数系的扩充 PPT

数域定义: 设F是一个数环，如果对任意的 a,b∈F而且a≠0, 则b/a∈F；则称F是一个 数域。例如有理数集Q、实数集R、复数集 C等都是数域。
大家应该也有点累了，稍作休息
青 衣
大 家 有 疑 问 的，可 以询问 wenku.baidu.com交流
10
整数系Z 有理数系Q
在整数系中，方程 ax b ,(a ,b Z ,且 a 0 ) 不总是能求解的。为此，有必要引 入新数---有理数，引入新数后，整 数系扩充到了有理数系，根据数系 扩充的原则，有理数是以整数作为 材料，且获得了对除法封闭的新性 质。
观察方程 x，2 它在1 R中没有解，为此，我们希 望再次扩大数系，使得方程有解。
于是我们引入了新的符号 ，并i 定义： i2 1
为了让符号 能i 像普通的实数那样进行加、乘，我 们造出形如 a b这i样的符号，这里的 a是, 任b 意两个实数， 称a 为 复bi数， 称为虚数i 单位。
引入复数后，我们的数系由实数系扩充到了复数 系。
四元数与八元数
• 复数 a bi 是以1 和 i 作为基向量的，哈密顿想到， 扩充复数时，必须把 a bi 的形式仍然保留下来， 而在实数a 的后面加上一个三维空间向量 bicjdk 形成了新数abicjdk，这便是四元数。
• 哈密顿使四元数和四维空间的以原点为起点的向 量一一对应，不再区分四元数与向量，如果把四 维空间的一个基取成 1, i , j , k .
数系向无限的扩充
• 迄今为止，数总是有限的数，数系的进一步扩充是向 “无限"进军。这项工作已有两项重要成就。
• 康托尔的超限数 超限数是大于所有有限数（但不必为绝对无限）的基数 或序数，分别叫做超穷基数和超穷序数。
• 罗宾逊的非标准实数系
是罗宾逊推出的超实数R * ，即非标准实数系，他的基本
思想是将“无限小”和“无限大” 作为R以外的超实
第六章
数系
数系的扩充 自然数N 扩充原则 整数Z 有理数Q
目录
实数R 复数C
四元数与八元数 数系向无限扩充
小结
为什么要进行数系的扩充？
• 从社会生活的角度来看为了满足生活和生 产实践的需要，数的概念在不断地发展。
• 从数学的内部来看，是为了满足计算的需 要，数集是在按照某种“规则”不断扩充 的。
数。
总结中学中涉及到的数系的扩充
• 自然数中减法产生了（
）（
）
• 整 数中除法产生了（
）（
）
• 自然数中开方产生了（
）（
）
• 负 数中开方产生了（
）（
）
谢 谢！
数系扩充的原则
• 原则三：旧数系是新数系的一部分，而且把旧数 系的元素看成新数系时，服从同样的运算规律， 及构成一种“嵌入”。
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，旧数系N是新数系Z中 的一部分，而且N中的元素还是符合Z中的运算规律的。
自然数系N 整数系Z
数环定义:设S是复数集的非空子集。如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S， 则称S是一个数环。例如整数集Z就是一个 数环，有理数集Q、实数集R、复数集C等 都是数环。
那么任意四元数可以表示为：Xabicjdk.
• 八元数的集合是实数上的八维向量空间，即把它的基
向量记为：e0,e1,e2 e7. 任一个八元数可以写成：
X x 0 e 0 x 1 e 1 x 7 e 7
• 要指出的是，尽管四元数和八元数都是数系的扩张， 在现代数学中，我们总是把“数”理解为复数或实数， 只有在个别的情况经特别指出，才用到四元数。至于 八元数的使用就更罕见了。
有理数系Q 实数系R
·我们虽然经过从Z到Q ，大大地扩充了数系但 是这决不是就意味着能足以建立各种不同的 计算，例如，一元二次方程 x2 20 在Q中没有解，而事实上， x 是存在的，它表 示的正是单位正方形的对角线的长度。
·为了满足自然数开方运算的需要，引入了无 理数，构成了实数系。
实数系R 复数系C
• 例如：自然数系N扩充到整数系Z，整数系Z失去了自然数 系N中任何子集都有最小元素的良序性质，但是获得对减 法封闭的特性。
数系扩充的原则
原则二:用旧数系为材料构成一个对 象，称之为新数，定义并验证这些 新数符合扩张的要求，或者具有新 数应具备的性质。
例如：将自然数系扩充到整数系，扩张的 要求是满足减法运算的需要，所以整数 系是具备这样的性质的。
自然数---N
自然数是最简单的、因而也是最早 发现并使用的“数”。自然数是一 切其他数系逐步扩充并得以实现的 基础。用公理方法建立自然数理论， 应当归功与皮亚诺。
数系扩充的原则
• 原则一：应提出扩展的要求，或者指出扩展后应 满足的性质，一般来说，扩张以后的新数系Y，会 失去原有的数系X的某些性质，同时又获得某些新 的性质。