-12．在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(,)B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是（）A ．函数()y f x =是偶函数B ．函数()()g x f x =-[3,9]-上有两个零点C ．函数()y f x =在[8,6]--上单调递增D ．对任意的x R ∈，都有1(4)()f x f x +=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________．14．若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________． 15．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是________．16．已知函数{}()min 2f x x =-，其中,min{,},a a ba b b a b⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ⋅⋅的最大值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC △中，设角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =+-．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △面积的最大值．18．已知正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，236a a ⋅=，410S =，等比数列{}n b 的前n 项和21n n T =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．19．如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE △折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）（1）证明：AE PB ⊥；（2）若线段PCA PE C --的余弦值． 20．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？（保留三位小数）（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++10.7≈．21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点(0,2)C ，ABC△的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于PQ 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M ，N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．22．已知函数1()ln x f x x+'=，()1x e g x x =-．（1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值．（2）证明：当1x >时，()()f x g x <．（参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈）衡阳市第一中学2021届高三第一次月考数学参考答案选择题填空题13．(0,1) 14．(,1)-∞ 15．(4,2)- 16．1 解答题17．解：（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+--即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，由正弦定理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又∵0C π<<，∴3C π=．（2）∵22222ab a b c ab c =+-≥-，∴24ab c ≤=，当且仅当a b =时取等号，又1sin 24ABC S ab C ab ==≤△ABC △ 18．解：（1）423105S a a =⇒+=，又23262a a a ⋅=⇒=，33a =或23a =，32a =．则n a n =或5n a n =-，又数列{}n a 为正项数列，则n a n =当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=；当1n =时，111b T ==也满足上式，∴12n n b -=．（2）由题可知，n a n =，12n n n n c a b n -=⋅=⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n G ，01221122232(1)22n n n G n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 12312122232(1)22n n n G n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯111222(1)21n n n n G n n --=+++-⨯=-⨯-，故(1)21n n G n =-⨯+．19．解：（1）在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，∵AB CE ∥，AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===， ∴ADE △为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=，∴在等腰ADB △中，6ADB ABD π∠=∠= ∴2362DBC πππ∠=-=，即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥，翻折后可得：OP AE ⊥，OB AE ⊥，又∵OP ⊂平面OB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE PB ⊥；（2）由（1）知DO PO ==，连接OC 在OEC △中，由余弦定理可得OC =．在POC △中有222PC PO OC =+，可知PO OC ⊥，又PO AE ⊥，OC AE O PO =⇒⊥平面ABCE ，则以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，0,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1,0,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,022EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则1100PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴1022102x z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．设x =1y =，1z =，∴1(3,1,1)n =-，由题意得平面P AE 的一个法向量2(0,1,0)n =，设二面角A EP C --为α，1212|cos |5n n n n α⋅===．易知二面角A EP C --为钝角，所以cos α=．（射影面积法也可）20．解：（1）依题意：1234535x ++++==，810132024155y ++++==，故()()5142i i i x xy y =--=∑，()52110i i x x=-=∑，()521184i i y y=-=∑，则()()0.981niix x y y r --==≈∑故管理时间y 与土地使用面积线性相关．（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯．故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关．（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为12． 311(0)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(1)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，32313(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33311(3)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 故x 的分布列为则数学期望为()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（1）由已知，A ，B 的坐标分别是(,0)A a，(0,)B b -由于ABC △的面积为3，∴1(2)32b a +=，又由2e =得2a b =，解得：1b =，或3b =-（舍去），∴2a =，1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y ．则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+．直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+． ∴()()()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ⋅===+++++++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得()221416120k x kx +++=．由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+． ∴22222222121241412481248936391414M N k x x k k k k k k k +===-++-+++，是定值． 22．解：（1）当1x >时，21ln 1()ln x x f x x--'=，令1()ln 1F x x x =--，则211()0F x x x '=+>．因此()F x 在(1,)+∞上为增函数，又4(3)ln 303F =-<，5(4)ln 404F =->，∴0(3,4)x ∃∈使得()()000F x f x '==，即001ln 1x x =+，当01x x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0f x '>，()f x 为增函数； ∴()00min 000011()(3,4)1ln 1x x f x f x x x x ++====∈+，所以整数m 的最大值为3．（2）法一：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e-->，令21()ln xx h x x e -=-，则2321212()x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=．令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341x x e x x ϕ'=+--，()64x x e x ϕ''=+-，()6xx e ϕ'''=+∵()0x ϕ'''>，∴()x ϕ''在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ''=-，∴()0x ϕ''>， ∴()x ϕ'在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ'=-，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ=-，∴()0x ϕ>，即()0h x '>， ∴()h x 在(1,)+∞上为增函数，∴()(1)0h x h >=，故()()f x g x <．法二：放缩法．。

