基本函数公式与高阶导数

或
d3 y dx3
或
f''' ( x)
或
d3 f (x) dx3
如果函数y=f(x)的n－1阶导数存在且可导,则称y的n－1阶导数的导数为y=f(x)的n 阶导数,记为
y(n) 或
dn y dxn
或
f (n) (x) 或
dn f (x) dxn
n阶导数(n=1,2,…)在点x0处的值记为
y | (n) x x0
其中,按规定 0！=1.
1 x2
(12)(arccos x)' 1 ; 1 x2
1 (13)(arctan x)' 1 x2 ;
(14)(arc
cot
x)'
1 1 x2
.
基本求导法则
(Ⅰ)线性法则:
为常数;
(au bv)' au' bv',a,b
(Ⅱ)积法则: (uv)' uv' uv';
(Ⅲ)商法则:
(u v
y '' [(a b)cos x (a b)sin x]ex [(a b)sin x (a b)cos x]ex
2(a cos x bsin x)ex
所以
y'' 2 y' 2 y 2(a cos x bsin x)ex 2[(a b)sin x (a b)cos x]ex 2(asin x bcos x)ex
1; x
(5)(sin x)' cos x;
(6)(cos x)' sin x;
(7)(tan x)' sec2 x;
(8)(cot x)' csc2 x;
(9)(sec x)' sec x tan x;
(10)(csc x)' csc x cot x; (11)(arcsin x)' 1 ;
二、高阶导数
一般地,如果函数y=f(x)的导函数 函数f(x)的二阶导数,记为
f' ( x)
f' ( x) 在点x处可导,则称导函数 在点x的导数为
y'' 或
d2 y 或 dx2
f''(x) 或
d2 f (x) dx2
类似的,定义y=f(x)的二阶导数
f'' 的导数为三阶导数,记为 (x)
y'Leabharlann Baidu'
=2[a cos x bsin x (a b)sin x (a b)cos x asin x bcos x]ex 0
例3.17 求下列函数的n阶导数: (1)y=ax (a>0,a≠1); (2)y=sin x; (3)y=ln(1+x).
解 (1) y' ax ln a y'' ax (ln a)2 y''' ax (ln a)2 ln a ax (ln a)3
第三节 基本函数公式与高阶导数
一、基本导数公式 二、高阶导数
一、基本函数公式
基本初等函数公式
(1)C' 0(C为常数);
(2)(xa )' axa1;
(3)(ax )' ax ln a(a 0,a 1);(ex )' ex
(4)(loga
|
x
|
)'
1 ,(ln x ln a
|
x
|
)'
一般地,有 y(n)=(ax)(n)=ax(lna)n, n=1,2,…
特别地,a=e时,有 (ex)(n)=ex,n=1,2,…
(2) y' (sin x)'
cos x
sin(x π ) 2
y'' cos(x π ) 2
sin(x π π) 22
sin(x 2 π) 2
一般地,有
或
dn y dxn |xx0
或
f
(n) (x0 )
或
dn f (x0 ) dxn
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.如果函数y=f(x)的n阶导数存在,则称y=f(x)为n
阶导数.
例3.16 设y=(asin x+bcos x)ex,其中a,b为常数.试证:
y'' 2y' 2y 0
证 因为
y' (a cos x bsin x)ex (asin x bcos x)ex [(a b)sin x (a b)cos x]ex
y(n) (sin x)(n) sin(x nπ ), n 1, 2,L 2
(3) y' [ln(1 x)]' 1 (1 x)1 1 x
y'' (1 x)2 y''' (1)(2)(1 x)3
(1)2 2!(1 x)3
一般地,有
y(n) [ln(1 x)](n) (1)n1(n 1)!(1 x)n, n 1, 2,L
)'
u'v uv' v2
,v
0;
(Ⅳ)链式法则: { f [u(x)]}' f'[u(x)]u'(x);
{ f [u其(中x)]}' 表示复合函数f[u(x)]对x求导, 表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x).
f'[u(x)] f'(u) |uu(x)
(Ⅴ)反函数法则:
x (y)
f' (x) 1 其中,y='f((xy)为) 0, 的反函数. '( y)