数学建模培训题 航空货运问题(改编自美赛倒煤台问题)点评解析汇报

点评：航空货运问题

一、基本参数

1、货机：假设均匀分布

每天三架货机。

2、工作时间5：00—20：00设置为 t ：[0，15]？

每天货机到达时间：5：00—20：00；

一工作组装满装卸场：6小时；一货机装满：3小时； 装卸台的容量：1.5货机；

3、费用系数：

停机费（等待装货）：15000元/小时架

一工作组：每小时9000元；二工作组：每小时12000元 4、服务原则：假设先来先服务

二、模型建立：概率计算模型 （一）概率分布

1、三架货机到达的时刻3,2,1,=i

t i 服从[0，15]上的均匀分布，则：

密度函数：()1

,01515

f t t =

≤≤ 分布函数：(),01515

t

F t t =

≤≤ 2、设τ,δ,ε分别是首架货机到达时刻、第一架与第二架间隔、第二架与第三架间隔，

（1）τ的分布函数

3

31321321321321321))(1(1))(1(1)()()(1),,(1)

()()},,(min{)

()(1t F t t P t t P t t P t t P t t t t t t P t t t t t t P t t t t t t P t t t t P t P t F t --=≤--=>>>-=>>>-=≤⋃≤⋃≤-Ω=≤⋃≤⋃≤=≤=≤=ττ

τ

的密度函数：

()()()1125

15151)151(3]1[3)(')(2

22

11-=-=-==t t t f t F t F t f t t ττ ]15,0[∈t （2）其余两货机到达与第一个到达的货机的间隔21,t t ∆∆在0到15-τ之间是均匀分布的

于是：

τ

-=∆151)(t f i t , τ-≤≤150t ；τ-=∆15)(t t F i t , τ-≤≤150t ，i =1,2 δ 的密度函数

/121212()()()1()

1()()

F t P t P t t t t P t t t t P t t P t t δτδ=≤=∆≤∆≤=-∆>∆>=-∆>∆>

221)](1[1)](1[11t F t t P t ∆--=≤∆--=

()()2//15152)()](1[2)(')(11---=

-==∆∆τττδτδt t f t F t F t f t t

（3）第三架货机到达与第二个到达的货机的间隔ε在0和15-δ-τ之间是均匀分布的， 于是：

ε 的密度函数

τδτδε--=

151),/(f

3、联合概率分布

条件概率（A|B ）公式 ()()

b f b a f f b b

a ,/= ()τδε,,联合概率分布：

()()

()11252112515*1515*2*151**151

**,,2

2//),/(=------=--=

=τττδτδτ

δτδετ

τδττδτδεf f f f f pdf

4、另：顺序统计量

前k 个(1)k n ≤≤次序统计量的联合密度为:

121

12![1()]() ()!(,,

,) 0 k

n k

k i n i n n F x f x a x x x b n k f x x x -=⎧-<<<<<⎪

-=⎨⎪⎩

∏其他 特别地，当3k n ==时有 ……

（二）优化模型

模型： →只要是优化必须给个优化模型！

——如何调用、调用第二班、三班② 目标——费用③

——货机到达——随机——概率分布①——费用期望值③ 约束——时间关系

（1）决策变量：调用工作组（一、二个） →与到达时间有关

（2）目标：费用

费用=工作组装装卸台+第一架停机费+第二架停机费+第三架停机费

其中：第一架停机费受前一天工作状态影响，情形比较复杂，我们不直接讨论，而是用迟滞概率讨论代替。 ()()()()123,,,,,,,,x C C C τδετδετδετδε=++

123,,C C C 分别代表工作组装装卸台费用、第二架停机费、第三架停机费

由于货机到达——随机——概率分布——费用期望值

（3）模型

费用期望值（每天的平均费用）最小：

()()()()min ,,,,,,D

E x x pdf d d d τδετδετδεεδτ=⎰⎰⎰

:st ()()()()123,,,,,,,,x C C C τδετδετδετδε=++

另：费用波动程度——方差： ()()()()⎰⎰⎰

-=

τδεεδτεδτεδτd d d pdf E x x D i i ,,),,(,,2

装卸台迟滞的概率：指在一天装船工作完成后，在第二天开始之前，未能将装卸台装满货物，这样就有可能为第二天的装船工作造成损失，其计算方法为： ⎰

Ω

Ω-pdfd 1

在Ω，无迟滞。 三、模型求解 1、决策：制定规则

（1）规则的选择：为什么要制定规则？

规则1：无论任何情况，只使用一个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满货。

规则2：无论任何情况，都使用两个工作组，而且在装货机前，装卸台必须卸满。

规则3：只使用一个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。

规则4：总是使用两个工作组，在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或是下一架货机到达。

规则5：如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。

*规则6：当货机到达时，如果装卸场上的贮量不足一架货机的负载，则调用两个工作组，否则只使用一个工作组。在装货机前，装卸台应有足够的货物装满一架货机，如果没有货机等待装货物，装卸台应继续补充货物，直到装卸台完全装满或下一架货机到达。

*规则7：以一定的货机到达时间分布来确定是否调用两个工作组，比如三架货机很晚还未到达，则调用两个工作组……

……

（2）一般说明

规则1、2、3一定不是最优的

停机费：15000元/小时架

二班费：每小时12000元

规则4、5不一定

规则6计算比较麻烦

规则7可操作性太差