上海市重点期中考试：上海市第二中学高二期中数学试卷及参考答案(2019.11)
2019重点高中期中考试高2数学19.11.7
高二数学试题第 1 页 共 8 页秘密★启用前 试卷类型:A高 二 数 学2019.11本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 . 共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共52分）注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上.2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶带纸、修正带和其他笔.一、单项选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合要求. 1．不等式2230x x +-<的解集为A ．{|3x x <-或1}x >B ．{|1x x <-或3}x >C ．{|13}x x -<<D ．{|31}x x -<< 2．数列12，34-，56，78-，……的第14项是 A ．2627- B ．2829 C ．2526- D ．2728-3．已知命题p ：R x ∃∈，2230x x +-≥，则命题p 的否定p ⌝为A ．R x ∃∈，0322≤-+x x B ．R x ∀∈，2230x x +-≥C ．R x ∃∈，2230x x +-<D ．R x ∀∈，2230x x +-<4．已知数列{}n a 是等差数列，57918a a a ++=，则其前13项的和是A ．45B ．56C ．65D ．78高二数学试题第 2 页 共 8 页5．关于x 的不等式0<-b ax 的解集是),2(+∞，则关于x 的不等式0)3)((<-+x b ax 的解集是A ．),3()2,(+∞--∞B ．)3,2(-C ．)3,2(D ．),3()2,(+∞-∞6．以线段:20(02)AB x y x+-=＃)为直径的圆的方程为A ．22(1)(1)2x y +++= B ．22(1)(1)2x y -+-= C ．22(1)(1)8x y +++= D ．22(1)(1)8x y -+-= 7．若函数1() (2)2f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于 A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 8．若命题p ：R x ∀∈，210x ax ++≥为真命题，则实数a 的取值范围是A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞-C ．[2,2]-D ．(,2][2,)-∞-+∞9．已知R a ∈，则“1a <”是“11a>”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 10．已知圆的方程是221x y +=, 则在y 轴上截距为2的切线方程为A ．y =x +2B ．y=-x +2C ．y =x +2或y =-x +2D ．x =1或y =x +2二、多项选择题：本题共3个小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11．如果0<<b a ，那么下列不等式一定成立的是A ．ba 11< B ．22bc ac < C ．11a b b a+<+ D ．22b ab a >>高二数学试题第 3 页 共 8 页12．设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么A ．a ＋b 有最小值2(2＋1)B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2C ．ab 有最大值3＋2 2.D ．ab 有最小值3＋2 2.13．若数列{}n a 对任意2(N)n n ≥∈满足11(2)(2)0nn n n a a a a -----=，下面选项中关于数列{}n a 的命题正确的是：A ．{}n a 可以是等差数列B ．{}n a 可以是等比数列C ．{}n a 可以既是等差又是等比数列D ．{}n a 可以既不是等差又不是等比数列 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 14．空间两点(2,3,5)A ，(3,1,4)B 间的距离为 .15．已知以)3,4(-C 为圆心的圆与圆221:O x y +=相内切，则圆C 的方程是 ． 16．在等差数列{}n a 中，满足0n a >，且45a =，则26116a a +的最小值为 ． 17．设数列{}n a 使得10a =，且对任意的*n ∈N ，均有1n n a a n +-=，则3a 所有可能的取值构成的集合为： ,20a 的最大值为 .四、解答题：本大题共6个大题，满分82分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.18．（13分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足11a =，2a 是1a 与5a 的等比中项（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，判断数列{}n b 是否为等比数列.如果是，求数列{}n b 的前n 项和n S ，如果不是，请说明理由.19．（13分）已知函数2()(R)f x x ax x =-∈．（1）解不等式()1f x a ≤-；（2）若[1,)x ∈+∞时，恒成立，求a 的取值范围．高二数学试题第 4 页 共 8 页20．（13分）已知数列{}n a 满足0n a ≠，且1133n n n n a a a a ++-=，等比数列{}n b 中，2146,3,9b a b b ===．（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}1n n a a +的前n 项和n S ．21．（13分）自2017年，某城市“蜗享出行”正式引领共享汽车，改变人们传统的出行理念，给市民出行带来了诸多便利. 该公司购买了一批汽车投放到市场给市民使用。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
上海市高二第二学期期终考试数学卷（共3套,含答案）
上海市⾼⼆第⼆学期期终考试数学卷（共3套,含答案）上海市位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学卷⼀、填空题（每题4分，共56分）1、设a <0，则a 的平⽅根是____________．2、若(x +1)10=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+…+a 10(x -1)10，则系数a 0=____________．3、在复平⾯内，复数11i +、11i-对应的点分别为A 、B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．4、正四⾯体ABCD 的棱AD 与⾯ABC 所成⾓的⼤⼩为____________．5、从2、4中选⼀个数字，从1、3、5中选两个数字，组成⽆重复数字的三位数，其中奇数的个数为____________．6、棱长为2的正⽅体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，则点D 1到直线AE 的距离是____________．7、五个数1,2,5,a ,b 的均值为3，⽅差为2，则这五个数的中位数是____________．8、湖⾯上漂着⼀个⼩球，湖⽔结冰后将球取出，冰⾯上留下了⼀个直径为12cm ，深2 cm 的空⽳，则该球的体积是____________cm 3． 9、2100被9除的余数为____________．10、在某次技能⼤赛中，有6位参赛者的成绩分别是70,76,72,70,72,90，从这6位参赛者中随机地选x 位，其中恰有1位的成绩是72的概率是815，则x 等于____________． 11、P 是半径为1的球⾯上任意⼀点，PA 、PB 、PC 是两两互相垂直的三条弦，则PA 2+PB 2+PC 2=____________．12、对任意⼀个⾮零复数z ，定义集合{|,*}n z M w w z n ==∈N ．设α是⽅程10x x+=的⼀个根，若在M a 中任取两个数，则其和为零的概率P =____________．13、已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表⾯积分别为S 1、S 2，当r ∈(1,+∞)时，2121V V S S --的取值范围是____________．14、已知关于x 的⽅程-2x 2+bx +c =0，若b 、c ∈{0,1,2,3,4}，记“该⽅程有实数根x 1、x 2且满⾜-1≤x 1≤x 2≤2”为事件A ，则事件A 发⽣的概率为____________．⼆、选择题（每题5分，共20分）15、若z ∈C ，下列命题中，正确的命题是( )A ．||111z zB ．0z z +=?z 是纯虚数C ．z 2=|z |2D ．20z ≥?z 是实数16．若l 、m 、n 为直线，α、β、γ为平⾯，则下列命题中为真命题的是( )A ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥βD ．若α⊥β，l ?α，则l ⊥β17、“n =5”是“n (n ∈N*)的展开式中含有常数项”的( )A ．充分⾮必要条件B ．必要⾮充分条件C ．充要条件D ．既⾮充分⼜⾮必要条件18、01122110C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n n n n n n ---++++L 等于( )A ．1122C +C n n n n -+B ．22(C )nn C ．2C nn D ．212C nn -三、解答题（本⼤题共五题，满分74分）19、（本题满分12分，第1⼩题6分，第2⼩题6分）(1) 复数z 的实部为8，|z |=10，求z 的值；(2) i 为虚数单位，1sin 2icos z θθ=+，2cos z θθ=+，若z 1=z 2，求θ的值．20、（本题满分14分，第1⼩题6分，第2⼩题8分）(1) 两个相交平⾯M 与N ，它们的交线为l ．在l 上有3点，除这3点外在平⾯M 、N 上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平⾯？(2) 某校以单循环制⽅法进⾏篮球⽐赛，其中有两个班级各⽐赛了3场后，不再参加⽐赛，这样⼀共进⾏了84场⽐赛，问：开始有多少班级参加⽐赛？21、（本题满分14分，第1⼩题5分，第2⼩题5分，第3⼩题4分）某校从参加⾼⼆年级期末考试的学⽣中抽出60名学⽣，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[50,60),[60,70),…,[90,100]后画出如下部分．．频率分布直⽅图，观察图形的信息，回答下列问题：(1) 求出物理成绩低于50分的学⽣⼈数；(2) 估计这次考试物理学科及格率（60分及以上为及格）(3) 从物理成绩不及格的学⽣中选两⼈，求他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率．22、（本题满分16分，第1⼩题5分，第2⼩题6分，第3⼩题5分）如图，在棱长为a的正⽅体ABCD－A 1B1C1D1中，E、F、M分别是棱AB、BC和DD1所在直线上．．．．．的动点．(1) 求 EB1F的取值范围；(2) 若N为⾯EB1F内的⼀点，且∠EBN=45?，∠FBN=60?，求∠B1BN的余弦值；(3) 若E、F分别是所在正⽅体棱的中点，试问在棱DD1上能否找到⼀点M，使BM⊥平⾯EFB1？若能，试确定点M的位置；若不能，请说明理由．23、（本题满分18分，第1⼩题8分，第2⼩题5分，第3⼩题5分）(1) 已知⼆项式(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为252，求展开式中系数最⼤的项；(2) 记(x+2)n展开式中最⼤的⼆项式系数为a n，求证：数列{a n}单调递增；(k=0,1,2,···,n)的单调性，并加以证明．(3) 给定不⼩于3的正整数n，试写出数列{C}kn位育中学第⼆学期⾼⼆期终考试数学答案⼀、填空题1、； 2、1024； 3、12； 4、； 5、24； 67、3； 8、40003π； 9、7； 10、2或4； 11、4； 12、13；13、1(,)2+∞；14、1625．⼆、选择题15、D16、B17、A18、C三、解答题19、（本题12分）解：(1) 设z =8+b i,(b ∈ R )，则由64+b 2=100，得b =±6，∴ z =8±6i ． 6分(2) 由z 1=z 2，得sin 2cos cos θθθθ==??，∴1sin 2tan θθ?=，2,()6k k πθπ=+∈Z12分20、（本题14分）解：(1) 这12个点中，除l 上的三点共线外，其余⽆三点共线，最多能确定1112112345454526030402132C C C C C C C +++=+++=个平⾯．6分(2) 设开始有n 个班参加⽐赛，1? 若这两个班级之间⽐赛过1场，则22584n C -+=，⽆解，8分2? 若这两个班级之间没有过⽐赛，则22684n C -+=，解得n =15．答：开始有15个班级参加⽐赛． 14分21、（本题满分14分）解：(1) 因为各组的频率和等于1，故低于50分的频率为： 11(0.01520.030.0250.005)100.1f =-?+++?=3分所以低于50分的⼈数为600.16?=（⼈）5分(2) 依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第⼀组），频率和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++?= 8分所以，抽样学⽣成绩的合格率是75%于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为75%10分 (3) “成绩低于50分”及“[50,60)”的⼈数分别是6,9，所以从成绩不及格的学⽣中选两⼈，他们成绩⾄少有⼀个不低于50分的概率为：26215617C P C =-=14分22、（本题满分16分）解：(1) 设,BE x BF y ==，则11B E B F EF ===所以21cos 1EB F ∠=< ，1EB F ∠的取值范围为(0,)2π5分(2) 解：设N 在1BE BF BB 、、三边上的投影分别是111E F G 、、，则由于45,60EBN FBN ∠=?∠=?111cos 45,cos 60.22BE BN BN BF BN BN ∴=?==?=g 2222111,BE BF BG BN ++=Q 112BG BN ∴=，即160B BN ∠=o ，它的余弦值为1211分(3) 解：设EF 与BD 的交点为G ．连接B 1G ，则由EF ⊥BD 以及EF ⊥B 1B ，知EF ⊥平⾯BB 1D 1D ，于是⾯B 1EF ⊥⾯BB 1D 1D ，在⾯BB 1D 1D 内过B 作BK ⊥B 1G 于K ，延长后交D 1D 所在的直线于点M ，则BM ⊥平⾯B 1EF ．在平⾯BB 1D 1D 内，由△B 1BG ∽△BDM ，知B 1B BG ＝BD DM ，⼜B 1B ＝a ，BG ＝24a ，BD ＝2a ，∴DM ＝a2．这说明点M 在正⽅体的棱D 1D 上，且恰好为D 1D 的中点． 16分23、（本题满分18分）解：(1) ∵ 4599126C C ==，510252C =，561111462C C ==，由第(2)、(3)题的结论可知：n =10，3分设(x +2)10展开式中系数最⼤的项是101102r rr r T C x -+=?(r =0,1,2,…,10)，则由1110101110102222r r r r r r r r C C C C --++?≥??≥??，（其中r =1,2,…,9），即1110!210!2!(10)!(1)!(11)!10!210!2!(10)!(1)!(9)!r r r r r r r r r r r r -+≥??--?-??≥-+?-?， 5分得223193r r ?≤≥??，（r =1,2,…,9），∴ r =7，7分展开式中系数最⼤的项是7373810215360T C x x =?=．8分(2) 若n 为奇数，则n +1为偶数，1122n n n nna C C-+==，1211n n n a C+++=，∴ 11122211n n n n n nn a CCCa +-+++==+>10分若n 为偶数，则n +1为奇数，2n n na C =，122111n n n n n a C C++++==，∴ 122211n n n n n nnn a CCC a -++==+>12分综上可知：数列{a n }单调递增．13分 (3) 数列{C }k n (k =0,1,2,···,n )离⾸末两端等距离的项相等，且距离越远值越⼤． 15分证明如下：1C C (12)(1)!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n n n k k n k k n k k n k +-=-=--+?--?-+-当12n k -<时，1C C k k n n +<，当12n k ->时，1C C k k n n +>，其中k =0,1,2,…,n -1．若n 为奇数，3101222C C C CCn n nnnn n --<<<<22C>C C n n n n nnn n ++->>L ，若n 为偶数，201222C C C CC n n nnnnn-<<<<C>C C n n n nnnn n +->>L ，18分上海市青浦区2017学年第⼆学期⾼⼆年级期终学业质量调研数学试卷（满分150，时间120分钟）考⽣注意：1.答卷前,考⽣务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚.2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案⽆效;在草稿纸、试题卷上答题⽆效.3. 本试卷共有21道试题,可以使⽤规定型号计算器.⼀、填空题(本⼤题满分54分)本⼤题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考⽣应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则⼀律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是【答案】4-2. 平⾯直⾓坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为【答案】53. 62)12(xx +的展开式中的常数项是【答案】604. 已知正六棱柱的底⾯边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为【答案】185. 已知球的半径为R ，B A 、为球⾯上两点，若B A 、之间的球⾯距离是3Rπ，则这两点间的距离等于【答案】R6. 如图，以长⽅体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建⽴空间直⾓坐标系，若1→DB 的坐标为)2,3,4(，则1→AC 的坐标为【答案】)2,3,4(-7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最⼩值时，直线l 的倾斜⾓等于【答案】4π 8. 抛物线x y 42=上⼀动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最⼩值为【答案】59. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的⼀个焦点到⼀条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的渐近线⽅程是【答案】x y 33±= 10. 平⾯上两组平⾏线互相垂直，⼀组由6条平⾏线组成，⼀组由5条平⾏线组成，则它们能围成的矩形个数是【答案】150 11. 设α和β是关于x 的⽅程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平⾯对应的点构成直⾓三⾓形，那么实数=m 【答案】212. 已知曲线C 的⽅程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成⽴，则称曲线C 为∑曲线.下列⽅程所表⽰的曲线中,是∑曲线的有（写出所有∑曲线的序号）①1222=+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y【答案】①③⼆. 选择题(本⼤题满分20分)本⼤题共有4题,每题有且只有⼀个正确答案,考⽣应在答题纸的相应编号上,将代表答案的⼩⽅格涂⿊,选对得5分,否则⼀律得零分. 13. “直线l 垂直于平⾯α内的⽆数条直线”是“α⊥l ”的⼀个（）【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C 】充要条件【D 】既⾮充分也不必要条件【答案】B14. 曲线12:22=+-Γy xy x 的图像（）【A 】关于x 轴对称【B 】关于原点对称,但不关于直线x y =对称【C 】关于y 轴对称【D 】关于直线x y =对称，关于直线x y -=对称【答案】D15.下列命题中,正确的命题是【A 】若0,2121>-∈z z C z z 、，则21z z >4)-x 【B 】若R z ∈，则2||z z z =?-不成⽴【C 】0,,2121=?∈z z C z z ，则01=z 或02=z 【D 】0,222121=+∈z z C z z 、，则01=z 且02=z 【答案】C16.如图，正⽅体1111D C B A ABCD -，则下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与直线D A 1所成⾓的⼤⼩不变；②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平⾯1ACD 所成⾓的⼤⼩不变；③点P 在直线1BC 上运动时，⼆⾯⾓C AD P --1的⼤⼩不变；④点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变. 其中的真命题是（）【A 】①③【B 】③④【C 】①②④【D 】①③④【答案】D三、解答题(本⼤题满分76分)本⼤题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知复数i m i -==βα,-2，其中i 是虚数单位，R m ∈. （1）若||2||-<+αβα，求实数m 的取值范围；（2）若β是关于x 的⽅程)(0102R n nx x ∈=+-的⼀个根，求实数m 与n 的值.【答案】（1）)2,6(-；（2）6,36,3-=-===n m n m 或18.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分6分，第（2）⼩题满分8分.如图所⽰圆锥中，CD AB 、为底⾯圆的两条直径，O CD AB =I ，且CD AB ⊥，2==AB SO ，P 为SB 的中点.求:（1）该圆锥的表⾯积；（2）异⾯直线SA 与PD 所成的⾓的⼤⼩（结果⽤反三⾓函数值表⽰）. 【答案】（1）π)15(+；)35arccos 32arcsin (552arctan 或或19.（本题满分14分）本题共有2个⼩题，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分7分.已知四边形ABCD 是矩形，⊥PA 平⾯ABCD ，2,1===AD AB PA ，点N M 、在线段DC PB 、上（不为端点），且满⾜→→→→==NC DN MP BM λλ,，其中0>λ.（1）若1=λ，求直线MN 与平⾯ABCD 所成的⾓的⼤⼩；（2）是否存在λ，使MN 是DC PB ，的公垂线，即MN 同时垂直DC PB ，？说明理由.【答案】（1）)322arccos 31arcsin (42arctan 或或；（2）21=λ20.（本题满分16分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题6分.