矢量分析与场论
矢量分析与场论
A B 'dt
A B 'dt
AB
B A ' dt
B A ' dt
A B
前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致， 后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服积分
矢性函数的定积分概念也和数性困数的完全类似．因此，也相应地具有数 性函数定积分的基本性质。
又
cos ( sin ) sin cos 0
。
所以
e ( ) e1 ( )
容易看出，( ) 为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆， e e1 ( ) 因此 又叫圆函数；与之相伴出现的 亦为单位矢 e ( ) 量，其矢端曲线亦为单位圆
第三节 矢性函数的积分
r ( t ) ( e cos t ) i ( e sin t ) j e k
t t t
e (cos t sin t ) i e (sin t cos t ) j e k
t t t
例 3 设 e ( ) cos i sin j , e1 ( ) sin i cos j 证明 证:
矢量分析与场论
西北工业大学 航空学院 张 强
关于矢量分析与场论的简单介绍
• 矢量分析是矢量代数和微积分运算的结合和推广， 主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、 积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具， 研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这 门课的学习，可使我们掌握矢量分析和场论这两 个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单 用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题， 打下了必要的数学基础。
1 矢性函数的不定积分 定义：若B’(t)＝A(t)，则称B(t)为A(t)的一个原函数。A(t)的原函数的全体， 叫做A(t)的不定积分，记作 A ( t ) dt 由于矢性函数的不定积分和数性函数的不定积分在形式上完全类似，因此， 数性函数不定积分的基本性质对矢性因数来说仍然成立。
1-矢量分析与场论
ex ex 0, ey ey 0, ez ez 0
ex ey ez , ey ez ex , ez ex ey
A B A B en AB
A// B A B 0
A B Axex Ayey Azez Bxex Byey Bzez
如果要了解场的局部特性，即考虑场在空间每 个点沿各个方向的变化情况，
对于标量场，需要引入方向导数和梯度的概念；
对于矢量场，需要引入散度和旋度的概念。
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
静态标量场和矢量场可分别表示为：
u(x, y, z)、F(x, y, z)
时变标量场和矢量场可分别表示为：
矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律 A B B A A(B C) A B AC
两个矢量的叉积为矢量
矢量运算恒等式
A (B C) B (C A) C (A B) A(BC) B(AC) C(A B)
混合积 双重矢量积
几个特殊结论
假设 M(x, y, z) 为矢量线上任一点，则过点 M沿矢量 线的位移元 dl 与矢量 A(x, y, z)共线。
共线矢量dl 与 A(x, y, z) 满足方程
dl A 0 或
dx dy dz Ax Ay Az
矢量形式
标量形式
A
M
dl r r dr
上面这两个方程称为矢量线方程
M0
而 l 的方向余弦为 cos
2
2
12 22 22 3
cos cos
2
2
12 22 22 3
1
1
12 22 22 3
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。
然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。
如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。
变矢量是矢量分析研究的重要对象。
本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。
§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。
1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。
在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。
即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。
本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。
这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。
同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。
矢量分析和场论讲义
曲面S。 试求矢量场r从S内穿出S的通量。
P55 3. 求矢量场 A （x3 yz）i （y2 xz）j （z3 +xy）k
的散度。
• 假如曲面s是闭合旳，并要求曲面法矢由闭合 曲面内指向外，矢量场对闭合曲面旳通量是：
