高考数学第九章平面解析几何高考专题突破五(092419)
【最高考系列】(教师用书)高考数学一轮总复习 第九章 平面解析几何课堂过关 理
第九章 平面解析几何第1课时 直线的倾斜角与斜率⎝ ⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）111～112页 （理）116～117页1. (原创)设m 为常数，则过点A(2，－1)，B(2，m)的直线的倾斜角是________． 答案：90°解析：因为过点A(2，－1)，B(2，m)的直线x ＝2垂直于x 轴，故其倾斜角为π2.2. (必修2P 80第1题改编)过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．答案：1解析：由1＝4－mm ＋2，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.3. (原创)若过点P(1－a ，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是________．答案：－2＜a ＜1解析：tan α＝2a －（1＋a ）3－（1－a ）＝a －12＋a .由a －12＋a ＜0，得－2＜a ＜1.4. (必修2P 70练习4改编)已知A(－1，23)，B(0，3a)，C(a ，0)三点共线，则此三点所在直线的倾斜角α＝________．答案：2π3解析：若a ＝0，则B ，C 重合，不合题意，从而由A ，B ，C 三点共线得k AB ＝k BC ，即3a －230＋1＝0－3a a －0，解得a ＝1.从而B(0，3)，此三点所在直线的斜率为k AB ＝3－230＋1＝－3，即tan α＝－3，而α∈[0，π)，所以α＝2π3.5. 设直线l 的倾斜角为α，且π4≤α≤5π6，则直线l 的斜率k 的取值范围是______________．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)解析：由k ＝tan α关系图(如下)知k∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪[1，＋∞)．1. 直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转至和直线重合时，所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角，并规定：与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0；直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)．2. 直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α.由正切函数的单调性可知，倾斜角不同的直线其斜率也不同．3. 过两点的斜率公式过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线，当x 1≠x 2时，斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点的顺序无关；当x 1＝x 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.题型1 直线的倾斜角和斜率之间的关系, 1) 如果三条直线l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3，其中l 1：x－y ＝0，l 2：x ＋2y ＝0，l 3：x ＋3y ＝0，则α1，α2，α3从小到大的排列顺序为____________．答案：α1＜α2＜α3解析：由tan α1＝k 1＝1>0，所以α1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.tan α2＝k 2＝－12<0，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α2>α1.tan α3＝k 3＝－13<0，所以α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α3>α1，而－12<－13，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，所以α3>α2.综上，α1<α2<α3.变式训练如果下图中的三条直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3从小到大的排列顺序为____________．答案：k 1<k 3<k 2解析：设三条直线的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图知，k 1<0，k 2>0，k 3>0，另外，tan α2＝k 2>0，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α3＝k 3>0，α3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，而α3<α2，正切函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，所以， k 3<k 2.综上，k 1<k 3<k 2.题型2 求直线的倾斜角和斜率, 2) 已知点M(－4，3)，N(2，15)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．解：设直线l 的倾斜角是θ，则直线MN 的倾斜角为2θ，由已知得tan2θ＝k MN ＝15－32＋4＝2，即2tan θ1－tan 2θ＝2， 所以tan 2θ＋tan θ－1＝0，解得tan θ＝－1＋52或tan θ＝－1－52，由tan2θ＝2>0知，2θ必为锐角，从而θ为锐角，故tan θ＝－1＋52.备选变式（教师专享）已知点A(－3，1)，点B 在y 轴上，直线AB 的倾斜角为2π3，求点B 的坐标．解：B 点的坐标设为(0，y)，再利用k ＝tan θ以及两点求斜率公式tan120°＝y －10＋3，得y ＝－2，所以B 的坐标为(0，－2)．题型3 求直线的倾斜角和斜率的取值范围, 3) (2014·苏州调研)经过P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A(1，－2)、B(2，1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________．答案：[－1，1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：如图所示，结合图形：为使l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．又k PA ＝－2－（－1）1－0＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1，∴ －1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k<0时，3π4≤α<π. 故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.备选变式（教师专享）直线l 经过A(2，1)、B(1，m 2)(m∈R )两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是________．答案：α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析：k ＝tan α＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.1. (2014·山西联考)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1，1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.2. 已知点A(1，3)，B(－2，－1)，若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12 解析：由题意知直线l 恒过定点P(2，1)，如图．若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k ≤k PB .∵ k PA ＝－2，k PB ＝12，∴ －2≤k≤12.3. 已知实数x 、y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，求z ＝y ＋1x的最大值与最小值．解：y ＋1x表示过点A(0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y)的直线的斜率．如图，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx－1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.因此，z max ＝4＋73，z min ＝4－73.4. 如图所示，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的斜率．解： 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以射线OA 的方程为y ＝x(x≥0)，射线OB 的方程为y ＝－33x (x≥0)． 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在y ＝12x 上，且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32.1. 已知x 轴上的点P 与点Q(－3，1)连线所成直线的倾斜角为30°，则点P 的坐标为________．答案：(－23，0)解析：设P(x ，0)，由题意k PQ ＝tan30°＝33，即1－3－x ＝33，解得x ＝－23，故点P 的坐标为(－23，0)．2. 有以下几个命题：① 直线的倾斜角越大，则斜率越大； ② 垂直于x 轴的直线没有方程；③ 若直线的斜率为a ，则其倾斜角正切值一定为tana ；④ 只要直线不过坐标原点，则它一定可以用截距式方程式表示； ⑤ 斜率存在的直线，其倾斜角一定不等于90°. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：⑤解析：根据直线的倾斜角与斜率的关系，可知①不正确，⑤正确；x ＝a(a∈R )是垂直于x 轴的直线，所以②错误；直线倾斜角的正切值是斜率，所以③错误；不过原点但垂直于坐标轴的直线不可以用截距式方程式表示，所以④错误； 故答案为⑤.3. 已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．答案： 3解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴ 所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.4. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB相交，即应满足－a≥3＋12或－a≤2＋1－3，得a≤－2或a≥1.1. 求斜率要熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2. 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，倾斜角与斜率的关系是k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，因此求倾斜角的取值范围通常需从斜率的范围入手，而求斜率的范围则常需考虑倾斜角的取值范围，但都需要利用正切函数的性质，借助图象或单位圆数形结合，注意直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．请使用课时训练(B )第1课时(见活页)．第2课时 直线的方程⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）113～115页 （理）118～120页1. 把直线方程Ax ＋By ＋C ＝0(ABC≠0)化成斜截式为________________，化成截距式为________________．答案：y ＝－A B x －C B x －C A ＋y－CB＝1解析：因为ABC≠0，即A≠0，B ≠0，C ≠0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．斜截式为y ＝－A B x －C B ，截距式为x －C A ＋y－CB＝1.2. (必修2P 77习题3改编)直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．答案：6解析：直线3x －4y ＋12＝0在x 轴上的截距为－4，在x 轴上的截距为3，因此它与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|－4|×3＝6.3. 下列四个命题：① 过点P(1，－2)的直线可设为y ＋2＝k(x －1)；② 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为x a ＋ya ＝1(a≠0)；③ 经过两点P(a ，2)，Q(b ，1)的直线的斜率k ＝1a －b；④ 如果AC<0，BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第二象限． 其中正确的是_____________．(填序号) 答案：④4. (必修2P 74练习3改编)过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0解析：① 当直线过原点时，直线方程为y ＝－43x ；② 当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a.代入点(3，－4)，∴ a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0. 5. (必修2P 73练习3改编)若一直线经过点P(1，2)，且在y 轴上的截距与直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距相等，则该直线的方程是________．答案：3x －y －1＝0解析：直线2x ＋y ＋1＝0在y 轴上的截距为－1，由题意，所求直线过点(0，－1)，又所求直线过点P(1，2)，故由两点式得直线方程为y ＋1x －0＝2＋11－0，即3x －y －1＝0.1. 直线方程的五种形式111222(1) 若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1． (2) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1． (3) 若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0． (4) 若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0． (5) 直线的斜率k 与倾斜角α之间的关系如下表：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． [备课札记]题型1 求直线方程, 1) (必修2P 115复习题5、6改编)已知直线l 过点P(5，2)，分别求满足下列条件的直线方程．(1) 直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍；(2) 直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为52.解：(1) 当直线l 过原点时，l 的斜率为25，∴ 直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 不过原点时，设方程为x 2a ＋y a ＝1，将x ＝5，y ＝2代入得a ＝92，∴ 直线方程为x ＋2y －9＝0.综上：l 的方程为2x －5y ＝0或x ＋2y －9＝0. (2) 显然两直线与x 轴不垂直．∵ 直线l 经过点P(5，2)，∴ 可设直线l 的方程为y －2＝k(x －5)(k≠0)，则直线在x 轴上的截距为5－2k ，在y 轴上的截距为2－5k ，由题意，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪5－2k ·|2－5k|＝52，即(5k －2)2＝5|k|.当k>0时，原方程可化为(5k －2)2＝5k ，解得k ＝15或k ＝45；当k<0时，原方程可化为(5k －2)2＝－5k ，此方程无实数解；故直线l 的方程为y －2＝15(x －5)或y －2＝45(x －5)，即x －5y ＋5＝0或4x －5y －10＝0.变式训练(2014·常州模拟)过点P(－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析：分两种情况：(1)直线l 过原点时，l 的斜率为－32，∴ 直线方程为y ＝－32x ；(2) l 不过原点时，设方程为x a ＋ya＝1，将x ＝－2，y ＝3代入得a ＝1，∴ 直线方程为x ＋y ＝1.综上：l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0.题型2 含参直线方程问题, 2) (2014·银川改编)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )．(1) 若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2) 若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围； (3) 求证：无论a 为何实数值，直线l 恒过一定点M.(1) 解：当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴ a＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴ a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1. ∴ a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2) 解：将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）>0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴ a≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． (3) 证明：∵ (x－1)a ＋(x ＋y ＋2)＝0，∴ 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－3.故直线l 恒过定点M(1，－3)．备选变式（教师专享）直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴、y 轴的正半轴于点A 、B.点O 是坐标原点． (1) 当△ABO 的面积最小时，求直线l 的方程； (2) 当||MA ||MB 最小时，求直线l 的方程．解：(1) 如图，设||OA ＝a ，||OB ＝b ，△ABO 的面积为S ，则S ＝12ab ，并且直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，由直线通过点(2，1)，得2a ＋1b＝1，所以a 2＝11－1b＝b b －1.因为A 点和B 点在x 轴、y 轴的正半轴上，所以上式右端的分母b －1>0.由此得S ＝a 2×b ＝b b －1×b ＝b 2－1＋1b －1＝b ＋1＋1b －1＝b －1＋1b －1＋2≥2＋2＝4.当且仅当b －1＝1b －1，即b ＝2时，面积S 取最小值4，这时a ＝4，直线的方程为x 4＋y2＝1.即直线l 的方程为x ＋2y －4＝0.(2) 如上图，设∠BAO＝θ，则||MA ＝1sin θ，||MB ＝2cos θ， 所以||MA ||MB ＝1sin θ·2cos θ＝4sin2θ， 当θ＝45°时，||MA ||MB 有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l 的方程为x ＋y －3＝0.题型3 直线方程的综合应用, 3) 设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a∈R )．(1) 当a ＝1时，直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．若动点P(m ，n)在线段AB 上，求mn 的最大值；(2) 若a>－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，求△OMN 面积取最大值时，直线l 的方程．解：(1) 当a ＝1时，直线l 的方程为2x ＋y －3＝0，可化为2x 3＋y3＝1.由动点P(m ，n)在线段AB 上可知0≤m≤32，0≤n ≤3，且2m 3＋n 3＝1，∴ 1≥22m 3·n 3，∴ mn ≤98.当且仅当2m 3＝n 3时等号成立，可解得m ＝34，n ＝32，故mn 的最大值为98. (2) 由直线方程可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a a ＋1，0、N(0，2＋a)，又a>－1，故S △OMN＝12×2＋a a ＋1×(2＋a)＝12×（a ＋1）2＋2（a ＋1）＋1a ＋1＝12×[(a ＋1)＋1a ＋1＋2]≥12×⎝⎛⎭⎪⎫2（a ＋1）×1a ＋1＋2＝2，当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0或a ＝－2(舍去)时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 备选变式（教师专享）直线l 经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程． 解：(解法1：借助点斜式求解)由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y －2＝k(x －3)，令x ＝0，则y ＝－3k ＋2；令y ＝0，则x ＝3－2k.由题设可得－3k ＋2＝3－2k ，解得k ＝－1或k ＝23.故l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)．即直线l 的方程为x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (解法2：利用截距式求解)由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a. 若a ＝0，则l 过点(0，0)．又过点(3，2)，∴ l 的方程为y ＝23x ，即l ：2x －3y ＝0.若a≠0，则设l 为x a ＋ya ＝1.由l 过点(3，2)，知3a ＋2a＝1，故a ＝5.∴ l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.1. (2014·海淀模拟改编)直线l 经过点A(1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．答案：k>12或k<－1解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k，令－3<1－2k <3，解不等式可得k>12或k<－1.(也可以利用数形结合)2. (2014·长春调研改编)一次函数y ＝－m n x ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是________．(填序号)① m>1，且n<1；② mn<0；③ m>0，且n<0；④ m<0，且n<0. 答案：②解析：因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，故－m n >0，且1n<0，即m>0，且n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选填②.3. 直线l 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l 的方程为________．答案：8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb＝1，∵ 直线l 过点P(－5，－4)，∴ －5a ＋－4b ＝1，即4a ＋5b ＝－ab.又由已知有12|a|·|b|＝5，即|ab|＝10，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5b ＝－ab ，|ab|＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.故所求直线l 的方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y－2＝1.即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.4. (2014·银川联考)已知直线x ＋2y ＝2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，若动点P(a ，b)在线段AB 上，则ab 的最大值为________．答案：12解析：由题意知A(2，0)，B(0，1)，所以线段AB 的方程可表示为x2＋y ＝1，x ∈[0，2]，又动点P(a ，b)在线段AB 上，所以a 2＋b ＝1，a ∈[0，2]，又a 2＋b≥2ab 2，所以1≥2ab2，解得0≤ab≤12，当且仅当a 2＝b ＝12，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12时，ab 取得最大值12. 5. 已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1) △ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程； (2) BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．解：(1) 平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式方程为6x －8y－13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2) 因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式方程为7x －y －11＝0，截距式方程为x 117－y11＝1.6. (原创)若直线l 的方程为(2m 2－m －1)x ＋(m 2－m)y ＋4m －1＝0，求： (1) 参数m 的取值集合；(2) 若直线l 的斜率不存在，试确定直线l 在x 轴上的截距；(3) 若直线l 在y 轴上的截距等于直线4x －y －2＝0的斜率，求直线l 的方程．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故参数m 的取值集合为{m|m≠1}．(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－m －1≠0，m 2－m ＝0，解得m ＝0，故直线方程为－x －1＝0，即x ＝－1，故直线l 在x轴上的截距为－1.(3) 直线l 在y 轴上的截距存在时，截距为1－4mm 2－m，又直线4x －y －2＝0的斜率为4，所以1－4m m 2－m ＝4，解得m ＝±12，所以直线l 的方程为4x ＋y －4＝0或y ＝4.1. 直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0，a 是常数)，当此直线在x 、y 轴上的截距和最小时，a ＝________．答案：1解析：方程可化为x a ＋y 1a＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号．2. (原创)如果AC<0且BC>0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限．答案：二解析：由已知条件知A ，B ，C 均不为0，直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－CA>0，直线一定过一、四象限，又直线在y 轴上的截距－CB<0，故直线一定过三、四象限，故直线不通过第二象限．3. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y)为整点．下列命题中正确的是________．(填序号)．① 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ② 如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③ 直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④ 直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤ 存在恰经过一个整点的直线． 答案：①③⑤解析： ①正确．比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点．②错误．直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)．③正确．当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点．④错误．当k＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点．⑤正确．比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1，0)．4. 不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 答案：(－2，3)解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3. 5. 对直线l 上任一点(x ，y)，点(4x ＋2y ，x ＋3y)仍在此直线上，求直线方程． 解：设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0， ∴ A(4x ＋2y)＋B(x ＋3y)＋C ＝0， 整理得(4A ＋B)x ＋(2A ＋3B)y ＋C ＝0，∴ 上式也是l 的方程，当C≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧A ＝4A ＋B ，B ＝2A ＋3B ，∴ A ＝B ＝0，此时直线不存在；当C ＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－A B ＝－4A ＋B2A ＋3B，∴ A ＝B或B ＝－2A ，∴ 所求直线方程为x ＋y ＝0或x －2y ＝0.1. 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；而选用两点式时不要忽视与坐标轴垂直的情况．2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值．请使用课时训练(A )第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时 直线与直线的位置关系⎝⎛⎭⎪⎫对应学生用书（文）116～118页 （理）121～123页1. (必修2P 93练习1改编)已知点(a ，2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于________．答案：2－1解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴ |a ＋1|＝2，又a ＞0，∴ a ＝2－1.2. (必修2P 85习题7改编)已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________．答案：－1解析：由l 1∥l 2得a(a －2)－3＝0且2a －6(a －2)≠0，解得a ＝－1.3. 经过点(－2，3)，且与直线2x ＋y －5＝0平行的直线方程为________． 答案：2x ＋y ＋1＝0解析：由题意，所求直线的斜率与直线2x ＋y －5＝0的斜率相同为－2，又过点(－2，3)，所以直线方程为y －3＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋1＝0.4. (必修2P 85习题3改编)已知直线l 过两条直线3x ＋2y －1＝0和2x －3y ＋8＝0的交点，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是________．答案：3x ＋2y －1＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，2x －3y ＋8＝0，得两直线的交点坐标为(－1，2)，又由题意知，直线l 的斜率是－32，因此直线l 的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.5. (必修2P 106习题18改编)已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为____________．答案：7x ＋y ＋22＝0解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q(2，0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－175，95，故所求直线(即PQ′)的方程为y ＋92－95－92＝x ＋52175－52，即7x ＋y ＋22＝0.1. 两条直线的位置关系设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．若方程组有无数个解，则两直线方程表示的直线重合．3. 几种距离(1) 两点间的距离平面上的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)间的距离公式：d(A ，B)＝AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. (2) 点到直线的距离点P(x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C|A 2＋B2. (3) 两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.[备课札记]题型1 两直线的平行与垂直, 1) 两条直线l 1：(m ＋3)x ＋2y ＝5－3m ，l 2：4x ＋(5＋m)y ＝16，分别求满足下列条件的m 的值．(1) l 1与l 2相交； (2) l 1与l 2平行； (3) l 1与l 2重合； (4) l 1与l 2垂直．解：可先从平行的条件a 1a 2＝b 1b 2(化为a 1b 2＝a 2b 1)着手．由m ＋34＝25＋m，得m 2＋8m ＋7＝0，解得m 1＝－1，m 2＝－7.由m ＋34＝5－3m 16，得m ＝－1.(1) 当m≠－1且m≠－7时，a 1a 2≠b 1b 2，l 1与l 2相交．(2) 当m ＝－7时，a 1a 2＝b 1b 2≠c 1c 2.l 1∥l 2.(3) 当m ＝－1时，a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，l 1与l 2重合．(4) 当a 1a 2＋b 1b 2＝0，即(m ＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，即m ＝－113时，l 1⊥l 2.变式训练已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1) 试判断l 1与l 2是否平行； (2) l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－（a ＋1），解得a ＝－1，综上可知，a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行．(解法2)由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a(a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a(a 2－1)－1×6≠0，∴ l 1∥l 2⎩⎪⎨⎪⎧a （a －1）－1×2＝0，a （a 2－1）－1×6≠0⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a （a 2－1）≠6a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2，否则l 1与l 2不平行． (2) (解法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2； 当a≠1且a≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1a ＝23.(解法2)由A 1A 2＋B 1B 2＝0得a ＋2(a －1)＝0a ＝23.题型2 两直线的交点, 2) (2014·江苏联考)已知点A(3，3)，B(5，2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P(1，2)．① 若点A 、B 在直线l 的同侧，则l∥AB.而k AB ＝3－23－5＝－12，由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.② 若点A 、B 在直线l 的异侧，则直线l 经过线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，52， 由两点式得直线l 的方程为y －2x －1＝52－24－1，即x －6y ＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或x －6y ＋11＝0. 备选变式（教师专享）已知直线l 经过点P(3，1)，且被两平行直线l 1：x ＋y ＋1＝0和l 2：x ＋y ＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l 的方程．解：(解法1)若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝3，此时与l 1、l 2的交点分别为A′(3，－4)和B ′(3，－9)，截得的线段AB 的长||AB ＝||－4＋9＝5，符合题意．若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝k(x －3)＋1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋1＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1，－4k －1k ＋1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －3）＋1x ＋y ＋6＝0，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －7k ＋1，－9k －1k ＋1. 由||AB ＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －2k ＋1－3k －7k ＋12＋(－4k －1k ＋1＋9k －1k ＋1)2＝52.解之，得k ＝0，即所求的直线方程为y ＝1. 综上可知，所求l 的方程为x ＝3或y ＝1. (解法2)由题意，直线l 1、l 2之间的距离为d ＝||1－62＝522，且直线l 被平行直线l 1、l2所截得的线段AB 的长为5(如图)．设直线l 与直线l 1的夹角为θ，则sin θ＝52 25＝22，故θ＝45°.由直线l 1：x ＋y ＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l 的倾斜角为0°或90°.又直线l 过点P(3，1)，故直线l 的方程为x ＝3或y ＝1.(解法3)设直线l 与l 1、l 2分别相交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋y 1＋1＝0，x 2＋y 2＋6＝0.两式相减，得(x 1－x 2)＋(y 1－y 2)＝5. ①又(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝25， ②联立①②，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝5，y 1－y 2＝0 或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2＝0，y 1－y 2＝5，由上可知，直线l 的倾斜角分别为0°或90°. 故所求直线方程为x ＝3或y＝1.题型3 点到直线及两平行直线之间的距离, 3) 已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510.(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ① 点P 在第一象限；② 点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③ 点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5.若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由．解：(1) 直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋（－1）2＝7510， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72. 