时域卷积定理的物理意义
卷积定理文档
卷积定理什么是卷积定理？卷积定理是信号处理领域中的一个重要定理，它描述了在时域和频域之间的卷积运算关系。
根据卷积定理，我们可以通过对信号进行傅里叶变换将卷积运算转换为乘法运算，从而简化计算过程。
卷积定理的数学表达式设两个信号函数f(t)和g(t)的卷积运算为h(t)，那么卷积定理可以用下面的数学表达式表示：h(t) = f(t) * g(t)H(ω) = F(ω) * G(ω)在上述表达式中，*表示卷积运算，H(ω)表示f(t)和g(t)的傅里叶变换之积，F(ω)和G(ω)分别表示f(t)和g(t)的傅里叶变换。
证明卷积定理为了证明卷积定理，我们需要使用傅里叶变换的性质和卷积运算的定义。
傅里叶变换的性质包括线性性质、功率谱密度性质、平移性质等。
根据这些性质，我们可以推导出卷积定理。
假设有两个信号函数f(t)和g(t)，它们的傅里叶变换分别为F(ω)和G(ω)。
那么根据卷积运算的定义，我们有：h(t) = ∫[ f(τ) * g(t-τ) ] dτ其中，*表示卷积运算。
我们对h(t)进行傅里叶变换，得到：H(ω) = ∫[ h(t) * e^(-jωt) ] dt= ∫[ ∫[ f(τ) * g(t-τ) ] dτ * e^(-jωt) ] dt= ∫[ ∫[ f(τ) * g(t-τ) * e^(-jωt) ] dτ ] dt我们可以改变积分次序，得到：H(ω) = ∫[ f(τ) * ∫[ g(t-τ) * e^(-jωt) ] dt ] dτ其中，我们使用了积分的交换性质。
根据卷积定理的定义，我们知道g(t) * e^(-jωt)的傅里叶变换等于G(ω) * E(ω)，其中E(ω)表示e^(-jωt)的傅里叶变换。
所以我们有：H(ω) = ∫[ f(τ) * G(ω) * E(ω) ] dτ= G(ω) * ∫[ f(τ) * E(ω) ] dτ= G(ω) * F(ω)上述推导过程证明了卷积定理，它表明卷积运算的傅里叶变换等于信号函数的傅里叶变换之积。
机械测试技术与信号分析简答题及答案
一、问答题(每题8分，共40分)1．在系统特性测量中常用白噪声信号作为输入信号，然后测量系统的输出，并将输出信号的频谱作为系统频率特性。
请用卷积分定理解释这样做的道理。
答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，所有频率具有相同能量的随机噪声称为白噪声。
在其频谱上是一条直线。
系统频率特性：传递函数的一种特殊情况，是定义在复平面虚轴上的传递函数。
时域卷积分定理：两个时间函数的卷积的频谱等于各个时间函数的乘积，即在时域中两信号的卷积等效于在频域中频谱相乘。
频域卷积分定理：两个时间函数的频谱的卷积等效于时域中两个时间函数的乘积。
y(t)=h(t)*x(t),对y(t)作付式变换，转到相应的频域下Y(f)=H(f)X(f)，由于x(t)是白噪声，付式变换转到频域下为一定值，假定X(f)=1，则有Y(f)=H(f)，此时就是传递函数。
2．用1000Hz的采样频率对200Hz的正弦信号和周期三角波信号进行采样，请问两个信号采样后是否产生混叠？为什么？3．什么是能量泄露和栅栏效应？能量泄漏与栅栏效应之间有何关系？能量泄漏：将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X（ω）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。
栅栏效应：对采样信号的频谱,为提高计算效率,通常采用FFT算法进行计算,设数据点数为N = T/dt = T.fs则计算得到的离散频率点为Xs(fi) , fi = i.fs/N , i = 0,1,2,…,N/2。
这就相当于透过栅栏观赏风景,只能看到频谱的一部分,而其它频率点看不见,因此很可能使一部分有用的频率成分被漏掉,此种现象被称为栅栏效应。
频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大。
例如，余弦信号的频谱为线谱。
dft 的时域卷积定理
dft 的时域卷积定理时域卷积定理是数字信号处理中的基本概念之一，它给出了在时域执行卷积运算的信号与在频域执行乘积运算的信号之间的关系。
它由离散傅里叶变换（DFT）引出，经常被用来在实际系统中进行操作。
本文将对DFT的时域卷积定理进行介绍和讲解。
一、DFT首先要了解DFT。
DFT是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的缩写，通常将一个复数序列与另一个复数序列进行变换。
它可以将一个离散的信号分解成许多正弦波的和，这些正弦波的频率是成整数倍于同一个基本频率的。
具体而言，DFT使用复数序列作为输入，并计算出其频率分量的图像。
输入序列的长度必须是2的次幂，比如2、4、8、16、32等。