A
0
l 当 (G, lˆ) 0
,即
lˆ
与
G
方向一致时,
u l
为最大。
u l
0 ,沿l增加
u
l
0 ,沿l降低
G
n
u l lˆ c2 c1
u c1
梯度、方向导数与等值面
总结：数量场梯度旳性质
（1）数量场沿任一方向旳方向导数等于梯度在 该方向旳投影。
（2）数量场在任一点旳梯度垂直于过该点旳等 值面，且指向场增大旳一方。（注意：等值面 旳法向有两个）
直接从散度旳定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面旳通量等于该闭合曲 面所包括体积中矢量场散度旳积分。
A ds divAdV
s
V
上式称为矢量场旳Gauss定理。
注：它能把一种闭合曲面旳面积分转为对 该曲面所包围体积旳体积分，反之亦然。
§4 矢量场旳环量及旋度(Rotation)
1. 矢量场旳环量
以温度场为例：
等温面
热源
能够看出：数量场旳函数是单值函数，各等值面 是互不相交旳。
矢量场旳矢量线：直观描述矢量在场中旳分布情况。
矢量线上每一点处曲线与相应于该点旳矢量相切。
A
M
z
r
l
y
o
x
观察：
图2 矢量线
1.在曲线上旳每一点M处， 场旳矢量都位于该点处旳 切线上（如图所示），称其为矢量线。例：静电场电力 线、磁场旳磁力线、流速场中旳流线等。
第1章 矢量分析与场论基础
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
（4）矢量的矢积（叉积） 两矢量的叉积是一个矢量，其大小为两个矢量的大小与它们之
用单位矢量 en 表示。
间夹角 的正弦之积，它的方向垂直于包含两个矢量的平面，
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角 坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
矢量的加减符合交换律和结合律 交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
B B
A B
矢量的减法
A
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
6
（2）标量乘矢量
B sA ex sAx e y sAy ez sAz
第1章 矢量分析与场论基础
17
（3）圆柱坐标系与球坐标系的坐标变量之间的转换
r柱 r球 sin r球 r柱 z 2
2
z r cos r柱 z
arctg
工程电磁场
第1章 矢量分析与场论基础
18
1.3场的基本概念和可视化 1场的概念 “场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间 的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。 例如，温度场、能量场、电位场是标量场；电场、磁场、流速场与 重力场都是矢量场。 定义了场量的空间点称为场点。
工程电磁场-第1章-矢量分析和场论基础
04
电磁2
03
静电场
由静止电荷产生的电场， 其电场线不随时间变化。
恒定磁场
由恒定电流产生的磁场， 其磁场线是闭合的，且不 随时间变化。
时变电磁场
由变化的电流或变化的电 荷产生的电场和磁场，其 电场线和磁场线都随时间 变化。
电磁场的分类
按存在形式分类
有源场和无源场。有源场是指其散度非零的场，如静电场和恒定 磁场；无源场是指其散度为零的场，如时变电磁场。
根据场的来源，可以将场分为自然场 和人工场。
场量和场强
场量是描述场中物理量分布的量，如电场强度、磁场强度等 。
场强是描述场作用的强度和方向的物理量，如电场线、磁场 线等。
03
矢量场和标量场
矢量场的性质
02
01
03
矢量场由矢量线组成，具有方向和大小。
矢量场具有旋度或散度，分别表示场中的旋涡或电荷 分布。 矢量场的变化遵循斯托克斯定理和格林定理。
80%
斯托克斯定理
斯托克斯定理是矢量积分的重要 定理之一，它描述了矢量场中某 点处的散度与该点处单位球体体 积内的积分之间的关系。
矢量函数和场
矢量函数
矢量函数是描述空间中矢量场 变化的数学工具，其定义域和 值域都是矢量。
矢量场
矢量场是由空间中一系列点构 成的集合，每个点都有一个与 之相关的矢量。
梯度、散度和旋度
在磁场的边界上，磁场线切线方向的 分量连续，即磁场强度不突变。
05
电磁场的能量和动量
电磁场的能量
电磁场能量的定义
01
电磁场能量是指存在于电磁场中的能量，它与电场和磁场的变
化率有关。
电磁场能量的计算
02
通过计算电场和磁场的能量密度，可以得出整个电磁场的总能
矢量分析与场论
矢量分析与场论矢量分析与场论第一章矢理分析1.1 矢性函数1．矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t =2．矢性函数的极限和连续性（1）矢性函数极限的定义：()A t在0t 某领域内有定义，对于0ε?>，0δ?>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-< ，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →=；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ?>，M>0，0(;)t U t δ?∈ 都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=?>?