江苏省南通市高考数学模拟试卷

2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设集合A={1，m}，B={2，3}，若A∩B={3}，则m= ．2．（5分）设a∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1﹣i）为纯虚数，则a= ．3．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．4．（5分）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．5．（5分）等差数列{an }中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和Sn的最小值为．6．（5分）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是．7．（5分）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是 ．8．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数a 的值为 ．9．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +）（ω＞0），函数f （x ）的图象与x 轴两个相邻交点的距离为π，则f （x ）的单调递增区间是 ． 10．（5分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E 为BC 中点，若?=3，则?= ．11．（5分）已知F 1，F 2是椭圆+=1（m ＞2）的左，右焦点，点P在椭圆上，若|PF 1|?|PF 2|=2m ，则该椭圆离心率的取值范围为 ．12．（5分）已知实数x ，y 满足﹣≤x ≤，﹣≤y ≤，若2?3x +sinx﹣2=0，9y +sinycosy ﹣1=0，则cos （x ﹣2y ）的值为 ．13．（5分）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=，且?=12．（1）求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．16．（14分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面DCC1D1是菱形，且平面DCC1D1⊥平面ABCD，∠D1DC=，E是A1D的中点，F是BD1的中点．（1）求证：EF∥平面ABCD；（2）若M是CD的中点，求证：平面D1AM⊥平面ABCD．17．（14分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D 修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．18．（16分）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B（m，1），其中a ∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且=k（k为常数）．（1）求A，B的坐标及常数k的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=x3+x2+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．（1）数列{an }满足an=，求a1+a2+a3+a4+a5；（2）数列{bn }满足bn+1=f′（bn），①当k=﹣且b1＞1时，证明：数列{lg（bn+）}为等比数列；②当k=0，b1=b＞0时，证明：＜．20．（16分）已知函数f（x）=xlnx﹣k（x﹣1），k∈R．（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两题）21．（10分）如图，☉O1，☉O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与⊙O1，⊙O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与⊙O1，⊙O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2）．解答题25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．26．（10分）设f（n）=（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f（n）具有性质P．（1）求证：f（7）具有性质P；（2）若存在n≤2015，使用f（n）具有性质P，求n的最大值．2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）（2016?南通模拟）设集合A={1，m}，B={2，3}，若A∩B={3}，则m= 3 ．【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】由A，B，以及两集合的交集，确定出m的值即可．【解答】解：∵A={1，m}，B={2，3}，且A∩B={3}，∴m=3，故答案为：32．（5分）（2016?南通模拟）设a∈R，i是虚数单位，若（a+i）（1﹣i）为纯虚数，则a= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（a+i）（1﹣i）=（a+1）+（1﹣a）i为纯虚数，∴，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）（2016?南通模拟）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】先求出这组数据的平均数，由此再求出这组数据的方差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．4．（5分）（2016?南通模拟）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】男生2名记为A，B，女生1名记为C，一一列举并根据概率公式计算即可．【解答】解：男生2名记为A，B，女生1名记为C，现从中任选2名学生，共有AB，AC，BC，3种选择方法，恰有一名男生与一名女生的有有AC，BC，2种故则恰有一名男生与一名女生的概率为，故答案为：5．