DFT的一个重要特点是：输入与输出具有相同的频域解析度。
二、时域卷积为了了解时域卷积定理，我们还需要知道时域卷积。
时域卷积就是两个信号的卷积积分在时域的计算。
具体而言，如果信号f(t)和g(t)的时域卷积为h(t)，则有：h(t) = f(t) * g(t)其中*表示卷积操作。
在数字信号处理中，相应的等式变为：x[n] = f[n] * g[n]其中n表示采样点。
这个等式可以转化为如下的形式：x[n] = sum(f[i]g[n-i])其中i从0到n-1。
卷积是无论是信号处理还是通信领域中都非常重要的操作。
它可以在时域中执行，也可以在频域中执行。
如果我们希望在频域中执行卷积，则需要DFT。
三、DFT的时域卷积定理DFT的时域卷积定理指出，在计算两个信号的卷积时，可以将这两个信号同时进行DFT，然后将得到的频域信号相乘，最后再将相乘后的频域信号进行IDFT（逆离散傅里叶变换），即可得到两个信号的卷积。
具体而言，设f[n]和g[n]是两个离散信号，它们的DFT为F[m]和G[m]。
则它们的卷积的DFT为：H[m] = F[m] * G[m]其中*表示的是复数的乘法。
为了将H[m]转化成时域序列，我们需对其进行IDFT：h[n] = IDFT{H[m]}其中IDFT表示逆离散傅里叶变换。
数字信号处理复习总结-最终版
绪论:本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息.这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备,或者说,凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3。
信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”,就是用数值计算的方法，完成对信号的处理.0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a（t)中高于某一频率（称折叠频率,等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2)A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期)取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）(4）D/A变换器按照预定要求,在处理器中将信号序列x（n)进行加工处理得到输出信号y（n）。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步.（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t）.0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性.(2）高精度和高稳定性。
(3)便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0。
4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP)一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术-—DigitalSignalProcessing,另一层是狭义的理解,为数字信号处理器—-DigitalSignalProcessor.0。
3.8 卷积特性(卷积定理)
一、时域抽样
FT [ f s (t )] = Fs (ω ) FT [ f (t )] = F (ω ) FT [ p (t )] = P(ω )
f s (t ) = f (t ) p ((ω ) P(ω ) 2π
P(ω) = 2π ∑Pδ (ω nωs ) n
π π πt FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
2
2
1 πt F (ω ) = G (ω ) FT [cos( )] 2π τ
G (ω ) = Eτ Sa (
ωτ
2
)
πt π π FT [cos( )] = π [δ (ω + ) + δ (ω )] τ τ τ
1
ω1 ω 0
0 ω2 ω0
ω0
2ω 0 ω 0 + ω1 ω 0 + ω 2
ω
10
ω2 ω0
ω1
ω1
ω0
ω2
1 FT[ f (t) cosω1t] = [F(ω +ω1) + F(ω ω1)] 2
1 2
ω1 ω 2 2 ω 1 ω 1 ω1 ω 2
0
ω 2 ω1 ω 1
2 ω 1 ω1 + ω 2
6
∫
∞
∞
F (ω )
2 sin ω
ω
e
j 2ω
dω = ?