湖南省衡阳县第一中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题文

衡阳县一中2015年下期高三第三次月考(期中)数学试卷（文科）时量：120分钟分值：150分注意事项：将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答卷上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U 是实数集R,M ＝{x|x 2＞4},N ＝{x|x ≥3或x ＜1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( A )A.{x|－2≤x ＜1}B.{x|－2≤x ≤2}C.{x|1＜x ≤2}D.{x|x ＜2} 2.已知条件p ：|x +1|＞2，条件q ：5x ﹣6＞x 2，则￢q 是￢p 的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为( D )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 4.(1tan18)(1tan 27)++oo的值是( C)A.2B.3C.2D.55.已知3(,0),sin ,25παα∈-=-，则cos()πα-的值为( A ) A. 45- B . 54 C.53 D. －536.曲线()ln f x x x =⋅在点1x =处的切线方程为 ( C ) A. 22y x =- B. 22y x =+ C. 1y x =- D. 1y x =+7.函数()||x xa f x x =,(a>1)的图象的大致形状是（ C ）8.已知函数 ()2sin(2)3f x x π=+，为了得到2cos 2y x =的图象，只要将)(x f 的图象( B )A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度9. 已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= ( A ) (A) 5-（B ）5- (C) 5 (D)510.已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( D )A ．或；B ．0；C ．0或；D ．0或11.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的可导函数，且满足0)()(<'+x f x x f ．若)2(2f a =，)1(f b =，)1(--=f c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ d ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a b c >>12.定义在R 上的奇函数()f x 和定义在{}0x x ≠上的偶函数()g x 分别满足21(01)()1(1)x x f x x x⎧-≤<⎪=⎨≥⎪⎩，()g x =2log (0)x x >，若存在实数a ，使得()()f a g b =成立，则实数b 的取值范围是( B )A. []2,2-B. 11[2,][,2]22--⋃C.11[,0)(0,]22-⋃D.(][),22,-∞-⋃+∞二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<=20,tan 0,2)(3πx x x x x f ,则=))4((πf f -214．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P （4，y ）是角θ终边上的一点，且，则y= ﹣8 ．15.已知函数321().3f x x bx c =-+(,b c 为常数），当2x =时，函数()f x 取得极值，若函数)(x f 只有三个零点，则实数c 的取值范围___.0<c<4/3______.15.对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩⎨⎧<≥=xx x xx x x f 有下列命题：①该函数的值域是[－1，1]; ②当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时，该函数取得最大值1;③当且仅当322()()02k x k k Z f x ππππ+<<+∈<时,; ④该函数是以π为最小正周期的函数;其中正确的命题序号为________________;③三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||,)2A x R πωϕ>><∈的图象的一部分如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当2[6,]3x ∈--时，求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.解析：（1）由图象知2,8A T ==. 28T πω∴==.4πω∴=4分图象过点(1,0)-，则2sin()04πϕ-+=||2πϕ<Q 4πϕ∴=()2sin()44f x x ππ=+. 6分（2）()(2)2sin()2sin()44424y f x f x x x πππππ=++=++++2sin()2cos()22sin()444442x x x ππππππ=+++=⋅+22cos 4x π= 8分2[6,]3x ∈-- 3246x πππ∴-≤≤-.当46x ππ=-，即23x =-时，max 6y = 11分当4x ππ=-，即4x =-时，min 22y =-. 12分18.（本小题满分12分）已知函数22()cos sin sin f x x x x x ωωωω=-+⋅, 0,()f x ω>其中若相邻两条对称轴间的距离不小于2π. (1)求ω的取值范围及函数()x f 的单调递增区间； (2)在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC 的对边分别是角中 ,最大时当ωf(A)=1,求sinB ·sinC 的值.解：（1）22()cos sin sin f x x x x x ωωωω=-+⋅ x x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ;……………3分0>ωΘ，,22)(ωπωπ==∴T x f 的周期函数由题意可知,22,22πωππ≥≥即T 解得}10|{,10≤<≤<ωωωω的取值范围是即。

