(九) 带电粒子在复合场中的运动

(九) 带电粒子在复合场中的运动

1.(2019·山师大附中模拟)如图1所示，两平行金属板E 、F 之间电压为U ，两足够长的平行边界MN 、PQ 区域内，有垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，由E 板中央处静止释放，经F 板上的小孔射出后，垂直进入磁场，且进入磁场时与边界MN 成60°角，磁场区域的两平行边界MN 和PQ 之间的距离为d .求：

图1

(1)粒子离开电场时的速度大小；

(2)若粒子最终从磁场边界MN 离开磁场，磁感应强度的范围． 答案 (1)

2qU m (2)B ≥3

2d

2mU

q

解析 (1)粒子在电场中加速，由动能定理有： qU ＝1

2

m v 2，解得v ＝

2qU

m

. (2)粒子在磁场中的运动轨迹刚好与PQ 相切时的轨道半径，是粒子从边界MN 离开磁场最大轨道半径，如图所示：

由几何知识得：d ＝r ＋r sin 30°，

粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力， 由牛顿第二定律得：q v B ＝m v 2r

解得B ＝

3

2d

2mU q .若粒子最终从磁场边界MN 离开磁场，则磁感应强度：B ≥3

2d

2mU

q

.

2．(2017·天津理综)平面直角坐标系xOy 中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y 轴负方向的匀强电场，如图2所示．一带负电的粒子从电场中的Q 点以速度v 0沿x 轴正方向开始运动．Q 点到y 轴的距离为到x 轴距离的2倍．粒子从坐标原点O 离开电场进入磁场，最终从x 轴上的P 点射出磁场，P 点到y 轴距离与Q 点到y 轴距离相等．不计粒子重力，问：

图2

(1)粒子到达O 点时速度的大小和方向； (2)电场强度和磁感应强度的大小之比．

答案 (1)2v 0 方向与x 轴正方向成45°角斜向上 (2)v 02

解析 (1)在电场中，粒子做类平抛运动，设Q 点到x 轴距离为L ，到y 轴距离为2L ，粒子的加速度为a ，运动时间为t ，有2L ＝v 0t ① L ＝1

2

at 2②

设粒子到达O 点时沿y 轴方向的分速度为v y v y ＝at ③

设粒子到达O 点时速度方向与x 轴正方向夹角为α，有 tan α＝v y

v 0

④

联立①②③④式得α＝45°⑤

即粒子到达O 点时速度方向与x 轴正方向成45°角斜向上． 设粒子到达O 点时速度大小为v ，由运动的合成有 v ＝

v 02＋v y 2⑥

联立①②③⑥式得v ＝2v 0⑦

(2)设电场强度为E ，粒子电荷量为q ，质量为m ，粒子在电场中受到的电场力为F ，由牛顿第二定律可得

F ＝ma ⑧ 又F ＝qE ⑨

设磁场的磁感应强度大小为B ，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，所受的洛伦兹力提供向心力，有 q v B ＝m v 2

R

⑩

由几何关系可知R ＝2L ⑪ 联立①②⑦⑧⑨⑩⑪式得E B ＝v 02

3.(2019·郑州市高二检测)如图3所示，在xOy 平面内有以虚线OP 为理想边界的匀强电场和匀强磁场区域．OP 与x 轴成45°角，OP 与y 轴之间的磁场方向垂直纸面向里，OP 与x 轴之间的电场平行于x 轴向左，电场强度为E .在y 轴上有一点M ，到O 点的距离为L .现有一个质量为m 、带电荷量为－q 的带电粒子，从静止经电压为U 的电场加速后，从M 点以垂直y 轴的速度方向进入磁场区域(加速电场图中没有画出)，不计带电粒子的重力，求：

图3

(1)带电粒子在磁场中运动的轨迹与OP 相切时，磁感应强度B 的大小；

(2)只改变匀强磁场磁感应强度的大小，使带电粒子经磁场能沿y 轴负方向进入匀强电场，则带电粒子从x 轴离开电场时的位置到O 点的距离为多少？从进入磁场到离开电场经过的时间为多少？ 答案 (1)

2＋1

L

2mU

q

(2)L 2＋EL 216U ⎝⎛⎭

⎫L 4＋πL 82m qU

解析 (1)粒子在加速电场中加速，由动能定理可知：

qU ＝1

2m v 02－0

解得v 0＝

2qU

m

由几何关系可知r ＋2r ＝L ， 解得r ＝

L

2＋1

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动， 则q v 0B ＝m v 02

r ，解得B ＝

2＋1L

2mU

q

； (2)由图可知带电粒子能沿y 轴负方向进入匀强电场时，在磁场中运动的轨迹半径为R ＝L

2

带电粒子在电场中做类平抛运动，加速度a ＝qE

m

粒子在y 轴方向做匀速运动，则L

2＝R ＝v 0t

粒子在x 轴方向做匀加速运动，则x ＝1

2at 2

解得x ＝EL 2

16U

因此带电粒子从x 轴离开电场时的位置到O 点的距离为 R ＋x ＝L 2＋EL 2

16U

由图可知带电粒子在磁场中转过角度为90°，因此在磁场中的运动时间为t 1＝T 4＝14×2πR v 0＝

πR

2v 0＝πL 8

2m qU

又因为在电场中运动时间t 2＝R v 0＝

L

4

2m qU