又a ＞0，解得a ＝3.(2) 假设存在点P ，设点P(x 0，y 0)，若P 点满足条件②，则P 点在与l 1，l 2平行的直线l′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116，所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝2|x 0＋y 0－1|5×2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能．联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12；(舍去) 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件． 备选变式（教师专享）已知点P 1(2，3)、P 2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A 且与点P 1、P 2距离相等的直线方程．解：(解法1)设所求直线方程为y －2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点P 1、P 2到直线的距离相等得||2k －3＋k ＋2k 2＋1＝||－4k －5＋k ＋2k 2＋1. 化简得||3k －1＝||－3k －3，则有3k －1＝－3k －3或3k －1＝3k ＋3，解得k ＝－13或方程无解．方程无解表明这样的k 不存在，但过点A ，所以直线方程为x ＝－1，它与P 1、P 2的距离都是3.∴所求直线方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.(解法2)设所求直线为l ，由于l 过点A 且与P 1、P 2距离相等，所以l 有两种情况，如下图：①当P 1、P 2在l 的同侧时，有l∥P 1P 2，此时可求得l 的方程为y －2＝5－3－4－2(x ＋1)，即y －2＝－13(x ＋1)；②当P 1、P 2在l 的异侧时，l 必过P 1、P 2的中点(－1，4)，此时l 的方程为x ＝－1.∴所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)或x ＝－1.题型4 对称问题, 4) 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1) 点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2) 直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3) 直线l 关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程． 解：(1) 设A′(x，y)，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴ A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2) 在直线m 上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l 的对称点必在m′上．设对称点为M′(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4，3)．∵ m ′经过点N(4，3)，∴ 由两点式得直线方程为9x －46y ＋102＝0.(3) 设P(x ，y)为l′上任意一点，则P(x ，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x ，－4－y)．∵ P ′在直线l 上，∴ 2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 备选变式（教师专享）在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P(如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于________．答案：43解析：以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P(x ，0)，x ∈(0，4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x)，P 2(－x ，0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－（4－x ）43－4，求得x ＝43.题型5 三角形中的直线问题, 5) 直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，且A 、B 的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C 的坐标并判断△ABC 的形状．解：由题意画出草图(如图所示)．设点A(－4，2)关于直线l ：y ＝2x 的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC 上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4＝－12，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴ A ′(4，－2)．∴ 直线BC 的方程为y －1－2－1＝x －34－3，即3x ＋y －10＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，得C(2，4)． ∴ k AC ＝13，k BC ＝－3，∴ AC⊥BC.∴ △ABC 是直角三角形． 备选变式（教师专享）已知△ABC 的顶点为A(3，－1)，AB 边上的中线所在的直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在的直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在的直线方程．解：设B(4y 1－10，y 1)，由AB 的中点在6x ＋10y －59＝0上，可得6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，解得y 1 ＝ 5，所以B 为(10，5)．设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A′(x′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x′＋32－4·y′－12＋10＝0，y ′＋1x′－3·14＝－1 A ′(1，7)．故BC 边所在的直线方程为2x ＋9y －65＝0.1. (2014·长沙模拟)已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n ＝________．答案：－10解析：∵ l 1∥l 2，∴ k AB ＝4－m m ＋2＝－2，解得m ＝－8.∵ l 2⊥l 3，∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1n ×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，∴ m ＋n ＝－10.2. 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．答案：(2，4)解析：由题可知A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)，四边形ABCD 对角线的交点到四点距离之和最小，直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝2（x －1），y －5＝－（x －1），得交点坐标为(2，4)． 3. 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________． 答案：3x ＋4y ＋5＝0 解析：与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y)＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.4. m 为何值时，直线l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my －4＝0不能围成三角形？解：先考虑三条直线中有两条直线平行或重合的情况．① 若m≠0，则k 1＝－4，k 2＝－m ，k 3＝23m ，当m ＝4时，k 1＝k 2；当m ＝－16时，k 1＝k 3；而k 2与k 3不可能相等．② 若m ＝0，则l 1：4x ＋y －4＝0，l 2：y ＝0，l 3：x －2＝0，此时三条直线能围成三角形．∴ 当m ＝4或m ＝－16时，三条直线不能围成三角形．再考虑三条直线共点的情况，此时m≠0且m≠4且m≠－16.将y ＝－mx 代入4x ＋y －4＝0，得x ＝44－m，即l 1与l 2交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫44－m，－4m 4－m ，将P 点坐标代入l 3的方程得84－m ＋12m 24－m －4＝0，解得m ＝－1或m ＝23.∴ 当m ＝－1或m ＝23时，l 1，l 2，l 3交于一点，不能围成三角形．综上所述，当m 为－1或－16或23或4时，三条直线不能围成三角形．1. 若动点A 、B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为______．答案：3 2解析：依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2|m ＋7|＝|m ＋5|m ＝－6，所以l 的方程为x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|6|2＝3 2.2. (2014·济南模拟)已知两条直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a ＝________．答案：－1或2解析：若a ＝0，两直线方程分别为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0；当a≠0时，两直线若平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或2.3. (2014·金华调研)当0<k<12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第________象限．答案：二解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0<k<12，所以k k －1<0，2k －1k －1>0，故交点在第二象限． 4. 已知△ABC 的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．解：设A 点关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A′(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧2·x 1－12－3·y 1＋52＋6＝0，y 1－5x 1＋1＝－32，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3y 1－5＝0，3x 1＋2y 1－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3113，y 1＝－113，即A′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，同理，点B 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613，4113. ∵ 角平分线是角的两边的对称轴，∴ A ′点在直线BC 上．∴ 直线BC 的方程为y ＝－113－（－1） 3113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0.同理，直线AC 的方程为y －5＝5－4113－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3613(x ＋1)，整理得24x －23y ＋139＝0.直线AB 的方程为y ＝5－（－1）－1－0x －1，整理得6x ＋y ＋1＝0.1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式，否则会出错．3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1) 中心对称① 点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y ′)满足 ⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y ′＝2b －y. ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2) 轴对称① 点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A ′(m ，n)，则有n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B·b ＋n2＋C ＝0.② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．。
高考新课标数学(理)一轮考点突破练习：第九章 平面解析几何 Word版含答案
第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(4)了解曲线与方程的对应关系．(5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝，y ＝. 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ >< 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3B.π6C.2π3D ．－π3解：由已知可得tan α＝－tanπ3＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填33；－ 3. 点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.③由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是． 点拨：直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)， 则1PP k ＝－257，2PP k ＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x －y＝1的距离为( )A．2 B.22C．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋（－1）2＝22＝ 2.故选D.2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a，－32b，则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，则k ＝－1a>0，－ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D.3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－3，3)C．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2<m< 2.故选C.4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选D.6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，若M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－2B ．4C ．3＋2D ．6解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离为|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.故选C.7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m －8，则r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x＋7y －50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x －4，y P ＝2y ，又点P 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 2P ＋y 2P ＝4，将x P ＝2x －4，y P ＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.故所求轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C .(1)求实数b 的取值范围； (2)求圆C 的方程；(3)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )．令f (x )＝0，得x 2＋2x ＋b ＝0，由题知b ≠0，且Δ>0，解得b <1且b ≠0.(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1.所以圆C 的轨迹方程是x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b <1且b ≠0的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋2x 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上．因此，圆C 过定点．9．4 直线、圆的位置关系2.圆与圆的位置关系1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解2．d>R ＋rd ＝R ＋rR －r <d <R ＋rd ＝R －rd <R －r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y2＝－2y ＋3，直线l的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17<3＋2，所以两圆相交．故选B.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.故选D.(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－23－1＝1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.类型一 直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y20＞|a 2||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3) C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D.点拨：在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b)2＝r 2(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D.类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，所以||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.故选D.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．26B ．8C ．46D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.点拨：(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k 2·||x 1－x2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．106B ．20 6C ．306D ．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC 为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD 为垂直于直径AC 的弦，所以点(3，5)为AC 与BD 的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x －3)2＋(y －4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r ＝5，圆心到直线BD 的距离d ＝1，||BD ＝2r 2－d 2＝252－12＝46，||AC ＝2r ＝10，所以四边形ABCD 的面积S ＝12||AC ·||BD ＝20 6.故选B.类型四 圆与圆的位置关系 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C 1和圆C 2相外切？ (2)圆C 1和圆C 2内含？解：易知圆C 1，C 2的标准方程分别为C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，(1)如果圆C 1与圆C 2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或2.故当m ＝－5或2时，圆C 1和圆C 2相外切． (2)如果圆C 1与圆C 2内含，则只可能是较大圆C 1含较小圆C 2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2<3－2，解得－2<m <－1.当－2<m <－1时，圆C 1和圆C 2内含． 点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R ＋r ，d 与R －r 的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－11解：圆心C 1(0，0)，半径r 1＝1，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，因为圆C 1与圆C 2外切，所以32＋42＝r 1＋r 2＝1＋25－m ，解得m ＝9.故选C.类型五 两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0及C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x －y ＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C 2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＋λ(x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1)＝0(λ∈R ， λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋2(2＋λ)x ＋(1＋2λ)y ＋(1＋λ)＝0，其圆心O 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.因为点O 在直线2x －y ＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x 2－52y 2－3x －6y －52＝0，即5x 2＋5y 2＋6x ＋12y ＋5＝0. 点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r>0)．其中的a ，b 是定值，r 是参数．②半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r>0)．其中r 是定值，a ，b 是参数．③过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )．④过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，因此应用时注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l ：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.若两圆相交，则l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l 为公切线．在以k 为参数的圆系：x 2＋y 2＋2kx＋(4k ＋10)y ＋10k ＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x ＋k )2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2.设两个圆的圆心分别为O 1(－k 1，－2k 1－5)，O 2(－k 2，－2k 2－5)，半径分别为5|k 1＋1|，5|k 2＋1|，由于圆心距|O 1O 2|＝（k 2－k 1）2＋4（k 2－k 1）2＝5|k 2－k 1|.当k 1＞－1且k 2＞－1或k 1＜－1且k 2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k 2－k 1|，即两圆相内切．当k 1＞－1且k 2＜－1或k 1＜－1且k 2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k 2－k 1|，即两圆相外切．类型六 圆的综合应用(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB (O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a>0)，R 为半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝R ，a 2＋3＝R ，解得a ＝1或a ＝138，又S ＝πR 2<13，所以a ＝1，R ＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x ＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又l 与圆C 相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，（x －1）2＋y 2＝4， 消去y 得(1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0， 所以Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2)＝12k 2－24k －20>0，解得k <1－263或k>1＋263，且x 1＋x 2＝－6k －21＋k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2. OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这样的直线l .点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|1＋k 2＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－b ＋k （3＋a ）|1＋k2＝|5－b ＋1k （4－a ）|1＋1k2， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，这样的点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132. 经检验，上述坐标均满足题中条件．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d>r ，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y 2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助．7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( ) A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x＋4y＝b的距离d＝|3＋4－b|32＋42＝1，即|b－7|＝5，解得b＝12或b＝2.故选D.2．(2015·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )A．2 B．42C．6 D．210解：圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝22，圆心为C(2，1)，半径r＝2，由直线l是圆C的对称轴，可知直线l过点C，所以2＋a×1－1＝0，即a＝－1，所以A(－4，－1)，于是|AC|2＝40，所以|AB|＝|AC|2－22＝40－4＝6.故选C.3．(2016·南昌模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定解：因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2<1，即直线与圆相交．故选B.4．(2016·武汉模拟)过点P(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0解：如图，令圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB·k PC＝－1，且k PC＝1－03－1＝12，则k AB＝－2.故直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.故选A.5．与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C(－1，1)向直线x－y －4＝0作垂线，垂足为H，当所求圆的圆心位于CH上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH的方程为x＋y＝0，分别求出垂线x＋y＝0与直线x－y－4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r＝ 2.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选C.6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2＋a 2>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <32，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故选C. 7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－（3）2得a＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y2＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.故填2.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.所以直线l的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原。
高考数学复习资料第9章 平面解析几何 9.5 含答案
1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距F1F2＝2c离心率 e ＝ca ∈(0,1) a ，b ，c 的关系a 2＝b 2＋c 2点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8解析 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4.当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0， m －2－(10－m )＝4， ∴m ＝8.2.(2015·广东)已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝________.答案 3解析 由题意知25－m 2＝16，解得m 2＝9，又m >0，所以m ＝3.3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C于A 、B两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为______________. 答案 x 23＋y 22＝1解析 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43， ∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k ＝1，因为焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1，又k >0，所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一 椭圆的定义及标准方程命题点1 椭圆定义的应用 例1如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________. 答案 椭圆解析 由条件知PM ＝PF .∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________________________________________________________________. (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为__________________________________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0).∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ②①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式.(1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是__________.(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_______________.(3)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________. 答案 (1)椭圆 (2)y 220＋x 24＝1 (3)x 2＋32y 2＝1解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故P A ＝PN ，又AM 是圆的半径， ∴PM ＋PN ＝PM ＋P A ＝AM ＝6>MN ， 由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆.(2)方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2，解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.(3)设点B 的坐标为(x 0，y 0). ∵x 2＋y 2b 2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0). ∵AF 2⊥x 轴，∴可取A (1－b 2，b 2).∵AF 1＝3F 1B ，∴AF 1→＝3F 1B →， ∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0).∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.题型二 椭圆的几何性质例 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2015·浙江)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________.答案 (1)2 (2)22解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. (2)设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连结QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝bc x 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ . 又O 为线段F 1F 的中点， ∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，F 1Q ＝2OM .在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝MF OM ＝bc ，OF ＝c ，可解得OM ＝c 2a ，MF ＝bca，故QF ＝2MF ＝2bc a ，QF 1＝2OM ＝2c 2a .由椭圆的定义得QF ＋QF 1＝2bc a ＋2c 2a ＝2a ，整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22.方法二 设Q (x 0，y 0)，则FQ 的中点坐标⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋c 2，y 02，k FQ ＝y0x 0－c，依题意⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝b c ·x 0＋c 2，y 0x 0－c ·b c＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝c (2c 2－a 2)a 2，y 0＝2bc 2a 2，又因为(x 0，y 0)在椭圆上，所以c 2(2c 2－a 2)2a 6＋4c 4a 4＝1，令e ＝c a ，则4e 6＋e 2＝1，∴离心率e ＝22. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系：在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.(1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________. (2)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋2上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为________. 答案 (1)12 (2)105解析 (1)在双曲线中m 2＋n 2＝c 2，又2n 2＝2m 2＋c 2，解得m ＝c2，又c 2＝am ，故椭圆的离心率e ＝c a ＝12.(2)A(－1,0)关于直线l：y＝x＋2的对称点为A′(－2，1)，连结A′B交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为A′B＝(1＋2)2＋1＝10，所以椭圆C的离心率的最大值为ca ＝1102＝105.题型三直线与椭圆的综合问题命题点1由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质例4(2015·重庆)如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若PF1＝2＋2，PF2＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若PF1＝PQ，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a＝PF1＋PF2＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c＝F1F2＝PF21＋PF22＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c＝3，从而b＝a2－c2＝1.故所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)方法一连结F1Q，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x20 a2＋y20b2＝1，x20＋y20＝c2，求得x 0＝±aca 2－2b 2，y 0＝±b 2c.由PF 1＝PQ ＞PF 2得x 0＞0，从而 PF 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2.＝2(a 2－b 2)＋2aa 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2.由椭圆的定义，PF 1＋PF 2＝2a ，QF 1＋QF 2＝2a ，从而由PF 1＝PQ ＝PF 2＋QF 2，有QF 1＝4a －2PF 1.又由PF 1⊥PQ ，PF 1＝PQ ，知QF 1＝2PF 1， 因此，(2＋2)PF 1＝4a ， 即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 方法二 如图，由椭圆的定义，PF 1＋PF 2＝2a ， QF 1＋QF 2＝2a .从而由PF 1＝PQ ＝PF 2＋QF 2， 有QF 1＝4a －2PF 1.