已知椭圆)0(12222>>=+Γb a by a x ：的左右顶点分别是)0,2(),0,2(B A -.点)21,3(在椭圆上，过该椭圆上任意⼀点P 作x PQ ⊥轴，垂⾜为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||PC QP =. （1）求椭圆Γ的⽅程；（2）求动点C 的轨迹E 的⽅程；（3）设直线AC （C 点不同B A 、）与直线2=x 交于R ，D 为线段RB 的中点，证明:直线CD 与曲线相切.【答案】（1）1422=+y x ；（2）422=+y x ；（3）证明如下【解析】21.（本题满分18分）本题共有3个⼩题，第（1）⼩题4分，第（2）⼩题6分，第（3）⼩题8分. 在平⾯直⾓坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线0:=++c by ax l ，我们称2200ba c by ax +++=δ为点),(00y x P 到直线0:=++c by ax l 的⽅向距离.（1）设双曲线1422=-y x 上的任意⼀点),(y x P 到直线02:1=-y x l ，02:2=+y x l 的⽅向距离分别为21δδ、，求21δδ的值；（2）设点)0,()0,(t F t E 、-、到直线02sin 2cos :=-+ααy x l 的⽅向距离分别为21ηη、，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成⽴？说明理由；（3）已知直线0:=+-n y mx l 和椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，设椭圆E 的两个焦点21F F 、到直线l 的⽅向距离分别为21λλ、满⾜221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试问的长||AB 与b a +的⼤⼩.【答案】（1）54；（2）1±=t ；（3）b a AB +>|| 【解析】上海市七宝中学⾼⼆第⼆学期期末数学试卷⼀. 填空题 1. 将参数⽅程122x ty t =+??=-?（t R ∈，t 为参数）化为普通⽅程2. 已知椭圆22194x y +=，直线2180x y ++=，则椭圆上点到这条直线的最短距离是3. 123101011111111111392733C C C C -+-+--+除以5的余数是 4. 如右图为某⼏何体的三视图，则其侧⾯积为 2cm5. 甲、⼄、丙、丁4名同学被随机地分到A 、B 、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区⾄少有⼀名同学，则甲、⼄两⼈被分在同⼀个社区的概率是6. 在侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中，40AVB BVC CVA ?∠=∠=∠=，若过点A 的截⾯AEF ，交VB 于E ，交VC 于F ，则截⾯AEF 周长的最⼩值是7. 长⽅体1111ABCD A B C D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球⾯距离为8. 已知从装有1n +个球（其中n 个⽩球，1个⿊球）的⼝袋中取出m 个球，0m n <<，,m n ∈N ，共有1mn C +种取法，在这1m n C +种取法中，可以分成两类：⼀类是取出的m 个球全部为⽩球，另⼀类是取出1个⿊球和(1)m -个⽩球，共有01111m m nn C C C C -+种取法，即有等式11m m mn n n C C C -++=成⽴，试根据上述思想，化简下列式⼦：1122m m m k m k n k n k n k n C C C C C C C ---++++= (1k m n ≤<≤，,,)k m n ∈N9. 已知平⾏六⾯体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，5AA '=，90BAD ?∠=，60BAA DAA ?''∠=∠=，则AC '的长为10. 某⼏何体的⼀条棱长为7，在该⼏何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该⼏何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最⼤值为11. 数列{}n a 共有13项，10a =，134a =，且1||1k k a a +-=， 1,2,,12k =，满⾜这种条件不同的数列个数为12. 如图，在底⾯半径和⾼均为1的圆锥中，AB 、CD 是底⾯圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平⾯与圆锥侧⾯的交线是以E 为顶点的抛物线的⼀部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离为⼆. 选择题13. 若x 、y 满⾜约束条件2,22x y x y ≤≤??+≥?，则2z x y =+的取值范围是（）A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5] 14. 某中学⾼⼆年级的⼀个研究性学习⼩组拟完成下列两项调查：①从某社区430户⾼收⼊家庭，980户中等收⼊家庭，290户低收⼊家庭中任意选出170户调查社会购买⼒的某项指标；②从本年级12名体育特长⽣中随机选出5⼈调查其学习负担情况；则该研究性学习⼩组宜采⽤的抽样⽅法分别是（）A. ①⽤系统抽样，②⽤随机抽样B. ①⽤系统抽样，②⽤分层抽样C. ①⽤分层抽样，②⽤系统抽样D. ①⽤分层抽样，②⽤随机抽样15. 12名同学合影，站成前排4⼈后排8⼈，现摄影师要从后排8⼈中抽2⼈调整到前排，若其他⼈的相对顺序不变，则不同调整⽅法的总数是（）A. 2283C PB. 2686C PC. 2286C PD. 2285C P16. 如图，E 、F 分别为棱长为1的正⽅体的棱11A B 、11B C 的中点，点G 、H 分别为⾯对⾓线AC 和棱1AA 上的动点，则下列关于四⾯体E FGH -的体积正确的是（）A. 该四⾯体体积有最⼤值，也有最⼩值B. 该四⾯体体积为定值C. 该四⾯体体积只有最⼩值D. 该四⾯体体积只有最⼤值三. 简答题17. 有8名学⽣排成⼀排，求分别满⾜下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果. （1）甲不在两端；（2）甲、⼄相邻；（3）甲、⼄、丙三⼈两两不得相邻；（4）甲不在排头，⼄不在排尾. 18. 在⼆项式3121(2)x x+的展开式中.（1）求该⼆项展开式中所有项的系数和的值；（2）求该⼆项展开式中含4x 项的系数；（3）求该⼆项展开式中系数最⼤的项.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC AC BC ==，90ACB ?∠=，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求异⾯直线PQ 与1B C 所成⾓的⼤⼩；（2）若直三棱柱111ABC A B C -的体积为12，求四棱锥1C BAPB -的体积.20. 如图，圆锥的轴截⾯为等腰Rt △SAB ，Q 为底⾯圆周上⼀点.（1）若QB 的中点为C ，OH ⊥SC ，求证：OH ⊥平⾯SBQ ；（2）如果60AOQ ?∠=，QB =（3）若⼆⾯⾓A SB Q --⼤⼩为arctan 3，求AOQ ∠.21.（1）集合12{|(,,,)n Q x x x x x ==，0i x =或1}，对于任意x Q ∈，定义1()ni i f x x ==∑，对任意{0,1,2,,}k n ∈，定义{|(),}k A x f x k x Q ==∈，记k a 为集合k A 的元素个数，求122n a a na +++的值；（2）在等差数列{}n a 和等⽐数列{}n b 中，112a b ==，222a b b ==+，是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中，若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；（3）已知当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x =-+-+-++，根据此信息，若对任意1||2x <，都有20123(1)(12)nn x a a x a x a x x x =+++++-+，求10a 的值.参考答案⼀. 填空题1. 250x y +-=2.3. 34. 4π5. 166. 67. 23π 8. mn k C + 9. 10. 4 11. 495 12.⼆. 选择题13. A 14. D 15. C 16. D三. 解答题17.（1）77630240P ?=；（2）77210080P ?=；（3）535614400P P =；（4）876876230960P P P -+=；18.（1）123；（2）841227920C =；（3）339324121(2)()112640C x x x=；19.（1）2π；（2）14； 20.（1）略；（2）83π；（3）3π；21.（1）k k n a C =，11222n n a a na n -+++=?；（2）b 为正偶数；（3）455-；。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海市第二中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
上海市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.填空题1.过点(2,3)P ，且一个法向量为(3,1)n =-r的直线的点法向式方程是________.【答案】3(2)(3)0x y ---=【解析】【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.【详解】在所求直线上任取一点(,)x y ,则所求直线的方向向量为(2,3)x y --, 再根据直线的方向向量与法向量垂直可得, (3,1)(2,3)0x y -⋅--=,即3(2)(3)0x y ---=.故答案为: 3(2)(3)0x y ---=.【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.2.三角形ABC 的重心为G ，()()242,1,3,4,,33A B G ⎛⎫--⎪⎝⎭，则顶点C 的坐标为____________．【答案】()1,1--【解析】【分析】 利用三角形的重心坐标123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求得顶点C 的坐标. 【详解】设顶点C 的坐标为(),x y ，由三角形ABC 的重心坐标得：223,33414,33x y -+⎧-=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩ 解得：1,1,x y =-⎧⎨=-⎩故填：()1,1--. 【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果懂得利用这个结论能使运算的速度更快.3.已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ． 【答案】1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：AB =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭4231⎛⎫ ⎪⎝⎭=1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭。
考点：矩阵的乘法运算。
点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。
4.点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=，则c =________.【答案】9-或11【解析】【分析】根据点到直线的距离公式求出点P 到直线l 的距离,再根据已知距离列等式可解得.【详解】由点到直线的距离公式可得点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=的距离为, d ==,=,化简得,|1|10c -=, 所以110c -=或110c -=-,解得11c =或9c =-.故答案为9-或11.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式,属于基础题.5.设,x y ∈R 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+最大值为________.【答案】2【解析】【分析】作出可行域后,将目标函数化为斜截式,比较两条直线的斜率可找到最优解,再将最优解的坐标代入目标函数可得.【详解】作出可行域如图阴影部分:将目标函数2z x y =+化为斜截式可得,2y x z =-+,即求直线2y x z =-+的纵截距最大值,比较直线2y x z =-+与直线1x y +=的斜率可知,21-<-,由图可知,最优解为点(1,0),将最优解的坐标带入目标函数可得z 的最大值为2.故答案为:2.【点睛】本题考查了利用线性规划求线性目标函数的最大值,解题关键是比较斜率找到最优解.属于中档题.6.已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB u u u r 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -，∴()3,4AB =-u u u v，可得5AB ==u u u v ，因此，与向量AB u u u v 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭u u u v r u u u v 故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7.已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的________.条件【答案】充分不必要【解析】【分析】当5k =时,两直线的斜率相等,纵截距不相等,说明是充分条件,而两直线平行时,也能推出3k =,所以不是必要条件,由此可得.【详解】因为5k =时,直线1:210l x y -+=,直线2:4230l x y -+=,即1:21l y x =+,斜率12k =,纵截距11b =;23:22l y x =+,斜率22k = ,纵截距232b =, 因为12k k =,12b b ≠,所以12l l //,即“5k =”能够推出“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行,因为3k =时,1:1l y =- ,23:2l y =,此时也有12l l //, 所以由12l l //可能推出3k =,不一定推出5k =,所以“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要条件.【点睛】本题考查了两条直线平行条件以及充分不必要条件,易错警示容易漏掉30k -=这种情况,属于基础题.8.三阶行列式3518278724-中，元素8-的代数余子式的值为________.【答案】29【解析】【分析】元素的代数余子式的定义计算可得.【详解】根据代数余子式的定义可得元素8-的代数余子式的值为:2335(1)72+-(3257)29=-⨯-⨯=. 故答案为:29.【点睛】本题考查了根据行列式中元素的代数余子式的定义求值.属于基础题.9.已知向量(1,2)a =r ，(3,4)b =-r ，则向量a r 在向量b r上的投影为________.【答案】1-【解析】【分析】根据向量在向量上的投影的定义,结合向量数量积和模长公式计算可得.【详解】由定义可得向量a r 在向量b r 上的投影为||cos ,||a b a a b b ⋅<>=r r r r r r =1=-.故答案为:1-.【点睛】本题考查了向量在向量上的投影,平面向量数量积和模长公式,属于基础题.,10.ABC 中，||5AB =u u u r ，||10BC =u u u r ，3B π∠=，则||AB BC -=uu u r uu u r________. 【答案】【解析】【分析】先根据3B π∠=,得到2,3AB BC π<>=u u u r u u u r ,然后将||AB BC -u u u r u u u r 平方开方,利用向量的数量积计算可得.【详解】在三角形ABC 中,因为3B π∠=,所以2,3AB BC π<>=u u u r u u u r ,所以||AB BC -=uu u r uu u r =====.故答案为【点睛】本题考查了向量夹角,向量数量积,向量的模的计算,属于基础题.本题易错警示是容易将三角形内角当成向量的夹角.11.已知点()()2,3,5,2A B -，若直线l 过点()1,6P -，且与线段AB 相交，则该直线l 的斜率的取值范围是___________ 【答案】(--1][1,)∞⋃+∞，【解析】【分析】利用直线的斜率公式分别计算出直线,PA PB 的斜率，观察图象，根据斜率的单调性即可求斜率的取值范围．【详解】解：作出直线和点对应的图象如图：要使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足PA k k ≤或PB k k ≥，63621,1121(5)PA PB k k --==-==-----Q ， 1k ∴≤-或1k ³，则直线l 斜率的取值范围是(--1][1,)∞⋃+∞，． 故答案为：(--1][1,)∞⋃+∞，【点睛】本题主要考查直线斜率的求法，利用数形结合确定直线斜率的取值范围，要求熟练掌握直线斜率的坐标公式，比较基础．12.已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r 的解集为________. 【答案】∅【解析】【分析】根据三点共线得向量共线,再根据共线向量定理得AB AC λ=u u u r u u u r ,然后根据三角形减法法则以及平面向量基本定理可解得1x =-,最后验证可知不符合题意,故解集为空集.【详解】因为A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点,所以AB u u u r 与AC u u u r 共线,根据共线向量定理可得,存在实数R λ∈,使得AB AC λ=u u u r u u u r ,因为0AB ≠u u u r r ,所以0λ≠,所以OB OA -u u u r u u u r AC λ=u u u r, 所以11AC OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r , 又由已知得2AC x OA xOB =--u u u r u u u r u u u r ,根据平面向量基本定理可得,21x λ-=-且1x λ=-,消去λ得2x x =-且0x ≠,解得1x =-,1λ=, 当1λ=时,AB AC =u u u r u u u r ,此时B 与C 两点重合,不符合题意,故舍去,故于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r的解集为∅,故答案: ∅. 【点睛】本题考查了共线向量定理以及平面向量基本定理,三角形减法法则的逆运算,属于中档题.二.选择题13.设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A. {1}B. {}1-C. {1,1}-D. 以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】 按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得. 【详解】因为2221111111()11111111111x x f x x x x x --=-=⨯-⨯+⨯ 221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯222x x x x =--+++222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =.所以方程()0f x =的解集为{1,1}-.故选C .【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.14.如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）A. 曲线C 是方程0(),f x y =的曲线B. 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上C. 不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D. 方程0(),f x y =是曲线C 的方程【答案】C【解析】【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程0(),f x y =的解为坐标的点是否都在曲线C 上,故方程0(),f x y =的曲线不一定是C,所以曲线C 是方程0(),f x y =的曲线不正确; 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确;不能推出曲线C 是方程0(),f x y =的轨迹,从而得到A,B,D 均不正确,不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上是正确的.故选 C.15.已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；④如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1；其中，所有正确的结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4.【答案】C【解析】对于①，当0a =时，两条直线分别化为:1,1y x ==-，此时两条直线互相垂直，当0a ≠时，两条直线斜率分别为:1,a a -,满足11a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时两条直线互相垂直，因此不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直，故①正确；对于②，当a 变化时，代入验证可得:1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以AB 为直径的圆上，不一定在直线0x y +=上，因此1l 与2l 关于直线0x y +=不一定对称，故③不正确；对于④，如果1l 与2l 交于点M ，由③可知:222MA MB +=，则22?MA MB ≥，所以·MA MB 的最大值是1，故④正确.所有正确结论的个数是3.故选C16.已知两个不相等的非零向量a r 与b r ，两组向量1x u r ，2x u u r ，3x u r ，4x u u r ，5x u r 和1y ur ，2y u u r ，3y u u r ，4y u u r ，5y u u r 均有2个a r 和3个b r 按照某种顺序排成一列所构成，记112233s x y x y x y =⋅+⋅+⋅+u r u u r u u r u u r u u r u u r 4455x y x y ⋅+⋅u u r u u r u u r u u r ，且min s 表示s 所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若a b ⊥r r ，则min s 与||a r 无关；③ 若a r ∥b r ，则min s 与||b r 无关；④ 若||4||b a >r r ，则min 0s >；⑤若||2||b a =r r ，且2min 8||s a =r ，则a r 与b r 的夹角为4π；正确的结论的序号是（ ）A. ①②④B. ②④C. ②③D. ①⑤【答案】B 【解析】 【分析】按照S 中a b ⋅rr 的对数分3种情况,求出S 的值:123,,S S S 共3个值,故①不正确;作差比较可得3S 最小,再逐个分析②③④⑤可得.