∈都有0()1A t A ε-<= ，00()()1A t A A t A ∴-<-<，0()1A t A ∴<+ ，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=?000l i m (()())l i m ()l i m()t tt tt tA tB t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→?=?其中()u t ，()A t ，()B t当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →= ，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-?+?- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-?+?-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ?>>?∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''?>?∈-<; 同理20,s tt U t δδ?>?∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112m i n ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ?∈，00()()u t A t u A -<10122M u M u εε+?=ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
第3章 矢量分析和场论
y
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
12
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
A A
A A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
5
在直角坐标系下的矢量表示:
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
பைடு நூலகம்
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
8
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
16
例4：
和 已知A点和B点对于原点的位置矢量为 a b
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
任取一点C，对于原点的位置 矢量为
z
a
，则 c
A
c
C
b
c a k (b a )
B y
x
c (1 k )a kb
h BC
注意：先后轮换次序。
推论：三个非零矢量共面的条件。
第四讲矢量分析与场论
充分描述了场空间变化特征
标量场 的梯度 充分描述了标量场 在空间变化的 特征:
• 场中任一点（x, y, z）沿任一方向的变化率（即方
向导数）是不一样的。最大变化率（即最大方向导数） 的方向就是梯度的方向，最大变化率（即最大方向 导数）就是梯度的大小。 在任一方向l0 的投影（· l0）就是该方向的变 化率（即该方向的方向导数）。因此梯度是描述标 量场 随空间变化特性非常好的一个物理量。经过梯 度运算，可由一个标量场得到一个矢量场
l yz
A yz dl yz
ABCD
A
y on AB
dy Az
on BC
dz Ay
on CD
dy Az on DA dz
旋度Curl A的计算(1)
当矩形ABCD0时，即y,z0, 这时Ay，Az近似为常 数，则：
因此
旋度Curl A的计算(2)
同理：
斯托克斯定理
有限面积S分解成面元Sn（0）， 由旋度定义，则有：
左边为：
右边为：
相邻面元交界 线上的线积分 相互抵消
矢量场的分类
矢量场的分类(1)
亥姆霍兹定理
一个矢量场的性质由激发场的源来确定 源有两类：散度源（通量源） 旋度源（涡旋源）
Q: 若已知一个矢量场的散度或旋度，能否唯一确定该 矢量场？ A: 能！这就是亥姆霍兹定理 如果在体积V内的矢量场A的散度和旋度已知，在V的 边界S上A的值也已知，则在V内任一点A的值能唯一 确定。（证明略去） 据此定理，任一矢量场A能分解为一个无旋场和一个 无源场之和。
D ds
S
B E t
V
v dV
B ds 0
矢量分析与场论(包括旋度等在不同坐标上的公式)
第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。
无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。
物理量数值的无穷集合称为场。
如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。
场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。
如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。
1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。
一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。
实际上，所有实数都是标量。
一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。
例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。