又由PF 1⊥PQ ，PF 1＝PQ ，知QF 1＝2PF 1， 因此，4a －2PF 1＝2PF 1，得PF 1＝2(2－2)a ， 从而PF 2＝2a －PF 1＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2，因此e ＝c a ＝PF 21＋PF 222a＝(2－2)2＋(2－1)2 ＝9－62＝6－ 3.命题点2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 例5 (2015·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程. 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且 AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意. 从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)， 从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.思维升华 解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2015·北京)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1,0)且不过点E (2,1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由. 解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2. 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1,0)且垂直于x 轴， 所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)， 直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)， 令x ＝3，得M (3,2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1.(3)直线BM 与直线DE 平行，证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1.又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2).令x ＝3，得点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k (x －1)，得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k (x 1－1)＋x 1－3－k (x 2－1)(x 1－2)－(3－x 2)(x 1－2)(3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)[－x 1x 2＋2(x 1＋x 2)－3](3－x 2)(x 1－2)＝(k －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3(3－x 2)(x 1－2)＝0所以k BM ＝1＝k DE ，所以BM ∥DE . 综上可知，直线BM 与直线DE 平行.8.高考中求椭圆的离心率问题典例 (1)(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.(2)(2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________. 解析 (1)如图，设左焦点为F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. (2)直线AB ：x ＝c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .∴A (c ，b 2a )，B (c ，－b 2a ).∴kBF 1＝－b 2a－0c －(－c )＝－b 2a 2c ＝－b 22ac .∴直线BF 1：y －0＝－b 22ac (x ＋c ).令x ＝0，则y ＝－b 22a，∴D (0，－b 22a )，∴k AD ＝b 2a ＋b 22ac ＝3b 22ac .由于AD ⊥BF 1，∴－b 22ac ·3b 22ac ＝－1，∴3b 4＝4a 2c 2，∴3b 2＝2ac ，即3(a 2－c 2)＝2ac ， ∴3e 2＋2e －3＝0，∴e ＝－2±4－4×3×(－3)23＝－2±423.∵e >0，∴e ＝－2＋423＝223＝33.答案 (1)⎝⎛⎦⎤0，32 (2)33温馨提醒 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.[方法与技巧]1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F 1F 2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x 2m ＋y 2n ＝1 (m >0，n >0，且m ≠n )可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax 2＋By 2＝1 (A >0，B >0，且A ≠B )，这种形式在解题中更简便. 3.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解. [失误与防范]1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小.2.注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，OM ＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________. 答案 4解析 由题意知，在△PF 1F 2中 ，OM ＝12PF 2＝3，∴PF 2＝6，∴PF 1＝2a －PF 2＝10－6＝4.2.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________. 答案55解析 由题意知AF 1＝a －c ，F 1F 2＝2c ，F 1B ＝a ＋c ，且三者成等比数列，则F 1F 22＝AF 1·F 1B ，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.3.已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且AB ＝3，则C 的方程为______________. 答案 x 24＋y 23＝1解析 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB ＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4.已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左，右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个. 答案 6解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个.故符合要求的点P 有6个.5.已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作垂直于A 1A 2的直线，与椭圆的一个交点为P ，则使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为________. 答案63解析 设P (x ，y )，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∵PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2＋y 2－c 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫1－x 24－3＝3x 24－2<0，∴－263<x <263.∴使得PF 1→·PF 2→<0的点M 的概率为2×2632×2＝63.6.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A 、B 、C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin Bsin C 的值等于________.答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CAAB ，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3.8.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，且PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是__________________________________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤33，22解析 设P (x ，y )，则PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y )＝x 2－c 2＋y 2＝c 2，① 将y 2＝b 2－b 2a 2x 2代入①式解得x 2＝(2c 2－b 2)a 2c 2＝(3c 2－a 2)a 2c 2，又x 2∈[0，a 2]，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤33，22.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的右准线方程为x ＝4，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为255.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当B ，F ，P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.解 (1)由题意知，直线l 的方程为y ＝2(x －a )， 即2x －y －2a ＝0，所以右焦点F 到直线l 的距离为|2c －2a |5＝255，所以a －c ＝1.又因为椭圆C 的右准线为x ＝4， 即a 2c ＝4，所以c ＝a 24， 代入上式解得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知B (0，3)，F (1,0)，所以直线BF 的方程为y ＝－3(x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x －1)，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3(舍去)或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝－335.所以P ⎝⎛⎭⎫85，－335，所以直线l 的斜率k ＝0－⎝⎛⎭⎫－3352－85＝332.10.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)11.从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________. 答案22解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)， k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－ba ，由于OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，y 0＝bca ，把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bca 代入椭圆方程得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2b 2＝1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 12.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP ＝OF ，且PF ＝4，则椭圆C 的方程为__________. 答案 x 236＋y 216＝1解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，右焦点为F ′，连结PF ′，如图所示.因为F (－25，0)为C 的左焦点，所以c ＝2 5.由OP ＝OF ＝OF ′知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，所以∠PFF ′＋∠OF ′P ＋∠FPO ＋∠OPF ′＝180°，知∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得PF ′＝FF ′2－PF 2＝(45)2－42＝8.由椭圆定义，得PF ＋PF ′＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.13.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－263，263) 解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ).∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，① ∵y 2＝1－x 24，代入①得x 2－3＋1－x 24<0， 34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263). 14.(2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程；(2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值.解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0).(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a .又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1. 解方程组⎩⎨⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2a 2c a 2＋c 2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3， 直线AB 的斜率为－b c，且F 1C ⊥AB ， 所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15，因此e ＝55. 15.(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左，右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求OQ OP的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值.解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2，又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2， 可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1. (ⅰ)设P (x 0，y 0)，OQ OP＝λ， 由题意知Q (－λx 0，－λy 0).因为x 204＋y 20＝1， (－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1， 所以λ＝2，即OQ OP＝2. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0， 由Δ＞0，可得m 2＜4＋16k 2，①则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2. 所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2| ＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k2＋4－m2)m21＋4k2＝2⎝⎛⎭⎪⎫4－m21＋4k2m21＋4k2.设m21＋4k2＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2(4－t)t＝2－t2＋4t，故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为6 3.。
【高考数学】第九章 平面解析几何、圆锥曲线全章PPT教师用书
重合⇔方程组有无数个解.
11
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.( ) (3)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1) ＝(x－x1)(y2－y1)表示.( ) (4)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( ) (5)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
(2)点线距离
|Ax0＋By0＋C|
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d＝_______A_2_＋__B_2 _____.
(3)线线距离
|C1－C2|
两平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝_______A_2_＋__B_2_______.
12
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝ 1，k1＜k2. (2)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示. (4)两直线l1，l2有可能重合. (5)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，则l2的斜率不存在. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
____ax_＋ ___by_＝__1_____
__A_x_＋__B_y_＋__C__＝__0__ __(A__2＋___B_2_≠__0_)____
不含直线 x＝x1(x1＝x2) 和直线 y＝y1(y1＝y2) 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 适用于平面直角坐标系 内的所有直线
【走向高考】年高考数学一轮总复习课件(北师大版)第九章 平面解析几何 9-5
(1)求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切 的圆的圆心的轨迹方程． (2)如图，已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦 1 点F1，F2在x轴上，离心率e＝2.求椭圆E的方程．
[思路分析]
(1)两圆内切时，圆心之间的距离与两圆的
半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件． (2)由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待 定系数法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．
走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第九章
平面解析几何
第九章
第五节 椭 圆
高考目标导航
3
课堂典例讲练
课前自主导学
4
课后强化作业
高考目标导航
考纲要求 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．理解数形结合的思想． 3．了解椭圆的简单应用，了解椭圆的实际背景.
x2 y2 x2 y2 C. ＋ ＝1或 ＋ ＝1 D．以上都不对 25 16 16 25
[答案] C
[解析]
∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，
∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5， x2 y2 x2 y2 b＝4，∴椭圆的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. 25 16 16 25
[答案] 2 120°
[解析]
由题意知a＝3，b＝ 2，c＝ 7.
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6. ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2，又∵|F1F2|＝2 7， 1 在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－2， ∴∠F1PF2＝120° .
课堂典例讲练
椭圆的定义及标准方程
2021年高考数学复习之专题突破训练09平面解析几何含解析
平面解析几何1．平面向量数量积的性质与其运算【知识点的知识】1、平面向量数量积的重要性质：设，都是非零向量，是与方向一样的单位向量，与和夹角为θ，如此：〔1〕＝＝||cosθ；〔2〕⇔＝0；〔判定两向量垂直的充要条件〕〔3〕当，方向一样时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；特别地：＝||2或||＝〔用于计算向量的模〕〔4〕cosθ＝〔用于计算向量的夹角，以与判断三角形的形状〕〔5〕||≤||||2、平面向量数量积的运算律〔1〕交换律：；〔2〕数乘向量的结合律：〔λ〕•＝λ〔〕＝•〔〕；〔3〕分配律：〔〕•≠•〔〕【平面向量数量积的运算】平面向量数量积运算的一般定理为①〔±〕2＝2±2•+2．②〔﹣〕〔+〕＝2﹣2．③•〔•〕≠〔•〕•，从这里可以看出它的运算法如此和数的运算法如此有些是一样的，有些不一样．【例题解析】例：由代数式的乘法法如此类比推导向量的数量积的运算法如此：①“mn＝nm〞类比得到“〞②“〔m+n〕t＝mt+nt〞类比得到“〔〕•＝〞；③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n〞类比得到“⇒〞；④“|m•n|＝|m|•|n|〞类比得到“||＝||•||〞；⑤“〔m•n〕t＝m〔n•t〕〞类比得到“〔〕•＝〞；⑥“〞类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的答案是①②．解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm〞类比得到“〞，即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“〔m+n〕t＝mt+nt〞类比得到“〔〕•＝〞，即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n〞不能类比得到“⇒〞，即③错误；∵||≠||•||，∴“|m•n|＝|m|•|n|〞不能类比得到“||＝||•||〞；即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“〔m•n〕t＝m〔n•t〕〞不能类比得到“〔〕•＝〞，即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴〞不能类比得到，即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm〞类比得到“〞；向量的数量积满足分配律，故“〔m+n〕t＝mt+nt〞类比得到“〔〕•＝〞；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n〞不能类比得到“⇒〞；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|〞不能类比得到“||＝||•||〞；向量的数量积不满足结合律，故“〔m•n〕t＝m〔n•t〕〞不能类比得到“〔〕•＝〞；向量的数量积不满足消元律，故〞不能类比得到．【考点分析】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比拟多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．2．直线的倾斜角【知识点的认识】1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．2．X围：[0，π〕〔特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°〕3．意义：表现了直线对x轴正方向的倾斜程度．4．斜率与倾斜角的区别和联系〔1〕区别：①每条直线都有倾斜角，X围是[0，π〕，但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．〔2〕联系：①当a≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，〕时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈〔，π〕时，k＜0 且tanα随α的增大而增大．【命题方向】直线的倾斜角常结合直线的斜率进展考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的根底．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．〔1〕直接根据直线斜率求倾斜角例：直线x+y﹣1＝0的倾斜角是〔〕A.30°B.60°C.120°D.150°分析：求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．解答：因为直线x+y﹣1＝0的斜率为：﹣，直线的倾斜角为：α．所以tanα＝﹣，α＝120°应当选C．点评：此题考查直线的倾斜角的求法，根本知识的应用．〔2〕通过条件转换求直线倾斜角例：假如直线经过A〔0，1〕，B〔3，4〕两点，如此直线AB的倾斜角为〔〕A．30°B.45°C．60°D．120°分析：由直线经过A〔0，1〕，B〔3，4〕两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．解答：∵直线经过A〔0，1〕，B〔3，4〕两点，∴直线AB的斜率k＝＝1，∴直线AB的倾斜角α＝45°．应当选B．点评：此题考查直线的倾斜角的求法，是根底题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进展等价转化．3．直线的斜率【考点归纳】1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k 表示，即k＝tanα．2．斜率的求法〔1〕定义：k＝tanα〔α≠〕〔2〕斜率公式：k＝．3．斜率与倾斜角的区别和联系〔1〕区别：①每条直线都有倾斜角，X围是[0，π〕，但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．〔2〕联系：①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在；②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，〕时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈〔，π〕时，k＜0且随α的增大而增大．【命题方向】直线的斜率常结合直线的倾斜角进展考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的根底．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．常见题型：〔1〕倾斜角X围求斜率的X围；〔2〕斜率求倾斜角的问题．〔3〕斜率在数形结合中的应用．4．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【知识点的知识】直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响：〔1〕直线在y轴上的截距大于0时：假如倾斜角为锐角，如此斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；假如倾斜角为钝角，如此斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；〔2〕直线在y轴上的截距小于0时：假如倾斜角为锐角，如此斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；假如倾斜角为钝角，如此斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大；〔3〕当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直；〔4〕当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合．5．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【知识点的认识】两直线平行与倾斜角、斜率的关系：①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，如此有：两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行．6．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【直线的关系】在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°．【特点】①当某条直线斜率不存在时，那么与它垂直的直线平行x轴；②当某条直线斜率存在时，设它的斜率为k〔k≠0〕，那么与它垂直的直线的斜率为：﹣，即两条互相垂直的斜率之积为﹣1，符号表示为k1•k2＝﹣1．【例题解析】例：设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，假如直线PA的方程为x﹣2y+1＝0，如此直线PB的方程是．解：根据|PA|＝|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据x﹣2y+1＝0求出点A的坐标为〔﹣1，0〕，由P的横坐标是2代入x﹣2y+1＝0求得纵坐标为，如此P〔2，〕，P在x轴上的投影为Q〔2，0〕，又因为Q为A与B的中点，所以得到B〔5，0〕，所以直线PB的方程为：y﹣0＝〔x﹣5〕化简后为x+2y ﹣5＝0故答案为：x+2y﹣5＝0．这个题是以前的一个高考题，非常好．解题时首先要分析出两条直线之间的夹角，最好的方法就是画图，根据等腰三角形底边相等的性质，然后根据斜率为1表示的倾斜角为45°这个特点，求出这两条直线的夹角；然后根据两条垂线的特点求出该直线的斜率；最后因为求出P点的坐标，带进去即可．【知识点的认识】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系：①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直；②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，假如两条直线互相垂直，如此它们的斜率互为负倒数；反之，假如两条直线的斜率互为负倒数，如此它们互相垂直．l1⊥l2⇔k2＝﹣⇔k1•k2＝﹣1．7．直线的点斜式方程【知识点的认识】设P〔x，y〕是直线l上不同于P0的任意一点．方程y﹣y0＝k〔x﹣x0〕是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．8．直线的截距式方程【知识点的认识】直线的截距式方程：假如直线l与x轴交点为〔a，0〕，与y轴交点为〔0，b〕，其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：．#注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线．9．直线的一般式方程与直线的平行关系【知识点的知识】1、两条直线平行与垂直的判定对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有：〔1〕l1∥l2⇔k1＝k2；〔2〕l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1．2、直线的一般式方程：〔1〕一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0〔B ≠0〕化为斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率为﹣，y轴上截距为﹣的直线．〔2〕与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C ＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0．〔3〕直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0〔A1，B1不同时为0〕，l2：A2x+B2y+C2＝0〔A2，B2不同时为0〕，如此两条直线的位置关系可以如下判别：①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0时，如此l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔．10．点到直线的距离公式【知识点的知识】从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为〔X0，Y0〕那么这点到这直线的距离就为：d＝．【例题解析】例：过点P〔1，1〕引直线使A〔2，3〕，B〔4，5〕到直线的距离相等，求这条直线方程．解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k＝＝1，故直线方程为y﹣1＝〔x﹣1〕，即x﹣y＝0；当直线过AB的中点〔3，4〕时，斜率为k＝＝，故直线方程为y﹣1＝〔x﹣1〕，即3x﹣2y﹣1＝0；故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．【考点分析】正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉与到点到直线的距离．11．圆的标准方程【知识点的认识】1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合〔轨迹〕叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．2．圆的标准方程：〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2〔r＞0〕，其中圆心C〔a，b〕，半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心〔a，b〕是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．【解题思路点拨】圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：〔1〕根据题意设出圆的标准方程为〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2；〔2〕根据条件，列出关于a，b，r的方程组；〔3〕求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．另外，通过对圆的一般方程进展配方，也可以化为标准方程．【命题方向】可以是以单独考点进展考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为根底考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进展转化．例1：圆心为〔3，﹣2〕，且经过点〔1，﹣3〕的圆的标准方程是〔x﹣3〕2+〔y+2〕2＝5分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．解答：设圆的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y+2〕2＝R2，由圆M经过点〔1，﹣3〕得R2＝5，从而所求方程为〔x﹣3〕2+〔y+2〕2＝5，故答案为〔x﹣3〕2+〔y+2〕2＝5点评：此题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．例2：假如圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，如此该圆的标准方程是〔〕A．〔x﹣2〕2+〔y﹣1〕2＝1B．〔x﹣2〕2+〔y+1〕2＝1C．〔x+2〕2+〔y﹣1〕2＝1D．〔x﹣3〕2+〔y﹣1〕2＝1分析：要求圆的标准方程，半径，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为〔a，b〕，由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a 的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．解答：设圆心坐标为〔a，b〕〔a＞0，b＞0〕，由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，化简得：|4a﹣3b|＝5①，又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1〔舍去〕，把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣〔舍去〕，∴圆心坐标为〔2，1〕，如此圆的标准方程为：〔x﹣2〕2+〔y﹣1〕2＝1．应当选：A点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以与圆的标准方程，假如直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以与会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为〔〕A．1 B．C．2 D．4分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为x2+〔y+1〕2＝2，故半径等于，应当选B．点评：此题考查圆的标准方程的形式与各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．12．关于点、直线对称的圆的方程【知识点的知识】〔1〕圆关于的直线对称，如此对称后的圆半径与圆半径是相等的，只需求出圆的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可．〔2〕假如某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，如此这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆心坐标．13．圆的切线方程【知识点的认识】圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：〔1〕过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程〔2〕过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解〔交点〕时斜率的值，进而求出直线方程．【实例解析】例1：圆：〔x﹣1〕2+y2＝2，如此过点〔2，1〕作该圆的切线方程为．解：圆：〔x﹣1〕2+y2＝2，的圆心为C〔1，0〕，半径r＝．①当直线l经过点P〔2，1〕与x轴垂直时，方程为x＝2，∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；②当直线l经过点P〔2，1〕与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k〔x﹣2〕，即kx﹣y+1﹣2k＝0．∵直线l与圆：〔x﹣1〕2+y2＝2相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d＝＝，解之得k＝﹣1，因此直线l的方程为y﹣1＝﹣〔x﹣2〕，化简得x+y﹣3＝0．综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．例2：从点P〔4，5〕向圆〔x﹣2〕2+y2＝4引切线，如此圆的切线方程为．解：由圆〔x﹣2〕2+y2＝4，得到圆心坐标为〔2，0〕，半径r＝2，当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；当过P的切线斜率存在时，设为k，由P坐标为〔4，5〕，可得切线方程为y﹣5＝k〔x﹣4〕，即kx﹣y+5﹣4k＝0，∴圆心到切线的距离d＝r，即＝2，解得：k＝，此时切线的方程为y﹣5＝〔x﹣4〕，即21x﹣20y+16＝0，综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个根本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．【考点分析】本考点也是比拟重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．14．直线与圆相交的性质【知识点的知识】直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．