第3章+光栅化过程

矩阵M为正交矩阵（MMT=I） M-1=MT
R MRy M T x'2 (1 x'2 ) cos x' y ' x' y ' cos z ' sin x' z ' x' z ' cos y ' sin x' y ' x' y ' cos z ' sin y '2 (1 y '2 ) cos y ' z ' y ' z ' cos x' sin x' z ' x' z ' cos y ' sin y ' z ' y ' z ' cos x' sin z '2 (1 z '2 ) cos
CP ' IP P' C 1 IP C 1 P R T P
1 1
1 0 T 0 0 U x U R y U z 0
0 0 ex 1 0 0 e x 1 0 e y 1 0 1 0 e y , T 0 0 1 e z 0 1 ez 0 0 1 0 0 0 1 Vx N x 0 U x U y N z V y N y 0 1 Vx V y Vz , R N x N y N z Vz N z 0 0 0 1 0 0 0 U x U y U z U E V V y Vz V E x 1 1 CR T N x N y N z N E 0 0 1 0
原点为观察点（规点，相机位置等），n为近裁减平面到 相机平面的距离，f为远裁减平面到相机平面的距离，p为 可规空间中的一个点，p’为投影之后的投影点。
x x y y p p' z n 1 1
x 2 y a n f az b 1, z n p n f az b az b 1, z f b n f 1
1 0 M 0 0 0 1 0 0 0 tx 0 ty 1 tz 0 1
0 1 0 0
0 t x x0 0 t y y0 1 t z z0 0 1 1
称为平移矩阵
缩放变换（以原点为中心）
x' s x x' s x x0 y ' 0 y ' s y y0 z' 0 z' s z z 0 1 0
sx 0 M 0 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 0 0 1
0 sy 0 0
0 0 sz 0
0 x0 0 y0 0 z 0 1 1
称为缩放矩阵。如果缩放因子sx,sy,sz为负值，
则可以对模型进行反转
以任意点为中心的缩放变换
以任意点P（x0, y0, z0）为中心进行缩放变换，需要进行三次变换得到最终的总变 换矩阵 将点平移到原点，得到平移矩阵T1 以原点为中心进行缩放，得到缩放矩阵S 将原点平移到（x0, y0, z0），得到平移矩阵T2 总缩放矩阵
S M T2 ST1 0
1 S P
0 1 0 cos x Mx 0 sin x 0 0 0 sin x cos x 0 0 0 称为绕X轴旋转矩阵 0 1
同理可以导出绕Y轴和Z轴的旋转矩阵
cos y 0 My sin y 0
0 sin y 1 0 0 cos y 0 0
0 0 0 1
cos z sin z Mz 0 0
sin z cos z 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
绕任意轴旋转矩阵
基本思想：以旋转轴构造一局部坐标系，然后在该局部坐标系内进行旋转， 最后在进行逆变换。 基本原理：任意点可以在丌同的坐标系下表示，并且每一个坐标系都有自己 的基，这些基向量把空间坐标系作为参考系。 如果在一坐标系A下有一点P，则该点在另一坐标系B下表示为P’，则有 AP = BP’
0 z' y' 令s z ' 0 x'，则 y ' x' 0 R MRy ( ) M T uuT (1 uuT ) cos sin s
对于旋转轴丌过空间坐标系原点的情况，设点q(qx, qy, qz)为该轴上任意一点， 可以先将该轴进行平移变，使其经过坐标原点，然后再进行旋转变换，最后 进行平移逆变换来得到最终的旋转矩阵
1
旋转变换
绕X轴的旋转变换
x' x0 x' x0 y ' y y ' cos x M x 0 z0 z ' sin z ' x 1 1

构建UVN系统的元素



相机（眼睛）位置 ->eye 朝向（观察方向）->ref 辅助的“向上”向量->V V U=ref – eye N=UXV eye
U N
定位相机过程中，本身变换包括旋转和平移，因此最终的相机变换矩阵 C = TR 世界坐标系中的一点P变换到规觉坐标系下P’，有
另z Ny z '，则z Nz y ' 0 z' z N 2 2 y' z' y' 2 2 y' z'
2 2 y' z' x' y ' x N 2 2 y' z' x' z ' 2 2 y' z'
R q R q R' ' 1 0
来自百度文库图变换


