单自由度系统振动总结与习题解析
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
单自由度系统的振动
Gl l 3 d st = 48 EI
式中，I为粱的截面惯性矩，据图可算出I＝406cm4。由此式可静变 形为δst＝0.755cm 梁的刚度为： 固有频率为：
G1 k= d st
G1 / d st k g 980 wn = = = = = 36rad / s m G1 / g d st 0.755
（ 1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力
解：
振动频率 0
gk 19.6rad / s W
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有：x0 0 振动解：
v
k
0 v x
静平衡位置
v
0
sin(0t ) 1.28 sin(19.6t ) (cm)
0.15
机器转速 n＝2400r/min
求：（ 1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅
解：
频率比：
2n 1 3.2 0 60 2f n
B
弹性支承的刚度：
2 k m0 880 (2 12.5) 2 5.43 106 N
机器振动的振幅 ：
5 5
W
2.21 105 ( N )
由于
kA k v v km
动张力几乎是静张力的一半
0 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例：圆盘转动，圆盘转动惯量 I
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生
单位转角所需的力矩
( N m / rad )
k
I
由材料力学，等直圆轴的扭转刚度为
加特别声明时，弹簧质量系统是广义的
kx 0 m x
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
结构动力学第二章 单自由度系统的振动2
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。 注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微 小时段 有关，一般可取小于系统自振周期 的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是 用一系列离散数据表示（如试验数据），此时 的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有: 牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1. 牛顿第二定律法适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
2. 动量距定理法适用范围: 绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
3. 拉格朗日方程法:适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1）设系统的广义坐标为 , 写出系统对于坐标 的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式: L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0, 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
4. 能量守恒定理法适用范围: 所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤: （1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 , 进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个: 衰减曲线法和共振法。
方法一: 衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线, 并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 , 进一步推导有,因为 较小, 所以有πδζ2=。
燕山大学振动理论习题答案
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0
第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动
tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示
第二章 单自由度系统的振动1(长沙理工大学结构动力学)
（2-2）
这是个常系数线性齐次微分方程
2、自由振动方程的解
方程（2-2）的通解由数学知识可知为： y(t ) C1 sin t C2 cos t （2-3） C1、C2为待定系数，可由初始条件确定。 0 y (0) 代入（2-3） 设t=0时的初始位移 y0 y(0)， 初速度 y
二、阻尼的量测
对相邻幅值比取自然对数，称为对数递减率 y 即：
y ln e
TD
TD
y
2
D
2
1 2
（2-13） 2 2 y 2 为获得更高精度的 可量测相隔m个周期的两个幅值比 y' 这时阻尼比为： （2-14） 2 2 2 m y ' 其中：
其中 -柔度系数（单位力作用下相应的位移） k –刚度系数（单位位移作用下所需加的力） g –重力加速度
W
–重力 yst –重力引起的位移
例1) 、试建立图示结构的运动方程（考虑阻尼）并求自振频率 （不计阻尼）。设横梁刚度无限大， 柱 EI 4.5 106 Nm2 梁的质量 m=5000kg。h=3m 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产生水平 h EI 位移。设x坐标向右。二柱的侧移劲度系数为： 12 EI k k1 k2 3 = h 2 y P(t) m 又设横梁（质量m）位移为y，以它为隔离 体，受力如图所示。 F F cy
列x方向全部力的平衡方程，即可得结构的运 动方程为 ky P(t ) m y cy