湖南省衡阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第五次月考数学试题

衡阳市第一中学高三第五次月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =-≤， {}sin ,N y y x x R ==∈，则MN =（）A. []1,0-B. ()0,1C. []0,1D. ∅C解不等式化简集合M ，利用三角函数的值域可得集合N ，再进行集合的交运算即可；{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，{}{}sin ,11N y y x x R y y ==∈=-≤≤， ∴[]0,1M N ⋂=，故选：C.本题考查集合的交运算以及正弦函数的值域，考查运算求解能力，属于基础题.2. 已知函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,那么在下列区间中含有函数()f x 零点的是（）A. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B由根的存在性定理求端点值的正负性，可知零点所在区间．因为函数()x131f x x 2⎛⎫=- ⎪⎝⎭,是连续单调函数，且()1133111f 010,f 0,323⎛⎫⎛⎫⎛⎫=>=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112311111f 0,f f 022232⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴函数f(x)在区间11,32⎛⎫⎪⎝⎭必有零点，故选B ．利用方程根的存在性定理求解三步曲是：①先移项使方程右边为零，再令方程左边为函数()f x ；②求区间(,)a b 两端点的函数值(),()f a f b ；③若函数在该区间上连续且()()0f a f b ⋅<，则方程在该区间内必有根.3. 数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++，则10a =（） A. 54B. 55C. 56D. 57B由已知得11n n a a n +-=+，利用累加法即可得结果. 对任意n *∈N 的都有11n n a a n +=++，则11n n a a n +-=+，()()()1012132109101112310=552a a a a a a a a ⨯∴=+-+-++-=++++=，故选：B. 4. 已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 A由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点. 5. 函数()cos22sin x x f x =+在[],ππ-上的图象是（）A. B.C.D.A利用02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭和02f π⎛⎫-< ⎪⎝⎭可排除错误选项得到结果.cos 2sin 121022f πππ⎛⎫=+=-+=> ⎪⎝⎭，可排除,B C ；()cos 2sin 123022f πππ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可排除D .故选：A 本题考查函数图象的识别，此类问题通常采用排除法，排除依据通常为：奇偶性、特殊位置的符号、单调性.6. 矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（） A. 12512π B.1259π C.1256π D.1253π C由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半，即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭. 故选：C本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.7. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（）A. 1254- B. 358+-C. 514-D. 458-C先求出51cos ACB -∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234.由题意可得：72ACB ︒∠=，且1512cos 4BCACB AC ∠==，所以225151cos1442cos 72121︒︒-+=-=⨯-=⎝⎭，所以()51sin 234sin 14490cos1444︒︒︒︒=+==-，故选：C 本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.8. （2020·山东滨州.高三三模）已知点O 是ABC ∆内一点，且满足420,7AOB ABC S OA OB mOC S ∆∆++==，则实数m 的值为（） A. 4- B. 2- C. 2 D. 4D根据题意，延长CO 交AB 于D ，求得3OD mOC=，再求得面积比，结合已知条件，即可求得结果.由2OA OB mOC+=-得：12333mOA OB OC+=-设3mOC OD-=，则1233OA OB OD+=,,A B D∴三点共线如下图所示：OC与OD 反向共线，0m>,3OD mOC∴=3313mOD mm mCD∴==++734AOBABC DS ODmSmC∆∆∴+===4m⇒=.故选：D.本题考查向量共线定理的应用，属综合中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知复数()()()32=-+∈z a i i a R的实部为1-，则下列说法正确的是（）A. 复数z的虚部为5-B. 复数z的共轭复数15=-z iC. 26z= D. z在复平面内对应的点位于第三象限ACD首先化简复数z，根据实部为-1，求a，再根据复数的概念，判断选项.()()()()23232323223z a i i a ai i i a a i=-+=+--=++-，因为复数的实部是-1，所以321a+=-，解得：1a=-，所以15z i=--，A.复数z的虚部是-5，正确；B.复数z的共轭复数15z i=-+，不正确；C.()()221526z=-+-=正确；D.z在复平面内对应的点是()1,5--，位于第三象限，正确.故选：ACD10. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A. a 1=22B. d =－2C. 当n =10或n =11时，S n 取得最大值D. 当S n >0时，n 的最大值为20BCD由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-，由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20．故选：BCD方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.11. 已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（） A. a 与b 的夹角为钝角B. 向量a 在b 方向上的投影为C. 2m +n =4D. mn 的最大值为2 CD对于A ，利用平面向量的数量积运算判断；对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断.对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅=，错误；对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12≤ (22m n +)2=2，即mn 的最大值为2，正确；故选：CD.本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题. 12. 已知函数()=cos sin f x x x -，则下列结论中，正确的有（） A. π是()f x 的最小正周期B. ()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. ()f x 的图象的对称轴为直线()4x k k Z ππ=+∈D. ()f x 的值域为[]0,1 BD由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期，当[0,]4x π∈时，化简()f x 并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数()f x 的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.由()()f x f x -=，知函数为偶函数，又()()2f x f x π+=，知2π是()f x 的周期，当[0,]4x π∈时，()cos sin 2sin()4f x x x x π=-=--，画出()f x 的图象如图所示：由图知，()f x 的最小正周期是2π，A 错误；()f x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 正确；()f x 的图象的对称轴为(),4k x k Z π=∈，C 错误； ()f x 的值域为[]0,1，D 正确.故选：BD.本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13. 计算：132318log log ()927-+=____________.4122=、2139-=、382()273=代入式中化简求值 132318log log ()927-+113()232232log 2log 3()3⨯--=-+ 13222=++ 4=故答案为：4本题考查了对数运算；结合有理数指数幂进行化简求值14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，若2n ≥时，n a 是n S 与1n S -的等差中项，则5S =_______.81根据题意得2n ≥时，12n n n a S S -=+，再结合1n n n a S S -=-即可得{}n S 是等比数列，公比为3，首项为111S a ==，再根据等比数列通项公式即可得答案.解：根据题意得：2n ≥时，12n n n a S S -=+，另一方面，当2n ≥时，1n n n a S S -=-, 所以()112n n n n S S S S ---=+，即：当2n ≥时，13n n S S -=，所以{}n S 是等比数列，公比为3，首项为111S a ==，所以13n n S -=，所以515381S -==.故答案为：81.本题解题的关键在于利用2n ≥时，1n n n a S S -=-得{}n S 是等比数列，公比为3，首项为111S a ==，考查等比数列的定义，通项公式等，是中档题.15. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的表面积是_________.723【分析】求出三棱柱的高为4，设正三棱柱的底面边长为a ，根据等体积法可得出关于a 的等式，解出a 的值，即可求得该正三棱柱的表面积. 设正三棱柱111ABC A B C -的内切球为球O ，设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，解得2R =，所以，124AA R ==，设正ABC 的边长为a ，2213sin 6024ABC S a a =⨯=△，正三棱柱111ABC A B C -的体积为1112213434ABC A B C ABC V S AA a a -=⋅=⨯=△，另一方面111111111111ABC A B C O ABC O A B C O AA B B O AA C C O BB C C V V V V V V ------=++++，即112213132322342343O ABC O AA B B a V V a a --=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯，整理得2430a a -=，0a >，解得43a =，因此，这个三棱柱的表面积为233427234S a a =⨯+⨯=. 故答案为：723.方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.16. 已知函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤=⎨-->⎩，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是________.(-1，2)利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系得到关于 a 的不等式，解不等式即可．函数()21x f x -=-在(,0)-∞单调递减，2()2f x x x =--在(0)+∞，单调递减，而函数在0x =处连续，∴函数221,0()2,0x x f x x x x -⎧-≤=⎨-->⎩在R 单调递减.2(2)()f a f a -> 22a a ∴-<解得(1,2)a ∈-．故答案为：(-1，2)(1)利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；(2)解题的一般策略是：利用函数的单调性，将函数值的的大小关系转化为自变量的关系，解不等式即可．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2c f C ==，向量(1,)m a =与向量(2,)n b =共线，求,a b 的值．（1）,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,2a b ==.（1）应用二倍角公式、两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质可得增区间；（2）由()2f C =求得C ，再由向量共线得,a b 关系同，然后由余弦定理可得,a b 值．