【详解】当有零对a b ⋅r r 时,2212||3||S a b =+r r ; 当有2对a b ⋅r r 时,222||2||2S a b a b =++⋅r r r r ; 当有4对a b ⋅r r 时,23||4S b a b =+⋅r r r ;所以S 有3个不同的值,所以①不正确;因为2222222122||3||||2||22()S S a b a b a b a b a b a b -=+---⋅=+-⋅=-r r r r r r r r r r r r , 22222223||2||2||42()S S a b a b b a b a b a b a b -=++⋅--⋅=+-⋅=-r r r r r r r r r r r r r , 因为a b ≠r r ,所以12230,0S S S S ->->,所以123S S S >>,所以2min3||4S S b a b ==+⋅rr ,对于②,因为a b ⊥r r ,所以0a b ⋅=r r ,则2min 3||S S b ==r 与||a r 无关,只与||b r 有关,所以②正确; 对于③,当//a b r r 时,设a b λ=r r ,则2min 3||4S S b a b ==+⋅r r r 222||4||(14)||b b b λλ=+=+r r r 与||b r有关,所以③不正确;对于④,设a r 与b r 的夹角为θ,因为||4||b a >r r,所以min 3S S ==2222||416||4||||cos 16||16||cos b a b a a b a a θθ+⋅>+>+r r r r r r r216||(1cos )0a θ=+≥r ,所以min 0S >,故④正确;对于⑤,因为||2||b a =r r,所以22min3||44||4||||cos S S b a b a a b θ==+⋅=+r r rr r r 224||8||cos a a θ=+r r ,因为2min 8||s a =r ,所以224||8||cos a a θ+r r 28||a =r ,所以1cos 2θ=, 因为0θπ≤≤,所以3πθ=,所以a r 与b r 的夹角为3π,故⑤不正确.故选B .【点睛】本题考查了分类讨论思想,平面向量的数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题. 三.解答题17.已知二元一次方程组的增广矩阵为421a a a a +⎛⎫⎪⎝⎭，请利用行列式求解此方程组.【答案】当2a =时, 方程组有无数组解; 当2a =-时,方程组无解;当2a ≠±时, 方程组有唯一组解,2a x a =+,12a y a +=+. 【解析】 【分析】先交换第一行与第二行,然后第一行乘以a -加到第二行,再对a 分类讨论即可得到.【详解】对于增广矩阵421a a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭221142042a a aaa a a a a ⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪+--++⎝⎭⎝⎭10(2)(2)(1)(2)a a a a a a ⎛⎫→ ⎪+-+-⎝⎭, 当2a =时,矩阵化为122000⎛⎫⎪⎝⎭,方程组有无数组解;当2a =-时,矩阵化为122004--⎛⎫⎪-⎝⎭,方程组无解;当2a ≠±时,矩阵第二行有.(2)(2)(1)(2)a a y a a +-⋅=+-,得12a y a +=+, 将12a y a +=+代入到x ay a +=,得1(1)(1)2a x a ay a y a a +=-=-=-+,,进一步得2a x a =+.综上,当2a =时, 方程组有无数组解; 当2a =-时,方程组无解;当2a ≠±时, 方程组有唯一组解,2a x a =+,12a y a +=+. 【点睛】本题考查了利用矩阵变换解线性方程组,属于基础题.18.已知a r 、b r 都是单位向量，a r 与b r满足|||ka b a kb +=-r r r r ，其中0k >.(1)用k 表示a b ⋅r r；(2)求a b ⋅r r 的最小值，并求此时a r 、b r的夹角的大小.【答案】(1)214k k +；(2)12，3π【解析】 【分析】(1)对|||ka b a kb +=-r r r r两边平方，化简即可求解;(2)利用基本不等式求出a b ⋅r r 的最小值，再结合数量积公式求出此时a r 、b r的夹角.【详解】(1)|||ka b a kb +=-r r r rQ222222||2||3||63||k a ka b b a ka b k b ∴+⋅+=-⋅+r r r r r r r r即214k a b k=+⋅r r(2)由(1)可知21114442k k a b k k +⋅==+=r r …当且仅当1k =时，a b ⋅r r 取最小值12此时a r 、b r 的夹角的余弦值为1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==r r r r r r ，,3a b π〈〉=rr所以a b ⋅r r的最小值为12，此时a r 、b r 的夹角为3π.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及夹角的求法，属于中档题.19.边长为1的正三角形ABC ，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，若AE mAB =u u u v u u u v，AF nAC =u u u v u u u v，其中,(0,1)m n ∈，设EF 的中点为M ，BC 中点为N .（1）若A 、M 、N 三点共线，求证：m n =； （2）若1m n +=，求||MN 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为34. 【解析】 【分析】(1)利用共线向量基本定理得AM AN λ=u u u u r u u u r,根据三角形的中线对应的向量等于相邻两边对应的向量的和的一半,将已知条件代入得到要证的结论;(2)利用向量的运算法则:三角形减法法则的逆运算将MN u u u u r用三角形的边对应的向量表示,利用向量模的平方等于向量的平方,将2||MN u u u u r 表示为m 的二次函数,求出二次函数的最小值.【详解】(1)由,,A M N 三点共线,得/,AM AN u u u u r u u u r共线,根据共线向量定理可得,存在R λ∈使得AM AN λ=u u u u r u u u r,即11()()22AE AF AB AC λ+=+u u u r u u u r u u ur u u u r , 所以mAB nAC AB AC λλ+=+u u u r u u u r u u u r u u u r ,根据平面向量基本定理可得m n λ==, 所以m n =.(2)因为MN AN AM =-u u u u r u u u r u u u u r 11()()22AB AC AE AF =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r 11(1)(1)22m AB n AC =-+-u u u r u u u r ,又1m n +=,所以11(1)22MN m AB mAC =-+u u u u r u u u r u u u r,因为三角形ABC 是边长为1的正三角形,所以||||1AB AC ==u u u r u u u r ,1||||cos 32AB AC AB AC π⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2||MN =u u u u r 22222111(1)(1)442MN m AB m AC m mAB AC =-++-⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22111(1)11(1)||||cos 4423m m m m AB AC π=-⨯+⨯+-u u u r u u u r 22111(1)(1)444m m m m =-++- 2113()4216m =-+,所以12m =时,MN u u u u r 【点睛】本题考查了共线向量定理,平面向量基本定理,平面向量的数量积,平面向量三角形的减法法则的逆运算,二次函数求最小值,属于中档题.20.已知倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -和点B ，点B 在第一象限，||AB =. （1）求B 的坐标；（2）若直线l 与两平行直线1:3480l x y -+=，2:340l x y c -+=相交于E 、F 两点，且||EF =c 的值；（3）记集合{|P m =直线m 经过点B 且与坐标轴围成的面积为}S ，0S ≠，针对S 的不同取值，讨论集合P 中的元素个数.【答案】（1）(4,1)B ；（2）7-或23；（3）答案不唯一，见解析 【解析】 【分析】(1)先求出直线l 的方程,再根据方程设出B 的坐标,利用||AB =以及B 在第一象限,可解得;(2)解方程组得,E F 的坐标,根据两点间的距离可解得; (3)设出直线m 的截距式方程1x ya b+=,代入B 的坐标并根据面积公式可得||2ab S =,再分2种情况去绝对值,利用判别式讨论一元二次方程的根的个数可得.【详解】(1)因为倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -, 所以由点斜式得(2)tan(1)4y x π--=-,即3y x =-,因为直线l 过点B ,所以设(,3)B x x -,所以||AB ==因为||AB =,=化简得2(1)9x -=,解得4x =或2x =-, 因为点B 在第一象限,所以0x >, 所以4x =,431y =-=, 所以(4,1)B .(2)联立33480y x x y =-⎧⎨-+=⎩, 解得2017x y =⎧⎨=⎩ ,所以(20,17)E ,联立3340y x x y c =-⎧⎨-+=⎩,解得129x cy c=+⎧⎨=+⎩,所以(12,9)F c c ++,因为||EF ==化简得2161610c c --=, 解得7c =-或23c =.(3)因为0S ≠,所以可设直线m 的截距式方程为1x ya b+=, 因为直线m 经过点(4,1)B ,所以411a b+=, 所以4a b a =-, 因为直线m 与坐标轴围成的面积为(0)S S >, 所以1||||2a b S =即||2ab S =, 所以2ab S =-或2ab S =, 当2ab S =-时,24aa S a ⋅=--,整理得2280a Sa S +-=,因为22(2)324320S S S S =+=+>V 恒成立,所以一元二次方程2280a Sa S +-=恒有两个非零实根, 当2ab S =时,24aa S a ⋅=-,整理得2280a Sa S -+=, 当2(2)320S S =--<V ,即08S <<时, 2280a Sa S -+=无解,当2(2)320S S =--=V ,即8S =时, 2280a Sa S -+=有且只有一个非零实根, 当2(2)320S S =-->V ,即8S >时, 2280a Sa S -+=有两个不相等的非零实根, 所以,当08S << 时,直线m 有两条,集合P 有两个元素, 当8S =时,直线m 有三条, 集合P 有三个元素, 当8S >时,直线m 有四条, 集合P 有四个元素.【点睛】本题考查了两点间的距离公式,求两直线交点坐标,讨论一元二次方程实根个数,属于中档题.21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-230k +≤≤时，求折痕长的最大值.【答案】（1）-1y x =+；（2）2122k y kx =++；(3)2(62).【解析】试题分析：（1）若折痕的斜率为1-时，由于A 点落在线段DC 上，可得折痕必过点(0,1)D ，即可得出；（2）当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =，当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，可知A 与G 关于折痕所在的直线对称，有•1OG k k =-，故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标即线段OG的中点为M ，即可得出；（3）当0k =时，折痕为2，当20k -≤<时，折痕所在直线交BC 于点212,222k E k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y 轴于210,2k F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．试题解析：（1）∵折痕的斜率为1-时，A 点落在线段DC 上 ∴折痕必过点(0,1)D ∴直线方程为1y x =-+（2）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =. ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，()02a ≤＜ 则A 与G 关于折痕所在的直线对称，有1OG k k ⋅=-，即a k =-． ∴G 点坐标为()(),1,20G k k --≤＜从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标即线段OG 的中点为1,22k M ⎛⎫-⎪⎝⎭，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即()212022k y kx k =++-≤<．综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：()212022k y kx k =++-≤≤．（3）当0k =时，折痕长为2．当20k -≤<时，折痕所在直线交BC 于点212,222k E k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y 轴于210,2k F ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．∵(22222211224444732222k k y EF k k ⎡⎤⎛⎫+==+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，22==>.∴综上所述，折痕长度的最大值为2点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题。
上海高二高中数学期中考试带答案解析
上海高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.复数.（为虚数单位）的虚部是___________。
2.计算：=___________。
3.已知Z是复数，且满足2Z+|Z|=0，则Z=________________。
4.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的标准方程是______________。
5.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的标准方程是___________。
6.正方体的棱长为2，则异面直线与AC之间的距离为_________。
7.正方体的棱长为2，则与平面间的距离为__________。
8.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的休积为_____________。
9.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积为_____________。
10.一个圆柱的轴截面为正方形，则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为_____。
11.在正三棱柱中，AB=3，高为2，则它的外接球上A、B两点的球面距离为_______。
12.若正三棱锥底面边长为1，侧棱与底面所成的角为，则其体积为____________。
13.有一山坡倾斜角为300，若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成450角的直路前进了100米，则升高了_________米。
14.设地球的半径为R，北纬600 圈上有经度差为900的A、B两地，则A、B两地的球面距离为______。
二、选择题1.复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.用M表示平面，表示一条直线，则M内至少有一直线与（）A．平行；B．相交；C．异面；D．垂直。
3.给出下面四个命题：（1）如果直线，那么可以确定一个平面；（2）如果直线和都与直线相交，那么可以确定一个平面；（3）如果那么可以确定一个平面；（4）直线过平面内一点与平面外一点，直线在平面内不经过该点，那么和是异面直线。
2019年上海市高二第二学期期中数学试卷含详细答案
2019上海市高二第二学期期中数学试题一、单选题1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.【考点】圆锥的性质与圆锥的体积公式2．“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】两直线没有公共点则平行或异面；根据异面直线定义可知异面直线无公共点，从而得到结果.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分条件不成立；若两条直线为异面直线，则两条直线不共面，则必然没有公共点，必要条件成立“两条直线没有公共点”是“两条直线为异面直线”的必要非充分条件故选：B【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到异面直线定义的应用，属于基础题. 3．集合{M =正四棱柱}，{P =直四棱柱}，{N =长方体}，{Q =正方体}，则这四个集合之间的关系是（ ） A.P n N n M n Q B.P n M n N n Q C.Q n M n N n P D.Q n N n M n P【答案】C【解析】根据直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的定义可得到结果. 【详解】直四棱柱是底面为四边形，侧棱和底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直四棱柱； 正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱；∴Q n M n N n P故选：C 【点睛】本题考查空间几何体的结构特征，需熟练掌握直四棱柱、长方体、正四棱柱和正方体的结构特征，属于基础题.4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值（ ）正视图 侧视图 俯视图 A.15B.16C.12D.18【答案】A【解析】由三视图可确定截面为平面11AB D ，可知截掉部分为三棱锥111A AB D -，由三棱锥体积公式求得111A A B D V -，即为截去部分体积，从而得到剩余部分体积为3316a a -，作比得到结果. 【详解】由三视图可知，剩余部分为正方体1111ABCD A B C D -沿平面11AB D 截掉三棱锥111A AB D -后得到的图形设正方体棱长为a 11113ABCD A B C D V a -∴=，111111111311136A AB D A A B D A B D V V S AA a --∆==⋅=∴截去部分体积与剩余部分体积之比为：333111:665a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查正方体截面的问题，关键是能够通过三视图确定截面，从而得到确定截掉的部分的体积.5．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =L 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r的不同值的个数为（ ）A.8B.4C.2D.1【答案】D【解析】根据平面向量运算法则可知2i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由线面垂直性质可知0i AB BP ⋅=u u u r u u u r，从而得到21i AB AP AB ⋅==u u u r u u u r u u u r ，进而得到结果. 【详解】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rAB ⊥Q 平面286BP P P i AB BP ∴⊥u u u r u u u r 0i AB BP ∴⋅=u u u r u u u r21i AB AP AB ∴⋅==u u u r u u u r u u u r则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅u u u r u u u r 的不同值的个数为1个故选：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想.二、填空题6．空间不共面的四个点可以确定__________个平面. 【答案】4【解析】由三点确定一个平面可知共有4种情况，由此得到结果. 【详解】不共面的四个点中任意三个点可构成一个平面，则共可确定4个平面 故答案为：4 【点睛】本题考查空间中平面的确定，属于基础题.7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，异面直线BD 与11A B 的距离为__________. 【答案】a【解析】根据线面垂直性质可得1BB BD ⊥，又111BB A B ⊥，可知所求距离为1BB ，从而得到结果. 【详解】1BB ⊥Q 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD 1BB BD ∴⊥又111BB A B ⊥ ∴异面直线BD 与11A B 之间距离为1BB a = 故答案为：a 【点睛】本题考查异面直线间距离的求解，属于基础题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C AB D --的大小为__________. 【答案】4π 【解析】由线面垂直性质得1BC AB ⊥，又BC AB ⊥，可得二面角平面角为1C BC ∠，由14C BC π∠=得到结果.【详解】AB ⊥Q 平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B 1BC AB ∴⊥又BC AB ⊥，BC ⊂平面ABD 1C BC ∴∠即为二面角1C AB D --的平面角14C BC π∠=Q ∴二面角1C AB D --的大小为4π 故答案为：4π 【点睛】本题考查立体几何中二面角的求解，关键是能够根据二面角平面角的定义找到二面角的平面角.9．如图，在棱长为3cm 的正四面体A BCD -中，若以ABC ∆为视角正面，则其主视图的面积是__________2cm .【答案】36 2【解析】确定正视图为三角形，且底边长为底面三角形边长，高为四面体的高；求得正四面体的高后，即可求得结果.【详解】由题意可得，正视图是以底面三角形边长为底边长，正四面体A BCD-的高为高的三角形Q正四面体棱长为3∴933 942 -=∴正四面体的高22339632AO⎛⎫=-⨯=⎪⎪⎝⎭∴正视图的面积为：1363622⨯=36【点睛】本题考查几何体三视图的求解问题，关键是能够根据给定视角确定正视图的图形构成，属于基础题.10．若正六棱柱的所有棱长均为m，且其体积为123m=__________.【答案】2【解析】根据底面为边长为m的正六边形可求得底面面积，进而利用棱柱体积公式构造方程求得结果.【详解】Q正六棱柱底面为边长为m的正六边形∴底面面积为：()2222m m +⨯=∴正六棱柱体积2V m =⋅=2m =故答案为：2 【点睛】本题考查棱柱体积的相关计算，关键是能够熟悉正棱柱的定义，并准确求解出底面面积. 11．给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③空间向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________. 