3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
1 + tan15 (3 ) o ; 1 - tan15
o
(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28° tan17° tan28°+tan17°tan28°
3.公式都是有灵性的, 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 公式都是有灵性的 硬套,要注意整体代换和适当变形. 硬套,要注意整体代换和适当变形.
�
a2 + b2 - 2 cos(a + b) = 2
思考2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= + = , + = b,则sin(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
a2 + b2 - 2 sin(a + b) = 2
思考3 tanα+ 思考3:根据公式 Tα+β,tanα+tanβ 可变形为什么? 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) + 1 思考4 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC ABC中 tanA,tanB, 三者有什么关系? 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 思考5 sinx+cosx能用一个三角函数表 思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? 示吗? p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4
两角和与差的正弦, 3.1.2 两角和与差的正弦, 余弦,正切公式 余弦,
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式
复习引入
1,两角差与和的余弦公式: 两角差与和的余弦公式:
cos(α ± β ) = cosα cos β sinα sin β
2,诱导公式五: 诱导公式五:
sin ( cos (
π
2 π
2
-α) = cosα -α) = sinα
sin (α + β )
π π π sin 求: α , cos + α , tan(α ) 4 4 4
例3, , π 4 3 (1)α , β ∈ (0, ), cos α = , cos(α + β ) = ) 2 5 5 (2)tan(α + β ) = 3, tan(α β ) = 2 ) 求: tan 2α , tan 2 β
探求新知
= sin α cos β + cos α sin β
sin (α β ) = sin α cos β cos α sin β
sin (α ± β ) = sinα cosβ )
tan α + tan β = 1 tan α tan β
y = 4sin x + 3cos x
y = a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + φ )
其中,cosφ = a a 2 + b2 , sinφ = b a 2 + b2
6 证法1: 证法1: 右边=2(sin π cos α + cos π sin α ) 6 6 1 3 =2( cos α + sin α ) 2 2 =cos α + 3 sin α =左边 1 3 证法2: 证法2:左边=2( cos α + sin α ) 2 2 π π =2(sin cos α + cos sin α ) 6 6 π =2sin( + α ) =右边 6 化为某个角的一个 一个三角函数形式 注:该题将 cos α + 3 sin α 化为某个角的一个三角函数形式 π 即 cos α + 3 sin α = 2sin( + α ) 6
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.12 两角和与差的正弦、余弦、正切公式知识点一 两角和的余弦公式解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子．分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．1．sin7°cos37°－sin83°sin37° 2.sin50°－sin20°cos30°cos20°3、sin14°cos16°＋sin76°cos74°4、sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°5、已知角α的终边经过点(－3,4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为6．求函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．类型二 给值求值1、已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．2、已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝35，x ∈(0，π)，求sin x 的值。
3．已知锐角α，β满足sin α＝255，cos β＝1010，求α＋β。
类型三 辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx 的三角式，可变形如下： y=asinx=bcosx =++++a b x a a bx b a b222222(sin cos )··。
上式中的a a b22+与b a b22+的平方和为1，故可记a a b22+=cos θ，b a b22+=sin θ，则。
)x sin(b a )sin x cos cos x (sin b a y 2222θ++=θ+θ+=1、求值（1）cos π12＋3sin π12 （2）sin π12－3cos π12（3）2cos π12＋6sin π12 （4）当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，求x.2、求周期求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2(sin
6
cos cos
6
sin )
2sin( ) 右边. 6
2013-1-9 重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@ 9
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
2 3 3 例5.已知 sin , ( , ), cos , ( , ), 3 2 4 2 求 sin( )的值。
12 5 由cos( ) sin( ) 13 13 3 4 由sin( ) cos( ) 5 5 3 12 4 5 56 sin 2 sin[( ) ( )] ( ) ,