F (ω) = F(ω) 1
2sin ω
ω
e j 2ω
f1(t) = f (t) FT 1[2Sa(ω)e j 2ω ]
∫
∞
∞
F(ω)
1
2sin ω
离散序列时域卷积定理
离散序列时域卷积定理
离散序列时域卷积定理是数字信号处理中的一个重要概念。
它描述了两个离散序列在时域上的卷积，可以转换为它们在频域上的乘积。
这个定理被广泛应用于数字信号的滤波、信号分析和处理中。
具体来说，给定两个离散序列f[n]和g[n]，它们的时域卷积h[n]定义为：
h[n] = ∑f[k]g[n-k]
其中k为整数。
这个卷积可以通过离散傅里叶变换(DFT)来计算。
具体地，我们可以将f[n]和g[n]分别做DFT，得到它们的频域表示
F(k)和G(k)，然后将它们相乘得到H(k)，再做IDFT即可得到卷积
h[n]。
离散序列时域卷积定理告诉我们，这个过程是可逆的。
也就是说，如果我们已知f[n]、g[n]和h[n]其中两个序列，就可以通过它们的DFT和IDFT计算出第三个序列。
具体来说，如果我们已知f[n]和h[n]，可以计算出g[n]的DFT为G(k)=H(k)/F(k)，再做IDFT即可得到g[n]。
同样地，如果我们已知g[n]和h[n]，可以计算出f[n]的DFT为
F(k)=H(k)/G(k)，再做IDFT即可得到f[n]。
离散序列时域卷积定理的应用非常广泛。
例如，在数字滤波中，我们通常会将信号和滤波器的时域卷积转化为它们在频域上的乘积，然后再通过IDFT将滤波后的信号转回时域。
这个方法不仅计算效率高，而且可以避免一些数值计算误差。
在信号分析和处理中，利用离散序列时域卷积定理可以有效地进行信号滤波、去噪、频谱分析等操
作，是数字信号处理中不可或缺的基础知识。
卷积定理及其在信号处理中的应用
卷积定理及其在信号处理中的应用卷积定理是信号处理中一种重要的理论工具，通过它可以使我们更好地理解信号的通信性质和实现信号处理任务。
本文将会介绍卷积定理的概念和原理，并且探讨它在信号处理中的一些实际应用。
一、卷积定理的概念和原理卷积是一种在数学和工程领域中广泛应用的运算符号，它描述了两个函数之间的关系。
在信号处理中，卷积定理指的是一对函数的傅里叶变换之间的关系。
具体而言，设有两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义如下：f(t) * g(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ其中，*表示卷积操作，f(τ)和g(t-τ)是两个函数在τ和(t-τ)时刻的取值。
卷积定理指出，两个函数的卷积的傅里叶变换等于它们各自的傅里叶变换的乘积：F(f(t) * g(t)) = F(f(t)) * F(g(t))其中F()表示傅里叶变换。
卷积定理的原理可以通过对卷积操作和傅里叶变换的定义进行推导得到。
通过应用卷积定理，我们可以将在时域上的卷积操作转化为在频域上的乘法操作，从而简化了信号处理的计算和分析。
二、卷积定理在信号处理中的应用1. 系统响应分析：在信号处理中，我们经常需要分析系统对输入信号的响应情况。
卷积定理可以帮助我们在频域上分析系统的频率特性。
通过对输入信号和系统的频率响应进行傅里叶变换，并进行频域上的乘法运算，我们可以得到输出信号的频谱特性。
这种频域上的分析方法能够更直观地了解系统对不同频率信号的响应情况。
2. 信号滤波：信号滤波是信号处理中的一项基本任务，它可以用于去除信号中的噪声或者对信号进行平滑处理。
卷积定理在信号滤波中有着广泛的应用。
我们可以将信号通过傅里叶变换转化到频域，并与设计好的频率响应函数进行乘积运算，然后再进行傅里叶逆变换得到滤波后的信号。
这种基于频域的滤波方法可以高效地实现对信号的滤波处理。
3. 信号卷积编码：卷积编码是一种常用的数字通信技术，它可以提高数字通信系统的可靠性和抗干扰性。
