不等式有解和恒成立问题

不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020

不等式有解和恒成立问题

知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好）

➢ 知识点一：不等式恒成立问题

➢ 知识点二：不等式有解问题

分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题)

含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。

注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的)

一、不等式有解问题

例题：当m 为何值时，2211223

x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法：

移项、通分得：

又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。

所以：2(2)160m ∆=+-<，得到62m -<<

解法2：分离参数法：

注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么：

注意到，在上式中我们用到了这样一个性质：

总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法

变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目）

【试题来源】（上海2016杨浦二模卷）

【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b

x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.

【答案】：因为b x g a x g x f +++=

)()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1

321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增.

由0))(2()1)((>⋅-+-x g k f x h f 得))(2()1)((x g k f x h f ⋅-->-，又因为)(x f 是实数集上的奇函数，所以，)2)(()1)((-⋅>-x g k f x h f ，

又因为)(x f 在实数集上单调递增，所以2)(1)(-⋅>-x g k x h

即23132-⋅>-x x k 对任意的R x ∈都成立， 即x x k 3

13+<对任意的R x ∈都成立，2

例题：已知函数)(x f 在定义域(]1,∞-上是递减函数，是否存在实数k 使

)sin ()sin (22x k f x k f -≥-对R x ∈恒成立并说明理由。

【答案】：由)(x f 递减以及)sin ()sin (22x k f x k f -≥-可知：

22sin sin k x k x -≤-对于R x ∈恒成立，也即：22sin sin x x k k -≤-对于R x ∈恒成立。

再考虑到函数)(x f 的定义域，我们容易知道：

2222sin sin 1sin 1sin k k x x k x k x ⎧-≥-⎪≤+⎨⎪≤+⎩

对于R x ∈恒成立，而： 变式练习：

【试题来源】 （上海2015年闸北一模）

【题目】存在实数a 使不等式12x a -+≤ 在[1,2]- 成立,则a 的范围为

【解析】有解问题，()1(1)1max 224x a -+--+≤==

课堂总结：

解决不等式有解和恒成立问题的方法

✧ 二次函数法。在之前的讲义中，我们在二次函数那一节已经适当讨论了一些一元二次不等式的

恒成立（有解）问题。事实上，在高考中，很多不等式可以通解变形为一元二次不等式。因此利用二次函数来求解不等式的恒成立（有解）问题是一个非常有用的方法。

✧ 分离参数法。所谓分离参数法就是将不等式同解变形为()a f x >或者()a f x <的形式，然后再利

用以下命题进行求解。

m min ax ()()(())a f x a x a f x f >⇔>>恒成立（有解） ；

m max in ()()(())a f x a x a f x f <⇔<<恒成立（有解）.

课后作业（课后作业的题目需要和本节课的知识点相关，作业量不宜太多，难度上有所控制）

1、若不等式1log (10)0x a a --<有解，则实数a 的范围是____ .

2、函数()f x )对一切实数,x y 均有()()(21)f x y f y x y x +-=++成立，且(1)0f = ．

(1)求(0)f 的值；

(2)求()2log ,10,2a f x x x +<⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭恒成立时，求a 的取值范围．

3、若不等式 对一切x 恒成立，求实数m 的范围。

4、已知2(1)()(0)2x p x p

f x p x p +++=>+

（1）若1p > 时，解关于x 的不等式()0f x ≥ ；

（2）若()2f x >对24x ≤≤ 时恒成立，求p 的范围.

5、已知2

1

0,0,1x y x y >>+= ,若222x y m m +>+ 恒成立,则实数m 的取值范围