（5分）（2016?南通模拟）等差数列{an }中，a1=﹣3，11a5=5a8，则其前n项和Sn的最小值为﹣4 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．【解答】解：由11a5=5a8，得6a1+9d=0，又a1=﹣3，故d=2．故 an=﹣3+（n﹣1）2=2n﹣5，故此数列为递增数列．故等差数列{an}的前2项为负数，从第三项开始为正数，故前2项的和最小为﹣3+（﹣1）=﹣4，故答案为﹣4．6．（5分）（2013?徐州一模）如图是一个算法的流程图，若输入n的值是10，则输出S的值是54 ．【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件n＜2时，S=10+9+8+…+2的值．∵S=10+9+8+…+2=54的值，故输出54．故答案为：54．7．（5分）（2016?南通模拟）如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的容积是．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题．【分析】由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，圆锥筒的高，利用圆锥的体积公式进行计算即可．【解答】解：由题意知圆锥筒的母线长为2，设圆锥筒的底面半径等于r，则×2π×2=2π r，∴r=1，这个圆锥筒的高为：=，这个圆锥筒的容积为：=．故答案为：．8．（5分）（2016?南通模拟）不等式组表示的平面区域的面积为2，则实数a的值为．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；规律型；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域的形状，结合面积公式即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域：是梯形，由可得A（a，a），解得B（a﹣1，a），平面区域的面积是2，可得梯形的面积为：a2﹣=2．解得a=，故答案为：．9．（5分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π，则f（x）的单调递增区间是[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z ．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π等于半个周期，从而可求ω，确定函数的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出f（x）的单调递增区间【解答】解：函数f（x）的图象与x轴两个相邻交点的距离为π=故函数的最小正周期T=2π，又∵ω＞0∴ω=1故f（x）=2sin（x+），由2k?﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z故答案为：[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z10．（5分）（2016?南通模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=3，AD=，E为BC中点，若?=3，则?= ﹣3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴，建立直角坐标系，由向量的数量积的坐标表示即可得到所求值．【解答】解：以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB=3，AD=，E为BC中点，∴A（0，0），B（3，0），D（0，），设C（x，），∴=（3，0），=（x，），∵?=3，∴3x=3，解得x=1，∴C（1，），∵E为BC中点，∴E（，），即为（2，），∴=（2，），=（﹣2，），∴?=2×（﹣2）+×=﹣4+1=﹣3故答案为：﹣3．11．（5分）（2016?南通模拟）已知F 1，F 2是椭圆+=1（m ＞2）的左，右焦点，点P 在椭圆上，若|PF 1|?|PF 2|=2m ，则该椭圆离心率的取值范围为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ，利用基本不等式的性质可得：|PF 1|+|PF 2|≥，化简整理即可得出．另一方面：设∠F 1PF 2=θ，由余弦定理可得：+﹣2|PF 1||PF 2|cosθ=（2c ）2=16．++2|PF 1||PF 2|=4m 2．相减利用三角函数的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】解：由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2m ， ∴2m=|PF 1|+|PF 2|≥=2，化为，又m ＞2，解得．另一方面：设∠F 1PF 2=θ， 由余弦定理可得：+﹣2|PF 1||PF 2|cosθ=（2c ）2=16．++2|PF 1||PF 2|=4m 2．相减可得：1+cosθ=．∵θ∈[0，π），∴0＜≤2．m ≥2∴2≤m ≤+．∴==∈，∴该椭圆离心率的取值范围为，故答案为：．12．（5分）（2016?南通模拟）已知实数x ，y 满足﹣≤x ≤，﹣≤y≤，若2?3x +sinx ﹣2=0，9y +sinycosy ﹣1=0，则cos （x ﹣2y ）的值为 1 ．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设f（u）=u3+sinu，根据题设等式可知f（x）=2，f（2y）=2，可得f（x）=f（2y），利用单调性进而推断出x﹣2y=0，进而求得cos（x ﹣2y）的值．【解答】解：实数x，y满足﹣≤x≤，﹣≤y≤，若2?3x+sinx ﹣2=0，9y+sinycosy﹣1=0，设f（u）=2?3u+sinu，由题意得f（u）=2，f（x）=2．由9y+sinycosy﹣1=0，即 32y+sin2y﹣1=0，即 2?32y+sin2y=2，故f（2y）=2．因为f（u）在区间[﹣，]上是单调函数，∴f（x）=f（2y），∴x=2y，即x﹣2y=0．∴cos（x﹣2y）=cos0=1，故答案为：1．13．（5分）（2016?