一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。
在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。
空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。
从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。
矢量分析与场论
er(θ+90°,φ) · ex er(θ+90°,φ) · ey er(θ+90°,φ) · ez ey er(90°,φ+90°)· ex er(90°,φ+90°)· ey er(90°,φ+90°)· ez ez sinθ cosφ sinθ sinφ cosθ ex = sin(θ+90°) cosφ sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°) ey
距离矢量 R：由源点指向场点的矢量， 用符号 R 表示。 R = r - r′
P
R
r
○
r′
注意：矢径和矢量的区别
例：已知，A = xyex + z2 ey + y ez 求：A及r 在点P(1,2,2)的值，且图示。 解：① 求值 ∵r = x ex + y ey + z ez 由题意可知：x=1, y=2, z=2 将此代入A及r 得： A = 2ex + 4 ey + 2 ez ; r = ex + 2 ey + 2 ez ② 图示 A r
圆柱
,,z
球面
r,,
z x
O
（ x 0 y0 z0 ）
·
·
z （ r 0 0 0 ） r
·
y
x
O
O
y
x
三种正交系的相互关系 z
r
·
y
） （
x
X=cos = rsin cos Y=sin = rsin sin Z=rcosθ r2= x2 + y2 +z2 = 2 + z2 = rsin = arc tg(y/x) = arc cos(z/r) cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 = 1
矢量分析与场论
矢量分析与场论简介矢量分析与场论是研究物理学中的重要分支，广泛应用于电磁学、流体力学、力学等领域。
矢量分析用于描述和分析具有大小和方向的物理量，例如力、速度、加速度等。
场论则将物理量看作空间中的场，并通过场的分布和变化来描述物理现象。
本文将介绍矢量分析的基本概念和常见运算，并探讨场论的基本原理和应用。
矢量分析矢量的定义和表示矢量是具有大小和方向的物理量。
在二维空间中，矢量可以表示为有序对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为有序三元组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x轴、y轴和z轴上的分量。
通常将矢量用粗体字母如A表示。
矢量的运算矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
矢量的加法两个矢量A和B的加法定义为将它们的相应分量相加，即：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)两个矢量A和B的减法定义为将B的相应分量取负后与A相加，即：A -B = (Ax - Bx, Ay - By)数量乘法将矢量的每个分量乘以一个实数称为数量乘法，表示为：c A = (cAx, cAy)矢量的模和方向矢量的模表示矢量的大小，矢量的方向表示矢量的指向。
在二维空间中，矢量(x, y)的模可以通过勾股定理求得：||A|| = sqrt(x2 + y2)在三维空间中，矢量(x, y, z)的模可以通过类似的方法求得：||A|| = sqrt(x2 + y2 + z2)矢量的方向可以用一个角度来表示，通常用与x轴的夹角来表示，记为θ。
矢量的点积和叉积矢量的点积和叉积是矢量分析中常用的运算。
两个矢量A和B的点积定义为两个矢量的模相乘再乘以它们夹角的余弦值，表示为A·B：A·B = ||A|| ||B|| cos(θ)点积的结果是一个标量，即一个没有方向的量。
点积还满足交换律和分配律。
矢量的叉积两个矢量A和B的叉积定义为一个新的矢量，其模等于两个矢量模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，表示为A×B：A×B = ||A|| ||B|| sin(θ) n其中n是一个垂直于A和B的单位矢量，它的方向由右手法则确定。
数学基础_矢量分析与场论
矢量分析与场论一、标量场的梯度，∇算符1、场的概念(The Concept of Field )场是用空间位置函数来表征的。
在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。
如果物理量是标量，并且空间每一点都对应着该物理量的一个确定数值，则称此空间为标量场。
如：电势场、温度场等。
如果物理量是矢量，且空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。
如：电场、速度场等。
若场中各点物理量不随时间变化，称为稳定场，否则，称为不稳定场。
2、方向导数(Directional Gradient )方向导数是标量函数)(x ϕ在空间一点沿任意方向l相对距离的变化率，它的数值与所取l 的方向有关。
一般来说，在不同的方向上lP l∂∂ϕ的值是不同的，但它并不是矢量。
如图所示，l为场中的任意方向，P 1是这个方向线上给定的一点，P 2为同一线上邻近的一点。
