圆的标准方程-PPT课件

(4)点A(3,4),B(3,5),C(3,3)都在圆x2+y2=25吗?
在圆上
在圆外
在圆内
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程（1）．于是
能力提高
1.已知A(-2,0),B(2,0),求过A,B两点的半径最小 的圆的方程.
2.求过A(2,0),半径为2的圆的圆心的轨迹方 程.
3.求过点A(-1,3),面积为49π的圆的圆心的轨 迹方程.
4.如果实数x、y满足方程(x 3)2 ( y 3)2 6,求：
(1) y 的最大值与最小值； x
六、小结
1.圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 (y b)2 r2
2.圆心
①两条直线的交点
C
（弦的垂直平分线）
②直径的中点
O
3.半径
C
A
B
x
①圆心到圆上一点 ②圆心到切线的距离
(2)几何法． 通过研究已知条件，结合圆的几何性质，求得圆的基本量 (圆心坐标，半径长)，进而求得方程． 圆的常用的几何性质：①圆心到圆上的点的距离等于半径； ②圆心到圆的切线的距离等于半径；③圆的弦的垂直平分线过 圆心；④两条弦的垂直平分线的交点为圆心；⑤r2＝d2＋(2l )2， 其中 r 为圆的半径，d 为弦心距，l 为弦长．
【反思】 用数形结合的思想方法也能求出 求圆外一定点 A 与圆 C 上动点 P 连线距离的最值方法： 设|AC|＝d，圆 C 半径为 r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝d－r； 求圆内一定点 A 与圆 C 上动点 P 连线距离的最值方法： 设|AC|＝d，圆 C 半径为 r，则|AP|max＝d＋r，|AP|min＝r－d.
y
M(x,y)
(x a)2 ( y b)2 r2
OC
x
圆的标准方 程
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
[拓展] 特殊位置圆的标准方程 如下表所示.
条件 圆过原点 圆心在x轴上
方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
y
A(5,1)
O
D
x
C E
B(7,-3)
C(2,-8) 圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
四、举例
例2 已知两点P1(4,9),P2(6,3),求以线段 P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(6,9)， N(3,3)，Q(5,3)在圆上在圆内，还是圆外？
解:设点C(a,b)为直径P1P2 的中点,则
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－ 3)，B(－2，－5)的圆心的标准方程．
[解析] 方法 3：设点 C 为圆心， ∵点 C 在直线 x－2y－3＝0 上， ∴可设点 C 的坐标为(2a＋3，a)． ∵该圆经过 A，B 两点，∴|CA|＝|CB|， ∴ 2a＋3－22＋a＋32 ＝ 2a＋3＋22＋a＋52，解得 a＝－2， ∴圆心坐标为 C(－1，－2)，半径长 r＝ 10. 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
a 46 5 b 93 6
2
2
圆心坐标为（5，6）
P1(4, 9) C
P2 (6, 3)
r CP1 （4 5）2 （9 6）2 10
圆的方程为
CM 10 CN 13 10
（x 5）2 （y 6）2 10
CQ 3 10
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
圆心：直径的中点
规律总结：求圆的标准方程有以下两种方法： (1)待定系数法． 由于圆的标准方程中含有a，b，r三个参数，必须具备三 个独立条件，才能求出一个圆的标准方程，用待定系数法求圆 的方程，即列出关于a，b，r的方程组，解方程组求a，b，r.一 般步骤如下：①设出所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝ r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解方程组时，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的 方程中，就得到所求圆的标准方程．
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在原点
x2＋y2＝r2(r≠0)
口答：
写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6
(1,0)
6
(2) (x+1)2+(y-2)2=9 (-1,2) 3
看清楚 了,这里 是字母! 它有自 己的正
负性
(3)(x+a)2+y2=a2(a≠0) (-a,0) |a|
半径：直径的一半
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2， －3方)，法B(1－：2线，段－A5B)的的圆中心点的为标(0准，－方4程)，．kAB＝－23－－－－25 ＝12，
∴弦 AB 的垂直平分线的斜率为 k＝－2，
∴弦 AB 的垂直平分线的方程为 y＋4＝－2x，
即 y＝－2x－4. 又圆心是直线 y＝－2x－4 与直线 x－2y－3＝0 的交点， 由xy－＝2－y－2x3－＝40 ，得yx＝＝－－21 ， ∴圆心坐标为(－1，－2)， ∴圆的半径长 r＝ －1－22＋－2＋32＝ 10， 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(5 a)2 (1 b)2 r 2
(7 a)2 (3 b)2 r 2
(2
a)2
Βιβλιοθήκη Baidu
(8
b)2
r2
a2 b 3
r 5
所求圆的方程为
(x 2)2 ( y 3)2 25
待定系数法
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)， C(2, －8)，求它的外接圆的方程．
求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－ 3)，B(－2，－5)的圆心的标准方程．
方法 2：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由条件知2－－2a－2a＋2＋－3－－5b－2b＝2r＝2 r2 ，
a－2b－3＝0
解得ab＝ ＝－ －12 ， r2＝10
故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)x y的最大值与最小值.
5.设点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上任意一点，则 x－12＋y－12的最大值为________．
因为点 P(x，y)是圆 x2＋(y＋4)2＝4 上的任意一点，因此 x－12＋y－12表示点(1,1)与该圆上点的距离．
易知点(1,1)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 外，结合右图易得 x－12＋y－12的最大值为 1－02＋1＋42＋2＝ 26＋2.
自学课本，弄清以下几个问题：
1、圆的定义有哪些？ 2、如何确定一个圆？ 3、圆的标准方程是什么？ 4、一些特殊位置的圆的方程 5、如何判断点与圆的位置关系？依据是什么？
6、若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝ a2(a≠0)，此圆的半径一定是？圆心坐标是？
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r