南通模拟）若存在实数a、b使得直线ax+by=1与线段AB（其中A（1，0），B（2，1））只有一个公共点，且不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，则正实数p的取值范围为[1，+∞）．【考点】曲线与方程．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用；三角函数的求值；不等式的解法及应用．【分析】直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，可知：点A（1，0），B （2，1）在直线ax+by=1的两侧，因此（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0．画出它们表示的平面区域，如图所示．由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的=．由于存在实数a、距离为原点到区域内的点的距离的最小值，可得dminb使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，可得≥20（a2+b2）=4，再利用基本不等式的性质即min可得出答案．【解答】解：∵直线ax+by=1与线段AB有一个公共点，∴点A（1，0），B（2，1）在直线ax+by=1的两侧，∴（a﹣1）（2a+b﹣1）≤0，即，或；画出它们表示的平面区域，如图所示．a2+b2表示原点到区域内的点的距离的平方，由图可知，当原点O到直线2x+y﹣1=0的距离为原点到区域内的点的距离的最小值，=∵dmin那么a2+b2的最小值为：d2=．由于存在实数a、b使得不等式+≥20（a2+b2）对于任意θ∈（0，）成立，=4，∴≥20（a2+b2）min∵θ∈（0，），∴sinθ，cosθ∈（0，1）．∴+=（sin2θ+cos2θ）=1+p++≥1+p+2=1+p+2，当且仅当tan2θ=时取等号．∴1+p+2≥4，p＞0，解得1≤p．∴tanθ=1，即时取等号．故答案为：[1，+∞）．14．（5分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x+2与x轴，y轴分别交于M、N两点，点P在圆（x﹣a）2+y2=2上运动，若∠MPN恒为锐角，则a的取值范围是a＞或a＜﹣．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】设以MN为直径的圆的圆心为A，得到MN的中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，只要两圆外离，得到圆心距与半径的关系等式求得a．【解答】解：设以MN为直径的圆的圆心为A，则M（﹣2，0），N（0，2），所以中点A（﹣1，1）；点P与M，N构成∠MPN恒为锐角，则点P恒在圆A之外，又两个圆半径相等，所以两圆外离，所以（a+1）2+12＞（2）2，解得a＞或a＜﹣；所以a的取值范围是a＞或a＜﹣；故答案为：a＞或a＜﹣．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2016?南通模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知sinB=，且?=12．（1）求△ABC的面积；（2）若a，b，c成等差数列，求b的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；解三角形．【分析】（1）展开数量积，可得cosB＞0，由sinB=，求得cosB，进一步得到ac，代入三角形面积公式求得答案；（2）由a，b，c成等差数列，得2b=a+c，结合余弦定理即可求得b值．【解答】解：（1）由?=12，得ca?cosB=12，可得cosB＞0，由sinB=，可得cosB=，即有ac=13， ∴；（2）由a ，b ，c 成等差数列，得2b=a+c ， 在△ABC 中，由余弦定理得，即，解得b=．16．（14分）（2016?南通模拟）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧面DCC 1D 1是菱形，且平面DCC 1D 1⊥平面ABCD ，∠D 1DC=，E 是A 1D 的中点，F 是BD 1的中点．（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）若M 是CD 的中点，求证：平面D 1AM ⊥平面ABCD ．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结AD 1，利用中位线定理得出EF ∥AB ，故而EF ∥平面ABCD ； （2）连结CD 1，则△D 1DC 为等边三角形，于是D 1M ⊥CD ，利用面面垂直的性质得出D 1M ⊥平面ABCD ，故而平面D 1AM ⊥平面ABCD ． 【解答】证明：（1）连结AD 1，∵四边形AA 1D 1D 是平行四边形，E 是A 1D 的中点， ∴E 是AD 1的中点，又F 是BD 1的中点， ∴EF ∥AB ，又EF?平面ABCD ，AB?平面ABCD ， ∴EF ∥平面ABCD ． （2）连结CD 1．∵四边形CDD 1C 1是菱形，∠D 1DC=，∴△D 1DC 是等边三角形， ∵M 是CD 的中点，∴D 1M ⊥CD ，又平面DCC 1D 1⊥平面ABCD ，平面DCC 1D 1∩平面ABCD=CD ， ∴D 1M ⊥平面ABCD ，又D 1M?平面D 1AM ， ∴平面D 1AM ⊥平面ABCD ．17．（14分）（2016?南通模拟）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=，管理部门欲在该地从M到D修建小路；在上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．（1）设∠PBC=θ，试用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求l的最小值．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（1）由题意，QP，交AB于E利用正弦定理，求出EP，EB，即可用θ表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；（2）求导数，确定函数的单调性，即可求l的最小值．