【答案】①③④【解析】根据起点和终点3点共面，可知①正确；由相等向量定义可知②错误；根据向量加法运算律和线性运算法则可知③④正确. 【详解】①中，两个向量共起点，与两向量终点共有3个点，则3点共面，可知两向量共面，①正确；②中，两个相等向量需大小相等，方向相同，②错误； ③中，空间向量加法满足结合律，③正确； ④中，由向量加法的三角形法则可知④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查向量部分相关命题的判定，涉及到相等向量的概念、向量加法的运算律和三角形法则的运用等知识，属于基础题.12．已知球的半径为5cm ，有两个平行平面截球所的截面面积分别等于29cm π与216cm π，则这两个平行平面的距离为__________cm .【答案】1或7【解析】利用截面面积求得截面圆半径，利用勾股定理可求得球心到两截面的距离；由两截面与球心的相对位置可确定两平行平面间距离.【详解】由截面面积可知截面圆半径分别为：3cm 和4cm∴球心到两截面的距离分别为：12594d =-=，225163d =-=∴当两截面在球心同侧时，两平行平面间距离为：431-=当两截面在球心两侧时，两平行平面间距离为：437+= 故答案为：1或7 【点睛】本题考查球的平行截面间距离的问题，易错点是忽略两平行平面可位于球心的同侧或两侧，求解时丢失其中一种情况.13．如图，在空间直角坐标系O xyz -中，四面体C OAB -的主视图AOC 是面积为43的直角三角形，且23CO =，OAB ∆是正三角形，且点B 在平面xOy 上，则此四面体的左视图的面积等于__________.【答案】6【解析】作//BD AO ，根据AO ⊥平面yOz 可知BD ⊥平面yOz ，得到左视图为COD ∆；根据AOC S ∆可求得底面正三角形边长，进而求得OD ，从而得到左视图面积.【详解】作//BD AO ，交y 轴于D ，连接CDAO ⊥Q 平面yOz ，//BD AO BD ∴⊥平面yOz∴此四面体的左视图为COD ∆12AOC S AO CO ∆=⋅==Q 4AO ∴= 122BD AO ∴==OD ∴=== 11622COD S CO OD ∆∴=⋅=⨯=故答案为：6 【点睛】本题考查空间几何体的三视图问题的求解，关键是能够根据垂直关系确定左视图的图形，从而利用长度关系来进行求解.14．已知()cos ,1,sin a θθ=r ，()sin ,1,cos b θθ=r ，则向量a b +rr 与a b -r r 的夹角是__________. 【答案】2π 【解析】利用向量坐标运算表示出a b +rr 与a b -r r ，根据数量积运算法则可求得()()0a b a b +⋅-=r rr r ，即两向量垂直，得到夹角.【详解】()sin cos ,2,sin cos a b θθθθ+=++r r ，()cos sin ,0,sin cos a b θθθθ-=--rr()()2222cos sin sin cos 0a b a b θθθθ∴+⋅-=-+-=r rr r()()a b a b ∴+⊥-r r r r ，即a b +r r 与a b -r r 的夹角为2π故答案为：2π 【点睛】本题考查向量夹角的求解，关键是能够通过向量的坐标运算求得两向量的数量积，属于基础题.15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积，圆柱的表面积，圆锥的侧面积，圆锥的表面积，球体的表面积，圆锥轴截面为等腰三角形.16．已知函数22,01(){23,13x x f x x x x ≤≤=-++<≤，将f （x ）的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，则所得旋转体的体积为________． 【答案】203π【解析】试题分析：将的图像与轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为23114202123233πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 【考点】旋转体体积17．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卵结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒榫卯起来.若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________.（容器壁的厚度忽略不计，结果保留π）【答案】30π【解析】由榫卯结构可确定球形容器半径的最小值，进而利用球的表面积公式求得结果. 【详解】22213052122++=∴该球形容器表面积的最小值为：230430ππ⨯=⎝⎭故答案为：30π本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够根据位置关系确定球的半径的最小值，进而应用球的表面积公式求得结果.三、解答题18．已知向量b r 与向量()2,1,2a =-r 共线，且18a b ⋅=r r ，()()ka b ka b +⊥-r r r r ，求实数k 的值.【答案】2k =±【解析】根据向量共线可设b a λ=r r ，由18a b ⋅=r r 可构造方程求得λ，得到b r；由向量垂直可得()()0ka b ka b +⋅-=r r r r ，由数量积运算律可构造方程求得k . 【详解】,a b r r Q 共线 ∴可设()2,,2b a λλλλ==-r r44918a b λλλλ∴⋅=++==r r ，解得：2λ= ()4,2,4b ∴=-r()()ka b ka b +⊥-r r r r Q ()()2220ka b ka b k a b ∴+⋅-=-=r r r r r r 即()()2414164160k ++-++=，解得：2k =± 【点睛】本题考查根据向量的平行、垂直关系求解参数值的问题，关键是能够明确向量共线的条件、向量垂直的坐标表示，属于基础题.19．已知地球的半径为R ，在北纬30°圈上有A 、B 两点.若点A 的经度为东经65︒，点B 的经度为西经25︒，求A 、B 两点的球面距离.【答案】1arccos 4R ⋅ 【解析】根据纬度的定义可知30OBO '∠=o ，从而得到纬线圈所在圆的半径，根据经度差可知90AO B '∠=o ，由勾股定理求得AB ；在AOB ∆中，由余弦定理求得cos AOB ∠，从而得到AOB ∠，由扇形弧长公式可求得球面距离.设北纬30o 的纬线圈的圆心为O '由题意可知：90AO B '∠=o ，30OBO '∠=o 122R OO OB '∴==，33O B OB R '== 3O A O B R ''∴== 226AB O A O B R ''∴=+= 在AOB ∆中，由余弦定理得：2222312cos 24R R R AOB R +-∠== 1arccos 4AOB ∴∠= ,A B ∴两点的球面距离为：1arccos 4R ⋅ 【点睛】本题考查球面距离的求解问题，关键是能够熟练掌握经度和纬度的定义，从而得到图形中的角度关系.20．底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是正三角形123PP P ，如图所示.求：（1）123PP P ∆的各边长；（2）三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）各边均为4；（2）23【解析】（1）由123PP P ∆为正三角形，可知三边长均为2AB ，根据2AB =可得结果； （2）根据正三棱锥的特点可求得三棱锥的高，求得底面面积后，根据三棱锥体积公式可求得结果.（1）123PP P ∆Q 为正三角形12231324PP P P PP AB ∴====（2）23234ABC S ∆=⨯=立体图形中求三棱锥的高：()22323633h ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ 11222363333P ABC ABC V S h -∆∴=⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查正三棱锥的结构特征、三棱锥体积的求解问题，属于基础题.21．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1C 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10.（1）求直线1A B 与平面1ADD 所成的角的大小；（2）求点1D 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）2arctan 3；（2）32211【解析】设长方体高为h ，由长方体体积减去截掉的三棱锥体积可得几何体111ABCD AC D -体积，由此建立方程求得3h =；（1）根据直线与平面所成角定义可知1BA A ∠即为所求角，由112tan 3AB BA A AA ∠==可（2）设所求距离为d ，由等体积法可知111111D A BC B A D C V V --=，由此构造关于d 的方程，解方程求得结果.【详解】设长方体的高1AA h =则几何体111ABCD AC D -体积：142103V h h =-⨯⨯=，解得：3h =（1）AB ⊥Q 平面11ADD A ∴直线1A B 与平面1ADD 所成角即为1BA A ∠ 112tan 3AB BA A AA ∠==Q ∴所求线面夹角为：2arctan 3（2）设点1D 到平面11A BC 的距离为d则由111111D A BC B A D C V V --=得：1111111133A BC A D C S d S BB ∆∆⋅⋅=⋅⋅ 11A BC ∆Q 为等腰三角形，114913A B BC ==+=，114422AC =+=∴13211-= 1112211222A BC S ∆∴=⨯=又11112222A D C S ∆=⨯⨯= 11222333d ∴=⨯⨯，解得：322d =即点1D 到面11A BC 的距离为32211 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面所成角、点到面的距离的求解问题；立体几何中求解点到面的距离常采用等体积法，将问题转化为三棱锥高的求解，从而利用等体积转化构造方程求得结果，属于常考题型.22．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，母线长为4，23PO =OA 、OB 是底面半径，且：0OA OB ⋅=u u u r u u u r，M 为线段AB 的中点，N 为线段PB 的中点，如图所示：（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线PM 和OB 所成的角的大小，并求A 、N 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）12π；（2）PM 、OB 夹角为arctan 13，最短距离为2522-【解析】（1）由22r l PO =-求得底面圆半径，根据圆锥表面积公式可求得结果； （2）作//MH BO ，根据异面直线所成角定义可知所成角为PMH ∠；根据向量数量积为零可知OA OB ⊥，进而得到MH AO ⊥，根据线面垂直性质知MH PO ⊥，得到线面垂直关系MH ⊥平面AOP ，由线面垂直性质得MH PH ⊥，根据长度关系可求得tan PMH ∠，进而求得异面直线所成角；求得圆锥侧面展开图圆心角后，根据弧长关系可求得APB ∠，由余弦定理可求得结果.【详解】（1）由题意得：底面圆半径()22224232r l PO =-=-=∴圆锥表面积28412S rl r πππππ=+=+=（2）作//MH BO ，交OA 于H ，连接PH∴异面直线PM 与OB 所成角即为PM 与MH 所成角，即PMH ∠0OA OB ⋅=u u u r u u u r Q OA OB ∴⊥，又//MH BO MH AO ∴⊥PO ⊥Q 平面OAB ，MH ⊂平面OAB MH PO ∴⊥,AO PO ⊂Q 平面AOP ，AO PO O ⊥= MH ∴⊥平面AOP又PH ⊂平面AOP MH PH ∴⊥M Q 为AB 中点，//MH BO H ∴为AO 中点 112MH OB ∴==，221121132PH PO OA ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭tan 13PH PMH MH∴∠== arctan 13PMH ∴∠= 即异面直线PM 与OB 所成角大小为arctan 13由44πα=得：απ=，即圆锥侧面展开图扇形圆心角为π圆锥侧面展开图如下图所示：124AB r ππ=⋅=Q 4APB BP ππ∴∠== N Q 为BP 中点 2PN ∴=在APN ∆中，由余弦定理可得：2222cos 2082AN AP PN AP PN APN =+-⋅∠=-2522AN ∴=-,A N 两点在圆锥侧面上的最短距离为2522-【点睛】本题考查圆锥表面积的求解、异面直线所成角的求解、利用侧面展开图求解两点间的最短距离问题；求解最短距离的方法为利用侧面展开图，通过两点之间线段最短，从而确定所求的线段，利用余弦定理求得结果.。
上海二中高二期中(2019.11)
上海第二中学高二期中数学卷2019.11一. 填空题1. 过点(2,3)P ，且一个法向量为(3,1)n =-r 的直线的点法向式方程是2. △ABC 的重心为G ，(2,1)A 、(3,4)B -、24(,)33G -，则顶点C 的坐标为 3. 已知矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵4231B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算矩阵AB = 4. 点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=，则c =5. 设,x y ∈R 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+最大值为6. 已知(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB uu u r 同方向的单位向量为7. 已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的 条件8. 三阶行列式3518278724-中，元素8-的代数余子式的值为9. 已知向量(1,2)a =r ，(3,4)b =-r ，则向量a r 在向量b r 上的投影为10. 在ABC 中，||5AB =uu u r ，||10BC =uu u r ，3B π∠=，则||AB BC -=uu u r uu u r 11. 已知点(2,3)A ，(5,2)B -，若直线l 过点(1,6)P -，且与线段AB 相交，则该直线的斜 率的取值范围是12. 已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r 的解集为二. 选择题13. 设2111()1111f x xx =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A. {1} B. {1}- C. {1,1}- D. 以上答案都不对14. 如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(,)0f x y =的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ）A. 曲线C 是方程(,)0f x y =的曲线B. 方程(,)0f x y =的每一组解的对应点都在曲线C 上C. 不满足方程(,)0f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上D. 方程(,)0f x y =是曲线C 的方程15. 已知直线1:10l ax y -+=，2:10l x ay ++=和两点(0,1)A ，(1,0)B -，给出如下结论： ① 不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；② 当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点(0,1)A ，(1,0)B -；③ 不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；④ 如果1l 与2l 交于点M ，则||||MA MB ⋅的最大值是1；其中所有正确的结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知两个不相等的非零向量a r 与b r ，两组向量1x u r ，2x u u r ，3x u r ，4x u u r ，5x u r 和1y ur ，2y u u r ，3y u u r ，4y u u r ，5y u u r 均有2个a r 和3个b r 按照某种顺序排成一列所构成，记112233s x y x y x y =⋅+⋅+⋅+u r u u r u u r u u r u u r u u r4455x y x y ⋅+⋅u u r u u r u u r u u r ，且min s 表示s 所有可能取值中的最小值，有以下结论：① s 有5个不同的值；② 若a b ⊥r r ，则min s 与||a r 无关；③ 若a r ∥b r ，则min s 与||b r 无关；④ 若||4||b a >r r ，则min 0s >；⑤若||2||b a =r r ，且min 8||s a =r ，则a r 与b r 的夹角为4π； 正确的结论的序号是（ ）A. ①②④B. ②④C. ②③D. ①⑤三. 解答题 17. 已知二元一次方程组的增广矩阵为421a a a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，请利用行列式求解此方程组.18. 已知向量a r 与b r ，(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且a r 与b r 之间的关系式是|||ka b a kb +=-r r r r ，其中0k >.（1）用k 表示a b ⋅r r ；（2）求a b ⋅r r 的最小值，并求出此时a b ⋅r r 夹角的大小.19. 边长为1的正三角形ABC ，E 、F 分别是边AB 、AC 上的点，若AE mAB =uu u v uu u v ，AF nAC =uu u v uuu v ，其中,(0,1)m n ∈，设EF 的中点为M ，BC 中点为N .（1）若A 、M 、N 三点共线，求证：m n =；（2）若1m n +=，求||MN 的最小值.20. 已知倾斜角为4π的直线l 过点(1,2)A -和点B ，点B 在第一象限，||32AB =. （1）求B 的坐标；（2）若直线l 与两平行1:3480l x y -+=，2:340l x y c -+=相交于E 、F 两点， 且||152EF =，求实数c 的值；（3）记集合{|P m =直线m 经过点B 且与坐标轴围成的面积为}S ，0S ≠，针对S 的不同取值，讨论集合P 中的元素个数.21. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、CD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，点A 与坐标轴原点重合，将矩形ABCD 折叠，使A 点落在线段CD 上，设此时点为1A .（1）若折痕的斜率为1-，求折痕的所在的直线方程；（2）若折痕的所在的直线方程的斜率为k ，（为常数），试用k 表示点1A 的坐标，并求折痕的所在的直线方程；（3）在（2）的条件下，当230k -+≤≤时，求折痕长的最大值.参考答案一. 填空题1. 3(2)(3)0x y ---=2. (1,1)--3. 1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 9-或115. 26. 34(,)55-7. 充分不必要8. 299. 1- 10. 11. (1,1)- 12. ∅二. 选择题13. C 14. C 15. C 16. B三. 解答题17. 当2a =，无穷解；当2a =-，无解；当2a ≠±，2a x a =+，12a y a +=+ 18.（1）214k ab k +⋅=r r ；（2）最小值为12，此时a b ⋅r r 夹角的大小为60°.19.（1）证明略；（2）最小值为4. 20.（1）(4,1)B ；（2）7-或23；（3）当08S <<，2个；当8S =，3个；当8S >，4个.21.（1）1y x =-+；（2）2122k y kx =++；（3）.。
上海市重点中学高二上学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．空间中，直线在平面上用集合语言表示为__________．l α【答案】l ⊂α【分析】利用直线在平面上，及元素与集合的关系符号、集合与集合的关系符号表达即可．【详解】直线在平面上，用集合语言表示为l ⊂α．l α故答案为 l ⊂α．【点睛】本题考查了点、线、平面的位置关系的表示，点与直线的关系是元素与集合的关系，包括属于、不属于两种关系，直线和平面的关系是2个集合间的关系，包括真含于、不真含于两种关系．2．已知向量，且与互相垂直，则的值是__． 11,,2,(2,1,)2a b k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭a b k 【答案】## 34-0.75-【分析】两向量垂直，数量积为0，列方程求解.【详解】因为与互相垂直，所以，解得． a b 112(1)202a b k ⋅=⨯+⨯-+= 34k =-故答案为： 34-3．在长方体中，若，，，则与平面所成的角可1111ABCD A B C D -2AB =1BC =13AA =1BC 11BB D D θ用反三角函数值表示为__．θ=【答案】【分析】过点作的垂线，垂足为点，可证明平面，找到线面角，再利用几何1C 11B D O 1OC ⊥11BB D D 关系求出结果.【详解】过点作的垂线，垂足为点，连接，在长方体中由，，1C 11B D O BO 2AB =1BC =由长方体的性质得面，从而有，且，平面1BB ⊥1111D C B A 11OC BB ⊥1111BB B D B ⋂=111,BB B D ⊂，11BB D D所以平面，则为则与平面所成角，1OC ⊥11BB D D 1C BO ∠1BC 11BB D D 在中，1Rt BOC △11111111C D C B OC BC B D ⋅===所以111sin OC OBC BC ∠===故与平面所成的角 1BC 11BB D D θ=故答案为：4．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建1111ABCD AB C D -D D 立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________1DB (4,3,2)1AC【答案】(4,3,2)-【详解】 如图所示，以长方体的顶点为坐标原点，1111ABCD A B C D -D 过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，D 因为的坐标为，所以,1DB (4,3,2)()()14,0,0,0,3,2A C 所以.1(4,3,2)AC =-5．如图，平面，且，则异面直线与所成角的大小PA ⊥ABC 90ACB ∠=︒1PA AC BC ===PB AC 是__．【答案】．【分析】过作，，则（或其补角）即为所求，由线线垂直证平面B //BD AC BD AC =PBD ∠DB ⊥，再证，即可在中求值.PAD BD PD ⊥Rt PDB A 【详解】过作，且，因为，所以四边形为矩形， B //BD AC BD AC =90ACB ∠=︒ADBC 则（或其补角）即为所求．PBD ∠因为，所以，，1PA AC BC ===1AD =1BD =因为平面，平面，，，所以PA ⊥ABC AD DB Ì、ABC PA DB ⊥PA AD ⊥PD ==；又因为，平面，所以平面，DB AD ⊥,AD PA A AD PA =Ì 、PAD DB ⊥PAD ∵平面，所以．PD ⊂PAD BD PD ⊥在中，与所成的角为 Rt PDB A tan PBD ∠==PB AC故答案为：6．已知点A ，B 到平面的距离分别是4，6，则线段AB 的中点M 到平面的距离是_______.