12 EI k s1 F F y y 图中Fs1和Fs2可由位移法知 s1 s 2 h3 2 y
P(t)
单自由度振动系统的运动方程及其解析解
单自由度振动系统的运动方程及其解析解单自由度振动系统是指只有一个自由度的振动系统，其运动方程可以用一个二阶常微分方程表示。
在这篇文章中，我们将讨论单自由度振动系统的运动方程及其解析解。
1. 引言振动是自然界中一种常见的现象，也是物体在受到扰动后产生的周期性运动。
单自由度振动系统是研究振动现象的基本模型，它可以用来描述弹簧振子、摆锤等物理系统的振动。
2. 运动方程的建立对于单自由度振动系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导而来。
假设系统的质量为m，位移为x，系统受到的外力为F，弹性系数为k，则可以得到如下的运动方程：m*x'' + k*x = F3. 简谐振动的解析解当外力为零时，即F=0，单自由度振动系统的运动方程简化为：m*x'' + k*x = 0这是一个常系数线性齐次二阶常微分方程，可以通过特征方程的方法求解。
假设解为x(t) = A*cos(ωt + φ)，代入方程中可以得到：-m*ω^2*A*cos(ωt + φ) + k*A*cos(ωt + φ) = 0整理得到：(ω^2*m - k)*A*cos(ωt + φ) = 0由于A*cos(ωt + φ)不为零，所以可以得到特征方程：ω^2*m - k = 0解特征方程可以得到系统的固有频率：ω = sqrt(k/m)因此，单自由度振动系统的解析解为：x(t) = A*cos(ωt + φ)其中A和φ为待定常数，分别表示振幅和相位。
4. 非简谐振动的解析解当外力不为零时，即F≠0，单自由度振动系统的运动方程为：m*x'' + k*x = F这是一个非齐次线性二阶常微分方程，可以通过特解和通解的方法求解。
首先求解齐次方程，得到通解：x_h(t) = A*cos(ωt + φ)然后求解非齐次方程的特解，可以通过待定系数法或者复数法得到特解。
最后将通解和特解相加，得到系统的解析解：x(t) = x_h(t) + x_p(t)其中x_h(t)为齐次方程的通解，x_p(t)为非齐次方程的特解。
第一章习题答案
习 题1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz 的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：)sin()(ϕω+=t a t u对物体分离作受力分析: Fs mg t um -=)( 要使物体不条离台面，要求0≥Fs ，即： mg t um ≤)( 也就是2max )(ωa t ug =≥ m fg ga 0099.0422==≤∴πω1-2 求简谐运动u t t 1540()cos =和u t t 2339()cos =合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其拍频和周期。
解：最大振幅为8最大振幅为21-4 图中简支梁长l =4m 、抗弯刚度EI =⨯1961062.Nm ，且k =⨯49105.N /m ，m =400kg 。
分别求图示两种系统的固有频率。
题1-4图解：简支梁的等效刚度 m N lEIk e 53107.1448⨯==左图系统等效于弹簧并联：m N k k k e 51106.19⨯=+=系统固有频率为：s rad mk n /701==ω 右图系统等效于弹簧串联：m N k k kk k ee68.32=+=系统固有频率为：s r a d mk n /3.302==ω 1-5 钢索的刚度为4105⨯N /m ，绕过定滑轮吊着质量为1000kg 的物体以匀速0.5m/s 下降。
若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动固有频率s rad mkn /20==ω 初始条件是：s m uu 5.0)0(,0)0(== 则系统的振幅025.0)0()0(222=+=n uu a ω故由振动引起的最大动张力N ka mg T T T 421102⨯=+=+=1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为δs 。
现重新将重物挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的初速度 u0，求重物的位移响应和从开始运动到它首次通过平衡位置的时间。
1单自由度系统振动总结与习题解析
第一项为自由振动项， 完全由初始条件 决定； 第二项称为伴随自由振动项， 它 由干扰力引起， 但其振动频率为有阻尼 自由振动频率， 这两项均为自由振动部 分；第三项是干扰力引起的纯强迫振 动， 是频率与干扰力频率相同的简谐振 动。
1 (1 ) (2 ) 2
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并 且不随时间 t 而变。 2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相 同，与阻尼无关。 3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫 振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 x st 大 倍（ 称为动力放大系数） 。
cos( ) n sin( ) sin nd t ] nd
n
K g M
2、等效法
2 M e 动能：T真实＝T等效＝ M e x
2 势能：V真实＝V等效＝ K e x K e
1 2
1 2
n
Ke Me
3、能量法
Tmax
Vmax
1 KA2 2
1 M n 2 A 2
Vmax Tmax n
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
②
1 Mr 2 是滑轮的惯性矩。 2
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
1 r (mg mx ) kr 2 mgr Mr 2 2
代替 ，运动方程变为： x 用 r 代替 x ， r
1 kr 2 0 ( Mr 2 mr 2 ) 2
T=
n
U=
max A n
1 k ( a ) 2 2 A
T max U max ；
(整理)1 单自由度体系的自由振动.