【解答】解：（1）由题意，延长QP，交AB于E，则=（﹣θ），△BPE中，∠EPB=θ，∠EBP=﹣θ，∠BEP=，∴EP=sin（﹣θ），EB=sinθ，∴PQ=2﹣sin（﹣θ），QD=2﹣sinθ，∴l=﹣θ+2﹣sin（﹣θ）+2﹣sinθ=4﹣sin（﹣θ）﹣sinθ+﹣θ=4﹣2sin（θ+）+﹣θ（0＜θ＜）；（2）l′=﹣2cos（θ+）﹣1，∴0＜θ＜时，l′＜0，＜θ＜，时，l′＞0，∴θ=时，l取得最小值，最小值为（4﹣+）百米．18．（16分）（2016?南通模拟）已知圆O：x2+y2=4，两个定点A（a，2），B （m，1），其中a∈R，m＞0．P为圆O上任意一点，且=k（k为常数）．（1）求A，B的坐标及常数k的值；（2）过点E（a，t）作直线l与圆C：x2+y2=m交于M、N两点，若M点恰好是线段NE的中点，求实数t的取值范围．【考点】圆方程的综合应用．【专题】方程思想；分析法；直线与圆．【分析】（1）设P（x，y），由条件运用两点的距离公式，化简整理，可得圆的方程，再由恒等思想，即可得到所求；（2）由圆x2+y2=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由中点坐标公式可得M的坐标，代入圆的方程，化简整理，运用辅助角公式和正弦函数的值域，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）设P（x，y），由|PA|=k|PB|，（k＞0且k≠1）可得=k，平方可得，（k2﹣1）（x2+y2）+（2a﹣2k2m）x+（4﹣2k2）y+k2（m2+1）﹣a2﹣4=0，由P的轨迹方程为x2+y2=4，可得，解得k=，m=1，a=2，即有A（2，2），B（1，1），k=；（2）由圆x2+y2=1的参数方程，可设N（（cosθ，sinθ），由M点恰好是线段NE的中点，可得M（，），代入圆方程，可得（）2+（）2=1，化简可得4cosθ+2tsinθ=﹣1﹣t2，由辅助角公式可得sin（θ+φ）=﹣1﹣t2，由|sin（θ+φ）|≤1，可得|﹣1﹣t2|≤，即为t4﹣2t2﹣15≤0，即有﹣3≤t2≤5，解得﹣≤t≤．则实数t的取值范围是[﹣，]．19．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f（x）=x3+x2+kx，k∈R，函数f′（x）为f（x）的导函数．（1）数列{an }满足an=，求a1+a2+a3+a4+a5；（2）数列{bn }满足bn+1=f′（bn），①当k=﹣且b1＞1时，证明：数列{lg（bn+）}为等比数列；②当k=0，b 1=b ＞0时，证明：＜．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列． 【分析】（1）求得f （x ）的导数，可得a n ===﹣，运用裂项相消求和即可得到所求值；（2）求得当k=﹣且b 1＞1时，b n+1=b n 2+b n ﹣，两边同加，配方后，取常用对数，由等比数列的定义，即可得证； ②求得b n+1=b n 2+b n ，即有=﹣，即有﹣=，运用裂项相消求和，可得，﹣=++…+，再将原不等式左边化简，由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）函数f （x ）=x 3+x 2+kx 的导数为f′（x ）=x 2+x+k ， a n ===﹣，可得a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=；（2）证明：①当k=﹣且b 1＞1时，b n+1=f′（b n ）=b n 2+b n ﹣， 即有b n+1+=b n 2+b n +=（b n +）2，两边取常用对数，可得lg （b n+1+）=lg （b n +）2=2lg （b n +），则数列{lg （b n +）}为首项为lg （b 1+），公比为2的等比数列；②当k=0，b 1=b ＞0时，b n+1=b n 2+b n ， 即有=﹣， 即有﹣=， 可得﹣=，﹣=，…，﹣=， 相加可得，﹣=++…+，则=++…+=++…+=﹣＜，则原不等式成立．20．（16分）（2016?南通模拟）已知函数f （x ）=xlnx ﹣k （x ﹣1），k ∈R ． （1）当k=1时，求函数f （x ）的单调区间．（2）若函数y=f （x ）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k 的取值范围．（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）将k=1代入f（x），求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，根据y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，得到e k﹣1＞1，解出即可；（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx﹣k（x﹣1）+x，求出g（x）的导数，得到g（x）的单调区间，问题转化为需e k﹣2≤1，解出即可．【解答】解：（1）k=1时，f（x）=xlnx﹣x+1，x＞0，f′（x）=lnx+1﹣1=lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；（2）f′（x）=lnx+1﹣k，令f′（x）＞0，解得：x＞e k﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜e k﹣1，∴f（x）在（0，e k﹣1）递减，在（e k﹣1，+∞）递增，而f（1）=0，∴只需e k﹣1＞1，解得：k＞1；（3）令g（x）=f（x）+x=xlnx﹣k（x﹣1）+x，g′（x）=lnx+2﹣k，令g′（x）＞0，解得：x＞e k﹣2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e k﹣2，∴g（x）在（0，e k﹣2）递减，在（e k﹣2，+∞）递增，∴只需e k﹣2≤1，即k﹣2≤0，解得：k≤2，故存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，k的最大值是2．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两题）21．（10分）（2016?南通模拟）如图，☉O1，☉O2交于两点P，Q，直线AB过点P，与⊙O1，⊙O2分别交于点A，B，直线CD过点Q，与⊙O1，⊙O2分别交于点C，D．求证：AC∥BD．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】运用圆的内接四边形的性质，及圆周角定理，得出∠A=∠PBD，即可证明结论．