单自由度系统振动总结与习题解析

J02
J 0 为圆柱体的惯性矩 J0
1 mr2 2
，同时有 r
x ， r
x
因此系统在任何时候，动能
T
1 mx2 2
1 2
J02
1 mx2 2
1 (1 mr2 )(xr)2 22
3 mx2 4
系统的位能为V 1 kx2 2
由于 d (T V ) 0 ，所以可得 ( 3 mx kx)x 0
dt
2
1 机械振动的分类
自由度
阻尼
单自由度
无阻尼
多自由度 粘性阻尼
连续体
流体阻尼
摩擦阻尼
外激力 自由 强迫 自激 参数
响应 简谐 周期 瞬态 随机
振
动
类
力学模型
型
无 阻 尼 自 由 振 动
无 阻 尼 强 迫 振 动
粘 性 阻 尼 自 由 振 动
振动方程及响应
Mx Kx 0
x
x0
cos nt
x0
sin nt
l
解：假定一个梁在振动时的挠度曲线：
y(x) Asin x l
假设梁按简谐规律振动，则梁上各点的振动位移为
v( x, t )
Asin
l
x sin(nt
)
因此梁上各点的速度分布为
因而动能最大值为
v( x, t )
Asin l
x n
c os ( n t
)
Tmax
1 2
Mn 2 A2
1 2
q g
利用等效能量法求图示系统的固有频率
解:真实系统:T= 1 2
m1( l2 l4
x)
2
+
1 2
m2.
x 2
U=
1 2
k1
(
l1 l4
.x) 2
1 2
k
2.
(
l3 l4
.x) 2
等效系统
T
e
=
1 2
Hale Waihona Puke Baidume.
x 2
V
e
=
1 2
ke
x
2
T=T e
m e =m 2
+m
1
(
l l
2 4
)2
V=V e
k e (
l1 l4
Mx Kx P0 sin t
.
x
x0
cos nt
xo n
sin
nt
xst
1
n
2
n
sin nt
xst
1
n
2
sin t
Mx Cx Kx 0
x ent (x0 cosnd
x&0 nx0 nd
sin
nd t )
典型响应曲线
主要特性
n 系统振动的固有频率。n 2f =
K
=
M
g ＝ Ke
解： 张力为常数，小变形，故复原力为：T[x / a x /(L a)] 应用牛顿第二定律，得运动方程： m&x&T[x / a x /(L a)] 0 ，即 m&x&TL /[a(L a)]x 0
n
TL ma(L a)
3、如下图所示的，带有集中荷重W Mg 的简支梁中，梁的自重为 Q ql ( q 为 梁每单位长度的重量)，用能量法决定其固有频率。（假定梁在振动时的挠度曲线 为 y(x) Asin x ）
系
决定；第二项称为伴随自由振动项，它
统
由干扰力引起，但其振动频率为有阻尼
强
自由振动频率，这两项均为自由振动部
迫
振
分；第三项是干扰力引起的纯强迫振
动，是频率与干扰力频率相同的简谐振
动
动。
任
意
激
力 下 系 统
x(t)
e nt
x0
cos
nd
t
t
x&0 nx0 nd
sin
nd
t
t
强 迫
1
M nd
解: 为小球偏角时,弹簧伸长以及锤的位移可表示成 a ,l ,
T= 1 m(l)2 ； 2
U= 1 k(a )2 2
令 Asin(nt ) max A Asin(n ) An
T max U max；
1 ml 2 A2 2
1 2
Ka2 .A22 n 2
n
a l
k； m
周期 T= 2l m ak
因为 x不可能总等于零，因此运动方程为 3 mx kx 0 2
故有n 2k 3m
质量为 110kg 的机器固定在刚度为 2×106N/m 的弹性基础上，当机器的运作频 率为 150rad/s 时，机器产生 1500N 的简谐激振力，机器的稳态振幅测得为 1.9mm， 则基础的阻尼比为多少？
解：系统固有频率为n
enTd
简
Mx Cx Kx P0 sin(t )
谐
激 力
x(t)
e nt
(x0
cosnd t
x0 nx0 nd
sin nd t)
下
ent A[sin( ) cosndt
的 粘
cos(
) nd
n
sin(
)
sin
nd
t
]
性
阻
Asin(t )
尼
第一项为自由振动项，完全由初始条件
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
并联弹簧： Ke K1K2
串联弹簧：
Ke
K1 K2 K1K2
V真 实 ＝ V等 效 ＝ 1 2Kex2Ke
2、求如图所示系统的自由振动的频率
解：k e =
1 =2k； 1 1 3
2k k
wn =
ke = me
2K 3M
t o
P(
)en(t
)
sin
nd
(t
)d
振
动
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并
