整体思想在初中数学中的应用-最新教育文档

整体思想在初中数学中的应用

整体思想是初中数学中的一种严重思想，贯穿于初中数学教学的各个阶段，是解决好数学问题的一种严重策略.

所谓整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法.整体思想涉及的形式较多，这里就通过整体思想在初中数学解题过程中的几种多见应用方法加以举例分析，让我们进一步感受、理解和掌握整体思想的解题技巧，以提高自己的解题能力.

一、整体思想在求代数式的值中的应用

例1：已知a-a-1=0，求a+2a+2012的值.

分析：此题若先从已知条件a-a-1=0中解出a的值，然后代入代数式求解，尽管理论上是正确的，但解答相当麻烦且很困难.若注意到所求代数式与方程的关系，将a-a-1=0转化为a-a=1，再把a-a看做一个整体，用整体思想进行分析求解，则解题会变得简单、简易.

解：∵a-a-1=0

∴a-a=1

∴a+2a+2012=a+a+（a+a）-a+2012

=a（a+a）+（a+a）-a+2012

=（a+a）（a+1）-a+2012

=1×（a+1）-a+2012

=2013

例2：已知x=2时，ax+bx+cx-8=10.求当x=-2时，代数式ax+bx+cx-8的值.

分析：由于ax+bx+cx中的x的指数均为奇数，故当x=2和x=-2时，它的值恰好互为相反数，从而可用整体代入的方法求得代数式的值.

解：当x=2时，∵ax+bx+cx-8=10，∴32a+8b+2c=18.①当x=-2时，ax+bx+cx-8=（-2）a+（-2）b+（-2）c-8=-（32a+8b+2c）-8.

将①式整体代入，得到-（32a+8b+2c）-8=-18-8=-26.故当x=2时，代数式ax+bx+cx-8的值为-26.

二、整体思想在因式分解中的应用

例3：因式分解：（a+2a+2）（a+2a+4）+1.

分析：对于这类题目，学生很简易先做整式乘法，把式子（a+2a+2）

（a+2a+4）+1展开后得到a+4a+10a+12a+9，要把这个多项式进行因式分解，就必须恰当地运用拆项和乘法公式，这是何等的困难.仔细观察可以发现式子中前一项的两个因式中都含有式子a+2a，如果我们把a+2a看成一个整体，展开后就可以得到一个关于a+2a的二次三项式，问题就迎刃而解了.解：（a+2a+2）

（a+2a+4）+1

=[（a+2a）+2][（a+2a）+4]+1

=（a+2a）+4（a+2a）+2（a+2a）+8+1

=（a+2a）+6（a+2a）+9

=（a+2a+3）

三、整体思想在解方程或方程组中的应用

例4：解方程：（x-1）-5（x-1）+4=0.

分析：如果我们去括号，整理后得到的将是关于x的高次方程x-7x+10=0，要直接解这个方程难度很大.这时我们可以将x-1视为一个整体，设x-1=y，运用整体思想来分析，就可以化难为易.

解：设x-1=y，则原方程可化为

y-5y+4=0

解得y=1，y=4.

当y=1时，x-1=1，解得x=±；

当Y=4时，x-1=4，解得x=±.

∴原方程的解为x=，x=-，x=，x=-.

例5：解方程组：

x+y=5 ①y+z=4 ②z+x=5 ③

分析：解三元一次方程组的基本思路是消元，本题完全可以通过带入消元法或加减消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组来解，但这样比较麻烦.如果我们把三个式子相加，就可以得到x+y+z的值，再把x+y+z看成一个整体分别与方程组中的三个式子相减，就可以求得方程组的解.

解：①+②+③，得

2（x+y+z）=12 ④

④-①，得z=9

④-②，得x=8

④-③，得y=7

∴原方程组的解是x=8y=7z=9.

四、整体思想在解应用题中的应用

例6：若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支，共需10元；若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支，共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元？

分析：本题是要求购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需多少元.如果设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，需要有三个等量关系，才能列出三个方程分别求出x，y，z的值，但本应用题只有两个等量关系，只能列出两个方程，这就需要应用整体思想，直接求出的值.

解：设铅笔每支x元，日记本每本y元，圆珠笔每支z元，依题意得：

4x+3y+2z=10 ①9x+7y+5z=25 ②

②-①，得5x+4y+3z=15 ③

③-①，得x+y+z=5.

答：购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需5元.

五、整体思想在几何问题中的应用

例6：在如图所示的星形图中，求∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的和.

分析：显然，我们无法分别求出∠A、∠B、∠C、∠D、∠E的度数，但仔细审题后可以发现，题目中并不是分别求出这五个角的值，而是要求

“∠A+∠B+∠C+∠D+∠E”这一整体的值，因此我们可以利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把这些角集中到一个三角形内，再利用三角形的内角和定理，就可以使问题得以解决.

解：∠AMN，∠ANM分别是△MCE和△NBD的一个外

角.∴∠AMN=∠C+∠E，∠ANM=∠B+∠D.

在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°，

即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.

通过举例，我们可以看出，整体思想在初中数学中的作用及严重性.在解答某些数学题时，若能用整体思想去考虑，把整体思想渗透到解题中去，就能做到有的放矢，提高数学思维能力及数学解题能力.