(完整)人教版八年级数学上册知识整理与经典例题

第十一章全等三角形

一、全等形

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

二、全等三角形

注意：（１）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

（２）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。

△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′全等记作△ＡＢＣ≌△Ａ′Ｂ′Ｃ′，“≌”读作“全等于”。

注意：（１）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。

（２）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。

（３）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（１）三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”和“ＳＳＳ”。

（２）两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”和“ＳＡＳ”。

（３）两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”和“ＡＳＡ”。

（４）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”和“ＡＡＳ”。

（５）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”和“ＨＬ”。

注意：ＳＳＡ、ＡＡＡ不能识别两个三角形全等，识别两个三角形全等时，必须有边的参与，如果有两边和一角对应相等时，角必须是两边的夹角。

找夹角——ＳＡＳ

（１）已知两边都是直角三角形——ＨＬ

找另一边——ＳＳＳ

找边的对角——ＡＡＳ

（２）已知一边一角找夹角的另一边——ＳＡＳ

找夹边的另一角——ＡＳＡ

（３）已知两角找夹边——ＡＳＡ

找其他任意一边——ＡＡＳ

一个图形与另一个图形的形状一样，大小相等，只是位置不同，我们称这个图形是另一个图形的全等变换，三种基本全等变换：（１）旋转；（２）翻折；（３）平移。

三、角平分线的性质定理及逆定理

１、性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。

注意：（１）定理作用：a.证明线段相等；b.为证明三角形全等准备条件。

（２）点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度。

２、逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角平分线上。

３、三角形的内心

利用角的平分线的性质定理可以导出：三角形的三个内角的角平分线交于一点，此点叫做三角形的内心，它到三边的距离相等。

说明：（１）三角形三条角平分线交于一点，这个点到三边的距离相等。

（２）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这个点到三边所在的直线的距离相等。

（３）三角形外角角平分线的交点共有３个，所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有４个。

基础训练

一．判断

(1)边长相等的正方形都是全等图形;( )

(2) 同一面中华人民共和国国旗上,4个小五角星都是全等图形. ( ) (3) 面积相等的两个三角形是全等三角形. ( ) (4) 两个全等三角形的面积相等. ( ) (5) 半径相等的两个圆是全等图形. ( ) 二、选择题：

1、在ΔABC 中，∠A=50°，BO 、CO 分别是∠B 、∠C 的平分线，交点是O ，则∠BOC 的度数是（ ） A. 600 B. 1000 C. 1150 D. 1300

2、下列所说的三角形中，必定全等的是（ ） A. 各有一个角是45°的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形

C. 各有一个角是45°，腰长都是3cm 的两个等腰三角形

D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形

3、在ABC ∆和C B A '''∆中，B A AB ''=，A A '∠=∠，若证C B A ABC '''∆≅∆还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）

A

B C D E 12

34A D B C

E

132

A

B C

D

A. 一定全等

B. 一定不全等

C. 不一定全等

D. 面积相等

10. 如图△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为BC 中点，则以下结论不正确的是（ ） A.ΔABD ≌ΔACD B.∠B=∠C

C. AD 是∠A 的平分线

D. ΔABC 是等边三角形

三. 解答题：

1、已知：如图 , 四边形ABCD 中 , AB ∥CD , AD ∥BC ．求证：△ABD ≌△CDB

2、 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF. 求证:AC ∥DF ．

3. 已知:如图,AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．

4、如图点A 、B 、C 、D 在同一直线上，AD AE ⊥，AD FD ⊥，垂足分别为A 、D ，AE=DF ，AC=BD ，求证：BE=CF 。

5、如图ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形，求证：DC=BE 。

6、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD ，求证：AB=BE 。

7、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF

第十二章轴对称

一、知识整理

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.对称点的坐标规律

（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.