【例题解析】例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：解：直线x﹣y+m＝0假如与圆x2+y2＝1相交，如此圆心〔0，0〕到直线的距离d＜1，即d＝，∴|m|，即，∴满足的必要不充分条件均可．故答案为：满足的必要不充分条件均可．这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．此题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．【考点解析】本知识点内容比拟简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．15．直线与圆的位置关系【知识点的认识】1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2〔r＞0〕的位置关系的判断方法：〔1〕几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r〔2〕代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．16．圆与圆的位置关系与其判定【知识点的认识】1．圆与圆的位置关系2．圆与圆的位置关系的判定设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d〔1〕几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断①外离〔4条公切线〕：d＞r1+r2②外切〔3条公切线〕：d＝r1+r2③相交〔2条公切线〕：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④内切〔1条公切线〕：d＝|r1﹣r2|⑤内含〔无公切线〕：0＜d＜|r1﹣r2|〔2〕代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．17．直线和圆的方程的应用【知识点的知识】1、直线方程的形式：2、圆的方程：〔1〕圆的标准方程：〔x﹣a〕2+〔y﹣b〕2＝r2〔r＞0〕，其中圆心C〔a，b〕，半径为r．特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x2+y2＝r2．其中，圆心〔a，b〕是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．〔2〕圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0〔D2+E2﹣4F＞0〕其中圆心〔﹣，﹣〕，半径r＝．18．椭圆的定义【知识点的认识】1．椭圆的第一定义平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a〔2a＞|F1F2|〕的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．2．椭圆的第二定义平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝〔0＜e＜1，其中a 是半长轴，c是半焦距〕的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．〔1〕当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；〔2〕当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；〔3〕当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．【命题方向】利用定义判断动点运动轨迹，需注意椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨迹才为椭圆．1．根据定义判断动点轨迹例：如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，如此点P的轨迹是〔〕A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆分析：根据CD是线段MF的垂直平分线．可推断出|MP|＝|PF|，进而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|结果为定值，进而根据椭圆的定义推断出点P的轨迹．解答：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|〔定值〕，又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．应当选A点评：此题主要考查了椭圆的定义的应用．考查了学生对椭圆根底知识的理解和应用．2．与定义有关的计算例：椭圆上的一点P到左焦点的距离为，如此点P到右准线的距离为〔〕A．2B．2C．5 D．3分析：先由椭圆的第一定义求出点P到右焦点的距离，再用第二定义求出点P到右准线的距离d．解答：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣＝，离心率e＝，再由椭圆的第二定义得＝e＝，∴点P到右准线的距离d＝5，应当选C．点评：此题考查椭圆的第一定义和第二定义，以与椭圆的简单性质．19．椭圆的标准方程【知识点的认识】椭圆标准方程的两种形式：〔1〕〔a＞b＞0〕，焦点在x轴上，焦点坐标为F〔±c，0〕，焦距|F1F2|＝2c；〔2〕〔a＞b＞0〕，焦点在y轴上，焦点坐标为F〔0，±c〕，焦距|F1F2|＝2c．两种形式一样点：形状、大小一样；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程〔a＞b＞0〕中心在原点，焦点在x轴上〔a＞b＞0〕中心在原点，焦点在y 轴上图形顶点A〔a，0〕，A′〔﹣a，0〕B〔0，b〕，B′〔0，﹣b〕A〔b，0〕，A′〔﹣b，0〕B〔0，a〕，B′〔0，﹣a〕对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b焦点在长轴长上x轴、y轴，长轴长2a ，短轴长2b焦点在长轴长上焦点F1〔﹣c，0〕，F2〔c ，0〕F1〔0，﹣c〕，F2〔0，c〕焦距|F1F2|＝2c〔c＞0〕c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c〔c＞0〕c2＝a2﹣b2离心率e＝〔0＜e＜1〕e＝〔0＜e＜1〕准线x＝±y＝±20．椭圆的性质【知识点的认识】1．椭圆的X围2．椭圆的对称性3．椭圆的顶点顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．顶点坐标〔如上图〕：A1〔﹣a，0〕，A2〔a，0〕，B1〔0，﹣b〕，B2〔0，b〕其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．4．椭圆的离心率①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e ＜1．②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．21．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：〔1〕y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F〔，0〕，〔p可为正负〕〔2〕x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F〔0，〕，〔p可为正负〕四种形式一样点：形状、大小一样；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px〔p＞0〕，焦点在x轴上x2＝2py〔p＞0〕，焦点在y轴上图形顶点〔0，0〕〔0，0〕对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点〔，0〕〔0，〕焦距无无离心率e＝1 e＝1 准线x＝﹣y＝﹣22．抛物线的性质【知识点的知识】抛物线的简单性质：23．双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线标准方程的两种形式：〔1〕〔a＞0，b＞0〕，焦点在x轴上，焦点坐标为F〔±c，0〕，焦距|F1F2|＝2c ；〔2〕〔a＞0，b＞0〕，焦点在y轴上，焦点坐标为F〔0，±c〕，焦距|F1F2|＝2c．两种形式一样点：形状、大小一样；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．标准方程〔a＞0，b＞0〕中心在原点，焦点在x轴上〔a＞0，b＞0〕中心在原点，焦点在y轴上图形顶点〔a，0〕和〔﹣a，0〕〔0，a〕和〔0，﹣a〕对称轴x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b焦点在实轴上x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b焦点在实轴上焦点F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕F1〔0，﹣c〕，F2〔0，c〕焦距|F1F2|＝2c〔c＞0〕c2＝a2+b2|F1F2|＝2c〔c＞0〕c2＝a2+b2离心率e＝〔e ＞1〕e＝〔e＞1〕渐近线即y＝±x 即y＝±x 准线x＝±y＝±24．双曲线的性质【知识点的知识】双曲线的标准方程与几何性质标准方程〔a＞0，b＞0〕〔a＞0，b＞0〕图形性质焦点F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕F1〔0，﹣c〕，F2〔0，c〕焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2cX围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点〔﹣a，0〕．〔a，0〕〔0，﹣a〕〔0，a〕轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝〔e＞1〕准线x＝±y ＝±渐近线±＝0 ±＝025．曲线与方程【曲线与方程】在直角坐标系中，如果某曲线C〔看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹〕上的点与一个二元方程f〔x，y〕＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．求解曲线方程关键是要找到各变量的等量关系．【例题解析】例：：定义点M到曲线C上每一点的距离的最小值称为点M到曲线C的距离．那么平面内到定圆A的距离与它到定点B的距离相等的点的轨迹不可能是〔〕A：直线B：圆C：椭圆D：双曲线一支．解：对定点B分类讨论：①假如点B在圆A内〔不与圆心A重合〕，如下列图：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，如此|AM|+|BM|＝|AP|＝R＞|AB|．由椭圆的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的椭圆．②假如点B在圆A外，如图2所示：设点P是圆A上的任意一点，连接PB，作线段PB的垂直平分线l交AP于点M，连接BM，如此|BM|﹣|AM|＝|AP|＝R＜|AB|．由双曲线的定义可知：点M的轨迹是以点A、B为焦点的双曲线的一支．③假如定点B与圆心A重合，如图3所示：设点P是圆A上的任意一点，取线段AP的中点M，如此点M满足条件，因此点M的轨迹是以点A为圆心，以为半径的圆．④假如点B在圆A上，如此满足条件的点是一个点B．综上可知：可以看到满足条件的点M的轨迹可以是：椭圆、双曲线的一支，圆，一个点，而不可能是一条直线．应当选A．这是一个非常好的题，一个题把几个很重要的曲线都包含了，我认为这个题值得每一个学。
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析
2024年高考数学总复习第九章《平面解析几何》复习试卷及答案解析一、选择题1．已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C．短轴长为14D．离心率为32答案D解析由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得x2 1 16＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，长轴2a＝1，焦距2c＝32，短轴2b＝12，离心率e＝ca＝32.故选D.2．双曲线x23－y29＝1的渐近线方程是()A．y＝±3x B．y＝±13xC．y＝±3x D．y＝±33x 答案C解析因为x23－y29＝1，所以a＝3，b＝3，渐近线方程为y＝±ba x，即为y＝±3x，故选C.3．已知双曲线my2－x2＝1(m∈R)与抛物线x2＝8y有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3x B．y＝±3xC．y＝±13x D．y＝±33x答案A解析∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l平行，则椭圆C 的离心率为()A.45B.35C.34D.15答案A解析直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34，又b 2＋c 2＝a 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A.5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是()A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案A 解析双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k 等于()A.13B.23C.23D.223答案D解析＝k (x ＋2)，2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k 2－4，①x 1x 2＝4，②根据抛物线定义及|FA |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89，∵0<k <1，∴k ＝223.故选D.7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为()A ．2 B.2147C ．22D ．23答案C解析由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即ba＝7，所以双曲线的离心率为e ＝ca＝a 2＋b 2a2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案A解析如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以ba＝ 2.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于()A ．2 B.3C ．23D ．3答案A解析由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为()A.2B.32C.3D ．2答案A解析因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca＝ 2.11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点()B ．(1,0)C ．(2,0)D ．(－2,0)答案B解析根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0，所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于()A ．4B ．23C ．2D ．3答案A解析如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A.二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案22解析双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2.14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|PA |＝________.答案4解析由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)，即x 2－y 24＝1(x >0)，故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点，且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA |－|PB |＝2a ＝2，|PA |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案1解析设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D为椭圆的短轴端点，动点P 满足|PA ||PB |＝2，△PAB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________．答案32解析依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|PA |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得－53a ＋y 2，r ＝4a3.所以△PAB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2，△PCD 的最小面积为12·2b b ·a 3＝23，解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－14＝32.三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r 2(r 为正数，b ∈R )．(1)若对任意给定的r ∈(0，＋∞)，直线l ：y ＝－x ＋r ＋4总能把圆M 的周长分成3∶1的两部分，求圆M 的标准方程；(2)已知点A (0,3)，B (1,0)，且r ＝103，若线段AB 上存在一点P ，使得过点P 的某条直线与圆M 交于点S ，T (其中|PS |<|PT |)，且|PS |＝|ST |，求实数b 的取值范围．解(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r 恒成立，即|3＋b －r －4|2＝22r ，整理得|b －1－r |＝r ，去绝对值符号可得b －1－r ＝r 或b －1－r ＝－r ，根据恒成立，可得b ＝1，所以圆M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝r 2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A ，即为|AM |≤3r ，即(0－3)2＋(b －3)2≤9×109，解得2≤b ≤4，再考虑点B ，即为|BM |≤3r ，即(1－3)2＋b 2≤10，解得－6≤b ≤6，两者取并集，得到b 的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点A (1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝t(y＋1)＋3，代入抛物线方程得y2－ty－t－3＝0.所以Δ＝(t＋2)2＋8>0，y1＋y2＝t，y1y2＝－t－3.所以k1·k2＝y1－1x1－1·y2－1x2－1＝y1－1y21－1·y2－1y22－1＝1(y1＋1)(y2＋1)＝1y1y2＋y1＋y2＋1＝1－t－3＋t＋1＝－12，所以k1·k2是定值．。
2018年高考新课标数学(理)一轮考点突破练习第九章平面解析几何Word版含答案
第九章平面解析几何1.平面解析几何初步(1)直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．④掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标．⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．(2)圆与方程①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．2．圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．(4)了解曲线与方程的对应关系．(5)理解数形结合的思想．(6)了解圆锥曲线的简单应用．9．1 直线与方程1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)数轴上A ，B 两点的距离：数轴上点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则A ，B 两点间的距离|AB |＝____________．(2)平面直角坐标系中的基本公式： ①两点间的距离公式：在平面直角坐标系中，两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)之间的距离公式为d (A ，B )＝|AB |＝_____________________．②线段的中点坐标公式：若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ . 2．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴____________与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴________或________时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为__________________．(2)斜率：一条直线的倾斜角α的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示，即k ＝______(α≠______)．当直线平行于x 轴或者与x 轴重合时，k ______0；当直线的倾斜角为锐角时，k ______0；当直线的倾斜角为钝角时，k ______0；倾斜角为______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．(3)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝．3．直线方程的几种形式(1)截距：直线l 与x 轴交点(a ，0)的____________叫做直线l 在x 轴上的截距，直线l 与y 轴交点(0，b )的____________叫做直线l在y 轴上的截距．注：截距____________距离(填“是”或“不是”)．(2)直线方程的五种形式：________的特例．(3)过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程 ①若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为____________；②若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为____________；③若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为____________；④若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0，直线即为x 轴，方程为____________．自查自纠： 1．(1)|x 2－x 1| (2)①()x 2－x 12＋()y 2－y 12②x 1＋x 22y 1＋y 222．(1)正向 平行 重合 0°≤α<180°(2)正切值 tan α 90° ＝ > < 90° (3)y 2－y 1x 2－x 13．(1)横坐标a 纵坐标b 不是 (2)①y －y 0＝k (x －x 0) ②y ＝kx ＋b ③y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ④x 1≠x 2且y 1≠y 2 ⑤x a ＋y b＝1 ⑥Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0) 点斜式 两点式(3)①x ＝x 1 ②y ＝y 1 ③x ＝0 ④y ＝0直线x tan π3＋y ＋2＝0的倾斜角α是( )A.π3 B.π6 C.2π3 D ．－π3解：由已知可得tan α＝－tanπ3＝－3，因为α∈；⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.(2)如图所示，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1与l 2垂直，则直线l 1的斜率k 1＝________，直线l 2的斜率k 2＝________．解：由图可知，α2＝α1＋90°＝120°，则直线l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan30°＝33，直线l 2的斜率k 2＝tan α2＝tan120°＝－ 3.故填33；－ 3. 点拨：①直线的倾斜角与斜率均是反映直线倾斜程度的量．倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度，两者由公式k ＝tan α联系．②在使用过两点的直线的斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1时，注意同一直线上选取的点不同，直线的斜率不会因此而发生变化，同时还要注意两点横坐标是否相等，若相等，则直线的倾斜角为90°，斜率不存在，但并不意味着直线的方程也不存在，此时直线的方程可写为x ＝x 1.③在已知两点坐标，求倾斜角α的值或取值范围时，用tan α＝k ＝y 2－y 1x 2－x 1转化，其中倾斜角α∈时，直线l 不经过第四象限，所以k ≥0.③由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k>0，解得k>0. 因为S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k | ＝12·（1＋2k ）2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k 且k>0，即k ＝12时等号成立，所以S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.1．直线的倾斜角和斜率的关系，可借助k ＝tan α的图象(如图)来解决．这里，α∈2＋(y －3)2＝25上，从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆2＋(y －3)2＝25有公共点，所以5－5≤[（t ＋4）－6]2＋（3－7）2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是． 点拨：直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线的距离公式及弦长公式，其核心都是将问题转化到与圆心、半径的关系上，这是解决与圆有关的综合问题的根本思路．对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系．(2015·广东)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； (3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3，0)． (2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94.故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53<x ≤3.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝±253.不妨设其交点为P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4，0)， 则1PP k ＝－257，2PP k ＝257.当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪32k －4k k 2＋1＝32，解得k ＝±34.故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎪⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．1．注意应用圆的几何性质解题圆的图形优美，定理、性质丰富，在学此节时，重温圆的几何性质很有必要，因为使用几何性质，能简化代数运算的过程，拓展解题思路．2．圆的方程的确定由圆的标准方程和圆的一般方程，可以看出方程中都含有三个参数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，求圆的方程时，若能根据已知条件找出圆心和半径，则可用直接法写出圆的标准方程，否则可用待定系数法．3．求圆的方程的方法(1)几何法：即通过研究圆的性质，以及点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，求得圆的基本量(圆心坐标和半径长)，进而求得圆的方程．确定圆心的位置的方法一般有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上；④两圆相切时，切点与两圆圆心共线．确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半，弦心距，半径组成的三角形)，并解此直角三角形．(2)代数法：即设出圆的方程，用“待定系数法”求解．1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )A．2 B.22C．1 D. 2解：已知圆的圆心是(1，－2)，则圆心到直线x－y＝1的距离是|1＋2－1|12＋（－1）2＝22＝ 2.故选D.2．(2016·山西模拟)若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a，－32b，则a<0，b>0.直线y＝－1ax－ba，则k＝－1a>0，－ba>0，所以直线不经过第四象限．故选D.3．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．(－3，3)C．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－22，22解：因为(0，0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，所以(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－2 <m< 2.故选C.4．(2016·安徽模拟)若圆x2＋y2－2x＋6y ＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a －b的取值范围是( )A．(－∞，4) B．(－∞，0)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)解：将圆的方程变形为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，可知，圆心为(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.因为圆关于直线y＝x＋2b对称，所以圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，所以a－b<4.故选A.5．(2016·南阳模拟)已知圆C与直线y＝x 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝2解：由题意知直线x－y＝0 和x－y－4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以圆C的半径r＝2，又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0，0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，则圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选D.6．(2015·沈阳联考)已知点A (－2，0)，B (0，2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋ kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，若M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是( )A ．3－ 2B ．4C ．3＋ 2D ．6 解：依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，0位于直线x －y －1＝0上，于是有－k 2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB 的距离为|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，所以△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.故选C.7．(2016·柳州模拟)若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是____________；当半径最大时，圆的标准方程为____________．解：原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝ －m 2＋6m －8，则r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)>0，所以2<m <4.当m ＝3时，r 最大为1，此时圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1.故填(2，4)；(x －1)2＋ (y ＋3)2＝1.8．(2015·全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________．解：依题意，可知该圆过椭圆的三个顶点(0，－2)，(0，2)，(4，0)．设圆心为(a ，0)，其中a>0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.故填⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.9．已知圆经过A (2，－3)和B (－2，－5)两点，若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程．解法一：线段AB 中垂线的方程为2x ＋y ＋ 4＝0，它与直线x －2y －3＝0的交点(－1，－2)为圆心，由两点间的距离公式得r 2＝10，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.解法二：设方程(两种形式均可以)，由待定系数法求解．10．已知圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9，6)，求圆C 的方程．解：因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)，所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝ －6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9，6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132上，即5x＋7y －50＝0上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，即圆心为(3，5)，从而半径为（9－3）2＋（6－5）2＝37， 故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37. 11．已知定点A (4，0)，P 点是圆x 2＋y 2＝4上一动点，Q 点是AP 的中点，求Q 点的轨迹方程．解：设Q 点坐标为(x ，y )，P 点坐标为(x P ，y P )，则x ＝4＋x P 2且y ＝0＋y P2，即x P ＝2x －4，y P＝2y，又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x2P＋y2P＝4，将x P＝2x－4，y P＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.故所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题知b≠0，且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，代入得E＝－b－1.所以圆C的轨迹方程是x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C过定点，证明如下：假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，并变形为x20＋y20＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0.(*)为使(*)式对所有满足b<1且b≠0的b都成立，必须有1－y0＝0，结合(*)式得x20＋2x0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝0，y0＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－2，y0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C上．因此，圆C过定点．9．4 直线、圆的位置关系1．0 d>r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解2．d>R ＋r d ＝R ＋r R －r <d <R ＋rd ＝R －r d <R －r(2015·安徽联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l的方程为ax ＋y －1＝0，则直线l 与圆C 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交解：圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，直线l 过定点(0，1)，易知点(0，1)在圆C 上，所以直线l 与圆C 相切或相交．故选D.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17< 3＋2，所以两圆相交．故选B.(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A ′(2，－3)，因此可设反射光线所在直线的方程为y ＋ 3＝k (x －2)，化为kx －y －2k －3＝0.因为反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，所以圆心(－3，2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.故选D.(2016·郑州模拟)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有____________个．解：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，可知圆心为(－2，3)，半径为4，则圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235>4，故直线与圆相离，又d <4＋2，则满足题意的点P 有2个．故填2.(2016·山东模拟)过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是____________．解：点M 在圆C 内，依题意，当∠ACB 最小时，圆心C (3，4)到直线l 的距离最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率k ＝4－23－1＝1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝ －(x －1)，即x ＋y －3＝0.故填x ＋y －3＝0.类型一 直线与圆的位置关系(1)已知点M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝ a 2与该圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相离解：因为M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内异于圆心的一点，所以x 20＋y 20<a 2.又圆心到直线x 0x ＋y 0y ＝a 2的距离d ＝|a 2|x 20＋y 20＞|a 2||a |＝a ，所以直线与圆相离．故选C.(2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋m ，x 2＋y 2＝1，得43x 2－233mx ＋m 2－1＝0，设直线与圆在第一象限内交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233m 2－4×43×（m 2－1）>0，x 1＋x 2＝－－233m 43>0，x 1x 2＝m 2－143>0，得1<m <233.故选D.点拨：在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．