离散序列时域卷积定理
离散序列时域卷积定理
离散序列时域卷积定理是数字信号处理中一个重要的定理，它描述了两个离散序列在时域上的卷积等价于它们在频域上的乘积。
具体来说，如果我们有两个长度为N的离散序列x(n)和h(n)，它们的卷积y(n)定义为：
y(n) = ∑ x(k)h(n-k) (k=0,1,...,N-1)
那么，离散序列x(n)和h(n)的傅里叶变换分别为X(k)和
H(k)，则它们的乘积Y(k)等于x(n)和h(n)的卷积的傅里叶变换： Y(k) = X(k)H(k)
这个定理在数字滤波器设计、信号压缩、图像处理等领域都有广泛的应用。
它的证明可以通过傅里叶变换的性质以及卷积的定义进行推导。
离散序列时域卷积定理的应用可以极大地简化信号处理的复杂度，提高计算效率。
- 1 -。
信号与系统-时域 卷积定理
τ δ (ω ) = lim Sa(ωτ ) τ →∞ π
FT[cosω1t ] = π [δ (ω + ω1 ) + δ (ω − ω1 )]
f 0 (t )
F0 (ω )
τ
τ 2
1
−τ 2
2
−1
− ω1
πδ (ω + ω 0 )
− ω1
F (ω )
ω1
ω
πδ (ω − ω 0 )
ω
ω1
四、周期单位冲激序列的FS δ T (t ) =
l 取f(t)的一个周期 f 0 (t )
，其FT为 F0(ω)
2 2
F 0 (ω ) =
l 所以
∫
T1
− T1
f 0 ( t ). e
ω = nω1
− jω t
dt
1 Fn = F0 (ω ) T1
三、正余弦信号的傅立叶变换 ——用频移特性 F0 (ω ) = FT [ 1 ] = 2πδ (ω )
三 频域抽样
l 设连续频谱函数 F (ω ) 对应的时间函数为f(t),
抽样冲激序列 δ ω1 (ω ) =
l 抽样后的频率函数 l 根据卷积定理可得
2π – 其中 ωs = T1
∑
∞ n =−∞
δ (ω − nω1 )
F1 (ω ) = F (ω ) δ ω1 (ω )
∞ 1 f1 (t ) = ∑ n =−∞ f (t − nT1 ) ω1
∞
FT
nω1τ F (ω ) = Eτω1 ∑ Sa δ (ω − nω1 ) 2 1 n = −∞
∞
小结——单脉冲和周期信号的傅
立叶变换的比较 是连续谱， 它的大小是有限值； l 周期信号的谱 F(ω) 是离散谱， 含谱密度概念，它的大小用冲激 表示； 1 l F0 (ω) 是 F(ω) 的包络的 ω 1 。
任意信号与冲激信号的卷积-卷积
任意信号与冲激信号的卷积
∙任意信号与单位冲激信号卷积的结果仍然是信号本身，即
∙任意信号与一个延迟时间为的单位冲激函数相卷积的结果，相当于把信号本身延迟，即
卷积性质
1．时间卷积定理
若，
则
时间卷积定理的意义：两个时间函数卷积的付氏变换等于它们各个时间函数频谱函数得乘积，即时域中两个信号的卷积对应于频域中它们的频谱函数的乘积。
2．频率卷积定理
若，
则
频率卷积定理的意义：两个时间函数乘积的付氏变换等于它们各自频谱函数的卷积乘以。
换言之，时域中两函数的乘积对应于频域中频谱函数的卷积的倍。
故障诊断第二章习题
第二章第一节信号特征检测一、填空题（10）1.常用的滤波器有、低通、带通、四种。
2.加速度传感器，特别是压电式加速度传感器，在及的振动监测与诊断中应用十分广泛。
3.传感器是感受物体运动并将物体的运动转换成的一种灵敏的换能器件。
4.振动传感器主要有、速度传感器、三种。
5.把模拟信号变为数字信号，是由转换器完成的。
它主要包括和两个环节。
6.采样定理的定义是：。
采样时，如果不满足采样定理的条件，会出现频率现象。
7.电气控制电路主要故障类型、、。
8.利用对故障进行诊断，是设备故障诊断方法中最有效、最常用的方法。
9.振动信号频率分析的数学基础是变换；在工程实践中，常运用快速傅里叶变换的原理制成，这是故障诊断的有力工具。