（1）∵函数21()cos sin ,2f x x x x x R =++∈，12cos 21sin(2)126f x x x x π∴-+=-+（）令222,,26263k x k k -x k πππππππππ-≤-≤+≤≤+解得所以函数的单调递增区间为,,63k -k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ （开闭区间都可以）（2）C =sin(2)126f C π-+=（），sin(2)16C π-=，∵110,2,266662C C C ππππππ<<∴-<-=-=，解得3C π= ∵向量(1,),(2,)m a n b ==共线，∴2b a =①由余弦定理，得222222cos,33c a b ab a b ab π=+-∴+-=，②由①②得1,2a b ==．本题考查二倍角公式、两角差的正弦公式，考查向量共线的坐标表示，主要考查正弦型函数的单调性，余弦定理解三角形．所用公式较多但都是基本应用，属于中档题．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数f (x )=-x 2+3x +2的图象上. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n -a n }是首项为1，公比为q (q ≠0)的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n .（1）4,124,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩；（2）22242,1132,11n n n q T q n n q q⎧-++=⎪=⎨--++≠⎪-⎩. （1）利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩和已知可得答案；（2）由1n n n b a q --=及211n n n T S q q q --=++++利用等比数列求和公式可得答案（ 1）由232n S n n =-++及11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得()()2213221332(2n n S S n n n n n n --=-++--+-+-+≥），1n =时14S =，所以4,124,2n n a n n =⎧=⎨-+≥⎩. (2)∵1n n n b a q --=，211n n n T S q q q -∴-=++++，当1q =时，212213242n n n T q q q S n n n n n -=+++++=+-++=-++，当1q ≠时，221211321n n n q T q q qS n n q--=+++++=-++-，∴22242,1132,11n n n q T q n n q q ⎧-++=⎪=⎨--++≠⎪-⎩. 本题考查了数列通项公式及等比数列求和公式，关键点是利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项，注意验证1n =，利用等比数列求和时注意公比是否为1，考查学生的推理能力、计算能力. 19. 新高考取消文理科，实行“3+1+2”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年），并把调查结果制成下表：（1）请根据上表完成答题纸上2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？（2）现采用分层抽样的方法从中老年人中抽取8人，再从这8人中随机抽取2人进行深入调查，求事件A ：“恰有一人年龄在[)45,55”发生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（1）列联表见解析；有；（2）47. （1）根据表中的数据即可得中青年30人中有22人了解新高考，中老年20人中有8人了解新高考，进而可得列联表，计算2K 即可得答案；（2）根据分层抽样的方法得：年龄在[)45,55中的有4人，年龄在[)55,65中的有2人，年龄在[)65,75中的有2人，进而根据古典概型公式计算概率即可得答案. 解：（1）22⨯列联表如图所示250(221288) 5.556 3.84130202030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（2）由表格数据得到抽取的8人中：年龄在[)45,55中的有4人，分别记为,,,A B C D ，年龄在[)55,65中的有2人，分别记为,a b ，年龄在[)65,75中的有2人，分别记为1,2. 从8人中抽取2人可能性有：,,,,,1,2,,,,,1,2AB AC AD Aa Ab A A BC BD Ba Bb B B ，,,,1,2,,,1,2,,1,2,1,2,12CD Ca Cb C C Da Db D D ab a a b b ，共28种可能性，其中恰有一人年龄在[)45,55被抽中的方法有：,,1,2,Aa Ab A A ,,1,2Ba Bb B B ,,1,2,,,1,2Ca Cb C C Da Db D D ，共16种.所以164()=287P A =. 本题考查独立性检验与分层抽样，古典概型，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意读取数据，根据题意进行数据的加工处理；其中第二问的核心是列举出所有可能的基本事件总数.20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（3）求二面角A PD C --的余弦值.（1）见解析（2）见解析（3）66（Ⅰ）证明线面垂直一般是证线线垂直，由题知90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面ABCD ，即可得PA ⊥CD ；在ACD ∆中，可证得AC CD ⊥，综上即证CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）先假设在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，设PD 的中点是F ，连结BE ，EF ，FC ，可证得四边形BEFC 为平行四边形，即得//BE CF ，故//BE 平面PCD ，即假设成立；（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ，由题得CG ⊥平面PAD ，过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥，所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角，在Rt CGH ∆中，即可求得GHC ∠的余弦值，即为二面角A PD C --的余弦值．（Ⅰ）因为90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥．又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面ABCD ．而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD ．在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==，所以22AC CD AD ==，所以AC ⊥CD ．又因为PAAC A =，所以CD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ，连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =．由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//EF AD ．又12EF AD =，所以//EF AD ，且//EF AD ，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF ．因为BE ⊄平面PCD ，BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD ．（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则CG ⊥AD ．又因为平面ABCD ⊥平面PAD ，所以CG ⊥平面PAD ．过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥．所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角．设2AD =，则1PA AB CG DG ====,DP ．在PAD ∆中，GH DGPA DP=，所以GH =所以tan CG GHC GH ∠==cos 6GHC ∠=．即二面角A PD C --的余弦值为6考点：1．线面垂直的判定；2．线面平行；3．二面角．21. 已知点A 是离心率为2的椭圆C ：22221(0)x y a b b a +=>>上的一点.BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合. （1）求椭圆C 的方程；（2）ABD △的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值.（1）22124x y +=；（2；（3）证明见解析.（1）根据离心率和过的点A ，建立,,a b c 的三个关系式，求出,,a b c ，写出椭圆方程（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，表示出三角形ABD △的面积，利用基本不等式求最大值（3）设11(,)D x y ，22(,)B x y ，表示出AB k 、AD k ，计算AD AB k k +，代入条件计算其为定值即可解：（Ⅰ）ce a==， 22121b a +=，222a b c =+2a =，b =c =22124x y ∴+=（2）设直线BD 的方程为y b =+22440x b ⇒++-=28640b ∴∆=-+>b ⇒-<<122x x +=- ① 21244b x x -=②12||1|BD xx =-===设d 为点A 到直线BD ：y b =+的距离，d ∴=∴1||2ABD S BDd ∆==≤ ，当且仅当2b =±时取等号.因为2(±∈-，所以当2b =± 时，ABD △（3）设11(,)D x y ，22(,)Bx y ，直线AB 、AD的斜率分别为：AB k 、ADk ，则ADAB k k +=121212121111y yb b x x x x +++=+---- =1212122()1x x b x x x x ⎡⎤+-⎢⎥-++⎣⎦ *将（2）中①、②式代入*式整理得12121222()1x x b b x x x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤+-==⎢⎥-++⎣⎦22220b b --=+= 即AD AB k k +=01.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2.解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22. 已知函数2(x 1)(x)a f x -=，其中0a >. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（3）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e ]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）（1）()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是（0,2）．（2）1a =（3）当01ea e <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g = （1）()[]22243(1)()((x 1)())2(01())a f x x f a x x x a x a x x x x x''-'=-⋅-⋅--==≠，， ()002f x x '>⇒<<，()00f x x '<⇒<或2x >，故函数的单调递增区间为（0,2），单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞. （2）设切点为（x,y ）,由切线斜率得33(2)12a x k x ax a x-==⇒=-+① 由22(1)110()(1)01a x x y x x a x x x---=--=⇒--=⇒=，x =当x=1时，得a=1,当x =a=1,当x =a 的值为1.（3）()2()ln ()ln 1,()ln 1g x x x x f x x x a x g x x a '=-=--=+-，当01a <≤时，()0,()g x g x '≥单调递增，最大值为(e)e e g a a =+-，当2a ≥时，()0,()g x g x '≤单调递减，()g x 的最大值为(1)0g =，当12a <<时，函数先减后增，最大值为g(1)或g(e), 设(1)()g g e ≥，即0e a ae +-<时，即e e 1a ≥-时，即e2e 1a ≤<-时，最大值为g(1), 若11ea e <<-时，最大值为g(e),综上，当01ea e <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当ee 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g = 本试题主要是考查了运用导数的思想来求解函数的单调区间和函数的最值问题，以及曲线在某点的切线方程的综合运用．（1根据函数求解导数，然后令导数大于零或者小于零得到单调区间．（2）根据给定的切线方程得到切点的坐标，进而得到参数的值．（3）对于函数的最值问题，根据给定的函数，求解导数，运用导数的符号判定单调性，和定义域结合得到最值．。