另外，近几年高考中考查直线与圆的位置关系的题目有所增多，应予以重视．(1)在同一坐标系下，直线ax ＋by ＝ab 和圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(ab ≠0，r>0)的图象可能是( )解：直线方程可化为x b ＋ya＝1，且由A ，B ，C ，D 选项知a>0，b <0，满足圆心()a ，b (a>0，b <0)的只有选项D.故选D.(2)(2014·安徽)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解：由题意可知直线l 的斜率存在，设其为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)－1，要使直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，只需圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|3k －1|k 2＋1≤1，解得0≤k ≤ 3.所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.故选D. 类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线PA ，PB ，A ，B为切点．(1)求PA ，PB 所在直线的方程； (2)求切线PA 的长．解：(1)如图，易知切线PA ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线PA ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0.(2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10，所以||PA ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.点拨：求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2016·绥化模拟)已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a2＋1b2的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．9解：圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a ，0)，半径为2.圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2内切，所以（－2a －0）2＋（0－b ）2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.故选D.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x－1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C .(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.点拨：(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为____________．解：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|12＋22＝35，所以直线被圆截得的弦长为l ＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝2555.故填2555.(2)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．10 6 B．20 6C．30 6 D．40 6解：易知过点(3，5)的最长弦AC为圆的直径，过点(3，5)的最短弦BD为垂直于直径AC的弦，所以点(3，5)为AC与BD的交点．将圆的一般方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝25，得圆心(3，4)，半径r＝5，圆心到直线BD的距离d＝1，||BD＝2r2－d2＝252－12＝46，||AC＝2r＝10，所以四边形ABCD的面积S＝12|| AC·||BD＝20 6.故选B.类型四圆与圆的位置关系已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－ 5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C1和圆C2相外切？(2)圆C1和圆C2内含？解：易知圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x －m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，(1)如果圆C1与圆C2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m＋1）2＋（m＋2）2＝3＋2，解得m＝－5或2.故当m＝－5或2时，圆C1和圆C2相外切．(2)如果圆C1与圆C2内含，则只可能是较大圆C1含较小圆C2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m＋1）2＋（m＋2）2<3－2，解得－2<m<－1.当－2<m<－1时，圆C1和圆C2内含．点拨：与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R＋r，d与R－r的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(2014·湖南)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( ) A．21 B．19 C．9 D．－11解：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，圆心C2(3，4)，半径r2＝25－m，因为圆C1与圆C2外切，所以32＋42＝r1＋r2＝1＋25－m，解得m＝9.故选C.类型五两圆的公共弦及圆系方程求以相交两圆C1：x2＋y2＋4x＋y＋1＝0及C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦为直径的圆的方程．解：两个圆的方程相减，得2x－y＝0，即为公共弦所在的直线方程，显然圆C2的圆心(－1，－1)不在此直线上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋y＋1＋λ(x2＋y2＋2x＋2y＋1)＝0(λ∈R，λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2＋2(2＋λ)x＋(1＋2λ)y＋(1＋λ)＝0，其圆心O的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋λ1＋λ，－1＋2λ2（1＋λ）.因为点O在直线2x－y＝0上，所以－2（2＋λ）1＋λ＋1＋2λ2（1＋λ）＝0，解得λ＝－72.故所求方程为－52x2－52y2－3x－6y－52＝0，即5x2＋5y2＋6x＋12y＋5＝0.点拨：具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中的a，b是定值，r是参数．②半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．其中r是定值，a，b是参数．③过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．④过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，因此应用时注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.若两圆相交，则l为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l为公切线．在以k为参数的圆系：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0中，试证两个不同的圆相内切或相外切．证明：将原方程转化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.设两个圆的圆心分别为O1(－k1，－2k1－5)，O2(－k2，－2k2－5)，半径分别为5|k1＋1|，5|k2＋1|，由于圆心距|O1O2|＝（k2－k1）2＋4（k2－k1）2＝5|k2－k1|.当k1＞－1且k2＞－1或k1＜－1且k2＜－1时，两圆半径之差的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相内切．当k1＞－1且k2＜－1或k1＜－1且k2＞－1时，两圆半径之和的绝对值等于5|k2－k1|，即两圆相外切．类型六圆的综合应用(2016·黑龙江双鸭山模拟) 已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x－4y＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程；(2)设过点M(0，3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB(O 为坐标原点)．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C：(x－a)2＋y2＝R2(a>0)，R为半径，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a＋7|32＋42＝R，a2＋3＝R，解得a＝1或a ＝138，又S＝πR2<13，所以a＝1，R＝2，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l为x＝0，不满足题意．当斜率存在时，设直线l：y＝kx＋3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y＝kx＋3，（x－1）2＋y2＝4，消去y得(1＋k2)x2＋(6k－2)x＋6＝0，所以Δ＝(6k－2)2－24(1＋k2)＝12k2－24k－20>0，解得k<1－263或k>1＋263，且x1＋x2＝－6k－21＋k2，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6＝2k＋61＋k2.OD →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC →＝(1，－3)，假设OD →∥MC →，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2，即3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k 2，解得k ＝34∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋263，＋∞，故假设不成立，所以不存在这样的直线l .点拨：处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．(2016·河南六市一联)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋ 3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝4.(1)若直线l 过点A (4，0)，且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程；(2)设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P 的坐标．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，则d ＝22－（3）2＝1.由点到直线的距离公式得d ＝|－3k －1－4k |1＋k 2，即|7k ＋1|1＋k 2＝1，化简得k (24k ＋7)＝0，所以k ＝0或k ＝－724，所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0.(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )．因为圆C 1和C 2的半径相等，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等，即|1－b ＋k （3＋a ）|1＋k2＝|5－b ＋1k （4－a ）|1＋1k2， 整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |， 从而1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk 或1＋ 3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5，因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －2＝0，b －a ＋3＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋8＝0，a ＋b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝52，b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝132，这样的点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－12或⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，132.经检验，上述坐标均满足题中条件．1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d>r ，分别确定相交、相切、相离．2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助． 7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( )A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D .2．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2，1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，可知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，即a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是 |AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.3．(2016·南昌模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解：因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b2<1，即直线与圆相交．故选B.4．(2016·武汉模拟)过点P (3，1)作圆 (x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解：如图，令圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0.故选A.5．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x － 2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为 x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y － 4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C.6．(2016·浙江丽水模拟)若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 C ．(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D ．(－3，＋∞)解：圆的方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，则3－2a>0，①，因为过点A (a ，a )可作圆的两条切线，所以点A 在圆外，即(a －a )2＋a 2>3－2a ，②，由①②解得a <－3或1<a <32，即a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故选C.7．(2016·浙江六校联考)已知点M (2，1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为____________；若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝__________．解：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋ 4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－（3）2得a ＝±15.故填x ＝2或3x ＋4y －10＝0；±15.8．(2016·云南名校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线x －2y ＋5＝0上有一动点P ，过点P作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为____________．解：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0，再过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ，易知此时|PA |的值最小．由点到直线的距离公式得|OP |＝|1×0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，又|OA |＝1，所以 |PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.故填2.9．过点P (－3，－4)作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝4有公共点．解：由题意可设直线l 的方程为y ＋4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －4＝0.要使直线l 与圆C 有公共点，只须d ≤r ，即圆心(1，－2)到直线l 的距离d ＝|k ＋2＋3k －4|1＋k 2≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.10．已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切； (2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切， 则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34.(2)设圆心C (0，4)到直线l 的距离为d ， 则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 即(2)2＋d 2＝4，得d ＝ 2. 又d ＝|2a ＋4|a 2＋1，所以|2a ＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝－1或a ＝－7.所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0或7x －y ＋14＝0.(2014·全国卷Ⅰ)已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝ (2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，所以ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3， 所以直线l 的斜率为－13.所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105， 所以S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165. 所以△POM 的面积为165.1．(2016·四川模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋ 1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是。
2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第九章 平面解析几何 高考专题突破五 第3课时 含解析
第3课时 证明与探索性问题题型一 证明问题例1 (2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝ 2 NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ， OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1. 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .思维升华 圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法．跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63，圆C ：x 2＋y 2＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN .(1)解 由题意可知b ＝1，c a ＝63，即2a 2＝3c 2，又a 2＝b 2＋c 2，联立解得a 2＝3，b 2＝1.∴椭圆方程为x23＋y 2＝1.(2)证明 方法一 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝4，设k PM ＝k ，PM 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)，x 23＋y 2＝1， 消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6k (y 0－kx 0)x ＋3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3＝0， 依题意Δ＝36k 2(y 0－kx 0)2－4(1＋3k 2)(3k 2x 20－6kx 0y 0＋3y 20－3)＝0， 化简得(3－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0，又k PM ，k PN 为方程的两根，所以k PM ·k PN ＝1－y 203－x 20＝1－(4－x 20)3－x 20＝x 20－33－x 20＝－1.所以PM ⊥PN . 综上知PM ⊥PN .方法二 ①当P 点横坐标为±3时，纵坐标为±1，PM 斜率不存在，PN 斜率为0，PM ⊥PN . ②当P 点横坐标不为±3时，设P (2cos θ，2sin θ)， 切线方程为y －2sin θ＝k (x －2cos θ)， ⎩⎪⎨⎪⎧y －2sin θ＝k (x －2cos θ)，x 23＋y 2＝1， 联立得(1＋3k 2)x 2＋12k (sin θ－k cos θ)x ＋12(sin θ－k cos θ)2－3＝0， 令Δ＝0，即Δ＝144k 2(sin θ－k cos θ)2－4(1＋3k 2)[12(sin θ－k cos θ)2－3]＝0， 化简得(3－4cos 2θ)k 2＋4sin 2θ·k ＋1－4sin 2θ＝0， k PM ·k PN ＝1－4sin 2θ3－4cos 2θ＝(4－4sin 2θ)－33－4cos 2θ＝－1.所以PM ⊥PN . 综上知PM ⊥PN .题型二 探索性问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由．解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )， 或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )， 即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋(a －b )(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b )a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．跟踪训练2 (2018·鞍山模拟)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点Q ⎝⎛⎭⎫1，－22，且离心率e ＝22，直线l 与E 相交于M ，N 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于C ，D 两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆E 的方程；(2)判断是否存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝22，1a 2＋12b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →. 理由如下：方法一 由题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (km ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则C ⎝⎛⎭⎫－mk ，0，D (0，m )． 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 所以Δ＝16k 2－8m 2＋8>0.(*) 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2.因为2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →， 所以MC →＝CD →＝DN →，所以C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得线段MN 的中点与线段CD 的中点重合． 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2＝0－m k ，解得k ＝±22. 由C ，D 是线段MN 的两个三等分点，得|MN |＝3|CD |. 所以1＋k 2|x 1－x 2|＝3⎝⎛⎭⎫m k 2＋m 2，即|x 1－x 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－21＋2k 2＝3⎪⎪⎪⎪m k ， 解得m ＝±55.验证知(*)成立．所以存在直线l ，满足2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，此时直线l 的方程为y ＝22x ±55或y ＝－22x ±55. 方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，C (m,0)，D (0，n )， 由2OC →＝OM →＋OD →，2OD →＝ON →＋OC →，得⎩⎪⎨⎪⎧2(m ，0)＝(x 1，y 1)＋(0，n )，2(0，n )＝(x 2，y 2)＋(m ，0)， 解得M (2m ，－n )，N (－m,2n )． 又M ，N 两点在椭圆上，所以⎩⎨⎧4m 22＋n 2＝1，m22＋4n 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋n 2＝1，m 2＋8n 2＝2， 解得⎩⎨⎧m ＝±105，n ＝±55，故所求直线l 的方程为52x －10y ＋25＝0或52x －10y －25＝0或52x ＋10y ＋25＝0或52x ＋10y －25＝0.1．(2018·聊城模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为 3. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点A (4,0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M (x 1，y 1)与N (x 2，y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围． 解 (1)设a 2－b 2＝c 2，则c a ＝32，设P (x ，y )，则12F PF S ＝c |y |，∵|y |≤b ，∴12F PF S≤bc ＝ 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设MN 方程为x ＝ny ＋m (n ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ny ＋m ，x 2＋4y 2－4＝0， 得(n 2＋4)y 2＋2nmy ＋m 2－4＝0， 由题意知，Δ＝16(n 2－m 2＋4)>0，∴y 1＋y 2＝－2nm n 2＋4，y 1y 2＝m 2－4n 2＋4，∵关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0， 即y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝0， 即y 1ny 1＋m －4＋y 2ny 2＋m －4＝0，得2ny 1y 2＋m (y 1＋y 2)－4(y 1＋y 2)＝0， 即2n (m 2－4)n 2＋4－2nm 2n 2＋4＋8nm n 2＋4＝0.解得m ＝1.直线MN 方程为x ＝ny ＋1， ∴直线MN 过定点B (1,0)． 又|y 1－y 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2n n 2＋42－4·(－3)n 2＋4 ＝4n 2＋3(n 2＋4)2＝41n 2＋4－1(n 2＋4)2， 令1n 2＋4＝t ，∴t ∈⎝⎛⎭⎫0，14， ∴|y 1－y 2|＝4－t 2＋t ∈(0，3)， 又S ＝12|AB ||y 1－y 2|＝32|y 1－y 2|∈⎝⎛⎭⎫0，332.2．(2018·宿州检测)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32，以椭圆C 的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点P (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，是否存在直线l 0：x ＝x 0(x 0>2)，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|P A ||PB |恒成立，若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵c a ＝32，∴c ＝32a ， 又∵4a 2＋b 2＝45，∴a 2＋b 2＝5，由b 2＝a 2－c 2＝14a 2，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)若直线l 的斜率不存在，则直线l 0为任意直线都满足要求； 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(不妨令x 1>1>x 2)， 则d A ＝x 0－x 1，d B ＝x 0－x 2，|P A |＝1＋k 2(x 1－1)，|PB |＝1＋k 2(1－x 2)， ∵d A d B ＝|P A ||PB |， ∴x 0－x 1x 0－x 2＝1＋k 2(x 1－1)1＋k 2(1－x 2)＝x 1－11－x 2， 解得x 0＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)(x 1＋x 2)－2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x －1)，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 由题意知，Δ>0显然成立， x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，x 0＝8k 2－81＋4k 2－8k 21＋4k 28k 21＋4k 2－2＝4.综上可知存在直线l 0：x ＝4，使得A ，B 到直线l 0的距离d A ，d B 满足d A d B ＝|P A ||PB |恒成立．3．(2018·三明质检)已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F 在y 轴正半轴上，圆心在直线y ＝12x上的圆E 与x 轴相切，且E ，F 关于点M (－1,0)对称． (1)求E 和Γ的标准方程；(2)过点M 的直线l 与E 交于A ，B ，与Γ交于C ，D ，求证：|CD |>2|AB |. (1)解 设Γ的标准方程为x 2＝2py (p >0)， 则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2. 已知E 在直线y ＝12x 上，故可设E (2a ，a )．因为E ，F 关于M (－1,0)对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋02＝－1，p2＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，p ＝2.所以Γ的标准方程为x 2＝4y .因为E 与x 轴相切，故半径r ＝|a |＝1，所以E 的标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1. (2)证明 由题意知，直线l 的斜率存在， 设l 的斜率为k ，那么其方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 则E (－2，－1)到l 的距离d ＝|k －1|k 2＋1，因为l 与E 交于A ，B 两点， 所以d 2<r 2，即(k －1)2k 2＋1<1，解得k >0， 所以|AB |＝21－d 2＝22kk 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋1)消去y 并整理得x 2－4kx －4k ＝0. Δ＝16k 2＋16k >0恒成立， 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4k ， 那么|CD |＝k 2＋1|x 1－x 2| ＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝4k 2＋1·k 2＋k .所以|CD |2|AB |2＝16(k 2＋1)(k 2＋k )8kk 2＋1＝2(k 2＋1)2(k 2＋k )k ＝2k (k 2＋1)2(k ＋1)k >2k k ＝2.所以|CD |2>2|AB |2， 即|CD |>2|AB |.4．(2018·锦州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴与短轴之和为6，椭圆上任一点到两焦点F 1，F 2的距离之和为4. (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ：y ＝x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，C ，D 在椭圆上，且C ，D 两点关于直线AB 对称，问：是否存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由题意，2a ＝4,2a ＋2b ＝6，∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵C ，D 关于直线AB 对称， 设直线CD 的方程为y ＝－x ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y ，得5x 2－8tx ＋4t 2－4＝0， Δ＝64t 2－4×5×(4t 2－4)>0， 解得t 2<5，设C ，D 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8t5，x 1x 2＝4t 2－45，设CD 的中点为M (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22＝4t 5，y 0＝－x 0＋t ＝t5，∴M ⎝⎛⎭⎫4t 5，t 5，又点M 也在直线y ＝x ＋m 上， 则t 5＝4t 5＋m ，∴t ＝－5m3， ∵t 2<5，∴m 2<95.则|CD |＝1＋1|x 1－x 2| ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·45－t 25.同理|AB |＝2·45－m 25.∵|AB |＝2|CD |， ∴|AB |2＝2|CD |2， ∴2t 2－m 2＝5， ∴m 2＝4541<95，∴存在实数m ，使|AB |＝2|CD |，此时m 的值为±320541.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B两点，N 为弦AB 的中点，O 为坐标原点． (1)求直线ON 的斜率k ON ；(2)求证：对于椭圆C 上的任意一点M ，都存在θ∈[0,2π)，使得OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立． (1)解 设椭圆的焦距为2c ， 因为c a ＝63，所以a 2－b 2a 2＝23，故有a 2＝3b 2.从而椭圆C 的方程可化为x 2＋3y 2＝3b 2.① 知右焦点F 的坐标为(2b,0)，据题意有AB 所在的直线方程为y ＝x －2b .② 由①②得4x 2－62bx ＋3b 2＝0.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点N (x 0，y 0)， 由③及根与系数的关系得： x 0＝x 1＋x 22＝32b 4，y 0＝x 0－2b ＝－24b . 所以k ON ＝y 0x 0＝－13，即为所求．(2)证明 显然OA →与OB →可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量OM →，有且只有一对实数λ，μ，使得等式OM →＝λOA →＋μOB →成立．设M (x ，y )，由(1)中各点的坐标有(x ，y )＝λ(x 1，y 1)＋μ(x 2，y 2)，故x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2. 又因为点M 在椭圆C 上，所以有(λx 1＋μx 2)2＋3(λy 1＋μy 2)2＝3b 2，整理可得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.④由③有x 1＋x 2＝32b 2，x 1·x 2＝3b 24.所以x 1x 2＋3y 1y 2＝x 1x 2＋3(x 1－2b )(x 2－2b ) ＝4x 1x 2－32b (x 1＋x 2)＋6b 2 ＝3b 2－9b 2＋6b 2＝0.⑤ 又点A ，B 在椭圆C 上，故有x 21＋3y 21＝3b 2， x 22＋3y 22＝3b 2.⑥将⑤，⑥代入④可得，λ2＋μ2＝1.所以，对于椭圆上的每一个点M ，总存在一对实数，使等式OM →＝λOA →＋μOB →成立，且λ2＋μ2＝1. 所以存在θ∈[0,2π)，使得λ＝cos θ，μ＝sin θ.也就是：对于椭圆C 上任意一点M ，总存在θ∈[0,2π)，使得等式OM →＝cos θOA →＋sin θOB →成立．6.如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD→＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB→为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2＝－1，c a ＝32，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 22＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 28＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(4k 2＋1)x 2＋8kx －4＝0， 其判别式Δ＝(8k )2＋16(4k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－8k 4k 2＋1，x 1x 2＝－44k 2＋1， 从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－4λ－8)k 2＋(－4λ－3)4k 2＋1＝－3λ＋14k 2＋1－λ－2. 所以当λ＝－13时，－3λ＋14k 2＋1－λ－2＝－53， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－53为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →－13PC →·PD → ＝－2＋13＝－53. 故存在常数λ＝－13，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－53.。
高考数学总复习课件第9章 平面解析几何
∴△AOC 是以∠C 为直角的等腰直角三角形，易得 C 点坐 北
师
标为( 3， 3)．将( 3， 3)代入①式得 b2＝4，
大 版
∴椭圆
M
的方程为x2 12
＋y42＝1.