模型变换是指物体姿态在空间中的变化， 包括平移、缩放、旋转等变换，视图变换 （相机变换、视点变换）将物体模型从模 型空间变换到相机空间，即以观察点（相 机）为中心的坐标空间。 模型变换：模型（物体）坐标->世界坐标 视图变换：世界坐标->视觉坐标 计算机图形学中常以UVN系统构建视图矩阵
x' y N y ', z' yN zN 0
令z Nx 0，则y Ny z Ny y Nz z Nz 0， z Nz y Ny y Nz z Ny y' z Ny z'
xN y N z N i j x' y ' 0 z Ny k z' z Nz
普通坐标不齐次坐标的相互转换
从普通坐标转换成齐次坐标时， 如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1); 如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0) 从齐次坐标转换成普通坐标时， 如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z); 如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)
以xN，yN，zN为基构成的局部坐标系矩阵M为，
M xN
yN
y '2 z '2 x' y ' z N y '2 z '2 x' z ' y '2 z '2
x' 0 z' y' 2 2 y' z' y' z' 2 2 y' z'
下面推导一点绕轴(x, y, z)T旋转一定角度的旋转矩阵，其中该轴过空间坐标 系原点(0, 0, 0)。
一、将轴觃范化
x x' y , u v y ' 令v v z z'
二、构造局部坐标系 令u为所构造局部坐标系的yN轴，
对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1, v2, v3)，使得
v = v1 a + v2 b + v3 c 对于一个点p，可以找到一组坐标(p1, p2, p3) p – o = p1 a + p2 b + p3 c p = o + p1 a + p2 b + p3 c 表示向量v和点p时都使用了代数分量形式， 但是表达一个点比一个向量需要额外信息。
帧缓冲区
齐次坐标不仿射变换
“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和 点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。”—— F.S. Hill, JR
齐次坐标的出现基于在表达一个向量v和一个点p所给出的代数分量形式可能造 成的混淆。
(1, 4, 7)
不能明确表达它是一个点，还是一个向量。
第3章 光栅化过程
什么是光栅化（Rasterazation）

光栅化是将几何数据经过一系列变换后最 终转换为像素，从而呈现在显示设备上的 过程。

光栅化的本质是坐标变换、几何离散化
变换相关概念
变换过程
物体坐标 视觉坐标 裁剪坐标
模型视图变换
投影变换
窗口坐标
视口变换
规范化设备坐标
透视除法
片断 光栅化 片断操作
1 0 T 1 0 0 R R' 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 qx qy qz 1 0 0 1 0 qx qy qz 1
0 1 0 1 T2 0 0 0 0 R ' ' T2 R ' T 1
0 0 0 1
投影变换



投影变换是物体经模型变换和视图变换后, 将三维模型从视觉空间映射到二维平面的 过程,该平面称为投影面。 投影变换的目的是构造一个可视空间，位 于可视空间之外的模型部分均不可见 投影变换主要有平行投影（正视投影、正 交投影）和透视投影
正交投影（Orthographic）
x l x'(1) 2x r l r l 1 (1) x' r l r l y b y '(1) 2y t b y' t b 1 (1) t b t b
把向量和点都已矩阵形式表示：
这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量 分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向 量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D 向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个 代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表 示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。 (1, 4, 7, 0) 表示一个向量 (1, 4, 7, 1) 表示一个点
在引入了齐次坐标之后，平移、旋转和缩放最常见 的仿射变换都可以用矩阵表示，从而使得变换更加 方便。 由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标不矩阵乘法， 因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图 形学中的一个标准。
模型变换

平移变换 缩放变换 旋转变换
平移变换
x' 1 x' x0 t x y ' 0 y ' y0 t y z ' 0 z' z t 0 z 1 0
其中yN为旋转轴
三、旋转矩阵推导 空间坐标系下一点P在局部坐标系M下表示为P’，则有
MP' IP P ' M 1 IP M 1 P P ' 在M中绕y N 旋转后，表示为P ''， 则有 P ' ' R y ( ) M 1 P P ' ' 在空间坐标系下表示为 '' '， P 则 MP' ' IP' ' ' P ' ' ' MP' ' MRy ( ) M 1 P 总的旋转矩阵为 R MRy ( ) M 1