10．设备故障的评定标准常用的有3种判断标准，即、相对判断标准以及类比判断标准。
可用制定相对判断标准。
二、选择题（10）1.（）在旋转机械及往复机械的振动监测与诊断中应用最广泛。
A位移探测器B速度传感器C加速度计D计数器2.当仅需要拾取低频信号时，采用（）滤波器。
A高通B低通C带通D带阻3.（）传感器，在旋转机械及往复机械的振动监测与诊断中应用十分广泛。
A压电式加速度B位移传感器C速度传感器 D 以上都不对4.数据采集、谱分析、数据分析、动平衡等操作可用（）实现。
A传感器B数据采集器C声级计D滤波器5.（）是数据采集器的重要观测组成部分。
A. 滤波器B. 压电式传感器C数据采集器D数据分析仪6.传感器是感受物体运动并将物体的运动转换成模拟（）的一种灵敏的换能器件。
A力信号B声信号C光信号 D. 电信号7.在对（）进行电气故障诊断时，传感器应尽可能径向安装在电机的外壳上。
A单相感应电机B三相感应电机C二相感应电机D四相感应电机8.从理论上讲，转速升高1倍,则不平衡产生的振动幅值增大（）倍。
A1 B2 C3 D49.频谱仪是运用（）的原理制成的。
A绝对判断标准B阿基米德C毕达哥拉斯D快速傅立叶变换10.伺服控制上常用三环结构，三个环都是调节器，其中有的采用P调节器，有的采用PI 调节器，有的采用PID调节器。
卷积的本质及物理意义(整理)
卷积的本质及物理意义分三个部分来理解：1．信号的角度2．数学家的理解（外行）3．与多项式的关系卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)使用离散数列来理解卷积会更形象一点，我们把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 这是系统响应出来的信号。
同理，x(n)的对应时刻的序列为x(0),x(1),x(2)...and so on;其实我们如果没有学过信号与系统，就常识来讲，系统的响应不仅与当前时刻系统的输入有关，也跟之前若干时刻的输入有关，因为我们可以理解为这是之前时刻的输入信号经过一种过程（这种过程可以是递减，削弱，或其他）对现在时刻系统输出的影响，那么显然，我们计算系统输出时就必须考虑现在时刻的信号输入的响应以及之前若干时刻信号输入的响应之“残留”影响的一个叠加效果。
假设0时刻系统的响应为y(0)，若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(n-m)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(n-m)中的m的范围来约束的。
连续时间系统的频域分析
第三章.连续时间系统的频域分析一、任意信号在完备正交函数系中的表示法（§）信号分解的目的：● 将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。
●简化电路分析与运算，总响应=单元响应之和。
1．正交函数集任意信号)(t f 可表示为n 维正交函数之和：原函数()()()t g t g t g r Λ21,相互正交：⎩⎨⎧=≠=⋅⎰nm K nm dt t g t g m t t n m ,,0)()(21()t g r 称为完备正交函数集的基底。
一个信号可用完备的正交函数集表示,.正弦函数集有许多方便之处,如易实现等，我们主要讨论如何用正弦函数集表示信号。
2．能量信号和功率和信号（§一）设()t i 为流过电阻R 的电流，瞬时功率为R t i t P )()(2=一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。