第9章 教师备课平台
高考数学总复习
(2)当直线 l 的斜率 k＝0 时，直线 l 的方程为 y＝t， 则满足题意的 t 的取值范围为－2<t<2. 当直线 l 的斜率 k≠0 时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋t.
师 大
版
故对其不容忽视．
第9章 教师备课平台
高考数学总复习
[例 6] (2012·枣庄模拟)已知 A、B、C 是椭圆 M：xa22＋yb22＝
1(a>b>0)上的三点，其中点 A 的坐标为(2 3，0)，BC 过椭圆 M
的中心，且A→C·B→C＝0，|B→C|＝2|A→C|(如图所示)．
北 师
大
(1)求椭圆 M 的方程；
x2＋y2＝2502，直线 l 的方程为 y＝－x＋300，
由yx＝2＋－y2x＝＋2350002 得 x2－300x＋550×25＝0，
第9章 教师备课平台
高考数学总复习
由于 Δ＝3002－4×550×25＝100×(900－550)>0，
因此，A 城将受影响．
北
圆心 A 到直线 l 的距离为 150 2，又圆半径为 250，得弦长
小值．
[解析] 令 y－3x＝b，则 y＝3x＋b，原问题转化为在椭圆1x62
北 师 大 版
＋2y52 ＝1 上找一点，使过该点的直线斜率为 3，且在 y 轴上有最
大截距或最小截距．当直线 y＝3x＋b 与椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 相切时，
高考数学第九章 平面解析几何
第九章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1x2－x1.3．直线方程的五种形式1．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．解析：因为tan 60°＝3，所以该直线的斜率为 3.答案： 32．过点(0,1)，且倾斜角为45°的直线方程是________．解析：因为直线的斜率k＝tan 45°＝1，所以由已知及直线的点斜式方程，得y－1＝x －0，即y＝x＋1.答案：y＝x＋13．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________.解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－24．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 解析：因为直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，所以－2a ＋m －5m ＝0，得a ＝－2m ，所以直线方程为－2mx ＋my －5m ＝0.又a ≠0，所以m ≠0，所以直线方程－2mx ＋my －5m ＝0可化为－2x ＋y －5＝0，即y ＝2x ＋5，故此直线的斜率为2.答案：21．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－AB .[小题纠偏]1．下列有关直线l ：x ＋my －1＝0的说法： ①直线l 的斜率为－m ； ②直线l 的斜率为－1m ；③直线l 过定点(0,1)； ④直线l 过定点(1,0)．其中正确的说法是________(填序号)．解析：直线l ：x ＋my －1＝0可变为my ＝－(x －1)．当m ≠0时，直线l 的方程又可变为y ＝－1m (x －1)，其斜率为－1m ，过定点(1,0)；当m ＝0时，直线l 的方程又可变为x ＝1，其斜率不存在，过点(1,0)．所以①②不正确，④正确．又将点(0,1)代入直线方程得m －1＝0，故只有当m ＝1时直线才会过点(0,1)，即③不正确．答案：④2．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点．设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a .则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．直线x ＝π3的倾斜角等于________．解析：直线x ＝π3，知倾斜角为π2.答案：π22．(2016·南通调研)关于直线的倾斜角和斜率，有下列说法： ①两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等； ②平行于x 轴的直线的倾斜角为0°或180°；③若直线过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)，则该直线的斜率为y 1－y 2x 1－x 2. 其中正确说法的个数为________．解析：若两直线的倾斜角均为90°，则它们的斜率都不存在，所以①不正确．直线倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°，所以平行于x 轴的直线的倾斜角为0°，不可能是180°，所以②不正确．当x 1＝x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率不存在；当x 1≠x 2时，过点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)的直线的斜率才为y 1－y 2x 1－x 2，所以③不正确．答案：03．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为－23≤m ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [谨记通法]求倾斜角的取值范围的2个步骤及1个注意点(1)2个步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． (2)1个注意点：求倾斜角时要注意斜率是否存在．考点二 直线方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]直线方程求法中2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l 的方程为______________． 解析：①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0. 答案：2x －(m －2)y ＋m －6＝0考点三 直线方程的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]直线方程的综合应用是常考内容之一，它与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2015·福建高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于________．解析：将(1,1)代入直线x a ＋y b ＝1得1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2＝4，等号当且仅当a ＝b 时取到，故a ＋b 的最小值为4.答案：4角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．(2016·苏州模拟)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________． 解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程问题3．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是________________．解析：直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝0[方法归纳]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是________． 解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6. 答案：5π62．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：333．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝04．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是__________．解析：∵k ＝tan α，α∈⎣⎡⎦⎤π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π ∴－3≤k <0或33≤k ≤1. 答案：[－3，0)∪⎣⎡⎦⎤33，1 5．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过第________象限． 解析：由题意知A ·B ·C ≠0，直线方程变形为y ＝－A B x －CB .∵A ·C <0，B ·C <0，∴A ·B >0，∴其斜率k ＝－A B <0，又y 轴上的截距b ＝－CB>0.∴直线过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案：三二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·常州一中月考)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，若30°<θ<90°，则实数k 的取值范围是________．解析：因为30°<θ<90°，所以斜率k >0，且斜率k 随着θ的增大而增大，所以k >33. 答案：⎝⎛⎭⎫33，＋∞2．(2016·南京学情调研)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：依题意，直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈[)－1，0，因此其倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若k ∈R ，直线kx －y －2k －1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为________． 解析：y ＋1＝k (x －2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)． 答案：(2，－1)4．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝05．直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则m 等于________．解析：由题意知m ≠±2，直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3(m ＝2不合题意，舍去)，故m ＝3.答案：36．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________． 解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 所以直线l 恒过定点(2，－2)． 答案：(2，－2)7．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°， 所以所求直线的倾斜角为60°， 即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)， 即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝08．(2016·盐城调研)若直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)可知直线在x 轴上的截距为a ，直线在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )×⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b ≥2b a ·2a b ＝22(当且仅当b a＝2ab 时取等号)，所以a ＋b ≥3＋2 2.答案：3＋2 29．已知A (1，－2)，B (5,6)，直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．解：法一：设直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a . 由题意得M (3,2)．若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴直线l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，解得a ＝5， 此时直线l 的方程为x 5＋y5＝1，即x ＋y －5＝0.综上所述，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.法二：由题意知M (3,2)，所求直线l 的斜率k 存在且k ≠0，则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k ；令x ＝0，得y ＝2－3k .∴3－2k ＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0.10．过点A (1,4)引一条直线l ，它与x 轴，y 轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0，b )，当a ＋b 最小时，求直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l ：y －4＝k (x －1)，由于k <0， 则a ＝1－4k，b ＝4－k .∴a ＋b ＝5＋⎝⎛⎭⎫－4k －k ≥5＋4＝9. 当且仅当k ＝－2时，取“＝”． 故得l 的方程为y ＝－2x ＋6. 法二：设l ：x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，由于l 经过点A (1,4)，∴1a ＋4b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ＝5＋4a b ＋b a≥9， 当且仅当4a b ＝ba 时，即b ＝2a 时，取“＝”，即a ＝3，b ＝6. ∴所求直线 l 的方程为x 3＋y6＝1，即y ＝－2x ＋6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号，所以e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y＋4＝0.第二节 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．距离1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与斜率为－2的直线平行，则实数m 的值是________．解析：由题意可知k AB ＝4－mm ＋2＝－2，所以m ＝－8.答案：－82．已知直线l ：y ＝3x ＋3，那么直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程为__________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0，3x －y ＋3＝0，得交点坐标P ⎝⎛⎭⎫－52，－92.又直线x －y －2＝0上的点Q (2,0)关于直线l 的对称点为Q ′⎝⎛⎭⎫－175，95，故所求直线(即PQ ′)的方程为y ＋9295＋92＝x ＋52－175＋52，即7x ＋y ＋22＝0.答案：7x ＋y ＋22＝03．与直线y ＝－3x ＋1平行，且在x 轴上的截距为－3的直线l 的方程为________． 解析：由题意，知直线l 的斜率为－3，且在x 轴上的截距为－3，所以直线l 的方程为y －0＝－3[x －(－3)]，即3x ＋y ＋9＝0 .答案：3x ＋y ＋9＝01．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知p ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，q ：a ＝－1，则p 是q 的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.答案：充要2．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或1考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2016·金陵中学模拟)若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，那么a 的值等于________．解析：由a ·1＋2·1＝0得a ＝－2. 答案：－22．(2016·金华十校模拟)“直线ax －y ＝0与直线x －ay ＝1平行”是“a ＝1”成立的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)．解析：由直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行得a 2＝1，即a ＝±1，所以“直线ax －y ＝0与x －ay ＝1平行”是“a ＝1”的必要不充分条件．答案：必要不充分3．(2016·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)， ∴a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． ∴a ＝2，b ＝－2.(2)∵l 1∥l 2，∴a －b (a －1)＝0，③由题意，知a >0，b >0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝⎛⎭⎫4a ，0，⎝⎛⎭⎫0，4b . 则12×4a ×4b ＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]由一般式确定两直线位置关系的方法在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使|PA |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )．∵A (4，－3)，B (2，－1)，∴线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.∵点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上，∴a －b －5＝0.① 又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2，∴|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.∴所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. [由题悟法] 处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．[即时应用](2016·苏州检测)已知三条直线2x －y －3＝0,4x －3y －5＝0和ax ＋y －3a ＋1＝0相交于同一点P .(1)求点P 的坐标和a 的值；(2)求过点(－2,3)且与点P 的距离为25的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，4x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以点P 的坐标为(2,1)．将点P 的坐标(2,1)代入直线ax ＋y －3a ＋1＝0，可得a ＝2.(2)设所求直线为l ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－2，此时点P 与直线l 的距离为4，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0.点P 到直线l 的距离d ＝|2k －1＋2k ＋3|k 2＋1＝25，解得k ＝2，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0.考点三 对称问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称； (4)对称问题的应用．[题点全练]角度一：点关于点的对称问题1．(2016·苏北四市调研)点P (3,2)关于点Q (1,4)的对称点M 的坐标为________． 解析：设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋x2＝1，2＋y 2＝4，∴x ＝－1，y ＝6， ∴M (－1,6)． 答案：(－1,6)角度二：点关于线的对称问题2．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. 答案：A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413 角度三：线关于线的对称问题3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0 角度四：对称问题的应用4．(2016·淮安一调)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0[方法归纳]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·盐城二模)若直线y ＝kx ＋1与直线2x ＋y －4＝0垂直，则k ＝________. 解析：因为直线2x ＋y －4＝0的斜率为－2， 故由条件得k ＝12.答案：122．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－793．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －24＝0，解得m＝8，故直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行直线间的距离是d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：24．(2016·宿迁模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 解析：设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________． 解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]二保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·苏州二模)已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝________.解析：由题意可得a ≠－5，所以3＋a 2＝45＋a ≠5－3a 8，解得a ＝－7(a ＝－1舍去)．答案：－72．(2016·南京一中检测)P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的任意一点，则PQ 的最小值为________．解析：因为36＝48≠－125，所以两直线平行，根据平面几何的知识，得PQ 的最小值为这两条平行直线间的距离．在直线3x ＋4y －12＝0上取一点(4,0)，此点到另一直线6x ＋8y ＋5＝0的距离为|6×4＋8×0＋5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.答案：29103．(2015·苏北四市调研)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：2x －y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________．解析：由2×a ＋(3－a )×(－1)＝0，解得a ＝1. 答案：14．(2016·天一中学检测)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是________．解析：因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝05．已知定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是________．解析：因为定点A (1,0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.答案：⎝⎛⎭⎫12，126．(2016·无锡调研)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：依题意，设直线l ：y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，则有|－5k ＋2|k 2＋1＝|k ＋6|k 2＋1，因此－5k ＋2＝k ＋6，或－5k ＋2＝－(k ＋6)， 解得k ＝－23或k ＝2，故直线l 的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝07. 设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是________________．解析：由|PA |＝|PB |知点P 在AB 的垂直平分线上．由点P 的横坐标为3，且PA 的方程为x －y ＋1＝0，得P (3，4)．直线PA ，PB 关于直线x ＝3对称，直线PA 上的点(0,1)关于直线x ＝3的对称点(6,1)在直线PB 上，∴直线PB 的方程为x ＋y －7＝0.答案：x ＋y －7＝08．(2016·江苏五星级学校联考)已知点P (x ，y )到A (0,4)和B (－2,0)的距离相等，则2x ＋4y 的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时等号成立，故2x ＋4y 的最小值为4 2.答案：4 29．已知光线从点A (－4，－2)射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．解：作出草图，如图所示，设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′， 则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C . 故BC 所在的直线方程为y －6－4－6＝x －1－2－1，即10x －3y ＋8＝0. 10．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程． 解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3， ∴直线l 恒过定点(－2,3)．(2)设直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，∴直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2016·湖北七市三联)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是________．解析：依题意得|a －b |＝(a ＋b )2－4ab ＝1－4c ，当0≤c ≤18时，22≤|a －b |＝1－4c≤1.因为两条直线间的距离等于|a －b |2，所以两条直线间的距离的最大值与最小值分别是22，12. 答案：22，122．(2016·徐州一中检测)已知平面上一点M (5,0)，若直线上存在点P 使PM ＝4，则称该直线为“切割型直线”．下列直线中是“切割型直线”的是________(填序号)．①y ＝x ＋1；②y ＝2；③y ＝43x ；④y ＝2x ＋1.解析：设点M 到所给直线的距离为d ，①d ＝|5＋1|12＋(－1)2＝32>4，故直线上不存在点P 到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”；②d ＝2<4，所以在直线上可以找到两个不同的点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；③d ＝|4×5－0|(－3)2＋42＝4，所以直线上存在一点P ，使之到点M 的距离等于4，是“切割型直线”；④d ＝|2×5＋1|22＋(－1)2＝1155>4，故直线上不存在点P ，使之到点M 的距离等于4，不是“切割型直线”．故填②③.答案：②③3．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R)． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0.又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]．(2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.第三节 圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．(教材习题改编)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是________． 解析：由(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，知圆心坐标为(2，－3)． 答案：(2，－3)2．圆心在y 轴上且通过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是________． 解析：设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |， ∴圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. ∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5. ∴圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0. 答案：x 2＋y 2－10y ＝03．(教材习题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1)，B (2，－2)且圆心C 在直线l ：x －y＋1＝0上，则圆的标准方程为________________________．答案：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝254．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，所以(1－a )2＋(1＋a )2＜4. 即a 2＜1，故－1＜a ＜1. 答案：(－1,1)对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件． [小题纠偏]1．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是________． 解析：由(4m )2＋4－4×5m ＞0，得m ＜14或m ＞1.答案：m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) 2．方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆圆心位于第________象限．解析：因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r 的圆，所以a 2＋(－2a )2－4(2a 2＋3a )＝－3a 2－12a >0，即a (a ＋4)<0，所以－4<a <0.又该圆圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a2，a ，显然圆心位于第四象限．答案：四考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为________．解析：由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.答案：(x －2)2＋(y ±3)2＝42．(2016·徐州模拟)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为________．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：x 2＋y 2＝13．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．解析：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.答案：213[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想． 常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．[题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·苏州模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3. 角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．。
2020版高考数学新增分大一轮：第九章 平面解析几何高考专题突破Word版含解析