6
（2） 75 sin （3） 15 sin
2013-1-9
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
§3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式(一)
3 例2.已知cos = ， 0， ，求 sin( ). 5 6 2
3 解： cos = ， 0， 5 2
2 5 解： sin = ， ， cos 3 3 2 3 7 3 cos =- ， , sin 4 4 2
sin( ) sin cos cos sin
2
2
cos[ ( )] cos[( ) ] 2 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2
sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
5
2013-1-9
两角和与差的正弦公式
asin 日 + bcosT = J a 1 2+b 2sin ®a= cos —b ■. a 2b 2a 2b 2二，a 2b 2sin v其中 cos 9 =a, Ja 2+b 2sinMa 2+b 2或 asin r bcos 二a 2b 2cos 丁 -:，其中 cos =sin =(2)求证:叱 2cos 「「也；sin ：sin :3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时)30 **学习目标**1 •能用诱导公式推导两角和与差的正弦公式； 2.进一步熟悉化角技巧，初步掌握合一变换；3 •能对公式正用、逆用、活用，解决化简、求值、证明题的同时初步掌握有关三角函数性 质的题的解法. **要点精讲**1 .两角差的正弦公式： sin 「- - - sin cos '-cos 〉sin ； 2.两角和的余弦公式：sin ： ： = sin ： cos^ cos ：3 .对于a sin v - bcosv 可作如下变换:我们把上述变换称为合一变换，它实质上是两角和与差的正余公式的逆用. **范例分析**例 1.求值：(1) sin 75： ； ( 2) sin x 60〃 2sin x -60〃 -、：3cos 120 -x2b 2例3. (1)化简：、、2cosx -sin x(2)求函数f(x) =sin(x ) - sin x的周期、值域、单调区间。
3例4. (1)在L ABC中，已知2cosBcosC =1 -cosA，2sin BcosC = 1 sin B - C ，试判断此三角形的形状.(2)在ABC 中，如果4sin A 2cosB =1, 4cos A 2sin B =3、3，则.C 等于( )A. 30B. 150C. 30 或150D. 60；或120；**规律总结**1.在例2中，观察角之间的联系：2 - -- - ，2〉「=(二' ■■-■) ^:^.将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式，这种代换方法称之为角的变换.2.变角”、变函数名”、变结构”是三角变换的三个主要方向，合一变换是一种结构变换.其中「角可以是特殊角，也可以不是特殊角。
课件7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.
()
1
1
A.5
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第一课时）一、教学目标1．知识与技能：(1).理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用。
(2).能够利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的求值、化简和证明。
2．过程与方法：(1).在换元的思想指导下推导出公式()C αβ+；(2).根据()C αβ+、()C αβ-及诱导公式五（或六），推导出公式()S αβ±；(3).根据公式()C αβ±、()S αβ±和同角三角关系，探究公式()T αβ±；(4).熟练掌握公式()C αβ±、()S αβ±、()T αβ±的正用、逆用、变形用。
3．情态与价值（1）能运用联系的观点解决问题。
（2）认识事物之间的相互联系与相互转化。
（3）通过探究两角和与差的三角公式，培养逻辑推理的思维能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质教学重、难点1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.学法与教学用具(1)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程.(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑.教学过程设计：（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）cos sin =α？（二）新课讲授问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？()[]()()βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin cos cos cos )cos(-=-+-=--=+即：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （()C αβ+）问题2：请大家再思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．即：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ （()S αβ+）()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦即：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- （()S αβ-） 探究2、请同学们观察认识两角和与差正弦公式的特征，思考两角和与差的正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-． （()cos 0αβ+≠） 通过什么方法可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，（cos cos 0αβ≠）得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- （()T αβ+） 我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 即：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ （()T αβ-） 温馨提示：公式()T αβ±在,,222k k k πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+（()T αβ+需满足），()()2k T k z αβπαβπ--≠+∈需满足，时成立，否则不成立。
