居于马线性代数第六章答案

第六章 二次型

将下列1-3题的二次型表示成矩阵形式。 1.2

2

(,)467f x y x xy y =-- 解：()2

2

43(,)46737x f x y x xy y x

y y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭

2.2

2

2

(,,)346f x y z x xy y yz z =+--+

解：()2

2

2

320(,,)346213031x f x y z x xy y yz z x

y

z y z ⎛⎫⎛⎫

⎪⎪=+--+=-- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭

3.222

12341341214232434(,,,)242264f x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++--+

解：()1212341

23

43412012013(,,,)01121322x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪

⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

4.设n 元二次型12(,,,)n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵

1111111

111A -⎛⎫

⎪-- ⎪

⎪=- ⎪

- ⎪

⎪-⎝⎭

， 试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式。 解：2222

1211222311(,,

,)222n n n n n f x x x x x x x x x x x x x --=-+-+

+-+。

5.若二次型12(,,

,)T n f x x x x Ax =对一切12(,,,)T n x x x x =恒有12(,,

,)0n f x x x =，

证明A 为n 阶零矩阵。 证明：取(0,

,1,

,0)T i x =(其中第i 个分量为1，其余分量全为零)，则有

11

()0,1,2,

,n

n

T

i i i ij i j ii i j f x x Ax a x x a i n =======∑∑。

再取(0,

,1,,1,

,0)T ij x =(其中第i 和第j 个分量为1，其余分量全为零)，则有

()20,,1,2,

,T ij ij ij ij f x x Ax a i j n ====。

所以，A 的2

n 个元素全为0，即A 为n 阶零矩阵。

6.设,A B 均为n 阶对称矩阵，且对一切x 有T

T

x Ax x Bx =，则A B =。 证明：由12(,,

,)()T n f x x x x A B x =-，对一切12(,,,)T n x x x x =恒有()0f x =。利用

上题结果得0A B -=。 7.设,A

B C D ，且它们都是n 阶实对称矩阵，下列结论成立吗？

(1) )

()A C B D ++(； (2) A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

解：(1)不成立；如

1000,,,0111A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭，

此时，A C +与B D +不合同。

(2)成立。由1122,T T

C AC B C CC

D ==(其中12,C C 为可逆矩阵)，得

1111

2222T

T T

C C A O B O C AC O C C O C O

D O

C CC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中12C C ⎛⎫

⎪⎝⎭

仍然可逆，所以结论成立。 8.用正交变换x Qy =，将下列二次型化为标准形，并求正交矩阵Q ：

(1) 222

123232334f x x x x x =+++

解：二次型对应的矩阵为200032023A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

A 的三个特征值为1231,2,5λλλ===。

由()0E A x -=，求得对应11λ=的特征向量为1011ξ⎛⎫

⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

由(2)0E A x -=，求得对应22λ=的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

由(5)0E A x -=，求得对应35λ=的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

因123,,ξξξ是分别属于三个不同特征值的特征向量，故正交。

单位化，1011η⎛⎫⎪=-⎪⎪⎭，2100η⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，3011η⎛⎫⎪=⎪⎪⎭

令(

)12

301000

Q ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎝，有1125T

Q AQ Q AQ -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭。 (2) 2222

1234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++---

解：二次型对应的矩阵为1101111001111011A -⎛⎫ ⎪-

⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭

由[(1]0E A x +-=

，求得对应1+

的特征向量为1211,1001ξξ-⎛⎫⎛ - ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

正交化，得12120,101ηη⎛- -⎛⎫ ⎪ ⎪ ==

⎪ ⎪ ⎝⎭

⎪⎝⎭

再单位化，得1211011,12210p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

==

⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