湖南省衡阳一中2021届高三数学上学期第一次月考试题

湖南省衡阳一中2021届高三数学上学期第一次月考试题总分：150分时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}lg 0P x x =≥，112xQ x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（）A ．{}1RQ x x => B ．P Q φ= C ．P Q R = D ．{}1P Q x x =≥2．已知命题p ：关于x 的函数234y x ax =-+在[1,)+∞上是增函数，命题q ：函数(21)xy a =-为减函数，若p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是（） A ．23a ≤B ．102a <<C ．1223a <≤D ．112a << 3．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤ D ．4a ≤4．已知函数1,3()3(1),3xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则()32log 2f +的值为（） A ．227-B ．154C ．227D ．-54 5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油速度6．函数ln ||()||x x f x x =的大致图象为（） A ．B ．C ．D ．7．已知1232ab -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>8．设函数3,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．[2,)+∞B ．(1,2]C ．(,2)-∞D ．(,2]-∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列命题中，是真命题的是（）A ．已知非零向量a ，b ，若||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若:(0,)p x ∀∈+∞，1ln x x ->，则0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，001ln x x -≤C ．在ABC △中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数10．若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（）A ．1ab ≤B 2a b ≤C ．222a b +≥ D ．112a b+≥ 11．已知函数2()log f x x =-，下列四个命题正确的是（） A ．函数(||)f x 为偶函数函数B ．()22f x x -+在(1,3)上为单调递增函数C ．若()|()|f a f b =，其中0a >，0b >，a b ≠，则1ab =D ．若01a <<，则|(1)||(1)|f a f a +<-12．在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(,)B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是（）A ．函数()y f x =是偶函数B ．函数()()2g x f x =-[3,9]-上有两个零点C ．函数()y f x =在[8,6]--上单调递增D ．对任意的x R ∈，都有1(4)()f x f x +=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()f x 的定义域是[1,1]-，则函数(21)()ln(1)f xg x x -=-的定义域是________．14．若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[1,4]上有解，则实数a 的取值范围为________． 15．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是________． 16．已知函数{}()min 2,2f x x x =-，其中,min{,},a a ba b b a b⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，则123x x x ⋅⋅的最大值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC △中，设角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =+-．（1）求角C 的大小；（2）若2c =，求ABC △面积的最大值．18．已知正项等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，236a a ⋅=，410S =，等比数列{}n b 的前n 项和21nn T =-．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．19．如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD AB BC ===，2CD =，E 为CD 中点，以AE 为折痕把ADE △折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）（1）证明：AE PB ⊥；（2）若线段PC 10A PE C --的余弦值． 20．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5 管理时间（单位：月）810132024并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民 150 50 女性村民50（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？（保留三位小数）（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：()()()12112()niii nniii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++，11510.7≈．()20P k k ≥ 0.100.05 0.025 0.010 0.001 0k2.7063.8415.0246.63510.82821．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点(0,2)C ，ABC△的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于PQ 两点，直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究M ，N 的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．22．已知函数1()ln x f x x+'=，()1xe g x x =-．（1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值．（2）证明：当1x >时，()()f x g x <．（参考数据：ln 20.693≈，ln3 1.099≈）衡阳市第一中学2021届高三第一次月考数学参考答案选择题填空题13．(0,1) 14．(,1)-∞ 15．(4,2)- 16．1 解答题17．解：（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+--即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=，由正弦定理得222a b c ab +-=，由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，又∵0C π<<，∴3C π=．（2）∵22222ab a b c ab c =+-≥-，∴24ab c ≤=，当且仅当a b =时取等号，又1sin 2ABC S ab C ==≤△ABC △． 18．解：（1）423105S a a =⇒+=，又23262a a a ⋅=⇒=，33a =或23a =，32a =．则n a n =或5n a n =-，又数列{}n a 为正项数列，则n a n =当2n ≥时，112n n n n b T T --=-=；当1n =时，111b T ==也满足上式，∴12n n b -=．（2）由题可知，n a n =，12n n n n c a b n -=⋅=⋅，记数列{}n c 的前n 项和为n G ，01221122232(1)22n n n G n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 12312122232(1)22n n n G n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯111222(1)21n n n n G n n --=+++-⨯=-⨯-，故(1)21n n G n =-⨯+．19．解：（1）在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，∵AB CE ∥，AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE BC AD DE ===， ∴ADE △为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C ADE π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠=，∴在等腰ADB △中，6ADB ABD π∠=∠= ∴2362DBC πππ∠=-=，即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥，翻折后可得：OP AE ⊥，OB AE ⊥，又∵OP ⊂平面OB ，OB ⊂平面POB ，OP OB O =，∴AE ⊥平面POB ，∵PB ⊂平面POB ，∴AE PB ⊥；（2）由（1）知2DO PO ==，连接OC 在OEC △中，由余弦定理可得2OC =．在POC △中有222PC PO OC =+，可知PO OC ⊥，又PO AE ⊥，OC AE O PO =⇒⊥平面ABCE ，则以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，1,0,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，,02C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴1,0,22PE ⎛=- ⎝⎭，1,,022EC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．设平面PCE 的一个法向量为1(,,)n x y z =，则110PE n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴1021022x z x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩．设x =1y =，1z =，∴1(3,1,1)n =-，由题意得平面PAE 的一个法向量2(0,1,0)n =，设二面角A EP C --为α，12125|cos |5n n n n α⋅===．易知二面角A EP C --为钝角，所以5cos α=-．（射影面积法也可）20．解：（1）依题意：1234535x ++++==，810132024155y ++++==，故()()5142iii x x y y =--=∑，()52110ii x x =-=∑，()521184i i y y=-=∑，则()()()()122110.9814115niii nniii i x x y y r x x y y ===--==≈--∑∑∑故管理时间y 与土地使用面积线性相关．（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯．故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关．（3）依题意，X 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为12． 311(0)28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，31313(1)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，32313(2)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，33311(3)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 故x 的分布列为X 0 1 2 3P18 38 38 18则数学期望为13313()012388882E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（1）由已知，A ，B 的坐标分别是(,0)A a ，(0,)B b -由于ABC △的面积为3，∴1(2)32b a +=，又由e =2a b =，解得：1b =，或3b =-（舍去），∴2a =，1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y ．则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+．直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+． ∴()()()()()121212212121212113339M N x x x x x x x x y y kx kx k x x k x x ⋅===+++++++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得()221416120k x kx +++=．由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+． ∴22222222121241412481248936391414M N k x x k k k k k k k +===-++-+++，是定值． 22．解：（1）当1x >时，21ln 1()ln x x f x x--'=，令1()ln 1F x x x =--，则211()0F x x x '=+>．因此()F x 在(1,)+∞上为增函数，又4(3)ln 303F =-<，5(4)ln 404F =->，∴0(3,4)x ∃∈使得()()000F x f x '==，即001ln 1x x =+，当01x x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；当0x x >时，()0f x '>，()f x 为增函数； ∴()00min 000011()(3,4)1ln 1x x f x f x x x x ++====∈+，所以整数m 的最大值为3．（2）法一：要证()()f x g x <，即证21ln 0xx x e -->，令21()ln xx h x x e -=-，则2321212()x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=．令32()2x x e x x x ϕ=+--，则2()341x x e x x ϕ'=+--，()64x x e x ϕ''=+-，()6xx e ϕ'''=+∵()0x ϕ'''>，∴()x ϕ''在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ''=-，∴()0x ϕ''>， ∴()x ϕ'在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ'=-，∴()0x ϕ'>，∴()x ϕ在(1,)+∞上为增函数，又(1)2e ϕ=-，∴()0x ϕ>，即()0h x '>， ∴()h x 在(1,)+∞上为增函数，∴()(1)0h x h >=，故()()f x g x <．法二：放缩法．。