αα【答案】1或5【分析】分别讨论两点位于平面同侧和两侧的情况得到结果.,A B 【详解】若位于平面同侧，则中点到平面距离为,A B αAB M α4652+=若位于平面两侧，则中点到平面距离为,A B αAB M α6412-=故答案为：或15【点睛】本题考查点到面的距离问题，关键是能够对问题进行准确分类，属于基础题.7．如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥111A B C ABC -D E F AB AC 1AA体积为，三棱柱的体积为，则_______F ADE -1V 111A B C ABC -2V 12:V V =【答案】 124【详解】试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=S △ADE•h/S △ABC•H ＝=1：24 13124【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积8．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，若点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则______． EF DC ⋅= 【答案】 14-【分析】根据题意，得A-BCD 为正四面体，根据其几何性质，结合数量积公式，即可得答案.【详解】连接AC 、BD ，由题意得A-BCD 为正四面体，底面为等边三角形，BCD △因为点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以，且， EF BD ∕∕1122EF BD ==所以. 121cos ,1cos 234EF DC EF DC EF DC π⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=- 故答案为： 14-9．直线与平面所成角为，则与所成角的取值范围是l α,,,6l A m A m παα⋂=⊂∉m l ________．【答案】 62ππ⎡⎤⎢⎣⎦，【分析】根据直线与平面所成角是直线与平面 内所有直线成的角中最小的一个，直线与l αl αl 平面所成角的范围，即可求出结果．α【详解】由于直线与平面所成角为，l α6π直线与平面所成角是直线与平面 内所有直线成的角中最小的一个，l αl α而异面直线所成角的范围是， 02π⎛⎤ ⎝⎦，由，可知 与直线异面，,,l A m A m αα⋂=⊂∉m l 故与所成角的取值范围是， m l 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为： 62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10．已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面111ABC A B C -A 绕行两周到达的最短路线的长为___________.1A 【答案】10【分析】将三棱柱的侧面展开两次，结合矩形的对角线长，进而求得最短距离，得到答案.【详解】将正三棱柱的侧面展开两次，再拼接到一起，111ABC A B C -其侧面展开图，如图所示的矩形，连接，1AA 因为正三棱柱的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为，高为，111ABC A B C -68所以.110AA ==故答案为：.1011．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心O 在ABC A 90ACB ︒∠=30BAC ︒∠=1BC =边AC 上，半圆与BC ，AB 相切于点C ，M ，与AC 交于点N ），则图中阴影部分绕直线AC 旋转一周所得旋转体的体积为________.【解析】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余AC 部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积.【详解】几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，AC 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，且球是圆锥的内切球，所以圆锥的底面半径是1，r可以得到 tan 30OC r BC ===所以圆锥的体积为， 2113π⋅⋅=球的体积为， 343π⋅=所以阴影部分绕直线， AC. 【点睛】该题考查的是有关旋转体的体积的求解问题，在解题的过程中，注意分析几何体的特征，涉及到的知识点有锥体的体积公式和球的体积公式，属于简单题目.12．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼2a3a 4a 5(0)a a >成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是a __．【答案】．⎫+∞⎪⎪⎭【分析】由不同的拼接方式，分别计算棱柱全面积，根据全面积最小值的情况列不等式求的取值a 范围.【详解】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况，将上下底面对接，其全面积为． ()21423434512482S a a a a a a a=⨯⨯⨯+++⨯=+边可以合在一起时，其全面积为． 3a ()212223425424362S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+边合在一起时，其全面积为． 4a ()212223425324322S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况，就是分别让边长为，，所在的侧面重合，3a 4a 5a 其上下底面积之和都是， 212234242a a a ⨯⨯⨯⨯=但侧面积分别为， 2222(45)36,2(35)32,2(34)28a a a a a a a a a+⨯=+⨯=+⨯=显然，三个四棱柱中全面积最小的值为． ()212223423424282S a a a a a a=⨯⨯⨯⨯++⨯=+由题意得，解得 2212482428a a +<+a >所以的取值范围为．a ⎫+∞⎪⎪⎭故答案为：⎫+∞⎪⎪⎭【点睛】关键点点睛：本题除了考查棱柱全面积的计算外，重点在三棱柱和四棱柱的拼接方式，要考虑全面，不能有遗漏.二、单选题13．“直线与直线没有交点”是“直线与直线为异面直线”的（ ）a b a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据空间两直线的位置关系判断即可得出结论.【详解】两条直线没有交点 ，说明这两条直线的位置关系为平行或异面而两条直线为异面直线时，它们必没有交点，所以选项B 正确，选项ACD 错误.故选：B.14．已知为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列四个命题中正确的是（ ） m n 、αβ、A ．若且则m α∥，n α∥，m n A B ．若在上,且则m n 、αm n ββ∥，∥，αβ∥C ．若且在上,则αβ⊥，m αm β⊥D ．若且在外,则m αββ⊥⊥，，m αm αA 【答案】D【分析】A ．当和为异面直线时，也可满足条件，即可判断出；m n B ．利用面面平行的判定定理即可判断出；C ．利用面面垂直的性质定理即可判断出；D ．利用线面垂直的性质定理即可得出．【详解】解：A ．若且则或和为异面直线，因此不正确；m α∥，n α∥，m n A m n B ．若在上,且只有当和相交时，才能推出，因此不正确； m n 、αm n ββ∥，∥，m n αβ∥C ．若且在上，只有垂直与和的交线时才能推出，因此不正确； αβ⊥，m αm αβm β⊥D ．若且在外，则内有一条垂直于和交线的直线和垂直，又m αββ⊥⊥，，m αααβγβm β⊥，利用线面垂直的性质定理，又在外，即可得出，正确．m γ∥m αm αA 综上可得：只有D 正确．故选D ．【点睛】本题考查了线面与面面平行、垂直的性质定理，考查了推理能力，属于中档题． 15．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】①②③④均可举出反例.【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；11ABB A③如图3，四边形为矩形，11ACC A即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A16．如图，P 为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影1111ABCD A B C D -1AC 1BD PAC ∆可能是A ．①②③④B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C 【分析】从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P 、A ，C 在各个面上的投影，再把它们连接起来，即得△PAC 在该正方体各个面上的射影．【详解】由题意知，P 为正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的中心，则从上向下投影时，点P 的影子落在对角线AC 上，故△PAC 在下底面上的射影是线段AC ，是第一个图形；当从前向后投影时，点P 的影子应落在侧面CDC 1D 1的中心上，A 点的影子落在D 上，故故△PAC 在面CDC 1D 1上的射影是三角形，是第四个图形；当从左向右投影时，点P 的影子应落在侧面BCB 1C 1的中心上，A 点的影子落在B 上，故故△PAC 在面CDC 1D 1上的射影是三角形，是第四个图形．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．三、解答题17．若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，求该圆锥的体积. 20π4arccos5【答案】.48π【分析】直接代入圆锥侧面积公式，根据反三角定义与圆锥的体积公式即可求解.【详解】设该圆锥的底面半径为，高为，母线为，如图所示： r h l因为圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为， 20π4arccos 5所以，所以，所以， 4π20π,5r rl l ==4,5r l ==3h ==故该圆锥的体积.2π48πV r h ==18．已知正三棱柱的底面边长为3cm ，高为3cm ，M 、N 、P 分别是、、111ABC A B C -1AA AC 11B C 的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；(2)在（1）中作出过M 、N 、P 三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面的直观图，再根据斜二测画图的原则确定三111A B C ,,A B C 点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm 的等边三角形，原点为中点，如下111A B C O 11A B 图，②在线段上找到中点，过作与x 轴成45°的轴，并在轴找点使，此时直1OC Q O y 'y '1C 1OC OQ =观图底面确定；111A B C③过向上作与x 轴垂直的射线，并在各射线上找一点使cm ，连111,,A B C ,,A B C 1113A A B B C C ===接，即得正三棱柱的直观图.,,AB BC BA（2）①过作直线分别交射线于，连接，分别交于，MN 111,C A C C ,E D ,EP DP 11,A B BC ,G F②连接，则截面即为所求.,MG NF FNMGP 19．如图所示，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，点P ABCD -A B C D O P 在球面上，且已知． 163P ABCD V -=（1）求球的表面积；O（2）设为中点，求异面直线与所成角的大小．M BC AM PC【答案】（1）（2） 16πarc 【分析】（1）由题意可知，平面，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面PO ⊥ABCD 积．（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，进一步求出OA OB OP x y z 的坐标，利用向量的数量积公式求出的夹角余弦，得到异面直线与所成角,AM PC ,AM PC AM PC 的大小．【详解】解：（1）解：如图，正四棱锥底面的四个顶点，，，在球的同一个P ABCD -A B C D O 大圆上，点在球面上，底面，，，， P PO ⊥ABCD PO R =22ABCD S R =163P ABCD V -=所以，， 2116233R R =A 2R =球的表面积是O 2416S R ππ==（2）以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则OA OB OP x y z ，0，，，0，，，2，，，0，，，1，，(0P 2)(2A 0)(0B 0)(2C -0)(1M -0)，，(3,1,0)AM =- (2,0,2)PC =--所以cos ,AM PC <>=所以异面直线与． AM PC所以异面直线与所成角的大小为． AM PC【点睛】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，通过建立空间直角坐标系，将异面直线所成的角通过向量的数量积来解决，属于中档题．20．如图，四面体中，，ABCD 2CA CB CD BD ====AB AD ==(1)求直线与平面所成角的大小；AC BCD (2)求点到平面的距离． B ACD 【答案】(1)； π6【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得平面，AO ⊥BCD 利用定义法找到线面角，从而在直角三角形中求出角的大小；（2）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案. 【详解】（1）取中点，连接、，因为，，所以．BD O OA OC BO DO =BA AD =AO BD ⊥因为，，所以，BO DO =BC CD =CO BD ⊥在中，，， AOC ∆112AO BD ==CO ==2AC =所以，所以．222AO CO AC +=AO OC ⊥因为，且平面，平面，所以平面.BD OC O ⋂=BD ⊂BCD OC ⊂BCD AO ⊥BCD 故直线与平面所成角为，AC BCD ACO ∠在中，， Rt AOC A 1si n 2A O A C O A C ∠==所以直线与平面所成角为； AC BCD π6（2）因为，所以， 2AD AC CD ==2223cos 24AC CD AD C AC CD +-==⋅所以，所以 sin C ==1sin 2ACD S CA CD C =⋅=A 设点到平面的距离为，B ACD h又，由等体积法得， 22BCD S ==A 1AO =B ACD A BCD V V --=所以，所以1133ACD BCD S h S AO ⋅=⋅A A h ==21．如图，是圆的直径，点是圆上异于、的点，直线平面，，分别AB O C O A B PC ⊥ABC E F 为，的中点．PA PC(1)记平面与平面的交线为，试判断与平面的位置关系，并加以说明；BEF ABC l l PAC (2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线与平面所l O D Q 2DQ CP =PQ ABC 成的角为，异面直线与所成的锐角为，求证：．θPQ EF αsin sin BF CF θα=【答案】(1)直线平面，答案见解析 //l PAC (2)证明见解析【分析】（1）根据中位线当定理，结合线面平行判定以及判定，可得答案；（2）利用数形结合，作图，利用线面角与异面直线夹角，根据锐角正弦与余弦的定义，可得答案.【详解】（1）直线平面，证明如下：//l PAC 连接， EF因为、分别是、的中点，所以．E F PA PC //EF AC 又平面，且平面，所以平面．EF ⊂/ABC AC ⊂ABC //EF ABC 而平面，且平面平面，所以．EF ⊂BEF BEF I =ABC l //EF l因为平面，平面，所以直线平面； l ⊂/PAC EF ⊂PAC //l PAC （2）如图，连接，BD 由（1）得交线即为直线，且．l BD //l AC 因为是的直径，所以，于是．AB O A AC BC ⊥l BC ⊥已知平面，而平面，所以．PC ⊥ABC l ⊂ABC PC l ⊥而，且平面，所以平面，连接、， PC BC C ⋂=,PC BC ⊂PBC l ⊥PBC BE BF 因为平面，所以．BF ⊂PBC l BF ⊥故就是二面角的平面角，设．CBF ∠E l C --CBF β∠=由，作且，连接、， 2DQ CP = //DQ CP 12DQ CP =PQ DF 因为是的中点，，所以，F CP 2CP PF =DQ PF =从而四边形是平行四边形，．DQPF //PQ FD 连接，因为平面，所以是在平面内的射影， CD PC ⊥ABC CD FD ABC 故就是直线与平面所成的角，即． CDF ∠PQ ABC CDF θ∠=又平面，且平面，有，得为锐角， BD ⊥PBC BF ⊂PBC BD BF ⊥BDF ∠故为异面直线与所成的角，即， BDF ∠PQ EF BDF α∠=于是在，，中，分别得，， Rt DCF A Rt FBD A Rt BCF A sin CF DF θ=sin BF DF α=，从而， sin CF BF β=sin sin sin CF BF CF BF DF DFαβθ=⋅==即． sin sin BF CF θα=。
上海高二数学上学期期中试卷含答案(共3套)
上海高二年级第一学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________．2. 向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __.3. 已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．4. 已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．5. 若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．6. 若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角 为__ ____．(用弧度制表示)7. 若行列式212410139xx =-，则=x ．8. 直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 9. 已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 10. 已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .11. 下面结论中，正确命题的个数为_____________．①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k，且线段AB 的中点在直线l 上.12. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________． 13. 如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7， 则AO →·BC →＝________.14．设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈， 定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有向量a的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15. “2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记12121(,),(,),(,)a a a bb bc c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】 (A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同 17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】 （A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18.18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、 )(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、 三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ； (2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N . （1）若1=k ，⎪⎭⎫⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且kS MON1Δ=， 当P 变化时，求||OT 的取值范围．x参考答案（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. 230x y +-=2. 33.. 2 5. 2 6. 4π7. 2或3- 8.－4 9. 2 10. 31-或3 11. 3 12. 50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 13. 52 14． ①③④ 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分． 15. B 16. B 17.18. D三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置． 19．（本题满分12分）解：设中国结每个x 元，记事本每本y 元，笔袋每个z 元，由题设有2103105230x y x y z y z +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，因为2101310052D == ，则方程组有无穷多组解或无解， 又101010312003052x D ==≠，210011014000302y D ==-≠，2110131010000530z D ==≠，从而该方程组无解。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案
4、计算： lim 4n n (2 n
2= 1)2
．
5、已知等比数列 an 中， a1 3, a4 81, 则该数列的通项 an
．
6、设 a 2, 3 , b 1,1 ， c 是 a b 的单位向量，则 c 的坐标是 7、等差数列 a n 中， a1 a4 a8 a12 a15 20 ，则 S15
（C） 65
（D） 65 5
16、一条曲线是用以下方法画成： ABC 是边长为 1 的正三角形，曲线 CA1、 A1A2、 A2 A3 分别
以 A、B、C 为圆心， AC、 BA1、 CA2 为半径画的弧， CA1A2A3 为曲线的第 1 圈，然后又以 A
为圆心， AA3 为半径画弧 ，这样画到第 n 圈，则所得曲线 CA1A2A3 A3n 2 A3n 1A3n 的总长
2.
10、 已知数列 an ，an
n 2 kn ，若 an 是递增数列， 则 k 的取值范围是 _____(
3 , ) ______
2
11、数列 an 中， a1 1,an 1 3an 2 ，则通项 an ______ 2 3n 1 1 _______ 。
12、如图所示：矩形 AnBn PnQn 的一边 An Bn 在 x 轴上，另两个顶点 Pn , Qn 在函数 f (x)
lim
n
Sn =
.