y sy(t)s=-k(y+y s )w=mg F(t)=-m y§1 单自由度体系的自由振动一、无阻尼的自由振动：如下图，以单自由度体系为例，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg =，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
今考虑在振动过程的某一瞬时t ，设质量在此瞬时离开其平衡位置的位移为y ，取质量为隔离体，则在质量上作用有三种力：质量的重量W ，杆件对质量的弹性恢复力S 和惯性力F(t)。
根据达朗伯原理，这三个力应成平衡，即 W+S+F(t)＝0 （1） 在弹性体系中，弹性恢复力S 为 ()s k y y s =-+上式中的K 为一常数，称为刚度系数，代表简支梁上使质量在运动方向产生单位位移时需要加在质量上的沿质量运动方向的集中力的量值。
式中负号表示s 的指向和位移的方向相反。
而 1y s W k=⋅ 即 y s W k =⋅因此，将()s k y y s =-+和y s W k =⋅代入式（1）得()0F t ky =-+ （2）上式表明，如果以静力平衡位置作为计算位移的起点，则建立体系的运动方程时，可以不考虑重力W 的影响。
这对其他体系的振动（包括受迫振动）也同样适用。
将22()d yF t m dt =-代入式（2）得：22()0d ym ky t dt+= 令2k m ω= dyy dt= （速度） 22d y y dt =（加速度） 则 22()0d ym ky t dt+= 可变为 20y y ω+= （3）此为单自由度体系无阻尼自由振动的运动方程，它反映了这种振动的一般规律。
第五章补充_单自由度系统的振动讲解
k —固有频率；
m
x n2x 0
解的形式：
x(t) cest,
特征方程：
s2 n2 0
方程特征根：
s jn
k
其中c、s为常量。
3.1单自由度系统的自由振动
特征解：
x1 c1es1t ,
x2 c2es2t
根据线性系统叠加原理，方程的通解为两个特征解的线性叠加:
3.2单自由度系统的强迫振动
x(t)
F0
k(1 2 )
(sin
t
sin
nt)
当激振力频率与固有频率接近，令： n 2n ,ε为一小量。
x(t)
F0
2k
sin
nt
cosnt
F0
2k
nt
cos nt
即出现“拍”的现象。
3.2单自由度系统的强迫振动
习题
1. 单摆
O
以角度θ为位移,建立运动方程，并求振动 θ
固有频率。
l
m
3.1单自由度系统的自由振动
2 . 升降机问题
升降机箱笼质量为m，由钢丝绳牵挂 以速度v0向下运动，钢丝绳刚度系数 为k，质量不计。如果升降机紧急刹 车，钢丝绳上端突然停止运动。 求此时钢丝绳受到的最大张力Tmax
（弹簧减振钩）
x1(t)
瞬态响应（通解） x1(t) ent (a1 cosdt a2 sin dt)
为对应齐次方程 mx cx kx 0 在欠阻尼情况下的解。
x2(t) 稳态响应（特解） x2(t) X sin( t )
为强迫振动下系统的特解。
3.2单自由度系统的强迫振动
习题课-单自由度-题目与参考答案
题目1 质量m1悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡状态，质量m2从高度h处自由下落到m1上且没有弹跳。
求：（1）碰撞后m2的运动规律；（20％）（2）m2下降的最大距离。
（25％）题目1图题目2 图示刚性曲臂绕铰点O的转动惯量为I，求：（1）系统的振动微分方程；（20％）（2）系统的固有频率。
（10％）题目2图题目3 无阻尼单自由度系统受到图示力作用（假设初始条件为0），求系统的强迫振动响应。
（30％）题目3图1、解：振动微分方程：()021=++kx xm m 式中x 原点为两个质量m 1和m 2同时悬挂在弹簧k 上时的平衡位置。
初始条件：初始位移：kg m x 20-=；初始速度：21202m m gh m x +=运动响应：t b t a x n n ωωcos sin +=根据初始条件获得方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==-=n a m m gh m x b k g m x ω2120202 得到()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=n m m ghm a k g m b ω21222 运动响应：()t kgm t m m gh m t b t a x n n n n n ωωωωωcos sin 2cos sin 2212-+=+=m 1和m 2同时下降的最大距离：()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=g m m kh k g m m m gh m k g m k g m A k g m h n 21222122222max 2112ω m 1和m 2同时下降的最大距离的能量法：()()()2121max 2122122max 2212121m m gh m V kg m gh m m V m m k h k +==+++=-+δδδ()221221max 22max 22⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+=-m m gh m m m gh m kh()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+++=g m m khk g m m m gh m k m m k g m k g m k m m gh m m m k g m g m h 212221221222221221222max2112224222、解：建立绕O 点的角度θ，则⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb x l x a x 321（1）力学分析方法 取隔离体受力分析： 刚性臂：02130=++⋅+l F a F b b k I θθ 质量m1：011111=-+F x k xm 质量m2:022222=-+F x k xm 则：()()022********=++++⋅+l x k x m a x k x m b b k I θθ [][]02211230=+++++l l k l m a a k a m b k I θθθθθθ 微分方程：()()023222122210=+++++θθb k l k a k l m a m I固有频率：（2）能量法 总动能：()()22212022221120221212121212121θθθθθ l m a m I x m x m I m e ++=++= 则：22210l m a m I m e ++=总势能：()()()232221233222211221212121212121θθθθb