湖南省衡阳县第一中学高三数学元月月考试题理

衡阳县一中2016届高三元月月考数学（理）试卷本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.已知集合21{log ,16}2A y z y x x =∈=<≤，1{0}2x B x x +=≥-，则集合()R A C B I 的真子集的个数为（）A. 4B.5C.6D. 72.已知i 为虚数单位，1(12)1i z i +=+，232(1)z i i =++，则12z z +的值为（）322335 D. 453.已知定义在[1,24]a a -+上的偶函数2()()1f x x a b x =+-+，则不等式()()f x f b >的解集为（）A. [1,2]B. [2,1]--C. (1,2]D. [2,1)(1,2]--U 4. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1235a a a =，78910a a a =，则2456log ()a a a =（）A. 21log 52+B. 212log 52+C. 51log 22+ D.21log 5+. 5.下列关于命题正确的个数为( )①命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；② “2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。

④命题“,ln 0x R x x ∀∈->”的否定是“000,ln 0x R x x ∃∈-≤” ⑤当0x >时，恒有sin x x >. A.1 B.2 C.3 D.46.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，双曲线的左右焦点分别为12,F F ，点P 为双曲线的右支上的一点，且满足121260,3F PF F PF S ∆∠=︒= 双曲线的方程为（）A. 2241x y -= B. 22212y x -= C. 223314y x -= D.225514y x -=7.已知某几何体的三视图，如图所示，则该几何体的体积为（）A.33 B. 233 C. 433 D 533俯视图侧视图正视图321228.已知一组数据1,3,5,7的方差为n ，则在二项式31(2)nx x-的展开式所有项中任取一项，取到有理项的概率为（）A.16 B. 112 C. 13 D. 579.已知把函数2()3sin cos cos f x x x x =+的图像向右平移12π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，再向下平移12个单位，得到函数()g x ，则函数()g x 从原点起与x 轴的正半轴，直线2x π=围成的面积为（）A 2 B.2πC. 1D. π 10.已知实数,x y 满足1033000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>，max 6z =,则22a b +的最小值为（）A. 51313B. 61313C. 2513D. 361311.已知O e 的方程为22:4O x y +=e ，22:(8)(6)4M x y -+-=e ，在圆M 上任取一点P ，向O e 作切线,PA PB ，切点为A ，B ，则OA OB u u u r u u u rg的最大值为（） A 52-B. 92- C . 32 D. 72- 12.已知椭圆22143x y +=，经过点3(1,)2A 作两条关于直线1x =对称的直线分别交椭圆于,B C 两点，则直线BC 的斜率BC k 为（）A. 1B. 12C. 32D.不能确定第Ⅱ卷（本卷均为必考题）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

湖南省衡阳县第一中学高三上学期第二次月考数学(理)试题Word版含答案

所以当时，，即不成立.
综上所述，的取值范围为
请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22、（本小题满分10分）《选修4-4：坐标系与参数方程》
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的的长度单位，已知曲线的参数方程为，曲线的极坐标方程为 .曲线的图象与轴、轴分交于两点.
11、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“ 置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3．那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为 ( B )
设为面的法向量，则，
即，取，则，8分
依题意，则 10分
于是 , ，
设直线与平面所成角为，则 .12分
20、（本小题满分12分）如图，已知椭圆的焦距为，为短轴的端点，为左焦点，直线与椭圆交于另一点，且 .
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存条件的直线的方程；若不存在，说明理由.
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若E是PB的中点，且二面角P-AC-E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
解：（1）证明： ,
,
.4分
（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），（1，1，0），
（1，－1，0）设，则
6分
取，因为，所以为面的法向量，
15、满足条件，的三角形的面积的最大值是

(全优试卷)湖南省衡阳县第一中学高三上学期第二次月考数学(文)试题Word版含答案

衡阳县一中2018届高三第二次月考试题数学试卷（文）（考试时间：120分钟满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1.已知集合{{}|,|1x A x y B y y e ====-，则A B =（ A ）A ．[)1,1-B ．[]1,1-C ．()1,1-D ．(][),11,-∞-⋃+∞ 2.下列命题中的假命题是 ( B )A.0log ,2=∈∃x R xB.0,2>∈∀x R x C.1cos ,=∈∃x R x D.02,>∈∀xR x3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是（）A ．2()f x x =B ．||()2x f x = C ．21()log ||f x x = D ．()sin f x x = 4. 设a 、b 、c R ∈，则“a 、b 、c 成等差数列”是2b a c =+的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ D ） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π-6.方程()2ln 10x x+-=，()0x >的根存在的大致区间是（ B ） A ．()01，B ．()12， C. ()2e ， D ．()34， 7.设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( B ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a 8.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( C )．A ．－eB ．1C ．－1D ．e9．执行程序框图（如右），若输入的a 为2，则输出的结果为（ B ） A ．90 B ．110 C ．132 D ．15610.若x 、y 满足2x y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为 ( A )A. 9B. 5C. 3D. 111.设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( D )．12.定义在R 上的函数()f x 满足221,11()log (|2|2),13x x f x x x ⎧-+-⎪=⎨--+<⎪⎩≤≤≤，(4)(),f x f x +=若关于x 的方程()0f x ax -=有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是（ D ） A ．11(,)43B ．11(,)64C．1(16)6- D．1(,86- 二．填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分。