【解答】证明：连结PQ，因为四边形ACQP是☉O1的内接四边形，所以∠A=∠PQD，…3分又在⊙O2中，∠PBD=∠PQD，…6分所以∠A=∠PBD，…8分所以AC∥BD附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）（2016?南通模拟）在平面直角坐标系xOy中，先对曲线C作矩阵A=（0＜θ＜2π）所对应的变换，再将所得曲线作矩阵B=（0＜k＜1）所对应的变换，若连续实施两次变换所对应的矩阵为，求k，θ的值．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；转化思想；分析法；矩阵和变换．【分析】由题意及矩阵乘法的意义可得：BA==，由矩阵的相等及参数的范围即可求解．【解答】解：∵A=（0＜θ＜2π），B=（0＜k＜1），∴由题意可得：BA==，∴=，解得：，∵0＜θ＜2π，0＜k＜1，∴解得：k=，θ=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016?南通模拟）在极坐标系中，过点P（，）作曲线ρ=2cosθ的切线l，求直线l的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】把极坐标化为直角坐标，判断出点P与圆的位置关系，即可得出切线方程．【解答】解：点P（，）化为直角坐标：P（1，1）．曲线ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，可得圆心（1，0），半径r=1．由于点P满足圆的方程，可得切线方程为：y=1．化为极坐标方程：ρsinθ=1．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016?南通模拟）已知实数a，b满足|a+b|≤2，求证：|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2）．【考点】不等式的证明．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】运用绝对值不等式可得|b|﹣|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，将原不等式左边分解因式，结合分析法证明，即可得证．【解答】证明：由|b|﹣|a|≤|a+b|≤2，可得|b|≤|a|+2，|a2+2a﹣b2+2b |=|（a+b）（a﹣b）+2（a+b）|=|a+b|?|a﹣b+2|≤2|a﹣b+2|，要证|a2+2a﹣b2+2b |≤4（|a|+2），即证|a﹣b+2|≤2（|a|+2），由于|a﹣b+2|≤|a|+|b|+2，即证|a|+|b|+2≤2（|a|+2），即为|b|≤|a|+2，显然成立．故原不等式成立．解答题25．（10分）（2016?南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知棱AB，AD，AP两两垂直，长度分别为1，2，2．若=λ，且向量与夹角的余弦值为．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间向量的数量积运算．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；综合法；空间向量及应用．【分析】（1）根据已知条件即可建立坐标系：以A为坐标原点，分别以边AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，然后即可根据已知条件求出点P，A，B，C，D点的坐标，利用向量与夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【解答】解：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；则：A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2）；=λ，可得C（λ，2，0）．（1）=（λ，2，﹣2），=（﹣1，2，0），向量与夹角的余弦值为．可得=，解得λ=10（舍去）或λ=2．实数λ的值为2．；（2）=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2），平面PCD的法向量=（x，y，z）．则且，即：x+y﹣z=0，y﹣z=0，∴x=0，不妨去y=z=1，平面PCD的法向量=（0，1，1）．又=（1，0，2）．故cos==．直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：．26．（10分）（2016?南通模拟）设f （n ）=（a+b ）n （n ∈N *，n ≥2），若f （n ）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次差数列，则称f （n ）具有性质P ．（1）求证：f （7）具有性质P ；（2）若存在n ≤2015，使用f （n ）具有性质P ，求n 的最大值． 【考点】二项式定理的应用． 【专题】综合题；二项式定理．【分析】（1）f （7）=（a+b ）7，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，可得结论；（2）由题意，2C n r =C n r ﹣1+C n r+1，整理可得4r （n ﹣r ）=（n ﹣2）（n+1），可得（n ﹣2）（n+1）能被4整除，从而n ﹣2或n+1为偶数时，必须能被4整除，结合n ≤2015，即可求n 的最大值．【解答】（1）证明：f （7）=（a+b ）7，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列， 所以f （7）具有性质P ．（2）解：由题意，2C n r =C n r ﹣1+C n r+1， 整理可得4r （n ﹣r ）=（n ﹣2）（n+1），∴（n﹣2）（n+1）能被4整除，∵n﹣2、n+1一奇一偶，∴n﹣2或n+1为偶数时，必须能被4整除，∵n≤2015∴n的最大值为2012．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；742048；whgcn；caoqz；minqi5；qiss；w3239003；沂蒙松；changq；zhczcb；刘长柏；双曲线；刘老师；lcb001（排名不分先后）菁优网2016年11月9日。