y
1 Qn
O An 1
Pn
Bn
x
1
二、选择题（每题 4 分，共 16 分）
13、用数学归纳法证明： 1
1
n1 n 2
1 nn
从“ k 到 k 1 ”左端需增加的代数式为
1 A
2k 1
1 B
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2023-2024学年上海市上海中学高二上学期期中考试数学试卷含详解
上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一､填空题（本大题共有12题，满分42分，第16题每题3分，第7-12题每题4分）1.向量()()1,0,1,,1,2a b x == 且3⋅= a b ，则x =__________.2.已知两条相交直线a ，b ，且a //平面α，则b 与α的位置关系是____________.3.将一个圆心角为2π3，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________.4.如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）.根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线AB 垂直于桌面.5.已知四棱锥P ABCD -的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________.6.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,M 为棱CC 1的中点,则点M 到平面A 1BD 的距离是___.7.正三棱柱ABC A B C '''-中，1,2AB AA '==，则直线BC '与平面ABB A ''所成角的正弦值为______.8.下列说法正确的是__________.①一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量.②如果直线AB 与CD 是异面直线，那么向量AB 与CD不共面③两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段.④直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积.9.设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为,B D .已知5,9,3AB CD BD ===，那么线段AC =__________.10.设12,O O 分别是圆柱P 的上､下底面12,ππ的中心，i Q 是以i O 为顶点，3i π-为底面的圆锥体()1,2i =，若圆柱P 的体积为1，那么圆锥12,Q Q 的公共部分的体积为__________.11.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知12,1AB AA ==，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________.12.已知空间四个单位向量1234,,,e e e e 满足：1234123421+=+=+++= e e e e e e e e ，则13⋅ e e 的最大值为__________.二､选择题（本大题共有4题，满分16分，每小题4分）13.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ． 2.65≈）（）A.931.010m ⨯B.931.210m ⨯C.931.410m ⨯D.931.610m ⨯14.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A .两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面15.已知二面角l αβ--为060，点P 、Q 分别在、内且PQ l ⊥，P 到，Q 到的距离为2,则PQ 两点之间的距离为A.B.1C.2D.16.如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（）A.αβγ≤≤B.βαγ≤≤C.βγα≤≤D.αγβ≤≤三､解答题（本大题共有4题，满分42分）17.如图，在正四棱锥P ABCD -中，,PA AB a E ==是棱PC 的中点；（1）求证：PA 平面EDB ；（2）求三棱锥-E BDC 的体积.18.如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =.（1）用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM ；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值.19.在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=︒，124A A AB ==.（1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A --的余弦值.20.在长方体1111ABCD A B C D -中，（1）已知P ､Q 分别为棱AB ､1CC 的中点（如图1），做出过点1D ，P ，Q 的平面与长方体的截面.保留作图痕迹，不必说明理由；（2）如图2，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值.上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一､填空题（本大题共有12题，满分42分，第16题每题3分，第7-12题每题4分）1.向量()()1,0,1,,1,2a b x == 且3⋅= a b ，则x =__________.【答案】1【分析】利用向量数量积的坐标公式求解即可.【详解】·1·0·11·223a b x x =++=+= ，所以1x =.故答案为：12.已知两条相交直线a ，b ，且a //平面α，则b 与α的位置关系是____________.【答案】b //平面α或b 与平面α相交【分析】画出图形不难看出直线b 与平面α的位置关系，平行或相交.【详解】由题意画出图形，当,a b 所在平面与平面α平行时，b 与平面α平行，当,a b 所在平面与平面α相交时，b 与平面α相交.故答案为:b //平面a 或b 与平面α相交.【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，是基础题.3.将一个圆心角为2π3，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________.【答案】22π3【分析】求出扇形的半径，进而求出圆锥的底面半径和高，利用体积公式求出答案.【详解】设扇形的半径为l ，则22π3π312l ⨯=，解得3l =，即卷成的圆锥母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，则π23π32π2π23r l ⨯===，解得1r =，则圆锥的高2222h l r =-=故圆锥的体积为2π12π233r h =故答案为：22π34.如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）.根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线AB 垂直于桌面.【答案】线面垂直的判定【分析】略【详解】略5.已知四棱锥P ABCD -的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________.【答案】423423【分析】由直观图得到原图形，进而得到底面ABCD 的面积，利用锥体体积公式求出答案.【详解】直观图如图1，则原图形如图2，则原图形为平行四边形，面积为12222⨯=故底面ABCD 的面积为22，故该四棱锥的体积为14222233⨯=.故答案为：4236.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,M 为棱CC 1的中点,则点M 到平面A 1BD 的距离是___.【答案】32【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，根据空间向量的运算求得点到平面的距离．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系则D （0，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），M （0，1，12）所以()()111,1,0,0,1,,1,0,12DB DM DA ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 设平面A 1BD 的法向量为(),,m x y z=，根据向量垂直可得100m DB x y m DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令x=1，解得()1,1,1m =--所以M 到平面A 1BD 的距离为3322m DM d m ⋅=== 【点睛】本题考查了空间向量在求点到平面距离中的基本应用，属于中档题．7.正三棱柱ABC A B C '''-中，1,2AB AA '==，则直线BC '与平面ABB A ''所成角的正弦值为______.【答案】1510【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【详解】以B 为原点，以过B 作BC 的垂线为x 轴，以,BC BB '为,y z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则31(0,0,0),(0,0,2),(0,1,2),,,0)22B B C A ''，所以31(0,0,2),,,0)22BB BA ==' ，平面ABB A ''的一个法向量设为(,,)n x y z = ，则2031022n BB z n BA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅='+=⎪⎩，令1x =得(1,n = ，又(0,1,2)BC ='，设直线BC '与平面ABB A ''所成的角为θ，π[0,2θ∈，则sin cos ,10n BC n BC n BCθ⋅===='⋅'' .故答案为：15108.下列说法正确的是__________.①一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量.②如果直线AB 与CD 是异面直线，那么向量AB 与CD 不共面③两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段.④直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积.【答案】③④【分析】利用直线方向向量和平面法向量的位置关系判断①，利用向量可以平移的性质判断②，根据异面直线公垂线段的定义判断③，根据直三棱柱的结构特征判断④.【详解】由“一条直线和平面平行”可得“直线的方向向量垂直于平面的法向量”，所以充分性成立，由“直线的方向向量垂直于平面的法向量”可得“直线平行于平面或直线在平面内”，所以必要性不成立，综上一条直线和平面平行的充分不必要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量，①说法错误；直线AB 与CD 是异面直线，因为向量是可以自由平移的，所以向量AB 与CD 可以平移到同一平面，②说法错误；两条异面直线的距离是两条异面直线的公垂线段的长度，两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段，③说法正确；因为直三棱柱的侧棱垂直于底面，三角形的任意两边之和大于第三边，所以直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积，④说法正确；故答案为：③④9.设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为,B D .已知5,9,3AB CD BD ===，那么线段AC =__________.【答案】5【分析】根据线面垂直的性质，证得//AB CD ，且,AB BD CD BD ⊥⊥，分,A C 在平面的同侧和,A C 在平面的两侧，两种情况讨论，分别作AE CD ⊥和AF CF ⊥，在直角ACE △和直角ACF △中，结合勾股定理，即可求解.【详解】如图所示，因为AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为,B D ，可得//AB CD ，且,AB BD CD BD ⊥⊥，如图（1）所示，当点,A C 在平面的同侧时，过点A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则//AE BD ，又因为5,9,3AB CD BD ===，可得4CE CD DE CD AB =-=-=，在直角ACE △中，可得5AC ==.如图（2）所示，当点,A C 在平面的两侧时，过点A 作CD 的延长线的垂线，设AF CF ⊥，垂足为F ，则//AF BD ，又因为5,9,3AB CD BD ===，可得14CF CD DF CD AB =+=+=，在直角ACF △中，可得AC ===.故答案为：510.设12,O O 分别是圆柱P 的上､下底面12,ππ的中心，i Q 是以i O 为顶点，3i π-为底面的圆锥体()1,2i =，若圆柱P 的体积为1，那么圆锥12,Q Q 的公共部分的体积为__________.【答案】112【分析】根据题意，得到圆锥12,Q Q 的公共部分为同底的圆锥1OO 和2OO ，结合圆柱和圆锥的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，根据题意，以i Q 是以i O 为顶点，3i π-为底面的圆锥体()1,2i =，则圆锥12,Q Q 的公共部分为同底的圆锥1OO 和2OO 设圆锥P 底面圆的半径为R ，高为h ，可得2π1R h =，由11O AB O CD ∽，且根据几何体的对称性，可得AB R =，即公共部分的圆锥的底面圆的半径为12R ，且每个小圆锥的高为12h ,所以公共部分的体积为2211111π()2π3221212V R h R h =⨯⋅⨯==.故答案为：112.11.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知12,1AB AA ==，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________.【答案】5π+32.【分析】利用球与正四棱柱的特征求轨迹长度即可.【详解】如图所示，以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱的表面交线为四段弧 FB BD FG DG、、、，分别在平面11111111ABB A ABCD ADD A A B C D 、、、上，易知 1πππ22663AF AA FAB FB DG =⇒∠=⇒=⨯==， π=2=π2BD ⨯， π3π=22GF ，所以交线长为5π3π+32.故答案为：5π3π32+12.已知空间四个单位向量1234,,,e e e e 满足：1234123421+=+=+++= e e e e e e e e ，则13⋅ e e 的最大值为__________.【答案】731516+【分析】将该四个单位向量平移至共起点置于球中，利用空间向量的数量积计算1234,e e e e ++ ，借助圆锥图形确定13,e e 即可.【详解】如图所示，令1234,,,e e e e 共起点O ，由题意易得2212112212121121cos ,2e e e e e e e e e e +=⇒+⋅+=⇒⋅=-= ，同理34123412πcos ,,,23e e e e e e =-⇒== ，设1234,e e a e e b +=+= ，则13π,,3e a e b == ，根据条件有221172cos ,248a b a a b b a b a b +=⇒+⋅+=⇒⋅=-= ，所以13,e e 分别在以,a b 所在直线为轴，O 为顶点，以夹角π3旋转一周得到的圆锥12OO OO 、的侧面上，观察图形可知当13,,e e ,a b 在平面12OO O 内时，此时13,e e 夹角最小，易知15,πsin ,8a b a b <⇒= ，则13max 2π2π2π7315cos ,cos ,cos ,cos sin ,sin cos 33316e e a b a b a b +=-=+= ，所以13137cos ,16e e e e +⋅=≤ .故答案为：731516+.二､选择题（本大题共有4题，满分16分，每小题4分）13.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ． 2.65≈）（）A.931.010m ⨯ B.931.210m ⨯ C.931.410m ⨯ D.931.610m ⨯【答案】C【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．14.已知平面αβγ、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面【答案】B【分析】通过假设//a b ，可得,a b 平行于,αβ的交线，由此可得c 与交线相交或异面，由此不可能存在////a b c ，可得正确结果.【详解】设l αβ= ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α又l αβ= ，可知//a l ，//b l又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15.已知二面角l αβ--为060，点P 、Q 分别在、内且PQ l ⊥，P 到的距离为3，Q 到的距离为32,则PQ 两点之间的距离为A.3 B.1 C.2 D.2【答案】A【分析】由题意分别作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，在,Rt PMC Rt QMD ∆∆中，分别求出,QM PM ，再在PMQ ∆中，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，由l αβ= ，所以,PC l QD l ⊥⊥，又PQ l ⊥，l ⊥平面QCDP ，即l ⊥平面QMP由二面角l αβ--为060，P 到的距离为3Q 到的距离为32,在Rt QMD ∆中，32QD =,60QMD ∠= ，21sin 60QM ==在Rt PCM ∆中，PC =,60QMD ∠= ，32sin 60PM == ，在PMQ ∆中，22212cos 60142232QP QM PM QM PM =+-⋅=+-⨯⨯= ，所以PQ =故选：A 【点睛】本题考查了由面面角求距离、余弦定理解三角形，考查了空间想象能力，属于基础题.16.如图，已知正三棱柱1111,ABC A B C AC AA -=，E ，F 分别是棱11,BC A C 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A --的平面角为γ，则（）A.αβγ≤≤B.βαγ≤≤C.βγα≤≤D.αγβ≤≤【答案】A【分析】先用几何法表示出αβγ，，，再根据边长关系即可比较大小．【详解】如图所示，过点F 作FP AC ⊥于P ，过P 作PM BC ⊥于M ，连接PE ，则EFP α=∠，FEP β=∠，FMP γ=∠，tan 1PE PE FP AB α==≤，tan 1FP AB PE PE β==≥，tan tan FP FP PM PEγβ=≥=，所以αβγ≤≤，故选：A ．三､解答题（本大题共有4题，满分42分）17.如图，在正四棱锥P ABCD -中，,PA AB a E ==是棱PC 的中点；（1）求证：PA 平面EDB ；（2）求三棱锥-E BDC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3224.【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，由中位线的性质可得出//PA OE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）计算出点E 到底面的距离以及BCD △的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【小问1详解】证明：在正四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，连接AC 交BD 于O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为PC 的中点，所以//PA OE ，.因为OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，所以PA 平面EDB.【小问2详解】在正四棱锥P ABCD -中，O 为底面的中心，则PO ⊥底面ABCD ，所以POA 为直角三角形，22PO ==因为E 为PC 的中点，则点到E 平面ABCD 的距离1224h PO ==，因此，三棱锥-E BDC 的体积3211122··332424BCD V S h a ==⋅⋅= .18.如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =.（1）用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM ；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值.【答案】（1）2133AN AB AC =+ ，12DM AB AD =- （2）17370370【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量；（2）利用转化法求向量数量积及夹角.【小问1详解】因为点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =，所以12AM AB = ，13BN BC = ，所以()11213333AN AB BN AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，12DM DA AM AB AD =+=- ；【小问2详解】因为3AB =，2AC AD ==，23BAD CAD π∠=∠=，2BAC π∠=，所以32cos 02AB AC π⋅=⨯⨯= ，232cos 33AB AD π⋅=⨯⨯=- ，222cos 23AC AD π⋅=⨯⨯=- 所以2222144110339993AN AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，372DM==，211332AN DM AB AC AB AD⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212111733633AB AB AD AB AC AC AD=-⋅+⋅-⋅=，所以17173703cos,37032AN DMAN DMAN DM⋅==⋅，即异面直线AN，DM所成角的余弦值为370.19.在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C-中，平面ABC⊥平面11BCC B，160CBB∠=︒，124A A A B==.（1）证明：111B C AC⊥；（2）求二面角1C AB A--的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）5【分析】（1）求出1B C，利用勾股定理证明111B C B C⊥，再根据面面垂直的性质可得1B C⊥平面111A B C，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以1B为原点，1B C，11B C所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出答案.【小问1详解】证明：因为160CBB∠=︒，124A A A B==，所以22211112cos12B C BC BB BC BB CBB=+-⋅⋅∠=，则1B C=，所以2221111B C B C CC+=，即111B C B C⊥，因为平面ABC∥平面111A B C，平面ABC⊥平面11BCC B，所以平面111A B C⊥平面11BCC B，因为平面111A B C Ç平面1111BCC B B C =，所以1B C ⊥平面111A B C ，又11AC ⊂平面111AB C ，所以111B C AC ⊥；【小问2详解】解：如图，以1B 为原点，1B C ，11B C 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,0B，()C，()2,0B -，(1A ，所以(11B A =，()12,0B B =- ，设平面1ABA 的法向量为()1,,n x y z = ，则1111100n B A n B B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x =1，则()11n =- ，又因为x 轴⊥平面ABC ，所以取平面ABC 的法向量()21,0,0n =u u r，所以112122cos ,55n n n n n n ⋅== ，由图可知，二面角为锐角，所以二面角1C AB A --的余弦值为55.20.在长方体1111ABCD A B C D -中，（1）已知P ､Q 分别为棱AB ､1CC 的中点（如图1），做出过点1D ，P ，Q 的平面与长方体的截面.保留作图痕迹，不必说明理由；（2）如图2，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与直线CD 平行的平面α将长方体分成两部分.现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化的过程中，求这两个球的半径之和的最大值.【答案】（1）答案见解析（2）最大值为16538【分析】（1）运用基本事实3：两面有一个公共点，则必有一条过该点的交线，基本事实3是做截面问题的基础；（2）用CBP ∠的三角函数将两圆的半径分别表示出来，构造新函数，通过函数单调性求得问题的最值.【小问1详解】①延长1D Q 交DC 延长线于点E ；②连接PE 与BC 交于点F ，并延长EP 交DA 延长线于点G ；③连接1D G 交1AA 于点H ；④分别连接线段1D H ，HP ，PF ，FQ ，1QD ，则五边形1D HPFQ 及其内部（图中阴影部分）即为所求截面.【小问2详解】如图所示，平面ABMN 将长方体分成两部分，MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上，但是若MN 在平面1111A D C B 上运动，两部分几何体都是细长形状，放入的两个小球由于棱长AD 限制，易知要使两球半径和的最大，需在平面11CDD C 上运动.延长11B C 与BM 交于点P ，作1O Q BC ⊥于Q 点，设1CBP BPB α∠=∠=，圆1O 对应的半径为1r ，根据三角形内切圆的性质，在1Rt O QB △中，12QBO α∠=，15BQ BC CQ r =-=-，111tan 25O Q r BQ r α==-，则15tan5251tan 1tan 22r ααα==-++，又当BP 与1BC 重合时，1r 取得最大值，由内切圆等面积法求得1512251213r ⨯≤=++，则2tan 23α≤设圆2O 对应的半径为2r ，同理可得266tan2r α=-，又252r ≤，解得7tan 212α≥.故1255566tan 1761tan 221tan 1tan 22r r αααα⎛⎫+=-+-=--+ ⎪⎝⎭++，72tan 1223α≤≤，设1tan 2x α=+，则195,123x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，()5176f x x x =--，由对勾函数性质易知195,123x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，函数()f x 单减，则()195191651761912123812f x f ⎛⎫≤=--⨯= ⎪⎝⎭，即最大值为16538.故两个球的半径之和的最大值为16538.【点睛】本题考查截面问题，考查球的综合问题，考查构造函数思想以及数形结合思想，借助三角函数表示边长，从而把问题转化为函数问题，再通过单调性解决最值问题，属于较难题目.。