第2课时 定点与定值问题题型一 定点问题例1 (2018·湖州模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的上顶点为B (0，1)，左、右焦点分别为F 1，F 2，BF 2的延长线交椭圆于点M ，BM →＝4F 2M →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且k BP ＋k BQ ＝m (m 为非零常数)，求证：直线l 过定点. (1)解 方法一 设M (x 0，y 0)，F 2(c ，0)，则由BM →＝4F 2M →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x 0－4c ，y 0－1＝4y 0，即⎩⎨⎧x 0＝43c ，y 0＝－13，代入椭圆方程得16c 29a 2＋19＝1，又a 2＝c 2＋1，所以a 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.方法二 如图，连接BF 1，MF 1，设|BF 1|＝|BF 2|＝3n ，则|F 2M |＝n ，又|MF 1|＋|MF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝6n ， 所以|MF 1|＝5n ，由|BF 1|∶|BM |∶|MF 1|＝3∶4∶5， 得∠F 1BM ＝90°，则∠OBF 2＝45°，a 2＝2b 2＝2， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，x 1＝x 2≠0，y 1＝－y 2， 所以k BP ＋k BQ ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝－2x 1＝m ，x 1＝－2m ，即直线l ：x ＝－2m.当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋t ，把y ＝kx ＋t 代入椭圆的方程并整理得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0， Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)＝8(2k 2＋1－t 2)>0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2，k BP ＋k BQ ＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋t －1x 1＋kx 2＋t －1x 2＝2k x 1x 2＋(t －1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k ·2t 2－21＋2k 2＋(t －1)·－4kt 1＋2k 22t 2－21＋2k 2＝m ，整理得2k ＝m (t ＋1)，t ＝2km－1，所以直线l 的方程为y ＝kx ＋2km －1＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋2m －1， 过定点⎝⎛⎭⎫－2m ，－1. 综上，直线l 过定点⎝⎛⎭⎫－2m ，－1. 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 跟踪训练1 (2018·浙江重点中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝25，点P 在椭圆上，tan ∠PF 2F 1＝2且△PF 1F 2的面积为4. (1)求椭圆的标准方程；(2)若点M 是椭圆上任意一点，A 1，A 2分别是椭圆的左、右顶点，直线MA 1，MA 2分别与直线x ＝352交于E ，F 两点，试证：以EF 为直径的圆交x 轴于定点，并求该定点的坐标.解 (1)由tan ∠PF 2F 1＝2，得sin ∠PF 2F 1＝255，cos ∠PF 2F 1＝55. 由题意得⎩⎨⎧12×25×|PF 2|×255＝4，|PF 1|2＝|PF 2|2＋(25)2－2×|PF 2|×25×55，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4＋2＝6，a ＝3， 结合2c ＝25，c ＝5，得b 2＝4， 故椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)由(1)得A 1(－3，0)，A 2(3，0)，设M (x 0，y 0)，则直线MA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，与直线x ＝352的交点为E ⎝⎛⎭⎪⎫352，y 0x 0＋3⎝⎛⎭⎫352＋3， 直线MA 2的方程为y ＝y 0x 0－3(x －3)，与直线x ＝352的交点为F ⎝⎛⎭⎪⎫352，y 0x 0－3⎝⎛⎭⎫352－3. 设以EF 为直径的圆交x 轴于点Q (m ，0)，则QE ⊥QF ， 从而k QE ·k QF ＝－1，即y 0x 0＋3⎝⎛⎭⎫352＋3352－m ·y 0x 0－3⎝⎛⎭⎫352－3352－m ＝－1，即94y 20x 20－9＝－⎝⎛⎭⎫352－m 2， 又x 209＋y 204＝1，得m ＝352±1，故以EF 为直径的圆交x 轴于定点，该定点的坐标为⎝⎛⎭⎫352＋1，0，⎝⎛⎭⎫352－1，0.题型二 定值问题例2 (2018·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2)，过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2. 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .由题意知，直线l 的斜率存在且不为0. 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.依题意知Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <0或0<k <1.又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线P A 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1)，令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2.同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1·2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1x 2＝1k －1·2k2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ为定值.思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.跟踪训练2 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433.(1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0，2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 于异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值.(1)解 在△F 1MF 2中，由12|MF 1||MF 2|sin 60°＝433，得|MF 1||MF 2|＝163.由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1||MF 2|·cos 60° ＝(|MF 1|＋|MF 2|)2－2|MF 1||MF 2|(1＋cos 60°)， 解得|MF 1|＋|MF 2|＝4 2.从而2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝42，即a ＝2 2. 由|F 1F 2|＝4，得c ＝2，从而b ＝2， 故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，显然k ≠0，则其方程为y ＋2＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k (x ＋1)，得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0. Δ＝56k 2＋32k >0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k (k －2)1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2. 从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋(k －4)(x 1＋x 2)x 1x 2＝2k －(k －4)·4k (k －2)2k 2－8k ＝4.当直线l 的斜率不存在时， 可得A ⎝⎛⎭⎫－1，142，B ⎝⎛⎭⎫－1，－142，得k 1＋k 2＝4. 综上，k 1＋k 2为定值.直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.例 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k 2≠0，证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. 解 (1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a ＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为1PF l ：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0， 2PF l ：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0.由题意知|my 0＋3y 0|y 20＋(x 0＋3)2＝|my 0－3y 0|y 20＋(x 0－3)2.由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1. 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22.因为－3<m <3，－2<x 0<2， 可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0，所以m ＝34x 0，因此－32<m <32.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0). 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0. 又x 24＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0，所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2 ＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x0y 0＝－8， 因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.素养提升 典例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P 点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.1.(2018·衢州模拟)如图，圆x 2＋(y －1)2＝4过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的下顶点及左、右焦点F 1，F 2，过椭圆C 的左焦点F 1的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点D 且垂足为点P .(1)求椭圆C 的方程；(2)证明：当直线MN 斜率变化时，|DF 1||MN |为定值.(1)解 当x ＝0时，由x 2＋(y －1)2＝4，得y ＝－1或y ＝3； 当y ＝0时，由x 2＋(y －1)2＝4，得x ＝±3.又圆x 2＋(y －1)2＝4过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的下顶点及焦点F 1，F 2，故c ＝3，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝4， 即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 易知直线MN 的斜率存在，且不为0，所以设直线MN ：y ＝k (x ＋3)，且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋3)，x 2＋4y 2＝4，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋83k 2x ＋4(3k 2－1)＝0，Δ＝(83k 2)2－4×4(1＋4k 2)(3k 2－1)＝16(k 2＋1)>0， 故x 1＋x 2＝－83k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(3k 2－1)1＋4k2， 则MN 的中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43k 21＋4k 2，3k 1＋4k 2， 故MN 的中垂线DP 的方程为k ⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3k 1＋4k 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43k 21＋4k 2，k ≠0， 由y ＝0得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33k 21＋4k 2，0，故|DF 1|＝3－33k 21＋4k 2＝3(1＋k 2)1＋4k 2，|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)1＋4k 2，因此，|DF 1||MN |＝34为定值.2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在y 轴上，且抛物线上有一点P (m ，5)到焦点的距离为6.(1)求该抛物线C 的方程；(2)已知抛物线上一点M (4，t )，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ⊥ME ，判断直线DE 是否过定点，并说明理由.解 (1)由题意设抛物线方程为x 2＝2py (p >0)，其准线方程为y ＝－p 2，P (m ，5)到焦点的距离等于P 到其准线的距离，所以5＋p2＝6，即p＝2.所以抛物线方程为x 2＝4y . (2)由(1)可得点M (4，4)，设直线MD 的方程为y ＝k (x －4)＋4(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋4，x 2＝4y ，得x 2－4kx ＋16k －16＝0，由题意得Δ>0， 设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x M ·x 1＝16k －16， 所以x 1＝16k －164＝4k －4，y 1＝(4k －4)24＝4(k －1)2，同理可得x 2＝－4k－4，y 2＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋12，所以直线DE 的方程为y －4(k －1)2＝4(k －1)2－4⎝⎛⎭⎫1k ＋124k －4＋4k＋4(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k ⎝⎛⎭⎫k －1k －2k ＋1k(x －4k ＋4)＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x －4k ＋4). 化简得y ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2x ＋4k －4k ＝⎝⎛⎭⎫k －1k －2(x ＋4)＋8. 所以直线DE 过定点(－4，8).3.知抛物线C 1的方程为x 2＝2py (p >0)，过点M (a ，－2p )(a 为常数)作抛物线C 1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)过焦点且在x 轴上截距为2的直线l 与抛物线C 1交于Q ，N 两点，Q ，N 两点在x 轴上的射影分别为Q ′，N ′，且|Q ′N ′|＝25，求抛物线C 1的方程； (2)设直线AM ，BM 的斜率分别为k 1，k 2.求证：k 1·k 2为定值. (1)解 因为抛物线C 1的焦点坐标是⎝⎛⎫0，p2， 所以过焦点且在x 轴上截距为2的直线方程是x 2＋y p 2＝1，即x 2＋2yp ＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x 2＋2y p ＝1，消去y 并整理，得x 2＋p 22x －p 2＝0，显然Δ>0恒成立，设点Q (x Q ，y Q )，N (x N ，y N )， 则x Q ＋x N ＝－p 22，x Q x N ＝－p 2.则|Q ′N ′|＝|x Q －x N |＝(x Q ＋x N )2－4x Q x N＝⎝⎛⎭⎫－p 222－4×(－p 2)＝p 44＋4p 2＝25，解得p ＝2.所以抛物线C 1的方程为x 2＝4y . (2)证明 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1>0，x 2<0). 依题意，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p ，则y ′＝xp.所以切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p.又点M (a ，－2p )在直线MA 上， 于是有－2p ＝x 1p ×a －x 212p，即x 21－2ax 1－4p 2＝0. 同理，有x 22－2ax 2－4p 2＝0，因此，x 1，x 2是方程x 2－2ax －4p 2＝0的两根， 则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－4p 2.所以k 1·k 2＝x 1p ·x 2p ＝x 1x 2p 2＝－4p 2p 2＝－4，故k 1·k 2为定值得证.4.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为22，过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，且|PQ |＝2 2. (1)求C 的方程；(2)若直线l 是圆x 2＋y 2＝8上的点(2，2)处的切线，点M 是直线l 上任一点，过点M 作椭圆C 的切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ，设切线的斜率都存在.求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标.解 (1)由已知，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为|PQ |＝22，不妨设点P (－c ，2)， 代入椭圆方程得c 2a 2＋2b 2＝1，又因为e ＝c a ＝22，所以12＋2b2＝1，b ＝c ，所以b 2＝4，a 2＝2b 2＝8， 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题设，得直线l 的方程为y －2＝－(x －2)， 即x ＋y －4＝0，设M (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 0≠x 1且x 0≠x 2， 由切线MA 的斜率存在，设其方程为y －y 1＝k (x －x 1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k (x －x 1)，x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4k (y 1－kx 1)x ＋2(y 1－kx 1)2－8＝0，由相切得Δ＝16k 2(y 1－kx 1)2－8(2k 2＋1)[(y 1－kx 1)2－4]＝0， 化简得(y 1－kx 1)2＝8k 2＋4，即(x 21－8)k 2－2x 1y 1k ＋y 21－4＝0，因为方程只有一解，所以k ＝x 1y 1x 21－8＝x 1y 1－2y 21＝－x 12y 1，所以切线MA 的方程为y －y 1＝－x 12y 1(x －x 1)，即x 1x ＋2y 1y ＝8，同理，切线MB 的方程为x 2x ＋2y 2y ＝8， 又因为两切线都经过点M (x 0，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 0＋2y 1y 0＝8，x 2x 0＋2y 2y 0＝8，所以直线AB 的方程为x 0x ＋2y 0y ＝8， 又x 0＋y 0＝4，所以直线AB 的方程可化为x 0x ＋2(4－x 0)y ＝8， 即x 0(x －2y )＋8y －8＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，8y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以直线AB 恒过定点(2，1).5.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值. (1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b .由左顶点M (－a ，0)到直线x a ＋yb ＝1，即到直线bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455，得|b (－a )－ab |a 2＋b2＝455，即2aba 2＋b 2＝455，把a ＝2b 代入上式，得4b 25b ＝455，解得b ＝1.所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，由椭圆的对称性， 可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214＋y 21＝1，解得|x 1|＝|y 1|＝255. 此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB ， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0， 整理得5m 2＝4(k 2＋1)， 所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255.综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255.6.(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)如图，F 1，F 2是椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点，且都在x 轴上方，AF 1∥BF 2，设AF 2，BF 1的交点为M .(1)求证：1|AF 1|＋1|BF 2|为定值；(2)求动点M 的轨迹方程.(1)证明 方法一 如题图所示，由题意知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设直线AF 1的方程为x ＝my －1，与椭圆C 的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x ，整理得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 由题意知，Δ>0， 因为点A 在x 轴上方， 设A (x A ，y A )，所以y A >0，y A ＝2m ＋22(m 2＋1)2(m 2＋2)＝m ＋2(m 2＋1)m 2＋2，所以|AF 1|＝1＋m 2|y A －0|＝1＋m 2·[m ＋2(m 2＋1)]m 2＋2.直线BF 2的方程为x ＝my ＋1，设B (x B ，y B )， 同理可得y B ＝－m ＋2(m 2＋1)m 2＋2，|BF 2|＝1＋m 2|y B －0|＝1＋m 2·[－m ＋2(m 2＋1)]m 2＋2，所以1|AF 1|＝m 2＋21＋m 2·[m ＋2(m 2＋1)]，1|BF 2|＝m 2＋21＋m 2·[－m ＋2(m 2＋1)]，所以1|AF 1|＋1|BF 2|＝m 2＋21＋m 2·[m ＋2(m 2＋1)]＋m 2＋21＋m 2·[－m ＋2(m 2＋1)]＝m 2＋21＋m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m ＋2(m 2＋1)＋1－m ＋2(m 2＋1)＝m 2＋21＋m 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22(m 2＋1)2(m 2＋1)－m 2＝2 2.所以1|AF 1|＋1|BF 2|为定值.方法二 如图所示，延长AF 1交椭圆于B 1，由椭圆的对称性可知|B 1F 1|＝|BF 2|，所以要证1|AF 1|＋1|BF 2|为定值，只需证1|AF 1|＋1|B 1F 1|为定值.设直线AF 1的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B 1(x 2，y 2)，y 1>0，y 2<0，与椭圆C 的方程联立，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x ＝my －1，消去x ，整理可得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0， 由题意知，Δ>0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.所以1|AF 1|＋1|B 1F 1|＝1m 2＋1⎝⎛⎭⎫1|y 1|＋1|y 2|＝1m 2＋1⎝⎛⎭⎫1y 1－1y 2＝1m 2＋1y 2－y 1y 1y 2＝1m 2＋1·－(y 1＋y 2)2－4y 1y 2y 1y 2＝8(m 2＋1)m 2＋1＝2 2. 所以1|AF 1|＋1|BF 2|为定值.(2)解 方法一 设直线AF 2，BF 1的方程分别为 x ＝k 1y ＋1，x ＝k 2y －1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1y ＋1，x ＝k 2y －1，解得⎩⎨⎧x ＝k 1＋k 2k 2－k 1，y ＝2k 2－k 1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 2k 2－k 1，2k 2－k 1. 又由(1)方法一可得k 1＝x A －1y A ＝my A －2y A ＝m －2y A，k 2＝x B ＋1y B ＝my B ＋2y B ＝m ＋2y B，所以k 1＋k 2＝m －2y A ＋m ＋2y B＝2m ＋2⎝⎛⎭⎫1y B －1y A ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m ＋m 2＋22(m 2＋1)－m －m 2＋22(m 2＋1)＋m ＝2(m ＋2m )＝6m ，k 2－k 1＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤m 2＋22(m 2＋1)－m ＋m 2＋22(m 2＋1)＋m ＝42m 2＋1. 所以⎩⎨⎧x ＝k 1＋k 2k 2－k 1＝6m 42m 2＋1＝3m 22m 2＋1，y ＝2k 2－k 1＝242m 2＋1＝122m 2＋1，所以动点M 的轨迹方程为x 298＋y 218＝1(y >0).方法二 如图所示，设|AF 1|＝d 1，|BF 2|＝d 2，因为AF 1∥BF 2，所以|MF 1||MB |＝d 1d 2，所以|MF 1||BF 1|＝d 1d 1＋d 2，即|MF 1|＝d 1d 1＋d 2·|BF 1|.又|BF 1|＋|BF 2|＝22，所以|BF 1|＝22－|BF 2|＝22－d 2， 所以|MF 1|＝d 1d 1＋d 2·|BF 1|＝d 1(22－d 2)d 1＋d 2.同理可得|MF 2|＝d 2(22－d 1)d 1＋d 2，所以|MF 1|＋|MF 2|＝d 1(22－d 2)d 1＋d 2＋d 2(22－d 1)d 1＋d 2＝22－2d 1d 2d 1＋d 2，由(1)可知d 1d 2d 1＋d 2＝11d 2＋1d 1＝122，所以|MF 1|＋|MF 2|＝32>|F 1F 2|＝2，动点M 的轨迹为以F 1，F 2为左、右焦点，以32为长轴长的椭圆的一半，所以动点M 的轨迹方程为x 298＋y 218＝1(y >0).。
高考数学平面解析几何第九章 9.4
§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(×)(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2. (√)(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2. (√) 2．(2013·安徽)直线x＋2y－5＋5＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为() A．1 B．2 C．4 D．4 6答案 C解析圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋5＝0的距离d ＝1，截得弦长l＝2r2－d2＝4.3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有() A．1条B．2条C．3条D．4条答案 B解析⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2.∴|C1C2|＝13，∴|r1－r2|＝0<|C1C2|<r1＋r2＝4，∴两圆相交，有两条公切线．4．两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c2＝0上，则m＋c的值等于________．答案 3解析由题意，知线段AB的中点在直线x－y＋c2＝0上，∴1＋m2－2＋c2＝0，∴m＋c＝3.5．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．答案(－3，3)解析由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是2k2＋1>1，解得－3<k<3，即k∈(－3，3).题型一 直线与圆的位置关系例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．思维启迪 直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定．方法一 (1)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，(x －1)2＋(y ＋1)2＝12，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为Δ＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． (2)解 设直线与圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点， 则直线l 被圆C 截得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝28－4k ＋11k 21＋k 2＝211－4k ＋31＋k 2，令t ＝4k ＋31＋k 2，则tk 2－4k ＋(t －3)＝0， 当t ＝0时，k ＝－34，当t ≠0时，因为k ∈R ，所以Δ＝16－4t (t －3)≥0，解得－1≤t ≤4，且t ≠0， 故t ＝4k ＋31＋k 2的最大值为4，此时|AB |最小为27.方法二 (1)证明 圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23，R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0，故11k2－4k＋8>0对k∈R恒成立，所以R2－d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解由平面几何知识，知|AB|＝2R2－d2＝2 8－4k＋11k21＋k2，下同方法一．方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|＝5<23＝R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|＝212－5＝27，即直线l被圆C截得的最短弦长为27.思维升华(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法．(1)若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则P(a，b) () A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能(2)直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是() A．相离B．相切或相交C．相交D．相切(3)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．答案(1)B(2)C(3)(－13,13)解析(1)由1a2＋b2<1，得a2＋b2>1，∴点P在圆外．(2)圆x2＋y2－2y＝0的圆心是(0,1)，半径r＝1，则圆心到直线l的距离d＝|k|1＋k2<1.故直线与圆相交．(3)根据题意知，圆心O到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1，∴|c |122＋52<1，∴|c |<13，∴c ∈(－13,13)． 题型二 圆的切线与弦长问题例2 已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 思维启迪 在求过某点的圆的切线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法．解 (1)圆心C (1,2)，半径r ＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴圆的切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0. (2)由题意得|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0或a ＝43.(3)∵圆心到直线ax －y ＋4＝0的距离为|a ＋2|a 2＋1，∴(|a ＋2|a 2＋1)2＋(232)2＝4，解得a ＝－34.思维升华 (1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题．已知点P (0,5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解 (1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程为(x ＋2)2＋ (y －6)2＝16，∴圆C 的圆心坐标为(－2,6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点， 则CD ⊥AB ，∴|AD |＝23，|AC |＝4.C 点坐标为(－2,6)． 在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2.设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0. 由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.又直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. ∴所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )， 则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0， ∴(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0. 题型三 圆与圆的位置关系例3 (1)已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________________．(2)两圆x 2＋y 2－6x ＋6y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0公切线的条数是________． (3)已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________．思维启迪 求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来．答案 (1)x －2y ＋4＝0 (2)2 (3)x ＝32解析 (1)两圆的方程相减得：x －2y ＋4＝0. (2)两圆圆心距d ＝74<66＋64， ∴两圆相交，故有2条切线．(3)⊙O 的圆心为(0,0)，半径为2，⊙O ′的圆心为(4,0)，半径为6，设点P 为(x ，y )， 由已知条件和圆切线性质得x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6， 化简得x ＝32.思维升华 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是________________． 答案 (x ＋2)2＋(y －1)2＝5解析 圆C 1的圆心为(1，－5)，半径为50，圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径为10，则两圆心连线的直线方程为2x ＋y ＋3＝0，由两圆方程作差得公共弦方程为x －2y ＋4＝0，两直线的交点(－2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半径为5，即所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5.高考中与圆交汇问题的求解一、圆与集合的交汇问题典例：(5分)设M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，N ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －3)2＝a 2，a >0}，则M ∩N ≠∅时，a 的最大值与最小值分别为________、________.思维启迪 本题条件M ∩N ≠∅反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解．解析 因为集合M ＝{(x ，y )|y ＝2a 2－x 2，a >0}，所以集合M 表示以O (0,0)为圆心，半径为r 1＝2a 的上半圆． 同理，集合N 表示以O ′(1，3)为圆心，半径为r 2＝a 的圆上的点． 这两个圆的半径随着a 的变化而变化，但|OO ′|＝2.如图所示， 当两圆外切时，由2a ＋a ＝2，得a ＝22－2； 当两圆内切时，由2a －a ＝2，得a ＝22＋2. 所以a 的最大值为22＋2，最小值为22－2. 答案 22＋2 22－2温馨提醒 本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力．借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对M ∩N ≠∅的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如A ⊆B ，则A ＝∅或A ≠∅两种可能，应分类讨论．本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来． 二、圆与线性规划的交汇问题典例：(5分)如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．思维启迪 求解本题应先画出点P 所在的平面区域，再画出点Q 所在的圆，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ |的最小值．