衡阳县一中高三第二次月考试题数学理科及参考答案

衡阳县一中高三第二次月考试题数学（理科）考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.3. 考试结束, 只需上交答题卷.一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题有且只有一个选项是符合题目要求）.1. 已知集合M ={ m | m = i n , n ∈N }, 则下面属于M 的元素是（）A .( 1 – i ) + (1+ i ) B. (1 – i ) ( 1 + i ) C. ii +-11 D. ( 1 – i )2 2．若全集R U =，}20|{<<=x x A ，}1|||{≤=x x B ，则B A C U ⋂)(为A ．}01|{<≤-x xB ．}11|{≤≤-x xC ．}21|{≤≤x xD ．}01|{≤≤-x x3．条件21:>+x p ，条件131:>-x q ，则p ⌝是q ⌝的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知函数)()(),1,0(log 1)(1x f x fa a x x f a 是且-≠>+=的反函数. 若)(1x f -的图象过点（3，4），则a 等于（） A ．2 B ．3 C ．33D ．2 5．若)(x f 是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，且0)3(=-f ，则0)(<⋅x f x 的解是（）A ．（－3，0）∪（3，+∞）B ．（－∞，－3）∪（0，3）C ．（－∞，－3）∪（3，+∞）D ．（－3，0）∪（0，3）6. 如果f '(x)是二次函数, 且 f '(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1,－3), 那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A. (0,2π3) B. [0, π2)∪[2π3, π) C. [0, π2]∪[2π3, π] D. [π2,2π3]7．若1)11(21lim =---→x b x a x ，则常数a,b 的值为（）A.4,2=-=b a ，B. 4,2-==b a ，C. 4,2-=-=b a ，D. 4,2==b a。

湖南省衡阳县高三数学上学期第一次月考试题文

2018届高三第一次月考文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合},1|{2R x xy y M ∈-==，{|N x y ==，则=N M （）A. [1,2]-B. ),1[+∞-C. [2,)+∞D. φ 2、下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上为减函数的是（） A.1y x=B. 21y x =-+C. ln ||y x =D. 2xy -= 3设a ，b 是实数，则“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4. 下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x y =,则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.B. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C. 命题“R x ∃∈,使得210x x ++<”的否定是:“R x ∀∈,均有210x x ++<”.D. 命题“若21x =,则1x =”的否命题为: “若21x =,则1x ≠”.5.设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（） A.-3 B. -1 C.１ D.36 已知函数f(x)＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) 7、设函数2211log (2),1(),((log 12))2,1x x x f x f f x -+-<⎧==⎨-≥⎩则（）A.1B. 2C.3D.4 8．函数2ln y x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，f (x )＝x 2-x ，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处切线的斜率为（）A ．-2B ．-1C ．1D ．2 10已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若(),a fππ=()()()22,1b f c f =--=，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>11．已知函数()()2ln f x x x x x a =+-（R x ∈），若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()f x xf x '>成立，则实数a 的取值范围是（）A ．9,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．)+∞ D ．()3,+∞12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时， ()()30f x f x -++=；当()0,3x ∈时， ()3ln xf x x=，则方程()30ef x x -=（其中e 是自然对数的底数，且2.72e ≈）在[-9,9]上的解的个数为( )A. 9B. 8C. 7D. 6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）. 13.函数的单调递减区间是 .14．已知函数()322f x ax x bx =+++中,a b 为参数，已知曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为61y x =-，则()1f -=_________．15.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则()()3log 184f f += ．16．若对任意的x ∈D，均有f 1（x ）≤f （x ）≤f 2（x ）成立，则称函数f （x ）为函数f 1（x ）到函数f 2（x ）在区间D 上的“折中函数”．已知函数f （x ）=（k ﹣1）x ﹣1，g （x ）=0，h （x ）=（x +1）lnx ，且f （x ）是g （x ）到 h （x ）在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的值构成的集合是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22210230},290},m R.(1)m 3,A B;(2)p :x A,q :x ,q p m 17{{A x x x B x x mx m B =--≤=-+-≤∈=⋂∈∈（本小题满分分）已知集合若求已知条件条件若是的必要条件，求实数的、取值范围。

湖南省衡阳县第一中学高三数学上学期第二次月考试题文

湖南省衡阳县一中2016届高三第二次月考文科数学时量：120 分钟满分：150 分一、选择题：(本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.) 1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，{}2,3,5,6A =，{}1,3,4,6,7B =，则集合A ∩错误!未找到引用源。

u B)=（）（A ）{}2,5 （B ）{}3,6（C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,82.设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（）（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∀n ∈N, 2n ≤2n （C ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n 3. 函数错误!未找到引用源。

的零点所在的区间是（）（A ）错误!未找到引用源。

（B ）错误!未找到引用源。

（C ）错误!未找到引用源。

(D)错误!未找到引用源。

4.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的( )（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（）(A) 12 (B) 14 (C) 1 4- (D) -12 7.已知定义在R上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）(A) b c a << (B) b a c << (C) b c a << (D) b c a <<8.设x∈R，定义符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xx xx>⎧⎪==⎨⎪-<⎩则( )（A）|||sgn|x x x=（B）||sgn||x x x= (C)||||sgnx x x=（D）||sgnx x x=9．若函数)(log)(bxxfa+=的大致图象如右图所示，其中a，b(a>0且a≠1)为常数，则函数baxg x+=)(的大致图象为( )10．若函数842--=kxxy在上是单调函数，则实数k的取值范围为（）（A）(-∞,40] （B）（C）（D）(-∞，40]∪ -----------12请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号。

湖南省衡阳县第一中学2018届高三上学期第二次月考数学

衡阳县一中2018届高三第二次月考数学（理）试题分值：150分时量：120分命题人：一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知复数iiz -=12,其中i 为虚数单位，则z 所对应的点位于（ B ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.已知集合}1log |{21->=x x A ，}22|{>=x x B ，则A B ⋃=（ C ）A ．1(,2)2B ．1(,)2+∞ C ．(0,)+∞ D ．(0,2) 3. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( D )A ．1 B1 C1 D1 4.在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为 ( B )A ．32B ．60C ．64D ．805. 若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则它的侧视图的面积为( D )A．32 C．2D ．346．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ( D ) A．12 D．127. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是 ( B )Ox O yx O yx.Ox .A B C D8. 过抛物线x y 42=的焦点的直线与圆02422=--+y x y x 相交，截得弦长最短时直线方程为( B )A. 01=--y xB.01=-+y xC. 01=+-y xD.01=++y x9、在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( D ) A ．23-B ．32-C ．32D ．23 10、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( C ) （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）3511、《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：“置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一”．该术相当于给出了圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为 ( B )A ．227 B ．258 C ．15750 D ．35511312、设实数0>λ，若对任意的),0(+∞∈x ，不等式0ln ≥-λλx e x恒成立，则λ的最小值为( A )e A 1. e B 21. e C 2. 3.eD 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13、若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为__6-____14、两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为32和43，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为___125_____15、满足条件2=AB ，BC AC 2=的三角形ABC 16、数列}{n a 的前n 项和为n S ，且321=a ，321=-+n n S a . 用][x 表示不超过x 的最大整数，如：1]6.1[,1]4.0[=-=-。