l ∆为p 2和p 1之间的距离，从p 1沿l到p 2的增量为)()(12p p ϕϕϕ-=∆若下列极限lp p l l l ∆-=∆∆→∆→∆)()(lim lim1200ϕϕϕ(1.1) 存在，则该极限值记作)(x ϕ，称之为标量场lP l∂∂ϕ在p 1处沿l的方向导P 1P 2l数。
3.梯度（Gradient ）在某点沿某一确定方向取得)(xϕ在该点的最大方向导数。
n nˆgrad ∂∂=∇=ϕϕϕ (1.2) l l n n n l ⋅=⋅∂∂=∂∂=∂∂ϕϕϕθϕgrad ˆcos (1.3)4、∇算符（哈密顿算符）(Hamilton Functor )∇算符既具有微分性质又具有方向性质。
在任意方向l上移动线元距离dl ，ϕ的增量ϕd 称为方向微分，即l d dl ld ⋅∇=∂∂=ϕϕϕ (1.4)显然，任意两点ϕ值差为⎰⋅∇=-B AA B l dϕϕϕ (1.5)二、矢量场的散度、旋度、高斯定理和斯托克斯定理1、通量(Fluid )一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场v 方向通过s d的流量是dN ，而dN 是以ds 为底，以v cos θ为高的斜柱体的体积，即s d v ds v dN⋅==θcos(1.6)称为矢量v 通过面元s d的通量。
矢量分析与场论义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
矢量分析与场论
在直角坐标系中称之为哈密顿算子，是一个微分 符号，同时又要当作矢量看待。算子与矢性函数 A 的点积为一标量函数。在直角坐标系中，散度 的表达式可以写为：
Ax Ay Az A i j k Ax i Ay j Az k y z x y z x
矢量的加减运算同向量的加减，符合平行四边 形法则 任意两个矢量的点积是一个标量，任意两个矢 量的叉积是一个矢量 如果两个不为零的矢量的点积等于零，则这两 个矢量必然互相垂直 如果两个不为零的矢量的叉积等于零，则这两 个矢量必然互相平行
1.2 矢量场
1.2.1矢量场的矢量线
矢量场空间中任意一点P处的矢量可用一 个矢性函数A=A（P）来表示。直角坐标中， 可以表示成如下形式：
例: 求矢量场A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量线方程。 解： 矢量线应满足的微分方程为
dx dy dz 2 2 2 xy x y y z
dy dx 2 2 xy x y 从而有 dx dz xy 2 y 2 z
解之即得矢量方程
z c x 1 2 2 x y c2
解： 矢量场A的旋度
i rotA A x x( z y )
j
k
y z y ( x z ) z ( y x)
( z y )i ( x z ) j ( y x)k
在点M(1，0，1)处的旋度
A
n方向的单位矢量
M
i + 2j + k
2） 矢量积 任意两个矢量 A 与 B 的矢量积（ Vector Product ） 是一个矢量，矢量积的大小等于两个矢量的大 小与它们夹角的正弦之乘积，其方向垂直于矢 量A与B组成的平面， 如图1所示，记为 C=A×B=anAB sinθ an=aA×aB （右手螺旋）
矢量分析与场论
ez z Az
Az Ay Ax Az Ay Ax ex y z e y z x ez x y
59
A B A B A A A A B B A A B 2 A A A
大小：ABsin(A, B) 方向：垂直于A、B
满足右手螺旋法则
16
右手螺旋法则
矢量A、B、C满足
C A B
17
矢量的矢量积满足乘法分配律
A B C A C B C
矢量的矢量积不满足乘法交换律与结合律
A B C A B C
电磁场与电磁波
矢量分析与场论
内容
基本概念
标量、矢量、矢性函数 场、标量场、矢量场 方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度
基本定律源自散度定理、旋度定理、Helmholtz定律
圆柱坐标 球坐标
2
标量与矢量
概念
什么是标量？
只有数值大小的代数量称为标量
常量（数）：大小不变的标量 变量：大小变化的标量 标量相等：标量的大小相同
31
电力线
32
标量场的方向导数
定义
设点M0为标量场φ中任意已知点，由M0出发沿某 一方向引一条射线l，在l上取一点M，令M0到M的 距离为ρ 。则下式中的极限称为标量场φ 在点M0 沿方向l的方向导数
l lim
M0 M M 0
M M 0
33
物理意义
x
36
方向余弦
定义：矢量a方向角的余弦称为a的方向余弦
第一章矢量分析与场论剖析
➢微分元
①线元
dl dRaR Rda Rsinda
②面元
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRda ③体积元
dv R2 sindRdd
2.矢量在不同坐标系之间的变换 圆柱坐标系 直角坐标系
➢微分元
①线元
dl drar rda dzaz
②面元
dSr rddzar dS drdza dSz rddraz
③体积元
dv rdrddz
（3）球坐标系
➢基本变量 R, ,
R是位置矢量
R
的大小；(0
R
)
z
θ是 R与z轴的夹角； (0 )
P(R,,) aR
φ是从+x轴到 R在xoy面上的投
①标量与矢量的乘积 B kA
②两个矢量的标量积
➢两矢量的点积定义为一个矢量在另一个矢量 方向上的投影与另一个矢量模的乘积，结果
是个标量。
A• B ABcos
➢两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
A B AxBx Ay By Az Bz
➢两矢量点积满足交换律和分配律。
A B B A
A(B C) A B AC
点的位置不同而变化，但三者始 终保持正交关系，并遵循右手螺 旋法则.