两角和与差的正弦.余弦.正切公式
探究:你能根据正切函数与正弦,余弦函数的关系，
从C ( ) , S( )出发，推导出用任意角，的
sin (这里有什么要求?) 提示：sin( ) tan tan( ) cos( cos ) k ( k Z ) 2
2 3 2 1 2 2 2 2 6 2 4
sin15 sin(60 45 )
知识归纳：
对于任意的角 ，
同名积，符号反
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin
sin cos( ) 2
sin cos cos sin
两角和的正弦公式：
sin( ) sin cos cos sin (S(+))
( )] sin( ) cos[ 2 ) ] cos[(
1 tan15 tan 45 tan15 tan 45 15 tan 60 3 1 tan15 1 tan 45 tan15
小结
对于任意角， 都有
同名积，符 号反
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
sin cos cos sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos cos cos tan tan 1 tan tan
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
§3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案教学目标：1.知识与技能目标①用代换法推导cos(a + P)，用转化法推导sin (a ± P)、tan (a ± P).②让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能.③通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力2. 过程与方法目标学生在理解、掌握两角差的余弦公式的基础上，进一步推导两角和的余弦、两角和与差的正弦和正切公式，让学生亲自体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用3. 情感态度、价值观目标①通过学习、观察、对比体会公式的线形美，对称美②通过教师的启发诱导，培养学生不怕困难，勇于探索勇于创新的求知精神二、教学重、难点教学重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用;教学难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用三.教学方法及用具：教学方法：诱导式、启发式教学、讲练相结合法教学用具：多媒体四、教学过程：1. 复习导入:同学们先回顾一下两角差的余弦公式: cos(a - P ) = cos ot COS P + sin a sin P .由公式cos(a - P)出发，你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?2. 讲授新课:思考：(1). COS(a + P ) = ?cos(a + P戶cos A —(-P )］，再利用两角差的余弦公式得出cos(a + P )=cos[a -(—P M = cosa cos(-P )+sin^ sin(-P )=co护cosP -sin^ sin P于是，我们得到了两角和的余弦公式，简记作C(a祁cos(G + P) =coso cosP -sin a sin P(2).问题：上面我们得到了两角和与差的余弦公式，那么如何得到两角和与差的正弦公式呢？即思考sin a = cos ?探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sin fa + P \=cos 竖+ P 3= cos〔住一a 】+ P l = cos仁_a losP +sin 倍一a I sin P' 'I2■ J h2丿」I2丿I2丿=sin a cos P 中cosot sinP .sin (ot - P ) = sin 包 +( —P )] = sin a cos( —P )+cos a sin (-P )=sin a cos P —cosot sin P探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.(学生动手) 门sin(a + P)sin a cos P+cos。
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3 1 tan75= tan(45+30)= 3 3 3 12 6 3 = 2+ 3 6 3 3 3 1 3
2.化简：
1 t an 1 t an t an ; t an t an 2 . 1 t an t an
答案： 1 tan tan ; 2 tan .
tan71o - tan26o 1- 3tan75o 3、求值： (1) o o (2) 1+ tan71 tan26 3 + tan75o
答案： (1) 1； (2) -1.
小结：
通过对和差公式的探索、推导和初步应 用，体会和认识公式的特征及功能.
sin sin cos cos sin
简记为: S( )
公对 式比
两角和与差的正弦角公式：
sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin
注意：
cos , tan 的 . 值 4 4
3 解：由sin =- , 是第四象限的角，得 5
4 cos 1 sin 1 ( ) , 5
2 3 2 5
sin 3 所以 tan cos 4
于是有 2 4 2 3 7 2 sin( ) sin cos cos sin ( ) ; 4 4 4 2 5 2 5 10
探公 究式
两角和的余弦公式推导：
把 转 为 ， 有 化 则
cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin .
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
利用公式求值
π π 3π π 3 已知 <α< ，0<β< ，cos 4－α ＝ ， 4 4 4 5 3π 5 sin 4 ＋β ＝ ，求 sin(α＋β)的值． 13
3π π π 分析： 4 ＋β － 4－α ＝ ＋(α＋β). 2
π 3π π π 解析：∵ <α< ，∴－ < －α<0， 4 4 2 4 π π 3 4 ∵cos 4－α ＝ ，∴sin 4－α ＝－ ； 5 5 π 3π 3π ∵0<β< ，∴ < ＋β<π， 4 4 4 3π 5 3π 12 ∵sin 4 ＋β ＝ ，∴cos 4 ＋β ＝－ ； 13 13
∴tan 23° ＋tan 37° ＝ 3－ 3tan 23° tan 37° ， 故得 tan 23° ＋tan 37° ＋ 3tan 23° tan 37° ＝ 3.