k l k a k x k x k x k k e ++=++= 则：232221b k l k a k k e ++=振动微分方程为：0=+θθee k m 固有频率：een m k =ω3、解：微分方程：()t P kx xm =+ 激振力：()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=22121100t t t t t P t t P t P 根据杜哈梅积分有：()()()τττd t h P t x t⋅-⋅=⎰0()t h 根据方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+m x x kx x m 10000确定为()t m t h n nωωsin 1=则：()()()()()ττωτωτττd t P m d t h P t x ntnt⋅-⋅=⋅-⋅=⎰⎰sin 10则解为：()()()()()()()()()()()()[]()()()()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥---+--≤≤--+--≤≤-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⋅≤≤⋅-⋅=⋅-⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰21221121121111220121201101cos cos cos cos cos 1cos cos 0cos 1sin sin 1sin sin 10sin 1sin 121111t t t t t t kP t t t kP t t t t t k P t t t k Pt t t k P t t d t P d t P m t t t d t P d t P m t t d t P m d t P m t x n n n n n n n n n t t n t n n t t n t n nt n ntnωωωωωωωωττωττωωττωττωωττωωττωτω。
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h2F cos α＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ题1-1图题1-2图F sin α2θhmg其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g ha l ga h l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
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50 n
ke m
，所以 m
ke 50 2
3 10 5 50 2
120
kg
解: 为小球偏角时,弹簧伸长以及锤的位移可表示成 a ,l ,
T= 1 m(l)2 ； 2
U= 1 k(a )2 2
令 Asin(nt ) max A Asin(n ) An
T max U max；
1 ml 2 A2 2
1 2
Ka2 .A22 n 2
n
a l
k； m
周期 T= 2l m ak
Mx Kx P0 sin t
.
x
x0
cos nt
xo n
sin
nt
xst
1
n
2
n
sin nt
xst
1
n
2
sin t
Mx Cx Kx 0
x ent (x0 cosnd
x&0 nx0 nd
sin
nd t )
典型响应曲线
主要特性
n 系统振动的固有频率。n 2f =
K
=
M
g ＝ Ke
l
解：假定一个梁在振动时的挠度曲线：
y(x) Asin x l
假设梁按简谐规律振动，则梁上各点的振动位移为
v( x, t )
Asin
l
x sin(nt
)
因此梁上各点的速度分布为
因而动能最大值为
v( x, t )
Asin l
x n
c os ( n t
)
Tmax
1 2
Mn 2 A2
1 2
q g
k m
2 106 134.8rad/s 110
因为 A xst ，所以
A xst
F0
A mn2
mn2 A 110134.82 0.0019 2.53
F0
1500
当运动频率为 150rad/s 时， 150 1.113 n 134 .8
又因为
1
(1 2 )2 (2 )2
所以 1 1 (1 2)2 1 1 (11.1132)2 0.142
Me
稳态强迫振动的振幅 A 和静态力作用下的位移的 关系： A xmax xst 动力放大系数
1 1( ຫໍສະໝຸດ )2n ，共振n
接近n ，拍振
2n
C M
， nd
n
1
n n
2
，阻尼比
n n
C Cc
， Cc 称为临界阻尼系数，对数衰
减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度
Ln
xm xm1
Aentm Aentm Td
t o
P(
)en(t
)
sin
nd
(t
)d
振
动
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并
且不随时间 t 而变。
2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相
同，与阻尼无关。
3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫
振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 xst 大 倍（ 称为动力放大系数）。
1
(1 2 )2 (2 )2
解： 张力为常数，小变形，故复原力为：T[x / a x /(L a)] 应用牛顿第二定律，得运动方程： m&x&T[x / a x /(L a)] 0 ，即 m&x&TL /[a(L a)]x 0
n
TL ma(L a)
3、如下图所示的，带有集中荷重W Mg 的简支梁中，梁的自重为 Q ql ( q 为 梁每单位长度的重量)，用能量法决定其固有频率。（假定梁在振动时的挠度曲线 为 y(x) Asin x ）
enTd
简
Mx Cx Kx P0 sin(t )
谐
激 力
x(t)
e nt
(x0
cosnd t
x0 nx0 nd
sin nd t)
下
ent A[sin( ) cosndt
的 粘
cos(
) nd
n
sin(
)
sin
nd
t
]
性
阻
Asin(t )
尼
第一项为自由振动项，完全由初始条件
利用等效能量法求图示系统的固有频率
解:真实系统:T= 1 2
m1( l2 l4
x)
2
+
1 2
m2.
x 2
U=
1 2
k1
(
l1 l4
.x) 2
1 2
k
2.
