探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

课题：超几何分布与二项分布 高三( )班 姓名：

【学习目标】

1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的两种模型的基本结构，能正确区分两种分布，并准确运用两种概率分布分析解决实际问题；

3、通过训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力.

【学习过程】 一、知识点回顾

1、超几何分布模型的基本结构：一个总体(共有N 个)，内含有两种不同的事物A(有M 个)，事物B(有N -M 个)，任取n 个，记事物A 的个数为X (随机变量)，求X 的分布列.

P (X =k )= ，其中*},m in{N N M n N M N n n M m ∈≤≤=，，，，，且.

2、二项分布模型的基本结构：在n 次独立重复试验中，只有事件A 和事件A 发生，其中事件A 发生的概率记为P ，事件A 发生的概率记为1-P ，记事件A 发生的次数为X (随机变量)，求X 的分布列.

由),(~p n B X 得P (X =k )= ，EX = ，DX = .

二、问题分析与解法探究

(2010广东)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况， 随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位： 克)重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]， 由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率.

三、例题解析

例1、（2018天津高考）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24、16、16，现在采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生概率.

例2、(2017河北二模)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AIQ大小分为六级：0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为重度污染；201~300

为严重污染.

（1）利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI≤100)的天数；

（2）将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为

优良的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.

四、巩固练习

1、(2019河南开封一模)近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2018年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿元人民币. 与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行了统计，其中对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，对商品和服务都作出好评的交易为80次.

（1）完成下面的2 2列联表，并回答是否有99%的把握认为商品好评与服务好评有关？

（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列、数学期望和方差.

2、(2019安徽淮北一模)如图为2018届淮北师范大学数学与应用专业N名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图，已知80~90分数段内的人数为21.

（1）求该专业毕业生总人数N和90~95分数段的人数n；

（2）现欲将90~95分数段内的n名毕业生随机地分配往A、B、C

三所学校，每所学校至少分配两名毕业生.若这n名毕业生中恰有两

名女生，该随机变量ξ表示n名毕业生中分配往B学校的两名毕业

生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望.

考题链接：(2018全国卷1)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p(0

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为分f (p)，求f (p)的最大值点p0；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，

具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

（2）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 将日

销售落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量

相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量

都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).