上海市重点学校高二下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．已知集合，，则___________.{}2|680A x x x =-+≤{||1|2,Z}B x x x =-<∈A B = 【答案】{}2【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再解含绝对值符号的不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式，得，解得，即， 2680x x -+≤(2)(4)0x x --≤24x ≤≤{|24}A x x =≤≤解不等式，得，解得，即, |1|2x -<212x -<-<13x -<<{0,1,2}B =所以. {2}A B = 故答案为：{}22．已知，，则向量在向量方向上的数量投影为___________. (1,0)a = (3,4)b = ab 【答案】/0.635【分析】利用向量的数量积转化求解向量，在方向上的数量投影即可．a b【详解】解：设向量与的夹角是，则向量在方向上的数量投影为：．a b θa b 3||cos 5||a b a b θ⋅==故答案为：353．已知直线，直线，若，则_____________． 1:10l mx y -+=2:420l x my -+=12//l l m =【答案】2-【分析】根据两直线平行的充要条件求解．【详解】因为，所以，解得．12//l l 2424m m ⎧-=-⎨≠⎩2m =-故答案为：2-4．已知复数满足（是虚数单位），则___________. z i 34i z =+i z =【答案】5【分析】根据复数的除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可. 【详解】由可得，i 34i z =+()2i 34i 34i 43i i i z ++===-所以， 43i z =+5=故答案为：55．函数的最小值是______．y =【分析】将函数化为y =+时注意最小值取得时，的取值要一致，即可得到所求最小值． x【详解】解：函数y=． =…，取得等号．=0x =【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．6．母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的体积为___________. 8π5【答案】128π【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积． 【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于， 8π5所以侧面展开图的弧长为：.810π16π5⨯=设该圆锥的底面圆的半径为， r 所以，解得， 2π16πr =8r =所以该圆锥的高，6h ==所以该圆锥的体积.2211ππ86128π33V r h ==⨯⨯=故答案为：.128π7．直线过点，当原点到直线的距离最大时，直线的方程为___________. l (2,3)P l l 【答案】23130x y +-=【分析】作图分析可知，当原点到直线的距离最大时，，求出的斜率，根据点斜式即可l OP l ⊥l 求出直线的方程.l【详解】由题意知，，，所以直线的斜率，OP l ⊥32OP k =l 23k =-所以直线的方程为：，即. l ()2323y x -=--23130x y +-=故答案为：.23130x y +-=8．设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取a sin x x a =[]0,2π123,,x x x a 值为___________.【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在上直线与三角函数[]0,2πy a =π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当a =点，得到答案.【详解】∵， 1πsin 2sin 2sin 23x x x x x a ⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点的横坐标，[]0,2πy a =π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵， []0,2πx ∈∴， ππ7π,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦令， π3z x =+画出函数在上的图象，如下：2sin y z =π7π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由图象可知当且仅当. a =9．设随机变量，若，则的最大值为___________. ()12,X B p ~()8E X ≤()D X 【答案】3【分析】根据二项分布的数学期望得的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得的p ()D X 最大值.【详解】随机变量，由可得，所以 ()12,X B p ~()8E X ≤0128p <≤203p <≤又()()211211232p p D X p p +-⎛⎫=-≤⨯= ⎪⎝⎭当且仅当时，成立，故的最大值为. 12p =“”=()D X 3故答案为：.310．研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件为“对药物甲产生抗药性”，事件A 为“对药物乙产生抗药性”，事件为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若，BC ()415P A =，，则______．()215P B =()710P C =()P B A =【答案】/0.37538【分析】求出，结合求出，进而利用求条件概率()P A B ()()()()P A B P A P B P AB =+- ()P AB 公式求出答案.【详解】由题意可知，则．()()710P C P A B =⋂=()()73111010P A B P A B ⋃=-⋂=-=又， ()()()()P A B P A P B P AB =+- 所以， ()()()()423115151010P AB P A P B P A B =+-⋃=+-=则． ()()()13104815P AB P B A P A ===故答案为：3811．已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 121F 且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是________________． 2AF ||6DE =ADE V 【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线222222213412043x y x y c c c+=+-=，即的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，2AF DE DE x c =-代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，22234120x y c +-=221390y c --=138c =得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为1324a c ==ADE V 2F DE △.413a =【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为12c e a ==2a c =22223b a c c =-=，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵222222213412043x y x y c c c+=+-=，即1F 2F ，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C 交222AF a OF c a c ===，，23AF O π∠=12AF F △1F 2AF于D ，E 两点，为线段的垂直平分线，∴直线 直线DE 2AF DE DE的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， x c =-22234120x y c +-=221390y c --=判别式， ()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯∴， 22264613cDE y =-==⨯⨯⨯=∴ ， 得， 138c =1324a c ==∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于DE 2AF 22AD DF AE EF ==，ADE V 2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为2F DE △. 222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==故答案为：13.12．如图，探测机器人从点出发，准备探测道路和所围的三角危险区域.已知机器人在道O OA OB 路和上探测速度可达每分钟2米，，在内为危险区域，探测速度为每分OA OB 60AOB ∠=︒AOB ∠钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可. 【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB 点，则OA =OB =10米， 作的角平分线OC ，过A 作AD ⊥OB ，垂足为D 点，交OC 于C 点， AOB ∠设机器人先在道路OA 上前进分钟到达P 点, t 此时，AP=，后进入危险区域，2OP t =102t -其能探测到达的点组成以P 为圆心，以为半径的圆弧， ()5t -A QR 由题意可知：，即AD 与该圆弧相切，设切点为E ， 1sin 2r OAD AP ==∠故随P 点从O 移动到A ，机器人可探测的区域为，OAD △结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有与，即图中阴影部分， OAD △OBF A 其面积为，2OAC S A易知为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：. OAC A 212sin1202OA ⨯⨯⨯=【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.二、单选题13．已知 ，直线 ，若l 与⊙O 相离，则（ ） 222:O x y r +=A 223l x y r +=：A ．点 在l 上 B ．点在上 (2,3)P (2,3)P O A C ．点在 内 D ．点在外(2,3)P O A (2,3)P O A 【答案】C【分析】根据l 与相离,，即可推出O A r >，即可得答案.||r OP >【详解】由已知l 与相离,可知圆心到直线的距离大于半径，O A 不妨设为， r 222:O x y r +=Ar =>故，由于，所以, r >(2,3)P ||r OP >则点在内， (2,3)P O A 故选：C ．14．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教()R t t ()0e kt R t R =k 0R 师用户超过20000名至少经过的天数为（ ）（参考数据：） lg20.3010≈A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解()ln105e 100t R t =()20000R t >集，即可得结果.【详解】由题设，可得， 0050(0)e 100(5)e 1000kR R R R ⎧==⎨==⎩0100ln105R k =⎧⎪⎨=⎪⎩所以，则，故， ()ln105e 100tR t =ln105e 10020000t >5ln 2005lg 2005(lg 22)11.50511ln10t ===⨯+≈>所以教师用户超过20000名至少经过12天. 故选：D15．给定下列四个命题：①图像不经过点的幂函数一定不是偶函数；(1,1)-②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面； ③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列的前项和为，若是递增数列，则数列也是递增数列； {}n a n n S {}n a {}n S 以上命题是真命题的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③【答案】D【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.【详解】对①，幂函数的图象都过，偶函数的图象关于轴对称，(1,1)y 图象不经过点的莫函数一定不是偶函数，故①正确；∴(1,1)-对②，若平面内的无数条直线互相平行， 则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误； 对③，若有两个相邻的侧面是矩形，则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线， 则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行， 则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确； 对④，当时,满足数列是递增数列，，7n a n =-{}n a 116S a ==-，2126511S a a =+=--=-则，不满足数列是递增数列，故④不正确； 12S S >{}n S 故选：D.三、多选题16．等轴双曲线的焦点，圆，则（ ） Γ(,0)c ±222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>A ．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有两个公共点 r c C ΓB ．对于任意，存在，使圆与双曲线右支恰有三个公共点 r c C ΓC ．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至少有一个公共点 c r C ΓD ．存在，使对于任意，圆与双曲线右支至多有两个公共点 c r C Γ【答案】AD【分析】联立方程可得，构建，根据二次函数讨论2224420x cx c r -+-=()222442f x x cx c r =-+-在上的零点分布，并结合对称性分析与右支的交点个数. ()f x [],c r c r -+C Γ【详解】设双曲线方程为：，联立方程，2222c x y -=()2222222c x y x c y r⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得，2224420x cx c r -+-=由圆可知：x 的取值范围为，222:()C x c y r -+=[],c r c r -+构建，，()222442f x x cx c r =-+-[],x c r c r ∈-+则的对称轴， ()f x 2cx c c r =<<+且，()()()222222,20,2402c f c r r c c f r f c r r cr c ⎛⎫-=--=-<+=++> ⎪⎝⎭当即时有且只有一个零点， ()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩12c c r ⎛<≤ ⎝()f x ()0,x c r c r ∈-+当即时有且只有一个零点. ()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-≥⎪⎩1r c ⎛= ⎝()f x 01x c ⎛= ⎝当即时无零点. ()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-≥⎪⎩01r c ⎛<< ⎝()f x当即时有且只有两个零点. ()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-<⎪⎩1r c ⎛>+ ⎝()f x ()01,,x x c r c r ∈-+当即时有且只有两个零点. ()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-<⎪⎩1r c ⎛=+ ⎝()f x ()011,,x c x c r c r ⎛=∈-+ ⎝当即时有且只有一个零点. ()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩12c r c ⎛<<⎝()0,x c r c r ∈-+注意到当，与的交点坐标为，当时，与的交点坐1r c ⎛= ⎝CΓ1,0c ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎝⎭1r c ⎛= ⎝C Γ标有，即会出现交点在对称轴上，结合与的对称性可得： 1,0c ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭C Γ当时，使与没有公共点，即与的右支没有公共点； 01r c ⎛<< ⎝C ΓC Γ当时，使与有且仅有一个公共点，即与的右支有且仅有一个公共点； 1r c ⎛= ⎝C ΓC Γ当时，使与有两个公共点，此时与有且仅有两个公共点； 11c r c ⎛⎛<<+ ⎝⎝C ΓC Γ当时，使与有三个公共点，此时与有且仅有两个公共点； 1r c ⎛= ⎝C ΓC Γ当时，使与有四个公共点，此时与有且仅有两个公共点. 1r c ⎛> ⎝C ΓC Γ对A ：对于任意，存在，使得，此时圆与双曲线右支恰有两个公共点，A 正r c 1r c ⎛> ⎝C Γ确；对B ：对于任意，存在，使得，此时圆与双曲线右支至多有两个公共点，B r c 1r c ⎛> ⎝C Γ错误；对C ：存在，使对于任意，使得，此时圆与双曲线右支没有公共点，C 错c r 1r c ⎛< ⎝C Γ误；对D ：存在，使对于任意，使得，此时圆与双曲线右支至多有两个公共点，c r 1r c ⎛> ⎝C ΓD 正确. 故选：AD.四、解答题17．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选（与在同一A A 水平面的）､两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测B C BC 50m =45ABC ∠︒105BCA ∠=︒C 得大楼楼顶的仰角为.D α75︒(1)求两点间的距离；,A C (2)求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到） 1m 【答案】(1)m (2)m 264【分析】（1）根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算即可求解；BAC ∠（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即AD = 可.【详解】（1）由已知得， 1801054530BAC ∠=︒-︒-︒=︒在中， ABC A 因为，sin sin BC ACBAC ABC=∠∠即，所以50sin30sin45AC︒︒=AC =所以两点间的距离为,A C （2）在中，DCA △因为， 90,tan ADDAC AC∠α==所以，tan75AD AC == 又因为()tan75tan 4530=+tan45tan3021tan45tan30+===+-所以2AD ==+，141.4122.45263.85264≈+=≈答：楼高约为.264m 18．已知双曲线，及直线.22:1C x y -=:1l y kx =-(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；l C k(2)若与的左右两支分别交于A 、B 两点，且的值. l C OAB A k【答案】(1)或1k =±k =(2) 0k =【分析】（1）联立方程组，消元后得到，分、两种情况求()221220k xkx -+-=210k -=210k -≠解即可；（2）先由题意可得，令直线l 与y 轴交于点，从而得到11k -<<(0,1)D -. 1212111222=+=+=-=A A A OAB OAD OBD S S S x x x x 【详解】（1）由，消去，得①，2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩y ()221220k x kx -+-=当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.210k -=1k =±l C当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时）， ()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=⎪⎩22,==k k l C综上得的取值是或k 1k =±k =（2）设交点，由，消去，得，()()1122,,,A x y B x y 2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩y ()221220k x kx -+-=首先由，得， ()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩k <<1k ≠±并且， 12122222,11--+==--k x x x x k k 又因为与的左右两支分别交于A ､B 两点， l C 所以，即，解得， 120x x <22020,11k k -<->-11k -<<故.11k -<<因为直线l 与y 轴交于点， (0,1)D -所以， 1212111222=+=+=-=A A A OAB OAD OBD S S S x x x x故. 22121212222248,4811--⎛⎫⎛⎫-=∴+-=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭k x x x x x x k k解得或0k =k =因为，所以.11k -<<0k =19．设为实数，函数. a 2()||1,f x x x a x R =+-+∈（1）讨论函数的奇偶性并说明理由； ()f x （2）求的最小值.()f x 【答案】（1）当时，函数是偶函数，当时，函数是非奇非偶函数；（2）当时，0a =0a ≠12a …；当时，；当时，.min 3()4f x a =-1122a -<<2min ()1f x a =+12a …min 3()4f x a =+【分析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．【详解】解：（1）当时，函数 0a =2()()||1()f x x x f x -=-+-+=此时，为偶函数()f x 当时， ，， ，0a ≠()21f a a =+2()2||1f a a a -=++()()f a f a ≠-()()f a f a ≠--此时既不是奇函数，也不是偶函数()f x （2）①当时，x a (22)13()1()24f x x x a x a =-++=-++当，则函数在，上单调递减，从而函数在，上的最小值为12a …()f x (-∞]a ()f x (-∞]a ()21f a a =+． 若，则函数在，上的最小值为，且．12a >()f x (-∞]a 13(24f a =+1(()2f f a …②当时，函数x a (22)13()1()24f x x x a x a =+-+=+-+若，则函数在，上的最小值为；12-a …()f x [a )∞+13(24f a -=-若，则函数在，上单调递增，从而函数在，上的最小值为12a >-()f x [a )∞+()f x [a )∞+．()21f a a =+综上，当时，函数的最小值为12-a …()f x 34a -当时，函数的最小值为 1122a -<…()f x 21a +当时，函数的最小值为． 12a >()f x 34a +【点睛】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．20．直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以l 24y x =A B O OA OB 1-线段交于、两点． AB l P Q （1）求证：直线过定点； l （2）求中点的轨迹方程；AB （3）设，求的最小值．()6,0M 22MP MQ +【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 2142x y =+10【分析】（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的l x my t =+()11,A x y ()22,B x y l 方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定0OA OB ⋅=理求出的值，即可证得结论成立；t （2）设线段的中点为，可得出，消去可得出线段的中点的轨迹方AB (),N x y 2242x m y m ⎧=+⎨=⎩m AB 程；（3）利用平面向量的数量积推导出，结合两点间的距离公式以及()222224MP MQMO PQ '+=+二次函数的基本性质可求得的最小值.22MP MQ +【详解】（1）设直线的方程为，设点、，AB x my t =+()11,A x y ()22,B x y 由得， 24y xx my t⎧=⎨=+⎩2440y my t --=所以，所以，，()()22141606t m t m ∆++==>124y y m +=124y y t =-所以，，()21212242x x m y y t m t +=++=+222121216y y x x t ⋅==因为直线、的斜率之积为，所以，OA OB 1-0OA OB ⋅=所以，所以，2121240x x y y t t +=-=4t =所以直线的方程为，过定点；AB 4x my =+()4,0（2），直线中点为圆心，21248x x m +=+ l ()224,2O m m +'设线段的中点为，可得，消去得，AB (),N x y 2242x m y m ⎧=+⎨=⎩m 228y x =-因此，线段的中点的轨迹方程为； AB 2142x y =+（3）如下图所示，易知圆心为线段的中点，O 'PQ，()()111222MO MP PO MP PQ MP MQ MP MQ MP ''=+=+=+-=+ 所以，，2MO MP MQ '=+所以，，()()222222422MO PQ MQ MP MQ MPMQ MP '+=++-=+即()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+， ()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以，222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭所以当时，的最小值为． m =22MP MQ +10【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21．已知的三个顶点都在椭圆上.ABC A 22:143x y Γ+=(1)设它的三条线段，，的中点分别为，，，且三条边所在线的斜率分别为AB BC AC D E M ，且均不为0.点为坐标原点，若直线，，的斜率之和1.求证：123,,k k k 123,,k k k O OD OE OM 为定值； 123111k k k ++(2)当是的重心时，求证：的面积是定值；O ABC A ABC A (3)如图，设的边所在直线与轴垂直，垂足为椭圆右焦点，过点分别作直线与ABC A AB x F F 12,l l 椭圆交于（不同于A ，B 两点），连接与分别交于，求证：.,,,C D E G ,CG DE AB ,M N FM FN =【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）设出点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得出斜率与中点坐标的关系即可得证； （2）点的坐标代入椭圆方程，化简得，再由椭圆的参数方程化简可得1212346x x y y +=-cos()αβ-，再由重心可得求证即可；3ABC AOB S S =A A （3）根据直线、的方程及点在椭圆上可得曲线系CD EG ，取，可由方程根的关系得证. ()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=1x =【详解】（1）设，()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t 因为在椭圆上，所以，,A B 222211221,14343x y x y +=+=两式相减得：，即， 121211*********y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+111413t k s =-同理可得，则 3222334411,33t t k s k s =-=-31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线的斜率之和为1， OD OE OM ､､所以，即为定值.12311144133k k k ++=-⨯=-123111k k k ++（2）设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 因为的重心为，故ABC A O 1231230x x x y y y ++=++=又都在椭圆上，A B C ､､22143x y +=故 ()()222222121211221,1,1434343x x y y x y x y +++=+=+=化简得，1212346x x y y +=-设， 11222cos ,,2cos ,x y x y ααββ====代入上式可得：， 2cos cos 2sin sin 1αβαβ+=-即， ()1cos2αβ-=-， ()122139322ABC AOB S S x y x y αβ==-=-==△△即的面积为定值.ABC A 92（3）设直线方程为：，直线的方程为：， CD ()11y k x =-EG ()21y k x =-直线与直线上所有点对应的曲线方程为：， CD EG ()()11220y k x k y k x k -+-+=又都在椭圆上，则同时过的二次曲线系可设为：C D E G ､､､C D E G ､､､， ()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=取，得，易知该方程的两根分别为，由韦达定理可1x =213034y λ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,M N y y 知，，则.0M N y y +=FM FN =【点睛】关键点点睛：根据点在椭圆上，结合重心化简得，利用椭圆的参数方1212346x x y y +=-程，结合重心的性质找出，并且能应用三角函数求出的 大小，是研究三角形面3ABC AOB S S =A A AOB S A 积为定值的关键，本题困难，不易解答.。
上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题