点评：化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量 之间的关系，以便于应用．对于三角函数式的化简，要求： (1)能求出值的应求出值；(2)使三角函数的种数最少；(3)使 项数尽量少；(4)尽量使分母不含有三角函数式；(5)尽量使被 开方数不含有三角函数式．
tan α－tan β 1＋tan αtan β 3 练习：5. 3
思考应用 3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 π kπ＋ (k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 2 π 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋ ；同除 cos α、cos β， 2 π π 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋ ，cos β≠kπ＋ .cos x≠0， 2 2 保证了 tan x 有意义． (2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想 到韦达定理．
第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件人教新课标
＝－ 23cos(θ＋15°)＋12sin(θ＋15°)＋cos( θ＋45°) ＝sin(θ－45°)＋cos(θ＋45°)＝0. 答案：0
5．tan 105°＝________． 解析：因为 105°＝60°＋45°，
因为 0＜α＜π2 ，则π4 ＜π4 ＋α＜3π 4 ，
所以
sinπ4 ＋α＝23
2 .
π
ππβπ
又－ 2 ＜β＜0，则 4 ＜ 4 － 2 ＜ 2 ，
则
sinπ4 －β2＝
6 3.
故
cosα＋β2＝13×
33＋2 3 2×
36＝5
9
3 .
答案：C
类型 3 给值求角(互动探究)
[典例 3] 已知 cos α＝17，sin(α＋ β)＝51413，0＜α
sin βcos(α＋ β )－cos βsin(α＋ β )＝ sin[ β－(α＋ β )]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进 行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角 之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×47 3＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．解答此类问题的关键是找出已知角和所求角之间 的联系，解答此类问题最容易出错的地方是求角的范围． 2．此类问题的解题步骤：(1)讨论角的范围；(2)求出 指定范围内的三角函数值；(3)根据已知角与未知角的关 系拆分角，进一步利用公式求解．
【高中数学必修四】3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
4 4 2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos cos
sin
例2. 利用和(差)角公式计算下列各式的值.
(1) sin 72 cos 42 cos 72 sin 42 ;
o o o o
(2) cos 20 cos 70 sin 20 sin 70 ;
(2)sin cos
练习
把下列各式化为一个角的三角函数形式
1 2 sin cos
3 1 2 sin cos 2 2 2 6 3 sin x cos x 4 4 4 4
小结
1.和角公式，差角公式.
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) tan tan 2 1 tan tan
( S( ) )
( S( ) )
公式的特点: (1)公式对、 取任意值都成立 ; ( 2)公式中右边有两项 ,中间符号与左边两角间 的符号相同 ; ( 3)右边三角函数的排列的 顺序是 : sin cos 、cos sin . 公式的用途： 对于α ,β ,只要知道其正弦或余弦，就可以求出 差角(或和角)的正弦值.
两角和(差)的余弦公式: 两角和(差)的正弦公式:
cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
课件10：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3分
＝sin10°cocso6s100°°－cosisn6600°°cos10°·csoins5100°°
＝csoins1（0°－c5o0s°60）°·csoins5100°°
＝－cos610°＝－2.
6分
(2)∵tan(20°＋40°)＝1ta－n2ta0n°20＋°tatann4400°°，
∴tan20°＋tan40°＝tan60°(1－tan20°tan40°)，
(1)(tan10°－ 3)csoins5100°°；
(2)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°·tan40°.
【解】 (1)(tan10°－ 3)csoins5100°°＝(tan10°－tan60°)csoins5100°°
＝(csoins1100°°－csoins6600°°)csoisn1500°°
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×(－45)－(－35)×35＝－275. cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝45×(－45)＋(－35)×35＝－1.