湖南省衡阳县第一中学高三数学上学期第二次月考试题理

衡阳县一中201６届高三第二次月考数学试卷（理科）时量：120分钟分值：150分注意事项：将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答卷上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共１２小题，每小题5分，共６０分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1、已知集合2A={|log <1},B={x|0<<c}x x x ，若=AB B ，则c 的取值范围是（ D ）A. (0,1]B. [1,+)∞C. (0,2]D. [2,+)∞2、33a b >”是“33log log a b >”的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ D ) A ． 2ln 2 B. 2ln 2- C ．4ln 2- D ．42ln 2-4、已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值为（B ） A. 2B. －1C. －1或2D. 05、在下列区间中，函数()=+43xf x e x -的零点所在的区间为C A 、（1-4，0） B 、（0，14） C 、（14，12） D 、（12，34）6、与函数lg(1)10x y -=的图象相同的函数是（ A ）A ． 2y = B ．1y x =- C ．1y x =- D ．211x y x -=+7、下列有关命题的叙述，错误的个数为（B ）①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题。

②“x>5”是“x 2-4x-5>0”的充分不必要条件。

③命题P ：∃x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1<0，则⌝p:∀x ∈Ｒ，使得x 2＋x-1≥0。

④命题“若x 2-3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x ≠1或x ≠2，则x 2-3x+2≠0 A ．1 B 2 C 3 D 48、已知函数()2cos f x x x =-，则()()()0.6,0,0.5f f f -的大小关系是（B ） A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f f B 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f f C 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f f D 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f9、函数y=lncosx ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx 的图象是（A ）１１.已知a 为常数，函数()()ax x x x f -=ln 有两个极值点()2121,x xx x <,则a 的取值范围是（Ａ） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B 、()1,0 C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D 、()2,1 12、设函数1(1)|-1|)=1(=1)x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于（ B ）A. 13B. 5C. 223c +2cD.222b +2b二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.１３.若函数()(ln f x x x =为偶函数，则a ＝＿＿＿＿＿＿答案：１14、曲线11x y x -=+在点(1,0)M 处的切线的斜率为 .答案：1215、若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是 .答案：1(0,)216、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，),1()(-=-x e x f x 给出以下命题： ①当x 0<时，)1()(+=x e x f x ； ②函数)(x f 有五个零点；③若关于x 的方程m x f =)(有解，则实数m 的取值范围是)2()2(f m f ≤≤-； ④1221,,()()2x x R f x f x ∀∈-<恒成立.其中，正确命题的序号是 . 答案：①④.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.１７.(１２分)已知(+1)(2-)0x x ≥的解为条件p ，关于x 的不等式222+-2-3-1<0(>-)3x mx m m m 的解为条件q . （1）若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围. （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围. 解：（1）设条件p 的解集为集合A,则2}x -1|{x ≤≤=A 设条件q 的解集为集合B,则1}m x 1--2m |{x +<<=B 若p 是q 的充分不必要条件,则A 是B 的真子集13211221>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-<-->+m m m m （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件, 则B 是A 的真子集0323211221≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->-≥--≤+m m m m１８.(12分) 已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数f(x)=2-|x|-a 在x ∈R 内有两个零点，命题q ：不等式|x-2|-|x+3|-4a 2+12a-10<0对一切实数x ∈R 恒成立，如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求a 的取值范围．解：若命题p 为真，则函数y=2-|x|(x ∈R)与直线y=a 有两个不同的交点，则0＜a ＜1． …………2分若命题q 为真，则4a 2-12a+10>|x-2|-|x+3|对一切实数x ∈R 恒成立，令t=|x-2|-|x+3|,则-5≤t ≤5,∴4a 2-12a+10>5,即4a 2-12a+5>0解之得 1522a a <>或． …………5分∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 有且只有一个为真． …………7分又a ＞0且a ≠1 （1）若p 真q 假，则01151122a a a <<⎧⎪⎨≤<<≤⎪⎩或，∴112a ≤<．…………9分（2）若p 假q 真，则11522a a a ≥⎧⎪⎨<>⎪⎩或，∴52a >．…………11分综上所述，a 的取值范围是15[,1)(,)22+∞．…………12分１９.(１２分)已知05a <≤，函数()()()5310,010f x x a x x=-+<≤，求()f x 的最小值。

湖南省衡阳县一中2019届高三第二次月考数学(文)试卷

衡阳县一中2019届高三第二次月考试题数学试卷（文）（考试时间：120分钟满分：150分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）。

1.已知集合{}{}|1,|1x A x y x B y y e ==+==-，则A B =I （）A ．[)1,1-B ．[]1,1-C ．()1,1-D ．(][),11,-∞-⋃+∞ 2.下列命题中的假命题是 ( )A.0log ,2=∈∃x R xB.0,2>∈∀x R x C.1cos ,=∈∃x R x D.02,>∈∀xR x3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(,0)-∞上单调递增的函数是（） A ．2()f x x = B ．||()2x f x = C ．21()log ||f x x = D ．()sin f x x = 4. 设a 、b 、c R ∈，则“a 、b 、c 成等差数列”是2b a c =+的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（） A ．310π B ．320π C.3110π- D ．3120π- 6.方程()2ln 10x x+-=，()0x >的根存在的大致区间是（） A ．()01， B ．()12， C. ()2e ， D ．()34， 7.设a ＝log 13 12，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a 8.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )．A ．－eB ．1C ．－1D ．e 9．执行程序框图（如右），若输入的a 为2，则输出的结果为（） A ．90 B ．110 C ．132 D ．15610.若x、y满足2x yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y+的最大值为( )A. 9B. 5C. 3D. 111.设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f (x)的图象是()．12.定义在R上的函数()f x满足221,11()log(|2|2),13x xf xx x⎧-+-⎪=⎨--+<⎪⎩≤≤≤，(4)(),f x f x+=若关于x的方程()0f x ax-=有5个不同实根，则正实数a的取值范围是（）A．11(,)43B．11(,)64C．1(1667,)6-D．1(,8215)6-二．填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分。