绝密★启用前 上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．设2111()1111f x x x =-，x ∈R ，则方程()0f x =的解集为（ ） A.{1} B.{}1- C.{1,1}- D.以上答案都不对2．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ） A.曲线C 是方程0(),f x y =的曲线 B.方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上 C.不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上 D.方程0(),f x y =是曲线C 的方程 3．已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论： ①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直； ②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称； ④如果l 与l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1；……其中，所有正确的结论的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4. 4．已知两个不相等的非零向量a 与b ，两组向量1x u r ，2x u u r ，3x u r ，4x u u r ，5x u r 和1y ur ，2y u u r ，3y u u r ，4y u u r ，5y u u r 均有2个a 和3个b 按照某种顺序排成一列所构成，记112233s x y x y x y =⋅+⋅+⋅+4455x y x y ⋅+⋅，且m i n s 表示s 所有可能取值中的最小值，有以下结论：①有5个不同的值；②若a b ⊥，则m i n s 与||a 无关；③ 若a ∥b ，则m i n s 与||b 无关；④ 若||4||b a >r r ，则m i n 0s >；⑤若||2||b a =r r ，且2m i n 8||s a =r ，则a 与b 的夹角为4π；正确的结论的序号是（ ）A.①②④B.②④C.②③D.①⑤第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．过点(2,3)P ，且一个法向量为(3,1)n =-r 的直线的点法向式方程是________. 6．三角形ABC 的重心为G ，()()242,1,3,4,,33A B G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则顶点C 的坐标为____________． 7．已知矩阵A =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，矩阵B =4231⎛⎫ ⎪⎝⎭，计算：AB = ． 8．点(1,2)P -到直线:30l x y c ++=，则c =________. 9．设,x y ∈R 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+最大值为________. 10．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 11．已知k ∈R ，则“5k =”是“直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与直线2:2(3)230l k x y --+=平行”的________.条件 12．三阶行列式3518278724-中，元素8-的代数余子式的值为________. 13．已知向量(1,2)a =，(3,4)b =-，则向量a 在向量b 上的投影为________. 14．在ABC 中，||5AB =，||10BC =，3B π∠=，则||AB BC -=uu u r uu u r ________. 15．已知点()()2,3,5,2A B -，若直线l 过点()1,6P -，且与线段AB 相交，则该直线l 的斜率的取值范围是___________ 16．已知A 、B 、C 是直线AB 上的不同的三个点，点O 不在直线AB 上，则关于x 的方程20x OA xOB AC ++=uu r uu u r uuu r r 的解集为________. 三、解答题订…………○内※※答※※题※※订…………○17．已知二元一次方程组的增广矩阵为421a aa a+⎛⎫⎪⎝⎭，请利用行列式求解此方程组.18．已知a、b都是单位向量，a与b满足||3||ka b a kb+=-，其中0k>.(1)用k表示a b⋅；(2)求a b⋅的最小值，并求此时a、b的夹角的大小.19．边长为1的正三角形ABC，E、F分别是边AB、AC上的点，若AE mAB=，AF nAC=，其中,(0,1)m n∈，设EF的中点为M，BC中点为N.（1）若A、M、N三点共线，求证：m n=；（2）若1m n+=，求||MN的最小值.20．已知倾斜角为4π的直线l过点(1,2)A-和点B，点B在第一象限，||AB=.（1）求B的坐标；（2）若直线l与两平行直线1:3480l x y-+=，2:340l x y c-+=相交于E、F两点，且||EF=c的值；（3）记集合{|P m=直线m经过点B且与坐标轴围成的面积为}S，0S≠，针对S的不同取值，讨论集合P中的元素个数.21．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为'A.（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点'A的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-20k+≤≤时，求折痕长的最大值.………○……………○……参考答案1．C【解析】【分析】按照行列式的计算法则计算行列式的值,然后解方程可得.【详解】 因为2221111111()11111111111x x f x x x x x --=-=⨯-⨯+⨯ 221(1111)1(11)1(11)x x x x =⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯222x x x x =--+++222x =-,由()0f x =,得2220x -=,即21x =,所以1x =-或1x =.所以方程()0f x =的解集为{1,1}-.故选C .【点睛】本题考查了行列式的计算法则,属于基础题.2．C【解析】【详解】由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程0(),f x y =的解为坐标的点是否都在曲线C 上,故方程0(),f x y =的曲线不一定是C,所以曲线C 是方程0(),f x y =的曲线不正确; 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确;不能推出曲线C 是方程0(),f x y =的轨迹,从而得到A,B,D 均不正确,不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上是正确的.故选 C.3．C【解析】对于①，当0a =时，两条直线分别化为:1,1y x ==-，此时两条直线互相垂直，当0a ≠时，两条直线斜率分别为:1,a a -,满足11a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,此时两条直线互相垂直，因此不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直，故①正确；对于②，当a 变化时，代入验证可得:1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以AB 为直径的圆上，不一定在直线0x y +=上，因此1l 与2l 关于直线0x y +=不一定对称，故③不正确；对于④，如果1l 与2l 交于点M ，由③可知:222MA MB +=，则22?MA MB ≥，所以·MA MB 的最大值是1，故④正确.所有正确结论的个数是3.故选C4．B【解析】【分析】按照S 中a b ⋅的对数分3种情况,求出S 的值:123,,S S S 共3个值,故①不正确;作差比较可得3S 最小,再逐个分析②③④⑤可得.【详解】当有零对a b ⋅时,2212||3||S a b =+;当有2对a b ⋅时,222||2||2S a b a b =++⋅;当有4对a b ⋅时,23||4S b a b =+⋅;所以S 有3个不同的值,所以①不正确;因为2222222122||3||||2||22()S S a b a b a b a b a b a b -=+---⋅=+-⋅=-,22222223||2||2||42()S S a b a b b a b a b a b a b -=++⋅--⋅=+-⋅=-,因为a b ≠,所以12230,0S S S S ->->,所以123S S S >>,所以2min 3||4S S b a b ==+⋅,对于②,因为a b ⊥,所以0a b ⋅=,则2min 3||S S b ==与||a 无关,只与||b 有关,所以②正确; 对于③,当//a b 时,设a b λ=,则2min 3||4S S b a b ==+⋅222||4||(14)||b b b λλ=+=+与||b 有关,所以③不正确;对于④,设a 与b 的夹角为θ,因为||4||b a >,所以min 3S S ==2222||416||4||||cos 16||16||cos b a b a a b a a θθ+⋅>+>+216||(1cos )0a θ=+≥,所以min 0S >,故④正确;对于⑤,因为||2||b a =,所以22min 3||44||4||||cos S S b a b a a b θ==+⋅=+224||8||cos a a θ=+,因为2min 8||s a =r ,所以224||8||cos a a θ+28||a =,所以1cos 2θ=, 因为0θπ≤≤,所以3πθ=,所以a 与b 的夹角为3π,故⑤不正确. 故选B .【点睛】本题考查了分类讨论思想,平面向量的数量积和夹角,向量共线和垂直,属于难题.5．3(2)(3)0x y ---=【解析】【分析】根据直线的方向向量与其法向量垂直列式可得.【详解】在所求直线上任取一点(,)x y ,则所求直线的方向向量为(2,3)x y --,再根据直线的方向向量与法向量垂直可得,(3,1)(2,3)0x y -⋅--=,即3(2)(3)0x y ---=.故答案为: 3(2)(3)0x y ---=.【点睛】本题考查了直线的方向向量与法向量以及直线的点法向式方程,属于基础题.6．()1,1--【解析】【分析】 利用三角形的重心坐标123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫⎪⎝⎭，可求得顶点C 的坐标. 【详解】 设顶点C 的坐标为(),x y ，由三角形ABC 的重心坐标得：223,33414,33x y -+⎧-=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩ 解得：1,1,x y =-⎧⎨=-⎩故填：()1,1--. 【点睛】本题所用的公式实际上是从共线向量定理抽象得到的，如果懂得利用这个结论能使运算的速度更快.7．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：AB =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭4231⎛⎫ ⎪⎝⎭=1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭。
上海市嘉定二中2018-2019学年高二上学期数学期中考试(解析版)
2018-2019学年上海市嘉定二中等四校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.已知||=3，||=4，（-）（-3）=81，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A. 系数行列式B. 比例式C. 向量不平行D. 直线，不平行4.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A6则，，∈，，，的值组成的集合为（）A. 0，1，B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.方程组的增广矩阵为______．6.直线x+y-1=0的倾斜角的大小为______．7.过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程______．8.已知=3，设=λ，则实数λ=______．9.三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为-10，则k=______．10.已知、是夹角为的两个单位向量，向量=-2，=k+2，若 ∥，则实数k的值为______．11.以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量=______12.直线（m+2）x+（2-m）y-2m=0在x轴上的截距等于y轴上的截距的2倍，则m的值为______13.已知直线（a-2）y=（3a-1）x-1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是______．14.已知点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是______15.已知点A（-1，0），B（1，0），C（0，1），直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割成面积相等的两部分，则b的取值范围是______．16.定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（n∈N*）个不同的点P i，使得，，，，称该图形满足“n度契合”．若边长为4的正方形ABCD中，=2，=3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共52.0分）17.已知直线方程l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，问m为何值时，l1，l2相交，平行，重合？18.已知||=1，||=2，与的夹角为120°，当k为何值时．（1）k+与-垂直；（2）|k-2|取得最小值？并求出最小值．19.设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足=，=+，λ＞0．求：（1）记f（λ）=△ ，求f（λ）关于λ的表达式；（2）求出f（λ）的最大值并求出相应的λ值．20.在直角坐标系Oy中，过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于两点之间．（1）若=3，求直线l的方程；（2）求当•取得最小值时直线l的方程；（3）当S OAB面积最小值时的直线方程．21.已知直线：（2m+1）x+（m-1）y-5m-1=0，且与坐标轴形成的三角形面积为S．求：（1）求证：不论m为何实数，直线L过定点P；（2）分别求S=3和S=5时，所对应的直线条数；（3）针对S的不同取值，讨论集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素个数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是-，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=-2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．2.【答案】C【解析】解：∵||=3，||=4，（-）（-3）=81，∴（-）（-3）=-4+3=9-4×3×4×cos＜＞+3×16=81，∴cos＜＞=-，∴与的夹角为．故选：C．由（-）（-3）=-4+3=9-4×3×4×cos＜＞+3×16=81，由此能求出与的夹角．本题考查向量的夹角的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．3.【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A，B，C为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，-1，}．故选：D．通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．5.【答案】【解析】解：方程组的增广矩阵为，故答案为：，根据增广矩阵的定义即可求出．本题考查了增广矩阵的定义，属于基础题6.【答案】【解析】解：因为直线的斜率为：-，所以tanα=-，所以直线的倾斜角为：．故答案为：．利用直线方程求出斜率，然后求出直线的倾斜角．本题考查直线的一般式方程与直线的倾斜角的求法，考查计算能力．7.【答案】x-2y-1=0【解析】解：设过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0，把（1，0）代入，得：1-2×0+c=0，解得c=-1，∴过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y-1=0．故答案为：x-2y-1=0．设过点（1，0）且与直线2x+y=5垂直的直线的方程为x-2y+c=0，把（1，0）代入能求出结果．本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】2【解析】解：根据条件，=；∴λ=2．故答案为：2．可知，这样带入便可得到，从而便可得出λ的值．考查向量减法及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，向量相等的概念．9.【答案】-14【解析】解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=-10解得：k=-14．故答案为：-14．根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（-1）i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可．此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．10.【答案】-1【解析】解：∵；∴存在实数λ，使；∴；又不共线；∴；∴k=-1．故答案为：-1．根据即可得出，存在实数λ，使得，从而得出，并且不共线，从而得出，这样即可求出k的值．考查单位向量的概念，共线向量和平面向量基本定理，向量的数乘运算．11.【答案】（1，-2）【解析】解：∵=2+x-2y-1=x-2y+1=0．∴以行列式的形式表示的直线方程的一个法向量=（1，-2）．故答案为：（1，-2）．=2+x-2y-1=x-2y+1=0．由此能求出结果．本题考查直线的法向量的求法，考查行列式的展开法则、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】-或0【解析】解：直线（m+2）x+（2-m）y-2m=0，当m=0时，直线化为x+y=0，在x轴上的截距与在y轴上的截距都为0，满足题意；当m≠0时，直线化为x+y=1，在x轴上的截距是，在y轴上的截距是，=2•，解得m=-；综上，m的值为-或0．故答案为：-或0．讨论m=0时直线化为x+y=0，满足题意；m≠0时，直线化为x+y=1，求出在x轴和y轴上的截距，列方程求出m的值．本题考查了直线方程的应用问题，也考查了分类讨论思想应用问题，是基础题．13.【答案】[2，+∞）【解析】解：若a-2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a-2≠0，直线方程可化为y=x-，此时若直线不经过第二象限，则≥0，≥0解得a＞2综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞）故答案为：[2，+∞）由已知中直线（a-2）y=（3a-1）x-1不经过第二象限，我们分别讨论a-2=0（斜率不存在），a-2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a-2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）14.【答案】（，）【解析】解：∵点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，∴（--3+2）（2a+2）＞0，解得-1＜a＜-，设直线的倾斜角为θ∈[0，π），∴-1＜tanθ＜-，∴．∴直线l倾斜角的取值范围是（，）．故答案为：（，）．点（-，3）和（2，0）在直线l：ax-y+2=0（a≠0）的同侧，推导出（--3+2）（2a+2）＞0，由此能求出直线的倾斜角的范围．要求直线l倾斜角的取值范围的范围，关键是要根据题意建立关于a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】，【解析】解：由题意可得，三角形ABC的面积为S=•AB•OC=1，由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由≤0可得点M在射线OA上．设直线和BC的交点为N，则由，可得点N的坐标为（，），①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则=-1，且=，解得a=b=，②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即•MB•yN=，即•（1+）•=，解得，故b，③若点M在点A的左侧，则＜-1，b＞a，设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为（，），此时，NP====，此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即••=，化简可得2（1-b）2=|a2-1|．由于此时0＜b＜a＜1，∴2（1-b）2=|a2-1|=1-a2 ．两边开方可得（1-b）=，则1-b，即b＞，综合以上可得，b=可以，且b＜，且b＞，即b的取值范围是，故答案为：．先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（，0），由≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，利用面积公式、点到直线以及两点之间的距离公式再分三种情况分别讨论：①若点M和点A重合，求得b=；②若点M在点O和点A之间，求得b＜；③若点M在点A的左侧，求得b＞1-，综合起来可得结论．本题主要考查确定直线的要素，点到直线和两点之间的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考查运算能力和综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．16.【答案】m=-或2＜m＜6【解析】解，如图建立平面直角坐标系，可得N（0，1），M（4，2），设P i（x，y），由，可得（x-2）2+（y-）2=，即点P i的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r=的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．如图：当r=2，即m=-时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：=，∴2＜m＜6．∴答案为：m=-或2＜m＜6．利用数量积的定义和M，N两点的位置可得点P i的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r=的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可．即可求得m的取值范围．本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义．动点轨迹问题，属于中档题．17.【答案】解：∵直线方程l1：mx+y=m+1，l2：x+my=2m，∴l1，l2相交时，，即m≠±1，∴m≠±1时，l1，l2相交；l1，l2平行时，，解得m=-1，∴m=-1时，l1，l2平行；l1，l2重合时，，解得m=1，∴m=1时，l1，l2重合．【解析】l1，l2相交时，；l1，l2平行时，；l1，l2重合时，．本题考查实数值的求法，考查直线与直线相交、平行、重合的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：（1）；∵与垂直；∴；∴ ；（2）；∴k=-2时，取得最小值．【解析】（1）根据条件先求出，与垂直时，，进行数量积的运算即可求出k；（2）先得出，配方即可求出k2+4k+16的最小值，进而得出的最小值．考查向量数量积的计算公式及数量积的运算，向量垂直的充要条件，配方求二次函数最值的方法．19.【答案】解：（1）∵=+=+，∴∥，∴f（λ）=△=•=•=，λ＞0；△（2）f（λ）=≤=，当且仅当λ=时，f（λ）取得最大值．【解析】（1）先推出：=，DP∥BC，再根据面积公式可求得f（λ）；（2）利用基本不等式求最值．本题考查了平面向量基本定理、基本不等式．属中档题．20.【答案】解：由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，设l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4-，所以A（4-，0），再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k），∵点P（4，2）位于A、B两点之间，∴4-且2-4k＞2，解得k＜0．∴=（，2），=（-4，-4k）…2分（1）∵=3，∴，解得k=-．∴直线l的方程为y=-（x-4）+2，整理得x+6y-16=0．（2）∵k＜0，∴•=8[（-k）+（-）]≥16，当-k=-，即k=-1时，等号成立．∴当•取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4）+2，化为一般式：x+y-6=0．（3）∵A（4-，0），B（0，2-4k），k＜0，∴S△OAB==8-（）≥8+2=8+8=16，当-=-8k时，即k=-时，取等号，∴当S OAB面积最小值时的直线方程为y=-（x-4）+2，即x+2y-8=0．【解析】设直线l：y=k（x-4）+2，可求出A（4-，0），B（0，2-4k）．结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k＜0．（1）由A、B、P的坐标，得出向量和坐标，从而将=3化为关于k的方程，解出k值即得直线l的方程；（2）由向量数量积的坐标运算公式，得出•关于k的表达式，再用基本不等式得到•取得最小值时l的斜率k，从而得到直线l的方程．（3）S△OAB==8-（）≥8+2=8+8=16，当-=-8k时，即k=-时，取等号，由此能求出当S OAB面积最小值时的直线方程．本题以向量的坐标运算为载体，求直线l的方程，着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：（1）直线（2m+1）x+（m-1）y-5m-1=0可化为m（2x+y-5）+（x-y-1）=0，令，解得，∴不论m为何实数，直线L过定点P（2，1）；（2）由题意知，直线的斜率k存在，且k≠0，设直线方程为y-1=k（x-2），则直线与x轴的交点为A（2-，0），与y轴的交点为B（0，1-2k）；∴△AOB的面积为S=•|OA|•|OB|=×|2-|×|1-2k|=；令S=3，得（2k-1）2=6|k|，k＞0时，方程化为4k2-10k+1=0，解得k=，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2+2k+1=0，△=-12＜0，方程无实数根，即无直线；综上知，S=3时有两条直线；令S=5，得（2k-1）2=10|k|，k＞0时，方程化为4k2-14k+1=0，解得k=，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2+6k+1=0，解得k=，有两个负根，即有两条直线；综上知，S=5时有四条直线；（3）由题意得，（2k-1）2=2S|k|，k＞0时，方程化为4k2-（2S+4）k+1=0，解得k=，有两个正根，即有两条直线；k＜0时，方程化为4k2-（4-2S）k+1=0，△=4S（S-4），0＜S＜4 时，△＜0，方程无实数根，此时无直线；S=4时，△=0，方程有一负根k=-，此时有一条直线；S＞4时，△＞0，解得k=，方程有两负根，即有两条直线；综上知，0＜S＜$时有两条直线；S=4时有三条直线，S＞4时有4条直线；即0＜S＜4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有2个；S=4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有3个；S＞4时，集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中的元素有4个．【解析】（1）直线方程化为m（2x+y-5）+（x-y-1）=0，令求得直线L所过的定点；（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与x、y轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；（3）由题意得（2k-1）2=2S|k|，讨论k＞0和k＜0时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合{l|直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为S}中元素的个数．本题考查了直线恒过定点的应用问题，也考查了三角形的面积应用问题和方程解的个数判断问题，是难题．。