令R = 1Ω，则在整时间域内，实信号()t f 的能量，平均功率为： 讨论上述两个式子，只可能出现两种情况： ✍∞<<W 0(有限值) 0=P✍∞<<P 0(有限值)∞=W满足✍式的称为能量信号，满足✍式称功率信号。
3．帕斯瓦尔定理设{})(t g r 为完备的正交函数集，即信号的能量 基底信号的能量 各分量此式称为帕斯瓦尔定理 P331 式（6-81） (P93, P350) 左边是信号能量，右边是各正交函数的能量。
物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。
二、周期信号的频谱分析——傅里叶级数(1) 周期信号傅里叶级数有两种形式三角形式： ()∑∞=++=1110sin cos )(n n nt n b t n aa t f ωω=∑∞=++110)cos(n n nt n cc ϕω指数形式：t jn n e n F t f 1)()(1ωω∑∞-∞==(2) 周期信号的频谱是离散谱，三个性质收敛性()↓↑)(,1ωn F n谐波性：(离散性)谱线只出现在1ωn 处，唯一性：)(t f 的谱线唯一(3)两种频谱图的关系● 三角形式：ω~n c ，ωφ~n 单边频谱● 指数形式：ωω~)(1n F , ωφ~n 双边频谱两者幅度关系 )(1ωn F =()021≠n c n000a c F ==● 指数形式的幅度谱为偶函数 ●指数形式的相位谱为奇函数(4) 引入负频率对于双边频谱，负频率)(1ωn ，只有数学意义，而无物理意义。
详解卷积公式的物理意义
详解卷积公式的物理意义作者：Uncle Jack日期：2020/03/15分解思维1. 人类科学有一个特点是喜欢使用分解的思维去理解分析很多复杂的事物，比如傅里叶级数把很多奇形怪状的函数分解成无穷多个三角函数，又比如力学分析中把单个力分解成直角坐标系中的的xy分量等等。
如果要研究以时间为自变量的函数x[t]经过系统H后会输出什么这样的问题，也可以用分解的方法去看待2. 从能量的角度看，任何信号都是由一份一份的基本能量所构成的，它们在时间轴上紧密排列，最后形成一条曲线，我们把它叫做x （t），纵轴为x（t），横轴为t，离散化之后叫x[n]，因此信号一定是时间的函数。
和我们平时经验积累起来的函数不同，平时做数学题的函数多为静态函数，也就是一个输入值对应一个输出值，这种函数当前的输出和历史的输入好像没什么关系。
3. 利用分解思维，我们也可以定义出最基本的能量单元，或者取名叫单位1能量，这样一来所有的信号都可以由这个单位1能量组成，这个单位1能量就是冲击函数δ（t），离散世界中叫做δ[n]，这个函数将用来表示单位1的能量，甚至它生成的时间位置都有做归一化处理，即在时刻0（注意这里说的是时刻）上出现单位1的能量，其余任意时刻能量都为0，为了表述方便，这里用离散函数分析通用意义。
用冲击函数表示任意函数x[n]为：因为只有当n=k时，δ[n-k]才为1，其余值都是0，所以等式是成立的。
这个公式的分析：时刻上看：在任意时刻k，信号的能量值x[k]等于x[k]乘以1，看起来像是废话，但这里面透露的深层次信息为：信号x[k]已经被分解，改用单位1能量的倍数来表示总时间上看：用单位1能量描绘了信号x[n]在时间轴上各个时刻的能量值大小现在假设x[n]经过一个线性移不变系统H，输出为y[n]，因为线性，所以下面等式成立：又因为移不变性，所以下面等式成立：其中h[n]是系统H的冲击响应函数，h[n-k]是第n-k时刻对应的冲击响应值第一个关键的东西来了，冲击响应是什么？直观理解就是冲击信号通过系统之后的输出，这个输出函数同输入函数一样，也是带着一个时间自变量的信号。
卷积公式
卷积公式卷积的物理意义是将输入信号用时移加权的单位冲激信号和（积分）表示，然后输出就是各个冲激信号作用系统后再求和，而时移量u（f(t-u)），再对u积分，就产生了反转。
卷积的物理意义(2009-11-30 09:25:54)卷积这个东东是“信号与系统”中论述系统对输入信号的响应而提出的。