解析 由点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，画出点P 所在的平面区域．由点Q 在圆x 2＋(y ＋2)2＝1上，画出点Q 所在的圆，如 图所示．由题意，得|PQ |的最小值为圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离减去半径1. 又圆心(0，－2)到直线x －2y ＋1＝0的距离为|0－2×(－2)＋1|12＋22＝5，此时垂足(－1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ |的最小值为5－1. 答案5－1温馨提醒 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力．本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性．实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题． 三、圆与不等式的交汇问题典例：(5分)(2012·天津)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[1－3，1＋3]B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋22]D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)思维启迪 圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式．解析 圆心(1,1)到直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0的距离为|m ＋n |(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，所以m＋n ＋1＝mn ≤14(m ＋n )2，所以m ＋n ≥2＋22或m ＋n ≤2－2 2.答案 D温馨提醒 直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围．而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式，从而求得m ＋n 的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要注意各知识应熟练掌握才能逐一化解．方法与技巧1． 过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2． 过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程． (2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3． 两圆公共弦所在直线方程的求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x 2和y 2就得到两圆的公共弦所在的直线方程． 4． 圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2.(2)代数法：设直线与圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，消y 后得关于x 的一元二次方程，从而求得x 1＋x 2，x 1x 2，则弦长为|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2](k 为直线斜率)．失误与防范1． 求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2． 过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1． 圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的内公切线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 B解析 圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.2． (2012·重庆)对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是 ( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心答案 C解析 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离 d ＝|0－0＋1|1＋k2＝11＋k2≤1，又∵r ＝2，∴0<d <r .∴直线与圆相交但直线不过圆心．3． 直线l 过点A (2,4)且与圆x 2＋y 2＝4相切，则l 的方程为( )A ．3x －4y ＋10＝0B ．x ＝2C ．x －y ＋2＝0D ．x ＝2或3x －4y ＋10＝0答案 D解析 显然x ＝2为所求切线之一；另设y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0， 而|4－2k |k 2＋1＝2，k ＝34，即切线为3x －4y ＋10＝0， ∴x ＝2或3x －4y ＋10＝0为所求．4． (2013·山东)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5． 已知直线y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当b ＝1＋k 2时，OA →·OB →等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入x 2＋y 2＝1得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0， 故x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－11＋k 2，从而OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－1－2k 2b 21＋k 2＋b 2＝2b 21＋k 2－1＝1. 二、填空题6． 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________．答案 1－22≤b ≤3 解析 由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示． 当直线y ＝x ＋b 与圆相切时， |2－3＋b |2＝2.∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.7． 若过点A (a ，a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3＝0的两条切线，则实数a 的取值范围为______________．答案 (－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析 圆方程可化为(x －a )2＋y 2＝3－2a ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0a 2>3－2a，解得a <－3或1<a <32.8． 若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0 (a >0)的公共弦长为23，则a ＝________.答案 1解析 方程x 2＋y 2＋2ay －6＝0与x 2＋y 2＝4. 相减得2ay ＝2，则y ＝1a .由已知条件22－(3)2＝1a，即a ＝1. 三、解答题9． 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4t 2.设圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程． 解 (1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ， 点(－1,1)在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得A (0，－2)． ∴|AP |＝4＋4＝22，∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8. (2)直线l 的方程可化为 k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系， 即l 恒过定点Q (3,2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q 在圆P 内， 所以l 与圆P 恒相交． 设l 与圆P 的交点为M ，N ， 则|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ， 当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12，故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，x ＋2y －7＝0.B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝0答案 D解析 设圆心为(a,0)，且a >0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝22， 即x 2＋y 2－4x ＝0.2． 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知， 圆上到直线的距离为1的点有3个．3． (2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3答案 B解析 ∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大． 此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0. 由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 4． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.5． 已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}，集合B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}．若A ∩B ＝∅，则实数m的取值范围是________． 答案 m <－ 2解析 如图，A ＝{(x ，y )|x －y ＋m ≥0}表示直线x －y ＋m ＝0及其右下 方区域，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}表示圆x 2＋y 2＝1及其内部，要使A ∩B ＝∅，则直线x －y ＋m ＝0在圆x 2＋y 2＝1的下方，即|0－0＋m |2>1，故m <－ 2.6． 已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程． (2)若a ＝2，过点M 的圆的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值． 解 (1)由条件知点M 在圆O 上，所以1＋a 2＝4，则a ＝±3. 当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)． 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33. 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)．即x －3y －4＝0. 所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)，则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22)＝4×[5＋216－4(d 21＋d 22)＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)．因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3，所以d 21d 22≤94， 当且仅当d 1＝d 2＝62时取等号，所以4＋d 21d 22≤52， 所以(|AC |＋|BD |)2≤4×(5＋2×52)＝40.所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。
(全国通用版)2019版高考数学大一轮复习-第九章 平面解析几何专题探究课五课件 新人教A版
7 分 (得分点 5)
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－4k82k＋m1，x1x2＝44mk22＋－14.
8 分 (得分点 6) 则 k1＋k2＝y1x－1 1＋y2x－2 1＝kx1＋xm1 －1＋kx2＋xm2 －1＝2kx1x2＋（m－x1x12）（x1＋x2）. 由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. ∴(2k＋1)·44mk22＋－14＋(m－1)·4－k28＋km1＝0.
(2)当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y＝kx＋2，点 P，Q 的坐标分别 为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 PQ 与椭圆方程联立1x62＋1y22＝1，消去 y 得(4k2＋3)x2＋16kx
y＝kx＋2 －32＝0，
则 x1＋x2＝－4k126＋k 3，x1x2＝－4k32＋2 3， 从而O→P·O→Q＋M→P·M→Q＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)·(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)
【训练 1】 (2017·菏泽调研)已知焦距为 2 2的椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右顶点 为 A，直线 y＝43与椭圆 C 交于 P，Q 两点(P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆 C 的方程； (2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M，N.若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DA⊥AM.点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径 的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点.
高考数学平面解析几何第九章 9.3
§9.3 圆的方程1． 圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2． 确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 3． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 4． 圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.5． 确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 6． 点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为(－a 2，－a )，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( × )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) 2． 若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <1C ．a >1或a <－1D ．a ＝±1答案 A解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.3． (2012·辽宁)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( )A ．x ＋y －1＝0B ．x ＋y ＋3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0 答案 C解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.4． 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为(a,0)，易知(a －5)2＋(－1)2＝(a －1)2＋(－3)2，解得a ＝2，∴圆心为(2,0)，半径为10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5． 若当方程x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y ＝(k －1)x ＋2的倾斜角α＝________. 答案 34π解析 r ＝12k 2＋4－4k 2≤1，当有最大半径时有最大面积，此时k ＝0，r ＝1，∴直线方程为y ＝－x ＋2，设倾斜角为α，则由tan α＝－1且α∈[0，π)得α＝3π4.题型一 求圆的方程例1 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6；(2)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)． 思维启迪 (1)设圆的一般方程，利用待定系数法求解． (2)求圆心和半径，确定圆的标准方程． 解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P 、Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0. ③设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(2)方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，(3－x 0)2＋(－2－y 0)2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.思维升华 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程为__________________________________________． 答案 (x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9 解析 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2，∴r 2＝(|a －b |2)2＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14.① ∵所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.② 又∵所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0.③联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9. 故所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9. 题型二 与圆有关的最值问题例2 已知实数x 、y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．思维启迪 显然实数x ，y 所确定的点在圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0上运动，而yx 则可看成是圆上的点与原点连线的斜率，y －x 可以转化为截距，x 2＋y 2可以看成是圆上点与原点距离的平方．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半 径的圆．设yx＝k ，即y ＝kx ， 则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最 大、最小值． 由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3.(也可由平面几何知识，得OC ＝2，CP ＝3，∠POC ＝60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°)(2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3.思维升华 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见，要注意熟记：(1)形如m ＝y －bx －a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) 答案 B解析 如图，圆心(1,0)到直线AB ： 2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45， 故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1， 又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52. 题型三 与圆有关的轨迹问题例3 设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．思维启迪 结合图形寻求点P 和点M 坐标的关系，用相关点法(代入法)解决．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相 平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3y 0＝y －4.N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． 思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．如图所示，已知P (4,0)是圆x 2＋y 2＝36内的一点，A ，B 是圆上两动点，且满足∠APB ＝90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的 轨迹方程．解 设AB 的中点为R ，坐标为(x ，y )，连接OR ，PR ， 则在Rt △ABP 中，|AR |＝|PR |.又R 是弦AB 的中点，所以在Rt △OAR 中，|AR |2＝|AO |2－|OR |2＝ 36－(x 2＋y 2)． 又|AR |＝|PR |＝(x －4)2＋y 2，所以有(x －4)2＋y 2＝36－(x 2＋y 2)， 即x 2＋y 2－4x －10＝0.因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，点Q 即在所求的轨迹上运动． 设Q (x ，y )，R (x 1，y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1＝x ＋42，y 1＝y ＋02，代入方程x 2＋y 2－4x －10＝0，得(x ＋42)2＋(y 2)2－4×x ＋42－10＝0，整理得x 2＋y 2＝56，此即为所求顶点Q 的轨迹方程．利用方程思想求解圆的问题典例：(12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径． 思维启迪 (1)求圆心及半径，关键是求m .(2)利用OP ⊥OQ ，建立关于m 的方程求解．(3)利用x 1x 2＋y 1y 2＝0和根与系数的关系或利用圆的几何性质． 规范解答解 方法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.[2分]设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件： y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5.[4分]∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∴x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.[6分]故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，[9分] 此时Δ>0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径r ＝52.[12分]方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O 1M ⊥PQ ，∴kO 1M ＝2.[2分]∴O 1M 的方程为y －3＝2⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即y ＝2x ＋4.[4分]由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4x ＋2y －3＝0.解得M 的坐标为(－1,2)．[6分]则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2，即r 2＝5，|MQ |2＝r 2. 在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋(－6)2－4m 4＝⎝⎛⎭⎫－12＋12＋(3－2)2＋5.∴m ＝3. [9分] ∴半径为52，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3.[12分]方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＋λ(x ＋2y －3)＝0. [2分]由OP ⊥OQ 知，点O (0,0)在圆上． ∴m －3λ＝0，即m ＝3λ.[4分]∴圆系方程可化为x 2＋y 2＋x －6y ＋3λ＋λx ＋2λy －3λ＝0. 即x 2＋(1＋λ)x ＋y 2＋2(λ－3)y ＝0.[6分]∴圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋λ2，2(3－λ)2， 又圆心在PQ 上．∴－1＋λ2＋2(3－λ)－3＝0，∴λ＝1，∴m ＝3.[9分] ∴圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－12，3，半径为52.[12分]温馨提醒 (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中三种解法都是用方程思想求m 值，即三种解法围绕“列出m 的方程”求m 值． (3)本题的易错点：不能正确构建关于m 的方程，找不到解决问题的突破口，或计算错误．方法与技巧1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数． 2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算． 失误与防范1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．过圆外一定点，求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定答案 B解析 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ， 因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0， 即(0＋a )2＋(0＋1)2>2a ，所以原点在圆外．2． 若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ， 则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，k ＝－1a >0，－ba >0，直线不经过第四象限．3． 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1答案 A解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2， 故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4． 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5． 若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2答案 D解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2b a ×2ab＝3＋22， 当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2. 二、填空题6． 如果直线l 将圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝13平分，那么坐标原点O 到直线l 的最大距离为________． 答案13解析由题意，知直线l过圆心C(2，－3)，当直线OC⊥l时，坐标原点到直线l的距离最大，|OC|＝22＋(－3)2＝13.7．若方程x2＋y2－2x＋2my＋2m2－6m＋9＝0表示圆，则m的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________．答案2<m<4(x－1)2＋(y＋3)2＝1解析∵原方程可化为(x－1)2＋(y＋m)2＝－m2＋6m－8，∴r2＝－m2＋6m－8＝－(m－2)(m－4)>0，∴2<m<4.当m＝3时，r最大为1，圆的方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝1.8．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．答案(－∞，1)解析∵圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，∴其圆心为(－1,2)，且5－a>0，即a<5.又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4<1.三、解答题9．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ①又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0. ②1＋9－D＋3E＋F＝0. ③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．已知圆C和直线x－6y－10＝0相切于点(4，－1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程．解 因为圆C 和直线x －6y －10＝0相切于点(4，－1)， 所以过点(4，－1)的直径所在直线的斜率为－116＝－6，其方程为y ＋1＝－6(x －4)，即y ＝－6x ＋23.又因为圆心在以(4，－1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y －52＝－57(x －132)，即5x ＋7y －50＝0上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6x ＋23，5x ＋7y －50＝0解得圆心为(3,5)， 所以半径为(9－3)2＋(6－5)2＝37，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －5)2＝37.B 组 专项能力提升 (时间：35分钟)1． (2012·湖北)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0答案 A解析 当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件． 圆心O 与P 点连线的斜率k ＝1，∴过点P 垂直于OP 的直线方程为x ＋y －2＝0.2． 光线从A (1,1)出发，经y 轴反射到圆C ：x 2＋y 2－10x －14y ＋70＝0的最短路程为________．答案 62－2解析 圆心坐标为C (5,7)，半径为2，A (1,1)关于y 轴的对称点为A 1(－1,1)， ∴最短路程为|A 1C |－2＝62－2.3． 设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________． 答案3解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于 2S △P AC ＝2×(12|P A |·|AC |)＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|PC |2－1，因此四边形P ACB 的面积的最小值是22－1＝ 3.4． 已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________． 答案 π2解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示， 图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－13，得tan α＝12，tan β＝－13，tan θ＝tan(α－β)＝12＋131－12×13＝1，得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2(R 为圆的半径)．5． (2013·课标全国Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.6． 在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )， 由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8.若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B >0矛盾．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0， 即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2， 其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10，∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)，∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.。
高考数学总复习 压轴题目突破练 解析几何课件 理 北师大版
压轴(yā zhóu)题目突破练—— 平面解析几何
第九章 平面(píngmiàn)解析几何
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1．已知两条直线 l1：y＝x，l2：ax－y＝0，其中 a 为实数，当这
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9．已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O，一个长轴顶点为(0,2)，它的两 个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线 l 与 y 轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于异于椭圆顶点的两点 A，B，且A→P＝2P→B. (1)求椭圆的方程； (2)求 m 的取值范围．
由根与系数的关系，知xx11＋·x2x＝2＝m2＋－2－k2242＋m，kk2， 又A→P＝2P→B，即有(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
1
2
3
4
5
1．由直线 y＝x＋1 上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1 引切线，则切线长
的最小值为
()
A．1
B．2 2
C. 7
D．3
解析 如图所示， 设直线上一点 P， 切点为 Q，圆心为 M，则|PQ|即为切线长， MQ 为圆 M 的半径，长度为 1， |PQ|＝ |PM|2－|MQ|2＝ |PM|2－1，
即弦长的最小值是 2 3.
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练出高分