且不随时间 t 而变。
2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相
同，与阻尼无关。
3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫
振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 xst 大 倍（ 称为动力放大系数）。
1
(1 2 )2 (2 )2
l 0
(
A
s
in
l
x
n
)
2
dx
1 2
A2n2 (M
1 2
Q) g
在最大振幅位置
Vmax
1 2
KA2
1 2
48EI l3
A2
由
Vmax Tmax 求得：
n =
48EI
M
1 2
Q g
l 3
4、细杆OA可绕水平轴O转动，如图，在静平衡位置时成水平，杆端 重锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可忽略不计，求自由振动的固有周期。
)2
+k 2
( l3 l4
)2
n2
k1l12 k2l3 3 m2l4 2 m1l2 2
一质量为 m 、半径为 r 的圆柱体用常数为 k 的弹簧连接，如图所示。若它沿粗糙 的水平表面无滑动地自由滚动，试用能量法求它的固有频率。
解：系统的总动能由转动动能和平移动能组成，即
T
1 mx2 2
1 2
1 Mr2&& r(mg m&x&) kr2 mgr
2
用 r 代替 x ， r&&代替 &x&，运动方程变为：
(1 Mr2 mr2 )&& kr2 0
2
所以，固有频率 n
k M /2m
转动问题：
1）列力的动平衡方程 2）列矩的动平衡方程 3）得运动方程 4）定义求固有频率
5下图表示一质量m系在弦上并具有张力T。假定小变形，振动时张力不 变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。
2 2
2 1.113 2.532
作业
当 m 为多大时，如图所示系统才发生共振？
解：以静平衡位置为原点建立坐标，并设 m 向右移动 x ，则 mx k1x k2x 0 ，即 mx (k1 k2)x 0 所以系统的等效刚度为 ke k1 k2 3 105 N/m 当激振力频率和系统固有频率相等时，共振才会发生，即
3、求等效刚度Ke
解:等效系统简图: Mk=w
由图可求:k 1
1
(a+b)=w.b
1
=
w k1
b ab
k
2
2
(a+b)=w.a 2
=
w K2
a ab
3
=
2
+
a
b
b
.(1
2
)
3 =
w.a k2 (a b)
b ba
+
( )
(a b) 2 k11 k2
3
=
w(a2k1 b2k2 k1k2 (a b)2
50 n
ke m
，所以 m
ke 50 2
3 10 5 50 2
120
kg
)
ke3 w ；
ke
k1k2 (a b)2 a 2k1 b2k2
4、求下图所示弹簧-质量-滑轮系统的固有频率。
解：用牛顿定律，对质量 m： mg T m&x& ①
对滑轮 M： J0&& Tr kr 2 ( 0 ) ②
式中，
J0
1 2
Mr 2
是滑轮的惯性矩。
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、固有频率求法
1、静伸长法
n
K M
g
2、等效法
动能：T真 实 ＝ T等 效 ＝ 1 2Mex& 2Me 势能：V真 实 ＝ V等 效 ＝ 1 2Kex2Ke n
Ke Me
3、能量法
Tmax
1 2
Mn2
A
Vmax
1 2
KA2
VmaxTmaxn
Me
稳态强迫振动的振幅 A 和静态力作用下的位移的 关系： A xmax xst 动力放大系数
1 1(
)2
n ，共振
n
接近n ，拍振
2n
C M
， nd
n
1
n n
2
，阻尼比
n n
C Cc
， Cc 称为临界阻尼系数，对数衰
减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度
Ln
xm xm1
Aentm Aentm Td
当力的作用时间 t1
T 2
，最大动力响应发生在
t T 处，反之由在力的作用结束之后出现。 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
k m
2 106 134.8rad/s 110
因为 A xst ，所以
A xst
F0
A mn2
mn2 A 110134.82 0.0019 2.53
F0
1500
当运动频率为 150rad/s 时， 150 1.113 n 134 .8
又因为
1
(1 2 )2 (2 )2
所以 1 1 (1 2)2 1 1 (11.1132)2 0.142