➢坐标面
r x2 y2 常数
表示一个以z轴作轴线的半径 为r的圆柱面。
arctan y 常数
x
表示一个以z轴为界的半平面. z=常数
表示一个平行于xoy平面的平面。
如同直角坐标系一样,圆柱坐标系也具有三 个相互垂直的坐标面.但是它们不再都是平 面.
h1
直角坐标系
1
圆柱坐标系
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矢量分析与场论第一章 矢理分析1.1 矢性函数1． 矢性函数的定义：数性变量t 在一范围G 内，对于任意的t 都有唯一确定的矢量A 与其对应则称A 是t 的矢性函数，并称G 为A 的定义域，记作：()A A t = 2． 矢性函数的极限和连续性（1） 矢性函数极限的定义：()A t 在0t 某领域内有定义，对于0ε∀>，0δ∃>，常矢量0A ，只要为0<0t t δ-<就有0()A t A ε-<，则称0A 为()A t 当0t t →的极限，记作：00lim ()t t A t A →= ；极限的性质：（有界性）若00lim ()t t A t A →=,则0δ∃>，M>0，0(;)t U t δ∀∈都有()A t M <。
证明：0lim ()1,0,..(;)t t A t A s t t U t εδδ→=∴=∃>∀∈都有0()1A t A ε-<=，00()()1A t A A t A ∴-<-<， 0()1A t A ∴<+，取M=01A +极限的则运算：0lim ()()lim ()lim ()t t t t t t u t A t u t A t →→→=⋅lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→±=±lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→⋅=⋅lim(()())lim ()lim ()t t t t t t A t B t A t B t →→→⨯=⨯其中()u t ，()A t ，()B t 当0t t →时极限均存在。
证明：设00lim ()t t A t A →=，00lim ()t t u t u →=，00lim ()t t B t B →=；000000()()()()()()u t A t u A u t A t u A t u A t u A -=-+-，00000000000()()()()()()()()()()()u t A t u A t u A t u A u t A t u A t u A t u A u t u A t u A t A -+-≤-+-=-⋅+⋅- 00000()()()()()u t A t u A u t u A t u A t A ∴-≤-⋅+⋅-而11010,0,..(;)M s t t U t δδ∃>>∀∈有1()A t M <；对于任意给定的ε>o ，101010,..(;),()2s t t U t u t u M εδδ''∃>∀∈-<; 同理2020,,..(;)s t t U t δδ∃>∀∈有00()2A t A u ε-<所以取{}112min ,,δδδδ'=，则有0(;)t U t δ∀∈，00()()u tA t u A -<10122M u M u εε⋅+⋅= ε其他证明方法类似，可参看数学分析中相关证明。
极限（0lim ()t t A t →）存在的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 当0t t →时极限均存在。
且0ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t iA t j A t k →→→→=++ 证明：充分性由极限运算第一条可知：0ˆˆˆlim(()),lim(()),lim(())x y z t t t t t t A t iA t j A t k →→→均存在，所以 0ˆˆˆlim(()()())x y z t t A t i A t j A t k→++也存在且0ˆˆˆˆˆˆlim(()()())lim ()lim ()lim ()x y z x y zt t t t t t t t A t i A t j A t k i A t j A t k A t →→→→++=++即ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k→→→→=++必要性：不妨设00lim ()t t A t A →=，则对于0,0,εδ∀>∃>只要0(;)t U t δ∈就有0()A t A ε-< ;而00,0,0,ˆˆˆˆˆˆ()()()()()x y z x y z A t A A t i A t j A t k A i A j A k -=++-++所以0,0,0,ˆˆˆ(())(())(())x x y y z z A t A i A t A j A t A kε-+-+-<；考虑：0,0,0,0,0,ˆˆˆ(())(())(())ˆ(())()x x y y z z x x x x A t A i A t A j A t A k A t A iA t A -+-+-≥-=-所以：0,()x x A t A ε-<，所以00,lim ()x x t t A t A →=; 其他分量极限存在的证明类似。