(
l3 l4
.x) 2
等效系统
T
e
=
1 2
me.
x 2
V
e
=
1 2
ke
x
2
T=T e
m e =m 2
+m
1
(
l l
2 4
)2
V=V e
k e (
l1 l4
当力的作用时间 t1
T 2
，最大动力响应发生在
t T 处，反之由在力的作用结束之后出现。 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
1 Mr2&& r(mg m&x&) kr2 mgr
2
用 r 代替 x ， r&&代替 &x&，运动方程变为：
(1 Mr2 mr2 )&& kr2 0
2
所以，固有频率 n
k M /2m
转动问题：
1）列力的动平衡方程 2）列矩的动平衡方程 3）得运动方程 4）定义求固有频率
5下图表示一质量m系在弦上并具有张力T。假定小变形，振动时张力不 变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。
2 2
2 1.113 2.532
作业
当 m 为多大时，如图所示系统才发生共振？
解：以静平衡位置为原点建立坐标，并设 m 向右移动 x ，则 mx k1x k2x 0 ，即 mx (k1 k2)x 0 所以系统的等效刚度为 ke k1 k2 3 105 N/m 当激振力频率和系统固有频率相等时，共振才会发生，即
因为 x不可能总等于零，因此运动方程为 3 mx kx 0 2
故有n 2k 3m
质量为 110kg 的机器固定在刚度为 2×106N/m 的弹性基础上，当机器的运作频 率为 150rad/s 时，机器产生 1500N 的简谐激振力，机器的稳态振幅测得为 1.9mm， 则基础的阻尼比为多少？
解：系统固有频率为n
J02
J 0 为圆柱体的惯性矩 J0
1 mr2 2
，同时有 r
x ， r
x
因此系统在任何时候，动能
T
1 mx2 2
1 2
J02
1 mx2 2
1 (1 mr2 )(xr)2 22
3 mx2 4
系统的位能为V 1 kx2 2
由于 d (T V ) 0 ，所以可得 ( 3 mx kx)x 0
dt
2
)2
+k 2
( l3 l4
)2
n2
k1l12 k2l3 3 m2l4 2 m1l2 2
一质量为 m 、半径为 r 的圆柱体用常数为 k 的弹簧连接，如图所示。若它沿粗糙 的水平表面无滑动地自由滚动，试用能量法求它的固有频率。
解：系统的总动能由转动动能和平移动能组成，即
T
1 mx2 2
1 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
并联弹簧： Ke K1K2
串联弹簧：
Ke
K1 K2 K1K2
V真 实 ＝ V等 效 ＝ 1 2Kex2Ke
2、求如图所示系统的自由振动的频率
解：k e =
1 =2k； 1 1 3
2k k
wn =
ke = me
2K 3M
系
决定；第二项称为伴随自由振动项，它
统
由干扰力引起，但其振动频率为有阻尼
强
自由振动频率，这两项均为自由振动部
迫
振
分；第三项是干扰力引起的纯强迫振
动，是频率与干扰力频率相同的简谐振
动
动。
任
意
激
力 下 系 统
x(t)
e nt
x0
cos
nd
t
t
x&0 nx0 nd
sin
nd
t
t
强 迫
1
M nd
)
ke3 w ；
ke
k1k2 (a b)2 a 2k1 b2k2
4、求下图所示弹簧-质量-滑轮系统的固有频率。
解：用牛顿定律，对质量 m： mg T m&x& ①
对滑轮 M： J0&& Tr kr 2 ( 0 ) ②
式中，
J0
1 2
Mr 2
是滑轮的惯性矩。
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
3、求等效刚度Ke
解:等效系统简图: Mk=w
由图可求:k 1
1
(a+b)=w.b
1
=
w k1
b ab
k
2
2
(a+b)=w.a 2
=
w K2
a ab
3
=
2
+
a
b
b
.(1
2