互动探究 1.若本例条件不变，求sinαsinβ的值． 解：由 cos(α＋β)＝45，得 cosαcosβ－sinαsinβ＝45.① 由 cos(α－β)＝－45得 cosαcosβ＋sinαsinβ＝－45.② ②－①得 2sinαsinβ＝－2×45， ∴sinαsinβ＝－45.
题型二 和(差)角的正弦公式 例 2 已知 cosα＝13，α∈(0，π2)，sinβ＝－35，β 是第三象限角．求 sin(α＋β)， sin(α－β)的值． 【解】 ∵cosα＝13，α∈(0，π2)，∴sinα＝ 1－cos2α＝23 2. ∵sinβ＝－35，β 是第三象限角，
高一数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3. 1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学过程1、提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请写出。
②在公式C(α-β)中，角β是任意角，请思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系，如何利用公式C(α-β)来推导cos(α+β)=?我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).③分析观察C(α+β)的结构有何特征？④在公式C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?结论2、S(α+β)、S(α-β).⑤公式S(α-β)、S(α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C(α-β)、C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)，能否推导出tan(α-β)=?tan（α+β）=？结论3、由此推得两角和、差的正切公式，简记为T(α-β)、T(α+β).⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.归纳总结以上六个公式的推导过程，得出以下逻辑联系图.通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时应注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式2、应用示例例1 已知sinα=53-,α是第四象限角，求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值.练习：课本课后练习1、2、3、4、题例2 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;（3）15tan 115tan 1-+练习：课本课后练习5、6、7、题例3 求证：cosα+3sinα=2sin(6π+α).（两种方法）练习：化简下列各式：（1）3sinx+cosx;（2）2cosx-6sinx.3、课堂小结通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a sin(x+φ)，运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.4、作业布置习题3.1 A 组7、13(1) (3) (5) (7) (9)。
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、 两角和与差的正弦、 余弦、 余弦、正切公式
湖州市南浔中学 数学教研组制作
知识回顾: 知识回顾 差角的余弦公式, 简记为C 差角的余弦公式, 简记为Cα-β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 巩固练习
探 究
你能根据正切函数与正弦、 你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关 出发， 系，从 C (α ± β ) , S(α ± β ) 出发，推导出用任意 角 α , β 的正切表示 tan(α + β ), tan(α − β ) 的公式吗? 的公式吗
分子分母都除以 cosα•cosβ α•cos cosα•cosβ
tan(α+β)=
sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ sin(α cos(α cos(α+β) cosαcosβ- sinαsinβ tanα+tanβ = 1- tanαtanβ
称为和角的正切公式。 简记为Tα+β 称为和角的正切公式。 简记为Tα+β tanα-tanβ tan(α-β)= 1+tanαtanβ 称为差角的正切公式。 称为差角的正切公式。 简记为Tα-β 简记为T
练习一：
sin15°
⑵
cos75° ⑶ sin75° ⑷ tan15°
2− 3
150 750
α
sin α cosα tan α
例题讲解
3 例1 已知 sin α = − , α是第四象限角 , 5 求 sin(
π
4
− α ), cos(
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2.求cosxcos(x+15 ) +sinx sin(x+15 )的 值。
新课