综上所述：lim ()t t A t →存在，则0lim (),lim (),lim ()x y z t t t t t t A t A t A t →→→均存在，且00,lim ()x x t t A t A →=0,lim ()y y t t A t A →= ，00,lim ()z z t t A t A →=；自然0ˆˆˆlim ()(lim ())(lim ())(lim ())x y z t t t t t t t t A t A t i A t j A t k→→→→=++由此求矢性函数的极限可转化为求其三分量的极限。
（2） 矢性函数连续性的定义：若()A t 在0(;)U t δ内有定义，且00lim ()()t t A t A t →=则称()A t 在0t 处连续；如果()A t 在t 的I 区间上都连续则称()A t 在I 上连续。
连续（()A t 在0t 处）的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 在0t 处均连续。
充分性：0lim ()()x x t t A t A t →=，00lim ()()y y t t A t A t →=，00lim ()()z z t t A t A t →=。
000ˆˆˆlim ()()()()()x y z t t A t A t i A t j A t k A t →∴=++=必要性：若0lim ()t t A t →=0()A t ，显然00lim ()()x x t t A t A t →= ，00lim ()()y y t t A t A t →= ，0lim ()()z z t t A t A t →=；1.2 矢性函数的导数与微分1. 矢性的导数定义：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若0000()()()limlimt t t A t t A t A t t t t→∆→+∆-∆=-∆存在则称此极限为()A t 在0t 处的导数。
记为：()dA t dt 或()A t '；即()dA t dt=0()lim t A t t ∆→∆∆导数存在的充要条件：()A t 的三个分量()x A t ，()y A t ，()z A t 的导数均存在。
且()dA t dt=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt ++充分性：因为00()()()()ˆˆˆlimlim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t ∆→∆→∆∆∆∆=++∆∆∆∆，而0()lim x t A t t∆→∆∆ ，()limy t A t t∆→∆∆，0()limz t A t t ∆→∆∆均存在。
所以：0()limt A t t∆→∆∆=0()ˆ(lim )x t A t i t ∆→∆∆+0()ˆ(lim )y t A t j t ∆→∆∆+0()ˆ(lim )z t A t k t ∆→∆∆=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt++ 必要性：因为00()()()()ˆˆˆlimlim()y x z t t A t A t A t A t i j k t t t t ∆→∆→∆∆∆∆=++∆∆∆∆存在所以0()lim x t A t t∆→∆∆ ，()limy t A t t ∆→∆∆，0()limz t A t t ∆→∆∆也都存在。
且()dA t dt=()()()ˆˆˆy x z dA t dA t dA t i j k dt dt dt ++导矢的几何意义：由定义可知导矢表示的是位矢()A t 末端所画的曲线的切线。
2. 矢性函数的微分：()A t 在0(;)U t δ内有定义，如果00()()()A t t A t C t t +∆-=∆+∆，其中C 为常矢量则称()A t 在0t 处可微，C t ∆为()A t 在0t 处的微分记作dA |0t t ==Cdt可微与可导之间的关系：()A t 在0(;)U t δ内有定义，若()A t 在0t 处可微则它在0t 必可导；反之若()A t 在0t 处可导则()A t 在0t 处可微。
且dA |0t t ==0()A t dt '。
证明：若()A t 在0t 处可微，由定义可知：00()()()A t t A t C t t +∆-=∆+∆； 所以00()lim limt t t t C t t A C t→→∆+∆∆==∆，即若()A t 在0t 处可导并有：0()A t '=C 。
若()A t 在0t 处可导则: 0limt t A t →∆∆=0()A t ',所以00lim(())0t t AA t t→∆'-=∆，从而0()(1)AA t t∆'-=∆，即0()()A A t t t '∆=∆+∆所以()A t 在0t 处可微。
且dA |0t t ==0()A t dt '由导数存在的充要条件及可微与可导之间的关系，可以得到：()A t 在0t 处可微当且仅当它的三分量在0t 处可微。
（可微的充要条件）微分的意义：由微分的定义可知，当0t ∆→时，dA =A ∆。