因为是对模拟信号论述的，所以常常带有繁琐的算术推倒，很简单的问题的本质常常就被一大堆公式淹没了，那么卷积究竟物理意义怎么样呢？卷积表示为y(n) = x(n)*h(n)假设0时刻系统响应为y(0),若其在1时刻时，此种响应未改变，则1时刻的响应就变成了y(0)+y(1),叫序列的累加和（与序列的和不一样）。
但常常系统中不是这样的，因为0时刻的响应不太可能在1时刻仍旧未变化，那么怎么表述这种变化呢，就通过h(t)这个响应函数与x(0)相乘来表述，表述为x(m)×h(m-n)，具体表达式不用多管，只要记着有大概这种关系，引入这个函数h(t)就能够表述y(0)在1时刻究竟削弱了多少，然后削弱后的值才是y(0)在1时刻的真实值，再通过累加和运算，才得到真实的系统响应。
再拓展点，某时刻的系统响应往往不一定是由当前时刻和前一时刻这两个响应决定的，也可能是再加上前前时刻，前前前时刻，前前前前时刻，等等，那么怎么约束这个范围呢，就是通过对h(n)这个函数在表达式中变化后的h(m-n)中的m 的范围来约束的。
即说白了，就是当前时刻的系统响应与多少个之前时刻的响应的“残留影响”有关。
当考虑这些因素后，就可以描述成一个系统响应了，而这些因素通过一个表达式（卷积）即描述出来不得不说是数学的巧妙和迷人之处了。
对于非数学系学生来说，只要懂怎么用卷积就可以了，研究什么是卷积其实意义不大,它就是一种微元相乘累加的极限形式。
卷积本身不过就是一种数学运算而已。
就跟“蝶形运算”一样，怎么证明，这是数学系的人的工作。
在信号与系统里，f(t)的零状态响应y(t)可用f(t)与其单位冲激响应h(t) 的卷积积分求解得，即y(t)=f(t)*h(t)。
傅里叶变换卷积定理
傅里叶变换卷积定理前言傅里叶变换卷积定理是信号处理中非常重要的定理之一。
它将时域上的卷积运算转换为频域上的乘法运算，大大简化了复杂信号的处理过程。
本文将详细介绍傅里叶变换卷积定理的定义、原理和应用。
什么是傅里叶变换卷积定理傅里叶变换卷积定理（Fourier Transform Convolution Theorem）是指在时域上进行卷积运算等价于在频域上进行相乘运算的关系。
简单来说，如果我们有两个信号，分别是函数f(t)和函数g(t)经过卷积运算后得到的h(t)，那么在频域上，函数f(t)和g(t)的傅里叶变换分别是F(ω)和G(ω)，经过乘法运算后得到H(ω)。
也就是说，函数h(t)的傅里叶变换H(ω)等于函数f(t)和g(t)的傅里叶变换F(ω)和G(ω)的乘积。
傅里叶变换卷积定理的数学表达式傅里叶变换卷积定理可以用数学公式来表示：ℱ(f(t)∗g(t))=ℱ(f(t))⋅ℱ(g(t))其中，ℱ表示傅里叶变换运算。
傅里叶变换卷积定理的证明傅里叶变换卷积定理的证明可以通过傅里叶变换的性质和卷积运算的定义来完成。
首先，我们知道傅里叶变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：ℱ(af(t)+bg(t))=aℱ(f(t))+bℱ(g(t))其次，我们知道卷积运算的定义为：∞(f∗g)(t)=∫f(τ)g(t−τ)dτ−∞我们将卷积运算进行傅里叶变换：ℱ((f∗g)(t))=ℱ(∫f∞−∞(τ)g(t−τ)dτ)=∫f∞−∞(τ)g(t−τ)e−j2πτωdτ=∫f∞−∞(τ)e−j2πτωdτ⋅∫g∞−∞(t−τ)e−j2π(t−τ)ωd(t−τ)=F(ω)⋅G(ω)其中，F(ω)和G(ω)分别为函数f(t)和g(t)的傅里叶变换。
因此，我们得到了傅里叶变换卷积定理的证明。
傅里叶变换卷积定理的应用傅里叶变换卷积定理在信号处理中有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用场景：1. 信号去噪在频域上，噪声通常会表现为频谱中的高频成分。