由 C( ) 公式出发,你能推导出两角和 与差的三角函数的其他公式吗? cos(α-β)=cosαcosβ+ sinαsinβ 换元 α -( -β cos[ )] = cosαcos(-β)+sinαsin(-β) 转化 cos(α +β) = cosαcosβ-sinαsinβ 称为和角的余弦公式。 简记为Cα +β）
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
知识回顾: 差角的余弦公式, 简记为Cα -β
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
巩固练习
2 3 3 1.已 知sin , ( , ), cos , 3 2 4 3 ( ,2 ), 求 cos( )的 值. 2
⑵
α sin α cosα tan α
6 2 6 2 6 2 4 4 4 00 300 450 600 900 1800 2700
cos75 ⑶ sin75° ⑷ tan15
2 3
150 750
例题讲解
3 例1 已 知si n , 是 第 四 象 限 角 , 5 求 si n ( ), cos( ), tan ( )的 值. 4 4 4
3 1 3sin x cos x 2( sin x cos x) 2 2 2cos x 2sin( x ) 3 6
1.公式推导(转化贯穿始终,换元灵活运用)
小
结
C
S (α-β)
诱导 公式
C(α＋β)
弦切关系
换元
诱导 (α-β) 公式
S (α+β)
弦切关系
3、两角和、差的正切公式 tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
T
T
利用和（差）角公式，求下列各式的值：
⑴
练习一：
sin15
分子分母都除以 cosα •cosβ
tan(α+β)=
sin(α +β) = sinαcosβ+ cosαsinβ cos(α +β) cosαcosβ- sinαsinβ tanα+tanβ = 1- tanαtanβ
称为和角的正切公式。 简记为Tα +β tanα-tanβ tan(α-β)= 1+tan αtanβ 称为差角的正切公式。 简记为Tα -β
由以上解答可以看到，在本题的条件下 有 sin ( ) cos( )。那么对于任意角，此 4 4 等式成立吗？若成立，你会用几种方法证明？
练习： 3 1,已知cos= 5 , ∈( 2,), 4 3 3 10 求 sin(+ 3 )的值。 12 2,已知sin＝ 13 ,是第三象限角， 12 5 3 求cos( 6 +)的值。
称为和角的正弦公式。 简记为Sα +β sin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβ
你能根据正切函数与正弦、余弦函数 的关 探 系，从 C( ) , S( ) 出发，推导出用任意 ), tan( ) 究 角 , 的正切表示 tan( 的公式吗?
T (α-β)
T (α+β)
2. 余弦：符号不同积同名
正弦：积不同名符号同 正切：符号上同下不同 3. 公式应用：
作 业
教材Ｐ150 5 ，6 ，7 ， 8 ，9
2sin x
③ 2 cos x
6 3 6 sin x 2 2 sin x 2 2 cos x 6 3
2 cos x
化简:①Βιβλιοθήκη ②2 2 2(sin x cos x) 2( 2 sin x 2 cos x) 2sin( x ) 2cos x 4 4
探 究
你能根据 C( ) , C( )及诱导公式,推 导出用任意角 , 的正弦、余弦值 ), sin( ) 的公式吗? 表示 sin(
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ cos[( -α )+β ] cos( )cos sin( )sin 2 2 2 称为差角的正弦公式。 简记为Sα -β sin(α-β)=sinαcosβ- cosαsinβ 换元
1、两角和、差角的余弦公式
cos( ) cos cos sin sin C cos( ) cos cos sin sin C
2、两角和、差角的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin S sin( ) sin cos cos sin S
3,已知tan α+ 4 )的值。 -2 α＝3,求tan(
26
公式逆用：
sinαcosβ+ cosαsinβ= sin(α+β) sinαcosβ - cosαsinβ= sin(α-β) cosαcosβ+sinαsinβ= cos(α-β) cos(α+β) cosαcosβ- sinαsinβ= tanα+tanβ =tan(α+β) 1- tanαtanβ tanα-tanβ =tan(α- β) 1+tanαtanβ
例2、利用和(差)角 公式计算下列各式的值： ① sin72° cos42° - cos72° sin42° ②cos20° cos70° - sin20° sin70° ° ③ 1+tan15 1-tan15 °
变式：
① cos72° sin42° - sin72° cos42° ②cos20° cos70° - sin20° sin110 °
巩固练习
教材Ｐ145
5
求下列各式的值 ① sin72 ° cos18 ° +cos72 ° sin18 ° sin cosx+cos sinx =sin( +x) 6 6 6
化简 :
3 1 cos x sin x sin x ① cos x 3 6 2 2 ② cos x 3 sin x 2( 1 cos x 3 sin x) 2 2